10.2 事件的相互独立性课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦“事件的相互独立性”，通过复习积事件概率及事件关系表，结合抛掷硬币、有放回摸球试验，引导学生观察事件间影响，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点是以实例探究培养数学眼光，通过定义推导与例题计算发展数学思维，用规范符号表达和实际问题（如天气预报、火车正点）提升数学语言能力。学生能深化理解，教师可直接用于教学提高效率。

人教2019版必修第二册 第十章 概率 10.2 事件的相互独立性 1 1．理解两个事件相互独立的概念． 2．能进行一些与事件独立有关的概念的计算． 3. 通过对实例的分析，会进行简单的应用. 课程目标 教学重难点 1.教学重点：理解两个事件相互独立的概念。 2.教学难点：事件独立有关的概念的计算。 阅读课本246-249页，思考并完成以下问题 1、满足什么条件两个事件是相互独立的？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 任务清单 复习回顾 对于积事件的概率，还有什么值得研究的问题? 我们知道，积事件AB就是事件A与事件B同时发生. 因此，积事件AB发生的概率一定与事件A、B发生的概率有关. 那么，这种关系会是怎样的呢?下面我们来讨论一类与积事件有关的特殊问题. 我 新课讲授 探究 下面两个随机试验各定义了一对随机事件A和B，你觉得事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗? 试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”. 试验2：一个袋子中装有标号分别是1, 2, 3, 4的4个球，除标号外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球. 设A=“第一次摸到球的标号小于3”, B=“第二次摸到球的标号小于3”. 新课讲授 对于试验1，因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率. 对于试验2，因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率. 思考以上试验中事件AB与A和B的概率有何联系? 探究新知 新课讲授 试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”. 试验2：一个袋子中装有标号分别是1, 2, 3, 4的4个球, 除标号外没有其他差异, 采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球. 设A=“第一次摸到球的标号小于3”, B=“第二次摸到球的标号小于3”. 分别计算P(A), P(B), P(AB)，你有什么发现? 显然有P(AB)=P(A)P(B). 也就是积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积. 并把这种互不影响的事件称为相互独立事件. 概念解析 新课讲授 相互独立事件的定义： 对任意两个事件A与B，如果 P(AB)=P(A)P(B) 成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. 若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)． 通俗地说，对于两个事件A，B， 如果其中一个事件是否发生 对另一个事件发生的概率没有影响，就把它们叫做相互独立事件． 新课讲授 思考 必然事件Ω、不可能事件Ø与任意事件相互独立吗？ 根据相互独立事件的定义，必然事件一定发生，不受任何事件是否发生的影响；同样，不可能事件一定不会发生，不受任何事件是否发生的影响，当然，他们也不影响其他事件的发生． 由于P(AΩ)=P(A)=P(A)P(Ω)，P(AØ)=P(Ø)=P(A)P(Ø)成立． 因此，必然事件Ω、不可能事件Ø与任意事件相互独立． 典例解析 新课讲授 思考 互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系. 如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立? 显然，若事件A与B相互独立，则A与 ， 与B，与 也相互独立 对于A与B，因为A=AB A ，且AB与A 互斥，所以 P(A)=P(AB A )=P(AB)+P(A )=P(A)P(B)+P(A ) 所以P(A )=P(A)-P(A)P(B)=P(A)(1-P(B))=P(A)P( ) 所以A与B相互独立 类似地，可以证明 与B. 与 也相互独立 11 新课讲授 例1 一个袋子中有标号分别为1, 2, 3, 4的4个球, 除标号外没有其他差异. 采用不放回方式从中任意摸球两次. 设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”,事件B=“第二次摸出球的标号小于3”, 那么事件A与事件B是否相互独立? 解：样本空间 ={（m,n）m,n∈{1,2,3，4，且m≠n}，共12个样本点 A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)} B={(1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)} AB={(1,2),(2,1)} 因此，事件A与事件B不独立 判断两个事件是否相互独立的方法： 新课讲授 1.直接法：直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率. 2.定义法：判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立. 3.转化法：由判断事件A与事件B是否相互独立,转化为判断A与 , 与 B， 与 是否具有独立性. 归纳总结 新课讲授 例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8， 乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率: (1)两人都中靶；(2)恰好有一人中靶； 解：设A="甲中靶",B="乙中靶"，则A="甲脱靶",B="乙脱靶" 由于两个人射击的结果互不影响，所以A与B相互独立，A与 ， 与B， 与 都 相互独立.由己知可得，P(A)=0.8,P(B)=0.9，P( )=0.2,P( )=0.1 (1)AB="两人都中靶”，由事件独立性的定义，得 P(AB)=P(A)P(B)=0.8x0.9=0.72 (2）"恰好有一人中靶"=A U B，且 与 B互斥，根据概率的加法公式 和事件独立性定义，得 P(A U B)=P(A )+P( B)=P(A)P( )+P( )P(B) = 0.8x0.1+ 0.2x0.9 =0.26 解题技巧 方法总结：由简单事件通过运算得到复杂事件, 进而利用互斥、对立、独立等关系计算概率. 解题时要注意: 1.对事件进行分解，一方面分解为互斥的几类简单事件求概率；另一方面分解为独立的事件，利用事件同时发生(乘法)求出概率. 2. 对事件分解时，要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义. 练习检测 1. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第1枚正面朝上”，B=“第2枚正面朝上”，C=“2枚硬币朝上的面相同”，A、B、C中哪两个相互独立？ 解：样本空间为Ω={(正,反)，(正,正)，(反,正)，(反,反)} A={(正,反)，(正,正)}，B={(正,正)，(反,正)}，C={(正,正),(反,反)} AB={(正,正)},AC={(正,正)},BC={(正,正)} P(A)= P(B)= P(C)= P(AB)= P(BC)= P(AC)= 所以 P(AB)= P(A)P(B), P(BC)= P(B)P(C), P(AC)= P(A)P(C) 即A、B、C两两互相独立. 练习检测 2.设样本空间Ω={a,b,c,d}含有等可能的样本点，且A={a,b}, B={a,c}, C={a,d}. 请验证A, B, C三个事件两两独立，但P(ABC)≠P(A)P(B)P(C). 解: A={a, b}, B={a, c}, C={a, d}, AB={a}, AC={a}, BC={a}, ABC={a}. ∴P(A)=P(B)=P(C)=1/2, P(AB)=P(AC)=P(BC)=1/4. P(A)P(B)P(C)=1/8, P(ABC)=1/4. ∴P(AB)= P(A)P(B), P(AC)= P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), 即A,B,C三个事件两两独立, 但P(ABC)≠P(A)P(B)P(C). 练习检测 3.天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内: (1)甲、乙两地都降雨的概率; (2)甲、乙两地都不降雨的概率; (3)至少一个地方降雨的概率. 解：(1)甲、乙两地都降雨的概率为0.2×0.3= 0.06. (2)甲、乙两地都不降雨的概率为( 1-0.2)×( 1-0.3)= 0.8×0.7= 0.56. (3)解法一: 至少一个地方降雨的概率为 0.2×0.3+(1-0.2)×0.3+0.2×( 1-0.3)= 0.44. 解法二: 由(2)知,甲、乙两地都不降雨的概率为0.56, 所以至少一个地方降雨的概率为1-0.56=0.44. 练习检测 解：用A，B，C分别表示这三列火车止点到达的事件 则 P(A)=0.8, P(B)=0.7, P(C)=0.9 所以P（ )=0.2，P（ )=0.3，P（ )=0.1 由题意得A，B，C之间相互独立，所以恰好有两列正点到达的概率为 P=P( BC)+P(A C)+P(AB ） =P( )P(B)P(C)+P(A)P( )P(C)+P(A)P(B)P( ） =0.2×0.7×0.9+0.8×0.3×0.9+0.8×0.7×0.1=0.398 变式1 王敏某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，07，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响，求： （1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率： （2）这三列火车至少有一列正点到达的概率. 练习检测 解：（2）一列火车至少有一列正点到达的概率为 P2=1-P( ） =1-P( )P( )P( ） =1-0.2×0.3×0.1=0.994 变式1 王敏某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，07，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响，求： （1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率： （2）这三列火车至少有一列正点到达的概率. 课堂小结 课堂小结 1. 对任意两个事件A与B，如果 P(AB)=P(A)P(B) 成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. 2. 必然事件Ω、不可能事件∅都与任意事件相互独立. 3. 如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立. $