第五章 图形的轴对称 单元练习 2025--2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 北师大版七年级下图形的轴对称单元卷，覆盖轴对称性质、等腰三角形等核心知识，通过选择、填空、解答题梯度设计，适配单元复习，强化几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10小题|轴对称图形识别（五角星对称轴）、等腰三角形内角计算|基础概念辨析（全等与对称区别）| |填空题|6小题|等边三角形性质、轴对称图形判断|性质应用（角平分线距离计算）| |解答题|7小题|轴对称作图、最短路径、动态几何探究|动手操作与综合推理（折叠和平行线结合）|

北师大版数学7年级下第五章图形的轴对称 一．选择题（共10小题） 1．如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有（　　） A．1条 B．3条 C．5条 D．无数条 2．已知等腰三角形的一个底角的度数为70°，则另外两个内角的度数分别是（　　） A．55°，55°B．70°，40° C．55°，55°或70°，40°D．以上都不对 3．如图△ABC和△ADC关于直线AC成轴对称，∠B＝30°，∠BAD＝46°，则∠BCD=（　　） A．120° B．116° C．106° D．96° 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，BD＝4，则BC=（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 5．下列说法中，不正确的是（　　） A．等腰三角形底边上的高所在直线是它的对称轴 B．两个三角形全等，则这两个三角形一定关于某条直线对称 C．轴对称图形的对应点所连线段必被对称轴垂直平分 D．线段和角都是轴对称图形 6．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，相交于两点M，N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若∠A＝25°，则∠CDB＝（　　） A．25° B．50° C．60° D．90° 7．如图，在△ABC中，∠B＝42°，∠C＝28°，点D为BC边上一点，将△ADC 沿直线AD折叠后，点C落在点E处，若DE∥AB，则∠ADE=（　　） A．111° B．110° C．97° D．121° 8．如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M，N两村， 下面四个方案中，管道总长度最短的是（　　） A．B． C．D． 9．如图，在5×5的正方形网格中，点A、B均在格点上．要在格点上确定一点C， 连结AC和BC，使△ABC是等腰三角形，则网格中满足条件的点C的个数是（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O是∠CAB、∠ABC平分线的交点， 且BC＝8cm，AC＝6cm，AB＝10cm，则点O到边AB的距离为（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 二．填空题（共6小题） 11．如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长 为半径作弧交BC的延长于点E，则∠DEC＝　 　 ． 12．下列图形：①角；②直角三角形；③等边三角形；④线段；⑤等腰三角形 ；⑥平行四边形．其中一定是轴对称图形的有　 　 个． 13．如图，△ABC为等边三角形，P为边BC上一点，在AC上取一点D， 使AD＝AP，若∠APB＝104°，则∠ADP 　 ． 14．如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC， 垂足为D，且OD＝4．若△ABC的面积是34，则△ABC的周长为　 　 ． 15．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在BC的延长线上，G是AC上 一点，且CG＝CD，F是GD上一点，且DF＝DE．若∠A＝100°，则∠E= 　 度． 16．如图，已知∠AOB＝50°，点P为∠AOB内部一点，点M为射线OA、点N为射线OB上的两个动点，当△PMN的周长最小时，则∠MPN＝　 　 ． 三．解答题（共7小题） 17．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网 格纸中，点A、B、C在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′； （2）在l上找一点Q，使得QB+QC最小． 18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E． 求证：∠CBE＝∠BAD． 19．如图，点D、E分别是等边三角形ABC边BC、AC上的点， 且BD＝CE，BE与AD交于点F．求证：AD＝BE． 20．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点F，AE＝AB． （1）若∠C＝40°，求∠BAE的度数；（2）若CD＝5，CF＝4，求△ABC的周长． 21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12．使用尺规进如下作图：在AC和AB上分别截取AM，AN，使AM＝AN，分别以M、N为圆心，以大于的长半径作弧，两弧在∠CAB内交于点F，作射线AF交边BC交于点D．（1）根据作图可知AD是△ABC的一条 　 　 线； （2）过点D作DE⊥AB于点E．若CD＝4，S△ABD＝30，求BE的长． 22．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OA，OB，OC．（1）若△ADE的周长为8cm，△OBC的周长为20cm． ①求线段BC的长；②求线段OA的长． （2）若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数． 23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是边AB上的动点，连接CD，点B关于直线CD的对称点为E，射线AE与射线CD交于点F，设∠BCD＝α． （1）①当α＝20°时，连接CE．则∠AFC的大小是 　 　 ； ②当α＜45°时，求∠AFC的大小． （2）在（1）中②的条件下，若AD＝BC，求证：AF＝CF． 北师大版数学7年级下第五章图形的轴对称 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C A B B A B D B 一．选择题（共10小题） 1．如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有（　　） A．1条 B．3条 C．5条 D．无数条 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：五角星的对称轴共有5条， 故选：C． 【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义． 2．已知等腰三角形的一个底角的度数为70°，则另外两个内角的度数分别是（　　） A．55°，55° B．70°，40° C．55°，55°或70°，40° D．以上都不对 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可． 【解答】解：因为等腰三角形的一个底角的度数为70°， 所以另外两个内角的度数分别是70°，40°， 故选：B． 【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答． 3．如图，已知△ABC和△ADC关于直线AC成轴对称，∠B＝30°，∠BAD＝46°，则∠BCD的度数为（　　） A．120° B．116° C．106° D．96° 【分析】连接BD，求出∠CDB+∠CBD可得结论． 【解答】解：如图，连接BD． ∵△ABC和△ADC关于直线AC成轴对称， ∴△ABC≌△ADC， ∴∠ABC＝∠ADC＝30°， ∵∠BAD＝46°， ∴∠ABD+∠ADB＝134°， ∴∠CDB+∠CBD＝134°﹣30°﹣30°＝74°， ∴∠BCD＝180°﹣74°＝106°， 故选：C． 【点评】本题考查轴对称的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，BD＝4，则BC长是（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【分析】根据等腰三角形的三线合一性质，即可解答． 【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BC＝2BD＝8， 故选：A． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 5．下列说法中，不正确的是（　　） A．等腰三角形底边上的高所在直线是它的对称轴 B．两个三角形全等，则这两个三角形一定关于某条直线对称 C．轴对称图形的对应点所连线段必被对称轴垂直平分 D．线段和角都是轴对称图形 【分析】利用轴对称图形的性质及轴对称图形的定义分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：A、等腰三角形底边上的高所在直线是它的对称轴，故不符合题意； B、两个三角形全等，则这两个三角形不一定关于某条直线对称，故符合题意； C、轴对称图形的对应点所连线段必被对称轴垂直平分，故不符合题意； D、线段和角都是轴对称图形，故不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了轴对称的性质及轴对称图形的定义，关于某直线对称的两个图形是全等形，一定能够重合，但是，两个全等形不一定关于某直线对称．如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．轴对称图形的对称轴至少有一条． 6．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，相交于两点M，N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若∠A＝25°，则∠CDB＝（　　） A．25° B．50° C．60° D．90° 【分析】根据基本尺规作图得到直线MN是线段AB的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据三角形的外角的性质解答即可． 【解答】解：由作图的步骤可知，直线MN是线段AB的垂直平分线， ∴DA＝DB， ∴∠DBA＝∠A＝25°， ∴∠CDB＝∠DBA+∠A＝50°， 故选：B． 【点评】本题考查的是基本尺规作图和线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 7．如图，在△ABC中，∠B＝42°，∠C＝28°，点D为BC边上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落在点E处，若DE∥AB，则∠ADE的度数为（　　） A．111° B．110° C．97° D．121° 【分析】先利用三角形内角和定理可得∠BAC＝110°，再利用折叠的性质可得：∠E＝∠C＝28°，然后利用平行线的性质可得∠BAE＝∠E＝28°，从而可得∠CAE＝82°，再利用折叠的性质可得：∠CAD∠CAE＝41°，最后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答． 【解答】解：∵∠B＝42°，∠C＝28°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝110°， 由折叠得：∠E＝∠C＝28°， ∵AB∥DE， ∴∠BAE＝∠E＝28°， ∴∠CAE＝∠BAC﹣∠BAE＝82°， 由折叠得：∠CAD∠CAE＝41°， ∴∠ADC＝180°﹣∠C﹣∠CAD＝111°， 故选：A． 【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 8．如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M，N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称的性质及两点之间线段最短即可得出结论． 【解答】解：根据题中所给的信息分析可得： 作点M关于直线l的对称点M′，连接M′N交直线l于点Q，则MQ+NQ＝QN+QM′＝NM′，此时管道长度最短． 故选：B． 【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解题的关键． 9．如图，在5×5的正方形网格中，点A、B均在格点上．要在格点上确定一点C，连结AC和BC，使△ABC是等腰三角形，则网格中满足条件的点C的个数是（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【分析】利用格点分别作出等腰三角形，即可得到答案． 【解答】解：如图： 网格中满足条件的点C的个数为8个， 故选：D． 【点评】此题考查的是等腰三角形的判定，正确画出图形是解决此题关键． 10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O是∠CAB、∠ABC平分线的交点，且BC＝8cm，AC＝6cm，AB＝10cm，则点O到边AB的距离为（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【分析】过O点作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接OC，如图，先根据角平分线的性质得到OD＝OE＝OF，再根据三角形面积公式得到•AB•ODAC•OEBC•OFAC•BC，即10×OD6×OD8×OD6×8，然后解方程求出OD即可． 【解答】解：过O点作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接OC，如图， ∵点O是∠CAB、∠ABC平分线的交点， ∴OD＝OE，OD＝OF， ∴OD＝OE＝OF， ∵S△AOB+S△AOC+S△BOC＝S△ABC， ∴•AB•ODAC•OEBC•OFAC•BC， 即10×OD6×OD8×OD6×8， 解得OD＝2， 即点O到边AB的距离为2cm． 故选：B． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形的面积公式． 二．填空题（共6小题） 11．如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长于点E，则∠DEC＝　30°　 ． 【分析】根据等边三角形的性质可得∠ABC＝60°，根据等边三角形三线合一可得∠CBD＝30°，再根据作图可知BD＝ED，进一步可得∠DEC的度数． 【解答】解：在等边△ABC中，∠ABC＝60°， ∵BD是AC边上的高， ∴BD平分∠ABC， ∴， ∵BD＝ED， ∴∠DEC＝∠CBD＝30°， 故答案为：30°． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 12．下列图形：①角；②直角三角形；③等边三角形；④线段；⑤等腰三角形；⑥平行四边形．其中一定是轴对称图形的有　4　 个． 【分析】根据轴对称图形的概念判断即可． 【解答】解：①角；③等边三角形；④线段；⑤等腰三角形是轴对称图形， 故答案为：4． 【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可完全重合． 13．如图，△ABC为等边三角形，P为边BC上一点，在AC上取一点D，使AD＝AP，若∠APB＝104°，则∠ADP的度数是 　68°　 ． 【分析】由等边三角形的性质可得∠B＝∠BAC＝60°，从而可求∠BAP＝16°，则可求得∠PAD＝44°，再由等腰三角形的性质可求∠ADP的度数． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠BAC＝60°， ∵∠APB＝104°， ∴∠BAP＝180°﹣∠B﹣∠APB＝16°， ∴∠PAD＝∠BAC﹣∠BAP＝44°， ∵AD＝AP， ∴∠APD＝∠ADP， ∴∠ADP（180°﹣∠PAD）＝68°． 故答案为：68°． 【点评】本题主要考查等边三角形的性质，解答的关键是由得∠PAD的度数． 14．如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC，垂足为D，且OD＝4．若△ABC的面积是34，则△ABC的周长为　17　 ． 【分析】根据角平分线的性质得到点O到△ABC各边的距离为4，利用三角形面积公式得到AB×4AC×4BC×4＝34，然后计算出AB+AC+BC即可． 【解答】解：∵点O为△ABC的两条角平分线的交点， ∴点O到△ABC各边的距离相等， 而OD⊥BC，OD＝4， ∴点O到△ABC各边的距离为4， ∵S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC， ∴AB×4AC×4BC×4＝34， ∴AB+AC+BC＝17， 即△ABC的周长为17， 故答案为：17． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 15．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在BC的延长线上，G是AC上一点，且CG＝CD，F是GD上一点，且DF＝DE．若∠A＝100°，则∠E的大小为　10　 度． 【分析】由DF＝DE，CG＝CD，得出∠E＝∠DFE，∠CDG＝∠CGD，再由三角形的外角的意义得出∠GDC＝∠E+∠DFE＝2∠E，∠ACB＝∠CDG+∠CGD＝2∠CDG，从而得出∠ACB＝4∠E，进一步求得答案即可． 【解答】解：∵DF＝DE，CG＝CD， ∴∠E＝∠DFE，∠CDG＝∠CGD， ∵GDC＝∠E+∠DFE，∠ACB＝∠CDG+∠CGD， ∴GDC＝2∠E，∠ACB＝2∠CDG， ∴∠ACB＝4∠E， ∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°， ∴∠ACB＝40°， ∴∠E＝40°÷4＝10°． 故答案为：10． 【点评】此题考查等腰三角形的性质以及三角形外角的意义，解题的关键是反复用等腰三角形的性质确定各角之间的关系． 16．如图，已知∠AOB＝50°，点P为∠AOB内部一点，点M为射线OA、点N为射线OB上的两个动点，当△PMN的周长最小时，则∠MPN＝　80°　 ． 【分析】作P点关于OA的对称点E，连接EP，EO，EM，得ME＝MP，∠MPO＝∠OEM；作P点关于OB的对称点F，连接NF，PF，OF，得PN＝FN，∠OPN＝∠OFN；根据PM+PN+MN＝EM+NF+MN≥EF；E，M，N，F共线时，△PMN周长最短，再根据对称性质，即可求出∠MPN的角度． 【解答】解：作P点关于OA的对称点E，连接EP，EO，EM； ∴EM＝MP，∠MPO＝∠OEM，∠EOM＝∠MOP， 作P点关于OB的对称点F，连接NF，PF，OF， ∴PN＝FN，∠OPN＝∠OFN，∠PON＝∠NOF， ∴PM+PN+MN＝EM+NF+MN≥EF， 当E，M，N，F共线时，△PMN周长最短， 又∵∠EOF＝∠EOM+∠MOP+∠PON+∠NOF， ∠AOB＝∠MOP+∠PON， ∴∠EOF＝2∠AOB， 又∵∠AOB＝50°， ∴∠EOF＝100°， ∴在△EOF中，∠OEM+∠OFN+∠EOF＝180°， ∴∠OEM+∠OFN＝180°﹣100°＝80°， ∵∠MPO＝∠OEM，∠OPN＝∠OFN， ∴∠MPO+∠OPN＝80°， ∵∠MPN＝∠MPO+OPN＝80°， 故答案为：80°． 【点评】本题考查轴对称﹣最短路径问题，解题的关键是做出对称点，找到共线时路径最短，利用对称性质，对角等量代换． 三．解答题（共7小题） 17．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格纸中，点A、B、C在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′； （2）在l上找一点Q，使得QB+QC最小． 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可． （2）连接B'C，交直线l于点Q，则点Q即为所求． 【解答】解：（1）如图，△AB′C'即为所求. （2）如图，连接B'C，交直线l于点Q，连接BQ， 此时QB+QC最小， 则点Q即为所求． 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE＝∠BAD． 【分析】根据三角形三线合一的性质可得∠CAD＝∠BAD，根据同角的余角相等可得：∠CBE＝∠CAD，再根据等量关系得到∠CBE＝∠BAD． 【解答】证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD， ∵BE⊥AC， ∴∠BEC＝∠ADC＝90°， ∴∠CBE＝90°﹣∠C，∠CAD＝90°﹣∠C， ∴∠CBE＝∠CAD， ∴∠CBE＝∠BAD． 【点评】考查了余角的性质，等腰三角形的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合． 19．如图，点D、E分别是等边三角形ABC边BC、AC上的点，且BD＝CE，BE与AD交于点F．求证：AD＝BE． 【分析】根据等边三角形的性质得∠ABD＝∠C＝60°，AB＝BC，由此可依据“SAS”判定△ABD和△BCE全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论． 【解答】证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABD＝∠C＝60°，AB＝BC， 在△ABD和△BCE中， ， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 20．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点F，AE＝AB． （1）若∠C＝40°，求∠BAE的度数； （2）若CD＝5，CF＝4，求△ABC的周长． 【分析】（1）先利用线段垂直平分线的性质可得EA＝EC，从而可得∠C＝∠CAE＝40°，然后利用三角形的外角性质可得∠AEB＝80°，从而利用等腰三角形的性质可得∠AEB＝∠B＝80°，最后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答； （2）先利用线段垂直平分线的性质可得AC＝2CF＝8，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得DE＝BD，再利用等量代换可得CE＝AB，最后利用线段的和差关系以及三角形的周长公式进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）∵EF是AC的垂直平分线， ∴EA＝EC， ∴∠C＝∠CAE＝40°， ∵∠AEB是△ACE的一个外角， ∴∠AEB＝∠C+∠CAE＝80°， ∵AE＝AB， ∴∠AEB＝∠B＝80°， ∴∠BAE＝180°﹣∠AEB﹣∠B＝20°， ∴∠BAE的度数为20°； （2）∵EF是AC的垂直平分线， ∴AC＝2CF＝8， ∵AE＝AB，AD⊥BE， ∴DE＝BD， ∵AE＝CE， ∴CE＝AB， ∵CD＝5， ∴CE+DE＝5， ∴AB+BD＝5， ∴△ABC的周长＝AC+AB+BC ＝8+AB+BD+DE+CE ＝8+5+5 ＝18， 即△ABC的周长为18． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12．使用尺规进如下作图：在AC和AB上分别截取AM，AN，使AM＝AN，分别以M、N为圆心，以大于的长半径作弧，两弧在∠CAB内交于点F，作射线AF交边BC交于点D． （1）根据作图可知AD是△ABC的一条 　角平分　 线； （2）过点D作DE⊥AB于点E．若CD＝4，S△ABD＝30，求BE的长． 【分析】（1）根据角平分线的作法可得； （2）根据角平分线的得出DE的长，根据三角形的面积公式求出AB的长，再根据HL证明Rt△ACD≌Rt△AED得出AE的长即可得出结果． 【解答】解：根据作图可知AD是△ABC的一条角平分线， 故答案为：角平分； （2）∵AD是△ABC的角平分线，CD⊥AC，DE⊥AB， ∴DE＝CD＝4， ∵S△ABD＝30， ∴， ∴AB＝15， 在Rt△ACD与Rt△AED中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AE＝AC＝12， ∴BE＝AB﹣AE＝15﹣12＝3． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，证明Rt△ACD≌Rt△AED是解题的关键． 22．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OA，OB，OC． （1）若△ADE的周长为8cm，△OBC的周长为20cm． ①求线段BC的长； ②求线段OA的长． （2）若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数． 【分析】（1）①根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，根据三角形的周长公式计算即可； ②根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可； （2）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质进行计算． 【解答】解：（1）①∵l1是AB边的垂直平分线， ∴DA＝DB， ∵l2是AC边的垂直平分线， ∴EA＝EC， BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝8cm； ②∵l1是AB边的垂直平分线， ∴OA＝OB， ∵l2是AC边的垂直平分线， ∴OA＝OC， ∵OB+OC+BC＝20cm， ∴OA＝OB＝OC＝6cm； （2）∵∠BAC＝120°， ∴∠ABC+∠ACB＝60°， ∵DA＝DB，EA＝EC， ∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB， ∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝120°﹣60°＝60°． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是边AB上的动点，连接CD，点B关于直线CD的对称点为E，射线AE与射线CD交于点F，设∠BCD＝α． （1）①当α＝20°时，连接CE．则∠AFC的大小是 　45°　 ； ②当α＜45°时，求∠AFC的大小． （2）在（1）中②的条件下，若AD＝BC，求证：AF＝CF． 【分析】（1）①连接CE，根据轴对称的性质得BC＝CE，CD⊥BE，可得∠BCD＝∠ECD＝α＝20°，则∠ACE＝90°﹣2α＝50°，由AC＝BC得BC＝CE＝AC，根据等腰直角三角形以及三角形外角的性质即可求解； ②利用①的方法即可求解； （2）由AD＝BC，AC＝BC得AC＝AD，则∠ACD＝∠ADC＝∠ACB﹣∠BCD＝90°﹣α，由三角形外角的性质得∠ADC＝∠BCD+∠ABC＝α+45°，可得α＝22.5°，∠ACD＝67.5°，由（1）中②得∠AFC＝45°，根据三角形的内角和定理得∠CAF＝180°﹣∠AFC﹣∠ACD＝67.5°，则∠CAF＝∠ACD，即可得AF＝CF． 【解答】（1）解：①连接CE， ∵点B关于直线CD的对称点为E， ∴BC＝CE，CD⊥BE， ∴∠BCD＝∠ECD＝α＝20°， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴BC＝CE＝AC，∠ACE＝90°﹣2α＝50°， ∴∠AEC（180°﹣50°）＝65°， ∵∠AEC＝∠ECF+∠AFC， ∴∠AFC＝∠AEC﹣∠ECF＝65°﹣20°＝45°． 故答案为：45°； ②当α＜45°时，连接CE， ∵点B关于直线CD的对称点为E， ∴BC＝CE，CD⊥BE， ∴∠BCD＝∠ECD＝α， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴BC＝CE＝AC，∠ACE＝90°﹣2α， ∴∠AEC[180°﹣（90°﹣2α）]＝45°+α， ∵∠AEC＝∠ECF+∠AFC＝α+∠AFC， ∴∠AFC＝∠AEC﹣∠ECF＝45°+α﹣α＝45°； （2）证明：∵AD＝BC，AC＝BC， ∴AC＝AD， ∴∠ACD＝∠ADC＝∠ACB﹣∠BCD＝90°﹣α， ∵∠ADC＝∠BCD+∠ABC＝α+45°， ∴90°﹣α＝α+45°， ∴α＝22.5°， ∴∠ACD＝67.5°， 由（1）中②得，∠AFC＝45°， ∴∠CAF＝180°﹣∠AFC﹣∠ACD＝67.5°， ∴∠CAF＝∠ACD， ∴AF＝CF． 【点评】本题是三角形综合题，考查的是轴对称的性质、等腰直角三角形的性质、三角形外角的性质，利用等腰直角三角形以及三角形外角的性质是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/6/15 0:04:10；用户：姚怀洪；邮箱：13927028828；学号：38450005 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $