精品解析：江苏连云港市新海初级中学2025-2026学年第二学期九年级中考考前模拟测试数学试题

2025－2026学年第二学期九年级中考模拟测试（三） 数学试卷 （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题：（每题3分，满分24分） 1. 圆圆想了解某地某天的天气情况，在某气象网站查询到该地这天的最低气温为－6℃，最高气温为2℃，则该地这天的温差（最高气温与最低气温的差）为（ ） A. －8℃ B. －4℃ C. 4℃ D. 8℃ 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点P(﹣3，a2+1)所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 在式子，，，中，x可以取2和3的是( ) A. B. C. D. 5. 如图是一款手机支架，若张角，支撑杆与桌面夹角，那么此时面板与水平方向夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 五一假期有A、B、C三部新电影上映，甲、乙2位同学分别从中任意选择1部电影观看，甲、乙2位同学选择不同电影的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 或 二、填空题（每空3分，满分24分） 9. 计算：=___． 10. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首诗《苔》．苔花的花粉直径约为， 用科学记数法表示为_____________． 11. 下面3个天平左盘中“△”“□”分别表示两种质量不同的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量为_____． 12. 一个扇形的半径是3，面积为，那么这个扇形的圆心角的度数是______． 13. 学校举行舞蹈比赛，主要从服装、动作技巧、感染力三个方面打分，最终成绩中服装占，动作技巧占，感染力占．九年级1班和2班的成绩如下表，若2班要在最终成绩上超过1班，则他们的感染力得分应超过__________． 参赛班级 服装 动作技巧 感染力 九（1）班 70 80 88 九（2）班 80 75 14. 一个立体图形的三视图如图所示，根据图中数据求得这个立体图形的侧面积为____________． 15. 定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为10的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为______． 16. 如图，在四边形中，，，，，则的最小值是______． 三、解答题（本大题共11题，满分102分） 17. 计算：．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了． （1）如果被污染的数字是，请计算． （2）如果计算结果等于6，求被污染的数字． 18. 化简． 19. 某校从九年级男生中任意选取40人，随机分成甲、乙两个小组进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩绘制出统计表和如图所示的统计图（成绩均为整数，满分为10分）． 甲组成绩统计表 成绩/分 7 8 9 10 人数/人 1 9 5 5 （1）甲组成绩的众数______乙组成绩的众数（填“”“”或“”）； （2）求乙组的平均成绩； （3）这40个学生成绩的中位数是______． （4）经计算甲组成绩的方差为，请你求出乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩比较整齐． 20. 如图，在▱中，点、分别在、上，与相交于点，且． （1）求证：≌； （2）连接，，求证：四边形是平行四边形． 21. 某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元． （1）第一批饮料进货单价多少元？ （2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？ 22. 材料，一般的，若（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可转化为指数式，根据以上材料，解决下列问题： （1）计算： ， ， ； （2）猜想 （且，，）； （3）已知，求和的值．（且） 23. 在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”，的连接点在上，当点在上转动时，带动点，分别在射线，上滑动，．当与相切时，点恰好落在上，如图2． 请仅就图2的情形解答下列问题． （1）求证：； （2）若的半径为，，求的长． 24. 如图是某种新能源汽车在一次充电过程中，先慢充，再快充，其电池电量（单位：）与充电时间（单位：）的函数图像．已知慢充收费元，快充收费元，且该汽车电池在同一种模式下的充电功率不变． （充电功率充电电量） （1）该汽车电池的慢充功率为________，快充功率为________； （2）若该汽车电池现有电量，准备先慢充，再快充，使得总电量达到，且充电时间不超过小时．设总共收费元，求关于的函数关系式以及的最小值． 25. 如图，AB是一条笔直的长为500m的滑雪坡道，某运动员从坡顶A滑出，沿直线滑向坡底B，她的滑行距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）的部分对应值如下表． x 0 1 2 3 4 … y 0 4.5 14 28.5 48 … （1）用所学过的函数知识猜想y是x的什么函数，并求出y与x之间的函数表达式； （2）一架无人机在AB上空距水平地面292m的P处悬停，此时在A处测得无人机的仰角为53°．无人机和该运动员同时开始运动，无人机以6.3m/s的速度匀速水平飞行拍摄，离A处越来越远．已知无人机（看成一个点）与AB（看成一条线段）所确定的平面始终垂直于地面，AB与地面MN的夹角为26°．求该运动员滑行多久时，她恰在无人机的正下方． （参考数据：tan53°≈，sin26≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49．） 26. 已知二次函数（m为常数，）． （1）当时，求该函数的图象的顶点坐标； （2）当m取不同的值时，该函数的图象总经过一个或几个定点，求出所有定点的坐标； （3）已知，，若该函数的图象与线段恰有1个公共点，直接写出m的取值范围． 27. 一副三角板分别记作和，其中，，，．作于点，于点，如图1． （1）求证：； （2）在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点与点重合记为，点与点重合，将图2中的绕按顺时针方向旋转后，延长交直线于点． ①当时，如图3，求证：四边形为正方形； ②当时，写出线段，，的数量关系，并证明；当时，直接写出线段，，的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第二学期九年级中考模拟测试（三） 数学试卷 （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题：（每题3分，满分24分） 1. 圆圆想了解某地某天的天气情况，在某气象网站查询到该地这天的最低气温为－6℃，最高气温为2℃，则该地这天的温差（最高气温与最低气温的差）为（ ） A. －8℃ B. －4℃ C. 4℃ D. 8℃ 【答案】D 【解析】 【分析】这天的温差就是最高气温减去最低气温的差，由此列式得出答案即可． 【详解】解：这天最高温度与最低温度的温差为2-（-6）=8℃． 故选：D． 【点睛】本题主要考查有理数的减法法则，关键是根据减去一个数等于加上这个数的相反数解答． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由合并同类项可判断A，由同底数幂的乘法可判断B，由积的乘方运算可判断C，由幂的乘方运算可判断D，从而可得答案． 【详解】解：， 故A不符合题意； ， 故B不符合题意； ， 故C符合题意； ， 故D不符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方运算，幂的乘方运算，掌握以上基础运算是解本题的关键． 3. 在平面直角坐标系中，点P(﹣3，a2+1)所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】∵a2⩾0， ∴a2+1⩾1， ∴点P(−3,a2+1)所在的象限是第二象限． 故选B. 4. 在式子，，，中，x可以取2和3的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分母不等于0，被开方数大于等于0求出各小题的x的取值范围，然后作出判断即可． 【详解】解：分式有意义，则分式的分母不等于0；二次根式有意义，则被开方数是非负数. 中x-2≠0，即x≠2； 中x-3≠0，即x≠3； 中x-2≥0，则x≥2； 中x-3≥0，则x≥3. 所以可以取2的3的是. 故本题应选C. 【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数． 5. 如图是一款手机支架，若张角，支撑杆与桌面夹角，那么此时面板与水平方向夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得：，则，然后根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：如图，过点D作， ∴， ∵， ∴． 6. 五一假期有A、B、C三部新电影上映，甲、乙2位同学分别从中任意选择1部电影观看，甲、乙2位同学选择不同电影的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出所有等可能的选择结果总数，再得到甲乙选择不同电影的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：列表如下： A B C A B C 共有9种等可能的结果，其中甲、乙2位同学选择不同电影的情况有6种， ∴所求概率为． 7. 如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】要使△ABC的面积S=BC•h的最大，则h要最大，当高经过圆心时最大． 【详解】解：当△ABC的高AD经过圆的圆心时，此时△ABC的面积最大， 如图所示， ∵A'D⊥BC， ∴BC=2BD，∠BOD=∠BAC=θ， 在Rt△BOD中， sinθ= ，cosθ=， ∴BD=sinθ，OD=cosθ， ∴BC=2BD=2sinθ， A'D=A'O+OD=1+cosθ， ∴S△A'BC=AD•BC=•2sinθ（1+cosθ）=sinθ（1+cosθ）． 故选：D． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数的应用与三角形面积的求法． 8. 已知函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．先将原函数看成由平移得到，然后运用反比例函数增减性的性质可得，且，解之即可． 【详解】解：可以看成是由平移得到， 当时，随的增大而减小， 根据反比例函数的性质得，，且， 或． 故选：C． 二、填空题（每空3分，满分24分） 9. 计算：=___． 【答案】2 【解析】 【分析】根据立方根的定义进行计算． 【详解】解：∵23=8， ∴， 故答案为：2． 10. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首诗《苔》．苔花的花粉直径约为， 用科学记数法表示为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，据此求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 下面3个天平左盘中“△”“□”分别表示两种质量不同的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量为_____． 【答案】10 【解析】 【分析】设“△”的质量为，“□”的质量为，由题意列出方程：，解得：，得出第三个天平右盘中砝码的质量. 【详解】解：设“△”的质量为，“□”的质量为， 由题意得：， 解得：， ∴第三个天平右盘中砝码的质量； 故答案为10． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法；设出未知数，根据题意列出方程组是解题的关键． 12. 一个扇形的半径是3，面积为，那么这个扇形的圆心角的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】将已知的半径和面积代入扇形面积公式，即可求解得到圆心角． 【详解】解：设该扇形的圆心角为，已知扇形半径，面积， 根据扇形面积公式，得，整理得，解得：， 即这个扇形的圆心角是． 13. 学校举行舞蹈比赛，主要从服装、动作技巧、感染力三个方面打分，最终成绩中服装占，动作技巧占，感染力占．九年级1班和2班的成绩如下表，若2班要在最终成绩上超过1班，则他们的感染力得分应超过__________． 参赛班级 服装 动作技巧 感染力 九（1）班 70 80 88 九（2）班 80 75 【答案】90 【解析】 【分析】本题主要考查了加权平均数、一元一次不等式的应用等知识点，根据题意列出一元一次方程成为解题的关键． 先根据加权平均数以及2班要在最终成绩上超过1班列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 所以他们的感染力得分应超过90分． 故答案为：90． 14. 一个立体图形的三视图如图所示，根据图中数据求得这个立体图形的侧面积为____________． 【答案】15π 【解析】 【分析】由三视图可知这个立体图形是底面半径为3，高为4的圆锥，利用勾股定理求出其母线长，据此可以求得侧面积． 【详解】由三视图可知圆锥的底面半径为3，高为4， 所以母线长为=5， 所以侧面积为== 3× 5π= 15π， 故答案为：15π． 【点睛】本题主要考查了由三视图确定几何体和求圆锥的侧面积，涉及勾股定理，牢记公式是解题的关键，难度不大． 15. 定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为10的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出相应的图形，利用圆周角定理、直角三角形的边角关系以及三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：如图所示： 如图，与等腰直角的三条边都有两个交点，截得的三条弦相等， ∵同一个圆中，弦相等则弦心距相等， ∴等弦圆的圆心到等腰直角三条边的距离相等，故圆心就是等腰直角的内心， ∴当过时，且在等腰直角三角形的三边上截得的弦相等，即，此时最大， 过点分别作弦的垂线，垂足分别为，连接， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得：， 即， 在中，， ∴． 16. 如图，在四边形中，，，，，则的最小值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】将绕点进行顺时针旋转，使与重合，点的对应点为点，根据得出对应边和对应角相等，然后证明，得出，利用勾股定理以及完全平方式求出最值即可． 【详解】解：如图，将绕点进行顺时针旋转，使与重合，点的对应点为点， 则， ∴，， ∴，， 即， 又∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时，取得最小值为， ∵， ∴取得最小值为． 三、解答题（本大题共11题，满分102分） 17. 计算：．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了． （1）如果被污染的数字是，请计算． （2）如果计算结果等于6，求被污染的数字． 【答案】（1）-9 （2）3 【解析】 【分析】（1）根据有理数混合运算法则计算即可； （2）设被污染的数字为x，由题意，得，解方程即可； 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 设被污染的数字为x， 由题意，得，解得， 所以被污染的数字是3． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算、一元一次方程的应用，掌握相关运算法则和步骤是接替的关键． 18. 化简． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 19. 某校从九年级男生中任意选取40人，随机分成甲、乙两个小组进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩绘制出统计表和如图所示的统计图（成绩均为整数，满分为10分）． 甲组成绩统计表 成绩/分 7 8 9 10 人数/人 1 9 5 5 （1）甲组成绩的众数______乙组成绩的众数（填“”“”或“”）； （2）求乙组的平均成绩； （3）这40个学生成绩的中位数是______． （4）经计算甲组成绩的方差为，请你求出乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩比较整齐． 【答案】（1） （2）分 （3）8分 （4）乙组的方差为，乙组的成绩比较整齐 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和统计表、众数、中位数、平均数以及方差，从统计图中获取有用数据是解答的关键． （1）根据众数是所给数据中出现次数最多的数据分别求解甲、乙两组的众数即可解答； （2）根据平均数的求解方法求解即可； （3）将40个数据从小到大排列，第20个和21个数据的平均数即为中位数； （4）先计算出乙的方差，根据方差越小，数据越稳定，成绩越整齐求解即可． 【小问1详解】 解：根据统计图和统计表数据可知，甲组成绩中得分为8分的人数最多，乙成绩中得分为8分的人数最多， 甲组成绩的众数为8分，乙组成绩的众数为8分， ∴甲组成绩的众数乙组成绩的众数， 故答案为：； 【小问2详解】 解：乙组的平均成绩为（分）； 【小问3详解】 解：将甲乙两组成绩的40个数据从小到大排列，其中，7分的有3人，8分的有18人，9分的有11人，10分的有8人， ∴第20个和21个数据都是8分， ∴这40个学生成绩的中位数是（分）； 【小问4详解】 解：乙组的方程为 ∵甲组成绩的方差为，乙组成绩的方差为，， ∴乙组的成绩比较整齐． 20. 如图，在▱中，点、分别在、上，与相交于点，且． （1）求证：≌； （2）连接，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用平行可知两组对应的内错角相等，即可证明全等； （2）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得出结论． 【小问1详解】 在▱中，， ，， ， ≌（AAS）； 【小问2详解】 如图， ≌； ， ， 四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质及判定方法是解题关键． 21. 某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元． （1）第一批饮料进货单价多少元？ （2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？ 【答案】（1）第一批饮料进货单价为8元． （2）销售单价至少为11元． 【解析】 【分析】（1）设第一批饮料进货单价为元，根据等量关系第二批饮料的数量是第一批的3倍，列方程进行求解即可； （2）设销售单价为元，根据两批全部售完后，获利不少于1200元，列不等式进行求解即可得． 【详解】（1）设第一批饮料进货单价为元，则： 解得： 经检验：是分式方程的解 答：第一批饮料进货单价为8元． （2）设销售单价为元，则： ， 化简得：， 解得：， 答：销售单价至少为11元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找出等量关系与不等关系是关键． 22. 材料，一般的，若（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可转化为指数式，根据以上材料，解决下列问题： （1）计算： ， ， ； （2）猜想 （且，，）； （3）已知，求和的值．（且） 【答案】（1）2；4；6 （2） （3）； 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，理解题中定义，弄懂对数式与指数式的关系以及相互转化的关系是解答的关键． （1）根据题中定义求解即可； （2）设，，根据题中定义将对数式转化为指数式，利用同底数幂的乘法法则求解即可； （3）利用（2）中结论求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，，， 故答案为：2；4；6． 【小问2详解】 解：设，， 则，， ∴，， 即， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由（2）知，， ∵， ∴ ． 23. 在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”，的连接点在上，当点在上转动时，带动点，分别在射线，上滑动，．当与相切时，点恰好落在上，如图2． 请仅就图2的情形解答下列问题． （1）求证：； （2）若的半径为，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质及三角形的外角，找到角与角之间的等量关系，再通过等量代换即可证明； （2）添加辅助线后，证明三角形相似，得到对应角相等，所以角的正切值也相等，求出直角三角形的直角边长，再把放到直角三角形中，利用勾股定理求解． 【详解】解：（1）证明：连接，取轴正半轴与交点于点，如下图： ， 为的外角， ， ， ， ． （2）过点作的垂线，交与点，如下图： 由题意： 在中， ， 由（1）知：， ， ， ， ， ， 由圆的性质，直径所对的角为直角； 在中，由勾股定理得： ， 即． 【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质、直角三角形、相似三角形的判定与性质、切线的性质、勾股定理、特殊角度的正切值，解答的关键是：掌握相关的知识点，会添加适当的辅助线，找到角与角、边与边的等量关系，通过等量代换，利用勾股定理建立等式求解． 24. 如图是某种新能源汽车在一次充电过程中，先慢充，再快充，其电池电量（单位：）与充电时间（单位：）的函数图像．已知慢充收费元，快充收费元，且该汽车电池在同一种模式下的充电功率不变． （充电功率充电电量） （1）该汽车电池的慢充功率为________，快充功率为________； （2）若该汽车电池现有电量，准备先慢充，再快充，使得总电量达到，且充电时间不超过小时．设总共收费元，求关于的函数关系式以及的最小值． 【答案】（1）； （2），的最小值为元 【解析】 【分析】（1）根据充电功率的意义求解即可； （2）根据“总收费慢充收费快充收费”列出关于的函数关系式，根据“充电时间不超过小时”列出关于的不等式组并求出解集，然后根据一次函数的性质及的取值范围解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ， ∴该汽车电池的慢充功率为，快充功率为； 【小问2详解】 解：∵慢充功率为，慢充收费元，快充功率为，快充收费元， 且先慢充，再快充， ∴慢充电量，慢充电费为：（元）， ∴快充电量，快充电费：（元）， ∴， ∵慢充时间是x小时， ∴快充时间为小时， 又∵充电总时间不超过小时， ∴， 解得：， ∵，且， ∴随的增大而减小， ∴当时，（元）， ∴关于的函数关系式为，的最小值为元． 25. 如图，AB是一条笔直的长为500m的滑雪坡道，某运动员从坡顶A滑出，沿直线滑向坡底B，她的滑行距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）的部分对应值如下表． x 0 1 2 3 4 … y 0 4.5 14 28.5 48 … （1）用所学过的函数知识猜想y是x的什么函数，并求出y与x之间的函数表达式； （2）一架无人机在AB上空距水平地面292m的P处悬停，此时在A处测得无人机的仰角为53°．无人机和该运动员同时开始运动，无人机以6.3m/s的速度匀速水平飞行拍摄，离A处越来越远．已知无人机（看成一个点）与AB（看成一条线段）所确定的平面始终垂直于地面，AB与地面MN的夹角为26°．求该运动员滑行多久时，她恰在无人机的正下方． （参考数据：tan53°≈，sin26≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49．） 【答案】（1）函数的解析式为y=2.5x2+2x； （2）该运动员滑行6s时，她恰在无人机的正下方． 【解析】 【分析】（1）观察表格中的数据，y应该是x的二次函数，利用待定系数法求解即可； （2）作出如图的辅助线，设运动员滑行了ts，恰好在无人机的正下方，则AC=2.5t2+2t， 利用三角函数分别用t表示出PE、AE的长，在Rt△APE中，利用正切函数列出方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：观察表格中的数据，y应该是x的二次函数，且经过原点(0，0)， 设此函数的解析式为 ， 把(1，4.5)，(2，14)，代入得，解得， ∴函数的解析式为y=2.5x2+2x， 当x=3时，y=2.5x2+2x=28.5， 当x=4时，y=2.5x2+2x=48， ∴函数的解析式y=2.5x2+2x符合题意； 【小问2详解】 解：设运动员滑行了ts，恰好在无人机的正下方， 此时运动员滑行了(2.5t2+2t)m，无人机飞行了6.3tm到达点P1， 过点P1作P1D⊥MN交AB于点C，此时运动员滑行到达点C， BC=AB-AC=500-(2.5t2+2t) ， 过点A作AF⊥MN于点F，过点A作AG⊥P1D于点G，过点P作PE⊥AG于点E， ∴四边形AFDG和四边形PEGP1都是矩形， ∵AB=500，∠ABF=26°， ∴AF=GD= AB•sin26°220(m)，∠GAC=∠ABF=26°， ∵无人机在AB上空距地面292m的P处悬停， ∴PE= P1G=292-AF=72(m)， ∴AG= AC•cos26°2.25t2+1.8t， ∴AE= AG-EG=2.25t2+1.8t-6.3t=2.25t2-4.5t， 在Rt△APE中， ∵tan53°=， ∴3×72=4(2.25t2-4.5t)， 整理得：t2-2t-24=0， 解得：t1=6，t2=-4(舍去)， ∴该运动员滑行6s时，她恰在无人机的正下方． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，解直角三角形的应用，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 26. 已知二次函数（m为常数，）． （1）当时，求该函数的图象的顶点坐标； （2）当m取不同的值时，该函数的图象总经过一个或几个定点，求出所有定点的坐标； （3）已知，，若该函数的图象与线段恰有1个公共点，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键. （1）把代入，求出顶点坐标即可； （2）把变形为,即可求出定点坐标； （3）根据题意，利用分类讨论的方法可以求得的取值范围. 【小问1详解】 解：当时，， ∴函数的图象的顶点坐标； 【小问2详解】 解：， ∴当 时, ， 当时, , 当时, , ∴该函数的图象总经过点和； 【小问3详解】 ∵二次函数的对称轴为， ∴点的对称点坐标为， 当时, ∵二次函数的对称轴为， ∴点在线段上，即， ∴； 当时,点在抛物线内， 即时, , 则满足题意， 此时, 解得， 故； 若该函数顶点在线段上时，即方程有两个相等时实数根， ∴ 解得， 综上所述，m的取值范围为或或． 27. 一副三角板分别记作和，其中，，，．作于点，于点，如图1． （1）求证：； （2）在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点与点重合记为，点与点重合，将图2中的绕按顺时针方向旋转后，延长交直线于点． ①当时，如图3，求证：四边形为正方形； ②当时，写出线段，，的数量关系，并证明；当时，直接写出线段，，的数量关系． 【答案】（1）证明见解析 （2）①证明见解析；②当时，线段，，的数量关系为；当时，线段，，的数量关系为； 【解析】 【分析】（1）利用等腰直角三角形与含30度角的直角三角形的性质可得结论； （2）①证明，，可得，证明，可得四边形为矩形，结合，即， 而，可得，从而可得结论；②如图，当时，连接，证明，可得，结合，可得；②如图，当时，连接，同理，结合，可得 【小问1详解】 证明：设， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：①∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∵，即， 而， ∴， ∴四边形是正方形； ②如图，当时，连接， 由（1）可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图，当时，连接， 由（1）可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，正方形的判定，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $