精品解析：宁夏银川兴庆区2024-2025学年下学期第二次质量检测数学试卷

2024－2025学年第二学期九年级第二次质量监测 数学试卷 时间：120分钟 满分：120分 一、单选题（本题共8小题，每小题3分，共24分，下列每小题所给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1. 下表是银川市2025年1月7日日的最低气温，其中温度最低的是（ ） 日期 7日 8日 9日 10日 最低气温 A. 7日 B. 8日 C. 9日 D. 10日 2. 马家窑彩陶绚丽典雅，符号丰富，被称为彩陶文化的“远古之光”．如图是一件马家窑彩陶作品的立体图形，有关其三视图说法正确的是（ ） A. 主视图和左视图完全相同 B. 主视图和俯视图完全相同 C. 左视图和俯视图完全相同 D. 三视图各不相同 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 把一块含角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 淇淇在计算一组数据的方差时，列得没有化简的算式：．关于这组数据，下列说法：①平均数是4；②中位数是4；③众数是5；④样本容量是3．其中不正确的结论是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④ 6. 如图，为的直径，点B，D在上，，，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 4 7. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为，琎价为，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占．将用科学记数法表示为____． 10. 分解因式：=____________________ 11. 二次函数图像的顶点坐标是______． 12. 如图，在中，，，，则______． 13. 研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，其图象如图所示．学生小华原来佩戴的眼镜焦距为0.25米，经过一段时间的矫正治疗，加之注意用眼卫生，小华的镜片焦距调整到0.4米，则其近视眼镜的度数减少了______度． 14. 为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，坐垫可沿射线方向调节．已知，车轮半径为，当时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫离地面高度约为______．（结果精确到，参考数据：，，） 15. 如图，在边长为4的正六边形中，以点为圆心，以的长为半径作弧，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是______． 三、解答题（本题共6小题，每小题6分，共36分） 17. 解一元一次不等式组： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 为提升学生实践能力和团队合作精神，增强学生的社会责任感，我市中学选取了四个中小学实践研学基地：西夏王陵；水洞沟遗址；稻渔空间；黄沙古渡．为了解学生的研学意向，随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生只能选择一个研学基地），根据调查数据绘制成了如图两幅不完整的统计图． （1）在本次调查中，一共抽取了______名学生，请补全条形统计图； （2）若该校有800名学生，请估计喜欢的学生有______人； （3）此次研学小明和小亮同时参加，请用列表法或画树状图法，求出这两名同学恰好去同一个研学基地的概率． 20. 如图是的正方形网格，小正方形的边长均为1． （1）的面积为______． （2）请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹） ①在图1中作出的中线； ②在图2中的线段上作点，使最短． 21. 贺兰砚是特色传统手工艺品，是“宁夏五宝”之一，原材料为贺兰石．某经销商准备购进一批贺兰砚，有甲、乙两种品牌可以选择．已知乙品牌的进货单价比甲品牌高325元，用6500元购买乙品牌的套数恰好与用5200元购买甲品牌的套数相同． （1）求甲、乙两种品牌的贺兰砚进货单价各是多少元？ （2）第一批贺兰砚销售完后，该经销商决定再次购进甲、乙两种品牌的贺兰砚共10套，此时甲品牌的进货单价比第一次进货时降低了，乙品牌的进货单价不变，如果再次购进两种品牌的贺兰砚的总费用不超过14000元，那么最多可购进多少套乙品牌贺兰砚？ 22. 在平行四边形中，连接，，将沿着对角线翻折，使点D落在处，连接，与交于E，连接． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若平行四边形的周长为32，，求四边形的面积． 四、解答题（本题共4小题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分） 23. 如图，直线经过两点，与双曲线交于点． （1）求直线和双曲线的解析式． （2）过点C作轴于点D，点P在x轴上，若以O，A，P为顶点的三角形与相似，直接写出点P的坐标． 24. 已知，如图，为的直径，内接于，，点是的内心，延长交于点，连接． （1）求证：； （2）已知的半径是，，求的长． 25. 许多数学问题源于生活．如图①是撑开后的户外遮阳伞，可以发现数学研究的对象——抛物线，在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在轴上，坐标原点为伞骨的交点。为抛物线的顶点，点在抛物线上，关于轴对称．分米，点到轴的距离是2分米，，两点之间的距离是12分米． （1）求抛物线的函数表达式（不要求写自变量取值范围）； （2）如图③，分别延长交抛物线于点，请直接写出两点间距离的值； （3）如图③，以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将抛物线向左平移分米，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．若，求的值． 26. 天府新区某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： （1）问题发现：如图1，在等边△ABC中，点P是边BC上任意一点，连接AP，以AP为边作等边△APQ，连接CQ．求证：BP CQ； （2）变式探究：如图2，在等腰△ABC中，ABBC，点P是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰△APQ，使AP PQ，APQ ABC，连接CQ．判断∠ABC和∠ACQ的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形 APEF，Q是正方形APEF的中心，连接CQ．若正方形APEF的边长为6，，求正方形ADBC的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年第二学期九年级第二次质量监测 数学试卷 时间：120分钟 满分：120分 一、单选题（本题共8小题，每小题3分，共24分，下列每小题所给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1. 下表是银川市2025年1月7日日的最低气温，其中温度最低的是（ ） 日期 7日 8日 9日 10日 最低气温 A. 7日 B. 8日 C. 9日 D. 10日 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小以及正数和负数，根据正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大，其值越小，比较出四天最低气温的大小即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴其中温度最低的是8日． 故选：B． 2. 马家窑彩陶绚丽典雅，符号丰富，被称为彩陶文化的“远古之光”．如图是一件马家窑彩陶作品的立体图形，有关其三视图说法正确的是（ ） A. 主视图和左视图完全相同 B. 主视图和俯视图完全相同 C. 左视图和俯视图完全相同 D. 三视图各不相同 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查几何体的三视图，根据主视图是从物体的正面看得到的视图，俯视图是从上面看得到的图形，左视图是左边看到的图形，即可得出答案． 【详解】解：该几何体的三视图各不相同，主视图的中间出有两个“耳朵”而左视图则没有；俯视图是三个同心圆（夹在中间的圆由虚线构成）． 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法、积的乘方逐项运算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 4. 把一块含角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角板中角的运算，熟练掌握相关性质是解题的关键．利用平行线性质得到，再根据平角的定义求解，即可解题． 【详解】解：如图， 直角三角板位于两条平行线间且， ， 又直角三角板含角， ， ， 故选：B． 5. 淇淇在计算一组数据的方差时，列得没有化简的算式：．关于这组数据，下列说法：①平均数是4；②中位数是4；③众数是5；④样本容量是3．其中不正确的结论是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查方差，中位数，众数及平均数的定义，根据已知的方差计算公式得出这组数据为2、4、5、5，再根据中位数，众数，平均数的概念求解即可． 【详解】由题意可知这组数据为2、4、5、5， ∴平均数为，故①正确； ∴中位数为，故②错误； ∵5出现的次数最多， ∴众数为5，故③正确； 共有4个数， ∴样本容量是4，故④错误； 故选：D． 6. 如图，为的直径，点B，D在上，，，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理及勾股定理，根据同弧所对圆周角相等及直径所对圆周角是直角得到，，根据得到，最后根据勾股定理求解即可得到答案 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 7. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为，琎价为，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，根据题意列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设人数为，琎价为， 根据每人出钱，会多出4钱可得出， 每人出钱，又差了3钱．可得出， 则方程组为：， 故选：B． 8. 宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查黄金分割、矩形的性质及翻折变换，设，，再根据翻折的性质及等角对等边得出，最后利用勾股定理表示出及即可． 【详解】解：由题知， 令，， 由翻折可知，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 令，则， 在中，， ， 解得， ∴， 在中，． 故选：D． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占．将用科学记数法表示为____． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了用科学记数法表示较小的数，解题的关键是正确理解科学记数法的一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 10. 分解因式：=____________________ 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式3m，然后再利用完全平方公式进行分解即可得. 【详解】3 =3m(m2-6mn+9n2) =3m(m-3n)2， 故答案为3m(m-3n)2. 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底． 11. 二次函数图像的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的顶点坐标，通过配方法将一般式化为顶点式即可求解． 【详解】解： ， 所以顶点坐标为 ， 故答案为 ：． 12. 如图，在中，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据等边对等角得出，根据即可求出的度数，由得出，从而求出的度数，问题得解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，其图象如图所示．学生小华原来佩戴的眼镜焦距为0.25米，经过一段时间的矫正治疗，加之注意用眼卫生，小华的镜片焦距调整到0.4米，则其近视眼镜的度数减少了______度． 【答案】150 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．设函数的解析式为，由时，可求k，进而可求函数关系式，然后把及代入解析式，即可求得答案． 【详解】解：设函数的解析式为， ∵500度近视镜片的焦距为0.2米， ∴， 解得， ∴函数的解析式为， ∴当时，， ∴当时，， 则， ∴小雪的近视眼镜的度数减少了150度． 故答案为：150． 14. 为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，坐垫可沿射线方向调节．已知，车轮半径为，当时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫离地面高度约为______．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】89 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，作于H，作地面于P，利用三角函数求出即可． 【详解】解：作于H，作地面于P， 由题知，，，， ∴， ∴坐垫C离地面高度约为， 故答案为：89． 15. 如图，在边长为4的正六边形中，以点为圆心，以的长为半径作弧，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，弧长的计算，根据正六边形的性质求出阴影部分扇形的圆心角度数，再根据直角三角形的边角关系求出半径，由弧长的计算方法进行计算即可． 【详解】解：如图，过点A作，垂足为M，则， ∵六边形是正六边形， ∴，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 设这个圆锥的底面半径为r，由题意可得， ， 解得． 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数性质应用，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质及点的坐标规律问题，作轴于点H，依次求出，，，，找出规律即可解决． 【详解】解：作轴于点H， 由条件可知， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由条件可知， ∴由勾股定理得：， ∴，， 同理，， ∴， ∴， 同理，，， ，， ∴，即， 即点的横坐标是， 故答案为：． 三、解答题（本题共6小题，每小题6分，共36分） 17. 解一元一次不等式组： 【答案】-1≤x＜2 【解析】 【分析】首先将分式通分化简，将单个的不等式解出来，在进行合并即可. 【详解】解一元一次不等式组： 解不等式①得： 解不等式②得： 则不等式组的解集为： 【点睛】本题主要考查不等式组的解集，是基本知识点，应当熟练掌握. 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，负整数幂，先对分式进行化简，再把代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ， 当时， 原式． 19. 为提升学生实践能力和团队合作精神，增强学生的社会责任感，我市中学选取了四个中小学实践研学基地：西夏王陵；水洞沟遗址；稻渔空间；黄沙古渡．为了解学生的研学意向，随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生只能选择一个研学基地），根据调查数据绘制成了如图两幅不完整的统计图． （1）在本次调查中，一共抽取了______名学生，请补全条形统计图； （2）若该校有800名学生，请估计喜欢的学生有______人； （3）此次研学小明和小亮同时参加，请用列表法或画树状图法，求出这两名同学恰好去同一个研学基地的概率． 【答案】（1）40， 补全条形统计图如图： （2）300 （3） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图，概率公式． （1）利用A选项的人数除以其占比即可得抽取的总人数，根据抽取的总人数求出B的人数，再补全统计图即可； （2）用总人数800人乘以D的占比即可； （3）画树状图得出所有等可能的结果数和小明和小亮恰好去同一个研学基地的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，， （人）， 故答案为：40； 【小问2详解】 解：估计喜欢的学生有：（人）， 故答案为：300； 【小问3详解】 解：小明和小亮同时参加，作树状图如下： 总共有16种等可能的结果，小明和小亮恰好去同一个研学基地的情况有4种， ∴小明和小亮恰好去同一个研学基地的概率为． 20. 如图是的正方形网格，小正方形的边长均为1． （1）的面积为______． （2）请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹） ①在图1中作出的中线； ②在图2中的线段上作点，使最短． 【答案】（1） （2） ①如图，即为所求； ②如图，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定及性质，垂线段最短等知识点，理解相关图形的性质是解决问题的关键． （1）利用长方形的面积减去周围三个直角三角形的面积即可求解； （2）①如图，取格点，，连接交于，连接，即为所求； ②取格点，连接交于点，由垂线段最短可知，即为所求． 【小问1详解】 解：的面积， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①略 ②取格点，连接交于点， ∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 由垂线段最短可知，即为所求． 21. 贺兰砚是特色传统手工艺品，是“宁夏五宝”之一，原材料为贺兰石．某经销商准备购进一批贺兰砚，有甲、乙两种品牌可以选择．已知乙品牌的进货单价比甲品牌高325元，用6500元购买乙品牌的套数恰好与用5200元购买甲品牌的套数相同． （1）求甲、乙两种品牌的贺兰砚进货单价各是多少元？ （2）第一批贺兰砚销售完后，该经销商决定再次购进甲、乙两种品牌的贺兰砚共10套，此时甲品牌的进货单价比第一次进货时降低了，乙品牌的进货单价不变，如果再次购进两种品牌的贺兰砚的总费用不超过14000元，那么最多可购进多少套乙品牌贺兰砚？ 【答案】（1）甲品牌的贺兰砚单价是1300元，则乙品牌的贺兰砚单价是1625元 （2）最多可购进5套乙品牌贺兰砚 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）设甲品牌的贺兰砚单价是x元，则乙品牌的贺兰砚单价是元，根据“用6500元购买乙品牌的套数恰好与用5200元购买甲品牌的套数相同”列出分式方程，解方程即可； （2）设购进乙品牌贺兰砚a套，则购进甲品牌贺兰砚套，根据“再次购进两种品牌的贺兰砚的总费用不超过14000元”列出一元一次不等式，解不等式即可求解． 【小问1详解】 解：设甲品牌的贺兰砚单价是x元，则乙品牌的贺兰砚单价是元， 根据题意得，， 解得， 经检验是方程的解， ， 答：甲品牌的贺兰砚单价是1300元，则乙品牌的贺兰砚单价是1625元； 【小问2详解】 解：设购进乙品牌贺兰砚a套，则购进甲品牌贺兰砚套， 根据题意得，， 解得， ∵为整数， ∴的最大值为5， 即最多可购进5套乙品牌贺兰砚． 22. 在平行四边形中，连接，，将沿着对角线翻折，使点D落在处，连接，与交于E，连接． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若平行四边形的周长为32，，求四边形的面积． 【答案】（1） 解：四边形是矩形．理由如下： 根据折叠性质，得，； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． （2）48 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，解直角三角形的性质，折叠性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由折叠的性质得，；根据平行四边形的性质得，再证明四边形是平行四边形，运用有一个角是直角的平行四边形是矩形进行解答即可． （2）根据平行四边形的性质得，，则，再运用勾股定理得，得出，，即可算出四边形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平行四边形的周长为32， ∴，， ∵， ∴ 设，， 则， ∴， ∴， ∴，， 由（1）得出四边形是矩形． 四边形的面积为． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，解直角三角形的性质，折叠性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 四、解答题（本题共4小题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分） 23. 如图，直线经过两点，与双曲线交于点． （1）求直线和双曲线的解析式． （2）过点C作轴于点D，点P在x轴上，若以O，A，P为顶点的三角形与相似，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）直线解析式为，双曲线解析式为 （2）点P坐标为或或或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，相似三角形的性质： （1）待定系数法求出一次函数的解析式，进而求出点的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数的解析式即可； （2）分和，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：直线经过两点， ∴，解得：， ∴， 当时，，解得：， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴，， 当以O，A，P为顶点的三角形与相似时，分两种情况进行讨论： ①当，则：， ∴， ∴， ∴或； ②当，则：， ∴， ∴， ∴或； 综上：点P坐标为或或或． 24. 已知，如图，为的直径，内接于，，点是的内心，延长交于点，连接． （1）求证：； （2）已知的半径是，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵为的直径， ， 点是的内心， ，， ， ，， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理得出，由内心得出，，，由三角形的外角性质得出，即可得出结论； （2）连接，过点作于，由圆周角定理得出，证出是等腰直角三角形，得出，由，，推出，得到，根据勾股定理可求的长，即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，过点作于， 为的直径，的半径是，， ，是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、圆周角定理、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、等腰直角三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 25. 许多数学问题源于生活．如图①是撑开后的户外遮阳伞，可以发现数学研究的对象——抛物线，在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在轴上，坐标原点为伞骨的交点。为抛物线的顶点，点在抛物线上，关于轴对称．分米，点到轴的距离是2分米，，两点之间的距离是12分米． （1）求抛物线的函数表达式（不要求写自变量取值范围）； （2）如图③，分别延长交抛物线于点，请直接写出两点间距离的值； （3）如图③，以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将抛物线向左平移分米，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．若，求的值． 【答案】（1） （2）24分米 （3）6或 【解析】 【分析】本题考查待定系数法，抛物线与直线的交点，函数图象的平移． （1）根据题意得到点A，C的坐标，设抛物线的解析式为，把点A，C的坐标代入，即可求解； （2）运用待定系数法求出直线的解析式为，解方程组得到点E的坐标，根据对称得到点F的坐标，进而可解答； （3）设平移后的抛物线解析式为，则得到此时抛物线与轴的交点，根据，结合两个三角形的底相同，即可得到，进而即可解答． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为：， 由题意得，抛物线过点，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， ∵直线过点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 解方程组， 解得或， ∴点E的坐标为， 根据对称可得点F的坐标为， ∴（分米）， 即两点间的距离为24分米； 【小问3详解】 解：设平移后的抛物线解析式为：， 令，则， 此时抛物线与轴的交点设为， ∵平移前后抛物线和轴交点间的距离不变，又， 则， 即， 解得：或（舍去负值）， ∴m的值为或． 26. 天府新区某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： （1）问题发现：如图1，在等边△ABC中，点P是边BC上任意一点，连接AP，以AP为边作等边△APQ，连接CQ．求证：BP CQ； （2）变式探究：如图2，在等腰△ABC中，ABBC，点P是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰△APQ，使AP PQ，APQ ABC，连接CQ．判断∠ABC和∠ACQ的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形 APEF，Q是正方形APEF的中心，连接CQ．若正方形APEF的边长为6，，求正方形ADBC的边长． 【答案】（1） 证明：如图1，与都是等边三角形， ， ， ． 又，， ， ； （2）， 理由：如图2，在中，， ， 在中，， ， ， ， ， ， 又，， ， ， ∴； （3）正方形ADBC的边长为． 【解析】 【分析】（1）易证∠BAP＝∠CAQ，根据AB＝AC，AP＝AQ，由SAS证得△BAP≌△CAQ，即可得出结论； （2）由等腰三角形的性质得出∠BAC＝∠PAQ，证得△BAC∽△PAQ，得出，易证∠BAP＝∠CAQ，则△BAP∽△CAQ，可得∠ABC＝∠ACQ； （3）连接AB、AQ，由正方形的性质得出，∠BAC＝45°，，∠PAQ＝45°，易证∠BAP＝∠CAQ，则可得△ABP∽△ACQ，根据相似三角形的性质求出BP＝4，设PC＝x，则BC＝AC＝4＋x，在Rt△APC中，利用勾股定理列方程求出x，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图3，连接，， 正方形， ，， 又为正方形的中心， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，，即， 解得：， ， ， 边长. 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $