10.2 事件的相互独立性 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦“事件的相互独立性”，通过复习事件关系（包含、并、交、互斥、对立），结合抛掷硬币、有放回摸球试验引入积事件概率问题，构建新旧知识联系的学习支架。 其亮点是用试验探究培养数学眼光，逻辑推导发展数学思维，生活情境例题强化数学语言。采用探究式教学，小结系统梳理定义、公式及性质，助力学生提升抽象能力、推理意识和应用意识，为教师提供结构化资源以实施高效教学。

10.2 事件的相互独立性 复习回顾 事件的关系或运算 事件的关系或运算 含义 符合表示 韦恩图 包含 发生导致发生 或 并事件(和事件) 与至少一个发生 或 交事件(积事件) 与同时发生 或 互斥(互不相容) 与不能同时发生 互为对立 与有且只有一个发生 书294引入 前面我们研究过互斥事件、对立事件的概率性质，还研究过和事件的概率计算方法。对于积事件的概率你能得出什么值得研究的问题吗？ 我们知道，积事件AB就是事件A与事件B同时发生。因此，积事件AB发生的概率一定与事件A，B发生的概率有关。那么，这种关系会是怎么样的呢？ 新知探究 书249探究：下面两个随机试验中各定义了一对随机事件A和事件B，你觉得事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗? 试验1 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”. 试验2 一个袋子中装有标号分别是1, 2, 3, 4的4个球，除标号外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球. 设A=“第一次摸到球的标号小于3”, B=“第二次摸到球的标号小于3”. 分别计算P(A),P(B),P(AB),你有什么发现？ 新知探究 对于下面两个试验，计算P(AB)、P(A)和P(B)，观察它们有何联系? 试验1 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”. 样本空间为：Ω={(1 , 1) , (1, 0), (0, 1), (0, 0)}包含四个等可能得样本点。 A={(1, 1), (1, 0)}，B={(1, 0), (0, 0)}，AB={(1, 0)}. 由古典 显然，对于实验1，因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率。 试验1：1=“正面朝上”，0=“反面朝上” 新知探究 试验2 一个袋子中装有标号分别是1, 2, 3, 4的4个球，除标号外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球. 设A=“第一次摸到球的标号小于3”, B=“第二次摸到球的标号小于3”. 试验2：Ω={(m , n)|m , n∈{1 , 2 , 3 , 4}}，包含16个样本点 . A={(1 , 1) , (1 , 2) , (1 , 3) , (1 , 4) , (2 , 1) , (2 , 2) , (2 , 3) , (2 , 4)}， B={(1 , 1) , (2 , 1) , (3 , 1) , (4 , 1), (1 , 2), (2 , 2) , (3 , 2) , (4 , 2)}， AB={(1 , 1) , (1 , 2) , (2 , 1) , (2 , 2)}. 对于实验2，因为是又放回的摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率。 结论 从上述的两个试验的共性中得到启发，我们引入这种事件关系的一般定义： 对于任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立 则称事件A与事件B相互独立，简称为独立 由两个事件相互独立的定义，容易验证必然事件总会发生，不会受任何事件是否发生影响：同样，不可能事件总不会发生，也不受任何事件是否发生的影响。当然，他们也不影响其他事件是否发生。 新知讲授 相互独立事件： 对任意两个事件A与B，如果 P(AB) = P(A) P(B) 成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. 独立事件的 概率乘法公式 注： ①互斥事件：两个事件不能同时发生. ②相互独立事件：两个事件的发生彼此互不影响. 作用： ①判断两个事件是否独立； ②在相互独立的条件下求积事件的概率. P(AB) = P(A) P(B) 事件与相互独立. 例1 (1)(多选)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6.从中有放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”．丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　　) A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙不相互独立 D．丙与丁相互独立 答案：BC 返回导航 9 解析：(1)两次取出的球的数字之和为8，有(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，共5种情况，所以P(丙)＝；两次取出的球的数字之和为7，有(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)，共6种情况，所以P(丁)＝；又P(甲)＝P(乙)＝；对于A，P(甲丙)＝0≠P(甲)P(丙)，故甲与丙不相互独立，故A错误；对于B，P(甲丁)＝＝P(甲)P(丁)，故甲与丁相互独立，故B正确；对于C，P(乙丙)＝≠P(乙)P(丙)，故乙与丙不相互独立，故C正确；对于D，P(丙丁)＝0≠P(丁)P(丙)，故丙与丁不相互独立，故D错误．故选BC. 返回导航 10 (2) 若P(AB)＝，P＝，P(B)＝，则事件A与B的关系是(　　) A．事件A与B互斥 B．事件A与B对立 C．事件A与B相互独立 D．事件A与B既互斥又相互独立 答案：C 返回导航 11 解析：由P(AB)＝，P＝，P(B)＝，可得P(A)＝1－P＝1－，所以P(AB)＝P(A)P(B)＝≠0，所以事件A与B相互独立、事件A与B不互斥，则事件A与B不对立．故选C. 返回导航 12 学霸笔记：(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． (2)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件． 返回导航 13 跟踪训练1　(1)投掷一枚质地均匀的骰子，事件A：点数小于4，事件B：点数大于2，事件C：点数为偶数．则下列关于事件描述正确的是(　　) A．A与B是互斥事件 B．A与B是对立事件 C．A与C是独立事件 D．B与C是独立事件 答案：D 返回导航 14 解析：由于点数为3时，表示事件A与B同时发生，所以A与B不是互斥事件，也不是对立事件，故AB错误；由题意得P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(AC)＝，P(BC)＝，由于P(A)P(C)＝≠，所以A与C不是独立事件，故C错误；由于P(B)P(C)＝＝P(BC)，所以B与C是独立事件，故D正确．故选D. 返回导航 15 (2)一袋中装有5只白球，3只黄球，在有放回地摸球中，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则事件A1与是(　　) A．相互独立事件 B．不相互独立事件 C．互斥事件 D．对立事件 答案：A 返回导航 16 解析：由题意可得表示“第二次摸到的不是白球”，即表示“第二次摸到的是黄球”，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黄球或白球互不影响，故事件A1与是相互独立事件．故选A. 返回导航 17 新知探究 书250探究：互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系。如果事件A和事件B相互独立，那么他们的对立事件是否也相互独立？以有放回摸球事件为例， 分别验证A，与是否独立，你有什么发现？ ∵，（A发生等于A发生B发生和B不发生），而且与互斥， ∴ ∴. 由事件的独立性定义，与相互独立. 其余类似证明. 由事件的独立性定义若事件与相互独立， 则与，与，与 也相互独立 . 对于A，若 小贴士 我们知道，如果三个事件A,B,C两两互斥，那么概率加法公式 学习目标二　相互独立事件概率的计算 例2 甲、乙两人从事密码翻译工作，为了工作要求，甲、乙两人翻译密码工作是相互独立互不影响的，且甲、乙分别翻译出密码的概率为，求： (1)两人都译出密码的概率； (2)两人都译不出密码的概率； (3)恰有一人译出密码的概率． 返回导航 20 解析：记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地译出密码”为事件B，A，B为相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝. (1)两人都译出密码的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝. (2)两人都译不出密码的概率为 P＝PP＝[1－P(A)][1－P(B)]＝. 返回导航 21 (3)恰有一人译出密码可以分为两类：甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，则恰有一人译出密码的概率为 P＝P＋P＝P(A)P＋PP(B) ＝＋. 返回导航 22 学霸笔记：用相互独立事件的乘法公式解题的步骤 (1)用恰当的字母表示题中有关事件； (2)根据题设条件，分析事件间的关系； (3)将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个事件的乘积之和(相互乘积的事件之间必须满足相互独立)； (4)利用乘法公式计算概率． 返回导航 23 跟踪训练2　两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率分别是0.7和0.6，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的．求 (1)甲和乙同时命中的概率； (2)甲和乙至少一人命中的概率． 返回导航 24 解析：(1)由题意， 设甲命中为事件A，概率为P1＝0.7， 乙命中为事件B，概率为P2＝0.6， 则设甲和乙同时命中为事件C， ∴甲和乙同时命中的概率为P(C)＝P1·P2＝0.42. (2)由题意及(1)得， 设甲和乙都不命中为事件E，甲和乙至少一人命中为事件F， 则P(E)＝(1－P1)(1－P2)＝0.3×0.4＝0.12， ∴甲和乙至少一人命中的概率为P(F)＝1－0.12＝0.88. 返回导航 25 例1 一个袋子中有标号分别为1, 2, 3, 4的4个球, 除标号外无其他差异. 采用不放回方式从中任意摸球两次. 设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”，事件B=“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A与事件B是否相互独立? 典例分析书251 B={(2,1), (3,1), (4,1), (1,2), (3,2), (4,2)}， 解：样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}, 且m≠n}，n(Ω)=4×3=12. A={(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4)}， AB={(1,2), (2,1)}. 因此，事件A与事件B不独立. 例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8， 乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率: (1)两人都中靶； (2)恰好有一人中靶； 典例分析书251 解：设“甲中靶”, “乙中靶”, 则“甲脱靶”, “乙脱靶”. 由于两个人射击的结果互不影响，所以与相互独立，与，与都相互独立. 由已知可得，. (1) “两人都中靶”，由事件独立性的定义，得 由已知可得，. (2) “恰好有一人中靶”，且与互斥， 得 例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8， 乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率: (3)两人都脱靶； (4)至少有一人中靶. 典例分析 由已知可得，. (3) 事件“两人都脱靶”，所以 (4) 方法1：事件“至少有一人中靶”， 且两两互斥，所以 0.72 + 0.26 = 0.98 . 方法2：事件“至少有一人中靶”，所以 导思·拓展教材——关键能力 突出应用性 学习目标三　比赛中的相互独立事件的概率 例3 甲、乙两位同学进行中国象棋比赛，约定赛制如下：一人累计获胜2局，此人最终获胜，比赛结束；4局比赛后，没人累计获胜2局，比赛结束，获胜局数多的人最终获胜，两人获胜局数相等为平局．已知每局比赛中甲获胜、平局、乙获胜的概率分别为，且每局比赛的结果相互独立． (1)求比赛3局结束的概率； (2)求甲最终获胜的概率． 返回导航 29 解析：(1)根据题意可知，比赛3局结束的事件为前两局中，甲或乙中有一个人胜了一局且另一局为平局或败局， 第三局由前两局中胜一局的一方获胜， 所以比赛3局结束的概率为P＝2×2×＋2×2×. (2)根据题意可知，甲最终获胜的可能性有 ①两局后获胜，即连续胜两局，此时概率为P1＝2＝； ②三局后获胜，且前两局有一局没获胜，此时概率为P2＝2×； 返回导航 30 ③四局后以胜2局获胜，且前三局只胜一局，另两局没有全败，此时概率为P3＝3×； ④四局后以胜1局获胜，且另外3局全是平局，此时概率为P4＝4×. 所以设“甲最终获胜”为事件A，则P(A)＝. 返回导航 31 题后师说 比赛中的相互独立事件概率的解题策略 以回合制为背景的比赛问题，当所求事件较为复杂时，一般根据每局比赛的获胜结果来拆解事件，而不是从事件本身来拆解事件． 返回导航 32 跟踪训练3　11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束． (1)求P(X＝2)； (2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率． 返回导航 33 解析：(1)X＝2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分，因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5. (2)X＝4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为前2个球是甲、乙各得1分，后2个球均为甲得分． 因此所求概率为[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1. 返回导航 34 例3 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动, 每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为 ，乙每轮猜对的概率为 . 在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响. 求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率. 典例分析 甲1 乙2 甲2 乙1 设“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则， 且与互斥，与，与分别相互独立，所以 因此，“星队”在两队活动中猜对3个成语的概率是 教材P252 学以致用 1. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第1枚正面朝上”，B=“第2枚正面朝上”，C=“2枚硬币朝上的面相同”，A、B、C中哪两个相互独立？ 解：记1为“正面朝上”，0为“反面朝上”， 样本空间Ω={(1,1), (1,0), (0,1), (0,0)}，n(Ω)=4. A={(1,1), (1,0)}， B={(1,1), (0,1)}， C={(1,1), (0,0)}， AB={(1,1)}， AC={(1,1)}， BC={(1,1)}， = = = ∴ A、B、C两两独立. 追问：是否有 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 成立？ BC={(1,1)}， = 不成立 学以致用 教材P253 3.天气预报甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内: (1)甲、乙两地都降雨的概率; (2)甲、乙两地都不降雨的概率; (3)至少一个地方降雨的概率. =0.2×0.3=0.06 =0.8×0.7=0.56 (1) P(AB)=P(A)P(B) (2) P(AB)=P(A)P(B) － － － － (3)法1：(拆分事件)：P(M)= =0.2×0.7+0.8×0.3+0.2×0.3=0.44 法3：(对立事件)：P(M)=1－P(AB) － － =1－0.56=0.44 法2：(并事件)：P(M)=P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB) =0.2+0.3－0.2×0.3=0.44 P(A)=0.2 P(B)=0.3 事件M 没有影响 课堂小结 相互独立事件： 对任意两个事件A与B，如果 P(AB) = P(A) P(B) 成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. 独立事件的概率乘法公式 注： ①互斥事件：两个事件不能同时发生. ②相互独立事件：两个事件的发生彼此互不影响. 若事件与相互独立， 则与，与，与 也相互独立 . 性质： 下次课见！ $