精品解析：2026年湖北省咸宁市通城县九年级中考模拟预测数学试题

2026年5月九年级教学质量监测 数学试卷 （本试题卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 我国很早就开始使用负数，《九章算术注》中用不同颜色的算筹分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．若红色算筹“”表示的数是“”，则黑色算筹“”表示的数是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列以数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 笛卡尔心形线 B. 赵爽弦图 C. 莱洛三角形 D. 科克曲线 3. 在中国，鼓是精神的象征，是力量的表现．如图所示，鼓的左视图是（ ）． A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. “打开电视，CCTV1正在播放《新闻联播》”是必然事件 B. “天气预报说咸宁明天的降水概率为”意味着咸宁明天有半天都在降雨 C. 甲、乙两人的10次数学测试成绩，方差越大的成绩越好 D. “掷一次质地均匀的正方体骰子，向上的一面的数字是2”是随机事件 6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 图1是某折叠椅的侧面图，图2是该折叠椅抽象成的几何图形，椅面DE与地面平行，，，则椅子靠背与椅面夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，内接于，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于，两点，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于，连接，，若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，的对角线，相交于点，平分交于点，且，，连接．若，则的长为（　　） A. B. 2 C. D. 5 10. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 当时，的值随值的增大而增大 C. 函数的最小值小于 D. 当时， 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 某商品的标价为元，打8折后它的售价为_________元． 12. 校长陪餐制度深受学生家长的认可，一天午餐时，张校长已经坐在了④号座位，学生甲在号座位中随机选择一个座位就坐，则学生甲恰好坐在张校长正对面的概率为______． 13. 方程的解为________． 14. 验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了______度． 15. 如图1，在菱形中，，是边的中点，是对角线上一动点．设的长度为，与的长度和为，图2是关于的函数图象，其中是图象上的最低点，则（1）菱形的边长为________；（2）a的值为_____． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： 17. 已知：如图点，，，，在同一条直线上，，．若______，则．请你从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 18. 人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若人字梯两根支架，的长都为，且两根支架，之间的夹角为，求人字梯张开的水平宽度．（结果精确到，参考数据：，，，，，） 19. 某班级拟开展主题班会活动，现通过投票从“与科技”“ 与生活”“ 与学习”“ 安全”“故事”中挑选一个最受欢迎的主题．投票结果的条形统计图与扇形统计图如图： 请根据以上信息，完成下列问题： （1）本次投票共______人参与，并补全条形统计图． （2）由于“与科技”“ 故事”两个主题得票并列最高，为确定活动主题，从该班随机选择8名学生代表为这两个主题评分，评分结果及汇总信息如下表： 主题 评分 平均数 中位数 众数 与科技 10 9 8 3 6 4 10 10 10 故事 9 10 7 8 5 5 8 8 7.5 8 求表中的数据：______，______，______． （3）结合上述信息，应该选择哪个活动主题，并说明理由． 20. 数学兴趣课上，老师拿出两盒数量相同的棋子，分给奋进组和探究组各一盒．开展有关“形数”的探究活动．最终同学们经过讨论，分别设计出如下两种方案： 奋进组的同学按照图①所示的方式摆放 探究组的同学按照图②所示的方式摆放 【观察与思考】 （1）先研究特殊情况，若两组都摆放6层，则奋进组共用去棋子的数量为____枚，探究组共用去棋子的数量为____枚； （2）再探究一般情况，若摆放层，奋进组共用去棋子的数量为____枚，探究组共用去棋子的数量为____枚；（用含有的式子表示） 【拓展探究】 （3）若奋进组按照图①所示的方式摆放老师所给的一盒棋子，完整摆完最后一层后恰好用完，探究组按照图②所示的方式摆放老师所给的一盒棋子，完整摆完最后一层后还剩下8枚棋子，且比奋进组多摆了4层，请计算一盒棋子的数量为多少枚？ 21. 如图，是的弦，过点作的切线，以为顶点作，分别交，于点，． （1）证明：； （2）若的半径为6，，求的长． 22. 城市社区绿化是提升城市生态品质的重点工程，某小区计划采购甲（灌木）、乙（草本）两种绿化苗木．已知购进株甲种苗木和株乙种苗木共需元，购进株甲种苗木和株乙种苗木共需元． （1）求购进株甲种苗木和株乙种苗木各需多少元？ （2）若该小区计划购进甲、乙两种苗木共株，结合绿化区域布局，投入资金不少于元又不超过元．设购进甲种苗木株，则有几种购买方案？ （3）在（）的条件下，已知甲种苗木每株每年遮阴面积大约平方米，乙种苗木每株每年遮阴面积大约平方米．设小区年遮阴总面积为平方米，在此前提下，哪种购买方案的年遮阴面积最大？最大面积是多少？ 23. 在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，其中点，分别是点，的对应点． （1）如图1，连接，，求的值； （2）如图2，当点恰好落在边上，连接交于点，连接，求证：； （3）在旋转过程中，当时，直线，交于点，请直接写出的长． 24. 已知，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标； （3）若点、为该抛物线上不同的两点，且满足，设，请判断h是否为定值．若为定值，请求出h的值；若不是定值，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年5月九年级教学质量监测 数学试卷 （本试题卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 我国很早就开始使用负数，《九章算术注》中用不同颜色的算筹分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．若红色算筹“”表示的数是“”，则黑色算筹“”表示的数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据红色算筹的表示规则确定横线、竖线代表的数字，再结合黑色算筹代表负数的规则求解． 【详解】解：已知红色算筹表示， 可得：3条横线代表十位数字3，2条竖线代表个位数字2， 因此黑色算筹：4条横线是十位4，3条竖线是个位3， 又因为黑色算筹表示负数，所以该数为． 2. 下列以数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 笛卡尔心形线 B. 赵爽弦图 C. 莱洛三角形 D. 科克曲线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； D．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 3. 在中国，鼓是精神的象征，是力量的表现．如图所示，鼓的左视图是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】左视图定义：从几何体左面往右面观察得到的视图，结合鼓侧边凸起造型匹配选项． 【详解】解：根据左视图概念，从左面观察鼓： 鼓身主体是圆柱体，左视图中圆柱表现为矩形； 鼓左右两侧的凸起装饰在左视图中对应圆柱两侧的凸起图形； 对照选项，只有A符合该视图特征． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A，， 错误； 选项B，，正确； 选项C， ， 错误； 选项D，与不是同类项，不能合并，错误． 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. “打开电视，CCTV1正在播放《新闻联播》”是必然事件 B. “天气预报说咸宁明天的降水概率为”意味着咸宁明天有半天都在降雨 C. 甲、乙两人的10次数学测试成绩，方差越大的成绩越好 D. “掷一次质地均匀的正方体骰子，向上的一面的数字是2”是随机事件 【答案】D 【解析】 【详解】解：对于选项A：“打开电视，CCTV1正在播放《新闻联播》”可能发生也可能不发生，是随机事件，故A错误； 对于选项B：降水概率为，表示咸宁明天有的可能性降雨，不是半天降雨，故B错误； 对于选项C：方差越大，说明成绩波动越大，成绩越不稳定，不能说明方差越大成绩越好，故C错误； 对于选项D：掷一次质地均匀的正方体骰子，向上一面的数字可能是2也可能不是2，因此“向上一面的数字是2”是随机事件，故D正确． 6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】当一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式大于0，据此列出不等式即可求出k的取值范围． 【详解】解：∵ 一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 根的判别式， 方程中，，， 代入得：， 化简得， 解得． 7. 图1是某折叠椅的侧面图，图2是该折叠椅抽象成的几何图形，椅面DE与地面平行，，，则椅子靠背与椅面夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等；由平行线的性质得，由三角形外角的性质得，即可求解；能熟练利用平行线的性质进行求解是解题的关键． 【详解】解：∵椅面与地面平行， ， ， ， ， ； 即椅子靠背与椅面夹角的度数为． 故选：B． 8. 如图，内接于，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于，两点，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于，连接，，若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由作图步骤判定平分，即，再利用半径相等得等腰，求出圆心角，最后根据圆周角定理得到． 【详解】解：根据尺规作图步骤，平分， ， ， 连接， ， 为等腰三角形， 已知， ， ， 根据圆周角定理， ． 9. 如图，的对角线，相交于点，平分交于点，且，，连接．若，则的长为（　　） A. B. 2 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得，再根据角平分线的性质得，根据三角形内角和定理得，即可得是等边三角形，再证得是的中位线，可求出的长度，即可求出的长. 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴点E是的中点， ∵四边形是平行四边形， ∴点O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故选C 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线，等边三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 10. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 当时，的值随值的增大而增大 C. 函数的最小值小于 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，由二次函数图象与x轴有两个交点且位于y轴两侧，说明对应方程的两根异号，即常数项与二次项系数符号相反，结合开口方向、顶点坐标及特定点函数值分析选项即可. 【详解】解：由题意可得：方程的两根异号， ∴， 解得， ∴二次项系数，开口向上，故A不符合题意； ∵的对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而增大，故B不符合题意； ∵当时，， ∴最小值为，故C不符合题意； 当时，， ∵， ∴此时，故D符合题意； 故选：D 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 某商品的标价为元，打8折后它的售价为_________元． 【答案】 【解析】 【分析】根据售价标价，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：某商品的标价为元，打8折， 售价为元， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列代数式，掌握售价与标价和折数的等量关系是解题的关键． 12. 校长陪餐制度深受学生家长的认可，一天午餐时，张校长已经坐在了④号座位，学生甲在号座位中随机选择一个座位就坐，则学生甲恰好坐在张校长正对面的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求概率，熟练掌握概率计算公式是解题的关键．利用概率计算公式计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意得，学生甲恰好坐在张校长正对面的概率为， 故答案为：． 13. 方程的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程后，检验得到原方程的解． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 检验：当时，， 因此是原分式方程的解． 14. 验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了______度． 【答案】50 【解析】 【分析】用待定系数法求出反比例函数解析式，再把，代入解析式求出y的值，进而计算即可． 【详解】解：设  关于  的函数解析式为  ， 把  代入  ，  ，  函数解析式为  ， 当  时，  ， 当  时，  ，  度数减少了  （度）． 15. 如图1，在菱形中，，是边的中点，是对角线上一动点．设的长度为，与的长度和为，图2是关于的函数图象，其中是图象上的最低点，则（1）菱形的边长为________；（2）a的值为_____． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】利用菱形轴对称性：、关于对角线对称，所以，则，根据两点之间线段最短，、、共线时，取得最小值（对应图象最低点），当与重合时，，对应图象． 【详解】解：连接，， 菱形，是对角线， 、关于对称，， ． 当与点重合时，，， 已知，菱形中， ， 又菱形中， 为等边三角形，是中点， ， 设，则， ， ， ， 菱形边长； 当、、三点共线时，（两点之间线段最短）； 是等边三角形，为中点， ， 在中，，： ， ， 综上：（1）菱形边长；（2）． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，负整数指数幂，先化简二次根式，绝对值，负整数指数幂，再加减即可，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：原式， ． 17. 已知：如图点，，，，在同一条直线上，，．若______，则．请你从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【答案】添加②；理由如下：在和中，， ， ，即， ； 若选③： ，， ， 后续同上可证； ： ， 不行，不能证全等，①不可选． 【解析】 【分析】要证，可先证，即证明，已知，搭配所选条件用全等判定证明三角形全等，得到，等式同减即可得． 【详解】略 18. 人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若人字梯两根支架，的长都为，且两根支架，之间的夹角为，求人字梯张开的水平宽度．（结果精确到，参考数据：，，，，，） 【答案】人字梯张开的水平宽度约为 【解析】 【分析】过点作交于点，根据正弦函数求解即可； 【详解】解：过点作交于点． ， ，， 在中， ， ， ． 答：人字梯张开的水平宽度约为． 19. 某班级拟开展主题班会活动，现通过投票从“与科技”“ 与生活”“ 与学习”“ 安全”“故事”中挑选一个最受欢迎的主题．投票结果的条形统计图与扇形统计图如图： 请根据以上信息，完成下列问题： （1）本次投票共______人参与，并补全条形统计图． （2）由于“与科技”“ 故事”两个主题得票并列最高，为确定活动主题，从该班随机选择8名学生代表为这两个主题评分，评分结果及汇总信息如下表： 主题 评分 平均数 中位数 众数 与科技 10 9 8 3 6 4 10 10 10 故事 9 10 7 8 5 5 8 8 7.5 8 求表中的数据：______，______，______． （3）结合上述信息，应该选择哪个活动主题，并说明理由． 【答案】（1）48，补全条形统计图： （2） （3） 解：选择“与科技”， 理由：两个主题的平均分相同，“与科技”的中位数更高，整体评分水平更高， 因此选择“与科技”． 【解析】 【分析】（1）先运用“安全”人数除以占比，得出本次投票共48人参与，再列式计算得“与学习”的人数，再补齐条形统计图： （2）先理解题意，再分别求出“与科技”的平均数，中位数，以及“故事”的众数，即可作答． （3）利用平均数，以及中位数进行分析比较，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，（人）， 即本次投票共48人参与， ∴（人）， 补全条形统计图略 【小问2详解】 解：依题意，， 先把评分从小到大排序，得， ∴中位数位于第4位和第5位之间， 即（分）， 在故事的评分中，分出现的次数最多，即； 【小问3详解】 略 20. 数学兴趣课上，老师拿出两盒数量相同的棋子，分给奋进组和探究组各一盒．开展有关“形数”的探究活动．最终同学们经过讨论，分别设计出如下两种方案： 奋进组的同学按照图①所示的方式摆放 探究组的同学按照图②所示的方式摆放 【观察与思考】 （1）先研究特殊情况，若两组都摆放6层，则奋进组共用去棋子的数量为____枚，探究组共用去棋子的数量为____枚； （2）再探究一般情况，若摆放层，奋进组共用去棋子的数量为____枚，探究组共用去棋子的数量为____枚；（用含有的式子表示） 【拓展探究】 （3）若奋进组按照图①所示的方式摆放老师所给的一盒棋子，完整摆完最后一层后恰好用完，探究组按照图②所示的方式摆放老师所给的一盒棋子，完整摆完最后一层后还剩下8枚棋子，且比奋进组多摆了4层，请计算一盒棋子的数量为多少枚？ 【答案】（1）36，21 （2）， （3）144枚 【解析】 【分析】（1）摆放6层，奋进组共用去棋子的数量为；探究组共用去棋子的数量为，再计算即可； （2）令奋进组共用去棋子的数量为：，则，两式子相加即可得到奋进组共用去棋子的数量；探究组共用去棋子的数量为：； （3）设奋进组共摆放了层，则探究组摆放了层，由题意，得，再解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：奋进组共用去棋子的数量为（枚） 探究组共用去棋子的数量为（枚）. 【小问2详解】 解：令奋进组共用去棋子的数量为：， 则， 两式子相加得：， ∴； 探究组共用去棋子的数量为：， 【小问3详解】 解：设奋进组共摆放了层，则探究组摆放了层， 由题意，得， 解得，（舍去）， 一盒棋子的数量为（枚）， 答：一盒棋子的数量为144枚． 21. 如图，是的弦，过点作的切线，以为顶点作，分别交，于点，． （1）证明：； （2）若的半径为6，，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接， 与相切， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）8 【解析】 【分析】（1）利用切线性质、直角三角形内角互余以及等腰三角形边角关系，推导，等角对等边证线段相等． （2）设未知数，由表示线段长，结合勾股定理以及列方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如（1）图，， 的半径为6， ， ，， ， ， 设，， 在中，， ，解得， ． 22. 城市社区绿化是提升城市生态品质的重点工程，某小区计划采购甲（灌木）、乙（草本）两种绿化苗木．已知购进株甲种苗木和株乙种苗木共需元，购进株甲种苗木和株乙种苗木共需元． （1）求购进株甲种苗木和株乙种苗木各需多少元？ （2）若该小区计划购进甲、乙两种苗木共株，结合绿化区域布局，投入资金不少于元又不超过元．设购进甲种苗木株，则有几种购买方案？ （3）在（）的条件下，已知甲种苗木每株每年遮阴面积大约平方米，乙种苗木每株每年遮阴面积大约平方米．设小区年遮阴总面积为平方米，在此前提下，哪种购买方案的年遮阴面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）购进株甲种苗木需元，株乙种苗木需元； （2）； （3）购进甲种苗木株，乙种苗木株时面积最大，平方米． 【解析】 【分析】设购进株甲种苗木需元，株乙种苗木需元，则，然后解方程组即可； 设购进甲种苗木株，则购进乙种苗木株，由题意得，然后解不等式组，再结合为正整数即可求解； 由题意得出，然后根据一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设购进株甲种苗木需元，株乙种苗木需元， 则，解得， 答：购进株甲种苗木需元，株乙种苗木需元； 【小问2详解】 解：设购进甲种苗木株，则购进乙种苗木株， 由题意得， ∴， ∵为正整数， ∴的可能取值为，，，，， ∴共有种购买方案． 【小问3详解】 解：设小区年遮阴总面积为平方米，则， ∵， ∴随的增大而增大， 由（）可知，的最大取值为，此时， ∴购进甲种苗木株，乙种苗木株时，面积最大为平方米． 23. 在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，其中点，分别是点，的对应点． （1）如图1，连接，，求的值； （2）如图2，当点恰好落在边上，连接交于点，连接，求证：； （3）在旋转过程中，当时，直线，交于点，请直接写出的长． 【答案】（1）； （2）证明：如图，过点作于点， 由旋转可知，， ， ， ， ， 平分， 又，， ， 由旋转的性质及矩形的性质可知，， ， ，， ， ； （3）或． 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得到，，，求得，根据相似三角形的性质得到； （2）由旋转的性质得到，可知，进而得到平分，根据角平分线的性质定理得到，进而得到，证明，可知； （3）根据旋转的性质得到，，，求得，得到，得到为等边三角形，同理为等边三角形．如图，令与的交点为，根据三角函数的定义得到，如图，同理可得． 【小问1详解】 解：由旋转的性质知，，， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的长为或，理由如下： 由旋转得，，， ， ， ， 在四边形中，， ， ， 为等边三角形， 同理为等边三角形． ∴， 如图，令与的交点为， ，， ， ， 如图，令与的交点为， 同理可得， ∴， 综上所述，的长为或． 24. 已知，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标； （3）若点、为该抛物线上不同的两点，且满足，设，请判断h是否为定值．若为定值，请求出h的值；若不是定值，请说明理由． 【答案】（1） （2）最大值为，此时 （3）是， 【解析】 【分析】（1）先根据二次函数对称轴公式求出，再把代入二次函数解析式中进行求解即可； （2）先求出，，则，，求出直线的解析式为，设，则，，则；再由得到，故当时，最大，最大值为，此时点P的坐标为； （3）根据题意列式，求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数经过点， ∴，即， ∴， ∴二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵二次函数经过点，且对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数与y轴交于点C， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴； ∵， ∴ ， ∵， ∴当时，最大，最大值为， ∴此时点P的坐标为； 【小问3详解】 解：已知、在抛物线上，且，则： ，， ， ， 由，得， 代入得：， ∴ ， ∴h是定值，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $