第五章图形的轴对称2025-2026学年北师大版数学七年级下册

**基本信息** 以图形的轴对称为核心，通过视力表字母对称判断、电子钟镜像时间等生活情境，结合等腰三角形动态探究、角平分线性质应用等几何问题，分层考查抽象能力、几何直观与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10小题|轴对称概念、等腰三角形性质、垂直平分线|第1题以视力表E判断轴对称，第3题分类讨论等腰三角形高的位置，体现生活联系与思维严谨性| |填空题|6小题|镜面对称、垂直平分线周长计算、角平分线面积比|第11题电子钟镜像时间，第13题角平分线分三角形面积比，考查数学眼光与模型意识| |解答题|7小题|尺规作图、全等证明、动态几何探究|第22题从等边三角形到等腰三角形的拓展探究，第23题等腰三角形中动点与全等、等腰分类讨论，培养推理能力与创新意识|

北师大数学七年级下第五章图形的轴对称 一．选择题（共10小题） 1．视力表中的字母“E”有各种不同的摆放方向，下面每种组合中的两个字母“E”不能关于直线l成轴对称的是（　　） A．B． C．D． 2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是50°，则这个等腰三角形的底角为（　　） A．70° B．20° C．70°或20° D．40°或140° 4．如图，在纸上画有∠AOB，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上，则（　　） A．d1与d2一定相等B．d1与d2一定不相等 C．l1与l2一定相等D．l1与l2一定不相等 5．如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是（　　） A．10 B．12 C．13 D．15 6．如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正 方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有（　　）种． A．4 B．5 C．6 D．7 7．小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图． 其中△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点E，F 分别是底边AB，CD的中点，OE⊥OF．下列推断错误的是（　　） A．OB⊥OD B．∠BOC＝∠AOB C．OE＝OF D．∠BOC+∠AOD＝180° 8．对于问题：如图1，已知∠AOB，只用直尺和圆规判断∠AOB是否 为直角？小意同学的方法如图2：在OA、OB上分别取C、D，以点C为 圆心，CD长为半径画弧，交OB的反向延长线于点E，若测量得OE＝OD， 则∠AOB＝90°，则小意同学判断的依据是（　　） A．垂线段最短 B．等腰三角形“三线合一” C．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D．等腰三角形的两个底角相等 9．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，且顶点在格点上，在△ABC内 部有E、F、G、H四个格点，到△ABC三个顶点距离相等的点是（　　） A．点E B．点F C．点G D．点H 10．如图，△ABC的面积为18cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P， 连接PC，则△PBC的面积为（　　） A．7cm2 B．8cm2 C．9cm2 D．10cm2 二．填空题（共6小题） 11．小华从镜子中看到身后电子钟示数如图所示，正确时间应是 　 　 ． 12．如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D， 交边AC于点E，则△BCE的周长为 　 　 ． 13．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是40、60、80，其三条角平分 线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于　 　 ． 14．如图，在等腰△ABC中，AC＝AB，AD⊥BC，DE∥AB．若∠C＝72°，则∠ADE= 　 °． 15．如图，AB＝A1B，A1C＝A1A2，A2D＝A2A3，A3E＝A3A4，…，以此类推，若∠B＝20°，则∠An＝　 　 16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M，P是直线MN上一动点，点H为BC中点．若BC＝5，△ABC的面积是30，则PB+PH的最小值为 　 　 ． 三．解答题（共7小题） 17．为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等（A、B、C不在同一直线上，地理位置如图），请你用尺规作图的方法确定点P的位置．要求：写出已知、求作：不写作法，保留作图痕迹． 18．如图，点D、E分别是等边三角形ABC边BC、AC上的点，且BD＝CE，BE与AD交于点F．求证：AD＝BE． 19．已知△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E． （1）求∠EDA的度数；（2）若AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC． 20．如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点M、D，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点N、E，△ADE的周长是7．（1）求BC的长度；（2）若∠B+∠C＝60°，则∠DAE度数是多少？请说明理由． 21．如图，在△ABC中，点D边BC上，将△ABD沿AD翻得到△AED，设BC与AE交于点F． （1）若△ABF的周长为12，△DEF的周长4，求AF的长； （2）若∠ADC＝∠DAC，证明：DE∥AC． 22．探究题（1）问题发现：如图①所示，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC上，连接CE．求∠DCE的度数并说明BD和CE的数量关系． （2）拓展探究1：如图②所示，△ABC和△ADE均为等边三角形，当点D在BC延长线上时，连接CE，请判断∠DCE的度数及线段AB，CD和CE的之间的数量关系，并说明理由． （3）拓展探究2：①将图①的△ABC和△ADE均改为等腰三角形，其他不变，设它们的顶角∠BAC＝∠DAE＝α．填空：∠DCE= 　 （用含α的式子表示）；线段BC，CD，CE之间的数量关系为 　 　 ． ②将图②的△ABC和△ADE均改为等腰三角形，其他不变，设它们的顶角∠BAC＝∠DAE＝α．填空：∠DCE＝　 　 （用含α的式子表示）；线段BC，CD，CE之间的数量关系为 　 　 ． 23．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝∠C＝40°，点D在边BC上运动（点D不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交边AC于点E．（1）若DC＝4，求证：△ABD≌△DCE； （2）在点D的运动过程中，若△ADE是等腰三角形且DE为腰，求出此时∠BDA的度数． 北师大数学七年级下第五章图形的轴对称 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C A C B B B B C 一．选择题（共10小题） 1．视力表中的字母“E”有各种不同的摆放方向，下面每种组合中的两个字母“E”不能关于直线l成轴对称的是（　　） A． B． C． D． 【分析】把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称，这条直线叫做对称轴． 【解答】解：A，B，C选项中，两个字母“E”关于直线l成轴对称，而D选项中，两个字母“E”不能沿着直线l翻折互相重合． 故选：D． 【点评】本题主要考查了轴对称的图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键． 2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 【分析】求出∠C，∠AB′D，利用三角形的外角的性质求解即可． 【解答】解：∵∠B＝50°，∠BAC＝90°， ∴∠C＝90°﹣50°＝40°， ∵AD⊥BC，△ADB与△ADB'关于直线AD对称， ∴∠AB′D＝∠B＝50°， ∵∠AB′D＝∠C+∠CAB′， ∴∠CAB′＝50°﹣40°＝10°， 故选：A． 【点评】本题考查轴对称，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是50°，则这个等腰三角形的底角为（　　） A．70° B．20° C．70°或20° D．40°或140° 【分析】当该等腰三角形为钝角三角形时：底角（90°﹣50°）＝20°，当该等腰三角形为锐角三角形时：底角[180°﹣（90°﹣50°）]＝70°． 【解答】解：①如图1，当该等腰三角形为钝角三角形时， ∵一腰上的高与另一腰的夹角是50°， ∴底角（90°﹣50°）＝20°， ②如图2，当该等腰三角形为锐角三角形时， ∵一腰上的高与另一腰的夹角是50°， ∴底角[180°﹣（90°﹣50°）]＝70°． 故选：C． 【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，垂直的性质，关键在于分情况进行分析，认真的进行计算． 4．如图，在纸上画有∠AOB，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上，则（　　） A．d1与d2一定相等 B．d1与d2一定不相等 C．l1与l2一定相等 D．l1与l2一定不相等 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等判断即可． 【解答】解：根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知：当点P在∠AOB的平分线上时，d1与d2一定相等， 故选：A． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等． 5．如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是（　　） A．10 B．12 C．13 D．15 【分析】根据线段垂直平分线的性质，得到BD＝CD，进而推出△ABD的周长是AB+AC，计算即可． 【解答】解：∵由题意可得：BD＝CD， ∴AB+BD+AD＝AB+CD+AD＝AB+AC＝13． 故选：C． 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 6．如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有（　　）种． A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】根据轴对称的概念作答．如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形． 【解答】解：选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形， 选择的位置有以下几种：1处，3处，7处，6处，5处，选择的位置共有5处． 故选：B． 【点评】本题考查了利用轴对称设计图案的知识，关键是掌握好轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 7．小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图．其中△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点E，F分别是底边AB，CD的中点，OE⊥OF．下列推断错误的是（　　） A．OB⊥OD B．∠BOC＝∠AOB C．OE＝OF D．∠BOC+∠AOD＝180° 【分析】先根据轴对称的性质得出△OAB≌△ODC，所以∠AOB＝∠COD，再由等腰三角形三线合一的性质可知∠AOE＝∠BOD∠AOB，∠COF＝∠DOF∠COD，故∠AOE＝∠BOE＝∠COF＝∠DOF，再由OE⊥OF即可判断A；由轴对称的性质可判断B；由全等三角形的性质可判断出C；根据A中的结论可判断D． 【解答】解：∵△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称， ∴△OAB≌△ODC， ∴∠AOB＝∠COD， ∵点E，F分别是底边AB，CD的中点， ∴∠AOE＝∠BOE∠AOB，∠COF＝∠DOF∠COD， ∴∠AOE＝∠BOE＝∠COF＝∠DOF， ∵OE⊥OF， ∴∠BOE+∠BOF＝90°， ∵∠BOE＝∠DOF， ∴∠DOF+∠BOF＝90°， ∴OB⊥OD，故A正确； ∵∠AOB与∠BOC的度数不能确定， ∴无法证明∠BOC与∠AOB的关系，故B错误； ∵△OAB≌△ODC，点E，F分别是底边AB，CD的中点， ∴OE＝OF，故C正确； ∵OB⊥OD， ∴∠BOC+∠COD＝90°①， ∵OE⊥OF， ∴∠COF+∠EOC＝90°， ∵∠COF＝∠AOE， ∴∠AOE+∠EOC＝90°， ∴OC⊥OA， ∴∠AOB+∠BOC＝90°②， ①+②得，∠BOC+∠COD+∠AOB+∠BOC＝180°， 即∠BOC+∠AOD＝180°，故D正确． 故选：B． 【点评】本题考查的是轴对称的性质，等腰三角形的性质及全等三角形的性质，熟知关于轴对称的两个三角形全等是解题的关键． 8．对于问题：如图1，已知∠AOB，只用直尺和圆规判断∠AOB是否为直角？小意同学的方法如图2：在OA、OB上分别取C、D，以点C为圆心，CD长为半径画弧，交OB的反向延长线于点E，若测量得OE＝OD，则∠AOB＝90°，则小意同学判断的依据是（　　） A．垂线段最短 B．等腰三角形“三线合一” C．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D．等腰三角形的两个底角相等 【分析】根据等腰三角形的性质即可求解． 【解答】解：由作图可知，CE＝CD， ∵OE＝OD， ∴CO⊥ED（等腰三角形的三线合一）， ∴∠AOB＝90°． 故选：B． 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的三线合一的性质． 9．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，且顶点在格点上，在△ABC内部有E、F、G、H四个格点，到△ABC三个顶点距离相等的点是（　　） A．点E B．点F C．点G D．点H 【分析】根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：∵BF＝AF＝CF， ∴到△ABC三个顶点距离相等的点是F， 故选：B． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，正确的求出BF＝AF＝CF是解题的关键． 10．如图，△ABC的面积为18cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（　　） A．7cm2 B．8cm2 C．9cm2 D．10cm2 【分析】延长AP交BC于D，证明AB＝BD，再由等腰三角形的性质可得AP＝PD，根据三角形的中线的性质可得S△BPD＝S△BPA，S△CPD＝S△CPA，由此进行计算即可得出答案． 【解答】解：如图，延长AP交BC于D， ， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠DBP， ∵AP⊥BP， ∴∠APB＝∠DPB＝90°， ∴∠BAP＝90°﹣∠ABP，∠BDP＝90°﹣∠DBP， ∴∠BDP＝∠BAP， ∴AB＝DB， ∵AP⊥BP， ∴AP＝DP， ∴S△BPD＝S△BPA，S△CPD＝S△CPA， ∴S△PBC＝S△BPD+S△CPDS△ABD+S△ACDS△ABC＝9（cm2）， 故选：C． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形的面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 二．填空题（共6小题） 11．小华从镜子中看到身后电子钟示数如图所示，正确时间应是 　21：05　 ． 【分析】平面镜成像的特点：像与物关于平面镜对称，根据这一特点可解答出电子钟示数的像对应的时间． 【解答】解：方法一：将显示的像数字依次左右互换并将每一个数字左右反转，得到时间为21：05； 方法二：将显示的像后面正常读数为21：05就是此时的时间． 故答案为：21：05． 【点评】此题考查镜面对称，平面镜成像的特点之一就是左右上下互换，数字时钟的像对应的时间一般从后面读数即为像对应的时间，也可将数字左右互换，并将每一个数字左右反转，即为像对应的时间． 12．如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为 　13　 ． 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据三角形的周长公式计算即可． 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴EA＝EB， 则△BCE的周长＝BC+EC+EB＝BC+EC+EA＝BC+AC＝13， 故答案为：13． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 13．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是40、60、80，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于　2：3：4　 ． 【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是40、60、80，所以面积之比就是2：3：4． 【解答】解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F， ∵点O是内心， ∴OE＝OF＝OD， ∴S△ABO：S△BCO：S△CAO•AB•OE：•BC•OF：•AC•OD＝AB：BC：AC＝2：3：4， 故答案为：2：3：4． 【点评】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式．做题时应用了三个三角形的高是相等的，这点非常重要． 14．如图，在等腰△ABC中，AC＝AB，AD⊥BC，DE∥AB．若∠C＝72°，则∠ADE的度数为 　18　 °． 【分析】由线段垂直平分线的性质可得∠CAD＝∠BAD．∠CAD＝18°，结合平行线的性质可证得∠ADE＝∠CAD，进而可求解． 【解答】解：∵AC＝AB，AD⊥BC． ∴AD平分∠BAC，∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝∠BAD．∠C+∠CAD＝90°． ∵∠C＝72°， ∴∠CAD＝18°， ∵DE∥AB． ∴∠ADE＝∠BAD， ∴∠ADE＝∠CAD＝18°． 故答案为：18． 【点评】本题主要考查平行线的性质，线段垂直平分线的性质，证明∠ADE＝∠CAD是解题的关键． 15．如图，已知AB＝A1B，A1C＝A1A2，A2D＝A2A3，A3E＝A3A4，…，以此类推，若∠B＝20°，则∠An＝　　 ． 【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律即可得出∠An的度数． 【解答】解：∵在△ABA1中，∠B＝20°，AB＝A1B， ∴∠BA1A80°， ∵A1A2＝A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角， ∴∠CA2A140°； 同理可得， ∠DA3A2＝20°，∠EA4A3＝10°， ∴∠An． 故答案为：． 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键． 16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M，P是直线MN上一动点，点H为BC中点．若BC＝5，△ABC的面积是30，则PB+PH的最小值为 　12　 ． 【分析】连接AP，AH，先求出BC，BH的长．由于△ABC是等腰三角形，点H是BC边的中点，故AH⊥BC，再根据勾股定理求出AH的长，由MN是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线MN的对称点为点A，故AH的长为PB+PH的最小值，由此即可得出结论． 【解答】解：连接AP，AH，如图所示： ∵AB＝AC，点H为BC中点， ∴AH⊥BC， ∴△ABC的面积是30， ∴， ∴AH＝12， ∵MN是线段AB的垂直平分线， ∴点B关于直线MN的对称点为点A， ∴AP＝BP， ∴BP+PH＝AP+PH≥AH， ∴AH的长为PB+PH的最小值， ∴PB+PH的最小值为12． 故答案为：12． 【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答本题的关键． 三．解答题（共7小题） 17．为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等（A、B、C不在同一直线上，地理位置如图），请你用尺规作图的方法确定点P的位置．要求：写出已知、求作：不写作法，保留作图痕迹． 【分析】根据垂直平分线的性质得出，连接AB，作AB的垂直平分线，连接BC，作BC的垂直平分线，两线交于P，则P点即是所求答案． 【解答】解：已知：A村、B村、C村， 求作：新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等． 如图所示： 【点评】此题主要考查了基本作图，关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 18．如图，点D、E分别是等边三角形ABC边BC、AC上的点，且BD＝CE，BE与AD交于点F．求证：AD＝BE． 【分析】根据等边三角形的性质得∠ABD＝∠C＝60°，AB＝BC，由此可依据“SAS”判定△ABD和△BCE全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论． 【解答】证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABD＝∠C＝60°，AB＝BC， 在△ABD和△BCE中， ， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 19．已知△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E． （1）求∠EDA的度数； （2）若AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC． 【分析】（1）AD是△ABC的角平分线，则AD将∠BAC分成两个度数相等的角； （2）AD是△ABC的角平分线，则点D到∠BAC两边的距离相等． 【解答】解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝70°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°． ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD∠BAC60°＝30°． ∵DE⊥AB， ∴∠DEA＝90°， ∴∠EDA＝180°﹣∠BAD﹣∠DEA＝180°﹣30°﹣90°＝60°； （2）如图，过D作DF⊥AC于点F， ∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB， ∴DF＝DE＝3， 又∵AB＝10，AC＝8， ∴S△ABCAB×DEAC×DF10×38×3＝27． 【点评】此题考查的是角平分线的性质，掌握角平分线上的点到两边的距离相等、三角形内角和等于180度是解决此题的关键． 20．如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点M、D，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点N、E，△ADE的周长是7． （1）求BC的长度； （2）若∠B+∠C＝60°，则∠DAE度数是多少？请说明理由． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，根据三角形的周长公式计算，得到答案； （2）根据等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，根据三角形的外角性质、三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：（1）∵DM是线段AB的垂直平分线， ∴DA＝DB， 同理，EA＝EC， ∵△ADE的周长为7， ∴DA+DE+EA＝7， ∴BC＝DA+DE+EC＝7； （2）∠DAE度数是60°， 理由如下：∵DA＝DB，EA＝EC， ∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C， ∵∠B+∠C＝60°， ∴∠ADE+∠AED＝2∠B+2∠C＝120°， ∴∠DAE＝180°﹣120°＝60°． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 21．如图，在△ABC中，点D边BC上，将△ABD沿AD翻得到△AED，设BC与AE交于点F． （1）若△ABF的周长为12，△DEF的周长4，求AF的长； （2）若∠ADC＝∠DAC，证明：DE∥AC． 【分析】（1）设BD＝a，DF＝b，EF＝c，AF＝x，由翻折的性质得：DE＝BD＝a，AB＝AE＝x+c，然后根据△EDF的周长为4得a+b+c＝4，再根据△ABF的周长为12得x+c+a+b+x＝12，据此可求出AF的长； （2）由翻折的性质得：∠BAD＝∠EAD，∠B＝∠E，再由三角形的外角定理得∠ADC＝∠B+∠BAD，而∠DAC＝∠EAD+∠CAE，结合已知条件可得出∠B＝∠CAE，进而得∠E＝∠CAE，据此即可得出结论． 【解答】解：（1）设BD＝a，DF＝b，EF＝c，AF＝x， 由翻折的性质得：DE＝BD＝a，AB＝AE＝AF+EF＝x+c， ∵△EDF的周长为4， ∴DE+DF+EF＝4，即：a+b+c＝4， ∵△ABF的周长为12， ∴AB+BF+AF＝12，即：x+c+a+b+x＝12， ∴2x+a+b+c＝12， ∴2x+4＝12，解得：x＝4， ∴AF＝4． （2）由翻折的性质得：∠BAD＝∠EAD，∠B＝∠E， ∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠DAC＝∠EAD+∠CAE， 又∵∠ADC＝∠DAC， ∴∠B+∠BAD＝∠EAD+∠CAE， 即：∠B＝∠CAE， ∴∠E＝∠CAE， ∴DE∥AC． 【点评】此题主要考查了图形的折叠变换及性质，平行线的判定，解答此题的关键是熟练掌握图形的旋转变换和性质，理解内错角相等两直线平行． 22．探究题： （1）问题发现：如图①所示，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC上，连接CE．求∠DCE的度数并说明BD和CE的数量关系． （2）拓展探究1：如图②所示，△ABC和△ADE均为等边三角形，当点D在BC延长线上时，连接CE，请判断∠DCE的度数及线段AB，CD和CE的之间的数量关系，并说明理由． （3）拓展探究2： ①将图①的△ABC和△ADE均改为等腰三角形，其他不变，设它们的顶角∠BAC＝∠DAE＝α．填空：∠DCE＝　（180°﹣α）　 （用含α的式子表示）；线段BC，CD，CE之间的数量关系为 　BC＝CD+CE　 ． ②将图②的△ABC和△ADE均改为等腰三角形，其他不变，设它们的顶角∠BAC＝∠DAE＝α．填空：∠DCE＝　α　 （用含α的式子表示）；线段BC，CD，CE之间的数量关系为 　BC+CD＝CE　 ． 【分析】（1）根据题意证明出△ABD≌△ACE（SAS），然后根据全等三角形的性质求解即可； （2）同（1）证明出△ABD≌△ACE（SAS），然后根据全等三角形的性质求解即可； （3）①首先表示出，然后根据题意证明出△ABD≌△ACE（SAS），最根据全等三角形的性质结合三角形内角和定理求解即可； ②首先表示出，然后根据题意证明出△ABD≌△ACE（SAS），最根据全等三角形的性质结合三角形内角和定理求解即可． 【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形 ∴AB＝AC，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60° ∵△ADE为等边三角形 ∴AD＝AE，∠DAE＝60° ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠EAC ∴△ABD≌△ACE（SAS） ∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝60° ∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝60°+60°＝120° （2）∵△ABC为等边三角形 ∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60° ∵△ADE为等边三角形 ∴AD＝AE，∠DAE＝60° ∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠BAD＝∠CAE ∴△ABD≌△ACE（SAS） ∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝60° ∴∠DCE＝180°﹣∠ACB﹣∠ACE＝180°﹣60°﹣60°＝60° ∵BD＝BC+CD，AB＝BC，BD＝CE ∴CE＝AB+CD （3）①∵△ABC和△ADE均改为等腰三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE， ∵∠BAC＝∠DAE＝α ∴ ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE ∴△ABD≌△ACE（SAS） ∴， ∴； ∵△ABD≌△ACE（SAS） ∴BD＝CE ∴BC＝BD+CD＝CE+CD 故答案为：（180°﹣α）；BC＝CD+CE； ②同理可证△ABD≌△ACE（SAS） ∴ ∴； ∵△ABD≌△ACE（SAS） ∴BD＝CE ∴BC+CD＝BD＝CE， 故答案为：α；BC+CD＝CE． 【点评】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理的应用等知识，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理． 23．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝∠C＝40°，点D在边BC上运动（点D不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交边AC于点E． （1）若DC＝4，求证：△ABD≌△DCE； （2）在点D的运动过程中，若△ADE是等腰三角形且DE为腰，求出此时∠BDA的度数． 【分析】（1）当DC＝4时，由“ASA”可证△ABD≌△DCE； （2）分AD＝DE，DE＝AE两种情况讨论，由三角形内角和和三角形外角的性质可求∠BDA的度数． 【解答】（1）证明：∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠ADC＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝40°， ∴∠BAD＝∠CDE， ∵AB＝AC＝4，DC＝4， ∴AB＝DC， 在△ABD和△DCE中， ， ∴△ABD≌△DCE（ASA）； （2）解：当AD＝DE时，∠DEA＝∠DAE（180°﹣∠ADE）（180°﹣40°）＝70°， ∵∠DEA＝∠C+∠EDC， ∴∠EDC＝∠DEA﹣∠C＝70°﹣40°＝30°， ∴∠BDA＝180°﹣∠ADE﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣30°＝110°； 当AE＝DE时，∠ADE＝∠DAE＝40°， ∴∠AED＝180°﹣（∠ADE+∠DAE）＝180°﹣（40°+40°）＝100°， ∵∠DEA＝∠C+∠EDC， ∴∠EDC＝∠DEA﹣∠C＝100°﹣40°＝60°， ∴∠BDA＝180°﹣∠ADE﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣60°＝80°； 综上所述：当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数为80°或110°． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质、分类讨论等知识，熟练掌握三角形内角和定理与三角形外角的性质是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/6/9 23:22:44；用户：姚怀洪；邮箱：13927028828；学号：38450005 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $