江苏镇江市扬中市第二高级中学2025-2026学年第二学期高一数学周练13

**基本信息** 以欧拉公式、立体几何模型等为情境，覆盖复数运算、向量应用、空间垂直关系等高一核心知识，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查数学抽象与空间想象能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数运算、向量分解、面面垂直性质|第1题以欧拉公式体现数学文化，第3题辨析空间垂直关系，考查逻辑推理| |多选题|3/18|复数命题判断、解三角形、正方体轨迹|第11题结合正方体动点轨迹，融合空间距离与轨迹长度，发展数学眼光| |填空题|3/15|三角求值、三棱锥向量表示、面积最值|第14题通过向量条件解三角形并求面积最大值，体现数学语言表达| |解答题|5/77|复数运算、线面平行证明、解三角形周长、三角恒等变换|第16题结合菱形与面面垂直证明线面平行，第19题综合三角与不等式恒成立，考查数学思维的综合性|

江苏省扬中市第二高级中学2025-2026第二学期高一数学周练13 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．欧拉公式把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”，若复数z满足，则 （ ） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形ABCD中，M为AB的中点，AC与DM交于点O，则 （ ） A． B． C． D． 3．已知平面⊥平面，直线m平面，直线n平面，＝l，则下列说法中，①若m⊥n，则m⊥l；②若m⊥1，则m⊥；③若m⊥，则m⊥n．正确结论的序号为 （ ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 4．化简所得的结果是 （ ） A. B. C. D.2 5．已知向量，则以下说法正确的是 （ ） A. B. 方向上的单位向量为 C. 向量在向量上的投影向量为 D. 若，则 6．如图所示，为圆的直径，为圆周上不与点A、C重合的点，圆所在的平面，连接SB、SC、AB、BC，则图中直角三角形的个数是 （      ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．在中，，，点满足，，则的长为 （ ） A． B． C． D．6 8．在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知，下列命题正确的是 （ ） A． B．若，则至少有1个为0 C． D．若是两个虚数，，，则为共轭复数 10．在中，，，，则 （ ） A. B. C. 的面积为 D. 外接圆的直径是 11．已知正方体的棱长为1，为底面内一动点，且，则 （ ） A．点的轨迹的长度为 B． C．恰有一个点 D．与平面 所成的角的正弦值的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知，则 . 13．如图，在三棱锥中，为棱靠近点的三等分点，分别为棱的中点，若点在线段上，若连接，交于点，在中，设，则 ；若，则 . 14．在中，角，，所对的边分别为，，.已知向量，且.为边上一点，满足，.则_______，面积的最大值为________. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知为虚数单位，复数． （1）若复数满足，求的虚部； （2）设复数（），若复平面内表示复数的点位于第二象限，求的取值范围． 16．如图，在三棱柱中，侧面是菱形，平面平面，，和分别是和的中点． （1）求证：平面； （2）求证：． 17． 如图，直三棱柱中，点是上一点. （1）若点是的中点，求证平面； （2）若平面平面，求证. 18．已知在中，所对的边分别为a，b，c，，且． （1）求角C的大小； （2）D为AB中点，若的面积等于，求的周长的最小值． 19．已知， （1）若，求的值； （2）在三角形ABC中，若，求的最大值； （3）若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围． 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省扬中市第二高级中学2025-2026第二学期高一数学周练13 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．欧拉公式把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”，若复数z满足，则 （ C ） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形ABCD中，M为AB的中点，AC与DM交于点O，则 （ A ） A． B． C． D． 3．已知平面⊥平面，直线m平面，直线n平面，＝l，则下列说法中，①若m⊥n，则m⊥l；②若m⊥1，则m⊥；③若m⊥，则m⊥n．正确结论的序号为 （ D ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 4．化简所得的结果是 （ B ） A. B. C. D.2 5．已知向量，则以下说法正确的是 （ D ） A. B. 方向上的单位向量为 C. 向量在向量上的投影向量为 D. 若，则 6．如图所示，为圆的直径，为圆周上不与点A、C重合的点，圆所在的平面，连接SB、SC、AB、BC，则图中直角三角形的个数是 （   D   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．在中，，，点满足，，则的长为 （ A ） A． B． C． D．6 8．在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知，则的取值范围为（ D ） A. B. C. D. 【详解】中， ，则，即， 所以 ， 又，则，所以.故选：D 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知，下列命题正确的是 （ CD ） A． B．若，则至少有1个为0 C． D．若是两个虚数，，，则为共轭复数 10．在中，，，，则 （ ABD ） A. B. C. 的面积为 D. 外接圆的直径是 【详解】对于A，，故A正确；对于B，由A选项知， 由余弦定理得.故，故B正确； 对于C，由于在中，，故，所以， 所以，故C错误；对于D，设外接圆半径为R， 则由正弦定理得，故D正确.故选：ABD 11．已知正方体的棱长为1，为底面内一动点，且，则 （ BC ） A．点的轨迹的长度为 B． C．恰有一个点 D．与平面 所成的角的正弦值的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知，则 . 13．如图，在三棱锥中，为棱靠近点的三等分点，分别为棱的中点，若点在线段上，若连接，交于点，在中，设，则 ；若，则 . 14．在中，角，，所对的边分别为，，.已知向量， 且.为边上一点，满足，.则_______，面积的最大值为________. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知为虚数单位，复数． （1）若复数满足，求的虚部； （2）设复数（），若复平面内表示复数的点位于第二象限，求的取值范围． 15．解：（1）设，则由可得， 整理得．所以， 解得，，所以的虚部为； （2） 因为复平面内表示复数的点位于第二象限， 所以 即的取值范围为． 16．如图，在三棱柱中，侧面是菱形，平面平面，，和分别是和的中点． （1）求证：平面； （2）求证：． 16．解：（1）取中点为，连结，， 因为为中点，所以， 在三棱柱中，，因为为中点，所以，所以 所以四边形为平行四边形， 所以，平面，平面 所以平面 （2）连结，因为四边形是菱形，所以， 又因为平面平面，平面平面， 平面， 所以平面，平面， 所以，，、平面 所以平面，平面，所以 17． 如图，直三棱柱中，点是上一点. （1）若点是的中点，求证平面； （2）若平面平面，求证. 17．证明：（1）连接,设,则为的中点, 连接,由是的中点,得， 又,且, 所以平面 （2）在平面中过作， 因平面平面， 又平面平面， ( )所以平面， 所以， 在直三棱柱中，平面， 所以， 又，所以平面，所以. 18．已知在中，所对的边分别为a，b，c，，且． （1）求角C的大小； （2）D为AB中点，若的面积等于，求的周长的最小值． 18．解：（1） 由正弦定理得， ， ， ． （2）依题意，即， 所以，当且仅当时取等号， 又由余弦定理得， ，当且仅当时取等号， 所以的周长最小值为6． 19．已知， （1）若，求的值； （2）在三角形ABC中，若，求的最大值； （3）若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围． 19．解：（1）函数 因为，所以， 所以， ， ， 由， 而，可得，即， ， 则， 故当时，取最大值，最大值为． （3）由（1）可知 令，因为，所以， 则即为：在上恒成立， 所以在在上恒成立， 又，当且仅当时等号成立． 所以． 3 学科网（北京）股份有限公司 $