精品解析：2026年山西大同市第七中学校中考考前模拟数学试卷A

2026年山西大同市第七中学校中考考前模拟 数学试卷A 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷的相应位置上． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑．） 1. 2026的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 2. 七衡六间图是《周髀算经》中描述太阳运行规律和对应二十四节气的示意图，它有7个间隔等分的同心圆，每一圆为一衡，衡与衡之间称为间，每一衡表示一年内太阳在不同时期的运行轨道．最外圈为外衡，代表冬至；最内圈为内衡，代表夏至．七衡六间图不仅是一种天文观测工具，也是古人理解自然规律、制定历法的重要依据．以下是与七衡六间图相关的示意图(不考虑图形中的文字)，其中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 冰裂纹是我国古典园林的传统铺装纹样之一，并被广泛应用于建筑装饰和瓷器．如图2是从图1冰裂纹铺装的路面图案中提取的多边形，则这个多边形的内角和是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 钕磁铁，也称为钕铁硼磁铁，是由钕、铁、硼形成的四方晶系晶体，是最常使用的稀土磁铁，被广泛地应用于电子产品，例如硬盘、手机、耳机等．如图是一个钕磁铁元件，它的主视图如图所示，则它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 6. 图1为某品牌空调外机支架，图2是其模型图，依据图中数据可得斜边长度为，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 7. 在一次科技活动节上，智慧小组的同学展示了如图一款简易机器人，其手臂可以向前、后、上、下四个方向自由伸展，每接到一次方向指令，手臂向指定的方向伸展一次．假设该机器人接到四个方向的指令是等可能的．现向机器人随机发出2次指令，它按指令做两次伸展，则其中至少有一次伸展方向为向上的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是如果每一间客房住人，那么有人无房住；如果每一间客房住人，那么就空出一间客房．据此求客房和客人的数量．下列说法错误的是（　　） A. 设客房有间，则 B. 设客人有人，则 C. 设客房有间，客人有人，则 D. 客房间，客人人 9. 天气瓶是生活中常见的装饰品，它的结晶状态会随温度发生改变．制作天气瓶用到的固体物质有硝酸钾和氯化铵．这两种物质在水中的溶解度与温度的函数图象如图所示． 信息窗 a．在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度，物质的溶解度会随温度的变化而变化． b．在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫做这种溶质的饱和溶液，还能继续溶解的溶液，叫做这种溶质的不饱和溶液． 下列说法正确的是（ ） A. 硝酸钾和氯化铵的溶解度与温度分别满足二次函数和一次函数关系 B. 当时，硝酸钾和氯化铵在水中的溶解度都随温度的上升而增大 C. 硝酸钾和氯化铵在水中的溶解度始终不一样 D. 时，将氯化铵加到水中可得到饱和溶液 10. 如图，在扇形中，，，M为的中点，将扇形绕点M顺时针旋转得到扇形，连接，当时，阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共15分．） 11. 把多项式分解因式的结果是______． 12. 如图是某超市的购物车装满物品时，抽象成的几何示意图，已知五边形，F，E，A三点在同一条直线上，连接，若，，，则的度数为________°． 13. 苯是一种石油化工基本原料，其产量和生产的技术水平是一个国家石油化工发展水平的标志之一，如图，小明用9根相同的木棒搭建的第1个图形就是类似于苯的结构简式，他继续用相同的木棒搭建与苯有关联的各个图形，按此规律，用含的式子表示搭建第（为正整数）个图形所需木棒的根数_____． 14. 劳动教育课上，徐老师带领九（1）班同学对甲、乙、丙、丁四类小麦种子的发芽情况进行统计（种子培养环境相同）．如图，表示甲、乙、丙、丁四类种子的发芽率y与该类种子用于实验的数量x的情况，其中乙、丁在反比例函数图象上，则四类种子中，发芽数量最多的是________类种子．（填“甲”“乙”“丙”“丁”） 15. 如图，在中，，，，点D在上，，点E为上一点，连接交于点F，若，则的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤．） 16. 完成下列各题： （1）计算：； （2）解不等式组：． 17. 已知四边形是平行四边形，且，点F是上一点，． （1）如图1，点E在上，连接，，在不添加新的辅助线的前提下，请增加一个条件：_________，使得四边形是菱形； （2）如图2，请在上求作与点B，C不重合的两点G，H，连接，，使得四边形是菱形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 18. 为促进学生对科技创新知识的了解，山西某中学在七年级和八年级开展了“科技创新知识竞赛”，并从七年级和八年级的学生中分别随机抽取了25名学生的竞赛成绩（百分制），得分用x表示，且得分为整数，共分为4组．A组：，B组：，C组：，D组：，通过收集、整理、描述和分析，下面给出了部分信息： 七年级抽取的竞赛成绩在B组中的数据为：89，86，87，86，88，85，87，89． 八年级抽取的所有学生竞赛成绩数据为：98，96，96，94，92，92，90，90，89，88，88，88，85，85，84，83，82，81，80，79，78，78，75，71，68． 七年级、八年级被抽取的学生测试得分统计表 平均数 众数 中位数 方差 七年级 85.6 90 n 39.36 八年级 85.2 m 85 58.24 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中：______，______，______； （2）根据以上数据，请你选择上述的两个统计量进行分析该中学七年级和八年级中哪年级学生的竞赛成绩更优秀？ （3）规定在90分及其以上的为优秀等级，假设该校七年级有800名学生、八年级有700名学生参加知识竞赛，请你估计两个年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等的共有多少人？ 19. 拥有便捷的交通是经济发展的前提，某地为了打造全新旅游体验，提高地域知名度，计划修建一段音乐旅游公路．某施工队承揽了这段旅游公路的施工，原计划施工300米，施工队在施工了60米后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该阶段工程．问该工程队原计划每天施工多少米？ 20. 大型雕塑《力量》位于太原市五一广场南广场，于2022年3月3日落成，以“伟大的开端”为主题，以太行山与吕梁山为背景，通过105个历史人物群像再现八路军三大主力师东渡黄河及民众支前场景，展现中国共产党领导下山西军民共筑抗日统一战线的历史画卷．某数学小组利用课余时间对该雕塑的高度进行了测量． 活动主题 测量雕塑的高度 测量工具的制作 自制测高仪：将两根的木棍按如图所示的方式钉在一起，其中，点A，C处用橡皮筋连接，在上标出刻度，可在上滑动，且保持．在A处用细线挂一个小铁球，测量时，点B落在细线上，调整点D的位置，使得点C，A与被测量物体在一个平面内． 测量方案 如图1，分别站在雕塑的两侧进行测量，在雕塑的右侧处，点C与点E重合，调整点D的位置，使点C，A，P刚好在一条直线上，此时测量工具的示意图如图2，记下的长度h；在雕塑的左侧处，点C与点G重合，调整点D的位置，使点C，A，P刚好在一条直线上，此时点D恰好为的中点，如图3． 测量数据 ，，． 备注 点P，Q，E，F，G，H均在同一平面内，点H，Q，F在同一水平线上． 请根据上述数据求出雕塑的高度． 21. 阅读与理解： 下面是晓雯同学的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务． “赵爽弦图”的别样之花 如图1是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的图案，人们称它为“赵爽弦图”，该图通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，受此图的启发，我发现了与之有联系的一些题目，它们别有风采． 【背景】 如图2，在正方形中，E，F，G分别是，，上的点，且，垂足为点O．猜想图中的线段的数量关系并证明． 如下是该小组成员的解答过程． 猜想．证明如下： 过点A作交于点H，交于点M， ∵于点O，∴． ∵，∴， ∴． ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， …… （1）请你补全【背景】中的证明过程． 【迁移尝试】 （2）如图3，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均在格点上，与交于点Q，的值为________． 【拓展应用】 （3）如图4，在矩形中，，点P是延长线上一点，，以为边在上方作矩形，且，连接．请直接写出直线所夹锐角的正切值． 22. 如图，是一个抛物线形拱桥的截面示意图．桥下水面的宽度，以所在的直线为轴，为原点建立平面直角坐标系，拱顶距离水面，在点处装有一个宽光束射灯进行照明，光束的有效光照区域恰好能覆盖整个水面； （1）___________；求拱桥抛物线的解析式； （2）如图，当水面上升后，光束的有效光照区域为，无法照到整个水面，求此时照明灯照不到的水面区域的宽度； （3）如图，因河水上涨，点处一棵大树倒下并挡住了桥洞，大树顶端恰好落于点处，为避免产生阻塞，市政部门准备调用一装有机械臂的设备将大树移开．为机械臂的一部分，为保证抓取稳固，需始终保持机械臂，假设机械臂的起点始终在抛物线上，请问机械臂起点与树木之间距离是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在请说明理由． 23. 综合与探究： 我们在现实生活中经常用到纸，它是一种长和宽的比是一个定值的矩形，该种类型的纸也被称为标准纸．如图1是一张A4纸（矩形），对折后展开，折痕分别交于点M，N，连接． 【操作判断】 （1）①四边形都是矩形，请你对四边形是矩形进行证明； ②已知矩形和矩形相似，则纸长和宽的比为________； 【深入探究】 将矩形绕点顺时针旋转得到矩形． （2）①如图2，当恰好经过点C时，旋转角的度数是________； ②如图3，当矩形在平面内绕点旋转时，连接，，直线与线段交于点，证明点E是的中点． 【拓展应用】 （3）若，在矩形旋转过程中，当，，三点共线时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年山西大同市第七中学校中考考前模拟 数学试卷A 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷的相应位置上． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑．） 1. 2026的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：2026的相反数是． 2. 七衡六间图是《周髀算经》中描述太阳运行规律和对应二十四节气的示意图，它有7个间隔等分的同心圆，每一圆为一衡，衡与衡之间称为间，每一衡表示一年内太阳在不同时期的运行轨道．最外圈为外衡，代表冬至；最内圈为内衡，代表夏至．七衡六间图不仅是一种天文观测工具，也是古人理解自然规律、制定历法的重要依据．以下是与七衡六间图相关的示意图(不考虑图形中的文字)，其中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A.是中心对称图形，但不是轴对称图形，故符合题意； B.不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意； C.是中心对称图形，也是轴对称图形，故不符合题意； D.是中心对称图形，也是轴对称图形，故不符合题意． 3. 冰裂纹是我国古典园林的传统铺装纹样之一，并被广泛应用于建筑装饰和瓷器．如图2是从图1冰裂纹铺装的路面图案中提取的多边形，则这个多边形的内角和是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了多边形的内角和公式，根据题意得到多边形是六边形，利用n边形内角和公式进行解答即可． 【详解】解：由题意可知，多边形是六边形， ∴这个多边形的内角和是， 故选D． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除、积的乘方的法则逐一验证选项即可． 【详解】解：∵合并同类项法则为系数相加，字母和字母的指数不变， ∴，A错误； ∵单项式乘单项式，系数相乘，同底数幂相乘， ∴，B错误； ∵同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴，C错误； ∵积的乘方等于各因式分别乘方，幂的乘方底数不变，指数相乘， ∴，D正确． 5. 钕磁铁，也称为钕铁硼磁铁，是由钕、铁、硼形成的四方晶系晶体，是最常使用的稀土磁铁，被广泛地应用于电子产品，例如硬盘、手机、耳机等．如图是一个钕磁铁元件，它的主视图如图所示，则它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图．熟练掌握从上往下看到的是俯视图，其中看到的用实线，看不到的用虚线是解题的关键． 根据从上往下看到的是俯视图，其中看到的用实线，看不到的用虚线进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，俯视图如下： ， 故选：C． 6. 图1为某品牌空调外机支架，图2是其模型图，依据图中数据可得斜边长度为，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，勾股定理，先根据勾股定理求得，进而用科学记数法表示，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， 故选：A． 7. 在一次科技活动节上，智慧小组的同学展示了如图一款简易机器人，其手臂可以向前、后、上、下四个方向自由伸展，每接到一次方向指令，手臂向指定的方向伸展一次．假设该机器人接到四个方向的指令是等可能的．现向机器人随机发出2次指令，它按指令做两次伸展，则其中至少有一次伸展方向为向上的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用列表法或树状图求概率即可 【详解】解：列表如下： 前 后 上 下 前 前，前 前，后 前，上 前，下 后 后，前 后，后 后，上 后，下 上 上，前 上，后 上，上 上，下 下 下，前 下，后 下，上 下，下 共有16种等可能结果，其中至少有一次伸展方向为向上的结果有7种， ∴至少有一次伸展方向为向上的概率为 8. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是如果每一间客房住人，那么有人无房住；如果每一间客房住人，那么就空出一间客房．据此求客房和客人的数量．下列说法错误的是（　　） A. 设客房有间，则 B. 设客人有人，则 C. 设客房有间，客人有人，则 D. 客房间，客人人 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用，解答本题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，正确列出方程和方程组． 根据题意得出方程或方程组并解出未知数的值，即可解答． 【详解】解：A、设客房有间，则，故A选项正确； B、设客人有人，则，故B选项错误； C、设客房有间，客人有人，则，故C选项正确； D、由C选项列出的二元一次方程组解得，即客房间，客人人，故D选项正确； 故选：B． 9. 天气瓶是生活中常见的装饰品，它的结晶状态会随温度发生改变．制作天气瓶用到的固体物质有硝酸钾和氯化铵．这两种物质在水中的溶解度与温度的函数图象如图所示． 信息窗 a．在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度，物质的溶解度会随温度的变化而变化． b．在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫做这种溶质的饱和溶液，还能继续溶解的溶液，叫做这种溶质的不饱和溶液． 下列说法正确的是（ ） A. 硝酸钾和氯化铵的溶解度与温度分别满足二次函数和一次函数关系 B. 当时，硝酸钾和氯化铵在水中的溶解度都随温度的上升而增大 C. 硝酸钾和氯化铵在水中的溶解度始终不一样 D. 时，将氯化铵加到水中可得到饱和溶液 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了从函数图象获取信息，读懂题意，从图象获取正确信息是关键．根据图象分析即可． 【详解】解：根据题图，无法判断硝酸钾的溶解度与温度满足二次函数，根据题意可知，氯化铵的溶解度与温度之间的函数图象不是直线，故氯化铵的溶解度与温度一定不满足一次函数关系，故选项A错误； 观察图可知，当时，硝酸钾和氯化铵在水中的溶解度都随温度的上升而增大，故选项B正确，符合题意； 由图可知，时硝酸钾和氯化铵在水中的溶解一样，故选项C错误，不符合题意； 由题意可知，时，氯化铵的溶解度大于， ∴将氯化铵加到水中可得到不饱和溶液，故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 10. 如图，在扇形中，，，M为的中点，将扇形绕点M顺时针旋转得到扇形，连接，当时，阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，先证明为等边三角形，得出，，再证明点、、三点共线，设与交于点，则，过点作于，则，由勾股定理可得，求出，最后由计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵M为的中点，， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴点、、三点共线， 设与交于点，则， 过点作于，则， ∴， ∴， ∴． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共15分．） 11. 把多项式分解因式的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】直接提取公因式a，进而利用完全平方公式分解因式得出即可． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练利用乘法公式是解题关键． 12. 如图是某超市的购物车装满物品时，抽象成的几何示意图，已知五边形，F，E，A三点在同一条直线上，连接，若，，，则的度数为________°． 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线平行、同旁内角互补得出的度数，根据等边对等角得出的度数，再根据角的和差即可解答． 【详解】解：，，  ， ，  ， ，  ， ． 13. 苯是一种石油化工基本原料，其产量和生产的技术水平是一个国家石油化工发展水平的标志之一，如图，小明用9根相同的木棒搭建的第1个图形就是类似于苯的结构简式，他继续用相同的木棒搭建与苯有关联的各个图形，按此规律，用含的式子表示搭建第（为正整数）个图形所需木棒的根数_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了规律型—图形类规律与探究，根据前3个图形总结规律，即可得到第n个图形所需木棒的根数． 【详解】解：∵第1个图形有：9根， 第2个图形有：17根， 第3个图形有：25根， ……， ∴第n个图形有：根． 故答案为：． 14. 劳动教育课上，徐老师带领九（1）班同学对甲、乙、丙、丁四类小麦种子的发芽情况进行统计（种子培养环境相同）．如图，表示甲、乙、丙、丁四类种子的发芽率y与该类种子用于实验的数量x的情况，其中乙、丁在反比例函数图象上，则四类种子中，发芽数量最多的是________类种子．（填“甲”“乙”“丙”“丁”） 【答案】丙 【解析】 【分析】发芽数量实验数量发芽率，由反比例函数的性质并结合图象分析即可得出结果． 【详解】解：发芽数量实验数量发芽率， 由图象可得，乙、丁在同一反比例函数图象上，根据反比例函数的性质可得为定值，故乙、丁的发芽数量相等， 甲点在反比例函数图象的下方，丙点在反比例函数图象的上方，则， ∴四类种子中，发芽数量最多的是丙种子． 15. 如图，在中，，，，点D在上，，点E为上一点，连接交于点F，若，则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】过点D作交于点G，根据题意得出，，确定，得出，再由勾股定理求出，设，则，确定，，然后利用相似三角形的判定和性质得出，，，，代入求解即可． 【详解】解：过点D作交于点G，如图所示： ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴即， 解得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤．） 16. 完成下列各题： （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）先利用有理数乘方、绝对值、二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可； （2）先分别求得各不等式的解集，然后再确定不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：． 所以该不等式组的解集为． 17. 已知四边形是平行四边形，且，点F是上一点，． （1）如图1，点E在上，连接，，在不添加新的辅助线的前提下，请增加一个条件：_________，使得四边形是菱形； （2）如图2，请在上求作与点B，C不重合的两点G，H，连接，，使得四边形是菱形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）（答案不唯一） （2）图见解析 【解析】 【分析】（1）当时，结合题目可先证明四边形是平行四边形，进而结合即可求证； （2）以A为圆心，（即）长为半径画弧，交于点，以G为圆心，长为半径画弧，交于点，连接、，四边形即为所求菱形；由（1）得，，由作图得，进而可得四边形是菱形． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， 当时，四边形是平行四边形， 又∵． ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：作图如下： 【点睛】本题以平行四边形为载体，核心围绕菱形的判定定理展开：小问1通过“平行四边形邻边相等”的思路证明菱形，小问2利用尺规作图构造等长线段，结合平行关系推导菱形． 18. 为促进学生对科技创新知识的了解，山西某中学在七年级和八年级开展了“科技创新知识竞赛”，并从七年级和八年级的学生中分别随机抽取了25名学生的竞赛成绩（百分制），得分用x表示，且得分为整数，共分为4组．A组：，B组：，C组：，D组：，通过收集、整理、描述和分析，下面给出了部分信息： 七年级抽取的竞赛成绩在B组中的数据为：89，86，87，86，88，85，87，89． 八年级抽取的所有学生竞赛成绩数据为：98，96，96，94，92，92，90，90，89，88，88，88，85，85，84，83，82，81，80，79，78，78，75，71，68． 七年级、八年级被抽取的学生测试得分统计表 平均数 众数 中位数 方差 七年级 85.6 90 n 39.36 八年级 85.2 m 85 58.24 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中：______，______，______； （2）根据以上数据，请你选择上述的两个统计量进行分析该中学七年级和八年级中哪年级学生的竞赛成绩更优秀？ （3）规定在90分及其以上的为优秀等级，假设该校七年级有800名学生、八年级有700名学生参加知识竞赛，请你估计两个年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等的共有多少人？ 【答案】（1）88，87，28 （2）七年级学生的竞赛成绩更优秀 （3）估计两个年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有512人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，平均数、中位数和众数，样本估计总体，掌握相关的统计知识是解题的关键． （1）求出七年级抽取的学生成绩中A组的人数，根据中位数和众数的定义可求出m、n，再求出七年级抽取的学生成绩中C组所占百分比，再根据扇形统计图即可求出a的值； （2）根据平均数、中位数、众数和方差判断即可； （3）用七、八年级学生人数乘各年级此次知识竞赛的学生中获得优秀等级所占比即可求解． 【小问1详解】 解：七年级抽取的学生成绩中A组的人数为：（人），七年级抽取的学生成绩中B组的人数为8人， 则七年级抽取的学生成绩中，中位数位于B组， 将B组的竞赛成绩从小到大排列为：85，86，86，87，87，88，89，89，且中位数位于第5位， ∴七年级抽取的学生的竞赛成绩的中位数为； 八年级抽取的学生的竞赛成绩的中，成绩为88分出现的次数最多，则八年级抽取的学生的竞赛成绩的众数为； ∵七年级抽取的学生成绩中C组所占百分比为：，即； 故答案为：88，87，28； 【小问2详解】 解：七年级学生的竞赛成绩更优秀，理由如下： 七年级学生竞赛成绩的平均数、众数和中位数均比八年级的高，方差比八年级小，成绩波动更小，所以七年级学生的竞赛成绩更优秀； 【小问3详解】 解：八年级抽取的学生的竞赛成绩的中，获得优秀等级的共有8人， 根据题意：（人）， 答：估计两个年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有512人． 19. 拥有便捷的交通是经济发展的前提，某地为了打造全新旅游体验，提高地域知名度，计划修建一段音乐旅游公路．某施工队承揽了这段旅游公路的施工，原计划施工300米，施工队在施工了60米后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该阶段工程．问该工程队原计划每天施工多少米？ 【答案】该工程队原计划每天施工20米． 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的运用，根据题意，设该工程队原计划每天施工米，由此列式求解即可． 【详解】解：设该工程队原计划每天施工米， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解且符合实际． 答：该工程队原计划每天施工20米． 20. 大型雕塑《力量》位于太原市五一广场南广场，于2022年3月3日落成，以“伟大的开端”为主题，以太行山与吕梁山为背景，通过105个历史人物群像再现八路军三大主力师东渡黄河及民众支前场景，展现中国共产党领导下山西军民共筑抗日统一战线的历史画卷．某数学小组利用课余时间对该雕塑的高度进行了测量． 活动主题 测量雕塑的高度 测量工具的制作 自制测高仪：将两根的木棍按如图所示的方式钉在一起，其中，点A，C处用橡皮筋连接，在上标出刻度，可在上滑动，且保持．在A处用细线挂一个小铁球，测量时，点B落在细线上，调整点D的位置，使得点C，A与被测量物体在一个平面内． 测量方案 如图1，分别站在雕塑的两侧进行测量，在雕塑的右侧处，点C与点E重合，调整点D的位置，使点C，A，P刚好在一条直线上，此时测量工具的示意图如图2，记下的长度h；在雕塑的左侧处，点C与点G重合，调整点D的位置，使点C，A，P刚好在一条直线上，此时点D恰好为的中点，如图3． 测量数据 ，，． 备注 点P，Q，E，F，G，H均在同一平面内，点H，Q，F在同一水平线上． 请根据上述数据求出雕塑的高度． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得：图2中，图3中，分别求出，，设，表示出，然后建立方程求解即可． 【详解】解：如图所示：设交于点M， 根据题意得：图2中，图3中， ∵图2中，， ∴， ∵图3中点D恰好为的中点，， ∴， 设， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：， 根据题意得四边形为矩形， ∴ ∴． 21. 阅读与理解： 下面是晓雯同学的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务． “赵爽弦图”的别样之花 如图1是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的图案，人们称它为“赵爽弦图”，该图通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，受此图的启发，我发现了与之有联系的一些题目，它们别有风采． 【背景】 如图2，在正方形中，E，F，G分别是，，上的点，且，垂足为点O．猜想图中的线段的数量关系并证明． 如下是该小组成员的解答过程． 猜想．证明如下： 过点A作交于点H，交于点M， ∵于点O，∴． ∵，∴， ∴． ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， …… （1）请你补全【背景】中的证明过程． 【迁移尝试】 （2）如图3，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均在格点上，与交于点Q，的值为________． 【拓展应用】 （3）如图4，在矩形中，，点P是延长线上一点，，以为边在上方作矩形，且，连接．请直接写出直线所夹锐角的正切值． 【答案】（1）过点A作交于点H，交于点M， ∵于点O， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ， ∵ ∴四边形为平行四边形， ， ． （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题中所给过程进一步完善即可； （2）根据网格作，连接，得出，然后利用勾股定理逆定理得出为等腰直角三角形，确定，即可求解； （3）根据题意得，，延长交的延长线于点L，过点A作，连接HE，过点H作，得出四边形为矩形，四边形为平行四边形，，然后求出，利用三角形等面积法得出，最后利用勾股定理及正切函数的定义求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据网格作，连接，如图所示： ∴， ∵， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 【小问3详解】 ∵，，， ∴，， 延长交的延长线于点L，过点A作，连接HE，过点H作，如图所示： ∴四边形为矩形，四边形为平行四边形，， ∴，，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，是一个抛物线形拱桥的截面示意图．桥下水面的宽度，以所在的直线为轴，为原点建立平面直角坐标系，拱顶距离水面，在点处装有一个宽光束射灯进行照明，光束的有效光照区域恰好能覆盖整个水面； （1）___________；求拱桥抛物线的解析式； （2）如图，当水面上升后，光束的有效光照区域为，无法照到整个水面，求此时照明灯照不到的水面区域的宽度； （3）如图，因河水上涨，点处一棵大树倒下并挡住了桥洞，大树顶端恰好落于点处，为避免产生阻塞，市政部门准备调用一装有机械臂的设备将大树移开．为机械臂的一部分，为保证抓取稳固，需始终保持机械臂，假设机械臂的起点始终在抛物线上，请问机械臂起点与树木之间距离是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在请说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）存在，最大值为 【解析】 【分析】题目主要考查坐标与图形，等腰三角形的性质，二次函数的综合应用，理解题意，熟练掌握二次函数的应用是解题关键． （1）根据题意得出，，顶点，即，设拱桥抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）设的解析式为，利用待定系数法确定的解析式为，得出此时点坐标为，然后代入函数解析式求解即可； （3）过点作轴于点，交于点，根据题意得出，设，则，得出关于的二次函数求解即可． 【小问1详解】 解：； 由题知，，，顶点，即， 设拱桥抛物线的解析式为， ， 解得， 拱桥抛物线的解析式为； 【小问2详解】 设的解析式为， ， ， 的解析式为， 当时， ，此时点坐标为 ， 解得：，， 此时点坐标为， 照明灯照不到的水面区域的宽度； 【小问3详解】 存在， 如图，过点作轴于点，交于点， 顶点为， ， ， ， ， 设，则， ， 当时，的最大值为1， 的最大值为． 23. 综合与探究： 我们在现实生活中经常用到纸，它是一种长和宽的比是一个定值的矩形，该种类型的纸也被称为标准纸．如图1是一张A4纸（矩形），对折后展开，折痕分别交于点M，N，连接． 【操作判断】 （1）①四边形都是矩形，请你对四边形是矩形进行证明； ②已知矩形和矩形相似，则纸长和宽的比为________； 【深入探究】 将矩形绕点顺时针旋转得到矩形． （2）①如图2，当恰好经过点C时，旋转角的度数是________； ②如图3，当矩形在平面内绕点旋转时，连接，，直线与线段交于点，证明点E是的中点． 【拓展应用】 （3）若，在矩形旋转过程中，当，，三点共线时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）①证明：∵矩形，对折，折痕分别交于点M，N，连接． ∴， ∴四边形是矩形； ②； （2）① ②解：如图，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，， 由旋转的性质，可知，，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ，， ， ， ∴点E是的中点． （3）线段的长为或． 【解析】 【分析】（1）①根据折叠的性质及矩形的判定证明即可；②根据题意得出，再由相似多边形的性质求解即可； （2）①在直角三角形里，利用（1）②中的结果及三角函数算出，从而得到旋转角；②过、向作垂线，先证两个小三角形全等得到垂线段相等，再证包含、的两个三角形全等，从而得出； （3）分在线段上和延长线上两种情况，先证和是等边三角形，再结合勾股定理和（2）的结论，分别算出两种情况下的长度． 【小问1详解】 解：②∵矩形，对折，折痕分别交于点M，N， ∴， ∵矩形和矩形相似， ∴即， ∴； 【小问2详解】 ①解：当恰好经过点时， 由（1）②得， ∴， ∵旋转， ∴， ∵， ， ， ， ． ②略 【小问3详解】 ∵，， ∴， 解：①如图，当点在线段上时，， ，，， ， ， ， 连接，，则， ， ， 是等边三角形， ， 由（2）可知，， ，， ， ， 是等边三角形， 过点作于， ， ， ，， 在中，， ； ②如图，当点在线段的延长线上时，连接，，过点作于点， 同理可得是等边三角形， ， 综上所述，线段的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $