江苏省镇江市扬中市第二高级中学2025-2026第二学期高一数学周练15

**基本信息** 高一数学周测试卷，涵盖复数、立体几何、向量、三角等模块，通过基础选择与综合解答题梯度设计，考查空间观念、运算能力及模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数、正四棱台体积、向量夹角|基础概念辨析，如复数为实数的充分条件判断| |多选题|3/18|六棱锥线面关系、解三角形命题|多角度考查，如六棱锥线面垂直与角的计算| |填空题|3/15|圆柱体积、三角形面积、平行四边形动态问题|情境应用，如矩形围圆柱的体积计算| |解答题|5/77|复数运算、三角求值、立体几何证明、解三角形综合|分层设问，如斜三角形多问探究，体现推理能力与数学语言表达|

江苏省扬中市第二高级中学2025-2026第二学期高一数学周练15 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数满足，则为实数的一个充分条件是 （ ） A. B. C. D. 2．正四棱台的上、下底面的边长分别为，，侧棱长为，则其体积为 （ ） A． B． C． D． 3．已知平面向量，则向量和向量的夹角的余弦值为A． B． C． D． （ ） 4．若 （ ） A． B． C． D． 5．已知圆台的侧面展开图是如图所示的圆环 的弧长分别为，则该圆台的体积是 （ ） A． B． C． D． 6．若圆周率的近似值可以表示成，则的近似值为 （ ） A． B． C．8 D． 7．正三棱锥的高为，侧棱与底面成角，则点到侧面的距离为 （ ） A. B. C. D. 8．在中，角的对边分别为，已知，且，点满足，，则的面积为 （ ） A． B． C． D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知复数，则下列说法正确的是 （ ） A．共轭复数 B．模长 C．复数在复平面内对应的点位于第三象限 D． 10．如图所示，已知六棱锥的底面是正六边形， 平面，给出下列结论正确的是 （ ABD ） A． B．平面平面 C．异面直线与所成角为30° D．直线与平面所成角的余弦值为 11．已知中，角，，所对的边分别是，，，则下列命题正确的有 （ ） A．若 B．若 C．若 D．若 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．用一张长12cm，宽8cm的矩形围成圆柱形的侧面，求这个圆柱的体积是________. 13．已知的内角A､B､C的对边分别为a，b，c，，且的面积为，，则___________. 14．在平行四边形中，分别为边上的动点，若， ；若，，则的取值范围是 . 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．设是虛数，是实数，且﹣2＜≤1． （1）求的实部的取值范围； （2）若，求的最小值． 16．已知为锐角，． （1）求的值； （2）求的值． 17．如图，、分别是的边、上的点，且，，交于. （1）若，求的值； （2）若，，，求的值. 18．如图,正三棱柱中，分别为棱的中点. (1)证明:平面ACG; (2)在线段是否存在一点,使得平面平面?若存在,请指出并证明;若不存在,请说明理由. 19．已知，在斜三角形中，角的对边分别为，. （1）求的大小； （2）若，求的最小值； （3）若，求的大小. 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省扬中市第二高级中学2025-2026第二学期高一数学周练15 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数满足，则为实数的一个充分条件是 （ B ） A. B. C. D. 2．正四棱台的上、下底面的边长分别为，，侧棱长为，则其体积为 （ D ） A． B． C． D． 3．已知平面向量，则向量和向量的夹角的余弦值为A． B． C． D． （ B ） 4．若 （ D ） A． B． C． D． 5．已知圆台的侧面展开图是如图所示的圆环 的弧长分别为，则该圆台的体积是 （ C ） A． B． C． D． 6．若圆周率的近似值可以表示成，则的近似值为 （ C ） A． B． C．8 D． 【详解】由已知. 故选：C. 7．正三棱锥的高为，侧棱与底面成角，则点到侧面的距离为 （ D ） A. B. C. D. 【详解】如下图所示：设点在底面的射影为点，则为等边的中心，且，侧棱与底面所成的角为， 延长交于点，则为的中点， 平面，平面，，，所以，，所以，，所以，， 过点在平面内作，垂足为点， ，为的中点，则，同理可得， ，平面，平面，， ，，平面，所以，线段的长度即为点到平面的距离，由等面积法可得，可得.故选：D. 8．在中，角的对边分别为，已知，且 ，点满足，，则的面积为 （ D ） A． B． C． D． 【详解】由， 可得，即.又，所以． 因为，所以点为的重心， 所以，所以， 两边平方得． 因为，所以， 于是，所以， 的面积为. 因为的面积是面积的倍.故的面积为．【点睛】 本题关键在于运用向量的平方可以转化到向量的夹角的关系，再与三角形的面积公式相结合求解，属于难度题. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知复数，则下列说法正确的是 （ BC ） A．共轭复数 B．模长 C．复数在复平面内对应的点位于第三象限 D． 10．如图所示，已知六棱锥的底面是正六边形， 平面，给出下列结论正确的是 （ ABD ） A． B．平面平面 C．异面直线与所成角为30° D．直线与平面所成角的余弦值为 11．已知中，角，，所对的边分别是，，，则下列命题正确的有 （ ABD ） A．若 B．若 C．若 D．若 【详解】因为 ．，，，，，故正确； ．，，，，最大，又，， 是钝角三角形，故错误；．，，，又，，故正确；故选：． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．用一张长12cm，宽8cm的矩形围成圆柱形的侧面，求这个圆柱的体积是________. 13．已知的内角A､B､C的对边分别为a，b，c，，且的面积为，，则___________. 【详解】解：由及正弦定理可得，即， ∴∵，∴由的面积为，得 又∵，∴，整理得， ∴.故答案为： 14．在平行四边形中，分别为边上的动点，若， ；若，，则的取值范围是 . 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．设是虛数，是实数，且﹣2＜≤1． （1）求的实部的取值范围； （2）若，求的最小值． 15．解：（1）设， 则， 因为是实数，， 所以，由﹣2＜≤1得， 所以的实部的取值范围是 （2）， ， ， ， ． 16．已知为锐角，． （1）求的值； （2）求的值． 16．解：（1）因为， 所以．因为， 所以， 因此． （2）因为为锐角， 所以， 又因为， 所以， 因此．因为， 所以． 因此， ． 17．如图，、分别是的边、上的点，且，，交于. （1）若，求的值； （2）若，，，求的值. 17．解：（1）， ， ，，因此，； （2）设， 再设，则， 即， 所以，，解得，所以， 因此 . 18．如图,正三棱柱中，分别为棱的中点. (1)证明:平面ACG; (2)在线段是否存在一点,使得平面平面?若存在,请指出并证明;若不存在,请说明理由. 18.解：（1）证明:取AC的中点,连接EM,GM, 在中,因为E、M分别为AB、AC的中点, 所以且, 又为的中点,,所以且, 即且 故四边形为平行四边形,所以, 又平面平面ACG,所以平面ACG. (2)当为的中点时,平面平两, 证明:连接NE,NF, 因为N,F分别是和BC的中点,所以, 因为平面平面,所以平面, 因为,所以, 因为平面平面,所以平面, 又因为平面平面, 所以平面平面. 19．已知，在斜三角形中，角的对边分别为，. （1）求的大小； （2）若，求的最小值； （3）若，求的大小. 19．解：（1）:因为，所以， 所以或， 因为且，所以或， 由为斜三角形知，（舍），所以. （2）由正弦定理：，所以， 又由，可得， 所以 ，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. （3）因为，所以， 所以，所以， 即， 整理得， 所以， 所以或， 因为是钝角，所以，所以，所以. 6 学科网（北京）股份有限公司 $