精品解析：贵州省遵义市仁怀市周林学校2026年春季本校自主练习（3）九年级数学

2026年春季本校九年级自主练习3 数学 （全卷总分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的班级、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上； 2．答题时，一律用2B铅笔或黑色签字笔将答案填涂或填写在答题卡规定的位置上； 3．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效； 4．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 5的相反数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数．根据相反数的定义，数值相等但符号相反的两个数互为相反数，即可求解． 【详解】解：5的相反数是． 故选：A 2. 在1个标准大气压下，四种晶体的熔点如下表所示，则熔点最高的是（ ） 晶体 固态氢 固态氧 固态氮 固态酒精 熔点（单位：） A. 固态氢 B. 固态氧 C. 固态氮 D. 固态酒精 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查负数的知识，负数大小的比较．分别比较几个凝固点的大小，即可得到解答．． 【详解】解：由表格可知，固态氢的熔点为，固态氧的熔点为，固态氮的熔点为，固态酒精的熔点为， ∵， ∴熔点最高的是固态酒精． 故选：D． 3. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A. 该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B. 该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C. 该图形是中心对称图形，故本选项符合题意； D. 该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 4. 民宿成为旅游新吸引点，目前贵州民宿经营主体总量有家，数量位居全国“第一梯队”．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 5. 如图，直线与相交于点O，射线在内部，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂直的定义，对顶角线段，先由垂直的定义得到，再由对顶角线段得到，则． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 6. 一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率=事件可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 【详解】解：∵袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，从袋子中随机摸出一个球， ∴摸出的球是白球的概率是． 故选：A． 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式、积的乘方等运算法则，根据相应法则，逐一进行计算判断即可． 【详解】A． 中的和不是同类项，无法合并，故错误． B．，正确． C． 应展开为 ，选项漏掉，故错误． D．，选项中结果为，计算错误． 故选：B． 8. 在平面直角坐标系中，点均在直线上，若，则该直线经过的点的坐标还可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． 根据题意可知，即可得出随的增大而增大． 【详解】解：，， 随的增大而增大， ， ∴经过一，三象限 ∴B符合条件，C，D不符合条件 ∵直线， ∴直线经过原点 点在x轴上，直线经过原点，但不经过故该选项A不符合， 故选：． 9. 、是方程的两个根，则（ ） A. 4 B. 10 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，解题关键是把．因为、是一元二次方程的两个根，所以，，进一步即可解决问题． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴，即，， ∴． 故选：A． 10. 关于“艾宾浩斯遗忘曲线”．下列说法正确的是（ ） A. 记忆数量会随时间的推移逐渐减少 B. 记忆数量与学习后经过的时间成反比例函数关系 C. 只要记忆了就不会忘记所记内容 D. 每天遗忘的数量相同 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象的横纵坐标含义及图象的变化趋势，结合反比例函数与一次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：A. 由图象可知，曲线从左向右呈下降趋势，说明记忆数量会随时间的推移逐渐减少，故该选项说法正确，符合题意； B. 反比例函数图象是双曲线，且当自变量趋近于时函数值趋近于无穷大，而本题图象起点为，且图象形状不符合反比例函数特征，故该选项说法错误，不符合题意； C. 由图象可知，记忆数量随时间推移在减少，最终维持在左右，说明会遗忘，故该选项说法错误，不符合题意；  D. 若每天遗忘的数量相同，则图象应为一条直线（一次函数），而本题图象为曲线，且下降速度先快后慢，故该选项说法错误，不符合题意． 11. 如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 连接，则由作图可得，那么为等边三角形，可证明，再根据全等三角形性质以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由作图可得，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 12. 如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（ ） A. 10 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键． 根据四边形为正方形，得出，，勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，即可求出的面积． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∵为的中点， ， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ， ∴，即， ∴， ∴的面积． 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把正确答案填写在答题卡相应位置上．） 13. 请写出一个系数为正整数的二次根式________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】一个系数为正整数的二次根式形如，其中系数k为正整数，被开方数a为非负数，据此即可得到答案． 【详解】解：根据题意得一个系数为正整数的二次根式为（答案不唯一）． 14. 某地区七年级共有2000名男生．为了解这些男生的体重指数（）分布情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的数据（单位：），并根据七年级男生体质健康标准整理如下： 等级 低体重 正常 超重 肥胖 人数 6 75 15 4 根据以上信息，估计该地区七年级2000名男生中等级为正常的人数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由样本估计总体，用乘以样本中等级为正常的人数所占的比例即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：该地区七年级2000名男生中等级为正常的人数是人， 故答案为：． 15. 如图，为的直径，点，，是上的三点．若，则的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据同弧所对的圆周角相等可得，进而求得的度数，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵为的直径， ∴ ∵ ∴ 16. 如图，在四边形中，，，，平分交于点，，则线段的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】延长交的延长线于点，利用平行线的性质和角平分线的定义证明是等腰三角形，即，再利用相似三角形的性质求出的长，最后通过勾股定理构建方程求解 【详解】解：延长交的延长线于点，过点作于点，如图， ，即， ， ， 平分， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ，可得， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， ，解得， ． 三、解答题（本大题共9小题，共98分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）先化简：，再选一个你喜欢的数代入求值． 小星的解答过程如下： 解： ……（第1步） ……（第2步） ……（第3步） 当时，原式……（第4步） ①小星的解答过程中，第1步包含的运算有________（至少写两种），第2步运算的法则是________； ②请从错误的地方起进行正确运算． 【答案】（1） 解：； （2）① 通分、分式加法（通分、因式分解、分式加法任选两种即可）；除以一个分式等于乘以这个分式的倒数 ②  ，，， ， 取时，原式（取值合理即可，结果随变化）． 【解析】 【分析】（1）根据特殊锐角三角函数值、零指数幂、绝对值的运算，分别化简每一项后合并即可得到结果； （2）①根据运算过程判断第一步的运算和第二步的运算法则即可； ②根据分式分母不能为0的条件，排除使分式无意义的值，选取合法值代入化简结果即可求值． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：① 第1步中，对两个异分母分式通分，通分后计算分式加法，同时对二次多项式因式分解，因此包含通分、分式加法两种运算（任选两种即可）. 第2步将除法转化为乘法，运算法则是：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数； ② 原分式有意义，则式中各分式的分母均不为0，且作为除式的分式其值不为0，因此有 ，，. 解得，，，小星选取错误，此时原分式分母为0，无意义. 由于化简结果为，选取（满足取值条件即可）代入得：原式． 18. 如图，在中，，分别为，的中点，，垂足为，点在的延长线上，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）证明：∵，分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）． 【解析】 【分析】由三角形中位线定理可得，即，则可证明四边形是平行四边形，再由，即可证明平行四边形是矩形； 过点作于，证明，则，又是的中点，所以，从而求得，然后由中位线定理可得，然后通过即可求出的面积． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图，过点作于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，分别为，的中点， ∴， ∴， ∴的面积为． 19. 如图，某校在综合实践活动课上，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在左边固定的托盘A中放置一个重物（质量固定），在右边可左右移动的托盘B中放置一定质量的砝码（质量记为），可使仪器水平平衡（平衡时遵循杠杆平衡条件）．改变托盘B与点O之间的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格： 托盘B与点O的距离 10 15 20 25 30 托盘B中的砝码质量 30 20 15 12 10 （1）y与x之间的函数表达式为____________； （2）当砝码的质量为时，求托盘B与点O之间的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图像和性质． （1）由题意可知y与x成反比例关系，设，将代入计算即可； （2）将代入计算即可． 【小问1详解】 解：由题意，设， 结合表格数据，该函数图象过点 ， 与的函数表达式为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意，将代入， 得， 解得． 答：当砝码的质量为24g时，托盘与点之间的距离是． 20. 小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面上的点处安装测角仪，测得信号杆顶端的仰角为，与坡面的夹角为，又测得点与信号杆底端之间的距离为．已知，点，，在同一条直线上，，均与水平线垂直．求信号杆的高．（参考数据：，，） 【答案】信号杆的高为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，三角形内角和性质，矩形的判定与性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，得出，再在中，运用，，代入数值进行计算，得出的值，然后证明四边形是矩形，故，根据，，得，，把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：过点E作于点，过点D作于点，如图所示： ∵，均与水平线垂直． ∴ ∴， ∵ ∴ 在中，， 则， 在中，， 则， ∵过点E作于点，过点D作于点， ∴， ∴四边形是矩形 ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 信号杆的高为． 21. 校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加100米比赛．对这四名运动员最近10次100米跑测试成绩（单位：s）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图： b．丙运动员10次测试成绩：12.4 12.4 12.5 12.7 12.8 12.8 12.8 12.8 12.9 12.9 c．四名运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 12.5 12.5 p 12.5 中位数 m 12.5 12.8 12.45 方差 0.056 n 0.034 0.056 （1）表中m的值为_______； （2）表中n_______0.056（填“>”“=”或“<”）； （3）根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强． 评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为_______． 【答案】（1） （2） （3）乙、丁、甲、丙 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，计算方差，中位数，平均数等知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）根据中位数定义即可求解； （2）根据方差计算公式求解，再比较即可； （3）根据中位数、方差、平均数，结合题意分析即可． 【小问1详解】 解：甲的10次测试成绩排列为：， ∴中位数， 故答案为：； 【小问2详解】 解：乙的10次测试成绩平均数为：， ∴方差为： ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：丙的平均数， ∴丙的平均数最大，则实力最弱， ∵方差， ∴乙实力最强， ∵丁的测试成绩中位数为， ∴第次成绩和为， ∴前5次测试成绩小于平均数， ∵甲测试成绩小于平均数12.5的次数有2次， ∴丁比甲强， ∴这四名运动员按实力由强到弱依次为：乙、丁、甲、丙， 故答案为：乙、丁、甲、丙． 22. 交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”，某电动车用品批发店准备在11月和12月，分两次购入A、B两款头盔．11月购入了第一批，购入A款头盔的数量为购入B款头盔数量的4倍还多300个，A、B两种头盔的购入单价分别为20元和45元，共用去资金43500元． （1）求第一批购入A、B两款头盔的数量； （2）12月2日，恰逢全国交通安全日，随着人们交通安全意识不断增强，头盔需求量增加．A款头盔单价有所上涨（涨价金额为正数）．批发店决定，若A款头盔的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批A款头盔的数量减少50个．因B款头盔单价与第一批相同，所以B款头盔的购入数量在第一批B款头盔数量的基础上增加，最终花费的总资金比第一批增加了9000元，求A款头盔的单价上涨了多少元？ 【答案】（1）第一批购入A款头盔的数量为1500个，购入B款头盔的数量为300个； （2）A款头盔的单价上涨了10元． 【解析】 【分析】（1）设第一批购入B款头盔的数量为x个，则第一批购入A款头盔的数量为个，根据共用去资金43500元，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设A款头盔的单价上涨了y元，则购入数量为个，根据最终花费的总资金比第一批增加了9000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）找准等量关系，正确列出一元一次方程； （2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【小问1详解】 解：设第一批购入B款头盔的数量为x个，则第一批购入A款头盔的数量为个， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：第一批购入A款头盔的数量为1500个，购入B款头盔的数量为300个； 【小问2详解】 解：设A款头盔的单价上涨了y元，则购入数量为本， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：A款头盔的单价上涨了10元． 23. 如图，以的边上一点为圆心的圆，经过，两点，且与边交于点，，连接交于点，若． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径； （3）在（）的条件下，若，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵ ， ∴， ∵， ∴， 而， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴是的切线； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（）连接，如图，利用垂径定理的推论得到，再利用得到 ，然后利用角度的代换可证明，则，从而根据切线的判定定理得到结论； （）设的半径为，则，在中利用勾股定理得到，然后解方程即可； （）利用圆周角定理得到，则，接着在 中计算出，然后用一个直角三角形的面积减去一个扇形的面积去计算阴影部分的面积； 本题考查了垂径定理，切线的判定与性质，圆周角定理，扇形面积的求法和勾股定理，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为，则， 在中，， 解得 ， （舍去）， 即的半径为； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴，， 在中，， ∴，， ∴阴影部分的面积 ． 24. 综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 【答案】（1），；（2）起跳点P与落地点Q的水平距离的长为；（3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据起跳点与落地点的距离为，得到对称轴为直线，根据运动路线的最高点距地面，得到顶点纵坐标为，写出顶点坐标，列出顶点式，把代入，求出函数解析式即可； （2）根据抛物线的形状不变，利用平移思想，写出新的函数解析式，令，求出的值，进而求出的长即可； （3）设该平台的高度为，根据题意，得到新的抛物线的解析式为：，根据仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物，得到抛物线过点，代入求解即可； 【详解】解：（1）由题意，得：抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为， 设抛物线的函数解析式为：， ∵图象过原点， ∴，解：， ∴； （2）∵抛物线的形状不变，点， 故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度，得到的， ∴新的抛物线的解析式为：， 当时，， 解得：，（舍去）； 故起跳点P与落地点Q的水平距离的长为； （3）设该平台的高度为，由题意，设新的函数解析式为：， ∵，仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳， 由题意，仿青蛙机器人经过正上方处，即抛物线经过点，即：， ∴把代入，得：，解得：； 故设该平台的高度为． 25. 综合与实践 【特例研究】 在正方形中，，相交于点． （1）如图，可以看成是绕点逆时针旋转并放大倍得到，此时旋转角的度数为________，的值为________； （2）如图，将绕点逆时针旋转，旋转角为，并放大得到（点，的对应点分别为点，），使得点落在上，点落在上，求的值； 【类比探究】 （3）如图，在菱形中，，是的垂直平分线与的交点，将绕点逆时针旋转，并放缩得到（点，的对应点分别为点，），使得点落在上，点落在上．探究，，之间的数量关系（用含的式子表示）． 【答案】（1），； （2）； （3）． 【解析】 【分析】利用正方形的性质结合旋转的性质求解即可； 由题意得，推出，，再得到，推出，根据正方形的性质求解即可； 过点作于点，同理可证，得到，根据线段垂直平分线的性质求得，再根据余弦定义得，所以，则，故有，，然后通过，即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴旋转角为，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：如图， 根据题意得， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的值为； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点， 同理可证， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴， ∵是的垂直平分线与的交点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴ ， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季本校九年级自主练习3 数学 （全卷总分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的班级、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上； 2．答题时，一律用2B铅笔或黑色签字笔将答案填涂或填写在答题卡规定的位置上； 3．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效； 4．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 5的相反数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 5 2. 在1个标准大气压下，四种晶体的熔点如下表所示，则熔点最高的是（ ） 晶体 固态氢 固态氧 固态氮 固态酒精 熔点（单位：） A. 固态氢 B. 固态氧 C. 固态氮 D. 固态酒精 3. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 民宿成为旅游新吸引点，目前贵州民宿经营主体总量有家，数量位居全国“第一梯队”．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线与相交于点O，射线在内部，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，点均在直线上，若，则该直线经过的点的坐标还可以是（ ） A. B. C. D. 9. 、是方程的两个根，则（ ） A. 4 B. 10 C. D. 10. 关于“艾宾浩斯遗忘曲线”．下列说法正确的是（ ） A. 记忆数量会随时间的推移逐渐减少 B. 记忆数量与学习后经过的时间成反比例函数关系 C. 只要记忆了就不会忘记所记内容 D. 每天遗忘的数量相同 11. 如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则的大小为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（ ） A. 10 B. 8 C. 5 D. 4 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把正确答案填写在答题卡相应位置上．） 13. 请写出一个系数为正整数的二次根式________． 14. 某地区七年级共有2000名男生．为了解这些男生的体重指数（）分布情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的数据（单位：），并根据七年级男生体质健康标准整理如下： 等级 低体重 正常 超重 肥胖 人数 6 75 15 4 根据以上信息，估计该地区七年级2000名男生中等级为正常的人数是_______． 15. 如图，为的直径，点，，是上的三点．若，则的度数为________． 16. 如图，在四边形中，，，，平分交于点，，则线段的长为________． 三、解答题（本大题共9小题，共98分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）先化简：，再选一个你喜欢的数代入求值． 小星的解答过程如下： 解： ……（第1步） ……（第2步） ……（第3步） 当时，原式……（第4步） ①小星的解答过程中，第1步包含的运算有________（至少写两种），第2步运算的法则是________； ②请从错误的地方起进行正确运算． 18. 如图，在中，，分别为，的中点，，垂足为，点在的延长线上，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的面积． 19. 如图，某校在综合实践活动课上，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在左边固定的托盘A中放置一个重物（质量固定），在右边可左右移动的托盘B中放置一定质量的砝码（质量记为），可使仪器水平平衡（平衡时遵循杠杆平衡条件）．改变托盘B与点O之间的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格： 托盘B与点O的距离 10 15 20 25 30 托盘B中的砝码质量 30 20 15 12 10 （1）y与x之间的函数表达式为____________； （2）当砝码的质量为时，求托盘B与点O之间的距离． 20. 小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面上的点处安装测角仪，测得信号杆顶端的仰角为，与坡面的夹角为，又测得点与信号杆底端之间的距离为．已知，点，，在同一条直线上，，均与水平线垂直．求信号杆的高．（参考数据：，，） 21. 校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加100米比赛．对这四名运动员最近10次100米跑测试成绩（单位：s）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图： b．丙运动员10次测试成绩：12.4 12.4 12.5 12.7 12.8 12.8 12.8 12.8 12.9 12.9 c．四名运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 12.5 12.5 p 12.5 中位数 m 12.5 12.8 12.45 方差 0.056 n 0.034 0.056 （1）表中m的值为_______； （2）表中n_______0.056（填“>”“=”或“<”）； （3）根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强． 评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为_______． 22. 交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”，某电动车用品批发店准备在11月和12月，分两次购入A、B两款头盔．11月购入了第一批，购入A款头盔的数量为购入B款头盔数量的4倍还多300个，A、B两种头盔的购入单价分别为20元和45元，共用去资金43500元． （1）求第一批购入A、B两款头盔的数量； （2）12月2日，恰逢全国交通安全日，随着人们交通安全意识不断增强，头盔需求量增加．A款头盔单价有所上涨（涨价金额为正数）．批发店决定，若A款头盔的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批A款头盔的数量减少50个．因B款头盔单价与第一批相同，所以B款头盔的购入数量在第一批B款头盔数量的基础上增加，最终花费的总资金比第一批增加了9000元，求A款头盔的单价上涨了多少元？ 23. 如图，以的边上一点为圆心的圆，经过，两点，且与边交于点，，连接交于点，若． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径； （3）在（）的条件下，若，求阴影部分的面积． 24. 综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 25. 综合与实践 【特例研究】 在正方形中，，相交于点． （1）如图，可以看成是绕点逆时针旋转并放大倍得到，此时旋转角的度数为________，的值为________； （2）如图，将绕点逆时针旋转，旋转角为，并放大得到（点，的对应点分别为点，），使得点落在上，点落在上，求的值； 【类比探究】 （3）如图，在菱形中，，是的垂直平分线与的交点，将绕点逆时针旋转，并放缩得到（点，的对应点分别为点，），使得点落在上，点落在上．探究，，之间的数量关系（用含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $