江苏省镇江市扬中市第二高级中学2025-2026第二学期高二数学周练15

**基本信息** 聚焦高二数学核心知识，以芯片良品率、盲拧魔方等真实情境为载体，融合空间向量、概率统计、立体几何等模块，考查用数学眼光观察现实世界、用数学思维解决问题的能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|空间向量共面、正态分布期望、条件概率、统计案例|结合科技（芯片良品率）、生活（文旅年卡）情境，基础与能力并重| |多选题|3/18|概率性质、条件概率、回归分析|设置多条件判断，考查逻辑推理与数据分析| |填空题|3/15|排列组合、立体几何距离与线面角、期望与概率最值|融入道路网走法等实际问题，强调数学语言表达| |解答题|5/77|排列组合应用、二项式定理、概率分布与条件概率、立体几何证明与二面角、正态分布与概率模型|综合题（如第19题）结合新能源汽车测试数据与游戏概率模型，体现数学建模与创新应用|

江苏省扬中市第二高级中学2025-2026第二学期高二数学周练15 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知，，，若P，A，B，C四点共面，则（ C ） A. 3 B. C. 7 D. 【详解】由P，A，B，C四点共面，可得，，共面，设 ，则，解得．故选：C. 2．某种芯片的良品率服从正态分布，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若芯片的良品率不超过95%，不予奖励；若芯片的良品率超过95%但不超过96%，每张芯片奖励100元；若芯片的良品率超过96%，每张芯片奖励200元.则每张芯片获得奖励的数学期望为（ B ）元。 （附：随机变量服从正态分布，，，.） A. B. C. D. 3．甲箱中有3个黄球、2个绿球，乙箱中有2个黄球、3个绿球（这10个球除颜色外，大小、形状完全相同），先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，记事件A，B，C分别表示事件 “取出2个黄球”，“取出2个绿球”， “取出一黄一绿两个球”，再从乙箱中摸出一球，记事件D表示摸出的球为黄球，则下列说法正确的是 （  C  ） A．A，B是对立事件 B．事件B，D相互独立 C． D． 【详解】对于A，事件A，B不能同时发生，但能同时不发生，故A，B是互斥事件，但不是对立事件，故A错误；对于B，事件B发生与否，影响事件D，所以事件B，D不是相互独立事件，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 用时/秒 男性人数 17 21 13 9 女性人数 8 10 16 6 4.某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方．为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示： 以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立．若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能（即概率最大）是 （  C  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【详解】根据题意得，1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率为， 设随机抽取的20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数为，则，其中，时，； 显然，即不可能为最大值， 当时，由得， 化简得，解得，又这20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数最有可能是5，故选：C． 5．如图，一质点在随机外力的作用下，从质点出发，每次向左或向右运动一个单位长度，向左移动的概率为，向右移动的概率为，共移动4次，则该质点位于原点右侧的概率为 （ A ） A． B． C． D． 6．为研究不同性别学生对“”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生30名和女生20名作为样本，设事件“”， “学生为女生”，据统计，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名学生，设其中了解“”的学生人数为，则当取得最大值时的值为 （ A ） A． B． C． D． 7．化简结果 （ D ） A. B. C. D. 【详解】， ，，，，，故选：D 【点睛】关键点睛：本题解题的关键是利用排列数和组合数性质将依次巧妙变形得，然后根据此式依次变形计算即可求解. 8．2026年某地文旅部门积极探索政策，带动旅游消费，推出文旅一卡通旅游年卡，凡是购买文旅一卡通旅游年卡的市民可在合作影院免费观影两次，小明同学购买旅游年卡后，在家附近有甲、乙两家合作影院可供选择，小明第一次去甲、乙两家影院观影的概率分别为，如果他第一次去甲影院，那么第二次去甲影院的概率为，如果他第一次去乙影院，那么第二次去甲影院的概率为，现已知小明同学第二次去了甲影院，则第一次去的是乙影院的概率为 （ A ） A． B． C． D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是 （ ABC ） A．若互斥，则 B．若相互独立，则 C．若，则相互独立 D．若 10．已知编号为1，2，3的三个口袋中有除颜色外完全相同的小球，其中1号口袋中有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋中有两个1号球，1个3号球，3号口袋内有三个1号球，两个2号球.第一次先从1号口袋中取出1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法正确的是 （ ACD ） A．第二次取到3号球的概率为 B．在第一次取到2号球的条件下，第二次取到1号球的概率为 C．如果第二次取到1号球，则它来自1号口袋的概率最大 D．如果将6个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有 种 耕种深度 8 10 12 14 16 18 每公顷产量 6 8 11 12 11．（多选）某农科所针对耕种深度（单位：cm）与水稻每公顷产量（单位：t）的关系进行研究，所得部分数据如下表： 已知，用最小二乘法求出关于的经验回归方程：，，，数据在样本，的残差分别为，.（参考数据：两个变量，之间的相关系数为，参考公式：，，）则 （ABD ） A. B. C. D. 【详解】对于选项A，因为，，所以，得到， 所以，得到，所以选项A正确，对于选项B，因为，又, ， 所以，所以，故选项B正确，对于选项C，因为，所以选项C错误， 对于选项D，因为，得到，， 所以，所以选项D正确，故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．如图，某城市两地间有整齐的道路网，每两条线的交点处为一个路口，小林要从出发到处，若每次只能向右或向上走一个路口，两处实行交通管制，不准通行，则从到的走法共有 种，（用数字作答） 13．已知四棱柱的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，若点到平面的距离为，则直线平面所成角的余弦值为 . 14．抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下的规则：当点数为时，得1分，当点数为时得2分，多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分，若抛掷2次骰子，最终得分为，则随机变量的期望是 ；若抛掷50次骰子，记得分恰为分的概率为，则当取得最大值时的值为 . 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．某班有6名同学报名参加校运会的四个比赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法，（用数字回答） （1）每人恰好参加一项，每项人数不限； （2）每项限报一人，且每人至多参加一项； （3）每人限报一项，人人参加，且每个项目均有人参加. 15．解：（1）每人都可以从这四个项目中选报一项，各有4种不同的选法， 由分步计数原理知共有种． （2）每项限报一人，且每人至多报一项，因此可由项目选人， 第一个项目有6种不同的选法，第二个项目有5种不同的选法， 第三个项目有4种不同的选法，第四个项目有3种不同的选法， 由分步计数原理得共有报名方法种． （3）每人限报一项，人人参加，且每个项目均有人参加， 因此需将6人分成4组，有种． 每组参加一个项目， 由分步计数原理得共有种． 【点睛】本题考查分步计数原理的计算，分清楚哪个有剩余哪个不剩余以及常用先分组后排列方法，审清题意，细心计算，属基础题. 16．已知的展开式中，前3项的二项式系数之和等于56． （1）求的值： （2）若展开式中的常数项为， ①求的值； ②第项的系数是第项系数的6倍，求的值． 16．解：（1）依题意，，即，整理得，而， 所以. （2）①由（1）知，二项式展开式的通项为， 由，得，因此，即，而， 所以. ②由①知，，依题意，， 即，则，解得， 所以. 17．盒子中装有大小形状相同的4个小球，其中2个白色2个红色. 每次取一球，若取出的是白球，则不放回；若取出的是红球，则取完放回. (1)取两次，求恰好一红一白的概率； (2)取两次，记取到白球的个数为随机变量，求随机变量的分布列及均值； (3)在第2次取出的球是红球的条件下，求第1次取出的球是白球的概率． 17．解：（1）记事件：第一次取到是红球，事件：第二次取到是红球， 则； （2）随机变量可取0，1，2， ，，， 随机变量分布列如下： 0 1 2 所以； （3）， ， 则 18．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）若直线与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值. 18．解：（1）取中点，连接. 又因为为的中点，所以，且. 在菱形中，，且， 所以，且，所以四边形是平行四边形. 所以， 又平面平面，所以平面. （2）连接，由（1）知，四点共面. 在中，为的中点，所以， 因为，所以都是正三角形，在中，，所以， 又因为平面，所以平面. 又因为平面，所以平面平面. （3）由（2）知，都是正三角形，且为的中点， 所以. 由（1）知，，所以， 又平面，所以平面. 所以即为直线与平面所成的角. 因此，得. 在中，，可得. 以为原点，所在直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系， 则. 所以. 设平面的一个法向量为 则 取，则是平面的一个法向量. 又是平面的一个法向量. 所以. 由图形可知，二面角的余弦值为. 19．2019年7曰1日至3日，世界新能源汽车大会在海南博鳌召开，大会着眼于全球汽车产业的转型升级和生态环境的持续改善.某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试.现对测试数据进行分析，得到如下的频率分布直方图： （1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）. （2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布，经计算第（1）问中样本标准差的近似值为50.用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率. 参考数据：若随机变量ξ服从正态分布，则，，. （3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.已知硬币出现正、反面的概率都是，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第50格.遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从到），若掷出反面，遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束，设遥控车移到第n格的概率为，试说明是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车. 19．解：（1） （千米）． （2）由,． ． （3）遥控车开始在第0 格为必然事件，．第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为，即．遥控车移到第格的情况是下面两种，而且只有两种： ①遥控车先到第格，又掷出反面，其概率为． ②遥控车先到第格，又掷出正面，其概率为． ． ． 数列是等比数列，首项为，公比为的等比数列． ，，，，． ，1，，． 获胜的概率， 失败的概率． ． 获胜的概率大． 此方案能成功吸引顾客购买该款新能源汽车． 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省扬中市第二高级中学2025-2026第二学期高二数学周练15 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知，，，若P，A，B，C四点共面，则（ ） A. 3 B. C. 7 D. 2．某种芯片的良品率服从正态分布，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若芯片的良品率不超过95%，不予奖励；若芯片的良品率超过95%但不超过96%，每张芯片奖励100元；若芯片的良品率超过96%，每张芯片奖励200元.则每张芯片获得奖励的数学期望为（ ）元。 （附：随机变量服从正态分布，，，.） A. B. C. D. 3．甲箱中有3个黄球、2个绿球，乙箱中有2个黄球、3个绿球（这10个球除颜色外，大小、形状完全相同），先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，记事件A，B，C分别表示事件 “取出2个黄球”，“取出2个绿球”， “取出一黄一绿两个球”，再从乙箱中摸出一球，记事件D表示摸出的球为黄球，则下列说法正确的是 （     ） A．A，B是对立事件 B．事件B，D相互独立 C． D． 用时/秒 男性人数 17 21 13 9 女性人数 8 10 16 6 4.某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方．为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示： 以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立．若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能（即概率最大）是 （    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．如图，一质点在随机外力的作用下，从质点出发，每次向左或向右运动一个单位长度，向左移动的概率为，向右移动的概率为，共移动4次，则该质点位于原点右侧的概率为 （ ） A． B． C． D． 6．为研究不同性别学生对“”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生30名和女生20名作为样本，设事件“”， “学生为女生”，据统计，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名学生，设其中了解“”的学生人数为，则当取得最大值时的值为 （ ） A． B． C． D． 7．化简结果 （ ） A. B. C. D. 8．2026年某地文旅部门积极探索政策，带动旅游消费，推出文旅一卡通旅游年卡，凡是购买文旅一卡通旅游年卡的市民可在合作影院免费观影两次，小明同学购买旅游年卡后，在家附近有甲、乙两家合作影院可供选择，小明第一次去甲、乙两家影院观影的概率分别为，如果他第一次去甲影院，那么第二次去甲影院的概率为，如果他第一次去乙影院，那么第二次去甲影院的概率为，现已知小明同学第二次去了甲影院，则第一次去的是乙影院的概率为 （ ） A． B． C． D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是 （ ） A．若互斥，则 B．若相互独立，则 C．若，则相互独立 D．若 10．已知编号为1，2，3的三个口袋中有除颜色外完全相同的小球，其中1号口袋中有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋中有两个1号球，1个3号球，3号口袋内有三个1号球，两个2号球.第一次先从1号口袋中取出1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法正确的是 （ ） A．第二次取到3号球的概率为 B．在第一次取到2号球的条件下，第二次取到1号球的概率为 C．如果第二次取到1号球，则它来自1号口袋的概率最大 D．如果将6个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有 种 耕种深度 8 10 12 14 16 18 每公顷产量 6 8 11 12 11．（多选）某农科所针对耕种深度（单位：cm）与水稻每公顷产量（单位：t）的关系进行研究，所得部分数据如下表： 已知，用最小二乘法求出关于的经验回归方程：，，，数据在样本，的残差分别为，.（参考数据：两个变量，之间的相关系数为，参考公式：，，）则 （ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．如图，某城市两地间有整齐的道路网，每两条线的交点处为一个路口，小林要从出发到处，若每次只能向右或向上走一个路口，两处实行交通管制，不准通行，则从到的走法共有 种，（用数字作答） 13．已知四棱柱的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，若点到平面的距离为，则直线平面所成角的余弦值为 . 14．抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下的规则：当点数为时，得1分，当点数为时得2分，多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分，若抛掷2次骰子，最终得分为，则随机变量的期望是 ；若抛掷50次骰子，记得分恰为分的概率为，则当取得最大值时的值为 . 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．某班有6名同学报名参加校运会的四个比赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法，（用数字回答） （1）每人恰好参加一项，每项人数不限； （2）每项限报一人，且每人至多参加一项； （3）每人限报一项，人人参加，且每个项目均有人参加. 16．已知的展开式中，前3项的二项式系数之和等于56． （1）求的值： （2）若展开式中的常数项为， ①求的值； ②第项的系数是第项系数的6倍，求的值． 17．盒子中装有大小形状相同的4个小球，其中2个白色2个红色. 每次取一球，若取出的是白球，则不放回；若取出的是红球，则取完放回. (1)取两次，求恰好一红一白的概率； (2)取两次，记取到白球的个数为随机变量，求随机变量的分布列及均值； (3)在第2次取出的球是红球的条件下，求第1次取出的球是白球的概率． 18．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）若直线与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值. 19．2019年7曰1日至3日，世界新能源汽车大会在海南博鳌召开，大会着眼于全球汽车产业的转型升级和生态环境的持续改善.某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试.现对测试数据进行分析，得到如下的频率分布直方图： （1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）. （2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布，经计算第（1）问中样本标准差的近似值为50.用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率. 参考数据：若随机变量ξ服从正态分布，则，，. （3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.已知硬币出现正、反面的概率都是，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第50格.遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从到），若掷出反面，遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束，设遥控车移到第n格的概率为，试说明是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车. 5 学科网（北京）股份有限公司 $