1.2 集合间的基本关系（新高一暑假预习）高一数学人教A版必修第一册

1.2 集合间的基本关系 知识清单 知识点1：子集 1．Venn图：用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． 2．子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 3．一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B． 也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B． 【注意】(1)“集合A是集合B的子集”可以表述为：若x∈A，则x∈B． (2)符号“∈”用于表示元素与集合之间的关系，而符号“⊆”用于表示集合与集合之间的关系． 知识点2：真子集 1．真子集 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 记法与读法 记作AB(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 2．空集 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅． (2)规定：空集是任何集合的子集． 【注意】(1)AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个元素x∈B，但x∉A． (2)∅与{0}不同，{0}是含有一个元素的集合，∅{0}；更不能把∅写作{∅}． 子集、真子集个数有关的4个结论 假设集合A中含有n个元素，则有 (1)A的子集有2n个． (2)A的非空子集有2n－1个． (3)A的真子集有2n－1个． (4)A的非空真子集有2n－2个． 考点汇总 考点一　判断两个集合的包含关系 考点二　求集合的子集(真子集) 考点三　判断集合的子集(真子集)的个数 考点四　判断两个集合是否相等 考点五　利用两个集合相等求参数 考点六　利用集合的包含关系求参数 考点七　空集的相关问题 考点突破练 考点一　判断两个集合的包含关系 1．（25-26高一上·广西河池·期中）__________________________________________________ 2．（2026·四川雅安·二模）下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·北京·阶段检测）下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026高一上·全国·专题练习）集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 5．（25-26高一上·全国·期末）已知集合，，，则集合的关系是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）以下四个选项中，正确的为（    ） A． B． C． D． 考点二　求集合的子集(真子集) 7．（25-26高一下·四川成都·期中）已知集合，集合，则满足关系的所有集合为__________________ 8．（2026·广西崇左·一模）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·甘肃天水·阶段检测）集合的一个子集为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一·全国·寒假作业）已知集合满足，求集合及其个数． 11．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知集合，写出集合的所有子集． 12．（25-26高一上·江苏连云港·期中）设集合，若的所有子集中的所有元素之和为32，则（　　） A．0 B． C．1 D．2 考点三　判断集合的子集(真子集)的个数 13．（2026·湖南长沙·三模）集合的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 14．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）满足的集合A共有______个 15．（25-26高一上·广西河池·期中）已知集合，其子集个数为__________，真子集个数为__________． 16．（2026·福建福州·模拟预测）满足⫋的集合的个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 17．（2026·重庆·模拟预测）已知集合 ，则 的子集个数是（    ） A．63 B．64 C．127 D．128 18．（2026·湖南怀化·一模）全集，且，则满足条件的集合的个数为（    ） A．8 B．7 C．4 D．2 考点四　判断两个集合是否相等 19．（25-26高一上·江苏徐州·期末）下面关于集合的表示正确的是（   ） A． B．. C． D．. 20．（25-26高一上·湖北·阶段检测）下列表述中正确的是（    ） A． B． C． D． 21．（25-26高一上·广东潮州·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（    ） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C． D．集合与集合是同一个集合 22．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D．与没有包含关系 考点五　利用两个集合相等求参数 23．（25-26高三·全国·一轮复习）已知a，，若，则______. 24．（25-26高三·全国·一轮复习）设集合，，若，则的值为________． 25．（2026·江西九江·模拟预测）已知为实数，集合，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 26．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 27．（2026高三·全国·专题练习），若，则______． 28．（2026高一·全国·专题练习）已知集合A=，B=｛0,,1｝（a,b∈R），若A=B，则________. 考点六　利用集合的包含关系求参数 29．（2026·湖北·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 30．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设集合，，若，则由实数组成的集合为（     ） A． B． C． D． 31．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； 32．（25-26高三下·贵州·阶段检测）设集合 ，且 ，则实数的取值集合为_____. 33．（25-26高一上·河北保定·期中）已知集合． (1)若中恰有一个元素，求实数的取值构成的集合； (2)若，求实数的取值范围． 34．（25-26高一上·山西太原·阶段检测）已知. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 考点七　空集的相关问题 35．（25-26高一上·安徽·期中）下列说法错误的是（   ） A．由1，2，3组成的集合可表示为或 B．空集是集合的子集 C．代数式的值组成的集合是 D．集合与集合是同一个集合 36．（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）（多选）下列命题中，是真命题的有（   ） A．有理数集可以表示为 B．若（其中），则 C． D． 37．（25-26高一上·广东·阶段检测）记集合，. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 38．（25-26高一上·天津·阶段检测）下列关系中：①，②，③，④正确的序号__________. 课后强化练 1．（2026·湖南·模拟预测）若集合，则的子集个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 2．（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）已知集合，则集合A的所有真子集的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2026·湖南长沙·二模）已知集合，，则M与N的关系是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·贵州遵义·模拟预测）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·江苏泰州·期末）设集合，，若，则的值为（） A． B． C． D．或 6．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·河南·一模）已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 8．（25-26高二下·湖南衡阳·期中）（多选）已知集合，，若，则a的取值可以是（   ） A． B．0 C．2 D． 9．（25-26高一上·浙江杭州·期中）（多选）已知集合，，若，则符合条件的实数的值可能为（   ） A． B． C． D．0 10．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）（多选）已知非空集合，且，则的值可以是（    ） A．4 B．3 C．－3 D．0 11．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）已知，，集合，，则集合可以是（    ） A． B． C． D． 12．（2026高一上·全国·专题练习）已知集合满足，则符合条件的集合个数有______个 13．（2026高三·全国·专题练习）设，，其中，若，则________． 14．（25-26高一上·河南周口·期末）已知全集，，. (1)当时，求； (2)若，求m的取值范围. 15．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 16．（2026高一上·江苏·专题练习）设全集，集合，非空集合. (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a取值范围. 17．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）设集合，. (1)若集合B中有两个大于0的元素，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围. 18．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知集合，． (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 集合间的基本关系 知识清单 知识点1：子集 1．Venn图：用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． 2．子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 3．一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B． 也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B． 【注意】(1)“集合A是集合B的子集”可以表述为：若x∈A，则x∈B． (2)符号“∈”用于表示元素与集合之间的关系，而符号“⊆”用于表示集合与集合之间的关系． 知识点2：真子集 1．真子集 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 记法与读法 记作AB(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 2．空集 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅． (2)规定：空集是任何集合的子集． 【注意】(1)AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个元素x∈B，但x∉A． (2)∅与{0}不同，{0}是含有一个元素的集合，∅{0}；更不能把∅写作{∅}． 子集、真子集个数有关的4个结论 假设集合A中含有n个元素，则有 (1)A的子集有2n个． (2)A的非空子集有2n－1个． (3)A的真子集有2n－1个． (4)A的非空真子集有2n－2个． 考点汇总 考点一　判断两个集合的包含关系 考点二　求集合的子集(真子集) 考点三　判断集合的子集(真子集)的个数 考点四　判断两个集合是否相等 考点五　利用两个集合相等求参数 考点六　利用集合的包含关系求参数 考点七　空集的相关问题 考点突破练 考点一　判断两个集合的包含关系 1．（25-26高一上·广西河池·期中）__________________________________________________ 【答案】 【详解】空①：已知左侧集合为，右侧集合为.，故空①应填入符号. 空②：左侧是，右侧集合是，不包含任何元素，所以，故空②应填入符号. 空③：左侧集合为，右侧集合为.根据空集的性质，是任何集合的子集，所以故空③应填入符号. 空④：左侧集合为，右侧集合为.当时，有序对与不相等，因此两个集合不相等，故空④应填入符号. 空⑤：左侧元素为，右侧为自然数集.属于自然数集，因此，故空⑤应填入符号. 2．（2026·四川雅安·二模）下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，的唯一元素是零，而，所以，故A错误； 对于B，是无理数，是有理数集，故B错误； 对于C， 左边为数字集合，右边为点集，不是同类型，故C错误； 对于D，由集合的无序性可得D正确. 3．（25-26高三下·北京·阶段检测）下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用集合与集合之间的关系以及元素与集合之间的关系即可求解. 【详解】对于A，是集合，空集不是集合的元素，错误； 对于B，，正确； 对于C，与没有包含关系，错误； 对于D，为无理数，所以，错误. 4．（2026高一上·全国·专题练习）集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 【答案】A 【分析】由题意可得，，，即可得答案. 【详解】集合， ， 所以， ， ， 所以⫋. 故选：A 5．（25-26高一上·全国·期末）已知集合，，，则集合的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对集合分析，当为偶数时，比较它与集合的描述得到与集合的关系；通过整理集合与集合的描述，得到集合与集合的关系，从而得出集合的关系． 【详解】集合， 当时，， 当时，， 又集合，， 集合，集合， ，可得， 综上可得 故选：C. 6．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）以下四个选项中，正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合与集合的关系依次判断各选项即可得答案. 【详解】对于A，混淆元素与集合，集合与集合的关系，为的真子集，故错误； 对于B，是的真子集 ，不存在大小关系，故错误； 对于C，，正确； 对于D，空集是任何集合的子集，即，不是的元素，故错误. 故选：C 考点二　求集合的子集(真子集) 7．（25-26高一下·四川成都·期中）已知集合，集合，则满足关系的所有集合为__________________ 【答案】 【详解】因为，，， 所以集合可以为 8．（2026·广西崇左·一模）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据真子集的概念可知为的一个真子集． 9．（25-26高二上·甘肃天水·阶段检测）集合的一个子集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的子集的定义即可求解． 【详解】因为，，所以，故A正确； 因为，所以，不是的子集，故BC错误； 因为，所以不是的子集，故D错误. 故选：A. 10．（25-26高一·全国·寒假作业）已知集合满足，求集合及其个数． 【答案】答案见解析 【分析】根据已知条件，结合子集的定义进行求解即可. 【详解】当中含有两个元素时，为； 当中含有三个元素时，为； 当中含有四个元素时，为； 当中含有五个元素时，为； 所以满足条件的集合为， 集合的个数为8． 11．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知集合，写出集合的所有子集． 【答案】，，， 【分析】通过解二次方程求得集合，由子集的定义写出所有子集. 【详解】由， ∴， ∴， ∴集合的所有子集分别为：，，，. 12．（25-26高一上·江苏连云港·期中）设集合，若的所有子集中的所有元素之和为32，则（　　） A．0 B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据子集概念分析即可求解. 【详解】由题意可知，集合的非空真子集的个数为， 集合中的每一个元素在其非空真子集中出现的次数为次， 所以的所有子集中的所有元素之和为， 所以． 故选：A 考点三　判断集合的子集(真子集)的个数 13．（2026·湖南长沙·三模）集合的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】由题意得，元素个数为，子集个数为. 14．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）满足的集合A共有______个 【答案】63 【详解】问题等价于求集合的真子集个数，故所求为． 15．（25-26高一上·广西河池·期中）已知集合，其子集个数为__________，真子集个数为__________． 【答案】 【详解】集合的元素个数为4， 集合的子集个数为：个； 集合的真子集个数为：个． 16．（2026·福建福州·模拟预测）满足⫋的集合的个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【详解】满足条件的集合有， ，共7个. 17．（2026·重庆·模拟预测）已知集合 ，则 的子集个数是（    ） A．63 B．64 C．127 D．128 【答案】D 【分析】根据子集的个数公式计算即可. 【详解】因为， 所以，有7个元素， 故子集个数为. 18．（2026·湖南怀化·一模）全集，且，则满足条件的集合的个数为（    ） A．8 B．7 C．4 D．2 【答案】A 【详解】因为全集，且， 所以可能为，共个 即集合的个数为. 考点四　判断两个集合是否相等 19．（25-26高一上·江苏徐州·期末）下面关于集合的表示正确的是（   ） A． B．. C． D．. 【答案】C 【分析】对于A，根据集合元素的无序性判断；对于B，根据特征元素判断；对于C，根据集合相等的定义判断；对于D，根据集合相等的定义判断. 【详解】对于A，根据集合元素的无序性，可知，故错误； 对于B，特征元素不相同，故不是相等集合，故错误； 对于C，都是数集，且范围相同，故相等，故正确； 对于D，不是空集，0是一个元素，故错误； 故选C. 20．（25-26高一上·湖北·阶段检测）下列表述中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合与元素的关系依次判断各选项即可. 【详解】对于A，是含一个元素0的集合，不含任何元素，故A错误； 对于B，集合元素具有无序性，故正确； 对于C，是包含空集的集合（有一个元素），是空集（无元素），故错误； 对于D，表示有序数对的集合，表示有序数对的集合，有序数对与不相等，故这两集合不相等，故错误； 故选：B 21．（25-26高一上·广东潮州·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（    ） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C． D．集合与集合是同一个集合 【答案】AC 【分析】根据集合中元素的无序性可知A正确；根据空集的定义可知B错误；根据空集是任意集合的子集可知C正确；根据两集合表示的数集不同可确定D错误. 【详解】对于A，集合中的元素具有无序性，则，均可表示由组成的集合，A正确； 对于B，是不含任何元素的集合，是含有一个元素的集合；与不是同一个集合，B错误； 对于C，是任意集合的子集，则，C正确； 对于D，，，集合与集合不是同一个集合，D错误. 故选：AC. 22．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D．与没有包含关系 【答案】A 【分析】根据集合的子集的定义即可求解. 【详解】由，因为，所以， 又，所以， 故选：A. 考点五　利用两个集合相等求参数 23．（25-26高三·全国·一轮复习）已知a，，若，则______. 【答案】 【分析】利用集合相等可得，代值求解即可. 【详解】由已知得，则，所以， 于是，即或， 又由集合中元素的互异性知应舍去，故， 所以. 24．（25-26高三·全国·一轮复习）设集合，，若，则的值为________． 【答案】 【分析】首先由集合元素的特征得，再由集合相等分和两种情况解得. 【详解】由集合，，得， 又因为，则或， 当时，，，， 于是，得，因此； 当时，集合，，有，则，解得与矛盾，舍去. 因此． 25．（2026·江西九江·模拟预测）已知为实数，集合，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为，所以或， 解得，或，（不符合集合元素的互异性，舍去） 所以. 26．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由集合相等可得一元二次方程的两个根，再由根与系数的关系可得，进而可得所求值. 【详解】已知 ，，所以一元二次方程 的两个根就是 和. 设一元二次方程的两根为​，则： ，， 所以，即，因此 27．（2026高三·全国·专题练习），若，则______． 【答案】1 【分析】根据题意，利用集合相等和集合中元素的性质，求得，，进而得到答案. 【详解】由已知得，则，所以， 于是，即或， 又由集合中元素的互异性知应舍去，故， 所以． 28．（2026高一·全国·专题练习）已知集合A=，B=｛0,,1｝（a,b∈R），若A=B，则________. 【答案】1 【分析】根据集合相等的定义求得后可得结论． 【详解】集合A=，B=｛0,,1｝（a,b∈R）. 由A＝B， 得①解得此时集合A中，＝0与元素0重复，，违反互异性； ②解得，此时A＝B＝，符合题意. 综上，，所以. 考点六　利用集合的包含关系求参数 29．（2026·湖北·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据子集的定义，由元素和集合的关系求解. 【详解】由可知，解得. 此时，符合要求. 所以. 30．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设集合，，若，则由实数组成的集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合，列出方程，即可求解. 【详解】当时，方程无解，即，满足； 当时，由方程，解得，即， 因为，可得或，解得或， 所以由实数组成的集合为. 31．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）略 （2）略 （3）根据区间长度得，解得，接下来再分，，和，根据左端点的范围确定右端点的范围，进行求解； （4）根据集合的包含关系确定参数范围； （5）根据集合的包含关系确定参数范围. 【详解】（1）因为，，所以. （2）因为， 若，则，解得， 所以实数的取值集合为. （3）因为，中有3个整数， 所以，解得， 当时，，符合题意， 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 综上所述，实数的取值集合为. （4）当时，如图，此时． 则，即，因此的取值集合为． （5）当时，如图， 此时，解得，此时无解； 当时，由，解得． 综上可得：的取值集合为． 32．（25-26高三下·贵州·阶段检测）设集合 ，且 ，则实数的取值集合为_____. 【答案】 【分析】化简集合，分类讨论，根据求解. 【详解】， 因为， 当，即时，， 满足； 当，即时，由可得或， 所以，由 ， 所以或，解得或. 综上所述，实数的取值集合为. 33．（25-26高一上·河北保定·期中）已知集合． (1)若中恰有一个元素，求实数的取值构成的集合； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一次方程以及二次方程的判别式即可求解， （2）对进行讨论，即可结合（1）的结论以及韦达定理求解. 【详解】（1）对于， 当，即时，方程为，则，集合中只有一个元素，满足题意； 当时，方程为关于的一元二次方程， 由题意知，该方程有两个相等的实根， 所以， 解得或. 所以实数的取值构成的集合为. （2）由题意可知，，若，则分以下几种情况讨论： ①当时，，即. ②当集合中只有一个元素时，由（1）知， 当时，，，； 当时，，，，； 当时，，，，. ③当集合中有两个元素时， 因为，所以，即， 即关于的方程的两根分别为1，2， 所以，无解. 综上所述，实数的取值范围是. 34．（25-26高一上·山西太原·阶段检测）已知. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)1 (2)或 【分析】（1）先求出集合，再由分析出，由一元二次方程根与系数的关系即可求出的值； （2）若，分析出集合有四种情况，即或或或，结合一元二次方程的判别式及根与系数的关系，即可求出的取值范围. 【详解】（1）因为，解得或，所以. 因为，所以， 所以-4和0是方程的两个根， 由韦达定理可得，解得， 所以实数的值是1； （2）若，则或或或. 当时， ，解得； 当时，，即， 此方程组无解，值不存在； 当时，，即，解得； 当时，由（1）知. 综上，可知实数的取值范围或. 考点七　空集的相关问题 35．（25-26高一上·安徽·期中）下列说法错误的是（   ） A．由1，2，3组成的集合可表示为或 B．空集是集合的子集 C．代数式的值组成的集合是 D．集合与集合是同一个集合 【答案】D 【分析】根据集合中元素的无序性判断A，根据空集的性质判断B，分类讨论判断C，根据集合中元素判断D. 【详解】集合元素无序，和表示同一个集合，A对； 空集是任何非空集合的子集，B对； 当时，；当或时，； 当时，，C对； 是点集，是数集，D错． 故选：D 36．（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）（多选）下列命题中，是真命题的有（   ） A．有理数集可以表示为 B．若（其中），则 C． D． 【答案】BC 【分析】举反例判断A；根据集合相等求解判断B；根据空集是任何集合的子集判断C；根据数集关系判断D. 【详解】对于A，是有理数，而，A为假命题； 对于B，由，得，则，B为真命题； 对于C，方程的解为，集合是非空集合， 则，C为真命题； 对于D，，则，D为假命题. 故选：BC 37．（25-26高一上·广东·阶段检测）记集合，. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件，列不等式求的范围； （2）分，两种情况，结合条件列不等式求的范围； 【详解】（1）由，得，解得或， 故的取值范围是. （2）当时题设显然成立，此时有，解得； 当时，有，解得或. 综上的取值范围是. 38．（25-26高一上·天津·阶段检测）下列关系中：①，②，③，④正确的序号__________. 【答案】①② 【分析】根据元素和集合之间的关系、集合与集合的关系逐项分析判断即可. 【详解】对于①：因为0是的元素，所以，故①正确； 对于②：因为空集是任何集合的子集，所以，故②正确； 对于③：因为集合的元素为0，1，集合的元素为， 两个集合的元素完全不同，所以之间不存在包含关系，故③错误； 对于④：因为集合的元素为，集合的元素为， 两个集合的元素不一定相同，所以不一定相等，故④错误； 故答案为：①②. 课后强化练 1．（2026·湖南·模拟预测）若集合，则的子集个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【详解】因为集合，所以的子集个数为． 2．（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）已知集合，则集合A的所有真子集的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】因为集合A的元素的个数为，故集合A的所有真子集的个数为. 3．（2026·湖南长沙·二模）已知集合，，则M与N的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知集合， 因为任何数的平方都大于等于0，要使成立，则必须满足， 即，，所以集合，集合M中的元素是一个点. 集合，集合N中的元素是两个数0和1. 所以集合M与集合N没有公共元素，即. 4．（2026·贵州遵义·模拟预测）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】集合A为所有奇数组成的集合，集合B为所有整数组成的集合，故A是B的子集. 【详解】， ， 集合A为所有奇数组成的集合，集合B为所有整数组成的集合，故A是B的子集. 故选：A 5．（25-26高一上·江苏泰州·期末）设集合，，若，则的值为（） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】首先由知两集合元素完全相同，而，故必属于，从而、、中必有一个等于，结合互异性排除后，分与两类讨论，每一类下将表达为具体元素，并与逐项对照，利用元素相等关系及互异性消去变量、检验合理性，最终得出符合所有条件的实数对. 【详解】由题意，根据集合元素的互异性可知，，因为，所以， 又因为，所以或， 若，则，此时，， 因为，所以，解得，此时，，满足题意； 若，则，此时，， 因为，所以，即，又因为且，所以此种情况无解； 综上所述，， 所以. 故选：B 6．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空集的定义和相关性质逐项分析判断即可. 【详解】因为空集不含任何元素，且空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 所以，，，不是的子集，故ABD错误，C正确； 故选：C. 7．（2026·河南·一模）已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】，则集合中元素都在集合中， 若，解得，则集合有两个2，不符合集合中元素的互异性，舍去； 若，方程无解； 由题意知，则必有， 此时，若，则，方程无实数根， ，则或， 当时，，此时； 当时，，此时； 综上可得，． 8．（25-26高二下·湖南衡阳·期中）（多选）已知集合，，若，则a的取值可以是（   ） A． B．0 C．2 D． 【答案】BC 【分析】由集合子集的关系和元素互异性求解. 【详解】因为，又，， 所以或， 解得或或， 当时，，，满足要求， 当时，，，满足要求， 当时，，与元素互异性矛盾，不满足要求, 所以或2. 9．（25-26高一上·浙江杭州·期中）（多选）已知集合，，若，则符合条件的实数的值可能为（   ） A． B． C． D．0 【答案】ABD 【分析】讨论集合中的参数和，再利用子集关系求解. 【详解】由，可知. 当时，，此时，满足条件. 当时，，则有或， 解得或. 10．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）（多选）已知非空集合，且，则的值可以是（    ） A．4 B．3 C．－3 D．0 【答案】BCD 【分析】根据题意，分或或，三种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解． 【详解】因为非空集合，则或或， 当时，可得且，解得，则； 当时，可得且，解得，则； 当时，可得，解得，则， 综上可得，的值可以是3或－3或0． 故选：BCD． 11．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）已知，，集合，，则集合可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由集合子集定义验证各选项即可得答案. 【详解】A选项，若集合，则满足，A正确； B选项，若集合，则满足，B正确； C选项，若集合，则满足，但不是的子集，C错误； D选项，若集合，则满足，但不是的子集，D错误． 故选：AB 12．（2026高一上·全国·专题练习）已知集合满足，则符合条件的集合个数有______个 【答案】7 【分析】由子集及真子集的概念，可转化为求集合真子集的个数即可得解. 【详解】因为， 所以中含有元素， 故符合条件的集合个数相当于求集合的真子集个数， 故有个， 故答案为：7 13．（2026高三·全国·专题练习）设，，其中，若，则________． 【答案】1 【分析】由集合元素互异性、和集合相等的概念，分类讨论求解. 【详解】，由元素互异性得：，且． ，由元素互异性得：． 若集合中，则，此时，， 由得，所以，此时，符合要求； 若集合中，则，此时， ，这与矛盾，故这种情况不成立， 综上可知，，故． 14．（25-26高一上·河南周口·期末）已知全集，，. (1)当时，求； (2)若，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合，再根据交集的概念即可求出； （2）分和两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，，， 根据交集的概念可得 （2）当，即时，，满足； 当，即时，，解得，故， 综上，m的取值范围为. 15．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用集合间的关系，计算参数范围即可； （2）利用集合间的关系，分类讨论计算参数范围即可 【详解】（1）当时，如图，此时． 则，即，因此的取值范围为． （2）当时，如图， 此时，解得，此时无解； 当时，由，解得． 综上可得：的取值范围为． 16．（2026高一上·江苏·专题练习）设全集，集合，非空集合. (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据A是B的真子集，即可解出； （2）根据B是A的子集，即可解出. 【详解】（1）因为A是B的真子集， 则，等号不能同时取到， 所以； （2）因为B是A的子集， 因为，则，又， 所以. 17．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）设集合，. (1)若集合B中有两个大于0的元素，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)实数a的取值范围为 (2)实数a的取值范围为 【分析】（1）由题意可得有两个不等正根，由根与系数的关系求解即可； （2）由题意可得或或或；分类讨论求解即可. 【详解】（1）因为集合B中有两个大于0的元素，所以有两个不等正根， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为； （2）由，可得，解得或， 因为，所以或或或； 当时，，解得； 当时，，无解，故舍去； 当时，，解得； 当时，，无解，故舍去； 综上所述：实数a的取值范围为. 18．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知集合，． (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据，代入即可求得a值. （2）由题意，分别讨论、、和四种情况，分别求得a值，分析即可得答案. 【详解】（1）由，代入可得，解得. （2）由，解得或4，即集合， 因为， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得，不成立； 当时，，解得. 综上，实数a的取值为范围为或， 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $