精品解析：新疆阿克苏地区第二中学2025-2026学年第二学期高二年级第一次月考数学试卷

阿克苏地区第二中学2025-2026学年第二学期高二年级 第一次月考数学试卷 考试时间：120分钟；试卷分值150分 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 二项式的展开式中的系数为（ ） A. 60 B. C. D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】化简通项，令的指数为4求出，代回通项可得答案. 【详解】展开式的通项， 令，解得，所以，即的系数为. 故选：C 2. 已知P为抛物线上一点，且该抛物线在点P处的切线的倾斜角的取值范围为，则点P的横坐标的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由导数的几何意义结合斜率的定义列出不等式求解即可. 【详解】设点P的横坐标为， 求导得：， 则，即， 解得． 即点P的横坐标的取值范围为. 3. 的展开式中的系数为（ ） A. 100 B. 60 C. 40 D. 20 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 其中展开式的通项为， 所以的展开式中含有的项为， 所以展开式中的系数为60. 4. 设的展开式的各项系数之和为，二项式系数之和为，若，则展开式中含项的系数为 A. 40 B. 30 C. 20 D. 15 【答案】D 【解析】 【详解】由，得． ，令，得． 故展开式中含项的系数为,选D. 点睛：二项展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念，前者是指组合数，而后者是字母外的部分.前者只与和有关，恒为正，后者还与有关，可正可负.通项是第项，不是第项. 5. 已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，若数列的前项和为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意得出，可求得的值，可得出函数的解析式，并求得数列的通项公式，利用裂项相消法可求得的值. 【详解】，，由题意可知，得. ，， . 故选：C. 【点睛】本题考查裂项求和法，同时也考查了利用切线斜率求参数，考查计算能力，属于中等题. 6. 已知甲、乙去北京旅游的概率分别为，，甲、乙两人中至少有一人去北京旅游的概率为，且甲是否去北京旅游对乙去北京旅游有一定影响，则在乙不去北京的前提下，甲去北京旅游的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两个事件的和事件的概率公式求出，利用全概率公式得到，再利用条件概率求解即可. 【详解】记事件A：甲去北京旅游，事件B：乙去北京旅游， 则，，， 因为，即，解得， 又因为，即，解得， 因为，所以， 所以. 故选：D. 7. 如图为我国数学家赵爽约3世纪初在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则区域涂色不相同的概率为　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分步计数原理求出不同的涂色方案有420种，其中，区域涂色不相同的情况有120种，由此根据古典概型概率公式能求出区域涂色不相同的概率． 【详解】 提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同， 根据题意，如图，设5个区域依次为,分4步进行分析： ，对于区域，有5种颜色可选； ，对于区域与区域相邻，有4种颜色可选； ，对于区域，与区域相邻，有3种颜色可选； ，对于区域，若与颜色相同，区域有3种颜色可选， 若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有2种颜色可选， 则区域有种选择， 则不同的涂色方案有种， 其中，区域涂色不相同的情况有： ，对于区域，有5种颜色可选； ，区域，有4种颜色可选； 对于区域，有3种颜色可选； ，若与颜色相同，区域有2种颜色可选； 若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有1种颜色可选； 所以区域有种选择； 不同的涂色方案有种， 区域涂色不相同的概率为 ,故选D． 【点睛】本题考查古典概型概率公式的应用，考查分步计数原理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率. 8. 已知定义在R上的奇函数满足，且在区间上是减函数，令，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数可得，从而可得函数的图象关于对称，进而可得函数在上为增函数，构造函数，利用函数的单调性即可求解. 【详解】因为是R上的奇函数，且满足，所以， 所以函数的图象关于对称， 因为函数在区间是减函数， 所以函数在上为增函数，且， 由题知，，， 由，则 令，解得， 令，解得， 所以函数在上递增， 在上递减知，， 所以. 故选：B 二、多选题 9. （多选）下列命题正确的有（ ） A. 已知函数在上可导，若，则 B. C. 已知函数，若，则 D. 设函数的导函数为，且，则 【答案】CD 【解析】 【分析】本题考查了导数的定义、基本求导公式和法则，掌握导数的定义及常见函数的求导方法是解题的关键． 根据导数的定义、求导公式和法则，逐一计算并判断各选项的正确性． 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，若，则，即，故C正确； 对于D，，故，故，故D正确． 故选：CD． 10. 有甲、乙、丙等6名同学，则说法正确的是（ ） A. 6人站成一排，甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数为480 B. 6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为240 C. 6名同学平均分成三组到A、B、C工厂参观（每个工厂都有人），则有90种不同的安排方法 D. 6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，则不同的分组方法有6种 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，利用插空法求解甲、乙两人不相邻的排法；B选项，利用倍缩法求解；C选项，先进行平均分组，再进行全排列，得到答案；D选项，先将除甲、乙、丙外的剩余3人分组，再进行全排列，得到答案. 【详解】A选项，6人站成一排，甲、乙两人不相邻，先将除甲、乙外的4人进行全排列，有种排法， 再将甲、乙两人插空，有种排法，则共有种不同的排法，A正确； B选项，6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，可用倍缩法进行求解，即种不同的站法，B错误； C选项，6名同学平均分成三组到A、B、C工厂参观（每个工厂都有人），则有种不同的安排方法，C正确； D选项，6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起， 若还有一位同学与他们一组，共有种分法； 若三组同学分为3人一组，2人一组和1人一组， 先将除甲、乙、丙外的剩余3人分为两组，有种分法； 共有种分组方法，D正确. 故选：ACD 11. 将（，1，2，…）按照二项式定理展开后，其各二项式系数可以形成“杨辉三角”（图1），将“杨辉三角”中所有的奇数涂成黑色圆，偶数涂成白色圆，就得到“谢尔宾斯基三角形”（图2），则（ ） A. 在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为 B. 在“杨辉三角”中，记第行的第个数为，则 C. 在“谢尔宾斯基三角形”中，第（，2，…）行全行都为黑色圆 D. 在“谢尔宾斯基三角形”中，第126行的黑色圆比白色圆多一个 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二项式系数之和的公式即可求解A，根据组合数的运算性质即可求解BC,由杨辉三角的性质即可求解D. 【详解】第n行的所有数字之和为，A正确； ，所以，B错误； 通过观察规律归纳可知：第行数字都是奇数，因此可以归纳出第（，2，…）行全行都是奇数，故都为黑色圆，C正确； 由D可知第127行全行为奇数，则由奇数偶数奇数，结合， 则第126行的127个数是奇偶相间，且两端都是奇数，所以黑色圆比白色圆多一个，D正确； 故选：ACD． 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 每年的9月初是高校新生到校报道的时间，此时学生会将组织师兄师姐做好迎接接待工作，若某学院只有3位师兄在迎新现场，突然来了4位新生，要求一次性派发完迎新指引工作（可以有1位师兄接待2位新生），则安排方案有______种．（用数字作答） 【答案】36 【解析】 【分析】根据排列组合数的特征，先将学生分组，再将3名师兄全排列即可． 【详解】先将4名学生分成三组，则共有种情况 再将3名师兄全排列 种情况 所以所有安排的情况共有 种安排方法 【点睛】本题考查了排列组合的简单应用，注意分步乘法的原理，属于基础题． 13. 已知函数，则方程的根的个数为 ______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据函数解析式求得导函数并令，由导函数符号判断函数的单调性和函数值的符号，画出函数图象；将方程视为一元二次方程，解方程求得的值，结合函数图象即可求解． 【详解】由函数，则， 令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 又当时，；当时，； 当时，；当时取得极小值，；当时，， 所以函数的大致图象如下所示； 又， 解得或， 由函数图象可知，方程的根的个数为3． 14. 若曲线在在，两点处的切线互相垂直，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】化简可得，求出导数可得切线斜率在范围内，即可得出切线斜率必须一个是1，一个是，即可求出. 【详解】， 曲线的切线斜率在范围内， 又曲线在两点处的切线互相垂直， 故在，两点处的切线斜率必须一个是1，一个是. 不妨设在A点处切线的斜率为1， 则有，， 则可得， 所以. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设在上有两个零点，求的范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再得出切线斜率，最后应用点斜式得出切线方程； （2）先求出导函数，再得出函数的单调性，最后结合最值计算求解参数. 【小问1详解】 由题意知， ， ， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 在上有两个零点，即有两个不等根， 由得， 当时，，所以函数在上单调递增； 当时，，所以函数在上单调递减. 又端点值，， 所以的极大值为， 所以的最大值为，最小值为， 要使在上有两个不等根， 结合函数单调性与极值，最值可知的取值范围为，即. 16. 已知的展开式的第2项与第3项的二项式系数之比是. （1）求的值； （2）求展开式的常数项； （3）求展开式中系数绝对值最大的项. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由第2项与第3项的二项式系数之比是，可列出关于的方程再求解； （2）结合展开式的通项公式，得出指数的表达式，令其为零即可求解； （3）由结合数列的最值列出的不等式组，解得的范围即可. 【小问1详解】 依题意可得第2项的二项式系数为，第3项的二项式系数为， 所以，即，则，或（舍去）； 【小问2详解】 展开式的通项为（，）， 令，解得，所以，所以常数项为第5项60. 【小问3详解】 系数的绝对值为 ，则 所以，即，，所以， 因此，系数绝对值最大的项是. 17. 为迎接端午节，某社区准备参加市里举行的龙舟比赛，计划从6名男选手和5名女选手中随机选出男、女选手各2名参加此次比赛，并需要安排好龙舟上选手的座位顺序，有如下方案： （1）男选手小王必须参加，并且坐在第四个位置上； （2）男选手小李和女选手小赵都要参加，并且座位不相邻； （3）男选手小钱和男选手小周至少一人参加. 【答案】（1）300 （2）240 （3）2160 【解析】 【分析】根据先选后排的原则，结合排列数、组合数运算求解. 【小问1详解】 因为男选手小王必须参加，并且坐在第四个位置上，所以只需再在剩余的5男5女中，选1男2女，排在前3个位置即可， 所以排法种数为：种. 【小问2详解】 完成这件事可以分两步： 第一步：先选人，有种选法； 第二步：再排列，4人排列，小李和小赵不相邻的排法种数为：. 由分步计数乘法原理得：不同的排法种数为：. 【小问3详解】 完成这件事的方法可以分两类： 第一类：小钱和小周只有一人参加，方法有：种； 第二类：小钱和小赵都参加，方法有. 由分类加法计数原理得：不同的排法种数为：. 18. 设，. （1）求的展开式中系数最大的项； （2）时，化简； （3）求证：. 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）中间项的二项式系数（也是系数）最大； （2）在原式乘以4，然后逆用二项式定理即可； （3）根据，将左边利用倒序相加法求和. 【详解】解：（1），通项为：， 故各项的系数即为二项式系数，故系数最大的项为； （2） ； （3）证明：令①， 则， 所以②， ①②得：，∴. 【点睛】本题考查二项式定理的通项、系数的性质以及赋值法.同时考查学生的逻辑推理和数学运算等数学核心素养.属于中档题. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若在上恒成立，求整数的最大值. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域，求得，对实数的取值进行分类讨论，利用导数与函数单调性的关系可求得函数的增区间和减区间； （2）由参变量分离法可得出对恒成立，，其中，利用导数求出函数的最小值，并求出最小值的取值范围，即可得出整数的最大值. 【小问1详解】 函数的定义域是. 因为，则. ①当即时，，， 此时，函数的增区间为，无减区间； ②当即时，由得，. 若，，时， 此时，函数的增区间为，无减区间； 若，， 当时，，当时， 此时，函数的减区间为，增区间为. 综上所述，时，的增区间为，无减区间； 时，的减区间为，增区间为. 【小问2详解】 由，得，即对恒成立. 令，其中， 则， 令，则， 因为，所以，所以在上单调递增. 又，， 所以满足，即， 当时，，，在上单调递减； 当时，，，在上单调递增 故，故， 又因为，，所以的最大值是. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阿克苏地区第二中学2025-2026学年第二学期高二年级 第一次月考数学试卷 考试时间：120分钟；试卷分值150分 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 二项式的展开式中的系数为（ ） A. 60 B. C. D. 12 2. 已知P为抛物线上一点，且该抛物线在点P处的切线的倾斜角的取值范围为，则点P的横坐标的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 的展开式中的系数为（ ） A. 100 B. 60 C. 40 D. 20 4. 设的展开式的各项系数之和为，二项式系数之和为，若，则展开式中含项的系数为 A. 40 B. 30 C. 20 D. 15 5. 已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，若数列的前项和为，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知甲、乙去北京旅游的概率分别为，，甲、乙两人中至少有一人去北京旅游的概率为，且甲是否去北京旅游对乙去北京旅游有一定影响，则在乙不去北京的前提下，甲去北京旅游的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图为我国数学家赵爽约3世纪初在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则区域涂色不相同的概率为　　 A. B. C. D. 8. 已知定义在R上的奇函数满足，且在区间上是减函数，令，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. （多选）下列命题正确的有（ ） A. 已知函数在上可导，若，则 B. C. 已知函数，若，则 D. 设函数的导函数为，且，则 10. 有甲、乙、丙等6名同学，则说法正确的是（ ） A. 6人站成一排，甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数为480 B. 6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为240 C. 6名同学平均分成三组到A、B、C工厂参观（每个工厂都有人），则有90种不同的安排方法 D. 6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，则不同的分组方法有6种 11. 将（，1，2，…）按照二项式定理展开后，其各二项式系数可以形成“杨辉三角”（图1），将“杨辉三角”中所有的奇数涂成黑色圆，偶数涂成白色圆，就得到“谢尔宾斯基三角形”（图2），则（ ） A. 在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为 B. 在“杨辉三角”中，记第行的第个数为，则 C. 在“谢尔宾斯基三角形”中，第（，2，…）行全行都为黑色圆 D. 在“谢尔宾斯基三角形”中，第126行的黑色圆比白色圆多一个 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 每年的9月初是高校新生到校报道的时间，此时学生会将组织师兄师姐做好迎接接待工作，若某学院只有3位师兄在迎新现场，突然来了4位新生，要求一次性派发完迎新指引工作（可以有1位师兄接待2位新生），则安排方案有______种．（用数字作答） 13. 已知函数，则方程的根的个数为 ______． 14. 若曲线在在，两点处的切线互相垂直，则的最小值为________． 四、解答题 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设在上有两个零点，求的范围. 16. 已知的展开式的第2项与第3项的二项式系数之比是. （1）求的值； （2）求展开式的常数项； （3）求展开式中系数绝对值最大的项. 17. 为迎接端午节，某社区准备参加市里举行的龙舟比赛，计划从6名男选手和5名女选手中随机选出男、女选手各2名参加此次比赛，并需要安排好龙舟上选手的座位顺序，有如下方案： （1）男选手小王必须参加，并且坐在第四个位置上； （2）男选手小李和女选手小赵都要参加，并且座位不相邻； （3）男选手小钱和男选手小周至少一人参加. 18. 设，. （1）求的展开式中系数最大的项； （2）时，化简； （3）求证：. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若在上恒成立，求整数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $