精品解析：山西忻州市第一中学校2026届高三下学期考前猜题卷（一）数学试题

绝密★启用前 试卷类型：A 忻州一中2026届高三考前猜题卷（一） 高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用黑色签字笔填写学校、姓名、班级及考号． 3．选择题答案须填涂在答题卡对应区域；非选择题答案须写在答题卡指定区域内． 4．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数、解三角形、平面向量、解析几何、立体几何、概率统计等． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知复数满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 已知集合，，则的元素个数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，满足，，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知函数，．若的图象关于直线对称，则（ ） A. 0 B. C. D. 5. 已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 某无人机在水平面内飞行，地速向量等于空速向量与风速向量之和．图中以同一比例尺给出空速向量和地速向量，其中每格代表．已知风速大小与风力等级对应如下，则此时风速对应的名称为（ ） 风速大小（） 名称 1.6~3.3 轻风 3.4~5.4 微风 5.5~7.9 和风 8.0~10.7 劲风 A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风 7. 设抛物线：的焦点为，过的直线与交于，两点．若，则直线的斜率的绝对值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 若正实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 有一组样本数据，，…，，其平均数为，方差为（）．现向这组数据中加入两个新数据，（），得到一组新的样本数据，其平均数为，方差为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 新样本数据的中位数一定等于原样本数据的中位数 C. 若，则 D. 10. 已知函数，．令，，则下列说法正确的是（ ） A. 在处取得最小值 B. 为偶函数，且 C. 方程在区间内有且仅有两个实根 D. 对任意，都有 11. 椭圆：上有一点位于第一象限．过作椭圆的切线，该切线与轴、轴正半轴分别交于，．若，其中为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 满足条件的点有且仅有2个 B. 的两个可能值之和为5 C. 切线的斜率一定小于 D. 两条可能切线的斜率之积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数满足，，则__________． 13. 已知数列满足，（），则__________． 14. 已知抛物线：的焦点为，准线与轴交于点．过的直线交于，两点，若点在以为直径的圆上，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求证：； （2）若，且的面积为，求的周长． 16. 设数列满足，（）． （1）求数列的通项公式； （2）设，求． 17. 如图，在直三棱柱中，，．点为棱的中点，点为线段的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值． 18. 已知抛物线：的焦点为．过点的直线与抛物线交于，两点，设为线段的中点． （1）求点的轨迹方程； （2）求弦长度的最小值，并说明取等条件． 19. 已知函数，，． （1）讨论函数在区间上的单调性； （2）若，求在上的最大值； （3）求实数的最小值，使得对任意，都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 试卷类型：A 忻州一中2026届高三考前猜题卷（一） 高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用黑色签字笔填写学校、姓名、班级及考号． 3．选择题答案须填涂在答题卡对应区域；非选择题答案须写在答题卡指定区域内． 4．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数、解三角形、平面向量、解析几何、立体几何、概率统计等． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知复数满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数乘法与除法及复数的模计算即可. 【详解】由，得. 所以. 2. 已知集合，，则的元素个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解绝对值不等式及一元二次不等式可得集合，再由交集的定义可得. 【详解】由得，即， 又因为，所以，即. 由，解得，所以. 因此，，所以的元素个数为. 3. 已知向量，满足，，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直得出数量积为0，结合向量运算律计算即可. 【详解】因为，，所以， 即，解得：. 4. 已知函数，．若的图象关于直线对称，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦曲线对称轴的公式，可得当时满足，结合题目给定的的取值范围，即可计算得到符合条件的的值. 【详解】由于正弦曲线的对称轴为， 已知的图象关于对称， 所以将 代入可得：，  整理可得：，​又因为，取 ，得. 5. 已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知求得圆锥的高，再根据圆锥体积公式即可求解． 【详解】圆锥的高，则该圆锥的体积． 6. 某无人机在水平面内飞行，地速向量等于空速向量与风速向量之和．图中以同一比例尺给出空速向量和地速向量，其中每格代表．已知风速大小与风力等级对应如下，则此时风速对应的名称为（ ） 风速大小（） 名称 1.6~3.3 轻风 3.4~5.4 微风 5.5~7.9 和风 8.0~10.7 劲风 A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风 【答案】A 【解析】 【分析】利用速度的合成求出风速向量对应坐标，再求其模，结合表格确定对应风速名称. 【详解】由题设，， 此时风速向量为， 所以风速大小为， 故此时风速对应的名称为轻风. 7. 设抛物线：的焦点为，过的直线与交于，两点．若，则直线的斜率的绝对值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】设出直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理及焦半径公式求解即可. 【详解】抛物线的焦点， 设过的直线的方程为，设，. 联立，整理得， ， 则，. 抛物线的弦长，解得，即. 8. 若正实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将问题化为在时函数值的大小比较问题，利用指数函数的图象分析判断. 【详解】令，则， 所以对应函数依次为， 根据指数函数的图象及其平移关系，大致图象如下， 由图，随从左到右移动依次有，，，， 即，，，，不可能有. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 有一组样本数据，，…，，其平均数为，方差为（）．现向这组数据中加入两个新数据，（），得到一组新的样本数据，其平均数为，方差为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 新样本数据的中位数一定等于原样本数据的中位数 C. 若，则 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】先根据平均数定义计算加入和 后的新平均数，据此判断A选项；再结合原方差公式推导新方差的表达式，进而判断C、D选项；最后根据原样本容量的奇偶性分析中位数的变化情况，判断B选项. 【详解】在A选项中，原数据总和为，加入两个新数据后新总和为：， 则新平均数，A正确； 在B选项中，设原数据为：，原中位数为，平均数， 取，加入的新数据为和，新数据排序为， 新中位数为，B错误； 在D选项中，原方差，得， 根据A选项可知，新平均数仍为，因此新方差： ，D正确； 在C选项中，若，代入D选项的结论可得：，C错误. 10. 已知函数，．令，，则下列说法正确的是（ ） A. 在处取得最小值 B. 为偶函数，且 C. 方程在区间内有且仅有两个实根 D. 对任意，都有 【答案】ABC 【解析】 【分析】A，通过导数求单调性即可；B，利用偶函数的定义判断，并通过的单调性求出范围；C，通过单调性判断其等于的解的个数；D，代入特殊值即可判断. 【详解】选项A，， 所以， 所以当时，,单调递减， 当时，，单调递增. 所以当时，取得最小值. 故A正确. 选项B，， 且，又定义域关于原点对称， 所以是偶函数. 因为，所以在恒成立， 所以. 故B正确. 选项C，因为， 当时，，，故， 所以函数在单调递增， ， 因为，时， 所以内存在使得， 又因为是偶函数，所以存在使得. 故C正确. 选项D，取，因为，而，故此时不成立. 故D错误. 11. 椭圆：上有一点位于第一象限．过作椭圆的切线，该切线与轴、轴正半轴分别交于，．若，其中为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 满足条件的点有且仅有2个 B. 的两个可能值之和为5 C. 切线的斜率一定小于 D. 两条可能切线的斜率之积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，联立点满足的切线面积条件与椭圆方程，得到的一元二次方程，求解判断；对B：将结合变形，利用韦达定理计算两个的和判断；对C，推导出切线斜率，代入两个计算判断；对D，利用选项C计算所得斜率，乘积判断. 【详解】对于A：设点，，由题可知切线存在斜率，设切线方程为， 则由得， ，整理得， 又由点在椭圆上可得，所以， 所以， 所以过的切线方程为，即， 切线交轴正半轴于，交轴正半轴， 由 可得，则， 因为点在椭圆上，满足，代入得，即， 解得，，故对应两个第一象限的点，A正确； 对于B：，由选项A可知满足条件的点有两个，设其横坐标的平方分别为， 则是关于的方程的两根，由韦达定理得，设两点为， 则，B正确； 对于C：切线斜率 ，代入 得 ： 当 ，，当 ，，斜率不都小于，C错误； 对于D：，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数满足，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】直接设（且），再根据复数的模的定义及复数相等的定义可得. 【详解】设（且），则，. 因为，由复数相等的定义得①. 又因为，所以，， 化简整理得②，将②代入①得，解得或. 当时，则，所以，不符合题意； 当时，则，所以，. 13. 已知数列满足，（），则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知递推公式，从首项开始逐步计算得到. 【详解】 ， ，  ，. 14. 已知抛物线：的焦点为，准线与轴交于点．过的直线交于，两点，若点在以为直径的圆上，则__________． 【答案】4 【解析】 【详解】抛物线  是标准抛物线，，得 ，因此焦点 ，准线 ，准线与轴交点 ， 设过的直线为 ，， 联立直线与抛物线方程：   ，， 由韦达定理得：，， 因为在以为直径的圆上，故 ，即 ，， 代入得：  ，将  代入化简， 结合韦达定理得，即 ，即 ， 当 时，直线为，代入抛物线得， 故 ，（也可由抛物线焦点弦公式 ）. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求证：； （2）若，且的面积为，求的周长． 【答案】（1）因为， 所以． 由题意， 得． 展开左边：． 整理得． 所以，即． 又因为，为三角形内角，故． 因此，即． （2）6 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换即可证明； （2）先求出以为底的高，再由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 由（1）知，所以， 又，且的面积为，以边为底边时，其对应高为， 因为，所以顶点到的垂线平分， 又半底长为， 故， 所以三角形周长为． 16. 设数列满足，（）． （1）求数列的通项公式； （2）设，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过构造，把复杂的递推式转化为可累加的等差数列形式，求出； （2）通过对多项式求导，将转化为数列求和，再利用第一问的通项公式，将求和式转化为平方和与常数项和，进而求解． 【小问1详解】 由题意， 令， 则， 又，， ， 即， 计算得， ， ， ． 【小问2详解】 由， 得， ， 由（1）知，故， ， ， 整理得． 17. 如图，在直三棱柱中，，．点为棱的中点，点为线段的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值． 【答案】（1）以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系， 由题意可取，，， ，，， 为的中点，E为的中点， ，，故， 平面中，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 又，且不在平面内， 平面． （2） 【解析】 【分析】（1）以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，求出各点坐标及相关向量坐标，求出平面法向量，进而利用法向量与垂直证明结论； （2）求出两个平面的法向量，利用向量夹角余弦公式求出余弦值，进而求出二面角正弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 易知平面的一个法向量为， 在平面中，，， 设平面的一个法向量为， ，令，则 ， 设平面与平面所成二面角为，则， ． 18. 已知抛物线：的焦点为．过点的直线与抛物线交于，两点，设为线段的中点． （1）求点的轨迹方程； （2）求弦长度的最小值，并说明取等条件． 【答案】（1） （2），当直线方程为时取等． 【解析】 【分析】先分析直线斜率存在时，假设直线：，将其与抛物线方程联立，结合韦达定理可得到点横、纵坐标的关系，再验证当直线斜率不存在时也符合即可. 利用小问（1），结合弦长公式可得直线斜率存在时，再与直线斜率不存在时比较，即可求解. 【小问1详解】 由题意可得焦点， 当直线斜率存在时，设过焦点的直线为． 代入抛物线方程，得． 整理为． 方程的判别式， 设交点，的横坐标分别为，，则． 所以中点的横坐标，即，， 又因为在直线上，所以． 于是，， 因此点满足，， 当垂直于轴时，l：，此时交点为，， 中点为，也满足． 故的轨迹方程为． 【小问2详解】 当l：时，由（1）可知，． 所以，即． 由于， 故 当直线l斜率不存在时，即时，交点为，，此时． 因此弦长度的最小值为4，当且仅当直线l方程为时取得． 19. 已知函数，，． （1）讨论函数在区间上的单调性； （2）若，求在上的最大值； （3）求实数的最小值，使得对任意，都有． 【答案】（1）当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分和两种情况进行讨论； （2）根据（1）的结论直接求解即可； （3）分，，三种情况进行讨论，其中，分别根据（1），（2）的结论进行说明，直接判断即可. 【小问1详解】 由得． 若，则对任意，， 所以．因此在上单调递减． 若，令，解得． 当时，；当时，． 因此在上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 当时，由（1）知，在处取得最大值． 因此． 故在上的最大值为． 【小问3详解】 要使对任意，都有， 等价于对任意恒成立． 记． 若，由（1）可知，在上单调递减． 又，所以对任意，． 因此时，不等式恒成立． 若，由（2）可知，的最大值为． 设，． 则，所以在上单调递减， 又，所以当时，． 因此此时存在，使得，不等式不能恒成立． 若，由于（），而， 不等式显然不可能对任意成立． 综上，满足条件的的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $