精品解析：广东省佛山市南海区桂城街道灯湖初级中学2025-2026学年八年级下学期5月期中数学试题

2025-2026学年度第二学期八年级第二次学情调查数学科调研卷 试卷说明：本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟．答题前，考生务必将自己的姓名等信息按要求填写在答题卡上；答案必须写在答题卡各题目指定区域内；考试结束后，只需将答题卡交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确） 1. 下列图标中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 一个不等式组的解集表示在数轴上如图所示，则这个不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是、、，则顶点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图射线平分，点D在上，，，若，则的长度为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 下列各式从左到右的变形，是彻底的因式分解的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在和中，点B、D、C、E在同一条直线上，点C和点E重合．，，若添加一个条件后可用“”定理证明，添加的条件是（ ） A. B. C. D. 8. 掀起了“人工智能＋”的热测，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数与（，为常数，）的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的长为（ ） A. 8 B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知，若a为整数，请写出一个符合条件的a的值_____________． 12. 若实数x，y满足，则__________ ． 13. 在古希腊时期，正九边形被认为是完美和神圣的象征，它代表着和谐与平衡．如图1所示的第四套人民币中1角硬币采用了圆内接正九边形的独特设计，这个正九边形的示意图如图2所示，该正九边形的一个内角的度数为______． 14. 已知等腰三角形的底边长和腰长分别是16和10，则这个等腰三角形的面积为____． 15. 如图，在中，，，、分别是线段、上的两个动点，则的最小值为_____________ ． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解不等式组，并将不等式组的解集在数轴上表示出来：． 17. 先因式分解，再计算求值：（x－2）2－6（2－x），其中x＝－2． 18. 化简求值：，其中． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 在平面直角坐标系中有，其中网格均为正方形且边长为1单位长度． （1）画出沿着y轴正方向移动2个单位，沿着x轴正方向移动5个单位的图形； （2）画出关于点O的中心对称图形； （3）的面积为_________． 20. 阅读理解 逆向思维法是一种寻找问题解决方案的思维方式，通过逆向思维，能够突破传统思维模式的限制，挖掘出新的解决方案．比如我们已经学习过乘法公式，把它反过来应用，能更便利的解决一些问题． 解决问题 请你认真观察下面这些算式，并结合你发现的规律，完成下列问题： 算式①， 算式②， 算式③， 算式④，…． （1）请写出：算式⑥______；算式⑦______； （2）上述算式的规律可以用文字概括为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”．如果设两个连续奇数分别为和（n为整数），请说明这个规律是成立的． 拓展探究 （3）探究完上述问题后，阳阳认为两个连续偶数的平方差也一定也能被8整除，你认为阳阳的说法成立吗？如果成立，请通过运算推理说明：如果不成立，请举反例说明． 21. 如图，中，是边的垂直平分线交边于点E，过点A作于点A，交延长线于点F，且，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 项目式学习问题：迎接的智能机器人采购与工程规划 背景：2026年亚太经合组织非正式高官会在深圳举行，某街道办拟购买智能机器人沿街巡逻．现有A、B两款巡逻机器人，需解决机器人单价、巡逻工程规定日期及采购方案等问题． 素材一 A款机器人单价比B款贵2万元．若用60万元单独采购A款，采购数量会与用50万元单独采购B款采购数量相等． 素材二 有一项巡逻工程，A机器人单独巡逻恰能在规定日期内完成，B机器人单独巡逻则需超出规定日期10天．若A、B两机器人合作8天，余下工作由B机器人单独完成，可提前2天完工． 素材三 已知A款机器人每日巡逻路程为48千米，每台单价12万元；B款机器人每日巡逻路程为32千米，每台单价10万元．街道办拟购买两种机器人共8台，要求每日巡逻总路程不低于320千米，且总费用不超过90万元． （1）任务一：机器人单价计算 求A款机器人与B款机器人单价，设B款机器人的单价为x万元，请根据素材列出分式方程，不用求解 （2）任务二：巡逻工程规定日期 根据素材二，求该项工程规定日期多少天？ （3）任务三：机器人采购优化 根据素材三，问有多少种购买方案，A，B款机器人各购买多少台？哪种方案最划算？ 23. 如图（1），在直角三角形中，，，，将绕点A顺时针方向旋转，得到，点B的对应点是点D，点C的对应点是点E，直线与边所在的直线相交于点M． （1）判断线段与的数量关系，并证明你的结论． （2）如图（2），作点B关于点A的对称点P，当直线DE经过点P（点P不与点D重合）时，求线段的长． （3）在旋转过程中，当时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期八年级第二次学情调查数学科调研卷 试卷说明：本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟．答题前，考生务必将自己的姓名等信息按要求填写在答题卡上；答案必须写在答题卡各题目指定区域内；考试结束后，只需将答题卡交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确） 1. 下列图标中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、它既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、它是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、它不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、它既是轴对称图形，也是中心对称图形 ，故本选项符合题意． 2. 下列各式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的定义逐一判断选项即可，分式的定义为：如果，（）表示两个整式，且中含有字母，那么式子叫做分式． 【详解】解：A、分母为，是常数，故不是分式； B、分母为，是含字母的整式，符合分式定义，是分式； C、分母为，是常数，不是分式； D、分母为，是常数，因此是常数，不是分式． 3. 一个不等式组的解集表示在数轴上如图所示，则这个不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】数轴上用实心点和空心点表示端点是否包含在解集中，线段的覆盖范围表示解集的范围． 【详解】处为实心点，表示包含在解集中，因此对应不等式：， 处为实心点，表示包含在解集中，因此对应不等式：， 数轴上从到的部分被覆盖，说明解集是这两个不等式的交集， 因此，不等式组解集为． 4. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是、、，则顶点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形对边平行且相等的性质作答． 【详解】， 又， 故选D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，解决本题的关键是将平行四边形的性质与坐标系中点的坐标相结合． 5. 如图射线平分，点D在上，，，若，则的长度为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵平分，，， ∴． 6. 下列各式从左到右的变形，是彻底的因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做因式分解，逐项判断即可． 【详解】解：A、，原式是因式分解，但分解的不彻底，选项A不符合题意； B、等式右边，不是几个整式乘积的形式，则选项B不符合题意； C、该变形是将几个整式的积化为多项式，属于整式乘法，不是因式分解，则选项C不符合题意； D、等式左边是多项式，右边是两个整式的乘积，且分解彻底，符合因式分解的定义，则选项D符合题意． 7. 如图，在和中，点B、D、C、E在同一条直线上，点C和点E重合．，，若添加一个条件后可用“”定理证明，添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，添加的条件为， ∵，， ∴， 故选：D． 8. 掀起了“人工智能＋”的热测，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是列出方程．设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据两模型合作小时完成，可得出方程． 【详解】解：设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据题意得 故选：B． 9. 数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数与（，为常数，）的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，直接根据一次函数的图象即可得出的取值范围，然后在数轴上表示即可，能利用数形结合求出不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：由一次函数的图象可知，当时，一次函数的图象在一次函数的图象下方， ∴不等式的解集是， 在数轴上表示的解集为 ， 故选：． 10. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的长为（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，交于点，由旋转可得，，，为等边三角形，垂直平分，根据勾股定理可得，，即可得的长． 【详解】解：如图，连接，交于点， ∵绕点逆时针旋转得到，，， ∴，，， ∴为等边三角形，点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∴． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知，若a为整数，请写出一个符合条件的a的值_____________． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】先解一元一次不等式得到的取值范围，再结合为整数，选取范围内一个整数即可． 【详解】解：解不等式，得， 为整数， 符合条件的可以取1． 12. 若实数x，y满足，则__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方公式对所求代数式因式分解，再整体代入已知的的值计算即可． 【详解】解：， 当时，原式． 13. 在古希腊时期，正九边形被认为是完美和神圣的象征，它代表着和谐与平衡．如图1所示的第四套人民币中1角硬币采用了圆内接正九边形的独特设计，这个正九边形的示意图如图2所示，该正九边形的一个内角的度数为______． 【答案】##140度 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，正多边形的性质，熟练掌握多边形的内角和定理，正多边形的每个内角相等是解答． 先求出正九边形的内角和，再利用正九边形的九个内角相等来求解． 【详解】解：正九边形的内角和为：． 又正九边形的九个内角都相等， ． 故答案为：． 14. 已知等腰三角形的底边长和腰长分别是16和10，则这个等腰三角形的面积为____． 【答案】48 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，过A作于H，由等腰三角形的性质推出，由勾股定理得到，由三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】解：如图：， 过A作于H， ∵， ∴， ∴， ∴的面积． 故答案为：48． 15. 如图，在中，，，、分别是线段、上的两个动点，则的最小值为_____________ ． 【答案】 【解析】 【分析】作点关于的对称点，过点作交于点，由对称可知，，由垂线段最短，可知当时的值最小，根据含角的直角三角形的性质可以求出，根据直角三角形的两个锐角互余，可以求出，，根据含角的直角三角形的性质可以求出，利用勾股定理求出的长度即为的最小值． 【详解】解：如下图所示，作点关于的对称点，过点作交于点， 由对称可知， ， 由垂线段最短，可知当时的值最小， ，， ， ， ， ， 由对称可知， ， ， ， ， 的最小值为. 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解不等式组，并将不等式组的解集在数轴上表示出来：． 【答案】， 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式①可得， 解不等式②可得， ∴不等式组的解集是， 图略． 17. 先因式分解，再计算求值：（x－2）2－6（2－x），其中x＝－2． 【答案】（x－2）（x＋4），-8 【解析】 【分析】提取公因式即可分解因式．再将代入求值即可． 【详解】解： 将代入得出：原式． 【点睛】本题考查分解因式和代数式求值．利用提公因式法分解因式是解题关键． 18. 化简求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解：原式 将代入得，原式． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 在平面直角坐标系中有，其中网格均为正方形且边长为1单位长度． （1）画出沿着y轴正方向移动2个单位，沿着x轴正方向移动5个单位的图形； （2）画出关于点O的中心对称图形； （3）的面积为_________． 【答案】（1）如图：即为所求， （2）如图：即为所求， （3） 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质作图即可； （2）根据成中心对称图形的性质作图即可； （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图： 的面积为． 20. 阅读理解 逆向思维法是一种寻找问题解决方案的思维方式，通过逆向思维，能够突破传统思维模式的限制，挖掘出新的解决方案．比如我们已经学习过乘法公式，把它反过来应用，能更便利的解决一些问题． 解决问题 请你认真观察下面这些算式，并结合你发现的规律，完成下列问题： 算式①， 算式②， 算式③， 算式④，…． （1）请写出：算式⑥______；算式⑦______； （2）上述算式的规律可以用文字概括为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”．如果设两个连续奇数分别为和（n为整数），请说明这个规律是成立的． 拓展探究 （3）探究完上述问题后，阳阳认为两个连续偶数的平方差也一定也能被8整除，你认为阳阳的说法成立吗？如果成立，请通过运算推理说明：如果不成立，请举反例说明． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）不成立；见解析 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的应用、数字类规律探索，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． （1）根据题干中所给式子规律写出算式⑤、算式⑥即可； （2）利用平方差公式可得，即可得解； （3）举反例说明即可． 【详解】解：（1）算式⑥：， 算式⑦：； 故答案为：，； （2）， ∵n为整数， ∴两个连续奇数的平方差能被8整除 即“两个连续奇数的平方差能被8整除”是成立的； （3）不成立； 举反例，如， ∵12不是8的倍数， ∴这个说法不成立． 21. 如图，中，是边的垂直平分线交边于点E，过点A作于点A，交延长线于点F，且，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵是边的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得，，再证明得出，即可得证； （2）连接，由线段垂直平分线的性质可得，，则，，由等边对等角可得，最后再结合三角形内角和定理和三角形外角的性质计算即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵是边的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 项目式学习问题：迎接的智能机器人采购与工程规划 背景：2026年亚太经合组织非正式高官会在深圳举行，某街道办拟购买智能机器人沿街巡逻．现有A、B两款巡逻机器人，需解决机器人单价、巡逻工程规定日期及采购方案等问题． 素材一 A款机器人单价比B款贵2万元．若用60万元单独采购A款，采购数量会与用50万元单独采购B款采购数量相等． 素材二 有一项巡逻工程，A机器人单独巡逻恰能在规定日期内完成，B机器人单独巡逻则需超出规定日期10天．若A、B两机器人合作8天，余下工作由B机器人单独完成，可提前2天完工． 素材三 已知A款机器人每日巡逻路程为48千米，每台单价12万元；B款机器人每日巡逻路程为32千米，每台单价10万元．街道办拟购买两种机器人共8台，要求每日巡逻总路程不低于320千米，且总费用不超过90万元． （1）任务一：机器人单价计算 求A款机器人与B款机器人单价，设B款机器人的单价为x万元，请根据素材列出分式方程，不用求解 （2）任务二：巡逻工程规定日期 根据素材二，求该项工程规定日期多少天？ （3）任务三：机器人采购优化 根据素材三，问有多少种购买方案，A，B款机器人各购买多少台？哪种方案最划算？ 【答案】（1） （2） （3）有两种购买方案，方案一：购买A款机器人台，购买B款机器人台；方案二：购买A款机器人台，购买B款机器人3台；方案一更划算 【解析】 【分析】（1）设B款机器人的单价为x万元，则A款机器人的单价为万元，根据“用60万元单独采购A款，采购数量会与用50万元单独采购B款采购数量相等”即可列出方程； （2）设该项工程规定日期天，则A机器人单独完成需要天，B机器人单独完成需要天，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果； （3）设A款机器人购买台，则B款机器人购买台，根据题意列出关于的一元一次不等式组，求解即可． 【小问1详解】 解：设B款机器人的单价为x万元，则A款机器人的单价为万元， 由题意可得； 【小问2详解】 解：设该项工程规定日期天，则A机器人单独完成需要天，B机器人单独完成需要天， ∴A机器人的工作效率为，B机器人的工作效率为， 由题意可得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， ∴该项工程规定日期天； 【小问3详解】 解：设A款机器人购买台，则B款机器人购买台， 由题意可得， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴， ∵为整数， ∴或， 方案一：当时，购买A款机器人台，购买B款机器人台，所花费用为（万元）， 方案二：当时，购买A款机器人台，购买B款机器人3台，所花费用为（万元）， ∵， ∴有两种购买方案，方案一：购买A款机器人台，购买B款机器人台；方案二：购买A款机器人台，购买B款机器人3台；方案一更划算． 23. 如图（1），在直角三角形中，，，，将绕点A顺时针方向旋转，得到，点B的对应点是点D，点C的对应点是点E，直线与边所在的直线相交于点M． （1）判断线段与的数量关系，并证明你的结论． （2）如图（2），作点B关于点A的对称点P，当直线DE经过点P（点P不与点D重合）时，求线段的长． （3）在旋转过程中，当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1），证明见详解 （2） （3）2或18 【解析】 【分析】（1）连接，根据等边对等角可得，再利用，即可作答； （2）连接，先证明，再证明，再利用勾股定理分别在、中表示出，列出等式即可求出，问题随之得解； （3）分情况讨论：当，且在下方时，交于点T，利用平行线的性质以及等角对等边证明，，再在中，利用勾股定理即可求出的长度，此时问题可解；当，且在上方时，连接，证明 ，即可求解． 【小问1详解】 解：，证明如下： 连接，如图， 根据旋转的性质有：，， 即有：， ∵， ∴， ∴， 即有， ∴； 【小问2详解】 解：连接，如图， 根据旋转的性质有：，， ∴， ∵在直角三角形中，，，， ∴； ∵点B关于点A的对称点是点P， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， 在中，， ∴， ∴， 解得：， ∴； 【小问3详解】 解：当，且在下方时，交于点T，如图， ∵， ∴，， 根据旋转的性质有：， ∴， ∴，， ∵在直角三角形中，，，， ∴； 根据旋转的性质有：， ∵在中，，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当，且在上方时，连接，如图， 根据旋转的性质有：，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上：的长为2或18． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，等边对等角，平行线的性质以及全等三角形的判定与性质等知识．难点在（3）问，注意分类讨论，准确画出图形是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $