第5章 图形的轴对称 单元测试 2025-2026学年北师大版七年级下册数学

**基本信息** 聚焦图形的轴对称单元核心知识，通过交通标志、方格图案等现实情境，设置选择、填空、解答梯度题型，覆盖轴对称性质、尺规作图及应用，适配单元复习巩固，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10小题|轴对称图形识别、性质判定、最短路径|结合交通标志情境（第1题），考查基础概念与空间观念| |填空题|5小题|垂直平分线、角平分线、折叠对称|方格图案轴对称设计（第11题），强化几何直观| |解答题|8小题|尺规作图、全等证明、综合应用|问题探究与拓展（第23题游乐场情境），提升推理能力与应用意识|

第五章 图形的轴对称单元试卷 一．选择题（共10小题） 1．下列交通标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列说法错误的是（　　） A．关于某直线成轴对称的两个图形一定能完全重合 B．线段是轴对称图形 C．全等的两个三角形一定关于某直线成轴对称 D．轴对称图形的对称轴至少有一条 3．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任一点（P不与AA′共线），下列结论中错误的是（　　） A．△AA′P是等腰三角形 B．MN垂直平分AA′，CC′ C．△ABC与△A′B′C′面积相等 D．直线AB、A′B′的交点不一定在MN上 4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（　　） ①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC＝1：3． A．1 B．2 C．3 D．4 5．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，BC＝30，BD：CD＝3：2，则点D到AB的距离为（　　） A．18 B．12 C．15 D．16 7．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图： ①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线MN交AB于点D，连接CD． 若CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB的度数为（　　） A．90° B．95° C．100° D．105° 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（　　） A．15 B．30 C．45 D．60 9．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（　　） A．10 B．7 C．5 D．4 第6题图 第7题图 第8题图 第9题图 10．如图，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使PA+PB最小，则下列图形正确的是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题） 11．如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有　 　 种． 12．如图，DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，若∠BAC＝110°，则∠DAE＝ 　 　 °． 13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝62°，D、E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE折叠得△FDE，且满足EF∥AB，则∠1＝　 　 ． 14．如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2＝15，则△PMN的周长为 　 　 ． 15．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是 　 　 ． 第12题图 第13题图 第14题图 第15题图 三．解答题（共8小题） 16．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°． （1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D； ②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数． 17．如图，网格中的△ABC与△DEF为轴对称图形． （1）利用网格线作出△ABC与△DEF的对称轴l； （2）如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出△ABC的面积＝　 　 ； （3）利用网格线在l上找一点P，使得PA+PC的长度最小． （4）利用网格线在l上找一点Q，使得QE＝QF． 18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE＝∠BAD． 19．如图所示，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC． （1）若△APQ的周长为12，求BC的长；（2）∠BAC＝105°，求∠PAQ的度数． 20．如图，在14×6的网格中，每个小正方形的边长都为1．网格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．已知直线l及格点A，B，连接AB． （1）画出线段AB关于直线l的轴对称线段A′B′； （2）在直线l上是否存在一点P，使PA+PB的值最小．若存在，请画出点P；若不存在，请说明理由； （3）在直线l的左侧存在格点C，使△ABC为等腰三角形，这样的格点C共有　 　 个． 21．如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE． （1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数； （2）若△ABC周长13cm，AC＝6cm，求DC长． 22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF． （1）求证：CF＝EB； （2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由． 23．【问题发现】 （1）如图①，在△PAB中，过点P作MN⊥AB，垂足为点C，且AC＝BC．若PB＝6，则PA的值为 　 　 ； 【问题探究】 （2）如图②，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，垂足分别为M，N，BC＝25，连接AD、AE，求△ADE的周长； 【拓展应用】 （3）如图③，△ABC是一个游乐场的平面示意图，A为游乐场大门，其中AB＝AC＝400米，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC交AC于点D．现分别在BD、BC上各取一点P、Q，且满足BP＝CQ，计划沿AP、AQ修建两条轨道交通以方便游客游玩，已知两条轨道造价均为每米350元，求修建这两条轨道总费用的最小值． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；D选项中的图形能找到这样的一条直线（穿过圆中心竖直的直线或水平的直线），图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 2．【解答】解：A、关于某直线成轴对称的两个图形一定能完全重合，正确，故本选项错误； B、线段是轴对称图形，正确，故本选项错误； C、全等的两个三角形不一定关于某直线成轴对称，但关于某直线成轴对称的两个三角形一定，故本选项正确； D、轴对称图形的对称轴至少有一条，正确，故本选项错误． 故选：C． 3．【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任意一点， ∴△AA′P是等腰三角形，MN垂直平分AA′，CC′，这两个三角形的面积相等，A、B、C选项正确； 当AB∥A'B'∥MN时，AB与A'B'没有交点．D错误； 故选：D． 4．【解答】解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线． 故①正确； ②如图，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠CAB＝60°． 又∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠1＝∠2∠CAB＝30°， ∴∠3＝90°﹣∠2＝60°，即∠ADC＝60°． 故②正确； ③∵∠1＝∠B＝30°， ∴AD＝BD， ∴点D在AB的中垂线上． 故③正确； ④∵如图，在直角△ACD中，∠2＝30°， ∴CDAD， ∴BC＝CD+BDAD+ADAD，S△DACAC•CDAC•AD． ∴S△ABCAC•BCAC•ADAC•AD， ∴S△DAC：S△ABCAC•AD：AC•AD＝1：3． 故④正确． 综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个． 故选：D． 5．【解答】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等， 根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处． 故选：C． 6．【解答】解：作DE⊥AB于E， ∵BD：CD＝3：2，BC＝30， ∴CD＝12， ∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴CD＝DE＝12， 故选：B． 7．【解答】解：∵CD＝AC，∠A＝50°， ∴∠ADC＝∠A＝50°， 根据题意得：MN是BC的垂直平分线， ∴CD＝BD， ∴∠BCD＝∠B， ∴∠B∠ADC＝25°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°． 故选：D． 8．【解答】解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E， 又∵∠C＝90°， ∴DE＝CD， ∴△ABD的面积AB•DE15×4＝30． 故选：B． 9．【解答】解：作EF⊥BC于F， ∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC， ∴EF＝DE＝2， ∴S△BCEBC•EF5×2＝5， 故选：C． 10．【解答】解：∵点A，B在直线l的同侧， ∴作A点关于l的对称点A'，连接A'B与l的交点为P， 由对称性可知AP＝A'P， ∴PA+PB＝PA′+PB＝A′B为最小， 故选：B． 二．填空题（共5小题） 11．【解答】解：在1，2，3处分别涂黑都可得一个轴对称图形， 故涂法有3种， 故答案为：3． 12．【解答】解：∵∠BAC＝110°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣110°＝70°， ∵DF垂直平分AB，EG垂直平分AC， ∴DA＝DB，EA＝EC， ∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C， ∴∠DAB+∠EAC＝∠B+∠C＝70°， ∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝40°， 故答案为：40． 13．【解答】解：∵△ADE沿DE折叠得△FDE， ∴∠F＝∠A，∠ADE＝∠FDE， ∵EF∥AB， ∴∠F＝∠BDF， ∴∠A＝∠BDF， ∵∠C＝90°，∠B＝62° ∴∠A＝90°﹣∠B＝28°， ∴∠BDF＝28°， ∴∠ADF＝180°﹣∠BDF＝152°， ∴∠ADE∠ADF＝76°， ∴∠1＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝180°﹣28°﹣76°＝76°． 故答案为：76°． 14．【解答】解：∵P点关于OA的对称是点P1，P点关于OB的对称点P2， ∴PM＝P1M，PN＝P2N． ∴△PMN的周长为PM+PN+MN＝MN+P1M+P2N＝P1P2＝15． 故答案为：15 15．【解答】解： 过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA， ∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC， ∴OE＝OD，OD＝OF， 即OE＝OF＝OD＝4， ∴△ABC的面积是：S△AOB+S△AOC+S△OBC AB×OEAC×OFBC×OD 4×（AB+AC+BC） 4×21＝42， 故答案为：42． 三．解答题（共8小题） 16．【解答】解：（1）如图，点D，射线AE即为所求． （2）∵DF垂直平分线段AB， ∴DB＝DA， ∴∠DAB＝∠B＝30°， ∵∠C＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°， ∴∠CAD＝110°﹣30°＝80°， ∵AE平分∠DAC， ∴∠DAE∠DAC＝40°． 17．【解答】解：（1）如图，直线l即为所求． （2）△ABC的面积为6﹣1﹣2＝3． 故答案为：3． （3）如图，连接CD，交直线l于点P，连接AP， 此时PA+PC＝PD+PC＝CD，为最小值， 则点P即为所求． （4）如图，作线段EF的垂直平分线，交直线l于点Q， 则点Q即为所求． 18．【解答】证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD， ∵BE⊥AC， ∴∠BEC＝∠ADC＝90°， ∴∠CBE＝90°﹣∠C，∠CAD＝90°﹣∠C， ∴∠CBE＝∠CAD， ∴∠CBE＝∠BAD． 19．【解答】解：（1）∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC， ∴AP＝BP，AQ＝CQ， ∴△APQ的周长＝AP+PQ+AQ＝BP+PQ+CQ＝BC， ∵△APQ的周长为12， ∴BC＝12； （2）∵AP＝BP，AQ＝CQ， ∴∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ， ∵∠BAC＝105°， ∴∠BAP+∠CAQ＝∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣105°＝75°， ∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）＝105°﹣75°＝30°． 20．【解答】解：（1）如图，线段A′B′即为所求作； （2）如图，点P即为所求作； （3）如图，点C共有5个． 故答案为：5． 21．【解答】解：（1）∵AD垂直平分BE，EF垂直平分AC， ∴AB＝AE＝EC， ∴∠C＝∠CAE， ∵∠BAE＝40°， ∴∠AED＝70°， ∴∠C∠AED＝35°； （2）∵△ABC周长13cm，AC＝6cm， ∴AB+BE+EC＝7cm， 即2DE+2EC＝7cm， ∴DE+EC＝DC＝3.5cm． 22．【解答】证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴DC＝DE， 在Rt△DCF和Rt△DEB中， ， ∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL）， ∴CF＝EB； （2）AF+BE＝AE． ∵Rt△DCF≌Rt△DEB， ∴DC＝DE， ∴Rt△DCA≌Rt△DEA（HL）， ∴AC＝AE， ∴AF+FC＝AE， 即AF+BE＝AE． 23．【解答】解：（1）∵MN⊥AB， ∴∠PCA＝∠PCB＝90°， 在△ACP和△BCP中， ， ∴△ACP≌△BCP（SAS）， ∴PA＝PB＝6， 故答案为：6； （2）∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E， ∴AD＝BD，CE＝AE， ∴△ADE的周长为AD+DE+AE＝BD+DE+EC＝BC＝25； （3）∵AB＝AC，∠BAC＝100°， ∴∠ABC＝∠ACB＝40°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD＝20°， 如图③：作线段CE，使∠ECQ＝∠PBA＝20°，EC＝AB，连接QE，AE， ∴∠ACE＝∠ACB+∠ECQ＝40°+20°＝60°， ∵AB＝AC，EC＝AB， ∴AC＝EC， ∴△ACE是等边三角形， ∴EC＝AE， ∴AB＝AE， 在△ECQ和△ABP中， ， ∴△ECQ≌△ABP（SAS）， ∴QE＝AP， ∴AP+AQ＝QE+AQ≥AE， ∴AP+AQ的最小值为AE， ∴AE＝AB＝400米， ∵两条轨道造价均为每米350元， ∴修建这两条轨道总费用的最小值为400×350＝14000（元）． 答：修建这两条轨道总费用的最小值为14000元． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/6 21:52:50；用户：微信用户；邮箱：orFmNt1uy85bWa1Uz1u8NnBbvqyQ@weixin.jyeoo.com；学号：427860 学科网（北京）股份有限公司 $