第十九章《二次根式》训练（一） 2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦二次根式有意义条件、化简运算及规律应用，通过分层题型构建“概念理解-技能训练-综合应用”的完整方法体系，渗透抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |有意义条件|选择1-4、填空13|列不等式组（被开方数非负+分母不为0）|从定义出发，构建“概念→限制条件→解集”推导链| |化简运算|选择5-10、填空14-17、解答18-21|公式法（完全平方/平方差）、纠错法、代入法|以性质为基础，形成“化简→求值→应用”递进逻辑| |规律应用|选择11-12、解答22-25|建模法（实际问题）、归纳法（规律探究）|联结代数与几何，体现“数学语言表达现实世界”素养|

2026年人教版八年级下学期数学期末专题突破： 第十九章《二次根式》训练（一） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列二次根式有意义的范围为的是(    ) A. B. C. D. 2.使代数式有意义的的取值范围是  (    ) A. B. C. D. 且 3.若二次根式有意义，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 4.若使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是(    ) A. 全体实数 B. C. D. 5.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 6.使等式 成立的正整数的所有值的平方和为(    ) A. B. C. D. 7.已知且，化简二次根式的正确结果是(    ) A. B. C. D. 8.对于无理数，添加关联的数或者运算符号组成新的式子，其运算结果能成为有理数的是  (    ) A. B. C. D. 9.已知实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是(    ) A. B. C.                            D. 10.实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，化简代数式的结果为  (    ) A. B. C. D. 11.对于任意的正数，，定义运算计算的结果为(    ) A. B. C. D. 12.已知，，则的值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 13.若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是          ． 14.已知，，则式子的值为          ． 15.化简：           ． 16.填空：           ． 17.设，那么代数式的值为          ． 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.本小题分 阅读材料：数学中有一种根号内又带根号的数，它们能根据完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．如： 化简：． 解：因为且，所以，所以． 仿照上述方法化简： ； ． 19.本小题分 有一道练习题如下： 先化简，再求值：，其中． 小明的解法如下： ． 小明的解法对吗？如果不对，请改正． 20.本小题分 已知，，求下面各代数式的值： ； ． 21. 本小题分 先化简，再求值：，其中． 22.本小题分 某居民小区有一块形状为长方形的绿地，绿地的长为，宽为，现要在绿地中修建一个长方形花坛图中阴影部分，花坛的长为，宽为． 长方形的周长是多少？ 除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为元的地砖，若要铺满整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 23.本小题分 先化简，再求值：，其中，． 已知，，求代数式的值． 24.本小题分 阅读下面的材料，并回答问题． 像，这样的两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，与都互为有理化因式．在进行含有二次根式的分式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 填空：的有理化因式为          ； 已知，，求的值； 已知正整数，满足，求，的值． 25.本小题分 数学老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是数学老师选出的两道题和她自己编写的一道题．先阅读，再回答问题． 小青编的题： 观察下列等式： ； ． 直接写出以下算式的结果：           ． 小明编的题： 由二次根式的乘法可知： ，，； 再根据平方根的定义可得，， ． 直接写出以下算式的结果：           ． 数学老师编的题：根据你的发现，完成以下计算：． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：，，解得，故此选项不符合题意； B、，解得，故此选项不符合题意； C、，解得，故此选项不符合题意； D、，解得，故此选项符合题意． 故选：． 根据二次根式中的被开方数是非负数，分式的分母不为列出不等式，分别计算即可． 本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件的有关知识，根据题意可得且即可解答． 【解答】 解：由题意可得：且， 解得：且． 故选D． 3.【答案】  【解析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于进行求解即可． 【详解】解二次根式有意义， ， ， 故选． 4.【答案】  【解析】本题考查了二次根式有意义的条件和一元一次不等式的求解，熟知二次根式的被开方数非负是解题的关键．根据二次根式有意义的条件：被开方数非负，解答即可． 【详解】解：根据题意可得：， 解得． 故选：． 5.【答案】  6.【答案】  【解析】，， 解得，正整数的值为，，， 它们的平方和为，故选B． 7.【答案】  8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是二次根式的加减，二次根式的性质有关知识， 选项A、根据二次根式的加减法法则判断即可； 选项C根据乘方的定义以及二次根式的性质判断即可； 选项D根据任何数与相乘得判断即可． 【解答】 解：．与不是同类二次根式，所以不能合并，故本选项不合题意； B.，故本选项不合题意； C.，故本选项不合题意； D.，故本选项符合题意． 故选D． 9.【答案】  【解析】本题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，熟练掌握其性质是解题的关键． 由数轴易得，则，利用二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由数轴可得， 则， ， 故选：． 10.【答案】  11.【答案】  【解析】，，，，． 12.【答案】  【解析】解：设， ，   ，． 故选B． 本题主要考查二次根式的混合运算，掌握已知条件和所求式子之间的关系是解题的关键． 设，推出，再化简，即可得出答案． 13.【答案】   【解析】【分析】 本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件：被开方数，得不等式，解不等式即可解答． 【解答】 解：依题意知，，解得 14.【答案】  【解析】直接将原式提取公因式，再利用二次根式混合运算法则计算得出答案． 【详解】解：，， 故答案为：． 15.【答案】  【解析】略 16.【答案】  【解析】略 17.【答案】  【解析】解法一：． 解法二：，，两边平方得，，． 18.【答案】【小题】     【小题】   【解析】 略  略 19.【答案】解：小明的解法不对．  改正如下：  因为，所以，  所以原式  当时，原式．  【解析】略 20.【答案】【小题】 解：，，，． 【小题】 解：   【解析】 见答案  见答案 21.【答案】解：原式当时，原式．  【解析】略 22.【答案】【小题】   【小题】 元   【解析】 略  略 23.【答案】【小题】 ， 当，时，原式． 【小题】 ， ， ， ， ．   【解析】 略  略 24.【答案】【小题】 【小题】 ，， 【小题】 ，整理，得解得的值是，的值是   【解析】 略  见答案  见答案 25.【答案】【小题】    【小题】 【小题】     ．   【解析】 略  略  略 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $