精品解析：四川达州市渠县第二中学2025-2026学年七年级下学期期中数学试题

四川省达州市渠县第二中学2025-2026学年七年级下学期期中数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 石墨烯是目前世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅有0.00000000034m．这个数用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件是必然事件的是( ) A. 抛掷一枚硬币，四次中有两次正面朝上 B. 射击运动员射击一次，命中十环 C. 打开电视频道，正在播放足球赛 D. 若有理数， 则 3. 下列长度的三根小木棒，不能摆成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 在一个不透明的袋子中，有若干个红球和白球，它们除颜色外完全相同，其中红球有6个，且从中摸出白球的概率为，则袋子中白球的个数为（ ） A. 3个 B. 6个 C. 9个 D. 12个 7. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将一副三角板的直角顶点重合摆放在桌面上，若，则等于（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 计算： _________． 10. 小颖的妈妈煮了50个饺子，其中有8个饺子包有硬币，小颖随机吃一个饺子，吃到包有硬币的饺子的概率为_________. 11. 如图，三条直线，相交于一点，则_____________． 12. 已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为_____． 13. 已知两个三角板按如图方式摆放，其中，点与点重合，则度数是______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算： （1）； （2）； 15. 计算： （1）； （2）运用乘法公式简便计算：． 16. 先化简，后求值：，其中． 17. 计算机上有一个有趣的游戏“扫雷”，下图是扫雷游戏中的一部分(说明：图中数字2表示在以该数字为中心的8个方格中有2个地雷)．小旗表示该方格已被探明有地雷，现在还剩下A，B，C三个方格未被探明，其他地方为安全区(包括有数字的方格)． (1)现在还剩下几个地雷？ (2)A，B，C三个方格中有地雷的概率分别是多少？ 18. 全平方公式：适当变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：， ，即：， 又 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，，求值； （2）若，则 ． （3）如图，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，则图中阴影部分面积是 ． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若中不含的一次项，则的值为 _________ 20. 某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，则_______． 21. 如果是一个完全平方式，则______． 22. 如图，在中，，，点D是边上一动点，将沿直线翻折，使点A落在点F处，连接，交于点E，当是直角三角形时，则的度数为__________． 23. 如图，等边△ABC边长为10，P在AB上，Q在BC延长线，CQ＝PA，过点P作PE⊥AC点E，过点P作PF∥BQ，交AC边于点F，连接PQ交AC于点D，则DE的长为_____． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 已知：如图，在中，，，，与相交于点 （1）求证：． （2）若，，求的长． 25. 配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“和美数”．例如，是“和美数”．理由：因为．再如，（x，y是整数），所以M也是“和美数”． 解决问题： （1）请你再写一个小于的“和美数”______；并判断是否为“和美数”______； （2）若二次三项式（x是整数）是“和美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为______； 探究问题： （1）已知“和美数”（x，y是整数）的值为0，则的值为______； （2）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“和美数”，试求出符合条件的k值． 拓展结论：已知实数x，y满足，求的最小值是______． 26. 如图，，点A直线上，分别与直线EF交于点B、C，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，作与的角平分线交于点G，求的度数； （3）如图3，作与的角平分线交于点H，请问的值是否为定值，若为定值请求出定值，若不是，请说明原因． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市渠县第二中学2025-2026学年七年级下学期期中数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 石墨烯是目前世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅有0.00000000034m．这个数用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于1时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解： 故选C． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 2. 下列事件是必然事件的是( ) A. 抛掷一枚硬币，四次中有两次正面朝上 B. 射击运动员射击一次，命中十环 C. 打开电视频道，正在播放足球赛 D. 若是有理数， 则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件． 【详解】解：A、是可能发生也可能不发生的事件，属于不确定事件，不符合题意； B、是可能发生也可能不发生的事件，属于不确定事件，不符合题意； C、是可能发生也可能不发生的事件，属于不确定事件，不符合题意； D、是必然事件的是：若是实数，则，符合题意； 故选：D． 3. 下列长度的三根小木棒，不能摆成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边的关系，熟练掌握和运用三角形三边的关系是解决本题的关键．三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此逐一分析各项即可． 【详解】A．，不能构成三角形，故选项符合题意； B．，能构成三角形，故选项不符合题意； C．，能构成三角形，故选项不符合题意； D．，能构成三角形，故选项不符合题意； 故选：A． 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂的乘方（）以及同底数幂的乘法（）则解答即可． 【详解】、均为正整数，且， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 5. 如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先利用平行线的性质可得，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：D． 6. 在一个不透明的袋子中，有若干个红球和白球，它们除颜色外完全相同，其中红球有6个，且从中摸出白球的概率为，则袋子中白球的个数为（ ） A. 3个 B. 6个 C. 9个 D. 12个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查概率的计算，分式方程的解法，熟练掌握利用概率求解问题是解题的关键．设白球的个数为x个，由题意可得，进而求解即可． 【详解】解：设白球的个数为x个，由题意得： ， 解得：， 经检验：是方程的根， ∴白球的个数为12个； 故选：D． 7. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】已知两式相减，利用平方差公式化简，即可表示出． 【详解】解：已知两式相减得：， 即， 则， 故选：D． 【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 8. 如图，将一副三角板的直角顶点重合摆放在桌面上，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同角的余角相等，利用该性质可得，熟知同角的余角相等是解题的关键． 【详解】解：， ， ． 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 计算： _________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，单项式乘法，先计算积的乘方运算，再进行单项式乘法运算即可得出答案． 【详解】解：， 故答案为： 10. 小颖的妈妈煮了50个饺子，其中有8个饺子包有硬币，小颖随机吃一个饺子，吃到包有硬币的饺子的概率为_________. 【答案】##0.16 【解析】 【分析】本题考查简单的概率计算，直接利用概率公式求解即可． 【详解】解：∵一共有50个饺子，其中有8个饺子包有硬币， ∴小颖随机吃一个饺子，吃到包有硬币的饺子的概率为， 故答案为：． 11. 如图，三条直线，相交于一点，则_____________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查对顶角性质，平角定义，根据对顶角性质推出，再结合平角定义推出，即可求得． 【详解】解：如图：， ， ， 故答案为：． 12. 已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为_____． 【答案】5 【解析】 【详解】分析：根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，求得第三边的取值范围，再进一步根据第三边是整数求解． 详解：根据三角形的三边关系，得 第三边＞4，而＜6． 又第三条边长为整数， 则第三边是5． 点睛：此题主要是考查了三角形的三边关系，同时注意整数这一条件． 13. 已知两个三角板按如图方式摆放，其中，点与点重合，则的度数是______． 【答案】##15度 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，与三角板有关的计算，根据平行线的性质结合角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：由题意，得： ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算： （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式是混合运算法则． （1）先计算乘方，再计算乘除即可； （2）去括号，合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 15. 计算： （1）； （2）运用乘法公式简便计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先分别计算绝对值、负整数指数幂、零指数幂，再进行加减运算即可得到结果； （2）将原式变形为两数和乘以两数差的形式，利用平方差公式计算即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：． 16. 先化简，后求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据多项式乘多项式法则展开，合并同类项，再根据多项式除以单项式的运算法则把原式化简，把、的值代入计算即可． 【详解】解： 当时，原式． 【点睛】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 17. 计算机上有一个有趣的游戏“扫雷”，下图是扫雷游戏中的一部分(说明：图中数字2表示在以该数字为中心的8个方格中有2个地雷)．小旗表示该方格已被探明有地雷，现在还剩下A，B，C三个方格未被探明，其他地方为安全区(包括有数字的方格)． (1)现在还剩下几个地雷？ (2)A，B，C三个方格中有地雷的概率分别是多少？ 【答案】(1) A就是一个地雷，还有一个可能在B、C的位置；(2) P（A有地雷）=1，P（B有地雷）=，P（C有地雷）=. 【解析】 【分析】（1）由于B、C下面标2，说明它们为中心的8个方格中有2个地雷，而C的右边已经有一个，即可得A就是一个地雷，还有一个可能在B、C的位置，所以现在还剩下2个地雷； （2）根据概率公式即可求解. 【详解】解：（1）由于B、C下面标2，说明它们为中心的8个方格中有2个地雷，而C的右边已经有一个， ∴A就是一个地雷，还有一个可能在B、C的位置. ∴现在还剩下2个地雷； （2）P（A有地雷）=1， P（B有地雷）=， P（C有地雷）=． 18. 全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：， ，即：， 又 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，，求的值； （2）若，则 ． （3）如图，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，则图中阴影部分面积是 ． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景有关知识，代数式求值问题，熟练掌握和运用完全平方公式的变式是解决本题的关键． （1）可直接应用公式变形解决问题； （2）根据完全平方公式将转化为，再整体代入求值即可； （3）设， ，可得，，求出即可． 【小问1详解】 解：， ，即， 又， ， ； 【小问2详解】 解：∵， ∴ 故答案为：； 【小问3详解】 解：设，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 由完全平方公式可得，， ∴， ∴， ∴， 故阴影部分的面积为． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若中不含的一次项，则的值为 _________ 【答案】－8 【解析】 【分析】首先利用多项式乘法法则计算出（x2﹣x+m）（x﹣8），再根据积不含x的一次项，可得含x的一次项的系数等于零，即可求出m的值． 【详解】解：（x2﹣x+m）（x﹣8） =x3﹣8x2﹣x2+8x+mx﹣8m =x3﹣9x2+（8+m）x﹣8m， ∵不含x的一次项， ∴8+m=0， 解得：m=﹣8． 故答案为﹣8． 【点睛】本题主要考查多项式乘以多项式的法则，注意不含某一项就是说含此项的系数等于0． 20. 某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，则_______． 【答案】30 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质和三角形的外角的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键；由平行线的性质可得，由外角的性质可得，即可求得答案． 【详解】解：如图所示，延长交于点F，取直线上一点N，点N位于点A右侧， ， ， ， ， ， 故答案为：30． 21. 如果是一个完全平方式，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方式的特点列出关于的等式，即可求出的值． 【详解】解：， ， 解得． 22. 如图，在中，，，点D是边上一动点，将沿直线翻折，使点A落在点F处，连接，交于点E，当是直角三角形时，则的度数为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质和三角形内角定理及三角形外角定理，掌握三角形内角和为和三角形外角等于不相邻的两个内角和及折叠的性质是解题的关键．由翻折得，再分两种情况讨论，一是为直角三角形，且，则，，则，所以根据；二是为直角三角形，且，此时，点与点重合，则，所以，则，所以根据，即可得到答案． 【详解】解：由翻折得，， 当为直角三角形，且时，如图1， ， ， ， ； 当 为直角三角形，且 时，如图2，此时点与点重合， ，且共线， ， ， 综上所述：的度数为或， 故答案为：或． 23. 如图，等边△ABC边长为10，P在AB上，Q在BC延长线，CQ＝PA，过点P作PE⊥AC点E，过点P作PF∥BQ，交AC边于点F，连接PQ交AC于点D，则DE的长为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】先证明△PFD和△QCD全等，推出FD=CD，再通过证明△APF是等边三角形和PE⊥AC，推出AE=EF，即可推出AE+DC=EF+FD，可得DE= AC，即可推出DE的长度． 【详解】∵PF∥BQ， ∴∠Q＝∠FPD， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°， ∴△APF是等边三角形， ∴AP＝PF， ∵AP＝CQ， ∴PF＝CQ， ∵在△PFD和△QCD中， ， ∴△PFD≌△QCD（AAS）， ∴FD＝CD， ∵PE⊥AC于E，△APF是等边三角形， ∴AE＝EF， ∴AE+DC＝EF+FD， ∴DE＝AC， ∵AC＝10， ∴DE＝AC＝5． 故答案为5． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定（AAS）与性质，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 已知：如图，在中，，，，与相交于点 （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 在和中， ， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，可得，根据直角三角形两锐角互余得，根据等角对等边，可得，最后根据全等三角形的判定方法求证，即可； （2）由（1）得，推出，，根据勾股定理，可得，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴，， 在中，， ∴， ∴． 25. 配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“和美数”．例如，是“和美数”．理由：因为．再如，（x，y是整数），所以M也是“和美数”． 解决问题： （1）请你再写一个小于的“和美数”______；并判断是否为“和美数”______； （2）若二次三项式（x是整数）是“和美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为______； 探究问题： （1）已知“和美数”（x，y是整数）的值为0，则的值为______； （2）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“和美数”，试求出符合条件的k值． 拓展结论：已知实数x，y满足，求的最小值是______． 【答案】解决问题：（1）或或或或或或（写出一个即可）；是；（2）2；探究问题：（1）（2）；拓展结论： 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，掌握公式的形式是解题关键． 解决问题（1）根据题目信息即可求解； （2）根据即可求解； 探究问题（1）根据即可求解； （2）根据即可求解；拓展结论：根据题意可得即可求解； 【详解】解：解决问题（1）： ∵ ∴小于的“和美数”有：或或或或或或（写出一个即可）； ∵， ∴是为“和美数” 故答案为：或或或或或或（写出一个即可）；是； （2）∵ ∴ ∴ 故答案为：2 探究问题（1）： ∵， ∴ ∴ 故答案为： （2）∵， ∴要使S为“和美数”， 则 拓展结论：∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴的最小值是 故答案为： 26. 如图，，点A在直线上，分别与直线EF交于点B、C，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，作与的角平分线交于点G，求的度数； （3）如图3，作与的角平分线交于点H，请问的值是否为定值，若为定值请求出定值，若不是，请说明原因． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由垂直定义可得，然后根据同角的余角相等可得，从而判定两直线平行． （2）根据角平分线的定义和直角三角形两个锐角互余，可得出，再利用三角形内角和为180度即可求解． （3）设，则，再结合角平分线的定义和外角的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 同理， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：的值为定值． 设， 则， ∵平分， ∴， ∴， 同理， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定及性质、直角三角形两锐角互余，解决本题的关键是熟练掌握知识点，找到角的关系，列出等式求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $