精品解析：2026年江苏连云港市灌南县中考适应性考试（二）九年级数学试题

2026年中考适应性考试（二） 九年级数学试题 （满分分值：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填写在答题卡相应位置上） 1. 下列各数中比小的数是（ ） A B. C. D. 0 2. 围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 豆包大模型于2024年5月15日正式发布，上线后迅速引起全球关注．据第三方（）最新监测，2026年3月，月活跃用户稳定在310000000户．数据310000000用科学记数法可表示（ ） A. B. C. D. 4. 某校为了了解七年级800名学生期中数学考试情况，从中抽取了100名学生的期中数学成绩进行了统计，下面判断中不正确的有（ ） A. 这种调查的方式是抽样调查 B. 800名学生是总体 C. 每名学生的期中数学成绩是个体 D. 100名学生的期中数学成绩是总体的一个样本 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. k＞﹣1 B. k＞-1且k≠0 C. k＜1 D. k≥﹣1且k≠0 7. 《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人走步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了步，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形的面积为2，是以为圆心，为半径的弧上的一动点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．则的最大面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 已知一个正方形的面积为2，则其边长为___________． 10. 不透明袋子中装有10个球，其中有2个红球、3个黄球、5个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为_________． 11. 在平面直角坐标系中，将点向下平移2个单位长度，得到的对应点的坐标是______． 12. 因式分解： =__________． 13. 在函数中，自变量的取值范围是_____． 14. 为弘扬传统文化，培养学生的劳动意识，某校在端午节期间举行了包粽子活动，每个粽子的标准质量为．甲、乙两名同学各包了个粽子，每个粽子的质量（单位：）如下： 甲：，，，，； 乙：，，，，． 甲、乙两名同学包的粽子的质量比较稳定的是________（填“甲”或“乙”）． 15. 在校运动会上，小华在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为4米时，达到最大高度3米的B处，小华此次投掷的成绩是_________米． 16. 如图，在菱形中，，，点是边上一动点，连接，是上的中点，连接，则的最小值为_________． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡上指定区域内作答．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 18. 解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 19. 如图，A，B，C，D四点共线，，，．求证：． 20. 某玩具汽车的功率（单位：）为定值，行驶速度（单位：）与所受阻力（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，求该玩具汽车的功率． 21. 从2025年春季学期起，江苏省所有义务教育学校的课间时间延长到15分钟．某校为了解学生课间喜欢的体育活动，在全校范围内抽取部分学生进行调查问卷，并将收集到的信息进行整理，绘制成如图所示不完整的统计图，其中为“羽毛球”， 为“乒乓球”， 为“踢毽子”， 为“跳绳”．请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查共抽取了 名学生； （2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“踢毽子”所对应的圆心角度数； （3）若全校共有1500名学生，请估计全校有多少名学生课间喜欢乒乓球． 22. 中国快递越来越“科技范儿”，某快递公司为了让快递“跑”得更快，新购进型号分拣机器人2台，型号分拣机器人3台．已知型机器人每分钟分拣快递的数量是型机器人每分钟分拣数量的1.5倍，且型机器人分拣900件快递所用时间比型机器人分拣800件所用时间少2分钟． （1）随机抽取一台机器人分拣快递，则抽取到型号分拣机器人的概率为________； （2）随机抽取两台机器人分拣快递，请用画树状图或列表的方法，求抽取的分拣机器人恰好是同一型号分拣机器人的概率； （3）求型机器人每分钟分拣快递多少件？ （4）已知每台型机器人售价3万元，每台B型机器人售价2万元，该分拣仓库计划再采购，两种型号的机器人共50台，且必须要保证这50台机器人每分钟分拣快递的总数量不少于6500件，请根据以上要求，求出采购种型号的机器人多少台时，所需费用最低？最低费用是多少？ 23. 如图，点在上，是直径，，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线． （2）若，求图中阴影部分的面积． 24. 国庆节假期张亮和爸爸去垂钓园钓鱼，已知如图2，斜坡的坡度为长为5米，钓竿与水平线的夹角是，其长为6米，若钓竿与钓鱼线的夹角是． （1）求点到水平面的距离； （2）求浮漂与斜坡下端之间的距离．（结果精确到，参考数据：， 25. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时， ①求该抛物线的对称轴； ②点和是抛物线上的两点，判断和的大小关系：________； （2）如果点和是抛物线上的两点，且对于，，都有，求的取值范围． 26. 数学跨学科综合实践不是“用数学做几道别的学科的题”，而是以数学为骨架，以现实问题为血肉，在不同学科的碰撞中提升综合思维、应用能力和创新意识．它回应了一个根本问题“学数学究竟有什么用？”——答案不再是“为了考高分”，而是“为了理解世界并改变它”．在数学跨学科综合实践学习中，善思学习小组在解决课本上一道练习题：如图①，在直线的同侧有两个和，连接，交于点，过点作直线，则有结论（无需证明）．融创学习小组敏锐的发现它与物理学科电阻知识的结论有点类似．电学有如下两个公式：如图②，在串联电路中，总电阻满足；如图③，在并联电路中，总电阻满足． （1）如图③，已知，总电阻为，求的值； （2）如图③，两个电阻并联在同一电路中，已知，，请用无刻度直尺和圆规在图④中（1个单位长度代表）画出表示该电路图中总阻值的线段长（保留作图痕迹） （3）在如图⑤所示的等效电路图中，，，，为两个滑动变阻器且．电流表表示的数是否存在最小值，若存在，求出电流表示数的最小值．若不存在请说明理由； （4）我们通过作差法可以得到：对于任意非负实数、，都有（当且仅当时取等号）．请直接运用上述结论解决问题：现有两个电阻、，，，记串联后总电阻为，并联后总电阻为，令，直接写出实数取值范围． 27. 在中，，，，点为的中点．在中，，，，连接并延长到点，使，连接． （1）【初步感知】如图1，当点，分别在，上时，求证：； （2）【深入探究】如图2，若将图1中绕点按逆时针方向旋转一定的角度，连接，，，． ①设，求的值； ②当时，的长为_________； ③当四边形面积最小时，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考适应性考试（二） 九年级数学试题 （满分分值：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填写在答题卡相应位置上） 1. 下列各数中比小的数是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据有理数大小比较的法则即可求解． 【详解】解：根据有理数大小比较法则：负数小于0和所有正数，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小， ，，，，且， ， 因此，选项中比小的数是． 2. 围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，本选项不符合题意； B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，本选项不符合题意； C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，本选项不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，本选项符合题意； 故选：D． 3. 豆包大模型于2024年5月15日正式发布，上线后迅速引起全球关注．据第三方（）最新监测，2026年3月，月活跃用户稳定在310000000户．数据310000000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，据此判断即可． 【详解】解：． 4. 某校为了了解七年级800名学生期中数学考试情况，从中抽取了100名学生的期中数学成绩进行了统计，下面判断中不正确的有（ ） A. 这种调查的方式是抽样调查 B. 800名学生是总体 C. 每名学生的期中数学成绩是个体 D. 100名学生的期中数学成绩是总体的一个样本 【答案】B 【解析】 【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体．本题考查的对象是七年级800名学生期中数学考试情，从而找出总体、个体，再根据被收集数据的这一部分对象找出样本． 【详解】解：A、题中的调查方式为抽样调查，选项正确，不符合题意； B、总体为800名学生的期中数学成绩，而不是学生，选项错误，符合题意； C、每名学生的期中数学成绩是个体，选项正确，不符合题意； D、100名学生的期中数学成绩是总体的一个样本，选项正确，不符合题意； 故选B 【点睛】本题主要考查了总体、个体与样本，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本．关键是明确考查的对象，总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小． 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项、单项式乘法、积的乘方、幂的乘方等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据合并同类项、单项式乘法、积乘方、幂的乘方逐项判断即可． 【详解】解：A． ，故该选项错误，不符合题意； B． ，故该选项错误，不符合题意； C． ，故该选项错误，不符合题意； D． ，故该选项正确，符合题意． 故选D． 6. 若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. k＞﹣1 B. k＞-1且k≠0 C. k＜1 D. k≥﹣1且k≠0 【答案】B 【解析】 【分析】由关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，可得且再解不等式即可. 【详解】解： 关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根， 且 综上：且 故选B 【点睛】本题考查是一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，注意解题思维要严密，不要漏掉. 7. 《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人走步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了步，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据走路快的人追上走路慢的人时，两人所走的步数相等，走路快的人走步和走路慢的人走步用的时间相等，即可列出相应的方程组． 【详解】解：设走路快的人走步追上走路慢的人，此时走路慢的人走了步． 根据题意得． 8. 如图，正方形的面积为2，是以为圆心，为半径的弧上的一动点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．则的最大面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点，连接交于点，证明，得到当点在点处时，的值最大，最大值为的长，根据正方形的面积为2，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点，连接交于点， ， ， ， ， 由旋转得：， ， ， ， ， 即当点在点处时，的值最大，最大值为的长， 正方形的面积为2， ， ， ， 的最大面积是． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 已知一个正方形的面积为2，则其边长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的应用，正方形的面积等于边长的平方，所以2的算术平方根即为所求． 【详解】解：已知一个正方形的面积为2，则其边长为． 故答案为： 10. 不透明袋子中装有10个球，其中有2个红球、3个黄球、5个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率公式，用绿球的个数除以球的总个数，即可得到随机取出1个球是绿球的概率． 【详解】解：袋子中共有个除颜色外无其他差别的球，随机取出个球，共有种等可能的结果，其中取出绿球的结果有种， 由概率公式可得． 11. 在平面直角坐标系中，将点向下平移2个单位长度，得到的对应点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了点的平移，掌握平移规律“左减右加，上加下减”是解题的关键． 直接运用平移规律“上加下减”即可解答． 【详解】解：将点向下平移2个单位长度，得到的对应点的坐标是，即， 故答案为：． 12 因式分解： =__________． 【答案】（x+4）（x-4） 【解析】 【分析】 【详解】x2-16=(x+4)(x-4)， 故答案为：(x+4)(x-4) 13. 在函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据分母不能为零，可得 ，即可求解． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故答案为：． 14. 为弘扬传统文化，培养学生的劳动意识，某校在端午节期间举行了包粽子活动，每个粽子的标准质量为．甲、乙两名同学各包了个粽子，每个粽子的质量（单位：）如下： 甲：，，，，； 乙：，，，，． 甲、乙两名同学包的粽子的质量比较稳定的是________（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，理解方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定是解题的关键． 分别求出甲乙的方差，根据方差的意义求解即可． 【详解】解：甲的平均数为：， ∴； 乙的平均数为：， ∴， ∵， ∴甲、乙两名同学包的粽子的质量比较稳定的是甲， 故答案为：甲． 15. 在校运动会上，小华在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为4米时，达到最大高度3米的B处，小华此次投掷的成绩是_________米． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．根据题意可知点的坐标为，顶点为，设抛物线的表达式为，将点A和点B的坐标代入即可求出该抛物线的表达式，最后令，求出此时x的值即可． 【详解】解：建立如图所求的平面直角坐标系， 则点的坐标为，顶点为． 设抛物线的表达式为， 点在抛物线上， ， 解得． 抛物线的表达式为， 令，则， 解得或（不合实际，舍去）． 答：小华此次投掷的成绩是10米． 故选：10． 16. 如图，在菱形中，，，点是边上一动点，连接，是上的中点，连接，则的最小值为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】连接，与交于点O，取的中点M、N，连接，由题意易得是等边三角形，，，则有，然后可得，根据三角形中位线可得，，进而根据等腰三角形三线合一可得垂直平分，则，最后根据三角形三边不等关系可进行求解． 【详解】解：连接，与交于点O，取的中点M、N，连接，如图所示： ∵四边形是菱形，，， ∴是等边三角形，，， ∴， ∵点M、N是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是上的中点， ∴是中位线， ∴， 同理可得：， ∴， ∵点P在上， ∴点N、Q、O三点共线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴要使的值为最小，则需满足的值最小，根据三角形三边不等关系可知，当且仅当点B、Q、D三点共线时，取得最小值，最小值为4； ∴的最小值为4． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡上指定区域内作答．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 18. 解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】，见解析 【解析】 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴原不等式组的解集为， 把它的解集表示在数轴上，如下： 19. 如图，A，B，C，D四点共线，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定；由得，由即可证明全等． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴． 20. 某玩具汽车的功率（单位：）为定值，行驶速度（单位：）与所受阻力（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，求该玩具汽车的功率． 【答案】 【解析】 【分析】先根据反比例函数的定义设出函数解析式，再结合图象上的已知点坐标求出解析式，最后结合物理功率公式求出定值功率． 【详解】解： 由题意，行驶速度与所受阻力是反比例函数关系， 因此设函数解析式为：， 由图象可知，当时，， 将其代入解析式：， 解得：， 物理中，功率公式为， 结合反比例函数关系，可得：， 因此该玩具汽车的功率． 21. 从2025年春季学期起，江苏省所有义务教育学校的课间时间延长到15分钟．某校为了解学生课间喜欢的体育活动，在全校范围内抽取部分学生进行调查问卷，并将收集到的信息进行整理，绘制成如图所示不完整的统计图，其中为“羽毛球”， 为“乒乓球”， 为“踢毽子”， 为“跳绳”．请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查共抽取了 名学生； （2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“踢毽子”所对应的圆心角度数； （3）若全校共有1500名学生，请估计全校有多少名学生课间喜欢乒乓球． 【答案】（1）50 （2）见解析， （3）510名 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的关联，涉及画条形统计图、求扇形统计图中某项的圆心角、用样本估计总体，理解题意，看懂统计图是解答的关键． （1）根据喜欢“羽毛球”的人数及其所占的百分比求解即可； （2）由调查人数减去已知人数可得喜欢“乒乓球”人数，进而补全条形统计图即可；用乘以喜欢“踢毽子”所占的比例可求解圆心角的度数； （3）用总人数乘以抽样调查中喜欢“乒乓球”所占比例求解即可． 【小问1详解】 解：调查人数为（名）， 故答案为：50； 【小问2详解】 解：喜欢“乒乓球”的人数为（名）， 补全条形统计图如图所示： 喜欢“踢毽子”圆心角度数所对应的圆心角度数为； 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计全校有510名学生课间喜欢乒乓球 22. 中国快递越来越“科技范儿”，某快递公司为了让快递“跑”得更快，新购进型号分拣机器人2台，型号分拣机器人3台．已知型机器人每分钟分拣快递的数量是型机器人每分钟分拣数量的1.5倍，且型机器人分拣900件快递所用时间比型机器人分拣800件所用时间少2分钟． （1）随机抽取一台机器人分拣快递，则抽取到型号分拣机器人的概率为________； （2）随机抽取两台机器人分拣快递，请用画树状图或列表的方法，求抽取的分拣机器人恰好是同一型号分拣机器人的概率； （3）求型机器人每分钟分拣快递多少件？ （4）已知每台型机器人售价3万元，每台B型机器人售价2万元，该分拣仓库计划再采购，两种型号的机器人共50台，且必须要保证这50台机器人每分钟分拣快递的总数量不少于6500件，请根据以上要求，求出采购种型号的机器人多少台时，所需费用最低？最低费用是多少？ 【答案】（1） （2） （3）150件 （4）采购A型号机器人30台时所需费用最低，最低费用为130万元 【解析】 【分析】（1）由题意可直接利用概率公式求解； （2）画树状图展示所有20种等可能的结果，再找出抽取的分拣机器人恰好是同一型号分拣机器人的结果数，然后根据概率公式求解； （3）设B型机器人每分钟分拣快递件，则A型机器人每分钟分拣快递件，利用时间关系列方程，然后解分式方程即可； （4）设采购A种型号的机器人台，则采购B种型号的机器人台，所需总费用为万元，总费用表示为，再确定的取值范围，然后根据一次函数的性质解决问题． 【小问1详解】 解：随机抽取一台机器人分拣快递，抽取到B型号分拣机器人的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图： 共有20种等可能的结果，其中抽取的分拣机器人恰好是同一型号分拣机器人的结果数为8； 因此抽取的分拣机器人恰好是同一型号分拣机器人的概率为：； 【小问3详解】 解：设B型机器人每分钟分拣快递件，则A型机器人每分钟分拣快递件， 列方程：， 解方程得：； 经检验，为原方程的解； 当时，； 答：A型机器人每分钟分拣快递150件． 【小问4详解】 解：设采购A种型号机器人台，则采购B种型号的机器人台，所需总费用为万元， 总费用表示为， 根据题意列不等式组：，且； 解得：，且为整数； 由于中，随的增大而增大， 因此当时，取得最小值，最小值为130． 答：采购A种型号的机器人30台时，所需费用最低，最低费用是130万元． 23. 如图，点在上，是直径，，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线． （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，求不规则图形的面积，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理，得到，根据平行线的性质，得到，即可得证； （2）作于点，易得四边形为正方形，解，求出的长，再利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：如图，作于点， 由（1）知：， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 24. 国庆节假期张亮和爸爸去垂钓园钓鱼，已知如图2，斜坡的坡度为长为5米，钓竿与水平线的夹角是，其长为6米，若钓竿与钓鱼线的夹角是． （1）求点到水平面的距离； （2）求浮漂与斜坡下端之间的距离．（结果精确到，参考数据：， 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，解题的关键是构造直角三角形． （1）过点作于点，设，则，利用勾股定理列出方程求解即可； （2）过点的水平线交于点，过点作于点，得出四边形为矩形，得出相等边，然后利用锐角三角函数进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点， ∵斜坡的坡度为， ∴设，则， 根据勾股定理得， 解得， ∴点到水平面的距离为米； 【小问2详解】 解：如图所示，过点的水平线交于点，过点作于点， ∴， ∴四边形为矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴浮漂与斜坡下端之间的距离为米． 25. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时， ①求该抛物线的对称轴； ②点和是抛物线上的两点，判断和的大小关系：________； （2）如果点和是抛物线上的两点，且对于，，都有，求的取值范围． 【答案】（1）①；② （2）的取值范围是或 【解析】 【分析】（1）①根据抛物线的对称轴公式进行求解即可； ②分别把点和代入解析式进行求解即可； （2）由题意易得，然后分当时，当时，进而分类进行求解． 【小问1详解】 解：当时，则二次函数解析式为， ①该抛物线的对称轴为； ②把点和分别代入得： ， ∴； 【小问2详解】 解：∵点和是抛物线上的两点，， ∴， ∵， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述：的取值范围为或． 26. 数学跨学科综合实践不是“用数学做几道别的学科的题”，而是以数学为骨架，以现实问题为血肉，在不同学科的碰撞中提升综合思维、应用能力和创新意识．它回应了一个根本问题“学数学究竟有什么用？”——答案不再是“为了考高分”，而是“为了理解世界并改变它”．在数学跨学科综合实践学习中，善思学习小组在解决课本上一道练习题：如图①，在直线的同侧有两个和，连接，交于点，过点作直线，则有结论（无需证明）．融创学习小组敏锐的发现它与物理学科电阻知识的结论有点类似．电学有如下两个公式：如图②，在串联电路中，总电阻满足；如图③，在并联电路中，总电阻满足． （1）如图③，已知，总电阻为，求的值； （2）如图③，两个电阻并联在同一电路中，已知，，请用无刻度直尺和圆规在图④中（1个单位长度代表）画出表示该电路图中总阻值的线段长（保留作图痕迹） （3）在如图⑤所示的等效电路图中，，，，为两个滑动变阻器且．电流表表示的数是否存在最小值，若存在，求出电流表示数的最小值．若不存在请说明理由； （4）我们通过作差法可以得到：对于任意非负实数、，都有（当且仅当时取等号）．请直接运用上述结论解决问题：现有两个电阻、，，，记串联后总电阻为，并联后总电阻为，令，直接写出实数的取值范围． 【答案】（1） （2）如图，即为总阻值的线段长 （3）存在， （4） 【解析】 【分析】（1）根据，代数值进行计算即可； （2）根据题意在边取，边取，连接，交于点，过点作于点F，即为所求； （3）根据两条支路的电阻分别为，，总电流，再根据二次函数的性质求出最小值即可； （4）先用题目给出的不等式公式求出的最小值，再代入​取值范围的两个边界值比较大小，得到的最大值，从而确定的取值范围． 【小问1详解】 解：，总电阻为，， ， 解得 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：电路中，两条支路的电阻分别为，， ， 设，其中， 总电流， 分母是关于的二次函数，开口向下，当时取得最大值，， 当分母最大时，总电流取最小值， 故； 【小问4详解】 解：串联总电阻：， 并联总电阻：， 则， 由基本不等式，当且仅当，即时取等号， 此时， 当时，， 当时，， 综上所述，． 27. 在中，，，，点为的中点．在中，，，，连接并延长到点，使，连接． （1）【初步感知】如图1，当点，分别在，上时，求证：； （2）【深入探究】如图2，若将图1中的绕点按逆时针方向旋转一定的角度，连接，，，． ①设，求的值； ②当时，的长为_________； ③当四边形的面积最小时，求线段的长． 【答案】（1）点为的中点， ， ， ， ，， ， ， ， ； （2）①；②；③ 【解析】 【分析】（1）证明，得到，，从而得到，进而得到； （2）①证明，即可得到答案； ②设交于点，根据勾股定理求出，由等面积法求出，再根据勾股定理求出，再根据勾股定理即可得到答案； ③根据平行四边形的性质可得当最小时，四边形的面积最小，即当到的距离最小时，最小，四边形的面积最小，过点作于点，从而得到当点在上时，四边形的面积最小，再由勾股定理求出的长，再结合，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①点为的中点， ， ， 四边形为平行四边形， ， ，，，， ， ， ， ， ， ， ； ②设交于点， ，， ， ， ， ， ， ； ③在中，，，， ， 由①得：四边形为平行四边形， 故四边形的面积， 当最小时，四边形的面积最小， 即当到的距离最小时，即点在上，最小为0，四边形的面积最小为0， 第一种情况：过点作于点， ， ， ； ， ， ， ， ； 第二种情况： 如图，过点作于点， ， ， ； ， ， ， ， ． 故 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $