精品解析：2026年宁夏回族自治区银川市兴庆区银川景博学校中考二模数学试题

银川景博学校2025-2026学年第二学期九年级模拟二试卷（数学） 试卷满分120分，考试时间：120分钟 一．选择题（每小题3分，共计24分） 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 赵爽弦图 B. 杨辉三角 C. 科克曲线 D. 莱洛三角形 2. 某市体育中考成绩按如下权重计算：身体测试必考项目占、选考项目占，运动技能测试占．小明在模拟训练中，身体测试必考项目、选考项目、运动技能测试三项成绩分别为：分、分、分，则小明的模拟训练成绩为（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 3. 2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题的逆命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 对顶角相等 C. 三角形的中位线平行于第三边 D. 等腰三角形的两个底角相等 5. 若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（ ） A. 0 B. 25 C. 26 D. 6. 下面是小张同学完成的填空作业，每道题20分，请计算小张的得分是（ ） ①．计算3 ②．将用科学记数法表示为 ③．已知关于的方程与的解相同，则的值是__8__ ④．用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小的原因是：垂线段最短 ⑤．若，则6 A. B. C. D. 7. 如图，在菱形中，、相交于点．点在上，且，连接交于点，若，则菱形的边长为（ ） A. 4 B. C. D. 5 8. 乐乐家最近要搬新家，为防止甲醛给人体所造成的危害，乐乐爸爸选择使用甲醛检测仪来检测家里甲醛质量浓度是否超标，其中甲醛检测仪核心部件为如图①所示的气体传感器，的阻值随空气中甲醛质量浓度的变化而变化如图②，当甲醛质量浓度时，甲醛检测仪报警，则下列说法错误的是（ ） A. 空气中甲醛的浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大 B. 当时，的阻值为 C. 当时，甲醛检测仪报警 D. 当该房间甲醛浓度高于时，的阻值低于 二．填空题（每小题3分，共计24分） 9. 已知单项式3ab2，请写出一个它的同类项为________． 10. 计算：________． 11. 一个不透明的盒子中有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中小球的个数为________． 12. 如图，的直径，点在上，，过点作交于点，则弧的长为________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，是以为斜边的等腰直角三角形，，点的坐标为．若将向左平移，使点落在直线上，则平移的距离是________． 14. 已知某几何体的三视图如图所示，其俯视图是等边三角形，则该几何体的侧面积为____． 15. 若关于x的方程的解为正数，则m的取值范图是________． 16. 小明妈妈根据O中的三个数按照如下规律设置家中WIFI密码，根据下面的图来找出小明家的密码是____． 三．解答题（共计72分） 17. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 18. 按要求完成计算： （1）分解因式：． （2）如图，两个正方形的边长分别为，，若，，求阴影部分的面积． 19. 按要求完成作图： （1）如图，在边长为的正方形方格纸中，的顶点都在方格纸的格点（小正方形的顶点）上． ①请在图中仅用无刻度的直尺画出的中线． ②请在图中仅用无刻度的直尺确定一点，使得点与、两点的距离相等，且到、两边的距离也相等． （2）已知，请利用尺规过点作，垂足为点（不写作法，保留作图痕迹）． 20. 阅读材料，解决问题： 市场调查 调查背景 银川怀远观光夜市是国家级文旅地标．历经四十余年，汇集西北特色百货， 各地风味佳肴，烟火氤氲，是品尝银川地道美味必打卡之地． 市场调查 其中某商铺销售奶茶和果汁，已知卖出杯奶茶和杯果汁共收入元， 卖出杯奶茶和杯果汁共收入元． 经营需求 该商铺计划销售奶茶和果汁共杯，且奶茶的数量不超过果汁的倍． （1）任务：请你计算奶茶和果汁的单价． （2）任务：请问销售多少杯奶茶才能使总收入最高？并求出最高收入． 21. 在中，是钝角，交的延长线于点，、分别为、的中点，．连接、，设与交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 物理上有个著名的托里拆利实验，它测出了一个标准大气压等于水银柱，取一根长度为1米，一端封闭的玻璃管，用水银灌满后倒立插入盛有水银的容器中．如图下端有淹没在水银槽中，水银柱在液面以上可达高度，实验过程中，水银柱上表面到槽内液面的竖直高度始终保持玻璃管可绕其下端在竖直平面内缓慢倾斜，设玻璃管与竖直方向的夹角为． 参考数据：，，，，，．（精确到0．1 m）． （1）当玻璃管竖直放置（）时，管内真空部分的长度为______厘米； （2）当玻璃管倾斜至与竖直方向夹角时，求管内真空部分的长度（即管内水银上表面中心到管顶的距离）； （3）当玻璃管倾斜至某一角度时，水银恰好充满整个玻璃管（即管内全部为水银，顶部无真空），求此时的大小（精确到） 23. 随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间，不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势、某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如图： 配选速度和服务质量得分统计表： 项目统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 8 7 乙 8 8 7 （1）表格中的m＝______，______（填“＞”“＝”或“＜”）； （2）补全频数分布直方图，并求出扇形统计图中圆心角α的度数； （3）综合上表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择______公司； （4）如果A，B两家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，请用列表法或树状图求两家种植户选择同一快递公司的概率． 24. 如图，是的直径，是的弦，连接，过点作的切线，交的延长线于点，且． （1）求证：； （2）若的半径为，，求的长． 25. 综合与实践 立定跳远中的函数应用 问题情境：立定跳远练习中，运动员身体重心的运动轨迹可近似看作抛物线．为提升训练的安全性、降低受伤风险，并帮助校训队的运动员提高成绩，某学校成立了立定跳远运动规律探究小组． 实验数据：该探究小组测得某运动员在一次试跳中，身体重心距地面的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）的几组数据如下表： 0 0.8 1.6 2.4 3.2 0 0.45 0.6 0.45 0 数学建模：如图1，将运动员身体重心的运动轨迹抽象为抛物线．其顶点为，运动员的起跳点为，落地点为点．以为原点，所在的直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）请根据表格中的测量数据直接写出抛物线的顶点坐标，并求出该抛物线的函数关系式； 问题解决： 已知运动员身体重心在任意位置到地面的高度不低于时可避免练习时受伤．我们将直线与抛物线的两个交点分别记作、，称、两点之间的距离为该运动员此次立定跳远的有效水平距离． （2）求的长（结果保留根号）； （3）实验表明：调整起跳角度后，该运动员的重心运动轨迹近似满足关系式：．为促进运动员科学训练，学校设定了立定跳远的等级标准线：满分线为，良好线为．现要求该运动员的落地点（即时的值）在良好线到满分线之间（含两端点），请直接写出的最大值与最小值． 26. 在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”． （1）【几何直观】如图，中，，，在内部取一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、，则与的数量关系是________；与的数量关系是________； （2）【类比推理】如图，在正方形内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，延长交的延长线于点，求证：四边形是正方形； （3）【拓展延伸】在矩形中，点为边上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川景博学校2025-2026学年第二学期九年级模拟二试卷（数学） 试卷满分120分，考试时间：120分钟 一．选择题（每小题3分，共计24分） 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 赵爽弦图 B. 杨辉三角 C. 科克曲线 D. 莱洛三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义“一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形”及中心对称图形的定义“一个图形绕某个点旋转180度后仍与原图完全重合的图形”进行排除选项即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意． 2. 某市体育中考成绩按如下权重计算：身体测试必考项目占、选考项目占，运动技能测试占．小明在模拟训练中，身体测试必考项目、选考项目、运动技能测试三项成绩分别为：分、分、分，则小明的模拟训练成绩为（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 【答案】C 【解析】 【分析】分别用每个项目的成绩乘以其权重，再将所得结果相加即可得到总成绩． 【详解】解：小明的模拟训练成绩． 3. 2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质． 过点C作，得到，推出，，即可求出． 【详解】解：过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：D． 4. 下列命题的逆命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 对顶角相等 C. 三角形的中位线平行于第三边 D. 等腰三角形的两个底角相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题要求判断逆命题的真假，先将各原命题的条件和结论互换得到逆命题，再结合初中相关知识点判断逆命题真假即可． 【详解】解：A、原命题为“若，则”，逆命题为“若，则”， ∵当，时，满足，但， ∴该逆命题为假命题，不符合要求； B、原命题为“对顶角相等”，逆命题为“相等的角是对顶角”， ∵两平行线被第三条直线所截得到的同位角相等，但同位角不是对顶角， ∴该逆命题为假命题，不符合要求； C、原命题为“三角形的中位线平行于第三边”，逆命题为“平行于三角形第三边的线段是三角形的中位线”， ∵平行于第三边的线段端点不一定是三角形两边的中点，不满足中位线定义， ∴该逆命题为假命题，不符合要求； D、原命题为“等腰三角形的两个底角相等”，逆命题为“有两个角相等的三角形是等腰三角形”， ∵根据等腰三角形判定定理，等角对等边，该命题成立， ∴该逆命题为真命题，符合要求． 5. 若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（ ） A. 0 B. 25 C. 26 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系得出，，将，代入变形后的式子求解即可． 【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：C． 6. 下面是小张同学完成的填空作业，每道题20分，请计算小张的得分是（ ） ①．计算3 ②．将用科学记数法表示为 ③．已知关于的方程与的解相同，则的值是__8__ ④．用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小的原因是：垂线段最短 ⑤．若，则6 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】逐题判断小张作答的对错，统计正确题数，结合每题20分计算总得分． 【详解】解：① 计算， ，原式，小张作答正确，得20分； ② 用科学记数法表示为，符合科学记数法规则，小张作答正确，累计得40分； ③ 解方程得，代入得，解得，小张作答正确，累计得60分； ④ 剪树叶后周长变小的原因是“两点之间线段最短”，小张填“垂线段最短”，作答错误，不得分； ⑤ 计算，得，小张作答正确，累计得80分． 7. 如图，在菱形中，、相交于点．点在上，且，连接交于点，若，则菱形的边长为（ ） A. 4 B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形对边平行且相等的性质证明，利用相似比求出的长，进而得到的长，最后利用菱形对角线互相垂直平分及勾股定理求出边长． 【详解】解：四边形为菱形， ，，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，在中，， 菱形的边长为． 8. 乐乐家最近要搬新家，为防止甲醛给人体所造成的危害，乐乐爸爸选择使用甲醛检测仪来检测家里甲醛质量浓度是否超标，其中甲醛检测仪核心部件为如图①所示的气体传感器，的阻值随空气中甲醛质量浓度的变化而变化如图②，当甲醛质量浓度时，甲醛检测仪报警，则下列说法错误的是（ ） A. 空气中甲醛的浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大 B. 当时，的阻值为 C. 当时，甲醛检测仪报警 D. 当该房间甲醛浓度高于时，的阻值低于 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数值，由反比例函数值求自变量，实际问题与反比例函数等知识点，解题关键是掌握上述知识点． 根据函数图中的两对自变量与函数值，可判断A； 先求出函数表达式，再求出时，的阻值，从而可判断B； 求出时的值，即可判断C； 先求出为的函数值，从而可判断D． 【详解】解：由图②可知，当时，， 当时，， 所以该房间甲醛浓度，相应的的阻值， 所以的阻值随空气中甲醛质量浓度的增大而减小， 故A正确，不符合题意； 设与的函数表达式为， 由图②可知，当时，， 所以， 所以与的函数表达式为， 所以当时，， 即的阻值为， 故B正确，不符合题意； 当时，， 解得：， 所以甲醛检测仪不会报警， 故C错误，符合题意； 当时，， 所以当该房间甲醛浓度高于时，的阻值低于， 故D正确，不符合题意， 故选：C． 二．填空题（每小题3分，共计24分） 9. 已知单项式3ab2，请写出一个它的同类项为________． 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】本题考查同类项的定义，同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式．关键是抓住“所含字母相同、相同字母的指数相同”这两个核心条件，只要改变原单项式的非零系数，即可得到它的同类项． 【详解】解：根据同类项的定义，所含字母为、，且的次数为1，的次数为2的单项式都与是同类项，例如； 故答案为：(答案不唯一)． 10. 计算：________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的化简计算，再合并计算即可． 【详解】解：原式 ． 11. 一个不透明的盒子中有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中小球的个数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，关键在于理解当试验次数足够多时，频率会稳定在概率附近，进而结合概率公式建立等量关系求解． 【详解】解：∵通过大量重复试验后，摸到黄球的频率稳定在， ∴摸到黄球的概率约为， ∴，解得：， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 12. 如图，的直径，点在上，，过点作交于点，则弧的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据圆周角定理、垂径定理求出，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴弧的长． 13. 如图，在平面直角坐标系中，是以为斜边的等腰直角三角形，，点的坐标为．若将向左平移，使点落在直线上，则平移的距离是________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于点，根据等腰直角三角形的性质求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，根据平移的性质可知平移后点的纵坐标不变，将其代入直线解析式求出横坐标，进而求出平移距离． 【详解】如图，过点作轴于点， 是以为斜边的等腰直角三角形， ，点的坐标为， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入得 ， ，解得， 直线的解析式为， 设平移后点的对应点为，则点的纵坐标为， 将向左平移，使点落在直线上， 当时，，解得， 平移的距离为． 14. 已知某几何体的三视图如图所示，其俯视图是等边三角形，则该几何体的侧面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据三视图求侧面积，等边三角形的性质，以及勾股定理等知识． 作，由左视图可知，根据等边三角形的性质得到，根据勾股定理求出，根据几何体的侧面积个相同的长方形面积相加计算即可． 【详解】解：由三视图可知，该几何体为三棱柱，如图，作，由左视图可知，三棱柱的高为2， ∵俯视图是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴该几何体的侧面积． 故答案为：． 15. 若关于x的方程的解为正数，则m的取值范图是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求分式方程中的参数，解题的关键是掌握分式方程的解法，并且注意分式方程增根的问题． 根据分式方程的解法，解出x，再根据题意列出不等式求解即可． 【详解】， 去分母得：， 解得：， 方程的解为正数，且方程的增根为， ，且， 解得：，且， 故答案为：且． 16. 小明妈妈根据O中的三个数按照如下规律设置家中WIFI密码，根据下面的图来找出小明家的密码是____． 【答案】103272 【解析】 【分析】本题考查数字类规律探索． 根据所给密码可知，第1、2个数字为最上面的数与下面左边的数的和，第3、4个数字为最上面的数与下面右边的数的积，第5、6个数字为下面左边的数与另外两个数分别相乘，再相加，由此即可得小明家的密码． 【详解】解：由前3个密码与三个数字的关系可以发现： 第1、2个数字为最上面的数与下面左边的数的和； 第3、4个数字为最上面的数与下面右边的数的积； 第5、6个数字为下面左边的数与另外两个数分别相乘，再相加． ，，， ∴小明家的密码是． 三．解答题（共计72分） 17. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】 无解， 【解析】 【分析】先分别求出每个不等式的解集，再取其公共部分即得不等式组的解集，然后在数轴上表示即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组无解； 不等式组的解集在数轴上表示略． 18. 按要求完成计算： （1）分解因式：． （2）如图，两个正方形的边长分别为，，若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1） （2）25 【解析】 【分析】（1）先利用平方差公式因式分解，然后再由提公因式分解因式即可； （2）结合图形利用代数式表示出阴影部分的面积，然后利用完全平方公式求解即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 根据题意得：阴影部分的面积为： ， ∵，， ∴原式． 19. 按要求完成作图： （1）如图，在边长为的正方形方格纸中，的顶点都在方格纸的格点（小正方形的顶点）上． ①请在图中仅用无刻度的直尺画出的中线． ②请在图中仅用无刻度的直尺确定一点，使得点与、两点的距离相等，且到、两边的距离也相等． （2）已知，请利用尺规过点作，垂足为点（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】（1）①如图所示，中线即为所求； ②如图所示，点即为所求． （2）如图所示即为所求． 【解析】 【分析】（）①取格点，连接交于点，连接，由矩形的性质可知点是的中点，故是的中线； ②利用正方形的性质画出的垂直平分线，与的角平分线的交点即为点； （2）根据作垂线的作法作图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 阅读材料，解决问题： 市场调查 调查背景 银川怀远观光夜市是国家级文旅地标．历经四十余年，汇集西北特色百货， 各地风味佳肴，烟火氤氲，是品尝银川地道美味必打卡之地． 市场调查 其中某商铺销售奶茶和果汁，已知卖出杯奶茶和杯果汁共收入元， 卖出杯奶茶和杯果汁共收入元． 经营需求 该商铺计划销售奶茶和果汁共杯，且奶茶的数量不超过果汁的倍． （1）任务：请你计算奶茶和果汁的单价． （2）任务：请问销售多少杯奶茶才能使总收入最高？并求出最高收入． 【答案】（1）奶茶单价为16元，果汁单价为10元 （2）销售33杯奶茶时总收入最高，最高收入为698元 【解析】 【分析】（1）设奶茶和果汁的单价，根据“市场调查”的结果列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）根据“经营需求”列不等式，确定奶茶数量的取值范围，再根据“总收入奶茶的收入果汁的收入”列一次函数关系式，然后根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设奶茶的单价为元/杯，果汁的单价为元/杯， 根据题意得，， 解得； 答：奶茶的单价为16元/杯，果汁的单价为10元/杯； 【小问2详解】 解：设销售奶茶杯，总收入为元， 该商铺计划销售奶茶和果汁共50杯，且奶茶的数量不超过果汁的2倍， ， 解得：， 由题意得：， ， 随的增大而增大， ，为整数， 的最大整数解为33， 当时，有最大值，（元）． 答：销售33杯奶茶才能使总收入最高，最高收入698元． 21. 在中，是钝角，交的延长线于点，、分别为、的中点，．连接、，设与交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：，F分别为、的中点， ，， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， 又， ； （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据E，F分别为、的中点，可证得，，再根据，可证得，即可证得四边形是平行四边形，据此即可证得结论； （2）首先根据平行四边形的性质求出，根据直角三角形斜边上的中线的性质，可求得，根据正弦的定义即可求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ， ， ， 又是的中点， ． ， ， ． 22. 物理上有个著名的托里拆利实验，它测出了一个标准大气压等于水银柱，取一根长度为1米，一端封闭的玻璃管，用水银灌满后倒立插入盛有水银的容器中．如图下端有淹没在水银槽中，水银柱在液面以上可达高度，实验过程中，水银柱上表面到槽内液面的竖直高度始终保持玻璃管可绕其下端在竖直平面内缓慢倾斜，设玻璃管与竖直方向的夹角为． 参考数据：，，，，，．（精确到0．1 m）． （1）当玻璃管竖直放置（）时，管内真空部分的长度为______厘米； （2）当玻璃管倾斜至与竖直方向夹角时，求管内真空部分的长度（即管内水银上表面中心到管顶的距离）； （3）当玻璃管倾斜至某一角度时，水银恰好充满整个玻璃管（即管内全部为水银，顶部无真空），求此时的大小（精确到） 【答案】（1）20 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意直接解答即可； （2）根据锐角三角函数解答即可； （3）根据锐角三角函数解答即可． 【小问1详解】 解：竖直放置时真空部分的长度为厘米； 【小问2详解】 解：如图， 根据题意得：，， 在中，， ∵， ∴真空部分的长度为； 【小问3详解】 解：设倾斜度时，水银可装满整个玻璃管， 此时， ∴， 即倾斜时，水银可装满整个玻璃管． 23. 随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间，不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势、某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如图： 配选速度和服务质量得分统计表： 项目统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 8 7 乙 8 8 7 （1）表格中的m＝______，______（填“＞”“＝”或“＜”）； （2）补全频数分布直方图，并求出扇形统计图中圆心角α的度数； （3）综合上表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择______公司； （4）如果A，B两家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，请用列表法或树状图求两家种植户选择同一快递公司的概率． 【答案】（1）8.5， （2） 补全频数直方图如图， （3）甲 （4） 【解析】 【分析】（1）根据中位数与方差的定义即可求解； （2）计算甲快递公司在配送速度得9分的人数可补全频数直方图；用乘7分的占比，即可求解； （3）根据平均数、中位数和方差的意义进行选择即可； （4）用表格展示所有4种等可能的结果数，然后利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：甲快递公司在配送速度得分为9的人数为：（人） 甲公司配送速度得分从小到大排列为：6，6，7，7，8，9，9，9，9，10， 故中位数为： 根据题意得： ，， ∴； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：配送速度得分甲和乙的得分相差不大，服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差， 所以甲更加稳定； 【小问4详解】 解：列表如下： A种植户 B种植户 甲 乙 甲 （甲，甲） （甲，乙） 乙 （乙，甲） （乙，乙） 由图中可知，共有4种等可能的结果，其中两家种植户选择同一快递公司的结果有2种， 所以． 24. 如图，是的直径，是的弦，连接，过点作的切线，交的延长线于点，且． （1）求证：； （2）若的半径为，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据等边对等角得出，结合三角形的外角性质得出，推得，根据平行线的判定得出，根据切线的定义得出，根据平行线的性质即可证明； （2）连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据在同圆中，等弧所对的圆周角相等得出，结合正切的定义得出，结合圆的概念和勾股定理，列出方程求出，求得，根据等角的余角相等得出，根据相似三角形的判定和性质即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 在中，， 故， 在中，， ∴， ∵的半径为， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得． 25. 综合与实践 立定跳远中的函数应用 问题情境：立定跳远练习中，运动员身体重心的运动轨迹可近似看作抛物线．为提升训练的安全性、降低受伤风险，并帮助校训队的运动员提高成绩，某学校成立了立定跳远运动规律探究小组． 实验数据：该探究小组测得某运动员在一次试跳中，身体重心距地面的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）的几组数据如下表： 0 0.8 1.6 2.4 3.2 0 0.45 0.6 0.45 0 数学建模：如图1，将运动员身体重心的运动轨迹抽象为抛物线．其顶点为，运动员的起跳点为，落地点为点．以为原点，所在的直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）请根据表格中的测量数据直接写出抛物线的顶点坐标，并求出该抛物线的函数关系式； 问题解决： 已知运动员身体重心在任意位置到地面的高度不低于时可避免练习时受伤．我们将直线与抛物线的两个交点分别记作、，称、两点之间的距离为该运动员此次立定跳远的有效水平距离． （2）求的长（结果保留根号）； （3）实验表明：调整起跳角度后，该运动员的重心运动轨迹近似满足关系式：．为促进运动员科学训练，学校设定了立定跳远的等级标准线：满分线为，良好线为．现要求该运动员的落地点（即时的值）在良好线到满分线之间（含两端点），请直接写出的最大值与最小值． 【答案】（1）顶点的坐标是， （2）该运动员此次立定跳远的有效水平距离的长为米 （3）的最大值为0.6，最小值为0.5 【解析】 【分析】（1）先根据表格数据确定抛物线的顶点坐标，再设抛物线的交点式，代入数据求出函数关系式． （2）将代入抛物线解析式，解一元二次方程得到两点的横坐标，再计算两点间的距离． （3）令，求出落地点的横坐标表达式，再根据落地点在到之间（含端点），列不等式求出的取值范围，进而得到的最大值与最小值． 【小问1详解】 解：由表格数据可知，抛物线的顶点坐标为． 设抛物线的函数关系式为， ∵抛物线过点， 解得， ∴抛物线的函数关系式为， 展开得； 【小问2详解】 解：当时，， 解得，， ∴； 【小问3详解】 解：令， ， ， ， 由题意，， ， ∴的最大值为，最小值为． 26. 在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”． （1）【几何直观】如图，中，，，在内部取一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、，则与的数量关系是________；与的数量关系是________； （2）【类比推理】如图，在正方形内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，延长交的延长线于点，求证：四边形是正方形； （3）【拓展延伸】在矩形中，点为边上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若，，求的最小值． 【答案】（1），； （2）证明：正方形， ，， 由旋转的性质可知，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形； （3） 【解析】 【分析】（1）利用“”证明，得到，，即可求解； （2）根据正方形和旋转的性质，证明，得到，再结合正方形的判定定理证明即可； （3）连接、交于点，连接、，根据矩形的性质和勾股定理，证明是等边三角形，再结合旋转的性质，证明，得到，则点在射线上运动，且，当时，有最小值，再根据30度角所对的直角边等于斜边一半求解即可． 【小问1详解】 解：由旋转的性质可知，，， ， ，即， 又， ， ，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接、交于点，连接、， 矩形， ，，， ∵， ， ， 是等边三角形， ， 由旋转的性质可知，，， ， ，即， 又，， ， ， 点在射线上运动，且， 当时，有最小值， ， ， ， 在中，， 即的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $