1.2 空间向量基本定理 课时同步练习卷-2026年暑假预习高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 《空间向量基本定理》同步练以“基础巩固-情境应用-综合拓展”分层，通过几何体情境实现从单一基底概念到综合运算的递进，适配暑假课时复习，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|基底构成、共面判断|单选1-2直接考查基底定义，填空12强化基底表示，夯实概念理解| |中档|几何体中向量表示与运算|单选3-8结合正四面体、长方体等情境，解答15-17训练用基底表示向量，提升几何直观| |拔高|综合证明与动态问题|解答19含动点探究，多选10-11涉及投影与模长计算，发展运算能力与逻辑推理|

1.2 空间向量基本定理课时同步练习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，因为，所以共面， 不能作为空间一个基底，故A错误； 对于B，因为，所以共面， 不能作为空间一个基底，故B错误； 对于C，假设共面， 则存在实数使得， 又因为构成空间的一个基底，则，方程组无解， 所以不共面，可以作为空间一个基底，故C正确； 对于D，因为，所以共面， 不能作为空间一个基底，故D错误. 2．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量共面的定义逐项判断即可求解. 【详解】对于A选项，有，所以共面； 对于B选项，有，所以共面； 对于C选项，，所以共面. 对于D选项，假设共面，则有， 即，由此有共面，与已知条件矛盾， 所以不共面； 故选：D 3．已知正四面体的棱长为，若点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知，利用向量模的计算公式即可求解. 【详解】 如图所示，已知正四面体的棱长为， 则且， 所以，同理， ， 则，故C正确. 4．如图，空间四边形中，点和点分别在和上，且满足，则下列向量与是共线向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，由，得， 所以， 对于A，假设共线，则，无解，A错误； 对于B，， 所以与共线，B正确； 对于C，假设共线，则，无解，C错误； 对于D，假设共线，则，无解，D错误； 5．如图，在长方体中，，，分别是线段，，上靠近点的三等分点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量基本定理求解即可. 【详解】由题意可知，， ， 则， 又因为，所以. 6．在平行六面体中，M为AB的中点，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，将利用线性运算表示成，由此可解出，即可求解的值. 【详解】在平行六面体中，M为AB的中点，， 有， 又，则， 所以． 故选：C 7．如图，平行六面体的底面是菱形，且，，是和的交点，则（   ） A．8 B．6 C．0 D． 【答案】A 【分析】令，，，由题意得，，由空间向量的运算法则可得，，结合平面向量数量积的运算，即可求得的值. 【详解】令，，， 由题意可知，， 则， ， ， 即， 则， 整理得. 故选：A. 8．如图，M是三棱锥的底面的重心.若，则的值为（   ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量的线性运算结合给定条件求解参数，再求值即可. 【详解】是三棱锥的底面的重心， ，由向量加法法则得， ， ， ， 而， ， ，，，则. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设是空间的一组基底，则下列结论正确的是（   ） A．基底中的向量可以为任意向量 B．空间中任一向量，存在唯一有序实数组，使 C．向量可以共面 D．也可以构成空间的一组基底 【答案】BD 【分析】根据条件可得向量不共面，即可判断A和C的正误；对B，结合条件，根据空间向量基本定理，即可判断正误；对D，根据条件可得不共面，即可求解. 【详解】对于A，因为是空间的一组基底，所以向量不共面，故A错误， 对于B，因为向量不共面，由空间向量基本定理可知，空间中任一向量， 存在唯一有序实数组，使，所以B正确， 对于C，因为是空间的一组基底，所以向量不共面，故C错误， 对于D，假设向量共面，则存在唯一实数，使， 即，所以，无解，所以不共面，故D正确， 故选：BD. 10．如图，点，分别是棱长为2的正四面体的边和的中点，点在线段上，且.则（    ） A． B． C． D．向量在方向上的投影向量为 【答案】AC 【分析】利用空间向量线性运算，空间向量数量积的运算性质，空间向量模的求解公式以及投影向量的定义逐项分析即可. 【详解】选项A，由点在线段上，且，所以， 所以，即，所以， 由点，分别是边和的中点，连接，如图所示： 所以， 所以，故A正确； 选项B，由题意知，且向量两两夹角为， 所以， 由， 所以 ， 所以，故B错误； 选项C，由，故C正确， 选项D，向量在方向上的投影向量为：，故D错误. 11．在平行六面体中，是的中点，为平面内一点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用空间向量基本定理，结合空间线性运算及共面向量定理计算得解. 【详解】在平行六面体中，是的中点， 对于AB，， 而，不共面，因此，A正确，B错误； ，则 ， 于是 ，由为平面内一点， 得共面，由共面向量定理得，因此，C正确，D错误. 故选：AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，则用基底表示向量______. 【答案】 【分析】设，然后解方程组即可. 【详解】设， 即有， 因为是空间的一个单位正交基底， 所以有， 所以. 故答案为： 13．在平行六面体中，已知，，，，则的长度为________. 【答案】 【分析】利用空间向量模长公式，将体对角线向量分解为三条棱向量的和，平方展开后代入模长与夹角计算数量积，最后开方得到结果. 【详解】在平行六面体中，， . 因为，， ， 所以，即. 14．在平行六面体中，．若，则___________． 【答案】3 【分析】利用空间向量的运算表示出，根据长度和角求出，再利用向量模长公式可求答案. 【详解】在平行六面体中， 因为， 所以，， ， 因为，所以， 所以， 整理可得，解得或（舍）. . 所以. 故答案为：3    四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知为空间的一个基底，且，． (1)判断、、、四点是否共面； (2)能否以作为空间的一个基底？若能，试以这一组基底表示；若不能，请说明理由． 【答案】(1)、、、四点不共面，理由见解析； (2)为空间的一组基底， ，理由见解析. 【分析】（1）利用反证法可判断不共面，故得四点不共面； （2）利用反证法可判断为空间的一组基底，利用待定系数法可求的表示形式. 【详解】（1）， 设，则， 因为为空间的一个基底，故，该方程无解， 故不共面，所以、、、四点不共面， （2）设，则， 因为为空间的一个基底，故，无解， 故不共面，故为空间的一组基底. 设，则： ， 因为为空间的一个基底，故， 故，故. 16．如图，在平行六面体中，，，，分别是，，的中点，点在上，且，用，，表示下列向量： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据空间向量的线性运算直接得出. 【详解】（1）由，的中点， 则 ； （2）， ； （3）； （4） . 17．如图所示，在正方体中，取，，． (1)用、、表示； (2)若、分别为、的中点，用、、表示． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量基本定理可得出关于、、的表达式； （2）利用空间向量基本定理可得出关于、、的表达式. 【详解】（1）. （2）. 18．如图，在平行六面体中，，，，. (1)以，，为基底向量，表示向量、； (2)求证：； (3)求的长. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）结合图形利用空间向量的线性运算求解； （2）利用空间向量的数量积证明； （3）利用空间向量的数量积的运算律计算即得. 【详解】（1）在中，根据空间向量的减法运算可得， ； （2）因，，，， 则，， 由（1）得 ， 所以，即； （3）由（1）知， 所以 ， 所以. 19．如图，在棱长为2的正四面体中，为上的动点，为上靠近的三等分点，为的中点，与交于点．    (1)用，表示； (2)若点为的中点，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)1 (3)或． 【分析】（1）利用空间向量的线性运算即可求解； （2）利用空间向量的线性运算得到，然后利用三点共线求出，最后利用空间向量数量积的运算律结合余弦定理即可求解； （3）设，利用余弦定理和空间向量数量积的运算律表示出，解方程即可求解. 【详解】（1）在中，， ， ． （2）设， 由（1）可知，， ，， ，，三点共线， ，， ， ， 由余弦定理可得， ， ． （3）设，由余弦定理可得， 由正四面体得， ， ， 化简得， 解得或， 或． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 空间向量基本定理课时同步练习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 2．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A． B． C． D． 3．已知正四面体的棱长为，若点满足，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，空间四边形中，点和点分别在和上，且满足，则下列向量与是共线向量的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在长方体中，，，分别是线段，，上靠近点的三等分点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 6．在平行六面体中，M为AB的中点，，若，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，平行六面体的底面是菱形，且，，是和的交点，则（   ） A．8 B．6 C．0 D． 8．如图，M是三棱锥的底面的重心.若，则的值为（   ）    A．1 B．2 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设是空间的一组基底，则下列结论正确的是（   ） A．基底中的向量可以为任意向量 B．空间中任一向量，存在唯一有序实数组，使 C．向量可以共面 D．也可以构成空间的一组基底 10．如图，点，分别是棱长为2的正四面体的边和的中点，点在线段上，且.则（    ） A． B． C． D．向量在方向上的投影向量为 11．在平行六面体中，是的中点，为平面内一点，若，则（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，则用基底表示向量______. 13．在平行六面体中，已知，，，，则的长度为________. 14．在平行六面体中，．若，则___________． 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知为空间的一个基底，且，． (1)判断、、、四点是否共面； (2)能否以作为空间的一个基底？若能，试以这一组基底表示；若不能，请说明理由． 16．如图，在平行六面体中，，，，分别是，，的中点，点在上，且，用，，表示下列向量： (1)； (2)； (3)； (4). 17．如图所示，在正方体中，取，，． (1)用、、表示； (2)若、分别为、的中点，用、、表示． 18．如图，在平行六面体中，，，，. (1)以，，为基底向量，表示向量、； (2)求证：； (3)求的长. 19．如图，在棱长为2的正四面体中，为上的动点，为上靠近的三等分点，为的中点，与交于点．    (1)用，表示； (2)若点为的中点，求的值； (3)若，求的值． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $