1.3 集合的基本运算（新高一暑假预习）高一数学人教A版必修第一册

1.3 集合的基本运算 知识清单 知识点1：并集 文字 语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) 符号 语言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 图形 语言 性质 A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A 【注意】并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A且x∉B；②x∈A且x∈B；③x∉A且x∈B．如图所示． 知识点2：交集 文字 语言 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) 符号 语言 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 图形 语言 性质 A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅ 【注意】如果两个集合A，B没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A∩B＝∅． 集合交、并集运算的性质 (1)A∪B＝A⇔B⊆A． (2)A∩B＝A⇔A⊆B． (3)(A∩B)⊆(A∪B)，(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B． (4)A∩B＝A∪B⇔A＝B． 知识点3：全集与补集 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U． 2．补集 自然 语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号 语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形 语言 性质 (1)∁UA⊆U． (2)∁UU＝∅，∁U∅＝U． (3)∁U(∁UA)＝A． (4)A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅ 【注意】1．全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z． 2．∁UA包含三层含义： (1)A⊆U． (2)∁UA是一个集合，且∁UA⊆U． (3)∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合． 特殊结论：∁R(A∪B)与(∁RA)∩(∁RB)及∁R(A∩B)与(∁RA)∪(∁RB)的关系 (1)∁R(A∪B)＝(∁RA)∩(∁RB)． (2)∁R(A∩B)＝(∁RA)∪(∁RB)． 考点汇总 考点一　交集的概念及运算 考点二　利用交集运算求集合或参数 考点三　并集的概念及运算 考点四　利用并集运算求集合或参数 考点五　补集的概念及运算 考点六　利用补集运算求集合或参数 考点七　交并补混合运算 考点八　利用交并补混合运算求集合或参数 考点九　容斥原理的应用（Venn图） 考点十　集合新定义的问题 考点突破练 考点一　交集的概念及运算 1．（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河北保定·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（山东九五高中协作体2026届高考最后一卷数学试卷）已知集合，若 ，则 （   ） A．0 B．1 C．2 D．3 考点二　利用交集运算求集合或参数 5．（2026·福建泉州·模拟预测）已知集合，，若，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 6．（25-26高二·全国·暑假作业）已知集合，集合． （1）当时，求________； （2）当时，则实数m的值为________． 7．（25-26高三下·山东烟台·阶段检测）已知集合或}，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·陕西安康·期中）已知集合，，若，则实数的所有取值之和为（    ） A．2 B． C．4 D． 9．（2026·重庆·模拟预测）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D．1 10．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知集合，，若恰有4个子集，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 考点三　并集的概念及运算 11．（2026·甘肃白银·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 12．（2026·山东泰安·模拟预测）已知集合，或，则（     ） A．或 B． C． D．或 13．（2026·甘肃张掖·二模）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 14．（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）（多选）设集合，，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 考点四　利用并集运算求集合或参数 15．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知集合，若，则实数的值是（   ） A．2 B．1 C．2 D．1 16．（2026·重庆·二模）已知集合，若，则（ ） A． B． C． D． 17．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知集合，且，则_______． 18．（2026高三下·河南信阳·专题练习）已知集合，，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 19．（25-26高一上·江苏徐州·期末）已知，或，若，则实数的取值范围是______. 20．（25-26高一上·浙江湖州·期末）已知，集合，. (1)若，求，； (2)是否存在实数a，使得？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由. 考点五　补集的概念及运算 21．（25-26高一下·湖南永州·开学考试）已知全集，集合，则=（   ） A． B． C． D． 22．（2026·河南·三模）设全集，，，则（   ） A． B． C． D． 23．（2026·山东聊城·模拟预测）设全集，集合，则的真子集的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．7 24．（2026·湖南·模拟预测）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 考点六　利用补集运算求集合或参数 25．（2026·山东威海·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 26．（25-26高一上·四川宜宾·期中）已知全集，且则（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 27．（25-26高三下·江西·阶段检测）若全集，则集合为（    ） A． B． C． D． 28．（25-26高一上·山东青岛·期中）已知全集，求的值． 29．（25-26高一上·四川眉山·阶段检测）已知全集，集合，若，则_______， 30．（22-23高一上·新疆省直辖县级单位·期中）已知集合，. (1)当时，求； (2)若，且，求实数a的取值范围. 考点七　交并补混合运算 31．（2026·天津宝坻·三模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 32．（25-26高二下·河北石家庄·期中）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 33．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）设集合 ，，，求： (1); (2); (3) 34．（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）已知全集，集合，集合．求： (1)； (2)； (3)． 考点八　利用交并补混合运算求集合或参数 35．（23-24高二下·江西南昌·期中）设集合，， (1)若，求，； (2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 36．（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 37．（25-26高一上·甘肃白银·期中）已知集合，．，，实数的取值集合为． (1)求集合； (2)若，求实数的取值范围． 38．（25-26高三上·辽宁·阶段检测）设全集，集合，，则集合中的元素个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 39．（25-26高一上·浙江宁波·期中）设集合，. (1)若，求的值及集合； (2)若为实数集，且，求实数的取值范围. 40．（23-24高一上·北京海淀·阶段检测）已知集合．若，则的取值集合为． (1)求集合． (2)若，求实数的取值范围． 考点九　容斥原理的应用（Venn图） 41．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 42．（2026·安徽合肥·模拟预测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 43．（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2026年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 44．（2026·福建泉州·模拟预测）设集合，，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 45．（2026·内蒙古赤峰·三模）如图，已知全集及其两个非空真子集，则图中阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 46．（25-26高一下·湖北黄石·阶段检测）已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 47．（2026高一上·广东清远·专题练习）设全集为，已知集合或，. (1)若，求和及图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数m的取值范围． 考点十　集合新定义的问题 48．（2026·辽宁·三模）定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 49．（2026·河南开封·二模）定义集合且，已知集合，，若，则下列一定成立的是（   ） A． B． C． D． 50．（2026·北京顺义·二模）已知集合，集合是集合的一个含个元素的子集.若集合满足如下两个性质，则称集合为集合的完美子集： ①集合的任意两个不同子集的元素之和不相等； ②对任意且，令，且集合存在两个不同子集，它们的元素之和相等； (1)若，判断是否为集合的完美子集； (2)若集合为集合的完美子集，证明：集合的元素之和的最小值为16； (3)若集合为集合的完美子集，证明：. 51．（25-26高二下·北京海淀·期中）已知为给定的正整数，，集合，设非空集合，.若对任意的，集合均恰有个不同的元素，其中，则称是的阶伴随子集. (1)设，写出2个的1阶伴随子集； (2)设，非空集合不存在1阶伴随子集，求中元素个数的最小值； (3)设和互为3阶伴随子集，求中元素个数的最大值. 课后强化练 1．（2026·河北邢台·三模）已知集合， 则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏南京·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河南驻马店·期末）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西咸阳·三模）已知集合是小于8的正整数｝，，，则中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知集合，，若，则的值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 6．（2026·陕西西安·三模）已知集合，，若，则a的取值集合是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）集合，，集合，若，则以下的取值不满足题意的是（ ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·河南信阳·期中）（多选）全集 ，，，， ,若，则下列的取值满足题意的有（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·重庆·阶段检测）（多选）若集合，则集合或（　　） A． B． C． D． 10．（2022·湖南长沙·模拟预测）（多选）图中阴影部分用集合符号可以表示为（   ） A． B． C． D． 11．（2026高三·全国·专题练习）（多选）江苏省实验中学科技城校举行秋季运动会，高一某班共有30名同学参加比赛，有20人参加田赛，13人参加径赛，有19人参加球类比赛，同时参加田赛与径赛的有8人，同时参加田赛与球类比赛的有9人，没有人同时参加三项比赛．以下说法正确的有（   ） A．同时参加径赛和球类比赛的人数有3人 B．只参加球类一项比赛的人数有2人 C．只参加径赛一项比赛的人数为0人 D．只参加田赛一项比赛的人数为3人 12．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）为了增强公司的凝聚力，某公司举行羽毛球、乒乓球、网球三项比赛，共有80名员工参赛，其中参加羽毛球比赛的有40名，参加乒乓球比赛的有45名，参加网球比赛的有30名，同时参加羽毛球、乒乓球比赛的有20名，同时参加乒乓球、网球比赛的有15名，同时参加羽毛球、网球比赛的有10名，则这三项比赛都参加的员工人数是______. 13．（2026·河南濮阳·一模）已知全集，则__________. 14．（2026高一上·江苏·专题练习）已知集合，，，若，则实数m的取值范围是______． 15．（25-26高一上·河北唐山·期中）设是小于9的正整数，．求： (1) (2) (3) (4) (5) 16．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 17．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 18．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）设是正整数，是的非空子集(至少有两个元素)，如果对于中的任意两个元素，，都有，则称集合具有性质. (1)试判断集合和是否具有性质，并说明理由. (2)若，证明：A不可能具有性质. (3)若，且具有性质和，求中元素个数的最大值. 19．（25-26高一上·福建福州·期中）对于非空数集，定义的运算结果为图中的阴影部分表示的集合，定义    (1)结合Venn图，请用集合的描述法表示； (2)若，，求； (3)若，，且，求实数的取值集合． 20．（25-26高一上·上海·期中）已知集合或，. (1)求； (2)若，当时，求实数的取值范围； (3)若，当时，求实数的取值范围. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 集合的基本运算 知识清单 知识点1：并集 文字 语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) 符号 语言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 图形 语言 性质 A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A 【注意】并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A且x∉B；②x∈A且x∈B；③x∉A且x∈B．如图所示． 知识点2：交集 文字 语言 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) 符号 语言 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 图形 语言 性质 A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅ 【注意】如果两个集合A，B没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A∩B＝∅． 集合交、并集运算的性质 (1)A∪B＝A⇔B⊆A． (2)A∩B＝A⇔A⊆B． (3)(A∩B)⊆(A∪B)，(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B． (4)A∩B＝A∪B⇔A＝B． 知识点3：全集与补集 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U． 2．补集 自然 语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号 语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形 语言 性质 (1)∁UA⊆U． (2)∁UU＝∅，∁U∅＝U． (3)∁U(∁UA)＝A． (4)A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅ 【注意】1．全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z． 2．∁UA包含三层含义： (1)A⊆U． (2)∁UA是一个集合，且∁UA⊆U． (3)∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合． 特殊结论：∁R(A∪B)与(∁RA)∩(∁RB)及∁R(A∩B)与(∁RA)∪(∁RB)的关系 (1)∁R(A∪B)＝(∁RA)∩(∁RB)． (2)∁R(A∩B)＝(∁RA)∪(∁RB)． 考点汇总 考点一　交集的概念及运算 考点二　利用交集运算求集合或参数 考点三　并集的概念及运算 考点四　利用并集运算求集合或参数 考点五　补集的概念及运算 考点六　利用补集运算求集合或参数 考点七　交并补混合运算 考点八　利用交并补混合运算求集合或参数 考点九　容斥原理的应用（Venn图） 考点十　集合新定义的问题 考点突破练 考点一　交集的概念及运算 1．（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用集合的交集运算求解. 【详解】因为集合，， 所以， 故选：B 2．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】， 所以. 3．（25-26高二下·河北保定·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先用列举法表示集合，再根据交集的概念及运算求解. 【详解】由题设知， 又， 所以． 4．（山东九五高中协作体2026届高考最后一卷数学试卷）已知集合，若 ，则 （   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】由得，进而求得，再验证即可求解. 【详解】由，所以或，解得或， 当时，，所以，满足题意， 当时，，所以，不满足题意， 所以. 考点二　利用交集运算求集合或参数 5．（2026·福建泉州·模拟预测）已知集合，，若，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】A 【详解】由，得，又由，根据集合元素的互异性，得，即， 而集合，由，得或，所以或. 故选A. 6．（25-26高二·全国·暑假作业）已知集合，集合． （1）当时，求________； （2）当时，则实数m的值为________． 【答案】 2 【分析】（1）根据交集的定义求解即可； （2）由，可得，再根据集合的包含关系求解即可. 【详解】（1）由题意得，当时，，则． （2）因为，所以，因为，所以， 所以2是关于x的方程的解，即，解得． 故答案为：；. 7．（25-26高三下·山东烟台·阶段检测）已知集合或}，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，然后根据集合的包含关系即可求解. 【详解】由题意，得， 由于集合或}，， 所以或，解得或， 故实数的取值范围为，故D正确. 8．（25-26高一下·陕西安康·期中）已知集合，，若，则实数的所有取值之和为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【详解】已知集合，，， 则或. 若，因式分解为，解得或. 两种解都满足集合元素互异性. 若，整理得，判别式，无实数解. 故实数的所有取值之和为. 9．（2026·重庆·模拟预测）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】利用交集的性质可知点同时属于集合A和B，将该点代入两个集合对应的方程求解即可得到b的值. 【详解】由可得，点同时满足集合、的对应函数方程， 将代入的方程，得，解得； 将和代入的方程， 得，解得， 因此. 10．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知集合，，若恰有4个子集，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若恰有4个子集，则中恰有2个元素，所以. 考点三　并集的概念及运算 11．（2026·甘肃白银·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由并集的概念求解即可. 【详解】由题意得. 12．（2026·山东泰安·模拟预测）已知集合，或，则（     ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【详解】或或 13．（2026·甘肃张掖·二模）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题，，则 14．（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）（多选）设集合，，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因为，， 所以，，，． 考点四　利用并集运算求集合或参数 15．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知集合，若，则实数的值是（   ） A．2 B．1 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据并集的定义计算即可. 【详解】已知集合，若， 所以，解得. 16．（2026·重庆·二模）已知集合，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，解得或， 当时，此时，不合题意. 当时，此时，要使，则. 综上. 17．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知集合，且，则_______． 【答案】1 【详解】因为，所以，即中的所有元素都属于， 因为，，，所以， 即，得出或， 当时，，则，，满足， 当时，，则集合中的元素不满足互异性， 综上，. 18．（2026高三下·河南信阳·专题练习）已知集合，，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，， 所以，即实数的取值范围为. 19．（25-26高一上·江苏徐州·期末）已知，或，若，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】由得到，然后由子集的定义求解. 【详解】因为集合，或. 若，则， ∴或，即或. ∴实数的取值范围是. 故答案为：. 20．（25-26高一上·浙江湖州·期末）已知，集合，. (1)若，求，； (2)是否存在实数a，使得？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)， (2)存在，或0 【分析】（1）当时，可得集合A、B，根据交集、并集运算的定义，即可得答案. （2）当时，分析可得不符合题意，则，由题意，可得，分别讨论和两种情况，根据集合的性质，即可求得答案. 【详解】（1）当时，集合，集合， 则，. （2）当时，集合，集合，不合题意，舍去， 当时，集合，集合， 因为，所以，又，只需， 情况①，，符合题意； 情况②，解得（1舍去），此时，符合题意， 综上可得或0. 考点五　补集的概念及运算 21．（25-26高一下·湖南永州·开学考试）已知全集，集合，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，则， 所以. 22．（2026·河南·三模）设全集，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】全集，即， 集合，， 则. 23．（2026·山东聊城·模拟预测）设全集，集合，则的真子集的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．7 【答案】B 【分析】利用补集的定义求出，进而求出真子集个数． 【详解】因为，所以的真子集的个数为． 24．（2026·湖南·模拟预测）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】全集，集合是所有大于的自然数，即. 补集是全集中不属于的元素构成的集合，因此. 考点六　利用补集运算求集合或参数 25．（2026·山东威海·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的性质以及补集的定义即可求解. 【详解】已知集合， 由补集的定义可知，即， 因此必有且，解得，故A正确. 26．（25-26高一上·四川宜宾·期中）已知全集，且则（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】由全集，且，故，从而. 27．（25-26高三下·江西·阶段检测）若全集，则集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，根据补集运算的定义，即可得答案. 【详解】由题意得，且全集， 所以集合. 28．（25-26高一上·山东青岛·期中）已知全集，求的值． 【答案】 【分析】根据已知有，，结合集合列不等式求参数值. 【详解】由，则，，故， 所以，可得. 29．（25-26高一上·四川眉山·阶段检测）已知全集，集合，若，则_______， 【答案】7 【分析】由得，即和为一元二次方程的根，利用根与系数关系即可求解. 【详解】由有：，所以和为一元二次方程的根， 所以，所以， 故答案为：. 30．（22-23高一上·新疆省直辖县级单位·期中）已知集合，. (1)当时，求； (2)若，且，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）时化简集合A，根据交集的定义写出； （2）根据，得出关于a的不等式，求出解集即可. 【详解】（1）当时，集合，， ∴； （2）∵，（）， ，∴， ∴， 又，解得. ∴实数a的取值范围是：. 考点七　交并补混合运算 31．（2026·天津宝坻·三模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合与的并集，再计算该并集在全集中的补集即可． 【详解】，则． 32．（25-26高二下·河北石家庄·期中）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出集合，根据集合的交集和补集求解即可. 【详解】因为，，所以. 33．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）设集合 ，，，求： (1); (2); (3) 【答案】(1)； (2)； (3)或； 【详解】（1）由，，可得. （2）因为，，所以. （3）因为，或， 或. 34．（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）已知全集，集合，集合．求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意求交集即可； （2）由题知，再根据集合的混合运算即可； （3）先求，再求补集即可． 【详解】（1）因为集合，集合， 所以． （2）因为全集， 则， 故． （3）因为，集合， 则， 则． 考点八　利用交并补混合运算求集合或参数 35．（23-24高二下·江西南昌·期中）设集合，， (1)若，求，； (2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据条件得到，再利用集合的运算即可求出结果； （2）由（1）知或，根据条件，借助数轴，即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以或， 所以，． （2）由（1）知或，又中只有一个整数， 由图知，，且， 解得，所以实数的取值范围是． 36．（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合的补集、交集运算即可； （2）根据并集补集运算可得，分类讨论，，列不等式得的取值范围即可. 【详解】（1）当时，，因为或， 所以， 故； （2）由（1）知， 若，则， 当时，则，解得，满足题意； 当时，由题意可得，解得． 综上所述，，即的取值范围为． 37．（25-26高一上·甘肃白银·期中）已知集合，．，，实数的取值集合为． (1)求集合； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，解得即可； （2）分和两种情况讨论，当时，首先求出，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）因为，，且， 所以，解得， 所以实数的取值集合. （2）因为，， 若，则，即，此时，所以成立； 若，则或， 则，解得； 综上，实数的取值范围为. 38．（25-26高三上·辽宁·阶段检测）设全集，集合，，则集合中的元素个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据补集和交集的定义求出集合，即可得解. 【详解】因为全集，， 所以，， 又因为，故. 因此，集合中的元素个数为. 故选：B. 39．（25-26高一上·浙江宁波·期中）设集合，. (1)若，求的值及集合； (2)若为实数集，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）由，得，由此可得关于的方程求解并验证即可得； （2）由得，按集合中元素的个数分类讨论即可求得. 【详解】（1），. 因为，所以，则， 即，解得或. 验证：当时，， 则，满足题意； 当时，， 则，不满足题意. 综上可知，若，则，此时. （2）若，则，又， ①当时，则关于的方程没有实数根， 则，解得， 故当时，满足题意； ②当，即时， 若集合中只有一个元素，则， 即当时，，，满足题意； 若集合中有两个元素，则， 即当时，要使，则， 所以和是方程的两根， 则由韦达定理得，解得，满足条件. 综上所述，或. 40．（23-24高一上·北京海淀·阶段检测）已知集合．若，则的取值集合为． (1)求集合． (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合中元素与集合的关系列不等式关系即可得的取值集合； （2）根据集合运算关系列不等式关系即可得实数的取值范围. 【详解】（1）若，则，解得， 所以的取值集合为； （2）若，则，则，即， 则或， 要满足，则或，解得或， 所以实数的取值范围是. 考点九　容斥原理的应用（Venn图） 41．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】结合韦恩图，列出方程求解即可. 【详解】设同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为，只参加田径的人数为，只参加球类比赛的人数为， 则只参加游泳比赛的人数为，画出韦恩图，如图所示， 则，解得，所以同时只参加田径比赛和球类比赛的有1人. 42．（2026·安徽合肥·模拟预测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用三集合容斥原理，通过韦恩图划分各部分人数，设三类都参加的人数为、只参加劳动实践和培训的人数为，根据总人数列方程化简得，再结合培训的总人数，算出只参加培训的人数． 【详解】设类课程全参加的有人，同时只参加劳动实践和技术培训的有人， 列出韦恩图，则， 可得，则只参加技术培训的人数为人． 43．（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2026年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 【答案】D 【分析】利用容斥原理，结合维恩图来进行个数计算即可. 【详解】设三个电影分别为：记观看《南京照相馆》的同学为集合，记观看《浪浪山小妖怪》的同学为集合，记观看《长安的荔枝》的同学为集合， 则根据题意：有15人观看了《南京照相馆》，记， 有8人观看了《浪浪山小妖怪》，记， 有14人观看了《长安的荔枝》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，记， 没有人同时观看三部电影．记， 设同时观看和的人数为（因无人看三部，就是只同时看、的人数）， 只看的人数：， 只看的人数： 要求的只看的人数： 由所有不重叠部分加和等于总人数30， 可得： ，解得， 因此只看的人数为人. 44．（2026·福建泉州·模拟预测）设集合，，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，因为指数函数单调递增，所以，即. 已知，所以. 分析Venn图：阴影部分表示集合中去掉的部分. 因此阴影部分表示集合. 45．（2026·内蒙古赤峰·三模）如图，已知全集及其两个非空真子集，则图中阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合图形，利用集合运算的表示方法，即可求解. 【详解】根据集合运算的表示方法，可得图中阴影部分表示集合除去的部分， 所以阴影部分表示集合为． 46．（25-26高一下·湖北黄石·阶段检测）已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 所以阴影部分所表示的集合为 47．（2026高一上·广东清远·专题练习）设全集为，已知集合或，. (1)若，求和及图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或； (2)或 【分析】（1）根据题意可得集合，结合集合间的运算求解即可； （2）分和两种情况讨论，结合交集运算列式求解即可. 【详解】（1）若，则集合， 且集合或，所以集合或； 又因为全集为，则集合， 所以图中阴影部分表示的集合. （2）因为集合或，，且， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：实数m的取值范围为或. 考点十　集合新定义的问题 48．（2026·辽宁·三模）定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】根据定义先求，进而求解. 【详解】由题意得：，所以. 49．（2026·河南开封·二模）定义集合且，已知集合，，若，则下列一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合，集合，集合，， 所以，，， 选项A：因为，所以或者（且满足集合元素的互异性）； 选项B：因为，所以一定成立； 选项C：当时，集合，集合，，C错误； 选项D：当，时，集合，集合，，D错误. 50．（2026·北京顺义·二模）已知集合，集合是集合的一个含个元素的子集.若集合满足如下两个性质，则称集合为集合的完美子集： ①集合的任意两个不同子集的元素之和不相等； ②对任意且，令，且集合存在两个不同子集，它们的元素之和相等； (1)若，判断是否为集合的完美子集； (2)若集合为集合的完美子集，证明：集合的元素之和的最小值为16； (3)若集合为集合的完美子集，证明：. 【答案】(1)不是的完美子集，是的完美子集 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）验证两个条件即可； （2）用反证法证明； （3）根据集合的新定义结合反证法证明即可. 【详解】（1）中任意子集之和可以是，，，，，均互不相等，满足性质①， 是再添一个不在中但在中的元素，取，， 的不同子集元素和分别为： ， 没有和相等的子集，所以不满足性质②，不是的完美子集； 的任意子集之和可以是， 均互不相等，满足性质①， 对于性质②，对任意，， 任意子集之和组成的集合为 当,存在的子集的元素和等于，只要取的两个子集为， 即可满足条件，而当，，取子集和即可， 所以是的完美子集； （2）反证法：设A的元素和为S,若,考察包含A的元子集. 由于A的任意两个子集元素之和不等，且B的任意一个包含16的子集元素和比B的任意个不包含16的子集元素和大， 从而B的任意两个子集元素之和不相等，与条件矛盾，从而. 又满足条件，此时，从而的最小值为16. （3）， 假设若，则的非空子集有个， 而其中每个子集元素和不超过，但，必有两个子集的和相等，矛盾． 假设若，考虑的一、二、三、四元子集，共有个不同的子集，其元素和都在区间内 (因为任意一个这样的和小于，且由知：，，，不同时属于) 若，则由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 所以此时最大的和不大于 而，则必有两个子集的和相等，矛盾． 若则由知．，不同时属于， 由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 所以此时最大的和不大于 而，则必有两个子集的和相等，矛盾， 若和都不属于，则最小的和不小于于是，其和都属于区间，最多有个不同的和． 而，则必有两个子集的和相等，矛盾． 综上所述，． 51．（25-26高二下·北京海淀·期中）已知为给定的正整数，，集合，设非空集合，.若对任意的，集合均恰有个不同的元素，其中，则称是的阶伴随子集. (1)设，写出2个的1阶伴随子集； (2)设，非空集合不存在1阶伴随子集，求中元素个数的最小值； (3)设和互为3阶伴随子集，求中元素个数的最大值. 【答案】(1) (2) (3)240 【分析】（1）根据1阶伴随子集的定义进行求解即可； （2）根据题中定义，结合假设法进行求解即可； （3）利用转化法，结合题中定义分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）A共有12个1阶伴随子集，形如是1，2，3，4的排列）. （2）一方面，若，则，对. 令，则是的1阶伴随子集. 另一方面，若.令. 假设是的1阶伴随子集. 则互不相同，且恰取遍. 有，不可能. 综上，． （3）将中的元素自然的看做小方格，A，B中的方格分别记为“○”、 “△” A，B互为3阶伴随子集每个标记格恰有3个异标记格与之同行或同列. 一方面，如图标记时，. 另一方面，设A，B互为3阶伴随子集. 设有个双b标记行，个双b标记列. 注意到以下两个事实： ①每个双标记行（列）最多有3个“○”格，最多有3个“△”格； ②若某行（列）只有“○”（“△”）格，则该行（列）的每个“○”（“△”）格所在的列（行）必是双标记的. （i）若，则， （ii）若，与（i）同理. （iii）若，则最多有5个单标记行，每行最多21个格被双标记，否则由②，，矛盾. （iv）若，与（iii）同理. （v）若且，设同行或同列的异标记格对有个，则． 每个双标记行（列）最多产生9个异标记格对，， 综上，. 课后强化练 1．（2026·河北邢台·三模）已知集合， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据集合的表达式求出符合集合范围的元素，再计算两个集合的交集即可. 【详解】首先明确自然数集包含，由集合的定义，设，其中，变形得，， 已知集合，将非负整数依次代入计算： 当时，，属于集合； 当时，，属于集合； 当时，，属于集合； 当时，，超出集合的元素范围，不满足要求， 因此，故B正确. 2．（2026·江苏南京·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据并集的定义即可求解． 【详解】由题可知，，则． 3．（25-26高二下·河南驻马店·期末）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题首先可根据题意确定集合和集合中包含的元素，然后根据补集的相关性质即可得出结果. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 则. 4．（2026·陕西咸阳·三模）已知集合是小于8的正整数｝，，，则中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】借助补集与并集定义即可得. 【详解】，则. 5．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知集合，，若，则的值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【详解】已知，，说明只有是和的公共元素， 则，又因为，元素， 因此. 6．（2026·陕西西安·三模）已知集合，，若，则a的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到，列出关系式，即可求解. 【详解】因为，即，结合集合元素的互异性，可得或，解得或． 7．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）集合，，集合，若，则以下的取值不满足题意的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得，利用，列出不等式，求得的取值范围，结合选项，即可求解. 【详解】由集合，， 可得，则， 因为，则满足，解得， 结合选项，可得选项D不满足题意. 故选:D. 8．（25-26高一上·河南信阳·期中）（多选）全集 ，，，， ,若，则下列的取值满足题意的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用并集补集定义求解，再分为空集与非空集情况讨论，列出参数不等式求解即可. 【详解】，，， ，， 由且 当时，，即符合题意； 当时，，解得； 综上：或； 故选：ACD 9．（25-26高一上·重庆·阶段检测）（多选）若集合，则集合或（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据补集的定义结合交集、并集的定义及运算规则，对各选项进行逐一判断． 【详解】选项A：集合，全集， 或，故A正确； 选项B：集合，全集， 或， 集合，全集， ， 或或，故B正确； 选项C：或，， 或，故C错误； 选项D：或，， 或或，故D正确． 故选：． 10．（2022·湖南长沙·模拟预测）（多选）图中阴影部分用集合符号可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析与集合、、的关系，利用集合的运算关系，逐个分析各个选项，即可得出结论. 【详解】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为 ，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为， 所以选项AD正确，选项BC不正确. 故选：AD. 11．（2026高三·全国·专题练习）（多选）江苏省实验中学科技城校举行秋季运动会，高一某班共有30名同学参加比赛，有20人参加田赛，13人参加径赛，有19人参加球类比赛，同时参加田赛与径赛的有8人，同时参加田赛与球类比赛的有9人，没有人同时参加三项比赛．以下说法正确的有（   ） A．同时参加径赛和球类比赛的人数有3人 B．只参加球类一项比赛的人数有2人 C．只参加径赛一项比赛的人数为0人 D．只参加田赛一项比赛的人数为3人 【答案】CD 【分析】根据题意画出韦恩图，标出各集合包含的元素个数，列方程即可逐一求得. 【详解】设全班同学组成全集，参加田赛的同学组成集合，参加径赛的同学组成集合， 参加球类比赛的同学组成集合，设同时参加径赛和球类比赛的人数为， 根据题意，画出韦恩图如图所示， 则，解得. 对于A，由图知同时参加径赛和球类比赛的人数为人，故A错误； 对于B，只参加球类一项比赛的人数为人，故B错误； 对于C，只参加径赛一项比赛的人数为人，故C正确； 对于D，由图知只参加田赛一项比赛的人数为3人，故D正确. 故选：CD． 12．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）为了增强公司的凝聚力，某公司举行羽毛球、乒乓球、网球三项比赛，共有80名员工参赛，其中参加羽毛球比赛的有40名，参加乒乓球比赛的有45名，参加网球比赛的有30名，同时参加羽毛球、乒乓球比赛的有20名，同时参加乒乓球、网球比赛的有15名，同时参加羽毛球、网球比赛的有10名，则这三项比赛都参加的员工人数是______. 【答案】10 【分析】根据题意画出韦恩图，利用容斥原理列式即可求解. 【详解】设三项比赛都参加的员工为人，结合已知条件可知，只参加乒乓球、网球比赛的员工为人， 只参加羽毛球、乒乓球比赛的员工为人，只参加羽毛球、网球比赛的员工为人， 只参加乒乓球比赛的员工为人，只参加网球比赛的员工为人，只参加羽毛球比赛的员工为人， 如图所示： 故，解得， 故这三项比赛都参加的员工人数是10. 故答案为：10 13．（2026·河南濮阳·一模）已知全集，则__________. 【答案】 【分析】由交、并、补集的定义求解即可. 【详解】 ，所以. 故答案为： 14．（2026高一上·江苏·专题练习）已知集合，，，若，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据分类讨论，分别列不等式求得的取值范围，最后根据补集思想即得. 【详解】，. 由，可分为和两种情况讨论： 当时，得. 当时，或，解得：或. 综上所述：当时，实数的取值范围为，故当时，实数的取值范围为. 故答案为： 15．（25-26高一上·河北唐山·期中）设是小于9的正整数，．求： (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）由题设，，则； （2）由，则； （3）由， 所以； （4）由， 所以； （5）由题设， 所以. 16．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由并集性质得，分类讨论为空集和非空集两种情况列不等式求解； （2）由交集为空集的条件，分类讨论为空集和非空集，结合集合端点的大小关系列不等式求解. 【详解】（1）由并集的性质可知等价于， ① 当时，满足，即，解得； ② 当时，需同时满足：， 解得：，即. 综上，的取值范围是或， 即的取值范围是. （2）由题意， ① 当时，满足，此时，解得； ② 当时，需满足的所有元素都不在的范围内，且（即）， 即： 或 ，解得， 结合得， 解得，结合得. 综上，合并两类情况的解，的取值范围是或， 即. 17．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，得，由此可得关于的方程求解并验证即可得； （2）由得，按集合中元素的个数分类讨论即可求； （3）由得，转化为均不是方程的根，解不等式可得. 【详解】（1），. ，，则， 即，解得或. 验证：当时，， 则，满足题意； 当时，， 则，不满足题意. 综上可知，若，则. （2）若，则，又， ①当时，则关于的方程没有实数根， 则，解得， 故当时，满足题意； ②当，即时， 若集合中只有一个元素，则， 即当时，，，满足题意； 若集合中有两个元素，则， 即当时，要使，则， 所以和是方程的两根， 则由韦达定理得，解得，满足条件. 综上所述，或. 所以，若，则实数a的取值范围为. （3）若全集，，则，即. ，. 故，且， 则，且， 解得且且. 若，则实数a的取值范围为. 18．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）设是正整数，是的非空子集(至少有两个元素)，如果对于中的任意两个元素，，都有，则称集合具有性质. (1)试判断集合和是否具有性质，并说明理由. (2)若，证明：A不可能具有性质. (3)若，且具有性质和，求中元素个数的最大值. 【答案】(1)B不具有，C具有，理由见解析； (2)证明见解析； (3)110个 【分析】(1)利用举反例和列举全部来判断即可； (2)利用抽屉原理，把相差的数两两一组，然后再去选数，由于只分了个抽屉，但要选个元素，则必有一个是选到相差为的个数，从而找到矛盾，可得问题得证； (3)利用抽屉原理，按连续个自然数为一个抽屉，只需要研究一个抽屉最多可以选几个元素满足题意，最后可确定元素个数的最大值，并举例说明. 【详解】（1）当时，因为存在，满足，与对于A中的任意两个元素x，y，都有，相矛盾，所以集合B不具有性质； 当时，对于集合中任意两元素之差的绝对值共有以下种情形： 因为这种情形都满足，所以集合C具有性质； （2）将集合中的元素分为如下11个集合: ， 要从集合中选取12个元素，由于前9个集合中，每个集合中的2个元素之差的绝对值等于3，不满足题意，所以前9个集合中，每个集合最多选1个元素，而最后2个集合中各只有1个元素，就算必选，也才只有11个元素，而题意中要选12个元素，所以必有2个元素取自前9个集合中的同一集合，这样就存在两个元素之差的绝对值等于3，不满足题意，所以A不可能具有性质； （3）先说明连续11项中集合A中最多选取5项，以为例. 按相差7来构造抽屉，按相差来分类研究： ①5，6，7同时选，因为具有性质和，所以选5则不选1，9，选6则不选2，10，选7则不选3，11，则只剩4，8可选，由于，所以只能选其中1个数，此时只能选5，6，7，4或5，6，7，8共4个元素，故中属于集合A的元素不超过5个. ②5，6，7中选2个，若只选5，6，则1，2，9，10，7不可选，又中只能选1个元素，3，8可以选(4与8不能同时选)，若选，最多全选，也才是5个元素，故中属于集合A的元素不超过5个. 若选5，7，则只能从2，4，8，10中选，但4，8不能同时选，故中属于集合A的元素不超过5个. 若选6，7，则2，3，10，11，5不可选，又中只能选1个元素，4，9可以选，故中属于集合A的元素不超过5个. ③5，6，7中选0个或只选1个，又四个集合每个集合至多选1个元素，故中属于集合A的元素不超过5个. 由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合A的元素至多只有5个，如取， 因为，则把每11个连续自然数分组，前21组每组至多选取5项. 从232开始，最后10个数至多选取5项，故集合A的元素最多有个. 给出如下选取方法:从中选取，然后在这5个数的基础上每次累加11，构造21次.此时集合A中的元素为，共有110个元素，经检验可得该集合符合要求.故集合A中的元素最多有110个. 19．（25-26高一上·福建福州·期中）对于非空数集，定义的运算结果为图中的阴影部分表示的集合，定义    (1)结合Venn图，请用集合的描述法表示； (2)若，，求； (3)若，，且，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据Venn图可知：集合表示在集合内去掉集合的元素，结合集合描述法即可得结果； （2）分析可知，根据题意结合集合间的运算求解即可； （3）分析可知，且，结合题意即可得结果. 【详解】（1）由Venn图可知：集合表示在集合内去掉集合的元素， 所以. （2）由题意可知：， 因为，， 则，， 所以或. （3）因为，，可知， 则，且， 又因为，可得， 所以实数的取值集合为. 20．（25-26高一上·上海·期中）已知集合或，. (1)求； (2)若，当时，求实数的取值范围； (3)若，当时，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）直接根据补集定义求解； （2）分、、三种情况讨论集合的范围，结合子集关系求解； （3）分和两种情况，结合交集为空的条件求解. 【详解】（1）因为，，所以. （2）当时，，满足； 当时，，由得，解得； 当时，，由得，解得. 综上，实数的取值范围是. （3）当时，，解得； 当时，，由得或，即或. 结合，得或. 综上，实数的取值范围是. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $