1.1 集合的概念（新高一暑假预习）高一数学人教A版必修第一册

1.1 集合的概念 知识清单 知识点1：元素与集合的基本概念 1．元素：一般地，我们把研究对象统称为元素．元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示． 【注意】研究对象可以是数、点、代数式，也可以是现实生活中各种各样的事物或人等． 知识点2：集合中元素的特征 1．集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性． 2．集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的． 【注意】集合中的元素必须是确定的，不能是模棱两可的，任何两个元素不能相同，且与顺序无关． (1)判断一组对象能否构成集合，关键是能否满足确定性、互异性． (2)若两个集合相等，则这两个集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等．求解中注意检验集合中元素的互异性． 知识点3：元素与集合的关系 1．元素和集合之间的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A的元素 a∈A a属于集合A 不属于 如果a不是集合A中的元素 a∉A a不属于集合A 2．常用数集及其记法 名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 【注意】0是自然数，0∈N． 知识点4：列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注意】(1)列举法表示集合，元素与元素之间用“，”隔开． (2)这里集合的“{　}”已包含所有的意思，比如{整数}，即代表整数集Z，而不能用{全体整数}，即不能出现“全体”“所有“等字眼． 知识点5：描述法 [新知生成]　一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． 【注意】(1)写清该集合中元素的代表符号，如{x|x>1}不能写成{x>1}． (2)语言简明、准确，不能出现未被说明的字母，如{x∈Z|x＝2m}中m未被说明，故此集合中的元素是不确定的． (3)所有描述的内容都要写在花括号内，如”{x∈Z|x＝2m}，m∈N*“不符合要求，应将”m∈N*“写进”{　}“中，即{x∈Z|x＝2m，m∈N*}． (4)元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若x∈R是明确的，则x∈R可省略不写，如集合D＝{x∈R|x<20}也可表示为D＝{x|x<20}． 考点汇总 考点一　判断元素能否构成集合 考点二　常用数集或数集关系应用 考点三　列举法表示集合 考点四　描述法表示集合 考点五　判断元素与集合的关系 考点六　根据元素与集合的关系求参数 考点七　判断是否为同一集合 考点八　求集合中元素的个数 考点九　根据集合中元素的个数求参数 考点十　集合元素互异性的应用 考点突破练 考点一　判断元素能否构成集合 1．（25-26高一·江苏·寒假作业）下列各组对象能组成集合的是（    ） A．深圳中学高中园2026级羽毛球打得好的学生 B．深圳中学高中园2026级幽默的学生 C．深圳中学高中园2026级所有女生 D．深圳中学高中园2026级学生感兴趣的学科 2．（25-26高一上·重庆·阶段检测）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．2026年重庆市高考数学全国II卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 3．（25-26高一上·贵州·期中）下列能够构成一个集合的是（    ） A．不超过9的所有正整数 B．高中数学书上的难题 C．与2接近的数 D．高一学生中的篮球高手 4．（25-26高一上·福建莆田·期中）下列各组对象不能构成集合的是（ ） A．中国古代四大发明 B．小于5的正整数 C．关于方程的实数解 D．中国著名的数学家 考点二　常用数集或数集关系应用 5．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）下列关系中①，②.③，④.正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26高一上·广东广州·期中）（多选）下列表示不正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·天津河北·期中）下列选项中描述正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·天津东丽·阶段检测）下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 考点三　列举法表示集合 9．（2026高三·全国·专题练习）方程组的解集为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一下·上海杨浦·期中）小于的正整数的集合用列举法表示为__________． 11．（25-26高一上·全国·课堂例题）用列举法表示下列给定的集合： (1)大于1且小于6的整数组成的集合A； (2)既是质数又是偶数的整数组成的集合； (3)一次函数与的图象的交点组成的集合C； (4)中华人民共和国国旗的颜色名称的集合. 12．（2026高一·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于小于12.8的整数的全体； (3)梯形的全体构成的集合； (4)所有能被3整除的数的集合； 13．（25-26高一下·安徽六安·阶段检测）下列集合表示正确的是（ ） A． B． C． D． 14．（25-26高一上·云南大理·阶段检测）下列命题中正确的是（   ） A．与表示同一个集合 B．集合和表示同一个集合 C．由组成的集合可表示为 D．接近于的所有实数可以构成集合 考点四　描述法表示集合 15．（25-26高二下·湖南永州·期中）不小于2的所有整数构成的集合可表示为（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高一上·天津·阶段检测）下列集合的表示法正确的是（   ） A．自然数集可表示为 B．由、、、、构成的集合是 C．满足的构成的集合是 D．二次函数上的所有点的坐标构成的集合是 17．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）用适当的方法表示下列集合： (1)方程的所有实数根组成的集合； (2)由大于且小于的所有整数组成的集合； (3)所有能被整除且大于的整数组成的集合. 18．（25-26高一上·全国·课后作业）用适当的方法表示下列集合： (1)方程的解集； (2)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (3)被5除余3的正整数组成的集合； (4)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 19．（25-26高一上·河北唐山·期中）下列与集合表示同一集合的是（   ） A． B． C． D． 20．（25-26高一上·重庆·阶段检测）集合，集合A用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 考点五　判断元素与集合的关系 21．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知元素，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 22．（2026·河南·模拟预测）已知集合，则（     ） A． B． C． D． 23．（25-26高一上·广西河池·期中）已知集合，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 24．（25-26高三下·广东江门·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 考点六　根据元素与集合的关系求参数 25．（25-26高二下·重庆·期中）已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 26．（2026高一·全国·专题练习）设，集合，若，，则满足条件的组成的集合为（    ） A． B． C． D． 27．（25-26高三上·山西吕梁·期末）已知集合，，则__________． 28．（25-26高一上·河南商丘·期末）已知，则实数的值是（   ） A． B．1 C．0 D．或1 考点七　判断是否为同一集合 29．（25-26高一上·山东济南·期中）下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 30．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）（多选）下列集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 31．（25-26高一上·陕西安康·阶段检测）下列各组中的、表示同一集合的是（    ） ①； ②； ③； ④ A．① B．② C．③ D．④ 32．（25-26高一上·四川遂宁·阶段检测）（多选）下列四个命题中不正确的是（    ） A．集合用列举法表示为 B．若，则 C．方程组的解组成的集合为 D．集合与是同一个集合 考点八　求集合中元素的个数 33．（25-26高一上·云南文山·期末）由单词“deepseek”中的字母作为集合中的元素，则集合中的元素共有__________个. 34．（25-26高三下·江苏扬州·开学考试）已知集合，则中元素的个数是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 35．（25-26高一上·江西赣州·期末）集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 36．（25-26高一上·贵州·期中）已知集合，．则集合中的元素个数是（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 37．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 38．（25-26高一上·江苏·阶段检测）已知集合，则中元素的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 考点九　根据集合中元素的个数求参数 39．（2026·湖北孝感·二模）如果集合只有一个元素，则实数的值是（   ） A．0或4 B．4 C．0或 D．0 40．（25-26高一上·河南·期末）已知为实数，集合中有且仅有一个元素，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 41．（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知且，且，则：若有且只有2个元素，则集合的个数是________． 42．（25-26高一上·江西九江·阶段检测）集合，若集合中恰有5个元素，则（   ） A． B． C． D． 43．（25-26高一下·广东江门·阶段检测）已知集合，，则的元素个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 考点十　集合元素互异性的应用 44．（25-26高一上·山西大同·期中）下列命题中正确的是（   ） A．方程的解的集合为 B．很小的正整数可以构成集合 C．若，，则 D．不大于4的自然数组成的集合中的所有元素为1，2，3，4 45．（25-26高一上·河北·期中）下列四个结论中，正确的个数是（   ） ①集合中最小的数是1；②，，则的最小值是2；③，则；④的解集可表示为 A．0 B．1 C．2 D．3 46．（25-26高一上·湖北荆州·阶段检测）（多选）下列说法中正确的是（    ） A．若集合由方程和方程的所有实数根组成，则 B．若集合由“”中的字母构成，则中有个元素 C．一个集合中有三个元素，，，其中，，是的三边长，则不可能是等边三角形 D．若集合由不等式的所有整数解组成，则 47．（25-26高一上·浙江温州·期末）已知，则（   ） A．0或1 B．或1 C．或0 D．1 48．（25-26高一上·重庆·期中）已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 课后强化练 1．（25-26高一上·山东济南·期中）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．班级里成绩好的同学 B．校园里漂亮的花朵 C．小于5的正整数 D．喜欢运动的人 2．（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）下列说法中正确的是（    ） A．0与表示同一个集合 B．方程的解集为 C．集合可以用列举法表示 D．集合与是两个相同的集合 3．（25-26高一下·甘肃兰州·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·广东河源·期末）设集合A是方程的解集，且，则实数a的值为（   ） A． B． C．1 D．4 5．（25-26高一上·辽宁辽阳·期中）若，则（    ） A． B．1 C．或1 D．或2 6．（2026高一·全国·专题练习）已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）（多选）下列集合的表示错误的是（   ） A． B．全体实数 C． D．不等式的解集为 8．（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）（多选）下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·江苏宿迁·阶段检测）（多选）下面四个说法中正确的是（    ） A．10以内的质数组成的集合是 B．由2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解组成的集合是 D．0与表示同一个集合 10．（25-26高一上·上海·期中）集合用列举法表示为________． 11．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，若且，则___________ 12．（2026·上海嘉定·二模）已知集合，且，则___________． 13．（25-26高二下·上海奉贤·阶段检测）集合中，实数的取值范围为______. 14．（25-26高一上·安徽·阶段检测）用适当的方法表示下列集合： (1)大于且小于10的偶数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)被3除余2的正整数组成的集合； (4)将抛物线沿轴向下平移一个单位长度后得到的抛物线上所有点组成的集合． 15．（25-26高一上·河南信阳·开学考试）用适当的方法表示下列集合： (1)大于0且不超过6的全体偶数组成的集合； (2)被3除余1的所有自然数组成的集合； (3)平面直角坐标系上第二象限的点组成的集合. 16．（2026高一上·全国·专题练习）已知集合含有三个元素分别是，，若，求实数的值． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 集合的概念 知识清单 知识点1：元素与集合的基本概念 1．元素：一般地，我们把研究对象统称为元素．元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示． 【注意】研究对象可以是数、点、代数式，也可以是现实生活中各种各样的事物或人等． 知识点2：集合中元素的特征 1．集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性． 2．集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的． 【注意】集合中的元素必须是确定的，不能是模棱两可的，任何两个元素不能相同，且与顺序无关． (1)判断一组对象能否构成集合，关键是能否满足确定性、互异性． (2)若两个集合相等，则这两个集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等．求解中注意检验集合中元素的互异性． 知识点3：元素与集合的关系 1．元素和集合之间的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A的元素 a∈A a属于集合A 不属于 如果a不是集合A中的元素 a∉A a不属于集合A 2．常用数集及其记法 名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 【注意】0是自然数，0∈N． 知识点4：列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注意】(1)列举法表示集合，元素与元素之间用“，”隔开． (2)这里集合的“{　}”已包含所有的意思，比如{整数}，即代表整数集Z，而不能用{全体整数}，即不能出现“全体”“所有“等字眼． 知识点5：描述法 [新知生成]　一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． 【注意】(1)写清该集合中元素的代表符号，如{x|x>1}不能写成{x>1}． (2)语言简明、准确，不能出现未被说明的字母，如{x∈Z|x＝2m}中m未被说明，故此集合中的元素是不确定的． (3)所有描述的内容都要写在花括号内，如”{x∈Z|x＝2m}，m∈N*“不符合要求，应将”m∈N*“写进”{　}“中，即{x∈Z|x＝2m，m∈N*}． (4)元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若x∈R是明确的，则x∈R可省略不写，如集合D＝{x∈R|x<20}也可表示为D＝{x|x<20}． 考点汇总 考点一　判断元素能否构成集合 考点二　常用数集或数集关系应用 考点三　列举法表示集合 考点四　描述法表示集合 考点五　判断元素与集合的关系 考点六　根据元素与集合的关系求参数 考点七　判断是否为同一集合 考点八　求集合中元素的个数 考点九　根据集合中元素的个数求参数 考点十　集合元素互异性的应用 考点突破练 考点一　判断元素能否构成集合 1．（25-26高一·江苏·寒假作业）下列各组对象能组成集合的是（    ） A．深圳中学高中园2026级羽毛球打得好的学生 B．深圳中学高中园2026级幽默的学生 C．深圳中学高中园2026级所有女生 D．深圳中学高中园2026级学生感兴趣的学科 【答案】C 【分析】根据集合元素的特点判断即可． 【详解】对于ABD，羽毛球打得好，幽默的学生，学生感兴趣的学科， 都没有一个标准，对象不确定，故ABD错误； 对于C，2026级所有女生是确定的，可以组成集合，故C正确． 故选：C． 2．（25-26高一上·重庆·阶段检测）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．2026年重庆市高考数学全国II卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 【答案】C 【分析】根据集合的概念逐项分析即可得结论. 【详解】对于A，“难题”是不确定的概念，所以“2026年重庆市高考数学全国II卷中的难题”不能构成集合，故A不符合； 对于B，“身高较高”不确定的概念，所以“重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生”不能构成集合，故B不符合； 对于C，“人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题”能确定元素是否在给定的整体里面，所以这个整体能够构成集合，故C符合； 对于D，“美丽的”是不确定的概念，所以“美丽的小鸟”不能构成集合，故D不符合. 故选：C. 3．（25-26高一上·贵州·期中）下列能够构成一个集合的是（    ） A．不超过9的所有正整数 B．高中数学书上的难题 C．与2接近的数 D．高一学生中的篮球高手 【答案】A 【分析】由集合元素的确定性即可判断. 【详解】对于A：符合集合元素的确定性，正确； 对于BCD，都不符合集合元素的确定性，错误， 故选：A 4．（25-26高一上·福建莆田·期中）下列各组对象不能构成集合的是（ ） A．中国古代四大发明 B．小于5的正整数 C．关于方程的实数解 D．中国著名的数学家 【答案】D 【分析】根据集合的意义，逐项判断即可. 【详解】对于A，中国古代四大发明可以明确可知，故可以构成集合； 对于B，小于5的正整数明确可知，可以构成集合； 对于C，关于方程的实数解有明确的解，可以构成集合； 对于D，中国著名的数学家，对著名没有明确的标准，不可以构成集合. 故选：D. 考点二　常用数集或数集关系应用 5．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）下列关系中①，②.③，④.正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据常用数集的概念进行判断即可. 【详解】对于①，是有理数，但不是整数，故①错误； 对于②，是无理数，不是有理数，故②正确； 对于③，0是自然数，所以不成立，故③错误； 对于④，是无理数，也是实数，故④正确； 故正确的个数为2. 故选：B. 6．（25-26高一上·广东广州·期中）（多选）下列表示不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由元素和集合的关系依次判断各选项即可. 【详解】，故A错误；，故B正确；，故C正确；，故D错误. 故选：AD. 7．（25-26高一上·天津河北·期中）下列选项中描述正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据各符号表示的集合的意义做出判定. 【详解】选项 A： 是圆周率 （无理数）的相反数，仍为无理数，但属于实数集 （实数包括所有有理数和无理数）.因此 ，故A错误； 选项 B： 表示有理数集，定义为可以表示为两个整数之比（分母非零）的数. 中，3 和 7 均为整数，且分母非零，因此属于有理数集.故B正确； 选项 C： 表示整数集，包括正整数、负整数和零, 是无理数，不是整数.因此 ，故C错误； 选项 D： 表示自然数集，在高中数学中通常定义为非负整数集（即 0,1, 2, 3, …），不包括负数.因此 ，故D错误. 故选：B. 8．（25-26高一上·天津东丽·阶段检测）下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据常用数集、元素与集合间的关系逐项判断即可. 【详解】由于表示有理数集，表示实数集，表示自然数集，表示整数集， 所以，，，. 故选：D 考点三　列举法表示集合 9．（2026高三·全国·专题练习）方程组的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得，代入, 可得，解得，所以， 所以方程组的解集为. 10．（25-26高一下·上海杨浦·期中）小于的正整数的集合用列举法表示为__________． 【答案】 【分析】根据题意结合列举法即可得结果. 【详解】因为， 所以小于的正整数只有．故所求集合为 11．（25-26高一上·全国·课堂例题）用列举法表示下列给定的集合： (1)大于1且小于6的整数组成的集合A； (2)既是质数又是偶数的整数组成的集合； (3)一次函数与的图象的交点组成的集合C； (4)中华人民共和国国旗的颜色名称的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4){黄色，红色} 【分析】确定出集合中的元素，利用集合的列举法求解即可. 【详解】（1）因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，所以. （2）既是质数又是偶数的整数只有2，集合为； （3）联立，解得， 所以一次函数与的交点为，所以. （4）易知国旗颜色有黄色与红色，所以集合为{黄色，红色}. 12．（2026高一·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于小于12.8的整数的全体； (3)梯形的全体构成的集合； (4)所有能被3整除的数的集合； 【答案】(1){1月,3月,5月,7月,8月,10月,12月}． (2)． (3){a|a是梯形}或{梯形}． (4)． 【分析】（1）（2）利用列举法表示集合. （3）利用描述法或列举法表示集合. （4）利用描述法表示集合. 【详解】（1）一年中有31天的月份的全体为：{1月,3月,5月,7月,8月,10月,12月}. （2）大于小于12.8的整数的全体为：. （3）梯形的全体构成的集合为：{a|a是梯形}或{梯形}. （4）所有能被3整除的数的集合为：. 13．（25-26高一下·安徽六安·阶段检测）下列集合表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，根据集合的定义及表示方法可知A正确 对于B，集合中存在相同的元素，不符合集合中元素的互异性，故B错误 对于C，集合中存在相同的元素，不符合集合中元素的互异性，故C错误 对于D，表示集合的符号使用错误，对于有，，共个元素的集合表示为，故D错误． 14．（25-26高一上·云南大理·阶段检测）下列命题中正确的是（   ） A．与表示同一个集合 B．集合和表示同一个集合 C．由组成的集合可表示为 D．接近于的所有实数可以构成集合 【答案】C 【分析】选项A. 是不含有任何元素的集合，中的元素为，故这两个集合不表示同一个集合；选项B. 集合中的元素是两个数，中的元素是一个点，故这两个集合不表示同一个集合；选项C.求出的解，从而得到方程的解组成的集合；选项D.根据集合的确定性判断. 【详解】选项A. 是不含有任何元素的集合，中的元素为，故这两个集合不表示同一个集合，故选项A错误； 选项B. 集合中的元素是两个数，中的元素是一个点，故这两个集合不表示同一个集合，故选项B错误； 选项C.的解或，则此方程的解组成的集合可表示为，故选项C正确； 选项D. 接近于的所有实数，不具有确定性，故不可以构成集合. 故选：C. 考点四　描述法表示集合 15．（25-26高二下·湖南永州·期中）不小于2的所有整数构成的集合可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不小于2的所有整数构成的集合可表示为. 16．（25-26高一上·天津·阶段检测）下列集合的表示法正确的是（   ） A．自然数集可表示为 B．由、、、、构成的集合是 C．满足的构成的集合是 D．二次函数上的所有点的坐标构成的集合是 【答案】A 【分析】利用常用数集的表示可判断A选项；利用集合元素的互异性可判断B选项；利用集合的表示法可判断CD选项. 【详解】对于A选项，自然数集可表示为，A对； 对于B选项，由、、、、构成的集合是，B错； 对于C选项，满足的构成的集合是，C错； 对于D选项，二次函数上的所有点的坐标构成的集合是，D错. 故选：A. 17．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）用适当的方法表示下列集合： (1)方程的所有实数根组成的集合； (2)由大于且小于的所有整数组成的集合； (3)所有能被整除且大于的整数组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）解方程，再用列举法写出集合即可； （2）根据题意大于且小于的整数为，，，，，再用列举法写出集合即可； （3）根据题意用描述法表示集合即可． 【详解】（1）解方程得或，故集合为； （2）大于且小于的整数为，，，，，故集合为； （3）能被整除且大于的整数可表示为， 故集合为． 18．（25-26高一上·全国·课后作业）用适当的方法表示下列集合： (1)方程的解集； (2)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (3)被5除余3的正整数组成的集合； (4)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 【答案】(1) (2) (3)， (4) 【分析】（1）求得方程的解，然后用列举法书写； （2）根据第一、三象限点的特点，用描述法书写； （3）写出满足条件的正整数用描述法书写； （4）直接用描述法书写. 【详解】（1）方程的解集为 （2）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为. （3）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为，. （4）用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合为． 19．（25-26高一上·河北唐山·期中）下列与集合表示同一集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解方程，列举法表示集合，即可求解. 【详解】集合. 故选：C. 20．（25-26高一上·重庆·阶段检测）集合，集合A用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求解，即可. 【详解】由， 可得， 即，又 所以， 故选：C 考点五　判断元素与集合的关系 21．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知元素，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据元素与集合的属于、不属于关系，从的所有可能取值中排除不符合要求的取值，即可确定的值 【详解】由，可知a的可能取值为0,1,2,3； 再由，可排除取值0、1、3； 因此的取值只能为2. 22．（2026·河南·模拟预测）已知集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，时的情况判断AC；分别令，求解对应的，并结合判断BD. 【详解】对于A选项，当时，，故A错误； 对于B选项，令，解得，故，即B错误； 对于C选项，当时，，故C正确； 对于D选项，令，解得，故，即D 错误； 23．（25-26高一上·广西河池·期中）已知集合，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求解不等式的解集，再判断即可. 【详解】由题意得，，故A选项正确，BCD错误. 24．（25-26高三下·广东江门·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以，，，. 考点六　根据元素与集合的关系求参数 25．（25-26高二下·重庆·期中）已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】由直接分两种情况：或，可得所求值，再验证集合中的元素是否有重复，进而可得所求值. 【详解】因为集合，且， 当时，即，解得或， 若时，，，集合的元素出现重复，故舍去； 若时，，符合题意. 当时，，此时，集合的元素出现重复，故舍去. 综上所述，. 26．（2026高一·全国·专题练习）设，集合，若，，则满足条件的组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，，解得. ∵，∴满足条件的组成的集合为． 27．（25-26高三上·山西吕梁·期末）已知集合，，则__________． 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系可得出关于的等式，利用集合元素满足互异性可得出实数的值. 【详解】因为，所以或，即或， 由集合的互异性知且且，即且，所以． 故答案为：. 28．（25-26高一上·河南商丘·期末）已知，则实数的值是（   ） A． B．1 C．0 D．或1 【答案】A 【分析】根据元素与集合之间的关系，及集合元素的互异性即可求出的值. 【详解】由题意可知或，解得或． 当时，集合为，符合题意； 当时，，不满足集合中元素的互异性 所以． 故选：A． 考点七　判断是否为同一集合 29．（25-26高一上·山东济南·期中）下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合相等集合的定义、集合元素特征逐一判断即可 【详解】对于A，由集合元素的互异性知，集合表示错误，A错误； 对于B，解得，此时与集合表示同一个集合，B正确； 对于C，且，故两集合不表示同一集合，C错误； 对于D，集合表示点集，只有一个元素，D错误. 故选：B. 30．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）（多选）下列集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据集合的定义判断． 【详解】对A，两个集合的元素不相同，不是同一集合； 对B，两个集合都是2和3两个元素，是同一集合， 对C，集合的元素是点（或有序实数对），集合的元素是实数，不是同一集合， 对D，两个集合都是由大于2的实数构成，是同一集合， 故选：BD． 31．（25-26高一上·陕西安康·阶段检测）下列各组中的、表示同一集合的是（    ） ①； ②； ③； ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】根据集合定义逐一判断即可. 【详解】对①，集合的元素为实数，集合的元素为有序数对，表示不同集合； 对②，集合的元素为有序数对，集合的元素为有序数对，表示不同集合； 对③，，两集合相等； 对④，集合为数集，集合为点集，表示不同集合. 故表示同一集合的只有③. 故选：C 32．（25-26高一上·四川遂宁·阶段检测）（多选）下列四个命题中不正确的是（    ） A．集合用列举法表示为 B．若，则 C．方程组的解组成的集合为 D．集合与是同一个集合 【答案】BCD 【分析】根据方程的根，即可求解A，根据集合中元素的性质即可求解BCD. 【详解】对于A, 由于，故方程的根为，因此,故A正确， 对于B, ,故，故B错误， 对于C, 方程组的解组成的集合为，故C错误， 对于D, ，而表示点集，故两个不是同一集合，故D错误， 故选：BCD 考点八　求集合中元素的个数 33．（25-26高一上·云南文山·期末）由单词“deepseek”中的字母作为集合中的元素，则集合中的元素共有__________个. 【答案】 【分析】根据集合元素的互异性进行判断即可. 【详解】因为集合中元素具有互异性， 所以集合中的元素有d，e，p，s，k，共个. 故答案为： 34．（25-26高三下·江苏扬州·开学考试）已知集合，则中元素的个数是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【详解】数集表示的是自然数集， ，， ， ， 中元素的个数是. 35．（25-26高一上·江西赣州·期末）集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 【答案】B 【分析】根据集合中的元素所具有性质判断可得. 【详解】因为，所以是自然数且是6的正约数，而6的正约数有 当分别取时，对应的的值分别为，所以只能是. 故集合的元素个数是4. 故选：B 36．（25-26高一上·贵州·期中）已知集合，．则集合中的元素个数是（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用列举法求出集合即可. 【详解】集合，，则集合， 所以集合中的元素个数是7. 故选：C 37．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】分析可知，结合，，分析求解即可. 【详解】因为，则，且，，可得， 当时，； 当时，； 当时，； 即，所以中元素的个数为6. 38．（25-26高一上·江苏·阶段检测）已知集合，则中元素的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用列举法写出集合的元素即可求解. 【详解】将满足的全部列举出来， 即，共有4个. 故选：C. 考点九　根据集合中元素的个数求参数 39．（2026·湖北孝感·二模）如果集合只有一个元素，则实数的值是（   ） A．0或4 B．4 C．0或 D．0 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论，当时，即可求出的值. 【详解】集合， 表示关于的方程的解集， 当时，解得，则，符合题意； 当时，，解得， 此时，符合题意, 综上可得或. 40．（25-26高一上·河南·期末）已知为实数，集合中有且仅有一个元素，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】B 【分析】由进行求解. 【详解】由条件知，解得. 故选：B 41．（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知且，且，则：若有且只有2个元素，则集合的个数是________． 【答案】2 【分析】根据题意，讨论时的情况，即可容易求得结果. 【详解】因为且，且， 若，则，此时满足要求； 若，则，此时满足要求； 若，则，此时含1个元素． 综上，当时，集合只有一个元素； 当集合有个元素时，或，故满足题意的集合有个. 故答案为： 42．（25-26高一上·江西九江·阶段检测）集合，若集合中恰有5个元素，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的元素可求得的范围. 【详解】若集合中恰有5个元素，则， 所以. 故选：C. 43．（25-26高一下·广东江门·阶段检测）已知集合，，则的元素个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】已知，， 当时： ， ； 当时： ， ； 当时： ， ； 由集合的互异性得，元素个数为. 考点十　集合元素互异性的应用 44．（25-26高一上·山西大同·期中）下列命题中正确的是（   ） A．方程的解的集合为 B．很小的正整数可以构成集合 C．若，，则 D．不大于4的自然数组成的集合中的所有元素为1，2，3，4 【答案】C 【分析】根据集合中的元素满足互异性、确定性，可判断A、B错误；自然数包括0，故D错误；根据集合中的元素运算，可得C正确. 【详解】对于选项A，，解得或，故方程的解的集合为，故A错误； 对于选项B，“很小”不是一个确定的范围，与集合中元素满足确定性相矛盾，故不能构成一个集合，故B错误； 对于选项C，，故，故C正确； 对于选项D，不大于4的自然数包括0，1，2，3，4，故D错误. 故选：C 45．（25-26高一上·河北·期中）下列四个结论中，正确的个数是（   ） ①集合中最小的数是1；②，，则的最小值是2；③，则；④的解集可表示为 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据集合的概念以及性质逐一判断即可. 【详解】①错，集合中最小元素为0；②错，当，时的最小值为1； ③错，，则；④错，由集合中元素的互异性知，该集合为. 即正确的个数是0个， 故选：A. 46．（25-26高一上·湖北荆州·阶段检测）（多选）下列说法中正确的是（    ） A．若集合由方程和方程的所有实数根组成，则 B．若集合由“”中的字母构成，则中有个元素 C．一个集合中有三个元素，，，其中，，是的三边长，则不可能是等边三角形 D．若集合由不等式的所有整数解组成，则 【答案】AC 【分析】求出集合进而判断ABD；利用集合元素的互异性判断C. 【详解】对于A，解方程，得；解方程，得或， 因此，，A正确； 对于B，，中有个元素，B错误； 对于C，由集合中有三个元素，得互不相等，则不可能是等边三角形，C正确； 对于D，解不等式，得，则，，D错误. 故选：AC 47．（25-26高一上·浙江温州·期末）已知，则（   ） A．0或1 B．或1 C．或0 D．1 【答案】B 【分析】根据集合的互异性可得，再结合属于关系分析求解即可. 【详解】因为，显然，即， 若，则，符合题意； 若，解得，则，符合题意； 综上所述：或1. 故选：B. 48．（25-26高一上·重庆·期中）已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系及元素的互异性求解即可. 【详解】由题意， 是集合 的元素，则 或 ，解得 或 . 根据集合元素的互异性检验：当 时， 且 ，集合 中出现重复元素，故舍去； 当 时，，，集合 ，符合题意. 综上，. 故选：. 课后强化练 1．（25-26高一上·山东济南·期中）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．班级里成绩好的同学 B．校园里漂亮的花朵 C．小于5的正整数 D．喜欢运动的人 【答案】C 【分析】利用集合元素的确定性，逐项判断可判断每个选项的正误. 【详解】对于A，“成绩好”没有具体的标准，所以班级里成绩好的同学是不确定的， 故班级里成绩好的同学不能构成集合，故A不符合题意； 对于B，“漂亮的花朵”没有具体的标准，所以校园里漂亮的花朵是不确定的， 所以校园里漂亮的花朵不能构成集合，故B不符合题意； 对于C，小于5的正整数是确定的，故小于5的正整数能构成集合，故C符合题意； 对于D，“喜欢运动”没有明确的标准，所以喜欢运动的人是不确定的， 故喜欢运动的人不能构成集合，故D不符合题意。 故选：C. 2．（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）下列说法中正确的是（    ） A．0与表示同一个集合 B．方程的解集为 C．集合可以用列举法表示 D．集合与是两个相同的集合 【答案】D 【分析】根据集合的概念和表示对选项逐一判断即可. 【详解】对于A：因为0表示元素，不是集合，所以A错误； 对于B：因为集合的元素具有互异性，所以方程的解集是，所以B错误； 对于C：因为满足不等式的元素有无限个，无法一一列举，所以C错误； 对于D：因为集合的元素具有无序性，所以集合是两个相同的集合，所以D正确. 故选：D. 3．（25-26高一下·甘肃兰州·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，故B正确． 4．（25-26高一上·广东河源·期末）设集合A是方程的解集，且，则实数a的值为（   ） A． B． C．1 D．4 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系求出参数即可. 【详解】因为，所以，解得． 故选：C. 5．（25-26高一上·辽宁辽阳·期中）若，则（    ） A． B．1 C．或1 D．或2 【答案】A 【分析】根据元素与集合的关系，结合互异性即可求解. 【详解】若，则，，不符合题意； 若，则（舍去）或，则，符合题意． 故选：A 6．（2026高一·全国·专题练习）已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】集合对应的区间长度在之间，可得出关于的取值范围，然后对的取值进行分类讨论，确定集合中的整数元素，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为集合中恰有两个整数， 所以，解得， 当时，集合中的两个整数分别为、， 则，解得； 当时，，此时，集合中元素为整数的只有、，合乎题意， 综上所述，实数的取值范围是. 7．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）（多选）下列集合的表示错误的是（   ） A． B．全体实数 C． D．不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】根据集合的性质及表示方法判断各项的正误. 【详解】A：因为集合中的元素不满足互异性，错； B：因为花括号本身就有“全体”的意思，错； C：是应用列举法表示集合，对； D：不等式的解集为，错. 故选：ABD 8．（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）（多选）下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据元素与集合之间的关系即可做出判断. 【详解】对于A，是有理数，故A正确； 对于B，不是正整数，故B错误； 对于C，不是自然数，故C正确； 对于D，=2是整数，故D错误. 故选：AC. 9．（25-26高一上·江苏宿迁·阶段检测）（多选）下面四个说法中正确的是（    ） A．10以内的质数组成的集合是 B．由2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解组成的集合是 D．0与表示同一个集合 【答案】AB 【分析】结合集合的表示及元素与集合的基本关系分别检验各选项即可判断. 【详解】对于A，10以内的质数为，组成的集合是，故A正确； 对于B，由集合中元素的无序性知和表示同一集合，故B正确； 对于C，由集合中元素的互异性可知不存在集合，故C错误； 对于D，由集合的表示方法知0不是集合，故D错误. 故选：AB. 10．（25-26高一上·上海·期中）集合用列举法表示为________． 【答案】/ 【详解】可化为，由，有，解得. 又由，得可能取值为，，． ，得，满足条件；，，不满足条件； ，得，满足条件．综上，集合用列举法表示为． 11．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，若且，则___________ 【答案】 【分析】根据集合的描述法表示，利用列举法求解. 【详解】因为，且， 所以， 故答案为： 12．（2026·上海嘉定·二模）已知集合，且，则___________． 【答案】 【详解】由题意可知，或，即或， 当时，集合，不满足集合元素互异性，舍去； 当时，集合，符合题意，所以. 13．（25-26高二下·上海奉贤·阶段检测）集合中，实数的取值范围为______. 【答案】 【详解】根据集合的互异性可知，，解得. 14．（25-26高一上·安徽·阶段检测）用适当的方法表示下列集合： (1)大于且小于10的偶数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)被3除余2的正整数组成的集合； (4)将抛物线沿轴向下平移一个单位长度后得到的抛物线上所有点组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据集合中元素的特点及个数分别选择用列举法、描述法表示即可. 【详解】（1）列举法表示为：； （2）由可得，， 列举法表示： （3）描述法表示为： （4）描述法表示为： 15．（25-26高一上·河南信阳·开学考试）用适当的方法表示下列集合： (1)大于0且不超过6的全体偶数组成的集合； (2)被3除余1的所有自然数组成的集合； (3)平面直角坐标系上第二象限的点组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据表述集合用列举法即可表示； （2）根据表述集合用描述法即可表示； （3）根据表述集合用描述法即可表示. 【详解】（1）用列举法：. （2）用描述法：. （3）用描述法：. 16．（2026高一上·全国·专题练习）已知集合含有三个元素分别是，，若，求实数的值． 【答案】0 【分析】根据集合中元素互异的性质，可求出参数的值 【详解】若，则，此时中元素是1，0，1，与集合中元素的互异性矛盾，舍去． 若，则或， 当时，中元素是2，1，3，符合题意； 当时，中元素是0，1，1，与集合中元素互异性矛盾，舍去． 若，则或（均舍去）． 综上可知． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $