（阶段拔高复习）专题02 公因数、公倍数、真假分数、约分及通分（能力清单+实战演练）-2025-2026学年五年级数学下册满分培优讲练测（人教版）

**基本信息** 聚焦公因数、公倍数、分数转化及约分通分，构建“定义-方法-应用”三阶体系，强化抽象能力与运算推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解与方法掌握|4项能力清单|明确列举法、分解质因数法、短除法等方法，提炼最大公因数（公有质因数乘积）、最小公倍数（公有与独有质因数乘积）算理，阐释约分（最简分数）、通分（最小公倍数作公分母）核心逻辑|从定义出发，通过真假分数判断标准衔接分数互化，以公因数/公倍数为基础推导约分/通分方法，形成“概念-原理-应用”递进链条| |计算应用与综合提升|25道计算题|涵盖分数互化、最大公因数/最小公倍数求解、约分通分及大小比较，强化方法迁移与综合运用|通过不同数对（互质、倍数关系等）和分数类型的变式训练，巩固概念联系，提升运算准确性与推理能力|

开启智慧之门，迎接数学挑战​ 亲爱的同学： 欢迎使用《2025-2026学年五年级数学下册满分培优讲练测》。本书专为人教版五年级下册教材设计，旨在成为你整个学期学习过程中最系统、最忠实的备考伙伴，助你从容应对从单元测到大小考的每一次挑战。 一、日常积累，单元为基​​ 我们为每个单元配备了精准的【知识梳理】和【单元复习讲义】，帮助你及时巩固新知，将零散的知识点串联成线。【单元卷】则用于检测学习成效，让你在章节学习后就能进行实战演练，做到“段段清”。​​ 二、阶段诊断，查漏补缺​​ 针对学校常规的【月考】或阶段性测验，本书设有专项训练模块。同时，我们精心提炼了【易错点梳理】，集中呈现高频错误和思维误区，让你在复习时能有的放矢，有效避免“重复踩坑”。​​ 三、冲刺备考，决胜关键​​ 本书的核心部分是针对期中、期末考试的系统规划。【期中、期末备考】部分对半册或全册知识进行整合与深化，突出重难点，提升你的综合运用能力。最后，我们提供了高仿真的【期中卷】与【期末卷】，帮助你熟悉考试节奏，进行最终冲刺。 我们坚信，优秀的成绩源于平日的扎实积累和科学的备考方法。希望你能充分利用本书的体系，将备考融入日常，做到心中有数，脚下有路。祝愿你在本学期的数学学习中，不断进步，在每一次考验中都能自信登场，取得理想的成绩！​​ 编者​乐学数学宝藏库 2025-2026学年五年级数学下册满分培优讲练测 （期末拔高复习）专题02 公因数、公倍数、真假分数、约分及通分 （能力清单+实战演练） 1、能清晰说出公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数、真分数、假分数、带分数、约分、通分的定义，明确它们的联系与区别，牢记最大公因数、最小公倍数的求解方法，理解约分、通分的核心逻辑。 2、能熟练求出两个数的最大公因数和最小公倍数，掌握“列举法”“分解质因数法”“短除法”等求解方法，能清晰说明每种方法的推导逻辑，理解最大公因数是两个数公有质因数的乘积、最小公倍数是两个数公有质因数与独有质因数的乘积。 3、能熟练判断真分数、假分数，掌握真分数小于1、假分数大于或等于1的判断标准，能熟练进行假分数与带分数的互化，理解假分数化带分数是分子除以分母，商为整数部分，余数为分子，分母不变；带分数化假分数是整数部分乘分母加分子作为新分子，分母不变。 4、能熟练对分数进行约分和通分，掌握约分是将分数化为最简分数（分子分母只有公因数1），通分是将异分母分数化为同分母分数（通常用最小公倍数作公分母），能清晰说明约分、通分的算理，理解约分不改变分数的大小，通分是为了比较分数大小、进行分数加减法等。 一、计算题 1．用分数表示下面各题的商，结果是假分数的化成带分数或整数。                            【答案】3；5；4 【分析】分数与除法的关系，被除数相当于分子，除数相当于分母，据此将除法改写为分数；假分数是指分子大于或者等于分母的分数，假分数化为带分数，用分子除以分母，商作为整数部分，余数作为分子，分母不变，据此解答。 【解答】，43÷12＝3……7，则； ，50÷9＝5……5，则5； ，52÷13＝4，则4。 2．把下面的假分数化成整数或带分数，带分数化成假分数。                                                  【答案】；3；；； 【分析】假分数化成带分数：用分子除以分母，当分子是分母的整数倍时，能化成整数，商就是这个整数；当分子不是分母的整数倍时，能化成带分数，商是带分数的整数部分，余数是分数部分的分子，分母不变。带分数化成假分数：分母不变，整数部分乘分母加分子是假分数的分子。 【解答】因为24÷5＝4……4，所以； 因为33÷11＝3，所以； 因为100÷16＝6……4，所以； 因为5×9＋5＝45＋5＝50，所以； 因为10×23＋13＝230＋13＝243，所以。 3．把下面的假分数化成带分数或整数，把带分数化成假分数。                                                  【答案】 ；；；； 【分析】假分数化成整数或带分数的方法是：用分子除以分母。若整除，商就是整数；若不能整除，商是带分数的整数部分，余数是分数部分的分子，分母不变；带分数化成假分数的方法：用整数部分乘分母加上分子作为假分数的分子，分母不变，由此计算。 【解答】 ……3， ……1， 4．把下面的假分数化成整数或带分数。                      【答案】3；； 【分析】假分数化成整数或带分数，用假分数的分子除以分母，如果分子是分母的倍数，所得的商就是整数；如果分子不是分母的倍数，所得的商就是带分数的整数部分，分母不变，余数作分数部分的分子。 【解答】9÷3＝3，；5÷4＝1……1，；62÷15＝4……2， 5．把下面的假分数化成带分数或整数。                                       【答案】6；7；5；4 【分析】把假分数化成整数或带分数：用假分数的分子除以分母，能整除的就可以化成整数；不能整除的，商是带分数的整数部分，余数是分子，分母不变。 【解答】 因为，所以 因为，所以 因为，所以 6．把假分数化成整数或带分数。                  【答案】；3；7；；12 【分析】把假分数化成整数或带分数的方法是：用分子除以分母。如果分子能被分母整除，商就是整数；如果不能整除，商作为带分数的整数部分，余数作为分数部分的分子，分母保持不变。 【解答】7÷4＝1……3，所以； 9÷3＝3，所以3； 42÷6＝7，所以7； 89÷7＝12……5，所以； 144÷12＝12，所以12。 7．写出每组中两个数的最大公因数。 11和33    10和9    20和12    9和15 【答案】11；1；4；3 【分析】两个数为倍数关系时，最大公因数为较小的数；两个数为一般关系时，这两个数的公有质因数连乘积是最大公因数；两个数为互质关系时，它们的最大公因数是1。 【解答】11和33是倍数关系，最大公因数是11； 10和9是互质关系，最大公因数是1； 20和12是一般关系，20＝2×2×5，12＝2×2×3，最大公因数是2×2＝4； 9和15是一般关系，9＝3×3，15＝3×5，最大公因数是3。 8．写出每组数的最大公因数和最小公倍数。 7和13    15和40    17和51    24和36 【答案】7和13：1；91 15和40：5；120 17和51：17；51 24和36：12；72 【分析】互质数的最大公因数是1，最小公倍数是两数乘积。 不互质的两个数用短除法，分解质因数后，计算最大公因数、最小公倍数即可。 【解答】7和13：两数互质，最大公因数为1；最小公倍数：7×13＝91。 15和40： 最大公因数：5；最小公倍数：5×3×8＝120。 17和51： 最大公因数：17；最小公倍数：17×1×3＝51。 24和36： 最大公因数：2×2×3＝12；最小公倍数：2×2×3×2×3＝72。 9．求出下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 8和26、70和35、38和18、57和9。 【答案】2，104；35，70；2，342；3，171 【分析】对于一般的两个数来说，这两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公因数，这两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数； 对于两个数为倍数关系，最大公因数为较小的数，较大的数是这两个数的最小公倍数； 是互质数的两个数，它们的最大公因数是1，最小公倍数即这两个数的乘积。 【解答】8＝2×2×2 26＝2×13 8和26的最大公因数是2，最小公倍数是2×2×2×13＝104。 70÷35＝2 70和35是倍数关系，最大公因数是35，最小公倍数是70。 38＝2×19 18＝2×3×3 38和18的最大公因数是2，最小公倍数是2×3×3×19＝342。 57＝3×19 9＝3×3 57和9的最大公因数是3，最小公倍数是3×3×19＝171。 10．找出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 24和18          27和54          13和7       21和126 【答案】6；72；27；54；1；91；21；126 【分析】可通过分解质因数的方法求两个数的最大公因数与最小公倍数，两个数的公有质因数的积是它们的最大公因数，公有质因数再乘上各自独有的质因数的积是它们的最小公倍数。 【解答】24和18 24＝；18＝ 最大公因数：； 最小公倍数： 27和54 27＝；54 最大公因数：； 最小公倍数： 13和7 13＝；7＝ 最大公因数：1 最小公倍数： 21和126 21＝； 最大公因数： 最小公倍数： 11．请你用自己喜欢的方法，求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 24和36                60和42                 50和125 【答案】最大公因数是12，最小公倍数是72；最大公因数是6，最小公倍数是420；最大公因数是25，最小公倍数是250 【分析】分解质因数法是把每个数分解成质因数相乘的形式，最大公因数是两个数公有的质因数的乘积，最小公倍数是公有的质因数与各自独有的质因数的乘积。下面用分解质因数法来求解。 24和36，分解质因数：24＝2×2×2×3，36＝2×2×3×3。公有的质因数是2、2、3，所以最大公因数为2×2×3。公有的质因数是2、2、3，24独有的质因数是2，36独有的质因数是3，所以最小公倍数为2×2×3×2×3。 60和42，分解质因数：60＝2×2×3×5，42＝2×3×7。公有的质因数是2、3，所以最大公因数为2×3＝6。公有的质因数是2、3，60独有的质因数是2、5，42独有的质因数是7，所以最小公倍数为2×3×2×5×7。 50和125，分解质因数：50＝2×5×5，125＝5×5×5。公有的质因数是5、5，所以最大公因数为5×5。公有的质因数是5、5，50独有的质因数是2，125独有的质因数是5，所以最小公倍数为2×5×5×5。 【解答】24和36：24＝2×2×2×3，36＝2×2×3×3 最大公因数：2×2×3＝12 最小公倍数：2×2×3×2×3＝72 60和42：60＝2×2×3×5，42＝2×3×7 最大公因数：2×3＝6 最小公倍数：2×3×2×5×7＝420 50和125：50＝2×5×5，125＝5×5×5 最大公因数：5×5＝25 最小公倍数：2×5×5×5＝250 24和36的最大公因数是12，最小公倍数是72；60和42的最大公因数是6，最小公倍数是420；50和125的最大公因数是25，最小公倍数是250。 12．求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 12和18        21和35        34和51 【答案】最大公因数6，最小公倍数36； 最大公因数7，最小公倍数105； 最大公因数17，最小公倍数是102 【分析】用质因数分解法可以求两个数的最大公因数和最小公倍数。全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这两个数的最大公因数；全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这两个数的最小公倍数。据此解答。 【解答】12＝2×2×3 18＝2×3×3 则12和18的最大公因数是2×3＝6，最小公倍数是2×3×2×3＝36； 21＝3×7 35＝5×7 则21和35的最大公因数是7，最小公倍数是3×7×5＝105； 34＝2×17 51＝3×17 则34和51的最大公因数是17，最小公倍数是2×17×3＝102。 13．化简下面各分数。              【答案】；；； 【分析】化简分数的核心是找出分子和分母的最大公因数，然后分子、分母同时除以这个最大公因数，得到最简分数（分子分母互质）。 【解答】＝＝ ＝＝ ＝＝ ＝＝ 14．先约分，再比较各组分数的大小。 和              和        和 【答案】见详解 【分析】先根据“分子和分母同时除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变”的基本性质把每组分数约成最简分数，再根据“同分母分数，分子越大分数就越大；同分子分数，分母越大分数越小”即可判断大小。 【解答】，，因为2＜3，所以＞，即＞ ，，因为，所以＝ ，，因为3＜5，所以＜，即＜ 15．先约分，再化成带分数或整数。              【答案】＝＝；＝＝；＝3；＝＝ 【分析】约分：把分数化简成分子和分母只有公因数1，据此先把给出的分数约分，再用分子除以分母，如果结果是整数，则这个分数可以化成整数；如果结果是有余数除法，则整数商就是带分数的整数部分，带分数的分数部分的分母和原来假分数的分母相同，余数是分数部分的分子。 【解答】＝＝＝ ＝＝＝ ＝＝3 ＝＝＝ 16．先约分，能化成整数或带分数的再化成整数或带分数。                                【答案】；；； 【分析】每个分数分别将分子和分母同时除以它们的最大公因数，使分数化为最简分数。约分后，分子是分母倍数的化成整数，分子大于分母的假分数化成带分数。假分数化成带分数的方法是：分子除以分母，商是整数部分，余数是新分子，分母不变。 【解答】14和6的最大公因数是2，因此；是假分数，7÷3＝2…1，所以。 10和18的最大公因数是2，因此；是真分数无需化成带分数。 30和15的最大公因数是15，因此，结果为整数2。 8和28的最大公因数是4，因此；是真分数无需化成带分数。 17．把下面的分数化成最简分数。                                      【答案】；；； 【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变；最简分数是指分子和分母只有公因数1的分数。 【解答】＝ ＝ ＝ ＝ 18．先约分，再化成带分数或整数。                              【答案】；；； 【分析】约分是根据分数的基本性质，即分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。假分数化成带分数的方法是用分子除以分母，当分子是分母的整数倍时，能化成整数，商就是这个整数；当分子不是分母的整数倍时，能化成带分数，商是带分数的整数部分，余数是分数部分的分子，分母不变。据此解答。 【解答】 5÷2＝2……1 3÷1＝3 8÷5＝1……3 9÷2＝4……1 19．把下列各组分数通分，并比较大小。 和                和                和 【答案】（1），，＜ （2）＝，，＜ （3），， 【分析】先找出两个分母的最小公倍数作为公分母，再根据分数的基本性质，将分数化为同分母分数，最后比较分子大小（分子大的分数大）。和，分母12和4的最小公倍数是12；和，分母9和8的最小公倍数是72；和，分母12和20的最小公倍数是60。 【解答】和，，＜，＜； 和，＝，＝，＜，＜； 和，，，，。 20．把下面各组分数通分。 和        和        和 【答案】，；，；， 【分析】通分是把几个异分母分数化成与原来分数相等的同分母分数的过程，这个相同的分母叫做这几个分数的公分母，通常用几个分母的最小公倍数作公分母。两个数的公有质因数和各自的独有质因数的乘积即为两数的最小公倍数。 据此先找出每组分数分母的最小公倍数作为公分母，再根据分数的基本性质，将分数化为以公分母为分母的分数。 【解答】（1）因为72÷24＝3（两数成倍数关系），所以24和72的最小公倍数为72。 ＝＝ ＝ （2）12＝2×2×3 15＝3×5 因此12和15的最小公倍数为：2×2×3×5＝4×3×5＝60 ＝＝ ＝＝ （3）16＝2×2×2×2 12＝2×2×3 因此16和12的最小公倍数为：2×2×2×2×3＝48 ＝＝ ＝＝ 21．先通分，再比较每组中分数的大小。 和    和    和 【答案】＝，＝，＞；＝，＝，＞；＝，＝， ＞ 【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变；把异分母分数化成大小和原来相等的同分母分数叫做通分；同分母分数比较大小：分子大的分数就大，据此解答。 【解答】＝，＝，因为＞，所以＞； ＝，＝，因为＞，所以＞； ＝，＝，因为＞，所以＞。 22．将下列各组分数通分后比较大小。 和       和      和 【答案】＝，＝，＜； ＝，＝，＞； ＝，＝，＞。 【分析】9和6的最小公倍数是18，将的分子和分母同时乘2，的分子和分母同时乘3，即可完成通分。 10和15的最小公倍数是30，将的分子和分母同时乘3，的分子和分母同时乘2，即可完成通分。 8和20的最小公倍数是40，将的分子和分母同时乘5，的分子和分母同时乘2，即可完成通分。 将每组分数通分后，再比较大小。同分母分数，分子大的就大。 【解答】＝＝ ＝＝ ＜，所以＜。 ＝＝ ＝＝ ＞，所以＞。 ＝＝ ＝＝ ＞，所以＞。 23．通分并比较分数的大小。 和        、和        和        、和 【答案】通分见详解； ＜；＜＜；＞；＜＜ 【分析】把异分母分数化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。 通分时，一般用原来几个分母的最小公倍数作为公分母，然后运用分数的基本性质，将各分数分别化成以这个公分母为分母的分数。 分数大小的比较：分母相同时，分子越大，分数值就越大。 【解答】（1）＝＝ ＝＝ ＜，所以＜； （2）＝＝ ＝＝ ＝＝ ＜＜，所以＜＜； （3）＝＝ ＝＝ ＞，所以＞； （4）＝＝ ＝＝ ＜＜，所以＜＜。 24．先把下面每组中的两个分数约分或通分，再比较大小。 和                    和                    和 【答案】＝；＜；＜ 【分析】和，约分：约分是把分数化成最简分数的过程，即分子分母同时除以它们的最大公因数。对于，12和16的最大公因数是4，分子分母同时除以4。对于，9和12的最大公因数是3，分子分母同时除以3。然后再比较大小。 和，约分：对于，分子分母同时除以35，然后再进行通分。对于，90和40的最大公因数是10，分子分母同时除以10。然后再比较大小。 和，通分：通分是把几个异分母分数化成与原来分数相等的同分母分数的过程，先找两个分母的最小公倍数作为公分母。8和9互质（互质指公因数只有1），所以它们的最小公倍数是8×9＝72。对于，分子分母同时乘9。对于，分子分母同时乘8。然后再比较大小。 【解答】和：＝，＝，，＝。 和：，然后再通分。，＜，＜。 和：，，＜，＜。 所以＝；＜；＜。 25．先通分，再把每组分数按从大到小排列。 ，和              ，和          ，和 【答案】；；； 【分析】找出三个分数的公分母，然后根据分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变，把需要通分的分数的分母由异分母分数化成同分母分数，通分后比较分子的大小，分子大的分数大，分子小和分数小。 【解答】因为，，，即＞＞，所以。 因为，，，即＞＞，所以。 因为，，，即＞＞，所以。 学科网（北京）股份有限公司 $ 开启智慧之门，迎接数学挑战​ 亲爱的同学： 欢迎使用《2025-2026学年五年级数学下册满分培优讲练测》。本书专为人教版五年级下册教材设计，旨在成为你整个学期学习过程中最系统、最忠实的备考伙伴，助你从容应对从单元测到大小考的每一次挑战。 一、日常积累，单元为基​​ 我们为每个单元配备了精准的【知识梳理】和【单元复习讲义】，帮助你及时巩固新知，将零散的知识点串联成线。【单元卷】则用于检测学习成效，让你在章节学习后就能进行实战演练，做到“段段清”。​​ 二、阶段诊断，查漏补缺​​ 针对学校常规的【月考】或阶段性测验，本书设有专项训练模块。同时，我们精心提炼了【易错点梳理】，集中呈现高频错误和思维误区，让你在复习时能有的放矢，有效避免“重复踩坑”。​​ 三、冲刺备考，决胜关键​​ 本书的核心部分是针对期中、期末考试的系统规划。【期中、期末备考】部分对半册或全册知识进行整合与深化，突出重难点，提升你的综合运用能力。最后，我们提供了高仿真的【期中卷】与【期末卷】，帮助你熟悉考试节奏，进行最终冲刺。 我们坚信，优秀的成绩源于平日的扎实积累和科学的备考方法。希望你能充分利用本书的体系，将备考融入日常，做到心中有数，脚下有路。祝愿你在本学期的数学学习中，不断进步，在每一次考验中都能自信登场，取得理想的成绩！​​ 编者​乐学数学宝藏库 2025-2026学年五年级数学下册满分培优讲练测 （期末拔高复习）专题02 公因数、公倍数、真假分数、约分及通分 （能力清单+实战演练） 1、能清晰说出公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数、真分数、假分数、带分数、约分、通分的定义，明确它们的联系与区别，牢记最大公因数、最小公倍数的求解方法，理解约分、通分的核心逻辑。 2、能熟练求出两个数的最大公因数和最小公倍数，掌握“列举法”“分解质因数法”“短除法”等求解方法，能清晰说明每种方法的推导逻辑，理解最大公因数是两个数公有质因数的乘积、最小公倍数是两个数公有质因数与独有质因数的乘积。 3、能熟练判断真分数、假分数，掌握真分数小于1、假分数大于或等于1的判断标准，能熟练进行假分数与带分数的互化，理解假分数化带分数是分子除以分母，商为整数部分，余数为分子，分母不变；带分数化假分数是整数部分乘分母加分子作为新分子，分母不变。 4、能熟练对分数进行约分和通分，掌握约分是将分数化为最简分数（分子分母只有公因数1），通分是将异分母分数化为同分母分数（通常用最小公倍数作公分母），能清晰说明约分、通分的算理，理解约分不改变分数的大小，通分是为了比较分数大小、进行分数加减法等。 一、计算题 1．用分数表示下面各题的商，结果是假分数的化成带分数或整数。                            2．把下面的假分数化成整数或带分数，带分数化成假分数。                                                  3．把下面的假分数化成带分数或整数，把带分数化成假分数。                                                  4．把下面的假分数化成整数或带分数。                      5．把下面的假分数化成带分数或整数。                                       6．把假分数化成整数或带分数。                  7．写出每组中两个数的最大公因数。 11和33    10和9    20和12    9和15 8．写出每组数的最大公因数和最小公倍数。 7和13    15和40    17和51    24和36 9．求出下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 8和26、70和35、38和18、57和9。 10．找出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 24和18          27和54          13和7       21和126 11．请你用自己喜欢的方法，求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 24和36                60和42                 50和125 12．求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 12和18        21和35        34和51 13．化简下面各分数。              14．先约分，再比较各组分数的大小。 和              和        和 15．先约分，再化成带分数或整数。              16．先约分，能化成整数或带分数的再化成整数或带分数。                                17．把下面的分数化成最简分数。                                      18．先约分，再化成带分数或整数。                              19．把下列各组分数通分，并比较大小。 和                和                和 20．把下面各组分数通分。 和        和        和 21．先通分，再比较每组中分数的大小。 和    和    和 22．将下列各组分数通分后比较大小。 和       和      和 23．通分并比较分数的大小。 和        、和        和        、和 24．先把下面每组中的两个分数约分或通分，再比较大小。 和                    和                    和 25．先通分，再把每组分数按从大到小排列。 ，和              ，和          ，和 学科网（北京）股份有限公司 $