江苏镇江市扬中市第二高级中学2025-2026学年第二学期高二数学周练13

**基本信息** 聚焦高二数学核心知识，融合新能源汽车续航测试、汤姆斯杯羽毛球比赛等真实情境，通过排列组合、立体几何、概率统计等模块考查抽象能力与数据观念，适配周测巩固与能力检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|小球入盒、法向量距离、二项式常数项|基础概念辨析，考查数学眼光| |多选题|3/18|超几何分布、正方体动态线面关系|层次性选项设计，培养推理意识| |填空题|3/15|口罩发放（排列组合）、二项式指数概率|简明计算，强化数学思维| |解答题|5/77|新能源汽车续航（正态分布）、羽毛球比赛（独立性检验）|综合情境问题，体现数学语言表达现实世界|

江苏省扬中市第二高级中学2025-2026第二学期高二数学周练13 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．现将12个相同的小球全部放入4个不同的盒子里，每个盒子至少放2个小球，则不同的放法共有（ ） A． B． C． D． 2．已知平面的一个法向量为，点外，点内，且，则点到平面的距离 （ ） A． B． C． D． 3．二项式的展开式中，常数项为 （ ） A． B． C． D． 4．甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛采用5局3胜制，在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率是 （ ） A． B． C． D． 5．某公司生产某一部件质量指标服从正态分布，其中指标的部件为正品，其他为次品，要使次品率不高于，则的值不可能为 （ ） （参考数据： A． B． C． D． 6．若事件满足 （ ） A． B． C． D． 7．三棱锥中，,分别为的中点，点在线段上，且 （ ） A． B． C． D． 8．已知在5次独立重复试验中，每次试验成功的概率为，设事件表示第一次试验成功，事件表示5次试验中成功3次，若事件与事件相互独立，则 （ ） A． B． C． D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知100只灯泡中存在只不合格品，从中一次任取10只，记取出的灯泡中不合格品的个数为，恰有2只不合格品的概率为，则下列说法正确的是 （ ） A． B． C．若 D． 当取到最大值 10．如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是 （ ） A．三棱锥的体积为定值 B．异面直线所成角的取值范围是 C．平面所成夹角的余弦值取值范围是 D．直线 与平面所成角的正弦值的最大值为 11．随着高三毕业日期的逐渐临近，有个同学组成的学习小组，每人写了一个祝福的卡片准备送给其他同学，小组长收齐所有卡片后让每个人从中随机抽一张作为祝福卡片，则 （ ） A．当时，每个人抽到的卡片都不是自己的概率为 B．当时，恰有一人抽到自己的卡片的概率为 C．甲和乙恰好互换了卡片的概率为 D． 记个同学都拿到其他同学的卡片的抽法数为，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．流感期间，班长拿了18个口罩发给5名感冒的学生，每位学生至少发3个口罩，则不同的发放方法有 种. 13．在的展开式中任取其中1项，若取到的项中的的指数是2，则取到的项中的的指数大于等于2的概率是 . 14．如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，，点的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为 . 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知二项式（）的二项展开式中所有项的二项式系数之和为4096． （1）求（）的展开式中的常数项的值； （2）在的展开式中，求项的系数的值． 16．如图，在棱长是2的正方体中，为的中点. （1）求证：； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 17．2019年7曰1日至3日，世界新能源汽车大会在海南博鳌召开，大会着眼于全球汽车产业的转型升级和生态环境的持续改善.某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试.现对测试数据进行分析，得到如下的频率分布直方图： （1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）. （2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布，经计算第（1）问中样本标准差的近似值为50.用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率. 参考数据：若随机变量ξ服从正态分布，则，，. （3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.已知硬币出现正、反面的概率都是，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第50格.遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从到），若掷出反面，遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束，设遥控车移到第n格的概率为，试说明是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车. 18． 2024年道达尔能源—汤姆斯杯暨尤伯杯决赛中，中国队3∶0击败印度尼西亚队，夺得冠军．已知羽毛球比赛的单打规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方．现甲，乙二人进行羽毛球单打比赛，随机选取了以往甲，乙两名运动员对阵中的300回合的比赛数据，得到如下待完善的列联表： 甲得分 乙得分 总计 甲发球 90 乙发球 120 总计 120 300 （1）完成列联表，并判断是否有的把握认为比赛得分与接，发球有关； （2）羽毛球，篮球，网球这三种运动项目深受大学生的喜欢．小明同学每周的星期六，星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在这3种运动项目中选择一种．已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择羽毛球，则星期天选择羽毛球的概率为：如果星期六选择篮球，则星期天选择羽毛球的概率为；如果星期六选择网球，则星期天选择羽毛球的概率为．已知小明星期天选择羽毛球，求他星期六也选择羽毛球的概率． （3）以列联表中甲，乙各自接，发球的得分频率分别作为每一回合中甲，乙各自接，发球的得分概率．已知：若随机变量服从两点分布，且，则．若第1回合是甲先发球，求甲、乙连续进行150回合比赛后，甲的总得分期望． 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 附： 参考公式：，其中． 19．已知函数． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若函数有两个极值点，求的取值范围： （3）已知函数，若，求的取值范围． 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省扬中市第二高级中学2025-2026第二学期高二数学周练13 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．现将12个相同的小球全部放入4个不同的盒子里，每个盒子至少放2个小球，则不同的放法共有（ B ） A． B． C． D． 2．已知平面的一个法向量为，点外，点内，且，则点到平面的距离 （ C ） A． B． C． D． 3．二项式的展开式中，常数项为 （ A ） A． B． C． D． 4．甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛采用5局3胜制，在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率是 （ C ） A． B． C． D． 5．某公司生产某一部件质量指标服从正态分布，其中指标的部件为正品，其他为次品，要使次品率不高于，则的值不可能为 （ D ） （参考数据： A． B． C． D． 6．若事件满足 （ B ） A． B． C． D． 7．三棱锥中，,分别为的中点，点在线段上，且 （ D ） A． B． C． D． 8．已知在5次独立重复试验中，每次试验成功的概率为，设事件表示第一次试验成功，事件表示5次试验中成功3次，若事件与事件相互独立，则 （ C ） A． B． C． D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知100只灯泡中存在只不合格品，从中一次任取10只，记取出的灯泡中不合格品的个数为，恰有2只不合格品的概率为，则下列说法正确的是 （ BCD ） A． B． C．若 D． 当取到最大值 10．如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是 （ ACD ） A．三棱锥的体积为定值 B．异面直线所成角的取值范围是 C．平面所成夹角的余弦值取值范围是 D．直线 与平面所成角的正弦值的最大值为 11．随着高三毕业日期的逐渐临近，有个同学组成的学习小组，每人写了一个祝福的卡片准备送给其他同学，小组长收齐所有卡片后让每个人从中随机抽一张作为祝福卡片，则 （ ACD ） A．当时，每个人抽到的卡片都不是自己的概率为 B．当时，恰有一人抽到自己的卡片的概率为 C．甲和乙恰好互换了卡片的概率为 D． 记个同学都拿到其他同学的卡片的抽法数为，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．流感期间，班长拿了18个口罩发给5名感冒的学生，每位学生至少发3个口罩，则不同的发放方法有 种. 13．在的展开式中任取其中1项，若取到的项中的的指数是2，则取到的项中的的指数大于等于2的概率是 . 14．如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，，点的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为 . 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知二项式（）的二项展开式中所有项的二项式系数之和为4096． （1）求（）的展开式中的常数项的值； （2）在的展开式中，求项的系数的值． 15．解：（1）因为二项式（）的二项展开式中所有项的二项式系数之和为4096， 所以，可得， 即的展开式的通项是： （）， 令得：， ∴常数项是； （2）由（1）知， 即， 展开式中项的系数分别为： 所以的展开式中项的系数为： ． 【点睛】方法点睛：二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和以及各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 16．如图，在棱长是2的正方体中，为的中点. （1）求证：； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 16．解：（1）因为正方体棱长为2， 故以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则有，，，，， ，，. 因为为的中点，所以 ， ，， 所以， 所以，即； （2）因为，， 所以， 因为异面直线与所成角是锐角， 所以异面直线与所成角的余弦值是. （3）设平面的法向量是 ，则，， 即， 又，， 所以 令，则，， 所以，又， 所以点到平面的距离. 17．2019年7曰1日至3日，世界新能源汽车大会在海南博鳌召开，大会着眼于全球汽车产业的转型升级和生态环境的持续改善.某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试.现对测试数据进行分析，得到如下的频率分布直方图： （1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）. （2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布，经计算第（1）问中样本标准差的近似值为50.用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率. 参考数据：若随机变量ξ服从正态分布，则，，. （3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.已知硬币出现正、反面的概率都是，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第50格.遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从到），若掷出反面，遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束，设遥控车移到第n格的概率为，试说明是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车. 17．解：（1）: （千米）． （2）由,． ． （3）遥控车开始在第0 格为必然事件，．第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为，即．遥控车移到第格的情况是下面两种，而且只有两种： ①遥控车先到第格，又掷出反面，其概率为． ②遥控车先到第格，又掷出正面，其概率为． ． ． 数列是等比数列，首项为，公比为的等比数列． ，，，，． ，1，，． 获胜的概率， 失败的概率． ． 获胜的概率大． 此方案能成功吸引顾客购买该款新能源汽车． 18． 2024年道达尔能源—汤姆斯杯暨尤伯杯决赛中，中国队3∶0击败印度尼西亚队，夺得冠军．已知羽毛球比赛的单打规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方．现甲，乙二人进行羽毛球单打比赛，随机选取了以往甲，乙两名运动员对阵中的300回合的比赛数据，得到如下待完善的列联表： 甲得分 乙得分 总计 甲发球 90 乙发球 120 总计 120 300 （1）完成列联表，并判断是否有的把握认为比赛得分与接，发球有关； （2）羽毛球，篮球，网球这三种运动项目深受大学生的喜欢．小明同学每周的星期六，星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在这3种运动项目中选择一种．已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择羽毛球，则星期天选择羽毛球的概率为：如果星期六选择篮球，则星期天选择羽毛球的概率为；如果星期六选择网球，则星期天选择羽毛球的概率为．已知小明星期天选择羽毛球，求他星期六也选择羽毛球的概率． （3）以列联表中甲，乙各自接，发球的得分频率分别作为每一回合中甲，乙各自接，发球的得分概率．已知：若随机变量服从两点分布，且，则．若第1回合是甲先发球，求甲、乙连续进行150回合比赛后，甲的总得分期望． 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 附： 参考公式：，其中． 18．解：（1）由题，得完整列联表如下： 甲得分 乙得分 M计 甲发球 90 60 150 乙发球 30 120 150 总计 120 180 300 零假设：比赛得分与接､发球无关， 经计算， 根据故根据小概率值的独立性检验，可得零假设不成立， 所以有的把握认为“比赛得分与接､发球有关” . （2）记星期六选择羽毛球，篮球，网球分别为事件，“星期天选择羽毛球”为事件B， 则， 可得， 且， 所以. （3）由题已知：在甲发球的情况下，甲得分的概率为，乙得分的概率为； 在乙发球的情况下，乙得分的概率为，甲得分的概率为. 设第回合甲发球的概率为，则， 第回合是甲发球要分两种情况：第回合是甲发球且甲得分，或第回合是乙发球且甲得分， 则，整理得，且， 可知是以为首项，为公比的等比数列，则，可得， 记“第回合甲得分为”，则显然服从两点分布，且事件“”等价于“第回合是甲发球”，故. 又甲､乙共连续进行150回合比赛后，甲的得分为， 故 ， 所以甲的总得分期望为. 19．已知函数． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若函数有两个极值点，求的取值范围： （3）已知函数，若，求的取值范围． 19．解：（1）若，则，，可得，， 可知切点坐标为，斜率， 所以曲线在处的切线方程为. （2）因为，令， 由题意可知：有两个变号零点， 又因为， 若，则，可知在内单调递增， 所以在内至多有一个零点，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 且当趋近于时，趋近于，趋近于时，趋近于， 则，解得； 综上所述：的取值范围为. （3）由题意可知：， 若，则，解得， 若，可得， 构建，则， 令，则， 当且仅当，即时，等号成立， 可知在上单调递增，且， 当时，；当时，； 即当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，符合题意； 综上所述：的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $