集合间的基本关系预习讲义-2026年新高一数学暑假人教A版必修第一册

暑假预习讲义-------专题1.2 集合间的基本关系 一、教学目标 1. 理解集合包含关系与集合相等的定义，清晰认知集合与集合之间的基本关系； 2. 掌握子集、真子集的概念，能够准确区分二者的区别与联系； 3. 熟练运用韦恩（Venn）图可视化表示集合间的关系，培养数形结合解题思维； 4. 掌握空集的定义与核心性质，熟记空集在集合关系中的特殊规则。 二、教学重难点 1. 教学重点 集合包含关系、相等关系的判定；子集与真子集的概念辨析及实际应用。 2. 教学难点 区分元素与集合的属于关系和集合与集合的包含关系，突破易混易错知识点。 三、核心知识点精讲 知识点01 集合的包含与相等关系 1. 子集（包含关系） 对于两个集合A、B，如果集合A当中的任意一个元素，都属于集合B，那么就称集合A是集合B的子集，也称集合B包含集合A。 符号表示：（读作：A包含于B），等价表示为（读作：B包含A）。 逻辑本质：若，则任意，均可推出。 若集合A不是集合B的子集，记作或，读作“A不包含于B”或“B不包含A”。 2. 集合相等 若两个集合A、B互相包含，即同时满足且，说明两个集合的元素完全相同，此时称集合A与集合B相等。 符号表示：（读作：A等于B）。 核心结论 任何一个集合都是它自身的子集，即对任意集合A，恒有。 即学即练 1. 已知集合，，若，则实数的值为（） A. 2 B. 4 C. 2或4 D. 3或4 2. 已知集合，，若，则的取值范围是（） A. B. C. D. 知识点02 真子集 若集合A满足，且存在元素属于B但不属于A，则称集合A为集合B的真子集。 符号表示：（读作：A真包含于B），等价于（读作：B真包含A）。 概念辨析：子集允许两个集合完全相等，而真子集要求两个集合一定不相等，且小集合元素全部包含于大集合，大集合存在独有元素。 即学即练 1. 已知集合，则集合A的真子集个数为______。 2. 已知集合，则集合M的所有真子集个数为（） A. 7 B. 4 C. 8 D. 15 知识点03 空集 不含任何元素的集合称为空集，记作。空集是集合体系中特殊的基础集合，拥有专属核心性质。 核心性质 1. 空集是任意集合的子集，即对任意集合A，恒有； 2. 空集是任意非空集合的真子集，即若，则； 3. 包含关系具有传递性：若且，则；真子集同理可传递； 4. 有限集合子集个数公式：若一个集合含有个元素： 子集总个数：；真子集总个数：； 非空子集总个数：；非空真子集总个数：。 特殊规定：空集含0个元素，子集个数为1，无真子集。 即学即练 1. 下列命题正确的是（） A. 任意集合都有两个及以上子集 B. 空集是自身的真子集 C. D. 则A必为B的真子集 2. 若集合，则实数的取值为______。 四、高频题型精讲 题型01 子集、真子集个数计算 解题思路：先化简集合，统计集合内有效元素个数，代入对应公式求解，解题时切勿遗漏空集和集合本身这两类特殊子集。 典例1 已知集合，，则集合B的子集个数为（） 变式训练 1. 满足的集合N的个数为（） A. 4 B. 8 C. 16 D. 7 题型02 韦恩（Venn）图的应用 解题思路：韦恩图可直观反映集合关系：真包含关系表现为小区域完全嵌套于大区域内部；集合相等表现为两个区域完全重合；无包含关系表现为两个区域相互独立、仅有部分相交或完全分离。 典例1 请判断集合与的关系，并对应韦恩图形态。 变式训练 已知全集，集合，，判断两集合关系。 题型03 由集合关系求参数范围（重难点） 通用解题步骤 1. 化简题干集合，整理为标准区间或列举形式； 2. 分类讨论：优先讨论子集为空集的特殊情况，再分析非空集合情况； 3. 数形结合：利用数轴标注区间，严格区分端点实心（可取等）、空心（不可取等）； 4. 列不等式组求解，最终验证集合元素互异性，剔除无效解。 典例1 已知，，若，求实数的取值范围。 题型04 集合相等的判定与参数求解 核心依据：两个集合相等的充要条件是互相包含，即。解题必须验证集合元素互异性，杜绝重复元素。 典例1 已知，，且，求的值。 题型05 空集性质专项应用 易错提醒：含参数的方程、不等式集合问题，必须优先讨论空集情况，空集是所有集合的子集，极易遗漏失分。 典例1 若集合，求实数的取值范围。 【基础巩固选择题】 1. 下列关系表述正确的是（） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则两集合的关系为（） A. B. C. D. 3. 集合的子集个数为（） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 4. 满足的集合A的个数为（） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 5. 下列两个集合相等的是（） A. B. C. D. 6. 已知，则实数的值为（） A. 0 B. 1 C. -1 D. 2 7. 若，则下列关系一定成立的是（） A. B. C. D. 8. 集合的非空真子集个数为（） A. 14 B. 15 C. 16 D. 30 【能力提升填空题】 9. 集合，，则两集合的包含关系为________。 10. 已知，，若，则________。 11. 已知，，若，则的取值范围是________。 12. 空集与集合的关系为________。 13. 若集合，则集合A的所有真子集个数为________。 14. 已知，且A中至少含有一个奇数，则满足条件的集合A的个数为________。 【综合解答题】 15. 已知集合，。若，求实数的取值范围。 16. 已知集合，，且，求实数的所有取值。 17. 已知集合，若，求实数的取值范围。 18. 已知集合，，若，求的值，并写出集合B的所有子集。 【易错专项训练】 19. 判断下列命题正误： ① ② ③ ④ 20. 已知，，判断两集合关系。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假预习讲义-------专题1.2 集合间的基本关系 一、教学目标 1. 理解集合包含关系与集合相等的定义，清晰认知集合与集合之间的基本关系； 2. 掌握子集、真子集的概念，能够准确区分二者的区别与联系； 3. 熟练运用韦恩（Venn）图可视化表示集合间的关系，培养数形结合解题思维； 4. 掌握空集的定义与核心性质，熟记空集在集合关系中的特殊规则。 二、教学重难点 1. 教学重点 集合包含关系、相等关系的判定；子集与真子集的概念辨析及实际应用。 2. 教学难点 区分元素与集合的属于关系和集合与集合的包含关系，突破易混易错知识点。 三、核心知识点精讲 知识点01 集合的包含与相等关系 1. 子集（包含关系） 对于两个集合A、B，如果集合A当中的任意一个元素，都属于集合B，那么就称集合A是集合B的子集，也称集合B包含集合A。 符号表示：（读作：A包含于B），等价表示为（读作：B包含A）。 逻辑本质：若，则任意，均可推出。 若集合A不是集合B的子集，记作或，读作“A不包含于B”或“B不包含A”。 2. 集合相等 若两个集合A、B互相包含，即同时满足且，说明两个集合的元素完全相同，此时称集合A与集合B相等。 符号表示：（读作：A等于B）。 核心结论 任何一个集合都是它自身的子集，即对任意集合A，恒有。 即学即练 1. 已知集合，，若，则实数的值为（） A. 2 B. 4 C. 2或4 D. 3或4 答案：B 解析：由子集定义可知，集合A的所有元素必须全部属于集合B。A中元素为2、4，B中已有2、3，因此。根据集合元素互异性，不能取2、3，故唯一取值为4。 2. 已知集合，，若，则的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：A 解析：要满足，需保证集合B的区间完全覆盖集合A的区间，列不等式组：，解得，即取值范围为。 知识点02 真子集 若集合A满足，且存在元素属于B但不属于A，则称集合A为集合B的真子集。 符号表示：（读作：A真包含于B），等价于（读作：B真包含A）。 概念辨析：子集允许两个集合完全相等，而真子集要求两个集合一定不相等，且小集合元素全部包含于大集合，大集合存在独有元素。 即学即练 1. 已知集合，则集合A的真子集个数为______。 答案：7 解析：代入取值计算：时，时，时，即，共3个元素。根据公式，真子集个数为。 2. 已知集合，则集合M的所有真子集个数为（） A. 7 B. 4 C. 8 D. 15 答案：A 解析：因式分解解方程得，即，含有3个元素。真子集个数为。 知识点03 空集 不含任何元素的集合称为空集，记作。空集是集合体系中特殊的基础集合，拥有专属核心性质。 核心性质 1. 空集是任意集合的子集，即对任意集合A，恒有； 2. 空集是任意非空集合的真子集，即若，则； 3. 包含关系具有传递性：若且，则；真子集同理可传递； 4. 有限集合子集个数公式：若一个集合含有个元素： 子集总个数：；真子集总个数：； 非空子集总个数：；非空真子集总个数：。 特殊规定：空集含0个元素，子集个数为1，无真子集。 即学即练 1. 下列命题正确的是（） A. 任意集合都有两个及以上子集 B. 空集是自身的真子集 C. D. 则A必为B的真子集 答案：C 解析：A错误，空集仅有1个子集；B错误，空集不是任何集合的真子集（包含自身）；C正确，符合子集传递性；D错误，当时，A是B的子集而非真子集。 2. 若集合，则实数的取值为______。 答案： 解析：集合为空集，说明对应方程无实数解。当时，方程化为，无实数解，集合为空集；当时，方程有唯一解，集合非空。故。 四、高频题型精讲 题型01 子集、真子集个数计算 解题思路：先化简集合，统计集合内有效元素个数，代入对应公式求解，解题时切勿遗漏空集和集合本身这两类特殊子集。 典例1 已知集合，，则集合B的子集个数为（） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 答案：A 解析：化简集合得，共2个元素，代入公式得子集个数为。 变式训练 1. 满足的集合N的个数为（） A. 4 B. 8 C. 16 D. 7 答案：B 解析：集合N必须包含元素2，剩余5、7、9三个元素可自由选择是否纳入集合，可变元素共3个，因此集合个数为。 题型02 韦恩（Venn）图的应用 解题思路：韦恩图可直观反映集合关系：真包含关系表现为小区域完全嵌套于大区域内部；集合相等表现为两个区域完全重合；无包含关系表现为两个区域相互独立、仅有部分相交或完全分离。 典例1 请判断集合与的关系，并对应韦恩图形态。 解析：所有奇数都属于整数，存在整数（偶数）不属于奇数，因此，韦恩图中代表奇数的区域完全包含在整数区域内部。 变式训练 已知全集，集合，，判断两集合关系。 解析：化简得，因此，Q是P的真子集。 题型03 由集合关系求参数范围（重难点） 通用解题步骤 1. 化简题干集合，整理为标准区间或列举形式； 2. 分类讨论：优先讨论子集为空集的特殊情况，再分析非空集合情况； 3. 数形结合：利用数轴标注区间，严格区分端点实心（可取等）、空心（不可取等）； 4. 列不等式组求解，最终验证集合元素互异性，剔除无效解。 典例1 已知，，若，求实数的取值范围。 答案： 解析：B为非空数集，由可得不等式组：，解得。 题型04 集合相等的判定与参数求解 核心依据：两个集合相等的充要条件是互相包含，即。解题必须验证集合元素互异性，杜绝重复元素。 典例1 已知，，且，求的值。 答案： 解析：由集合互异性可知，根据集合相等元素完全一致，可得（舍去）或不成立，唯一有效解为，代入验证得，无重复元素，符合题意。 题型05 空集性质专项应用 易错提醒：含参数的方程、不等式集合问题，必须优先讨论空集情况，空集是所有集合的子集，极易遗漏失分。 典例1 若集合，求实数的取值范围。 答案： 解析：集合为空集，说明一元二次方程无实数根，判别式，解得。 【基础巩固选择题】 1. 下列关系表述正确的是（） A. B. C. D. 答案：B 解析：A错误，是元素，用；B正确，空集是任意非空集合的真子集；C错误，空集不含任何元素；D错误，空集无元素，含一个元素。 2. 已知集合，，则两集合的关系为（） A. B. C. D. 答案：A 解析：A中所有元素均在B中，且B含有独有元素7，故A是B的真子集。 3. 集合的子集个数为（） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 答案：B 解析：化简，共3个元素，子集个数。 4. 满足的集合A的个数为（） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 答案：B 解析：A必含1、3，剩余2、4、5三个元素可选，集合个数。 5. 下列两个集合相等的是（） A. B. C. D. 答案：A 解析：集合具有无序性，A两集合元素完全相同；B为不同点坐标；C区间范围不同；D一个含元素、一个为空集。 6. 已知，则实数的值为（） A. 0 B. 1 C. -1 D. 2 答案：A 解析：集合为空集即方程无解，时方程无解，集合为空集。 7. 若，则下列关系一定成立的是（） A. B. C. D. 答案：B 解析：包含关系具有传递性，，允许，故不一定是真子集。 8. 集合的非空真子集个数为（） A. 14 B. 15 C. 16 D. 30 答案：A 解析：4个元素，非空真子集个数。 【能力提升填空题】 9. 集合，，则两集合的包含关系为________。 答案： 解析：B为除以4余1的整数，A为全体奇数，B的元素全部属于A，A存在元素不属于B，故B是A的真子集。 10. 已知，，若，则________。 答案：3 解析：由子集定义，B中元素3必须在A中，故，符合集合互异性。 11. 已知，，若，则的取值范围是________。 答案： 解析：数轴分析，B区间需完全覆盖A，右端点满足。 12. 空集与集合的关系为________。 答案： 解析：是非空集合，空集是任意非空集合的真子集。 13. 若集合，则集合A的所有真子集个数为________。 答案：3 解析：，2个元素，真子集个数。 14. 已知，且A中至少含有一个奇数，则满足条件的集合A的个数为________。 答案：7 解析：总子集8个，减去空集1个，剩余7个均满足含奇数条件。 【综合解答题】 15. 已知集合，。若，求实数的取值范围。 答案： 解析：由列不等式组： ，解得。 16. 已知集合，，且，求实数的所有取值。 答案： 解析：由真子集定义，或。 解得或，全部满足集合互异性，均有效。 17. 已知集合，若，求实数的取值范围。 答案： 解析：集合为空集，一元二次方程无实根，，解得。 18. 已知集合，，若，求的值，并写出集合B的所有子集。 答案：；子集为 解析：集合相等则元素完全一致，故。集合含3个元素，共8个子集，包含空集与集合本身。 【易错专项训练】 19. 判断下列命题正误： ① ② ③ ④ 答案：①正确；②③④错误 解析：空集是自身子集但不是真子集；元素与集合用，集合与集合用。 20. 已知，，判断两集合关系。 答案： 解析：化简，所有元素均在M中，M存在无数元素不在N中，故N为M的真子集。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $