精品解析：黑龙江哈尔滨市南岗区2026年中考第三次学情自测数学试题

2026年九年级学生学习水平监测 数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答、超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 9的相反数是（ ） A. B. 9 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，据此可得答案． 【详解】解：9的相反数是， 故选：C． 2. 已知，则下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂除法等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂除法法则逐项判断即可解答． 【详解】解：A．，故该选项错误，不符合题意； B．，故该选项正确，符合题意； C．与不是同类项，无法合并为，故该选项错误，不符合题意； D．，故该选项错误，不符合题意． 故选：B． 3. 如图是与人工智能科技有关的标识，这些标识不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：B、C、D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； A选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 4. 地球距太阳约有120000000千米，数120000000用科学记数法表示为（　　） A. 0.12×109 B. 1.2×108 C. 12×107 D. 1.2×109 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：120000000＝1.2×108． 故选：B． 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 5. 如图是由六个相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体从正面看到的图形是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，要求同学们掌握主视图是从物体的正面看得到的视图．找到从正面看所得到的图形即可． 【详解】解：从正面看，共有三列，左边一列是三个小正方形，中间和右边一列分别是一个小正方形． 故选：B． 6. 解方程方程两边乘得到的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：原分式方程为， 方程两边同时乘得． 7. 学校准备在植物园周围增设由大小相同的等边三角形组成的栅栏．当栅栏顶部是1个灰色等边三角形时，其余部分共7个镂空的等边三角形（如图1）；当栅栏顶部是2个灰色等边三角形时，其余部分共13个镂空的等边三角形（如图2）；当栅栏顶部是3个灰色等边三角形时，其余部分共19个镂空的等边三角形（如图3）…根据以上规律，当栅栏顶部是6个灰色等边三角形时，其余部分镂空的等边三角形的个数为（ ） A. 30 B. 36 C. 37 D. 43 【答案】C 【解析】 【分析】观察第个图案，有个镂空的等边三角形；第个图案，有个镂空的等边三角形；，总结出规律，把代入计算即可得出答案； 【详解】解：第个图案（1个灰色等边三角形）：镂空的等边三角形有：（个）， 第个图案（2个灰色等边三角形）：镂空的等边三角形有：（个）， 第个图案（3个灰色等边三角形）：镂空的等边三角形有：（个）， 第个图案（4个灰色等边三角形）：镂空的等边三角形有：（个）， …… 第个图案（n个灰色等边三角形）：镂空的等边三角形有：个， 当时（6个灰色等边三角形），镂空的等边三角形有个． 8. 如图，在中，点分别为边的中点．下列结论中，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，由三角形中位线性质可判断；由相似三角形的判定和性质可判断，掌握三角形中位线的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵点分别为边的中点， ∴，，故正确； ∵， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴，故错误； 故选：． 9. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线交于点D，连接．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理．先利用等腰三角形等边对等角的性质得出，再根据作图步骤得出直线是线段的垂直平分线，再利用垂直平分线的性质得到，进而求出的度数，最后根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， 根据作图痕迹，可知是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 10. 如图1，在矩形的边上有一点E，连接，点P从点A出发沿以的速度运动到点C，图2是点P运动时，的面积S（单位：）随时间t（单位：s）的变化的函数图象，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】抓住关键点，函数图象最高点的纵坐标为9，横坐标为6，得的最大面积为9，此时、重合，，，通过图象知道点到达终点时，的面积是6，此时、重合，，得的长． 【详解】解：∵是矩形， ∴ 由图象可知，当、重合，，， 可得：， 当、重合时，，可得：． 第Ⅱ卷非 选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 在函数中，自变量的取值范固是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了函数自变量的取值范围，解决本题的关键是明确分母不能为． 【详解】解：由题可得， 解得：， 故答案为：． 12. 把多项式2a2－4ab＋2b2分解因式的结果是__________. 【答案】2(a－b)2 【解析】 【详解】2a2－4ab＋2b2=2(a2－2ab＋b2)= 2(a－b)2. 故答案为2(a－b)2. 13. 不等式组的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，先求得每个不等式的解集，再求得它们的公共部分即可求解． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴该不等式组的解集为， 故答案为：． 14. 抛物线的顶点坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．二次函数的顶点式方程的顶点坐标是． 二次函数的顶点式的顶点坐标是，据此可以直接求顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点的坐标是． 故答案是：． 15. 一个袋子中装有4个黑球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为，则白球的个数为_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查利用概率求个数，根据白球概率求出黑球概率，黑球共有4个，就可以求出球的总数，再减去黑球个数即可解答，熟练掌握简单概率公式是解决问题的关键． 【详解】解：∵摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为， ∴摸到黑球的概率为， ∵袋子中有4个黑球和个白球， ∴由简单概率公式可得，解得， ∴白球有6个， 故答案为：6． 16. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积的反比例函数，其图象如图所示，则反比例函数的表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】设出反比例函数表达式，将图中点坐标代入求出即可． 【详解】解：设该反比例函数的表达式为：， 将代入中得：， 故函数表达式为：． 故答案为： 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数表达式，代入数值准确计算是解题关键． 17. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较大值，称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P、Q两点为“等距点”．若、两点为“等距点”，且点Q在第三象限，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出点的“长距”，根据“等距点”定义得到点的“长距”，结合点在第三象限的限制条件求解即可． 【详解】解：点到轴的距离为，到轴的距离为， 点的“长距”为， ，为“等距点”， 点的“长距”为， ∵点到轴的距离为，到轴的距离为， ，解得或， 点在第三象限， 点的横坐标，即， ． 18. 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，，分别与相切于点C，D，延长，交于点P．若，的半径为，则图中弧的长为 ______．（结果保留π） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查弧长的计算公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键．连接，求出圆心角的度数，然后根据弧长公式求出答案即可． 【详解】解：连接， ，分别与相切于点C，D， ， ， ． 故答案为：． 19. 在中，，，点在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为_______________度. 【答案】或 【解析】 【分析】当为直角三角形时，有两种情况或，依据三角形内角和定理，结合具体图形分类讨论求解即可. 【详解】解：分两种情况： ①如图1，当时， ∵， ∴； ②如图2，当时， ∵，， ∴， ∴， 综上，则的度数为或； 故答案为或； 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及数学的分类讨论思想，能够正确进行分类是解题的关键. 20. 如图，点E、F分别在菱形的边、上，连接、、，交于点G，，于点H．下列结论：①；②；③当时，则；④点P在上，连接、，当，时，则的最小值为3，请把正确结论的序号填在横线上______． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】过作交于点，过点作交的延长线于点，根据菱形的性质得出，通过构建直角三角形，结合全等三角形的判定和性质得出， ，，结合三角形的外角性质得出，根据平行线的性质得出，即可判断①；通过菱形的性质设，，结合平行线的性质和直角三角形的性质得出，，，求得即可判断②；根据线段的和差关系推得，即可判断③；连接，，根据垂直平分线的性质和两点之间、线段最短得出当点、、三点共线时，的值最小，根据菱形的性质求出，即可判断④． 【详解】解：过作交于点，过点作交的延长线于点． ， ∵， ∴， ∵在菱形中，， ， 则四边形是矩形， ∴，，； ∵四边形是菱形， ∴，，，， 又∵，， 故， ∴， 故； 在和中， ， ∴， ∴； ∵，， ∴， 即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故； 在和中， ， ∴， ∴，； ∵，，且， ∴； ∵，， ∴， 故， ∵， 故， 即，①说法错误； ∵四边形是菱形， ∴，平分和， ∴， 设，， 则，，， ∵， 故， ∴， 即，故②说法正确； ∵，，，，， ∴， ∵， ∴， 故， ∵， 故，即③说法正确； 如图，连接，， ∵垂直平分， ∴， 故， 即当点、、三点共线时，，此时的值最小； 结合题意可得， ∵， 故， 解得， 即当，时，则的最小值为3；④说法正确； 综上所述，说法正确的有②③④． 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的混合运算、特殊角的三角函数值、二次根式，根据分式加减和除法的运算法则，可化简代数式，根据特殊角的三角函数值，可求得的数值． 【详解】 将代入原式，得 原式 22. 如图是由边长为的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．与的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，保留作图痕迹，体现作图过程． （1）如图，作的角平分线； （2）如图，在上画点H，连接，使得． 【答案】（1）如图，即为所求． （2）如图，点即为所求． 【解析】 【分析】（1）利用格点，以，为邻边，为对角线，构造菱形，再作出另外一条对角线，与交于点，根据菱形的对角线平分一组对角（即平分），即可作出的角平分线； （2）利用格点，构造正方形，根据正方形的一条对角线将该正方形分成两个等腰直角三角形（等腰直角三角形两个锐角均为），即，延长交于点，即可得出所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 某校为了解七年级学生的体重情况，随机抽取了七年级m名学生进行调查，将抽取学生的体重情况绘制如下不完整的频数分布表和扇形统计图． 组别 体重(千克) 人数 A 10 B n C 40 D 20 E 10 请根据图表信息回答下列问题： （1）填空：①______，②______； （2）填空：在扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数等于______度； （3）如果该校七年级有1000名学生，请估计七年级体重低于47.5千克的学生有多少人？ 【答案】（1）100， （2）144 （3）300人 【解析】 【分析】（1）先根据D组的人数和所占百分比可得抽取的总人数，由此即可得n的值； （2）再利用乘以C组所占百分比即可得其对应的扇形的圆心角度数； （3）利用该校七年级学生的总人数乘以A，B组所占百分比即可得． 【小问1详解】 解：，； 【小问2详解】 解：， 答：C组所在扇形的圆心角的度数等于． 【小问3详解】 解：． 答：七年级学生体重低于47.5千克的学生大约有300人． 24. 已知：点E在正方形的边的延长线上，连接交于点G，过点B作，垂足为点M，的延长线分别交，的延长线于点F，H． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，连接，过点G作，分别交，于点K，N，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四条线段，使写出的每条线段的长度是的长度的2倍． 【答案】（1）证明：四边形为正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ∴， ． （2），，， 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得出，，由直角三角形两锐角互余得出，，由对顶角相等得出，等量代换可得出，证明，由全等三角形的性质得出． （2）根据正方形得到、和，即可得到，由得到，进一步得到，利用等腰三角形的性质得到和，即可得到，进一步证明，得和，有，可证明，有，则即可． 【小问1详解】 证明：略． 【小问2详解】 解：∵四边形为正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， 则， 那么，． 25. A、B两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢． 某超市销售A、B两种型号的吉祥物，有关信息见下表： 成本（单位：元/个） 销售价格（单位：元/个） A型号 35 a B型号 42 b 若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个B种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物，则一共需要410元． （1）求a、b的值； （2）若某公司计划从该超市购买A、B两种型号的吉祥物共90个，且购买A种型号吉祥物的数量x（单位：个）不少于B种型号吉祥物数量的．设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为y元，求y的最大值． 注：该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两种购买方式列出方程组并解方程组即可； （2）购买A种型号吉祥物的数量x个，则购买B种型号吉祥物的数量个，先求出x的取值范围，再列出一次函数并根据一次函数的性质进行解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意得， 解得． 【小问2详解】 解：∵购买A种型号吉祥物的数量x个，则购买B种型号吉祥物的数量个， 根据题意得， 解得， 根据题意得， 整理得， ， y随x的增大而减小 当时，y的最大值为． 26. 已知：内接于，与相切． （1）如图1，求证：； （2）如图2，，连接，点E在上，连接，且，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，为的直径、点F在上，过点F作交于点G，其中点G与点B在的两侧，连接、，过点E作于点H，且，点M在上，连接交于点N，且，当，时，求的长． 【答案】（1）证明：如图1作直径，连接， 与相切于点C， ， ， ， 为的直径， ， ， ， 又， ； （2）证明：如图2， ， ， 即， 又，， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）作直径，连接，由切线性质得，结合直径所对圆周角为直角，利用同角的余角相等得，再根据同弧所对圆周角相等得，从而证得； （2）由两边同时减去得，结合和（1）中的结论，证明，根据全等三角形对应边相等即可得； （3）先由为直径得，结合推出为等腰直角三角形，利用三角函数求出，再作，证四边形为矩形得，结合得，通过角的互余关系得，利用余弦比例推出，接着设角推导得，故，即为中点，连接由垂径定理得，在中求出，再证得，从而求出，最后由求出，用即可得到的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3， ∵为直径， ， ， ， ， ， ， ， 作于点K， ， 为直径， ， ， ， 四边形 为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ， ， 连接， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 27. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴于点A，B，交y轴于点C，过点C作轴交抛物线于点D，且点D的横坐标为3． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P在第一象限抛物线上，连接、，设点P的横坐标为t（），的面积为S，求S与t之间的函数解析式； （3）如图2，在（2）的条件下，点E在上，连接、、，且平分，点F在上，点H在x轴的负半轴上，连接、、，其中，过点H作交的延长线于点T，的延长线交于点G，且，当时，求点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，代入抛物线解析式，运用待定系数法即可求解； （2）作轴于点N，延长交的延长线于点Q，结合题意得到，再根据三角形面积的计算方法列式即可求解； （3）根据抛物线与坐标轴的交点的计算得到，作交的延长线于点Z，于点L，连接，得到四边形为正方形，证明， ，得到 ，设，根据角度的和差计算得到，作于点R，于点K， ，延长交的延长线于点M，由解直角三角形的计算得到 ，设，则，得到，代入抛物线解析式即可求解． 【小问1详解】 解：∵当时，， ， 轴，且点D的横坐标为3， ， ，解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：作轴于点N，延长交的延长线于点Q， ，轴， ∴点Q的横坐标为t， 轴，且， ， 轴， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：在抛物线中，当时，， 解得，， ∴，且， ∴， 作交的延长线于点Z，于点L，连接， ， ， ∴四边形为矩形， ， ， 四边形为正方形， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 设，则 ， ， ， ， ， ， ， 如图，作于点R，于点K， ，延长交的延长线于点M， ， ∴四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ，，， ， ， 在中，， ∴在中，， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ，， ， ， ， ， ，解得，（舍）， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级学生学习水平监测 数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答、超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 9的相反数是（ ） A. B. 9 C. D. 2. 已知，则下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是与人工智能科技有关的标识，这些标识不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 地球距太阳约有120000000千米，数120000000用科学记数法表示为（　　） A. 0.12×109 B. 1.2×108 C. 12×107 D. 1.2×109 5. 如图是由六个相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体从正面看到的图形是（　　） A. B. C. D. 6. 解方程方程两边乘得到的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 学校准备在植物园周围增设由大小相同的等边三角形组成的栅栏．当栅栏顶部是1个灰色等边三角形时，其余部分共7个镂空的等边三角形（如图1）；当栅栏顶部是2个灰色等边三角形时，其余部分共13个镂空的等边三角形（如图2）；当栅栏顶部是3个灰色等边三角形时，其余部分共19个镂空的等边三角形（如图3）…根据以上规律，当栅栏顶部是6个灰色等边三角形时，其余部分镂空的等边三角形的个数为（ ） A. 30 B. 36 C. 37 D. 43 8. 如图，在中，点分别为边的中点．下列结论中，错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线交于点D，连接．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在矩形的边上有一点E，连接，点P从点A出发沿以的速度运动到点C，图2是点P运动时，的面积S（单位：）随时间t（单位：s）的变化的函数图象，则的长为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷非 选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 在函数中，自变量的取值范固是______． 12. 把多项式2a2－4ab＋2b2分解因式的结果是__________. 13. 不等式组的解集是______． 14. 抛物线的顶点坐标为_______． 15. 一个袋子中装有4个黑球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为，则白球的个数为_______． 16. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积的反比例函数，其图象如图所示，则反比例函数的表达式为______． 17. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较大值，称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P、Q两点为“等距点”．若、两点为“等距点”，且点Q在第三象限，则k的值为______． 18. 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，，分别与相切于点C，D，延长，交于点P．若，的半径为，则图中弧的长为 ______．（结果保留π） 19. 在中，，，点在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为_______________度. 20. 如图，点E、F分别在菱形的边、上，连接、、，交于点G，，于点H．下列结论：①；②；③当时，则；④点P在上，连接、，当，时，则的最小值为3，请把正确结论的序号填在横线上______． 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图是由边长为的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．与的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，保留作图痕迹，体现作图过程． （1）如图，作的角平分线； （2）如图，在上画点H，连接，使得． 23. 某校为了解七年级学生的体重情况，随机抽取了七年级m名学生进行调查，将抽取学生的体重情况绘制如下不完整的频数分布表和扇形统计图． 组别 体重(千克) 人数 A 10 B n C 40 D 20 E 10 请根据图表信息回答下列问题： （1）填空：①______，②______； （2）填空：在扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数等于______度； （3）如果该校七年级有1000名学生，请估计七年级体重低于47.5千克的学生有多少人？ 24. 已知：点E在正方形的边的延长线上，连接交于点G，过点B作，垂足为点M，的延长线分别交，的延长线于点F，H． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，连接，过点G作，分别交，于点K，N，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四条线段，使写出的每条线段的长度是的长度的2倍． 25. A、B两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢． 某超市销售A、B两种型号的吉祥物，有关信息见下表： 成本（单位：元/个） 销售价格（单位：元/个） A型号 35 a B型号 42 b 若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个B种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物，则一共需要410元． （1）求a、b的值； （2）若某公司计划从该超市购买A、B两种型号的吉祥物共90个，且购买A种型号吉祥物的数量x（单位：个）不少于B种型号吉祥物数量的．设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为y元，求y的最大值． 注：该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差． 26. 已知：内接于，与相切． （1）如图1，求证：； （2）如图2，，连接，点E在上，连接，且，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，为的直径、点F在上，过点F作交于点G，其中点G与点B在的两侧，连接、，过点E作于点H，且，点M在上，连接交于点N，且，当，时，求的长． 27. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴于点A，B，交y轴于点C，过点C作轴交抛物线于点D，且点D的横坐标为3． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P在第一象限抛物线上，连接、，设点P的横坐标为t（），的面积为S，求S与t之间的函数解析式； （3）如图2，在（2）的条件下，点E在上，连接、、，且平分，点F在上，点H在x轴的负半轴上，连接、、，其中，过点H作交的延长线于点T，的延长线交于点G，且，当时，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $