精品解析：2024年江苏省连云港市灌南县中考二模数学试题

2024年江苏省连云港市灌南县中考二模试卷 数 学（A卷） 注意事项： 1． 本试卷满分 120分． 考试时间为 120分钟． 2．答卷时，考生务必将第Ⅰ卷和第Ⅱ卷的答案填涂或书写在答题卡指定位置上，并在本页上方空白处写上姓名和准考证号．考试结束，将试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 （选择题 共 24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列各数中最大的负数是（ ） A. B. C. D. 2. 空气的成分（除去水汽、杂质等）是：氮气约占78%，氧气约占21%，其他微量气体约占1%．要反映上述信息，宜采用的统计图是( ) A. 条形统计图 B. 折线统计图 C. 扇形统计图 D. 频数分布直方图 3. 下列立体图形中，主视图为矩形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在中国共产主义青年团成立100周年之际，某校团委招募志愿者到六个社区开展“书香成都”全民阅读服务活动，报名人数分别为：56，60，63，60，60，72，则这组数据的众数是（ ） A. 56 B. 60 C. 63 D. 72 6. 如图，是的直径，C，D是上两点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过A（﹣3，m），B（5，m），C（0，m+2），D（﹣1，y1），E（﹣5，y2），F（6，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系是（　　） A. y2＜y3＜y1 B. y3＜y1＜y2 C. y2＜y1＜y3 D. y1＜y3＜y2 8. 如图，平面直角坐标系中，长方形，点A，C分别在y轴，x轴的正半轴上，，，，、分别交，于点D、E，且，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 第Ⅱ卷 （非选择题 共 96分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 当______时，分式无意义． 10. 某班共有7名学生干部，其中5名是男生，2名是女生，任意抽一名学生干部去参加一项活动，其中是女生的概率为_____． 11. 将函数的图象平移，使它经过点，则平移后的函数表达式是____． 12. 据调查显示，在2021年的新冠疫情中，其中宿迁居民约逝世人，则用科学记数法表示为 __． 13. 边数为7边形的正7边形内角和为 __． 14. 如图，在平面直角坐标系中，一块墨迹遮挡了横轴位置，只留下部分纵轴和部分正方形网格，该网格的每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点．若格点A、B在函数的图象上，则k的值为______． 15. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴的一个交点坐标，对称轴为直线，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②；③；④抛物线的顶点坐标为；⑤当时，随的增大而增大．其中结论正确的是 __． 16. 如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是_____． 17. 如图，C、D是以为直径的半圆周的三等分点，，P是直径上的任意一点．则阴影部分的面积等于 _______． 18. 如图，菱形ABCD的边AD在x轴上，顶点C（0，2），点B在第一象限．将△COD沿y轴翻折，点D落在x轴上的D'处，CD'交AB于点E且AE：BE＝3：5，若y（k≠0）图象经过点B，则k的值为 _____． 三、简答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤) 19. （1）解不等式组 并在数轴上画出它的解集． （2）先化简，再求值： 其中． 20. 如图在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10． （1）用尺规作图作AB的垂直平分线EF，交AB于点E，交AC于点F（保留作图痕迹,不要求写作法）； （2）在（1）条件下，求EF的长度； 21. 为了了解落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况，某校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间t（单位：h），按劳动时间分为四组：A组：，B组：，C组：，D组：，将收集到的数据整理后，绘制成如图所示的两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次抽样调查样本容量是______，C组所在扇形的圆心角度数是______度； （2）将条形统计图补充完整； （3）该校共有1500名学生，请你估计该校平均每周劳动时间不少于的学生人数． 22. 如图①，一台灯放置在水平桌面上，底座与桌面垂直，底座高，连杆与始终在同一平面内． （1）如图2，转动连杆，使成平角，，求连杆端点D离桌面的高度． （2）将图②中连杆再绕点C逆时针旋转，如图③，此时连杆端点D离桌面的高度减小了多少？（参考数据：） 23. 某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示： 销售单价x（元/千克） 55 60 65 70 销售量y（千克） 70 60 50 40 （1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式； （2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？ （3）当销售单价定为多少时，才能使当天销售利润最大？最大利润是多少？ 24. 第二十四届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日在北京成功举办，北京成为历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的“双奥之城”．北京冬奥会的项目有滑雪（如高山滑雪、单板滑雪等），滑冰（如速度滑冰、花样滑冰等），冰球，冰壶等．如图，有4张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有速度滑冰、花样滑冰、高山滑雪、单板滑雪4种不同的图案，背面完全相同，其中速度滑冰、花样滑冰为冰上项目，高山滑雪、单板滑雪为雪上项目．现将这4张卡片洗匀后正面向下放在桌子上． （1）从中随机抽取1张，求抽出的卡片上恰好是冰上项目图案的概率； （2）若印有速度滑冰、花样滑冰、高山滑雪、单板滑雪4种不同图案的卡片分别用A，B，C，D表示，从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，试用画树状图或列表的方法求出抽到的卡片均是冰上项目图案的概率． 25. 如图，AB是⊙O的直径， P为AB延长线上任意一点，C为半圆ACB的中点，PD切⊙O于点D，连结CD交AB于点E． 求证：（1）PD=PE； （2）． 26. 在中，，， 点D在边上， 过点D作， 交边于点 E， 点Q在线段上， 且． 连接， 并延长交边于点 P． （1）如图1，若，求的长； （2）如图1，若，求的长； （3）如图2，连接，若和互补，求证： 27. 问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是　 　； 探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以70海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以90海里/小时的速度，前进2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离． 28. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点，与反比例函数的图像交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式： （2）点是反比例函数图像在第一象限上的点，且，请求出点的坐标； （3）反比例函数具有对称性，适当平移就可发现许多神奇的现象．将该双曲线在第一象限的一支沿射线方向平移，使其经过点，再将双曲线在第三象限的一支沿射线方向平移，使其经过点，平移后的两条曲线相交于，两点，如图2，此时平移后的两条曲线围成了一只美丽的“眸”，为这只“眸”的“眸径”，请求出“眸径”的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年江苏省连云港市灌南县中考二模试卷 数 学（A卷） 注意事项： 1． 本试卷满分 120分． 考试时间为 120分钟． 2．答卷时，考生务必将第Ⅰ卷和第Ⅱ卷的答案填涂或书写在答题卡指定位置上，并在本页上方空白处写上姓名和准考证号．考试结束，将试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 （选择题 共 24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列各数中最大的负数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小，解题的关键是熟练运用有理数的大小比较法则，注意两个负数，绝对值大的其值反而小． 根据绝对值越大的负数的值越小分析即可． 【详解】∵ ∴． ∴最大的负数是． 故选：A． 2. 空气的成分（除去水汽、杂质等）是：氮气约占78%，氧气约占21%，其他微量气体约占1%．要反映上述信息，宜采用的统计图是( ) A. 条形统计图 B. 折线统计图 C. 扇形统计图 D. 频数分布直方图 【答案】C 【解析】 【分析】在扇形统计图中将总体看做一个圆，用各个扇形表示各部分，能清楚的表示出各部分所占总体的百分比． 【详解】根据题意，将空气（除去水汽、杂质等）看做总体，用各个扇形表示空气的成分（除去水汽、杂质等）中每一种成分所占空气的百分比，由此可以选择扇形统计图． 故选C． 【点睛】本题考查了统计图的选取，扇形统计图的特点及优点，熟练掌握各种统计图的特点及优点是解题的关键． 3. 下列立体图形中，主视图为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据主视图是从物体正面所看得到的图形，分别得出四个几何体的主视图即可解答．熟练掌握基本图形的三视图是解题的关键． 【详解】解：A．球的主视图是圆，故本选项不符合题意； B．圆柱的主视图是矩形，故本选项符合题意； C．圆台的主视图是等腰梯形，故本选项不符合题意； D．圆锥的主视图是三角形，故本选项不符合题意． 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类二次根式判断A，根据零次幂判断B，根据积的乘方判断C，根据同底数幂的除法判断D． 【详解】解：A、不是同类二次根式，不能合并，此选项运算错误，不符合题意； B、，此选项运算错误，不符合题意； C、，此选项运算正确，符合题意； D、，此选项运算错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的加法、零次幂、积的乘方、同底数幂相除，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5. 在中国共产主义青年团成立100周年之际，某校团委招募志愿者到六个社区开展“书香成都”全民阅读服务活动，报名人数分别为：56，60，63，60，60，72，则这组数据众数是（ ） A. 56 B. 60 C. 63 D. 72 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意，根据众数的性质分析即可得到答案． 【详解】根据题意，56，60，63，60，60，72这组数据的众数是：60 故选：B． 【点睛】本题考查了众数的知识；解题的关键是熟练掌握众数的定义： 众数是指在统计分布上具有明显集中趋势点的数值，也就是一组数据中出现次数最多的数值． 6. 如图，是直径，C，D是上两点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理“同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”即可求解. 【详解】解：由题意可知， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理；熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 7. 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过A（﹣3，m），B（5，m），C（0，m+2），D（﹣1，y1），E（﹣5，y2），F（6，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系是（　　） A. y2＜y3＜y1 B. y3＜y1＜y2 C. y2＜y1＜y3 D. y1＜y3＜y2 【答案】A 【解析】 【分析】A（﹣3，m），B（5，m），C（0，m+2）求得抛物线对称轴和开口方向，然后根据二次函数的性质判断可得． 【详解】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过A（﹣3，m），B（5，m），C（0，m+2）， ∴抛物线的对称轴为，抛物线的开口向下， ∴抛物线上离对称轴水平距离越大的点，对应函数值越小， 则y2＜y3＜y1， 故选：A． 【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得到抛物线的对称轴和开口方向是解题的关键． 8. 如图，平面直角坐标系中，长方形，点A，C分别在y轴，x轴的正半轴上，，，，、分别交，于点D、E，且，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，过点E作交延长线于点F，过点F作交延长线于点G，作于H，由“AAS”可证，可得，，通过证明，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点E作交延长线于点F，过点F作交延长线于点G，作于H， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ∴四边形是矩形， ，，， ， ， ， ∴， ∴， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线是本题的关键． 第Ⅱ卷 （非选择题 共 96分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 当______时，分式无意义． 【答案】2 【解析】 【分析】分式无意义的条件是分母等于零．据此解答即可． 【详解】解：分式无意义， ， 解得． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了分式无意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解答本题的关键． 10. 某班共有7名学生干部，其中5名是男生，2名是女生，任意抽一名学生干部去参加一项活动，其中是女生的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】用女生的人数除以总人数即可得答案. 【详解】∵共有7名学生干部，2名是女生， ∴任意抽一名学生干部去参加一项活动，其中是女生的概率为. 故答案为 【点睛】本题考查概率的求法，如果一个事件有n种可能，而这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=. 11. 将函数的图象平移，使它经过点，则平移后的函数表达式是____． 【答案】y＝3x﹣2 【解析】 【分析】根据函数图象平移的性质得出k的值，设出相应的函数解析式，再把经过的点代入即可得出答案． 【详解】解：新直线是由一次函数y＝3x+1的图象平移得到的， ∴新直线的k＝3，可设新直线的解析式为：y＝3x+b． ∵经过点（1，1），则1×3+b＝1， 解得b＝﹣2， ∴平移后图象函数的解析式为y＝3x﹣2； 故答案为y＝3x﹣2． 【点睛】此题考查了一次函数图形与几何变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时k和b的值的变化． 12. 据调查显示，在2021年的新冠疫情中，其中宿迁居民约逝世人，则用科学记数法表示为 __． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 边数为7边形的正7边形内角和为 __． 【答案】##900度 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和，掌握多边形内角和公式是解题的关键． 【详解】解：， 即正七边形内角和为， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，一块墨迹遮挡了横轴的位置，只留下部分纵轴和部分正方形网格，该网格的每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点．若格点A、B在函数的图象上，则k的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，解题的关键是求出点A或点B的坐标；根据图象可知，点A的横坐标为1，点B的横坐标为4，设点A的坐标为，则点的坐标为 再根据点A、B在函数的图象上，列出关于m的方程，解方程得出m的值，最后求出k的值即可． 【详解】解：根据图象可知，点A的横坐标为1，点B的横坐标为4， 设点A的坐标为，则点B的坐标为， 点A、B在函数的图象上， 解得：， 点A的坐标为， ， 故答案：4． 15. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴的一个交点坐标，对称轴为直线，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②；③；④抛物线的顶点坐标为；⑤当时，随的增大而增大．其中结论正确的是 __． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析五条结论的正误是解题的关键． 利用二次函数的性质可以判断各个小题即可完成解答． 【详解】解：抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴是直线， 抛物线与轴的另一个交点坐标为，因此①正确； 当时，， 由图象可知此时，即，因此②不正确； 对称轴是直线，即， ∴，而， ∴，故③正确； 对称轴是直线，即， ∴，而， ∴当时，， ∴顶点为，因此④正确； 在对称轴的左侧，随的增大而减小， 即：当时，随的增大而减小，因此⑤不正确； 综上所述，正确的结论有①③④， 故答案为：①③④． 16. 如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是_____． 【答案】6 【解析】 【详解】解：根据多边形的外角和等于360°和正多边形的每一个外角都相等，得多边形的边数为360°÷60°=6． 故答案为：6. 17. 如图，C、D是以为直径的半圆周的三等分点，，P是直径上的任意一点．则阴影部分的面积等于 _______． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，根据C，D是以为直径的半圆周的三等分点，可得，是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形的面积求解即可． 本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是将阴影部分的面积转化为扇形的面积，难度一般． 【详解】解：连接、． ∵C，D是以为直径的半圆周的三等分点， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案：． 18. 如图，菱形ABCD的边AD在x轴上，顶点C（0，2），点B在第一象限．将△COD沿y轴翻折，点D落在x轴上的D'处，CD'交AB于点E且AE：BE＝3：5，若y（k≠0）图象经过点B，则k的值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出AD=CD=BC=AB，BCAD，即可得出，设AD=CD=BC=AB=5x，则，从而得出，根据轴对称的性质得出OD=OD′=4x，根据勾股定理求得菱形边长，得到B的坐标，代入解析式即可求得k的值． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD＝BC＝AB，BCAD， ∴， ∵AE：BE＝3：5， ∴设AD＝CD＝BC＝AB＝5x，则， ∴， ∴OD＝OD′＝4x， ∵点C（0，2）， ∴OC＝2， ∵， ∴，解得x， ∴BC=5x， ∴B（，2）， ∵y（k≠0）图象经过点B， ∴k2， 故答案为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，反比例函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质，求得B的坐标是解题的关键． 三、简答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤) 19. （1）解不等式组 并在数轴上画出它的解集． （2）先化简，再求值： 其中． 【答案】（1），数轴见解析；（2）， 【解析】 【分析】此题考查了解不等式组和分式的化简求值，熟练掌握运算法则和解题步骤是解题的关键． （1）求出每个不等式的解集，表示在数轴上，找出公共部分即可； （2）先计算括号内的减法，再计算除法即可． 【详解】（1）解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为 （2） 当时，原式 20. 如图在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10． （1）用尺规作图作AB的垂直平分线EF，交AB于点E，交AC于点F（保留作图痕迹,不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，求EF的长度； 【答案】（1）见解析； （2）； 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的作图步骤作图即可； （2）先利用勾股定理求出BC的长；再由△AEF∽△ACB，根据对应边成比例列等式，即可解答； 【小问1详解】 解：如图，分别以点A、B为圆心，以AB长为半径作弧交AB两侧于点M、N，连接MN交AB于E，交AC于F； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂直平分线的作法和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质；掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 21. 为了了解落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况，某校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间t（单位：h），按劳动时间分为四组：A组：，B组：，C组：，D组：，将收集到的数据整理后，绘制成如图所示的两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次抽样调查的样本容量是______，C组所在扇形的圆心角度数是______度； （2）将条形统计图补充完整； （3）该校共有1500名学生，请你估计该校平均每周劳动时间不少于的学生人数． 【答案】（1）100；108 （2）见解析 （3）600名 【解析】 分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体： （1）根据统计图中D组的数据及其人数占比，可以求得本次抽取的人数，即求出样本容量， 并求得C组所对应的圆心角的度数； （2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出B组的人数，从而可以将条形统计图补充完整； （3）根据统计图中的数据，得出C组及D组的人数，即可计算出该校平均每周劳动时间不少于的学生人数． 【小问1详解】 解；名， ∴本次一共调查了100名学生，即样本容量为100， ∴C组所在扇形的圆心角度数是， 故答案为：100；108； 【小问2详解】 解：B组的学生人数为名， 补全统计图如下： 【小问3详解】 解：名， ∴估计该校平均每周劳动时间不少于的学生人数大约有600名． 22. 如图①，一台灯放置在水平桌面上，底座与桌面垂直，底座高，连杆与始终在同一平面内． （1）如图2，转动连杆，使成平角，，求连杆端点D离桌面的高度． （2）将图②中的连杆再绕点C逆时针旋转，如图③，此时连杆端点D离桌面的高度减小了多少？（参考数据：） 【答案】（1）cm；（2）4cm； 【解析】 【分析】（1）如图2中，作BO⊥DE于O．解直角三角形求出OD即可解决问题． （2）作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H．则四边形PCHG是矩形，求出DF，再求出DF-DE即可解决问题． 【详解】解：（1）作BO⊥DE于点F，则∠BOE=∠BOD=90°， ∵DE⊥l，AB⊥l， ∴∠OEA=∠BAE=90°=∠BOE． ∴四边形ABOE为矩形． ∴EO=AB=5cm，EO∥AB， ∵EO∥AB， ∴∠D+∠ABD=180°， ∵∠ABD=143°， ∴∠D=37°， 在Rt△BDO中，∵∠BOD=90°， ∴， ∵DB=DC+BC=20+20=40（cm）， ∴DO=40×0.8=32（cm）， ∴DE=DO+EO=32+5=37（cm）， 答：连杆端点D离桌面l的高度DE为37cm； （2）如图3，作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H．则四边形PCHG是矩形， ∵∠CBH=53°，∠CHB=90°， ∴∠BCH=37°， ∵∠BCD=180°-16°=164°，∠DCP=37°， ∴CH=BCsin53°=20×0.8=16（cm），DP=CDsin37°=20×0.6=12（cm）， ∴DF=DP+PG+GF=DP+CH+AB=12+16+5=33（cm）， ∴下降高度：DE-DF=37-33=4（cm）． 答：此时连杆端点D离桌面l的高度减小了4cm． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 23. 某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示： 销售单价x（元/千克） 55 60 65 70 销售量y（千克） 70 60 50 40 （1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式； （2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？ （3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）；（2）60元/千克或80元/千克；（3）70元/千克；800元 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可； （2）依题意可列出关于销售单价x的方程，然后解一元二次方程组即可； （3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可． 【详解】解：（1）设y与x之间的函数表达式为（），将表中数据（55，70）、（60，60）代入得： ， 解得：， ∴y与x之间的函数表达式为； （2）由题意得：， 整理得， 解得， 答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克； （3）设当天的销售利润为w元，则： ， ∵﹣2＜0， ∴当时，w最大值=800． 答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键． 24. 第二十四届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日在北京成功举办，北京成为历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的“双奥之城”．北京冬奥会的项目有滑雪（如高山滑雪、单板滑雪等），滑冰（如速度滑冰、花样滑冰等），冰球，冰壶等．如图，有4张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有速度滑冰、花样滑冰、高山滑雪、单板滑雪4种不同的图案，背面完全相同，其中速度滑冰、花样滑冰为冰上项目，高山滑雪、单板滑雪为雪上项目．现将这4张卡片洗匀后正面向下放在桌子上． （1）从中随机抽取1张，求抽出的卡片上恰好是冰上项目图案的概率； （2）若印有速度滑冰、花样滑冰、高山滑雪、单板滑雪4种不同图案的卡片分别用A，B，C，D表示，从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，试用画树状图或列表的方法求出抽到的卡片均是冰上项目图案的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求得总的结果数以及目标事件的结果数，然后根据概率公式求解即可； （2）用列表法或树状图表示抽取的结果，求得总的结果数和目标事件的结果数，即可求解． 【小问1详解】 解：因为速度滑冰、花样滑冰属于冬奥会上的冰上项目， 从四张卡片中随机选一张，共有四种等可能结果， 故恰好是冰上项目图案的概率； 【小问2详解】 解：列表分析如下： 或用树状图表示，如下： ∵共有12种等可能的结果，其中抽到的卡片均是冰上项目的图案有2种情况， ∴抽到的卡片均是冰上项目的图案的概率：， 即P（抽到的卡片均是冰上项目的图案）． 【点睛】本题考查了利用概率公式求概率，树状图或列表法求概率，解题的关键是正确求得结果总数以及目标事件的结果数，掌握概率公式． 25. 如图，AB是⊙O的直径， P为AB延长线上任意一点，C为半圆ACB的中点，PD切⊙O于点D，连结CD交AB于点E． 求证：（1）PD=PE； （2）． 【答案】（1）见解析. （2）见解析 【解析】 【详解】证明：(1)连接OC、OD ∴OD⊥PD ，OC⊥AB ∴∠PDE=—∠ODE， ∠PED=∠CEO=—∠C 又∵∠C=∠ODE ∴∠PDE=∠PED ∴PE=PD (2) 连接AD、BD ∴∠ADB= ∵∠BDP=—∠ODB，∠A=—∠OBD 又∵∠OBD=∠ODB ∴∠BDP=∠A ∴PDB∽PAD 26. 在中，，， 点D在边上， 过点D作， 交边于点 E， 点Q在线段上， 且． 连接， 并延长交边于点 P． （1）如图1，若，求的长； （2）如图1，若，求的长； （3）如图2，连接，若和互补，求证： 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理是解题的关键． （1）证明，得到，即可得到答案； （2）过点D作，交于点H，根据平行线成比例定理得到，．设，则，由得到，列方程解方程求出答案即可； （3）证明得到，证明四边形是等腰梯形，再证，得到，进一步得到，即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 【小问2详解】 过点D作，交于点H，如图1， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∵． ∴． 设，则， ∴ ∵， ∴ ∴ 解得 经检验，是方程的解且符合题意， ∴ 【小问3详解】 ∵和互补， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∵， ∴四边形是等腰梯形， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵． ∴ ∴ 27. 问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是　 　； 探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以70海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以90海里/小时的速度，前进2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】问题背景：EF=BE+DF；探索延伸：仍然成立，理由见解析；实际应用：此时两舰艇之间的距离为320海里 【解析】 【分析】问题背景：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，证明△ABE≌△ADG，得到△AEF≌△AGF，证明EF=FG，得到答案； 探索延伸：连接EF，延长AE，BF相交于点C，利用全等三角形的性质证明EF=AE+FB． 实际应用：如图3，连接EF，延长AE，BF相交于点C，首先证明，∠FOE=∠AOB，利用结论EF=AE+BF求解即可． 【详解】解：问题背景：由题意：△ABE≌△ADG，△AEF≌△AGF， ∴BE=DG，EF=GF， ∴EF=FG=DF+DG=BE+FD． 故答案为：EF=BE+FD． 探索延伸：EF=BE+FD仍然成立． 理由：如图2，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG ∵∠B+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180°， ∴∠B=∠ADG， 又∵AB=AD， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG(SAS)， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG， 又∵∠EAF=∠BAD， ∴∠FAG=∠FAD+∠DAG=∠FAD+∠BAE=∠BAD﹣∠EAF， =∠BAD﹣∠BAD=∠BAD， ∴∠EAF=∠GAF． 在△AEF和△AGF中， ， ∴△AEF≌△AGF(SAS)， ∴EF=FG， 又∵FG=DG+DF=BE+DF， ∴EF=BE+FD． 实际应用：如图3，连接EF，延长AE，BF相交于点C， 在四边形AOBC中， ∵∠AOB=30°+90°+20°=140°，∠FOE=70°=∠AOB， 又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=60°+120°=180°，符合探索延伸中的条件， ∴结论EF=AE+FB成立． 即，EF=AE+FB=2×(70+90)=320(海里) 答：此时两舰艇之间的距离为320海里． 【点睛】本题考查的是四边形知识的综合运用，掌握三角形全等的判定和性质、理解方位角的概念是解题的关键，注意规律的总结和运用． 28. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点，与反比例函数的图像交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式： （2）点是反比例函数图像在第一象限上的点，且，请求出点的坐标； （3）反比例函数具有对称性，适当平移就可发现许多神奇的现象．将该双曲线在第一象限的一支沿射线方向平移，使其经过点，再将双曲线在第三象限的一支沿射线方向平移，使其经过点，平移后的两条曲线相交于，两点，如图2，此时平移后的两条曲线围成了一只美丽的“眸”，为这只“眸”的“眸径”，请求出“眸径”的长． 【答案】（1）一次函数和反比例函数的表达式分别为和 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法分别求一次函数和反比例函数的表达式； （2）由，点满足在与直线距离为的直线上，设直线与轴交于点，作作与点，求出点坐标，，根据在直线上方和下方分情况求解，确定过原点且与平行，得到点在，再利用平移得到点在上，列方程组求出交点，即可求出点； （3）由平移方式确定平移后的解析式，将反比例函数平移后组成方程组求出交点，再求出长即可． 【小问1详解】 解：一次函数的图像经过点， 把代入中，得， ， 一次函数的表达式为， 反比例函数的图像经过点， 把代入中，得， ， 把代入反比例函数中，得， ， 反比例函数的表达式为， 一次函数和反比例函数的表达式分别为和； 【小问2详解】 ，， ， ， ， 点满足在与直线距离为的直线上， 如图，设直线与轴交于点，作作与点， 令，则， ， ①当该直线位于直线的下方时，即，过原点且与平行时，上任意一点到的距离都是，即：， ②当该直线位于直线的上方时即，与关于对称，则上任意一点到的距离都是，向下平移两个单位得到：，可知向上平移两个单位得到：， 点在或上， 由，解得：，， 是反比例函数图像在第一象限上的点， 点的坐标为， 由，解得：，， 是反比例函数图像在第一象限上的点， 点的坐标为， 点的坐标为或； 【小问3详解】 一次函数和反比例函数的交点为，， 由，解得：， ， ，， 在第一象限的双曲线向左平移个单位，向下平移了个单位，在第三象限的双曲线向右平移个单位，向上平移了个单位， 平移后的曲线为和， 由，解得：，， 点的坐标为，点的坐标为， ． 【点睛】本题考查了一次函数及反比例函数的性质的应用，待定系数法的应用及交点的求法，勾股定理，两点间距离，解答本题的关键是确定平移后的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$