精品解析：2026年山西省长治市襄垣县中考前模拟数学试题

数学 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置上． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 2026年意大利冬奥会期间，位于阿尔卑斯山区的科尔蒂纳丹佩佐雪上赛场夜间温度较低，平均约在零下，而白天受阳光照射，温度可升至零上．若零上记作，则零下记作（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵题目规定零上温度记为正，零上记作， ∴与零上意义相反的零下温度记为负， 因此零下记作． 2. 下列实数是不等式组的解的是（ ） A. 3 B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】解：由题意得，该不等式组的解集为 A选项：，不在解集范围内，不符合要求； B选项：，不在解集范围内，不符合要求； C选项：，在解集范围内，符合要求； D选项：，不在解集范围内，不符合要求． 3. 窗花是中国民间传统剪纸艺术，以对称构图、吉祥寓意为核心，融生活情趣与美好祈愿于一纸一刀，是春节里最具烟火气的文化符号．下列四种窗花图案，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别；根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方法则逐一判断运算是否正确． 【详解】解：A、，故本选项计算错误； B、，故本选项计算错误； C、，故本选项计算错误； D、，故本选项计算正确． 5. 如图，直线，且直线a，b被直线l所截，的角平分线交直线a于点C．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵ ∴ ∵的角平分线交直线a于点C ∴ ∴． 6. 阳马（即角梁）是中国古建筑构件，也是中国古代算术中的一种几何形体．它是底面为长方形，侧面两个直角三角形与底面垂直的四棱锥．如图是“阳马”的示意图，则该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：该几何体的左视图是  ． 7. 为了研究“电热水壶功率与烧开一壶水所需时间”的关系，物理小组在电压恒定的条件下，记录了5个不同功率的电热水壶烧开同样一壶水的实验数据，如下表： 功率x（千瓦） 0.8 1.0 1.6 2.0 2.5 时间y（分钟） 25 20 12.5 10 8 经分析，y与x满足某种函数关系，则y与x的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断与的函数关系，可通过计算与的乘积，若乘积为定值，则与满足反比例函数关系，据此推导即可． 【详解】解：∵ ，，，，， 可得所有组满足， ∴y与x的函数关系式为． 8. 2026年总台春晚以“骐骥驰骋，势不可挡”为主题，借千里马意象传递开拓进取、一往无前的时代精神．现推出骐骐、骥骥、驰驰、骋骋四款吉祥物盲盒，小明从这四款外观完全相同的盲盒中一次性随机抽取两个，抽到的盲盒中含有“驰驰”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过列表或画树状图，找出所有的等可能的结果数和满足要求的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：用A、B、C、D分别表示“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四款吉祥物盲盒， 画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的盲盒中含有“驰驰”（表示为C）的结果有6种， ∴抽到的盲盒中含有“驰驰”的概率是． 9. 如图，射线与相切于点B，经过圆心O的射线与相交于点D，C，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，利用切线的性质得，再利用互余得到，然后圆周角定理计算的度数． 【详解】解：连接，如图， ∵边与相切，切点为B， ∴， ∴， ∴， ∴． 10. 在一次奇妙的数学拼贴艺术中，艺术家发现半径为a的正十二边形和边长为a的小正方形的面积之间存在着一定的数量关系．那么，这个正十二边形的面积与小正方形的面积的关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．过 作于 ，得到圆的内接正十二边形的圆心角为，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，过 作于 ， 圆的内接正十二边形的圆心角为， ， ， ， 这个圆的内接正十二边形的面积为， ∵正方形的面积为 ∴这个正十二边形的面积与小正方形的面积的关系为 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 已知点都在反比例函数的图象上，且，______（填>或）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，当比例系数时，在的区间内，函数图象位于第三象限，且y随x的增大而减小. 【详解】解：反比例函数的比例系数，且，即y随x的增大而减小； 所以 ； 故答案为：. 13. 在中等配速（约6～7分钟/公里）的长跑中，当步幅（单位：）与身高（单位：）满足公式时，通常能获得较省力、高效舒适的跑步节奏．若小明同学身高，他长跑时应将步幅调整至________左右更省力． 【答案】 【解析】 【详解】解：当时，． 14. 用相同长度的小木棒和绳子搭建“圆内十字形”图形：每个图形以中心点为起点，向“上、下、左、右”四个方向延伸；每个方向上（不包含中心点）的点数随图形序号依次增加． 前3个图形的构造规律如下： 图形1：中心点到每个方向有1个点，总点数为5． 图形2：中心点到每个方向有2个点，总点数为13． 图形3：中心点到每个方向有3个点，总点数为21． …… 按照图形的构造规律，图形n的总点数为_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：图形1：中心点到每个方向有1个点，总点数为． 图形2：中心点到每个方向有2个点，总点数为． 图形3：中心点到每个方向有3个点，总点数为． …… 图形n的总点数为 15. 如图，在四边形中，且，，是边上靠近点的三等分点，，相交于点．若，则的长为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】延长交于点，证明，求得，证明得出，根据得出，勾股定理求得，得出，进而根据，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵是边上靠近点的三等分点， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∵， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴，即 ∴ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ 在中， ∴ ∵ ∴ ∴ 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，在中，分别延长，至点E，F，使得，连接交于点O，交于点G． （1）求证：； （2）若，，，则________． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴，即． ∵在和中， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，从而有，由得出，即可运用“”证明结论； （2）设交于点H．由得到，因此．证明，得到，设，则，根据列出方程，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，设交于点H． ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴． 由（1）可知，， ∴． ∵在和中， ∴， ∴． 设，则， ∵， ∴，解得， ∴． 18. 山西非遗刺绣技艺历史悠久、工艺精湛．现有两位山西绣娘制作同一种传统刺绣挂件，已知李阿姨每月比王阿姨多制作8件，且李阿姨制作60件刺绣所用的时间与王阿姨制作45件刺绣所用的时间相同． （1）王阿姨、李阿姨每月各制作多少件刺绣？ （2）现接到一批新订单210件，若李阿姨因事暂不能参与工作，由王阿姨先单独制作，李阿姨后加入合作，要求总工期不超过6个月，李阿姨最晚第几个月开始合作能按时完成这批订单？（要求结果为整数） 【答案】（1）王阿姨每月制作24件刺绣，李阿姨每月制作32件刺绣 （2）李阿姨最晚第4个月开始合作能按时完成这批订单 【解析】 【分析】（1）设王阿姨每月制作x件刺绣，则李阿姨每月制作件刺绣，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解； （2）设李阿姨在第y个月开始合作，根据题意列出不等式，求得最大正整数，即可求解． 【小问1详解】 解：设王阿姨每月制作x件刺绣，则李阿姨每月制作件刺绣． 由题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． ∴． 答：王阿姨每月制作24件刺绣，李阿姨每月制作32件刺绣． 【小问2详解】 解：设李阿姨在第y个月开始合作． 王阿姨全程参与6个月，共制作件． 李阿姨参与的时间为个月，共制作件． 由题意，得， 解得． ∵y为整数， ∴y的最大值为4． 答：李阿姨最晚第4个月开始合作能按时完成这批订单． 19. 为了解“人流量对环境浓度的影响”，某学校数学与环境科学实践小组对校园内操场（开阔通风）和教学楼走廊（人流密集）两个地点的浓度（单位：）进行24小时内每小时一次的实时监测．本次调查完整经历了数据收集→数据整理→数据分析三个过程，最终结合统计数据分析校园空气质量差异． 【数据收集】 原始监测数据（24小时浓度数据）： 操场监测点：35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 25 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 走廊监测点：42 43 45 48 52 55 58 55 52 48 45 40 38 40 42 45 52 52 55 58 55 52 48 45 监测说明： （1）监测时间：2026年3月3日（晴天，无风，无极端天气），每小时整点监测1次，共24组数据． （2）监测仪器：学校环境实验室专用手持检测仪（精度），数据真实有效． （3）监测地点： ①学校操场中央（开阔无遮挡，人流分散）； ②教学楼3楼走廊中段（人流密集，课间/放学时段人员频繁经过，空间半封闭）． 【整理数据】 （1）频数分布表 根据浓度实际范围，按为组距进行分组，统计两个监测点的频数（单位：）； 浓度分组 操场监测点 11 10 3 0 0 0 0 走廊监测点 0 0 1 5 7 5 6 （2）频数分布直方图 【数据分析】 根据原始数据，计算得出操场、走廊两个监测点浓度的核心统计量（结果保留两位小数）： 统计量 平均数（） 众数（） 中位数（） 方差（） 操场监测点 30.04 b 30 11.71 走廊监测点 48.54 52 c 34.58 根据以上信息解决下列问题： （1）请补全“走廊监测点”的频数分布直方图； （2）操场监测点的众数为__________，走廊监测点的中位数为c＝__________．结合平均数和方差，分析操场、走廊两个监测点的空气质量哪个好，并说明理由． （3）根据我国《环境空气质量标准》，日平均浓度限值为（超过则为超标）．分别计算操场、走廊两个监测点24小时浓度的极差（最大值－最小值）；结合极差和浓度限值，判断哪个监测点的空气质量日变化幅度更大，且达标情况更差，并简要说明原因． 【答案】（1）补全频数直方图，如图． （2）25；48；操场的空气质量好，理由如下：从平均数的角度看，操场监测点的浓度的平均数为，远低于走廊的；从方差的角度看，操场监测点的浓度的方差，小于走廊的．说明操场空气质量更好． （3）∵操场监测点24小时浓度的极差为， 走廊监测点24小时浓度的极差为， 且日平均浓度，， ∴走廊监测点的空气质量日变化幅度更大，且达标情况更差． 原因：走廊人流密集，活动频繁，通风较差．（原因合理即可） 【解析】 【分析】（1）根据频数分布表补全直方图即可； （2）根据众数和中位数的定义求出b，c的值，再分别从平均数和方差进行分析即可； （3）计算出极差，再进行判断即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在操场监测点的数据中，25出现3次，次数最多，故众数为． 将走廊监测点的数据从小到大排序为： 38 40 40 42 42 43 45 45 45 45 48 48 48 52 52 52 52 52 55 55 55 55 58 58， 共有24个数据，其中第12个和第13个数据分别为48和48，故中位数． 操场的空气质量好，理由如下： 从平均数的角度看，操场监测点的浓度的平均数为，远低于走廊的；从方差的角度看，操场监测点的浓度的方差，小于走廊的．说明操场空气质量更好． 【小问3详解】 略 20. 研学与实践 【实践任务】数学实践小组来到太原五一广场，运用标杆测量法测量首义门的高度． 活动主题 测量太原五一广场首义门的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图2，首义门竖直矗立在水平地面上．数学实践小组在首义门正前方地面的中轴线上选取了，两点放置标杆，，并分别在点，处测得首义门顶端的仰角为， 测量数据 •在点测得仰角 •在点测得仰角 •两点间距离： •标杆的高度： 备注 点，，在同一水平直线上 根据以上信息，解决下列问题： （1）求首义门的高度（结果精确到．参考数据：，，；，，）； （2）已知首义门的实际高度为，请判断本题结果与实际高度是否一致，并说出一条可能的误差原因． 【答案】（1） （2）测量结果与实际高度不一致．可能的误差原因：测量标杆高度时存在误差；测角仪的角度读数存在偏差；标杆与首义门的水平距离测量不准确；测量时标杆未完全竖直等．（答案不唯一，合理即可） 【解析】 【分析】（1）连接并延长交于点，依题意四边形和四边形是矩形，在中，求得，在中，表示出，根据，列出方程，取得的长，进而求得，即可求解； （2）根据能引起测量误差的原因分析即可求解． 【小问1详解】 解 ：如图，连接并延长交于点． 由题意，得，四边形和四边形是矩形， ∴，． 在中，， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 答：首义门的高度约为． 【小问2详解】 略 21. 阅读与思考 尺规作图 一把直尺，一副圆规，就能开启奇妙的几何之旅．五种基本尺规作图，是构建万千图形的“钥匙”．不仅能完成严谨的几何证明与图形绘制，还能设计出对称精美的几何图案． 正方形内嵌正八边形，就是其中极具代表性的经典图案．如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形．你能用尺规作出图1或图2中正方形的内嵌正八边形吗？ 初步分析：从整体特征与元素特征两个角度回顾正八边形的性质． （1）整体特征：具有轴对称性和旋转对称性． （2）元素特征：各边相等，各角相等且都等于． 深入分析：以图2正方形内嵌正八边形为例，如图3，连接，，，，发现的结论如下： （1），，，分别是正方形各边的中点； （2）是顶角为，底角为的等腰三角形； （3）中，； （4）___________________________． 动手作图：利用作垂直平分线和角平分线的方法作图 （1）如图4，作边，的垂直平分线，分别交，，，于点，，，； （2）分别作和的角平分线，交于点；利用旋转对称性作出点，，； （3）顺次连接这八个点． ∴八边形为正方形的内嵌正八边形． 任务： （1）请根据“深入分析”中的条件，写出一条你发现的结论______________． （2）类比研究图2正方形内嵌正八边形的方法，如图5，连接，，交于点．线段是否与线段相等，请说明理由． （3）请根据你发现的几何结论，换一种尺规作图方式，在正方形中作出其内嵌正八边形（不写作图步骤，保留作图痕迹）． 【答案】（1）（答案不唯一，合理即可） （2）． 理由如下： ∵正八边形的内角和是， ∴， ∴，， ∴． ∵四边形是正方形， ∴． ∵八边形是正八边形， ∴． 在与中， ∴， ∴． 设． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴，． 在中，， ∴， ∴． ∴． （3）如图，八边形即为所作．（答案不唯一，合理即可） 【解析】 【分析】（1）根据点，由旋转对称性作图得到，得出，即可求解． （2）根据多边形内角和定理求得，进而可得，根据四边形是正方形，得出，根据正八边形得出，证明得出，设，解直角三角形得出，则在中，根据，得出，即可证明． （3）根据正方形的性质和正八边形的定义进行作图即可． 【小问1详解】 解：（答案不唯一，合理即可） ∵，且点，由旋转对称性作图得到， ∴对角线经过正方形内嵌正八边形的顶点和， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 综合与实践 问题情境 喷泉集环境保护、娱乐休闲、小区美化与装饰艺术于一身，通常是城市的重要景观．为了解喷泉设计的奥秘，综合实践小组的同学对抛物线形喷泉展开探究． 资料收集 实践小组收集到某公园内一种喷泉的基本资料（由甲、乙两组喷泉组成），并进行组内交流： 小明：如图1，甲组喷泉喷水孔点O在水平地面上，喷出的水柱形状为抛物线形，其跨度（水流喷水孔点O与落地点M之间的水平距离）为，最高点距地面． 小亮：图2是乙组喷泉水柱形状的示意图，为喷水管，点A为喷水孔，此时B为水的落地点，记的长度为此时喷泉的跨度，两组喷泉的抛物线形状相同，乙组喷泉最高点距地面也为． 小颖：图3是甲、乙两组喷泉同时喷水时的示意图，公园要在两组喷泉之间设立安全通道，安全通道在线段上，要求在两组喷泉同时喷水时，水柱都不会进入上方的安全区域矩形内． 数学建模 如图3，以甲组喷泉喷水孔点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O竖直向上为y轴的正方向，建立平面直角坐标系． 问题解决 （1）求图3中甲组喷泉抛物线的函数表达式； （2）若乙组喷泉跨度恰好为，求喷水管的高度； （3）在（2）的条件下，若能够进入该安全通道的儿童的最大身高为，求此时安全通道的宽度． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）先求出乙组喷泉的抛物线的表达式，再令求解即可； （3）对于两组抛物线，分别令求出值，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，抛物线顶点坐标为， 故设抛物线表达式为 代入可得，， 解得 ∴抛物线表达式为 【小问2详解】 解：由于两组喷泉的抛物线形状相同，乙组喷泉最高点距地面也为， 故设抛物线的表达式为， 代入可得， 解得或（舍去） ∴抛物线的表达式为 当时， ∴喷水管的高度为 【小问3详解】 解：由题意得， 对于，当时，则， 解得； 对于，当时，则， 解得， ∴安全通道的宽度为． 23. 综合与探究 问题情境 数学课上，老师让同学们以特殊平行四边形为背景探究动点在运动过程中产生的数学问题． 特例探究： （1）如图1，E是正方形的对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，连接，过点E作的平行线交于点M，交于点N，请在图1中补全图形，并证明， （2）如图2，点E在运动过程中，若，将绕点E顺时针旋转至，连接，，证明：． 拓展延伸： （3）如图3，在矩形中，，．E是对角线上一动点，连接，过点E作，并以为直角边，在其右侧作，使，点E在运动过程中，是否存在某一时刻使为等腰三角形，若存在，求的长度；若不存在，说明理由． 【答案】（1）解：如图， ∵四边形是正方形， ∴平分，， ∵， ∴． 过点E作于点G，则， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：过点E作，交于点H，则． ∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵绕点E顺时针旋转至， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． （3）存在某一时刻使为等腰三角形，此时的长为或或． 【解析】 【分析】（1）根据题意补全图．根据正方形的性质得到平分，，过点E作于点G，则四边形是矩形，得到，根据同角的余角相等得到，根据角平分线的性质得到，即可证明，从而得出结论； （2）过点E作，交于点H，则，根据正方形的性质得到，从而得出，即，根据旋转得到，，即可证明，因此证明，得到，即可得证结论； （3）过点E作，交于点K，则根据同角的余角相等得到，说明，，得到，证得，因此，得出，从而点F在的延长线上．过点E作于点P，作于点Q，设，通过解直角三角形表示出，，的长，根据为等腰三角形分三种情况：①；②；③，分别列出方程，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：存在某一时刻使为等腰三角形，此时的长为或或． 理由如下： 过点E作，交于点K，则， ∵， ∴，即． ∵四边形是矩形， ∴ ∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点F，C，B三点共线，即点F在的延长线上． 过点E作于点P，作于点Q，则 设， ∵，， ∴， ， ∴在中，， ， ∵， ∴， ∴在中，， ∵在中，， ∴， ． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴在中， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴在中，． ∵为等腰三角形， ①若，则， 解得（不合题意的值已舍去）； ②若，则， 解得（不合题意，舍去） ③若，则， 解得或（不合题意的值已舍去）． 综上所述，某一时刻使为等腰三角形，此时的长为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置上． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 2026年意大利冬奥会期间，位于阿尔卑斯山区的科尔蒂纳丹佩佐雪上赛场夜间温度较低，平均约在零下，而白天受阳光照射，温度可升至零上．若零上记作，则零下记作（ ） A. B. C. D. 2. 下列实数是不等式组的解的是（ ） A. 3 B. 1 C. D. 2 3. 窗花是中国民间传统剪纸艺术，以对称构图、吉祥寓意为核心，融生活情趣与美好祈愿于一纸一刀，是春节里最具烟火气的文化符号．下列四种窗花图案，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，且直线a，b被直线l所截，的角平分线交直线a于点C．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 阳马（即角梁）是中国古建筑构件，也是中国古代算术中的一种几何形体．它是底面为长方形，侧面两个直角三角形与底面垂直的四棱锥．如图是“阳马”的示意图，则该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 7. 为了研究“电热水壶功率与烧开一壶水所需时间”的关系，物理小组在电压恒定的条件下，记录了5个不同功率的电热水壶烧开同样一壶水的实验数据，如下表： 功率x（千瓦） 0.8 1.0 1.6 2.0 2.5 时间y（分钟） 25 20 12.5 10 8 经分析，y与x满足某种函数关系，则y与x的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 8. 2026年总台春晚以“骐骥驰骋，势不可挡”为主题，借千里马意象传递开拓进取、一往无前的时代精神．现推出骐骐、骥骥、驰驰、骋骋四款吉祥物盲盒，小明从这四款外观完全相同的盲盒中一次性随机抽取两个，抽到的盲盒中含有“驰驰”的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，射线与相切于点B，经过圆心O的射线与相交于点D，C，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 在一次奇妙的数学拼贴艺术中，艺术家发现半径为a的正十二边形和边长为a的小正方形的面积之间存在着一定的数量关系．那么，这个正十二边形的面积与小正方形的面积的关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：______． 12. 已知点都在反比例函数的图象上，且，______（填>或）． 13. 在中等配速（约6～7分钟/公里）的长跑中，当步幅（单位：）与身高（单位：）满足公式时，通常能获得较省力、高效舒适的跑步节奏．若小明同学身高，他长跑时应将步幅调整至________左右更省力． 14. 用相同长度的小木棒和绳子搭建“圆内十字形”图形：每个图形以中心点为起点，向“上、下、左、右”四个方向延伸；每个方向上（不包含中心点）的点数随图形序号依次增加． 前3个图形的构造规律如下： 图形1：中心点到每个方向有1个点，总点数为5． 图形2：中心点到每个方向有2个点，总点数为13． 图形3：中心点到每个方向有3个点，总点数为21． …… 按照图形的构造规律，图形n的总点数为_________． 15. 如图，在四边形中，且，，是边上靠近点的三等分点，，相交于点．若，则的长为_________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）化简：． 17. 如图，在中，分别延长，至点E，F，使得，连接交于点O，交于点G． （1）求证：； （2）若，，，则________． 18. 山西非遗刺绣技艺历史悠久、工艺精湛．现有两位山西绣娘制作同一种传统刺绣挂件，已知李阿姨每月比王阿姨多制作8件，且李阿姨制作60件刺绣所用的时间与王阿姨制作45件刺绣所用的时间相同． （1）王阿姨、李阿姨每月各制作多少件刺绣？ （2）现接到一批新订单210件，若李阿姨因事暂不能参与工作，由王阿姨先单独制作，李阿姨后加入合作，要求总工期不超过6个月，李阿姨最晚第几个月开始合作能按时完成这批订单？（要求结果为整数） 19. 为了解“人流量对环境浓度的影响”，某学校数学与环境科学实践小组对校园内操场（开阔通风）和教学楼走廊（人流密集）两个地点的浓度（单位：）进行24小时内每小时一次的实时监测．本次调查完整经历了数据收集→数据整理→数据分析三个过程，最终结合统计数据分析校园空气质量差异． 【数据收集】 原始监测数据（24小时浓度数据）： 操场监测点：35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 25 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 走廊监测点：42 43 45 48 52 55 58 55 52 48 45 40 38 40 42 45 52 52 55 58 55 52 48 45 监测说明： （1）监测时间：2026年3月3日（晴天，无风，无极端天气），每小时整点监测1次，共24组数据． （2）监测仪器：学校环境实验室专用手持检测仪（精度），数据真实有效． （3）监测地点： ①学校操场中央（开阔无遮挡，人流分散）； ②教学楼3楼走廊中段（人流密集，课间/放学时段人员频繁经过，空间半封闭）． 【整理数据】 （1）频数分布表 根据浓度实际范围，按为组距进行分组，统计两个监测点的频数（单位：）； 浓度分组 操场监测点 11 10 3 0 0 0 0 走廊监测点 0 0 1 5 7 5 6 （2）频数分布直方图 【数据分析】 根据原始数据，计算得出操场、走廊两个监测点浓度的核心统计量（结果保留两位小数）： 统计量 平均数（） 众数（） 中位数（） 方差（） 操场监测点 30.04 b 30 11.71 走廊监测点 48.54 52 c 34.58 根据以上信息解决下列问题： （1）请补全“走廊监测点”的频数分布直方图； （2）操场监测点的众数为__________，走廊监测点的中位数为c＝__________．结合平均数和方差，分析操场、走廊两个监测点的空气质量哪个好，并说明理由． （3）根据我国《环境空气质量标准》，日平均浓度限值为（超过则为超标）．分别计算操场、走廊两个监测点24小时浓度的极差（最大值－最小值）；结合极差和浓度限值，判断哪个监测点的空气质量日变化幅度更大，且达标情况更差，并简要说明原因． 20. 研学与实践 【实践任务】数学实践小组来到太原五一广场，运用标杆测量法测量首义门的高度． 活动主题 测量太原五一广场首义门的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图2，首义门竖直矗立在水平地面上．数学实践小组在首义门正前方地面的中轴线上选取了，两点放置标杆，，并分别在点，处测得首义门顶端的仰角为， 测量数据 •在点测得仰角 •在点测得仰角 •两点间距离： •标杆的高度： 备注 点，，在同一水平直线上 根据以上信息，解决下列问题： （1）求首义门的高度（结果精确到．参考数据：，，；，，）； （2）已知首义门的实际高度为，请判断本题结果与实际高度是否一致，并说出一条可能的误差原因． 21. 阅读与思考 尺规作图 一把直尺，一副圆规，就能开启奇妙的几何之旅．五种基本尺规作图，是构建万千图形的“钥匙”．不仅能完成严谨的几何证明与图形绘制，还能设计出对称精美的几何图案． 正方形内嵌正八边形，就是其中极具代表性的经典图案．如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形．你能用尺规作出图1或图2中正方形的内嵌正八边形吗？ 初步分析：从整体特征与元素特征两个角度回顾正八边形的性质． （1）整体特征：具有轴对称性和旋转对称性． （2）元素特征：各边相等，各角相等且都等于． 深入分析：以图2正方形内嵌正八边形为例，如图3，连接，，，，发现的结论如下： （1），，，分别是正方形各边的中点； （2）是顶角为，底角为的等腰三角形； （3）中，； （4）___________________________． 动手作图：利用作垂直平分线和角平分线的方法作图 （1）如图4，作边，的垂直平分线，分别交，，，于点，，，； （2）分别作和的角平分线，交于点；利用旋转对称性作出点，，； （3）顺次连接这八个点． ∴八边形为正方形的内嵌正八边形． 任务： （1）请根据“深入分析”中的条件，写出一条你发现的结论______________． （2）类比研究图2正方形内嵌正八边形的方法，如图5，连接，，交于点．线段是否与线段相等，请说明理由． （3）请根据你发现的几何结论，换一种尺规作图方式，在正方形中作出其内嵌正八边形（不写作图步骤，保留作图痕迹）． 22. 综合与实践 问题情境 喷泉集环境保护、娱乐休闲、小区美化与装饰艺术于一身，通常是城市的重要景观．为了解喷泉设计的奥秘，综合实践小组的同学对抛物线形喷泉展开探究． 资料收集 实践小组收集到某公园内一种喷泉的基本资料（由甲、乙两组喷泉组成），并进行组内交流： 小明：如图1，甲组喷泉喷水孔点O在水平地面上，喷出的水柱形状为抛物线形，其跨度（水流喷水孔点O与落地点M之间的水平距离）为，最高点距地面． 小亮：图2是乙组喷泉水柱形状的示意图，为喷水管，点A为喷水孔，此时B为水的落地点，记的长度为此时喷泉的跨度，两组喷泉的抛物线形状相同，乙组喷泉最高点距地面也为． 小颖：图3是甲、乙两组喷泉同时喷水时的示意图，公园要在两组喷泉之间设立安全通道，安全通道在线段上，要求在两组喷泉同时喷水时，水柱都不会进入上方的安全区域矩形内． 数学建模 如图3，以甲组喷泉喷水孔点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O竖直向上为y轴的正方向，建立平面直角坐标系． 问题解决 （1）求图3中甲组喷泉抛物线的函数表达式； （2）若乙组喷泉跨度恰好为，求喷水管的高度； （3）在（2）的条件下，若能够进入该安全通道的儿童的最大身高为，求此时安全通道的宽度． 23. 综合与探究 问题情境 数学课上，老师让同学们以特殊平行四边形为背景探究动点在运动过程中产生的数学问题． 特例探究： （1）如图1，E是正方形的对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，连接，过点E作的平行线交于点M，交于点N，请在图1中补全图形，并证明， （2）如图2，点E在运动过程中，若，将绕点E顺时针旋转至，连接，，证明：． 拓展延伸： （3）如图3，在矩形中，，．E是对角线上一动点，连接，过点E作，并以为直角边，在其右侧作，使，点E在运动过程中，是否存在某一时刻使为等腰三角形，若存在，求的长度；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $