专题06图形的轴对称 专项训练（20大核心题型精讲+分层训练突破）-2025-2026学年北师大版数学七年级下学期.

**基本信息** 以21类题型系统构建轴对称知识网络，融合概念识别、性质应用、作图操作及实际问题，通过分层精练实现从基础到综合的能力递进，培养几何直观与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|4类（识别/判断/对称轴/画图）|对称特征观察法、折叠重合验证法|从图形识别到对称轴确定，构建轴对称认知基础| |性质应用|6类（等腰三角形/垂直平分线/角平分线等）|三线合一转化法、性质定理直接应用法|以轴对称性质为核心，关联特殊三角形与线段、角关系| |作图操作|2类（垂直平分线/角平分线）|尺规作图步骤规范法|从性质理解到动手操作，强化推理意识| |实际应用|4类（镜面/台球/最短路径/图案设计）|对称变换建模法、路径转化法|将实际问题抽象为轴对称模型，培养应用意识| |综合提升|5类（线段/面积/角度等综合题）|对称性质综合迁移法|整合多知识点，提升复杂问题解决能力|

专题06图形的轴对称 专项训练 题型梳理归纳 题型1.轴对称图形与成轴对称图形的识别 题型2.根据轴对称图形的特征进行判断 题型3.求对称轴条数 题型4.画对称轴与轴对称图形 题型5.镜面对称问题 题型6.等腰三角形等边对等角性质应用 题型7.等腰三角形三线合一性质应用 题型8.线段垂直平分线的性质应用 题型9.作已知线段的垂直平分线 题型10.角平分线的性质定理应用 题型11.作角平分线（尺规作图） 题型12.根据轴对称图形的特征进行求解 题型13.折叠问题 题型14.设计轴对称图案 题型15.轴对称在台球、光线反射中的实际应用 题型16.最短路径问题 题型17.关于轴对称的线段综合题 题型18.关于轴对称的面积综合题 题型19.轴对称的角度综合题 题型20.轴对称的其他综合题 题型21.分层精练10道题 核心题型精讲 题型1.轴对称图形与成轴对称图形的识别 1．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的定义，在这个汉字中能否找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，本题中只有“非”字可以找到这样的一条直线，所以其为轴对称图形． 【详解】解：：是轴对称图形，故此项符合题意； ：不是轴对称图形，故此项不符合题意； ：不是轴对称图形，故此项不符合题意； ：不是轴对称图形，故此项不符合题意； 2．窗格经历了千年的传承与发展，是中国建筑装饰文化的重要标志之一．在如图所示的窗格中，与①成轴对称的是_____________． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了轴对称的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合． 把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，根据轴对称的定义判断即可． 【详解】解：如图所示，图形①与图形②关于直线成轴对称，图形①与图形③关于直线成轴对称，图形①与图形④关于直线成轴对称． 故答案为：②③④． 3．（1）在如图1所示的编号为，，，的四个三角形中，关于轴对称的两个三角形的编号为 ； （2）在图2中，画出与关于x轴对称的，点，，分别对应点，，． 【答案】（1），；（2）见解析 【分析】本题考查了成轴对称的两个图形的识别，画轴对称图形． （1）根据轴对称的性质可得，两个图形关于轴对称； （2）根据轴对称的性质找到，，的对应点，，，顺次连接，即可求解． 【详解】解：（1）关于轴对称的两个三角形的编号为，； 故答案为：，． （2）如图所示，即为所求 题型2.根据轴对称图形的特征进行判断 1．如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴，，，故A、B、C选项正确， 不一定成立，故D选项错误， 所以，不一定正确的是D． 2．跨语文学科 如图所示的都是某个汉字的一半，你能想象出它们的另一半并确定它们是什么字吗？它们依次是___________． 【答案】林、共、品、吉 【分析】本题侧重考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 根据轴对称图形的定义解答即可． 【详解】解：根据轴对称的性质知：图中的汉字依次为：林、共、品、吉. 故答案为：林、共、品、吉. 3．如图，若与关于直线对称，交于点． (1)点的对称点是点 ，点的对称点是点 ； (2)若，则 ； (3)写出两组相等的线段． 【答案】(1)， (2) (3)，（答案不唯一） 【详解】（1）解：∵与关于直线对称， ∴点的对称点是点，点的对称点是点 （2）解：∵与关于直线对称， ∴，则 （3）解：∵与关于直线对称， ∴，．（答案不唯一）． 题型3.求对称轴条数 1．如图所示的图案，它的对称轴有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 【答案】C 【详解】解：如图所示： 该图形有3条对称轴． 2．如图是轴对称图形，它的对称轴的条数是______条． 【答案】 【分析】本题考查了求对称轴条数，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：经过这两个圆的圆心的直线是该图形的对称轴，如图所示： ∴它的对称轴的条数是条， 故答案为：． 3．如图1，棋盘上已经摆放好了3个棋子，如图2所示，再添加一个棋子后，这4个棋子恰好构成一个轴对称图形，直线m为对称轴． (1)请仿照图2，用新方法在图3的棋盘格点上添加1个棋子，使4个棋子构成一个轴对称图形，并画出对称轴 (2)这样的添加方法共有_______种（含图2方法）． 【答案】(1)图见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键； （1）直接利用轴对称图形的性质得出对称轴位置； （2）直接利用轴对称图形的性质求解． 【详解】（1）解：作图如下： （2）解：这样的添加方法共有4种，如下图： 题型4.画对称轴与轴对称图形 1．下列选项中，直线是四边形的对称轴的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质和轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，直线两旁两部分折叠后可重合． 根据轴对称图形的概念求解即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线对称． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，直线不是该图形的对称轴，本选项不符合题意． B、该图形不是轴对称图形，本选项不符合题意； C、该图形是轴对称图形，直线是该图形的对称轴，本选项符合题意． D、该图形是轴对称图形，直线不是该图形的对称轴，本选项不符合题意． 故选：C． 2．如图为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．可以画出与成轴对称、每个顶点都在格点上，且位置不同的三角形有________个． 【答案】5 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形是解题的关键． 根据轴对称图形画出满足题意的三角形，再统计即可解答． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可以画出与成轴对称的三角形如下： 即可以画5个． 故答案为：5． 3．如图，正方形网格的每个小正方形的边长为．的三个顶点均在格点上． (1)画出关于直线对称的； (2)在直线上找一点，使的值最小． (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）分别确定、、关于的对称点、、，再顺次连接即可； （2）由对称可得，则，当、、三点共线时，的值最小，所以连接交于，则即为所求； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，连接交于，则即为所求； （3） ． 题型5.镜面对称问题 1．某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，从镜子中看到的汽车车牌的部分号码如图所示，则在该车牌的部分号码为（ ） A．E9362 B．E9365 C．E6395 D．E6392 【答案】C 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 利用镜面对称的性质求解即可． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的图片中的数字与“E6395”成轴对称， 则该汽车的号码是E6395， 故选：C． 2．电子钟示数“”的镜面对称像为__________． 【答案】 【分析】本题考查电子钟示数的镜面对称． 根据电子钟示数与其镜面对称像左右对称，即可求解． 【详解】解：∵电子钟示数“”，“”与“”左右对称， ∴电子钟示数“”的镜面对称像为“”． 故答案为：． 3．平面镜中看到“”，实际电子钟示数为__________． 【答案】 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质，熟练掌握原理和性质是解题的关键； 平面镜成像左右颠倒，但数字0和1对称，且时间字符串“”自身对称，故实际时间与镜中时间相同． 【详解】平面镜中看到的时间是实际时间的左右镜像．电子钟数字中，数字0和1在镜中保持不变，冒号对称．将镜中时间“”反转顺序并考虑数字对称性，得到实际时间仍为“”． 故答案为：． 题型6.等腰三角形等边对等角性质应用 1．如图，在中，，，以点C为圆心，适当长度为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D，则为（   ）度． A．30 B．45 C．36 D．54 【答案】C 【分析】由等边对等角可得，由作图可得，平分，再由角平分线的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， 由作图可得，平分， ∴． 2．如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为___________． 【答案】 【分析】连接，根据等腰三角形性质求出，根据线段垂直平分线性质求出，根据等边对等角即可求出答案． 【详解】解：连接， ∵，平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 3．如图，在中，，点E在边上，点D在边上，且，若，，求的长． 【答案】3 【分析】先通过角度关系推导，再结合、，用证，利用全等性质得、，最后结合及，求出． 【详解】解：， ， ． ∵， ∴， 在和中， ， ，． ， ． 题型7.等腰三角形三线合一性质应用 1．如图，在中，，是边的中点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵，是边的中点， ∴，即， ∵， ∴． 故选：A 2．浏水月夜民宿用等腰形状设计窗台，为保证窗台两侧受力均匀，需使，并用连接和加固支架．已知是边的中点，且，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键． 已知等腰中，是边的中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，平分顶角，因此只需将的度数除以即可得到的度数． 【详解】解：∵在等腰中，，是边的中点， ∴平分（等腰三角形三线合一）， ∵， ∴， 故答案为：． 3．如图，中，，为边的中点，，垂足为，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，关键是根据等腰三角形的性质和平行线的判定和性质解答． 根据等腰三角形的性质和平行线的判定得出，利用平行线的性质解答即可． 【详解】证明：，为边的中点， ， ， ∴， ∴，， ， ， ． 题型8.线段垂直平分线的性质应用 1．计划在滹沱河某个绿化区增设条漫步小路，小路，小路与，均相交．若要在小路上修建一个凉亭，使其到小路的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（    ）． A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，熟悉角平分线的性质：到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上，角平分线的尺规作图方法，是解题的关键． 将“凉亭到小路的距离相等”转化为“点在与相交所成角的平分线上”，判断点为的角平分线与的交点的作图即可． 【详解】解：甲方案：在的垂直平分线上， 到的距离相等，不一定到和的距离相等， 乙方案：平分， 由角平分线的性质定理可得：到小路的距离相等， ∴甲、乙两个方案，只有乙对． 故选：． 2．如图，在中，，D为上一点，连接，过点D作于点E．若E为的中点，，的周长为14，则的长为______． 【答案】 【分析】根据为线段的垂直平分线，得到，再通过等量代换可得，然后根据勾股定理和中点的知识即可求解． 【详解】解：∵于点E，E为的中点， ∴为线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长为，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， 即， ∴， ∵E为的中点， ∴． 3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． (1)在图中作出关于直线l对称的；（要求：A与，B与，C与相对应） (2)若有一格点P到点A、B的距离相等（），则网格中满足条件的点P共有 个； (3)在直线l上找一点Q，使的值最小； (4)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)见解析 (4)5 【分析】（1）利用轴对称的性质，即可作出关于直线l对称的； （2）依据格点P到点A、B的距离相等，作出的垂直平分线，经过的格点即为所求； （3）根据两点之间，线段最短，连接，与直线l的交点Q即为所求； （4）依据割补法进行计算，即可得到的面积． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， ； （2）解：如图所示，网格中满足条件的点P共有4个； （3）解：如图所示，点Q即为所求； （4）解：． 题型9.作已知线段的垂直平分线 1．某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动．各组展示作图痕迹如下，其中是的角平分线，判断正确的是（   ） A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】由角平分线的尺规作图可判断图①；垂直平分线的尺规作图可判断图②；由平行线和等边对等角性质可判断图③；由三线合一性质可判断图④． 【详解】解：图①，由作图得，是的平分线，符合题意； 图②，由作图得，是的垂直平分线，不符合题意； 图③，由作图得， ∴ ∴ 由作图得， ∴ ∴ ∴是的平分线，符合题意； 图④，由作图得，，垂直平分 ∴是的平分线，符合题意． 综上所述，判断正确的是①③④． 2．如图，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，连接，，，则，依据是___________ 【答案】线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 【分析】根据线段垂直平分线的性质解题即可． 【详解】解：由作图过程可知，直线是线段的垂直平分线， ∴． 3．如图，已知，请用尺规作图法，在边的上方作一点D，使得平分，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见解析 【分析】先作的角平分线，再作线段的垂直平分线即可． 【详解】解：如图，点D即为制作， ． 题型10.角平分线的性质定理应用 1．如图，平分，于点，点在上．若，面积为9，则的长为（   ） A．2 B．6 C．3 D．9 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质及三角形面积公式．过点作于，根据三角形面积公式求出的长，再根据角平分线的性质可得，从而得出答案． 【详解】解：如图，过点作于， ，， 平分，， ． 2．如图，平分，，则点D到的距离为__________． 【答案】3 【详解】解：∵平分，， ∴点D到的距离． 3．如图，在中，作的平分线． (1)下列操作中，作的平分线的正确顺序的序号依次为_____； ①分别以点、为圆心，大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点； ②以点为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点，交于点； ③作射线，交于点． (2)证明的理论依据是_____（填序号）； ①SSS；②；③；④角平分线上的点到角两边的距离相等， (3)过点作于，若，求的长． 【答案】(1)②①③ (2)① (3)的长为 【分析】本题考查角平分线的作图方法，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质．熟悉以上知识点，并灵活运用是解题的关键． （1）根据作角平分线的方法进行判断即可； （2）利用作图符合判定全等三角形的方法，进行判断即可； （3）过点作于点，根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式得到，即，然后解方程即可． 【详解】（1）解：作的平分线的正确顺序为②①③； 故答案为：②①③； （2）解：由作法得，，而为公共边， 所以根据“”可判断，则， 故答案为：①； （3）解：如图，过点作于点， 平分，，， ， ， ， 即，解得：， 的长为3． 题型11.作角平分线（尺规作图） 1．如图，直线，点E，F分别在直线上，连接，以点E为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部交于点H，画射线交于点G，若，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由作图可知，结合，求出，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：由作图可知， ∵， ∴， ∵， ∴． 2．如图，直线，点E，F分别在直线，上，连接，以点E为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点H，画射线交于点C，若，则的度数为______ 【答案】/40度 【分析】由作图可得平分，再根据角平分线的定义以及平行线的性质即可求解． 【详解】解：由作图可得，平分， ∴， ∵， ∴． 3．如图，在四边形中，、交于点，请你用尺规作图法在边上找一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】作图见解析 【分析】作的角平分线，交于点，根据角平分线的定义和对顶角的性质可得 ，故点即为所求． 【详解】解：如图所示，点即为所求． 题型12.根据轴对称图形的特征进行求解 1．如图，四边形与四边形关于直线对称，交于点R，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B．C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形与四边形关于对称， 与是对应边， ，选项A正确； 与是对应角， ，选项B正确； 与是对应点，且对称轴是对应点连线的垂直平分线， 垂直平分，即，选项C正确； 与不一定平行，选项D错误． 2．如图，和关于所在的直线成轴对称，点，是边上的两点，的面积是，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】根据轴对称的性质得出和关于直线对称，面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积． 【详解】解：和关于所在的直线成轴对称， 是的对称轴， ， 点，是边上的两点， 和关于直线对称， ， 由图可知，阴影部分的面积． 3．【中档】如图，点P是外的一点，点M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上．若，求线段的长． 【答案】15 【分析】根据轴对称的性质进行计算即可． 【详解】解：∵点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型13.折叠问题 1．如图把一张长方形纸片沿折叠后，交于点，点分别落在、位置上．若，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行线和折叠的性质解答即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， 又由折叠得，， ∴． 2．如图，将一张长方形纸条沿折叠，点分别折叠至点的位置，若，则的度数为__________． 【答案】 【分析】设由折叠可得，再根据列方程求解即可． 【详解】解：∵长方形纸条沿折叠， ∴， ∵，设 ∴， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同旁内角互补）， ∴， 解得， ∴． 3．若和均为大于小于的角，且，则称和互为“伙伴角”．根据这个约定，解答下列问题： (1)若和互为“伙伴角”，当时，求的度数； (2)如图1，O为直线上一点，，，则的“伙伴角”是_______； (3)①如图2，将一长方形纸片沿着对折（点P在线段上，点E在线段上）使点B落在点，若与互为“伙伴角”，求的度数； ②如图3，在图1的基础上，再将长方形纸片沿着对折（点F在线段上）使点C落在线段上的点处，线段落在内部．若与互为“伙伴角”，求的度数． 【答案】(1) (2)或或 (3)①或；② 【分析】（1）按照“伙伴角”的定义，建立方程求解即可； （2）根据角的和差关系以及新定义进行判断即可； （3）①按照“伙伴角”的定义可得或，再建立方程解答即可；②按照“伙伴角”的定义可得，再结合折叠的性质，平角的定义建立方程解答即可； 【详解】（1）解：∵和互为“伙伴角”，当时， ∴，即 ∴或， 解得：或（不符合题意舍去）， ∴． （2）解：如图， 两个角差的绝对值为， 则此两个角互为“伙伴角”， 而， 设其伙伴角为， ， 则或， 由图知，， 的伙伴角是或或． （3）①∵与互为“伙伴角”， ∴， ∴或， 当时，则， 由对折可得，而， ∴， 解得：， 当时，则， 同理可得：， ∴， 综上所述，的值为或； ②由对折可得：，， ∵点E、、P在同一直线上，且与互为“伙伴角”， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 题型14.设计轴对称图案 1．如图是由3个相同的小正方形组成的图形，若再补画一个相同的小正方形，使补画后的图形是轴对称图形，则不同的补画方法一共有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】C 【分析】首先正确理解轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形；然后再结合所给图示分别补画一个同样大小的正方形，找出各自的对称轴，使之成为轴对称图形即可． 【详解】解：如图，要使补画后的图形是轴对称图形，补画的小正方形的位置有①，②，③，④，共4种． 2．如图，在的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中剩余的编号的小正方形中任意一个涂黑，则所得图案是一个轴对称图形的概率是_______． 【答案】/0.75 【详解】解：将图中剩余的编号为的小正方形中任意一个涂黑共4种情况，其中涂黑1，2，3，有3种情况可使所得图案是一个轴对称图形（如图），故其概率是． 3．如图，在正方形网格中，点，，均是格点．用无刻度直尺按要求画图（不写画法，保留画图痕迹）； (1)如图1，画出关于直线对称的图形： (2)如图2，方格纸上有两条线段，请在图2中补画一条线段，将其补成一个轴对称图形（画出所有符合条件的线段）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，线段、、即为所求． 题型15.轴对称在台球、光线反射中的实际应用 1．如图是一台桌球面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入的球洞的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，理解题意，掌握碰撞桌子边时的入角等于反弹后的出角是解题的关键． 根据黑球碰撞桌子边时的入角等于反弹后的出角，轴对称图形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，黑球碰撞桌子边时的入角等于反弹后的出角， ∴最后进入的球洞的序号是①， 故选：A ． 2．如图，小华将小球放在两平行镜和之间，其球心为点A，点A在平面镜中的像为，在平面镜中的像为．已知点到的距离为，到的距离为，则________． 【答案】 【分析】本题考查的是镜面反射的性质．根据经过反射后，，得出，即可求解． 【详解】解：经过反射后，， 故， 根据题意可得，， 故，， ∴． 故答案为：． 3．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的； (2)的面积为__________； (3)在直线l上找一点P，使的值最小．（在图中标出点P，保留作图痕迹） 【答案】(1)图见解析 (2) (3)图见解析 【分析】本题主要考查了画轴对称图形，三角形的面积公式，轴对称—最短路线问题等知识点，熟练掌握轴对称图形的作法及轴对称的性质是解题的关键． （1）按照画轴对称图形的方法画出关于直线l成轴对称的即可； （2）利用割补法求解即可； （3）连接，交直线l于点，即可得解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由图可知：的面积， 故答案为：； （4） 解：如图，连接，交直线l于点，则点即为所求． 题型16.最短路径问题 1．如图，在村庄附近有一个生态保护区，现要在公路边修建一个垃圾站，使它到，两村庄的路程之和最短，且从村庄到公路不能穿过生态保护区，则下列四种修建方案中，符合条件的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，从村庄到公路不能穿过生态保护区，结合图形可知到的最短路径需经过生态保护区的右下角顶点，将问题转化为求两点之间线段最短的问题求解即可 ． 【详解】解：设生态保护区右下角的顶点为， 从村庄到公路不能穿过生态保护区， 到的最短路径需经过点，即路径为， 总路程为， 为定值， 要使总路程最短，只需最短， 点在直线上方，点在直线下方， 根据“两点之间，线段最短”，连接交直线于点，此时最小， 即三点共线 观察图形，选项A符合共线且与相连的特征． 2．如图，在中，，如果点分别为上的动点，那么的最小值是______________． 【答案】//4.8 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路径问题以及三角形面积公式的应用，熟练掌握利用轴对称转化线段是解题的关键． 通过作点关于的对称点，将转化为，则，当时，的长度即为的最小值，再利用三角形面积公式求解． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过作于，交于．则此时值最小，最小值为的长， ∵点与关于对称， ∴，， ∴． ∵，，，， ∴， ∴． 故答案为：． 3．如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上． (1)的面积为_____________； (2)画出关于直线l的轴对称图形； (3)在直线l上求作一点P，使值最小．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)8 (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）用割补法求面积即可； （2）每个点关于对称，连接即可； （3）先作点关于的对称点，连接，与的交点为． 【详解】（1）解：； （2）解：如图所示： （3）解：如图，点即为所求作， ， ∵关于直线对称， ∴， 当三点共线时，值最小． 题型17.关于轴对称的线段综合题 1．，两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边上修建一个自来水厂，分别向两个小镇供水．要使所用水管总长度最短，则下列图形中，自来水厂的位置正确的是（ ） A． B． C. D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形最短线段问题，根据轴对称的性质作图即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，可得， 则， 由两点之间线段最短，此时的值最小，即所用水管总长度最短， 故选：． 2．小刚准备去河里打一桶水送去王奶奶家．如图，小刚的家在A处，王奶奶的家在B处，A，B两点到河岸的距离分别为AC和BD，且．若点A到河岸CD的中点的距离为1000 m，则小刚从A处到河里打水再送去王奶奶家的最短距离是________m． 【答案】2000 【分析】本题考查作图-应用与设计，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 如图，作点关于的对称点，连接与相交于点，连接，因此小刚从处到河里打水再送去王奶奶家的最短距离为的长度，通过可证明，由此可求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接与相交于点，连接． 根据轴对称可知， ， ∵两点之间线段最短， ∴的值最小，即的值最小， ∴小刚从处到河里处打水，再送去王奶奶家，所走的路程最小． 根据作图并结合题意可知，，， 在和中， ， ，， 为的中点． ∵点到河岸的中点的距离为， ， ， ． 故小刚从处到河里打水再送去王奶奶家的最短距离是． 故答案为：． 3．如图，小河边有两个村庄，，现要在河边建一个自来水厂为村与村供水，自来水厂建在什么地方到村、村的距离和最小？请在下图中找出点的位置，并标出点．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】利用轴对称求最短路线的方法得出点关于直线的对称点，对于直线上任一点，有，则，当、、共线时取最小值，则连接交CD于点即可得出答案． 【详解】解：如图所示，作点关于直线的对称点，再连接交于点，点即为所求． 题型18.关于轴对称的面积综合题 1．如图，，点分别在射线上，的面积为，点是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为．当点在直线上运动时，的面积最小值为_____． 【答案】8 【分析】根据对称的性质得出，从而得到，利用等腰直角三角形面积的求得当与边上的高相等时，面积最小． 【详解】解：如图所示，连接，过点作线段的垂线，交的延长线于点． ∵点与点关于对称， 点与点关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是个等腰直角三角形， ， ∴要使面积最小，需要的值最小， 当垂直时，即与重合时，的值最小． ∵，解得； ∴面积的最小值为． 【点睛】本题主要考查了将军饮马的模型，先利用对称的性质将求面积最小转化为求的最小值，最后利用点到直线垂线段最短解出答案． 2．如图，，点、分别在射线、上，，的面积为，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为______ ． 【答案】8 【分析】连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，根据垂线段最短可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于，    ，且， ， 点关于对称的点为，点关于对称的点为， ，，， ， ， 的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 的面积的最小值为， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键． 3．如图，在下列正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，，，，四个点都在格点（小正方形的顶点）上，画出四边形关于直线对称的四边形，并求出四边形的面积． 【答案】见解析，面积为 【分析】根据对称点与对称轴是垂直等距关系，描点画图即可，利用分割法计算面积即可． 本题考查了轴对称图形的作图，分割法求面积，熟练掌握作图是解题的关键． 【详解】解：根据题意，作图如下： 则四边形即为所求． 根据题意，四边形的面积为：． 题型19.轴对称的角度综合题 1．如图，直线与直线相交，，点在内（不在，上）．小明用下面的方法作的对称点：先以为对称轴作点关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…，如此继续，得到一系列点，，，…，．若与重合，则的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查轴对称，根据题意得出点的变化规律是解题关键． 根据题意画出图形进而得出每对称6次回到点P，进而得出符合题意的答案． 【详解】解：作图可得： ， 设两直线交点为O，根据对称性可得：作出的一系列点，，，…，都在以O为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴每相邻两点间的角度是； 故若与P重合，则n的最小值是6． 故选：B． 2．如图，直线与直线相交，，点P在内，用下面的方法作P 的对称点：先以为对称轴作点P关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…， 如此继续，得到一系列点，，，，…，，若与P重合，则n的最小值为 _______． 【答案】6 【分析】本题考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称性质是解题的关键． 利用轴对称性质得到对称点，观察发现，这些对称点都在以O为圆心，为半径的圆上，进行解题即可． 【详解】解：设直线与直线相交于点O， 根据对称性，点P关于的对称点，关于的对称点，以此类推，得到一系列点，，，，…，， 如图，点P每经过6次对称又回到点P， 若与P重合， 则n的最小值为6． 故答案为：6． 3．在网格中建立如图所示的平面直角坐标系，每个小正方形的顶点称为格点，例如图中点、仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图并回答问题： （1）作出线段关于y轴对称的线段，并写出点B的对应点D的坐标是（________）； （2）过点A作一直线l，使得线段（保留画图过程的痕迹）； （3）在x轴上找点M，使（保留画图过程的痕迹）． 【答案】（1）见解析，点D为；（2）见解析；（2）见解析 【分析】（1）作出点D的对称点，连接AD即可，点D的坐标直接从坐标系中读出即可； （2）使用无刻度的三角尺的一直角边与AB边重合，然后在直角三角尺的另一边作直线即可； （3）先作点B关于x轴的对称点B’，然后连接AB’，与x轴交于点M即为所求． 【详解】解：（1）如图，点D为 （2）如图所示； （3）如图所示：先作点B关于x轴的对称点B’，连接AB’，与x轴交于点M，即为所求； 【点睛】题目主要考查作轴对称图形、作已知直线的垂线、等腰三角形的性质等，熟练掌握图形的作法是解题关键． 题型20.轴对称的其他综合题 1．已知是平面内四个点，如果能用两种不同长度的线段将这四个点进行两两连接，使得任意三点所连线段都能构成等腰三角形，我们就称这四个点及它们之间的连线构成“二分对称图形”．例如：如图就是一种“二分对称图形”，其中，、、均为等腰三角形，且满足，，．则满足条件的“二分对称图形”共有（    ）．（形状相同的图形算作同一种） A．5种 B．6种 C．7种 D．7种以上 【答案】B 【分析】本题考查对称图形，掌握相关知识是解决问题的关键．从轴对称图形等边三角形，正方形，菱形，等腰梯形分类探索解决． 【详解】解：如图，加上题干中1种，共6种 第一个图：， 第二个图：， 第三个图：， 第四个图： 第五个图：， 故选：B． 2．如图，平面直角坐标系中，分别以点，为圆心，以1，3为半径作，，M，N分别是，上的动点，P为x轴上的动点，则的最小值等于______． 【答案】 【分析】在平面直角坐标系中作出关于x轴对称的圆，并作出点N关于x轴的对称点点Q，并连接PQ，AM，QC，AC．根据轴对称的性质确定PQ=PN，再根据图示应用两点之间，线段最短可得，通过等价代换和变形可得，再根据轴对称的性质和勾股定理求出AC，AM，QC的长度即可求出的最小值 【详解】解：如下图所示：在平面直角坐标系中作出关于x轴对称的圆，并作出点N关于x轴的对称点点Q，并连接PQ，AM，QC，AC． ∵是半径为3的关于x轴对称的圆，且， ∴，QC=3． ∵点Q是点N关于x轴的对称点， ∴PQ=PN． ∴PM+PN=PM+PQ． 根据图示可以看出． ∴，即． ∵，的半径是1， ∴，AM=1． ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的综合问题，圆的性质，两点之间，线段最短，勾股定理，综合应用这些知识点是解题关键． 3．如图，在的正方形网格中，点A、B、C都在格点上点D是与网格线的交点且，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)作边上高． (2)画出点D关于的对称点F； (3)画射线，平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）取格点，连接交于点，线段即为所求； （2）作线段关于直线的对称直线与网格线的交点即为所求； （3）延长到点，使，找到中点，与点连接并延长，即为． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，点即为所求； （3）如图，即为所求； 【点睛】本题考查作图—轴对称变换等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，灵活运用所学知识解决问题． 分层精练 一、单选题 1．电子社保卡是实体社保卡的线上版本，具有与实体社保卡相同的法律效力．下面是电子社保卡小程序中的一组图标，文字上方的部分是轴对称图形的是（     ） A．综合服务 B．社会保障 C．人才人事 D．常用服务 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形的定义逐项分析即可． 【详解】解：A是轴对称图形，故本选项符合题意； B不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 2．下列图形中，有3条对称轴的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：选项A有3条对称轴，选项B不是轴对称图形；选项C有6条对称轴；选项D有5条对称轴．故有3条对称轴的是A选项的图形． 3．从镜子里看到位于镜子对面电子钟的像如图所示，则实际时间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了镜面对称，得到相应的对称轴是解决本题的关键；若是竖直方向的对称轴，数的顺序正好相反，注意2的对称数字为5，5的对称数字是2． 关于镜子的像，实际数字与原来的数字关于竖直的线对称，根据相应数字的对称性可得实际数字． 【详解】解：是从镜子中看， 对称轴为竖直方向的直线， 、0的对称数字为1、0，2的对称数字是5，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反， 这时的时刻应是． 故选：C． 4．如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，立柱，若测得米，则的长是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的“三线合一”性质，线段的和差计算，掌握等腰三角形的“三线合一”性质是解题关键． 根据等腰三角形“三线合一”的性质，由且得，再根据求出的长度． 【详解】解：，， ， 米， 米． 故选：． 5．如图，在正方形网格中，，为小正方形顶点，直线经过小正方形顶点，，，，在直线上求一点使最短，则点应位于（   ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，作点M关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，此时最短，据此结合图形可得答案． 【详解】解：如图所示，作点M关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，此时最短， 由图可知，交直线l于点P， ∴点应选在C点， 故选：C． 二、填空题 6．如图，线段与关于直线l对称，与直线l相交于点O，若，则______． 【答案】36 【详解】解：∵ ∴ ∵线段与关于直线l对称，与直线l相交于点O， ∴． 7．如图，球桌上有，两个桌球，若要将球射向球桌的一边，反弹一次后击中球，则球应射向，，，四个点中的点_____ ． 【答案】C 【分析】作点关于直线的对称点，连接与直线的交点即为所求的点． 【详解】解：如下图所示，作点关于直线的对称点， 连接与直线交于点， 点即为所求． 8．如图，在中，，的垂直平分线分别交于点，．若，则的周长为_____________． 【答案】8 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是利用垂直平分线的性质将的周长转化为的长度．根据线段垂直平分线的性质，得到，，再将的周长替换为，而的长度等于的长度，代入已知的数值即可求出的周长． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴； ∵的垂直平分线交于点， ∴； ∴的周长， ∵， ∴的周长为； 故答案为：8． 三、解答题 9．四边形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A，B，C，D均在格点上． (1)作出四边形关于y轴对称的四边形； (2)在y轴上找一点P，使的值最小（保留作图痕迹）； (3)四边形的面积为________． 【答案】(1)见详解 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了画轴对称图形，最短路径，割补法求不规则图形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合轴对称图形的性质，分别找出点，再依次连接，即可作答． （2）结合轴对称图形的性质，连接或连接它们都与y轴的交点即为点P，则，或，即可作答． （3）利用割补法进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：四边形如图所示： （2）解：在y轴上找一点P，使的值最小，如图所示； （3）解：四边形的面积． 10．综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以“长方形纸带的折叠”为主题开展数学活动，已知长方形纸带的边，将纸片沿折痕折叠，点E是折痕与边的交点，点F是折痕与边的交点，点A，B的对应点分别为点，，线段与交于点G．（说明：折叠后纸带的边始终成立） 操作探究： (1)如图1，若点E与点A重合，使点恰好落在线段上，与______是内错角，如图2，若，则的度数为______°； (2)如图3，改变折痕的位置，其余条件不变，猜想图中和的大小关系，并说明理由； (3)如图3，若，求的度数． 【答案】(1)，45 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据内错角的定义即可得到与是内错角，先推导出，再根据折叠的性质，得到，即可解答； （2）先推导出，，则，即可解答； （3）先推导出，再求出，根据将纸片沿折痕EF折叠，得到，则，即可解答． 【详解】（1）解：如图1 ∵点E与点A重合，使点恰好落在线段上， ∴与是内错角， 如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图 ， ， ， ， ； （3）解：如图 ， ， ， ， ∵将纸片沿折痕折叠， ， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06图形的轴对称 专项训练 题型梳理归纳 题型1.轴对称图形与成轴对称图形的识别 题型2.根据轴对称图形的特征进行判断 题型3.求对称轴条数 题型4.画对称轴与轴对称图形 题型5.镜面对称问题 题型6.等腰三角形等边对等角性质应用 题型7.等腰三角形三线合一性质应用 题型8.线段垂直平分线的性质应用 题型9.作已知线段的垂直平分线 题型10.角平分线的性质定理应用 题型11.作角平分线（尺规作图） 题型12.根据轴对称图形的特征进行求解 题型13.折叠问题 题型14.设计轴对称图案 题型15.轴对称在台球、光线反射中的实际应用 题型16.最短路径问题 题型17.关于轴对称的线段综合题 题型18.关于轴对称的面积综合题 题型19.轴对称的角度综合题 题型20.轴对称的其他综合题 题型21.分层精练10道题 核心题型精讲 题型1.轴对称图形与成轴对称图形的识别 1．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．窗格经历了千年的传承与发展，是中国建筑装饰文化的重要标志之一．在如图所示的窗格中，与①成轴对称的是_____________． 3．（1）在如图1所示的编号为，，，的四个三角形中，关于轴对称的两个三角形的编号为 ； （2）在图2中，画出与关于x轴对称的，点，，分别对应点，，． 题型2.根据轴对称图形的特征进行判断 1．如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．跨语文学科 如图所示的都是某个汉字的一半，你能想象出它们的另一半并确定它们是什么字吗？它们依次是___________． 3．如图，若与关于直线对称，交于点． (1)点的对称点是点 ，点的对称点是点 ； (2)若，则 ； (3)写出两组相等的线段． 题型3.求对称轴条数 1．如图所示的图案，它的对称轴有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 2．如图是轴对称图形，它的对称轴的条数是______条． 3．如图1，棋盘上已经摆放好了3个棋子，如图2所示，再添加一个棋子后，这4个棋子恰好构成一个轴对称图形，直线m为对称轴． (1)请仿照图2，用新方法在图3的棋盘格点上添加1个棋子，使4个棋子构成一个轴对称图形，并画出对称轴 (2)这样的添加方法共有_______种（含图2方法）． 题型4.画对称轴与轴对称图形 1．下列选项中，直线是四边形的对称轴的是（    ） A． B． C． D． 2．如图为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．可以画出与成轴对称、每个顶点都在格点上，且位置不同的三角形有________个． 3．如图，正方形网格的每个小正方形的边长为．的三个顶点均在格点上． (1)画出关于直线对称的； (2)在直线上找一点，使的值最小． (3)求的面积． 题型5.镜面对称问题 1．某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，从镜子中看到的汽车车牌的部分号码如图所示，则在该车牌的部分号码为（ ） A．E9362 B．E9365 C．E6395 D．E6392 2．电子钟示数“”的镜面对称像为__________． 3．平面镜中看到“”，实际电子钟示数为__________． 题型6.等腰三角形等边对等角性质应用 1．如图，在中，，，以点C为圆心，适当长度为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D，则为（   ）度． A．30 B．45 C．36 D．54 2．如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为___________． 3．如图，在中，，点E在边上，点D在边上，且，若，，求的长． 题型7.等腰三角形三线合一性质应用 1．如图，在中，，是边的中点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．浏水月夜民宿用等腰形状设计窗台，为保证窗台两侧受力均匀，需使，并用连接和加固支架．已知是边的中点，且，则________． 3．如图，中，，为边的中点，，垂足为，求证：． 题型8.线段垂直平分线的性质应用 1．计划在滹沱河某个绿化区增设条漫步小路，小路，小路与，均相交．若要在小路上修建一个凉亭，使其到小路的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（    ）． A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 2．如图，在中，，D为上一点，连接，过点D作于点E．若E为的中点，，的周长为14，则的长为______． 3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． (1)在图中作出关于直线l对称的；（要求：A与，B与，C与相对应） (2)若有一格点P到点A、B的距离相等（），则网格中满足条件的点P共有 个； (3)在直线l上找一点Q，使的值最小； (4)求的面积． 题型9.作已知线段的垂直平分线 1．某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动．各组展示作图痕迹如下，其中是的角平分线，判断正确的是（   ） A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④ 2．如图，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，连接，，，则，依据是___________ 3．如图，已知，请用尺规作图法，在边的上方作一点D，使得平分，且．（保留作图痕迹，不写作法） 题型10.角平分线的性质定理应用 1．如图，平分，于点，点在上．若，面积为9，则的长为（   ） A．2 B．6 C．3 D．9 2．如图，平分，，则点D到的距离为__________． 3．如图，在中，作的平分线． (1)下列操作中，作的平分线的正确顺序的序号依次为_____； ①分别以点、为圆心，大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点； ②以点为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点，交于点； ③作射线，交于点． (2)证明的理论依据是_____（填序号）； ①SSS；②；③；④角平分线上的点到角两边的距离相等， (3)过点作于，若，求的长． 题型11.作角平分线（尺规作图） 1．如图，直线，点E，F分别在直线上，连接，以点E为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部交于点H，画射线交于点G，若，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线，点E，F分别在直线，上，连接，以点E为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点H，画射线交于点C，若，则的度数为______ 3．如图，在四边形中，、交于点，请你用尺规作图法在边上找一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 题型12.根据轴对称图形的特征进行求解 1．如图，四边形与四边形关于直线对称，交于点R，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B．C． D． 2．如图，和关于所在的直线成轴对称，点，是边上的两点，的面积是，则图中阴影部分的面积是______． 3．【中档】如图，点P是外的一点，点M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上．若，求线段的长． 题型13.折叠问题 1．如图把一张长方形纸片沿折叠后，交于点，点分别落在、位置上．若，那么（    ） A． B． C． D． 2．如图，将一张长方形纸条沿折叠，点分别折叠至点的位置，若，则的度数为__________． 3．若和均为大于小于的角，且，则称和互为“伙伴角”．根据这个约定，解答下列问题： (1)若和互为“伙伴角”，当时，求的度数； (2)如图1，O为直线上一点，，，则的“伙伴角”是_______； (3)①如图2，将一长方形纸片沿着对折（点P在线段上，点E在线段上）使点B落在点，若与互为“伙伴角”，求的度数； ②如图3，在图1的基础上，再将长方形纸片沿着对折（点F在线段上）使点C落在线段上的点处，线段落在内部．若与互为“伙伴角”，求的度数． 题型14.设计轴对称图案 1．如图是由3个相同的小正方形组成的图形，若再补画一个相同的小正方形，使补画后的图形是轴对称图形，则不同的补画方法一共有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 2．如图，在的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中剩余的编号的小正方形中任意一个涂黑，则所得图案是一个轴对称图形的概率是_______． 3．如图，在正方形网格中，点，，均是格点．用无刻度直尺按要求画图（不写画法，保留画图痕迹）； (1)如图1，画出关于直线对称的图形： (2)如图2，方格纸上有两条线段，请在图2中补画一条线段，将其补成一个轴对称图形（画出所有符合条件的线段）． 题型15.轴对称在台球、光线反射中的实际应用 1．如图是一台桌球面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入的球洞的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 2．如图，小华将小球放在两平行镜和之间，其球心为点A，点A在平面镜中的像为，在平面镜中的像为．已知点到的距离为，到的距离为，则________． 3．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的； (2)的面积为__________； (3)在直线l上找一点P，使的值最小．（在图中标出点P，保留作图痕迹） 题型16.最短路径问题 1．如图，在村庄附近有一个生态保护区，现要在公路边修建一个垃圾站，使它到，两村庄的路程之和最短，且从村庄到公路不能穿过生态保护区，则下列四种修建方案中，符合条件的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，如果点分别为上的动点，那么的最小值是______________． 3．如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上． (1)的面积为_____________； (2)画出关于直线l的轴对称图形； (3)在直线l上求作一点P，使值最小．（保留作图痕迹，不写作法） 题型17.关于轴对称的线段综合题 1．，两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边上修建一个自来水厂，分别向两个小镇供水．要使所用水管总长度最短，则下列图形中，自来水厂的位置正确的是（ ） A． B． C. D． 2．小刚准备去河里打一桶水送去王奶奶家．如图，小刚的家在A处，王奶奶的家在B处，A，B两点到河岸的距离分别为AC和BD，且．若点A到河岸CD的中点的距离为1000 m，则小刚从A处到河里打水再送去王奶奶家的最短距离是________m． 3．如图，小河边有两个村庄，，现要在河边建一个自来水厂为村与村供水，自来水厂建在什么地方到村、村的距离和最小？请在下图中找出点的位置，并标出点．（保留作图痕迹，不写作法） 题型18.关于轴对称的面积综合题 1．如图，，点分别在射线上，的面积为，点是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为．当点在直线上运动时，的面积最小值为_____． 2．如图，，点、分别在射线、上，，的面积为，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为______ ． 【答案】8 3．如图，在下列正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，，，，四个点都在格点（小正方形的顶点）上，画出四边形关于直线对称的四边形，并求出四边形的面积． 题型19.轴对称的角度综合题 1．如图，直线与直线相交，，点在内（不在，上）．小明用下面的方法作的对称点：先以为对称轴作点关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…，如此继续，得到一系列点，，，…，．若与重合，则的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．如图，直线与直线相交，，点P在内，用下面的方法作P 的对称点：先以为对称轴作点P关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…， 如此继续，得到一系列点，，，，…，，若与P重合，则n的最小值为 _______． 3．在网格中建立如图所示的平面直角坐标系，每个小正方形的顶点称为格点，例如图中点、仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图并回答问题： （1）作出线段关于y轴对称的线段，并写出点B的对应点D的坐标是（________）； （2）过点A作一直线l，使得线段（保留画图过程的痕迹）； （3）在x轴上找点M，使（保留画图过程的痕迹）． 题型20.轴对称的其他综合题 1．已知是平面内四个点，如果能用两种不同长度的线段将这四个点进行两两连接，使得任意三点所连线段都能构成等腰三角形，我们就称这四个点及它们之间的连线构成“二分对称图形”．例如：如图就是一种“二分对称图形”，其中，、、均为等腰三角形，且满足，，．则满足条件的“二分对称图形”共有（    ）．（形状相同的图形算作同一种） A．5种 B．6种 C．7种 D．7种以上 2．如图，平面直角坐标系中，分别以点，为圆心，以1，3为半径作，，M，N分别是，上的动点，P为x轴上的动点，则的最小值等于______． 3．如图，在的正方形网格中，点A、B、C都在格点上点D是与网格线的交点且，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)作边上高． (2)画出点D关于的对称点F； (3)画射线，平分． 分层精练 一、单选题 1．电子社保卡是实体社保卡的线上版本，具有与实体社保卡相同的法律效力．下面是电子社保卡小程序中的一组图标，文字上方的部分是轴对称图形的是（     ） A．综合服务 B．社会保障 C．人才人事 D．常用服务 2．下列图形中，有3条对称轴的是（　　） A． B． C． D． 3．从镜子里看到位于镜子对面电子钟的像如图所示，则实际时间是（   ） A． B． C． D． 4．如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，立柱，若测得米，则的长是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．如图，在正方形网格中，，为小正方形顶点，直线经过小正方形顶点，，，，在直线上求一点使最短，则点应位于（   ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 二、填空题 6．如图，线段与关于直线l对称，与直线l相交于点O，若，则______． 7．如图，球桌上有，两个桌球，若要将球射向球桌的一边，反弹一次后击中球，则球应射向，，，四个点中的点_____ ． 8．如图，在中，，的垂直平分线分别交于点，．若，则的周长为_____________． 三、解答题 9．四边形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A，B，C，D均在格点上． (1)作出四边形关于y轴对称的四边形； (2)在y轴上找一点P，使的值最小（保留作图痕迹）； (3)四边形的面积为________． 10．综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以“长方形纸带的折叠”为主题开展数学活动，已知长方形纸带的边，将纸片沿折痕折叠，点E是折痕与边的交点，点F是折痕与边的交点，点A，B的对应点分别为点，，线段与交于点G．（说明：折叠后纸带的边始终成立） 操作探究： (1)如图1，若点E与点A重合，使点恰好落在线段上，与______是内错角，如图2，若，则的度数为______°； (2)如图3，改变折痕的位置，其余条件不变，猜想图中和的大小关系，并说明理由； (3)如图3，若，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $