专题01 向量概念与运算（专项训练）高一数学苏教版必修第二册

专题01向量概念与运算 目录 A题型建模・专项突破 题型01向量的概念 题型02 向量的加减法 题型03向量的数乘（含线性运算） 题型04向量共线定理及其应用 题型05平面向量的基本定理的应用（含基底） 题型06向量的坐标表示与运算 题型07利用向量坐标解决共线问题 题型08向量坐标运算的几何应用 B综合攻坚・能力跃升 题型01向量的概念 1．下列说法正确的是（    ） A．若方向相反，则与为相反向量 B．模相等的两个平行向量相等 C．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段 D．共线向量是在同一条直线上的向量 2．下列说法不正确的是（    ） A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同 B．零向量的方向是任意的 C．若，则四边形ABCD不一定是平行四边形 D．若，，则 3．下列关于向量说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．所有单位向量都相等 C．向量的模是一个正实数 D．相反向量的模一定相等 4．(多选)关于非零向量，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 题型02 向量的加减法 5．（    ） A． B． C． D． 6．下列结果不是零向量的是（   ） A． B． C． D． 7．已知，，，，且四边形ABCD为平行四边形，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，在正六边形中，若，则______. 题型03向量的数乘（含线性运算） 9．在正方形中，，设则（    ） A． B． C． D． 10．已知P为所在平面内一点，，则（   ） A． B． C． D． 11．已知是所在平面内一点，为边的中点，且，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（1）化简 （2）设向量，，求． 13．在中，点M为边BC的中点，点N在AM上，且，则（     ） A． B． C． D． 14．如图，在四边形中，，，设，，则等于（    ） A． B． C． D． 题型04向量共线定理及其应用 15．证明顺次连接四边形各边中点所得四边形为平行四边形． 已知：如图，四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点． 求证：四边形是平行四边形； 16．已知是平面上两个不共线的向量，且，， . (1)若方向相反，求k的值； (2)若A，C，D三点共线，求k的值． 17．已知中，，线段与线段交于点，若，则______. 18．如图，在平行四边形中，，设. (1)用表示； (2)证明：三点共线. 19．在中，点是的中点，点在上，且，与相交于点，则________，________． 20．点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为_____. 题型05平面向量的基本定理的应用（含基底） 21．设点O是两条对角线的交点，下列组合中：①与；②与；③与；④与，其中可作为表示平行四边形所在平面所有向量的基的是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 22．(多选)设是平面向量的一组基底，以下四个选项中不能作为平面向量的一组基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 23．(多选)下列各组向量中，能作为它们所在平面内所有向量的基底的是（        ）（多选） A． B． C． D． 24．如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则（   ） A． B． C． D． 25．在平行四边形中，分别是的中点，若，则______，______． 26．已知中，延长到C，使，D是将分成的一个分点，和交于点E，设，， (1)用，表示向量，； (2)若，求实数的值． 27．已知中，是边上靠近B的三等分点，Q为的中点，过点O的直线分别交直线，于不同的两点M，N，设，，其中，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值为 28．如图所示，在中，M是的中点，且，与相交于点E，设，，，试求x，y的值． 29．如图，在梯形中，点在线段上，．若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 30．如图，点是点关于点的对称点，点是线段上一个靠近点的三等分点，设，． (1)用向量与表示向量，； (2)若，求证：，，三点共线． (3)若与交于点，，求实数的值．（写过程） (4)若，（，为实数），探究与第（3）问中的数量关系（直接写出结论） 31．在中，为的中点，，过点任作一条直线，分别交线段、于、两点，设，，若，，则的最小值是______. 题型06向量的坐标表示与运算 32．已知向量在正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则（    ） A． B． C． D． 33．已知点，，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 34．已知平行四边形满足，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 35．若，且，则点的坐标为__________. 题型07利用向量坐标解决共线问题 36．(多选)定义平面斜坐标系，为斜坐标系的原点，记，、分别为轴、轴正方向上的单位向量，若平面上任意一点满足，则记点的斜坐标为，则下列说法正确的是（   ） A．在斜坐标系下，的坐标不能由点的位置唯一确定 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则、、三点共线 37．已知向量，若，则_________． 38．已知三点坐标分别为，并且，，求证：． 39．向量，，，当为何值时，A，B，C三点共线？ 题型08向量坐标运算的几何应用 40．在直角中，是直角，的内切圆交于点，点是图中阴影区域内的一点（不包含边界）.若，则的值可以是（    ）    A．1 B．2.5 C．4 D．5.5 41．如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（    ） A． B． C．2 D． 42．(多选)如图，在直角梯形中，，，E为AB的中点，M，N分别为线段DE的两个三等分点，点P为线段BD上的任意一点，若，则的值不可能是（   ）    A． B．3 C．7 D．9 43．根据勾股定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和，现在对直角三角形（其中，）按上述操作作图后，得如图所示的图形，若，则______. 1．如图，在矩形中，为上一点，，若，则的值为（    ） A． B． C． D．1 2．在中，，是直线上的一点，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．2025年是中国人民抗战胜利80周年暨世界反法西斯战争胜利80周年．抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，简称“解放碑”．如图甲所示，解放碑的底座外观呈正八棱柱形，记正八棱柱的底面是正八边形，如图乙所示，若是正八边形的中心，且，则（   ） A． B． C． D．3 5．已知平面向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 6．已知两个不共线的向量，，且，，，若A，B，D三点共线，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．在中，，，，D是内一点，且设，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，，，是圆上的三个不同点，且，，则（    ）． A． B． C． D． 9．已知，则与共线的条件为（    ） A． B． C． D．或 10．（多选）关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．如图所示，在中，为的中点，与交于点，若，则实数的值为______. 12．已知非零向量､不共线，若，，，且三点共线，则___________. 13．已知平行四边形的顶点为，求点坐标. 14．已知向量与的夹角为，且，. (1)求； (2)当为何值时？ (3)当为何值时，此时它们是同向还是反向？ 15．如图，在等边中，，点O在边BC上，且．过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N． (1)设，，试用，表示； (2)设，，求的最小值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01向量概念与运算 目录 A题型建模・专项突破 题型01向量的概念 题型02 向量的加减法 题型03向量的数乘（含线性运算） 题型04向量共线定理及其应用 题型05平面向量的基本定理的应用（含基底） 题型06向量的坐标表示与运算 题型07利用向量坐标解决共线问题 题型08向量坐标运算的几何应用 B综合攻坚・能力跃升 题型01向量的概念 1．下列说法正确的是（    ） A．若方向相反，则与为相反向量 B．模相等的两个平行向量相等 C．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段 D．共线向量是在同一条直线上的向量 【答案】C 【分析】根据相等向量的定义，可判断A、B的正误；根据向量和有向线段的定义，可判断C的正误；根据共线向量的定义，可判断D的正误. 【详解】选项A：若方向相反，但模长不同时，两个向量不是相反向量，故A错误； 选项B：若模长相等的两个平行向量，方向相反，则为相反向量，不是相等向量，故B错误； 选项C：向量没有固定的起点，但有向线段有起点，有向线段是向量的表示工具， 所以有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段，故C正确； 选项D：共线向量方向相同或相反，可位于平行直线上，不一定在同一条直线上，故D错误. 故选：C 2．下列说法不正确的是（    ） A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同 B．零向量的方向是任意的 C．若，则四边形ABCD不一定是平行四边形 D．若，，则 【答案】D 【分析】利用相等向量的意义判断A；零向量的意义判断B；利用共线向量的定义性质逐项判断CD. 【详解】对于A，两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同，A正确； 对于B，零向量的方向是任意的，B正确； 对于C，由，得，不一定平行，则四边形ABCD不一定是平行四边形，C正确； 对于D，若，，当时，可以不共线，即不一定成立，D错误. 故选：D 3．下列关于向量说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．所有单位向量都相等 C．向量的模是一个正实数 D．相反向量的模一定相等 【答案】D 【分析】利用零向量、单位向量和相反向量的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为零向量的方向是任意的，所以A错误； 对于B，单位向量是长度为一个单位的向量，方向可以是任意方向，所以B错误， 对于C，因为的模长为，所以C错误， 对于D，因为相反向量是模长相等，方向相反的两个向量，所以D正确， 故选：D. 4．(多选)关于非零向量，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BD 【分析】根据相等向量、向量的定义逐一判断即可. 【详解】A：两个非零向量相等除了它们的模相等之外还要方向相同，故本选项命题不正确； B：由，可以得到非零向量的方向相反，所以，因此本选项命题正确； C：两个向量不能比较大小，所以本选项命题不正确； D：由向量相等的定义可以判断本选项命题正确， 故选：BD 题型02 向量的加减法 5．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】根据向量的线性运算法则，可得. 故选：A. 6．下列结果不是零向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A中，由，所以A不符合题意； 对于B中，由，所以B符合题意； 对于C中，由，所以C不符合题意； 对于D中，由，所以D不符合题意. 故选：B. 7．已知，，，，且四边形ABCD为平行四边形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算法则，可得，，根据平行四边形的性质，可得，化简即可得答案. 【详解】由题意，， 因为四边形ABCD为平行四边形， 所以，即， 整理得. 故选：B 8．如图，在正六边形中，若，则______. 【答案】 【分析】根据直角三角形中的三角函数值以及勾股定理求出，再由向量的加法原则求解即可. 【详解】如图所示，过点作的垂线，垂足为， 根据直角三角形的性质： ，， 根据勾股定理，在中，， 因此. 故答案为：. 题型03向量的数乘（含线性运算） 9．在正方形中，，设则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出图形根据平面向量的线性运算法则即可得出结果. 【详解】如下图所示： 由可得，由可得； 则， 因此. 故选：C 10．已知P为所在平面内一点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意作出图形，利用向量线性运算即可得到答案. 【详解】由题意作出图形，如图所示， 所以， 故选：A. 11．已知是所在平面内一点，为边的中点，且，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知条件中D为BC中点得出的向量关系，结合另一个条件，通过向量的运算和变形来判断各选项的正确性. 【详解】连接，因为为边的中点，所以， 又因为，所以， 所以，所以，故A、B、C错误； 由，可得，所以，故D正确． 故选：D． 12．（1）化简 （2）设向量，，求． 【答案】（1）；（2） 【分析】利用向量的线性运算法则与运算律化简计算即可. 【详解】（1）原式 . （2）原式 ， 因为，， 所以原式 ． 13．在中，点M为边BC的中点，点N在AM上，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助向量线性运算法则计算即可得. 【详解】因为点M是边BC的中点，所以 因为点N在AM上，且 ，所以， 所以. 故选：C. 14．如图，在四边形中，，，设，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的线性运算，结合图形可得. 【详解】因为， 所以 . 故选：C. 题型04向量共线定理及其应用 15．证明顺次连接四边形各边中点所得四边形为平行四边形． 已知：如图，四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点． 求证：四边形是平行四边形； 【答案】证明见解析 【分析】利用向量相等证明四边形是平行四边形. 【详解】连接．因为E，F分别是，的中点， 所以，同理， 所以，所以且， 所以四边形是平行四边形． 16．已知是平面上两个不共线的向量，且，， . (1)若方向相反，求k的值； (2)若A，C，D三点共线，求k的值． 【答案】(1)2 (2)或3 【分析】（1）由题意得，则存在实数，使得，代入条件可得，待定系数，即可得答案. （2）先求得，由题意存在实数，使得，代入条件可得，待定系数，即可得答案. 【详解】（1）由题意得，则存在实数，使得， 所以， 则，解得或， 因为方向相反，所以，则. （2）因为，所以， 所以， 因为A，C，D三点共线， 所以存在实数，使得， 则， 所以，解得或3. 17．已知中，，线段与线段交于点，若，则______. 【答案】 【分析】三点公式的结论：若三点共线，则且，利用这个结论求解. 【详解】三点共线， ， ，，， 三点共线，，， ①， ，， ， ， ②， ①代入②，得到， 即， 则，解得， 则. 18．如图，在平行四边形中，，设. (1)用表示； (2)证明：三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，结合和，即可求解； （2）根据题意，求得，，得到，即可得证. 【详解】（1）解：由题意知，向量可得， 又由，可得， 所以. （2）证明：因为，可得， 所以， 且，可得，所以三点共线. 19．在中，点是的中点，点在上，且，与相交于点，则________，________． 【答案】 【分析】设，，则，，根据A，P，M和B，P，N分别共线，可知存在实数使得，，根据，解出即可. 【详解】设，， 则， 因为，，和，，分别共线， 则存在实数使得，． 可得． 又因为， 由平面向量基本定理得，解得， 则，． 所以，． 故答案为：；. 20．点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为_____. 【答案】/ 【分析】根据给定条件可得点是线段上靠近点的四等分点，再利用三角形面积公式求得答案. 【详解】， 因为中点，则， 代入可得，所以， 即点是线段上靠近点的四等分点. 则，而，故. 题型05平面向量的基本定理的应用（含基底） 21．设点O是两条对角线的交点，下列组合中：①与；②与；③与；④与，其中可作为表示平行四边形所在平面所有向量的基的是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 【答案】B 【分析】根据基底的定义判断即可. 【详解】①不共线可以做基底，②不可以做基底； ③不共线可以做基底，④不可以做基底； 故所在平面所有向量的基的是①③. 故选：B. 22．(多选)设是平面向量的一组基底，以下四个选项中不能作为平面向量的一组基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】ABC 【分析】根据向量是否共线，即可根据基底的定义求解. 【详解】对于A：，所以和共线，故和不能作为基底． 对于B：与共线，故与不能作为基底． 对于C：，所以与共线，故与不能作为基底． 对D：，所以与不共线，故和可以作为基底． 故选：ABC． 23．(多选)下列各组向量中，能作为它们所在平面内所有向量的基底的是（        ）（多选） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】选项A，设（为实数），则， ，则无解，所以不共线， 所以能作为它们所在平面内所有向量的基底，故A正确； 选项B，因为，所以共线， 所以不能作为它们所在平面内所有向量的基底，故B不正确； 选项C，设（为实数），则， ，则无解，所以不共线， 所以能作为它们所在平面内所有向量的基底，故C正确； 选项D，是零向量，与任何向量都共线， 所以不能作为它们所在平面内所有向量的基底，故D不正确. 24．如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，由共线，存在使 ， 由 共线，存在使， 联立系数相等： ，解得：， ，因此：，故选项 A 错误； 对于B，， 若，则： ​，显然系数不相等，选项B错误； 对于C，由于，且在 上，故设， 则， 结合 ，得：，解得，选项C错误； 对于D，由， 所以，故选项 D 正确. 25．在平行四边形中，分别是的中点，若，则______，______． 【答案】 /0.4 【分析】如图设与相交于点，根据共线可得，又，可得，再利用向量线性运算即得. 【详解】设与相交于点，如图， 设，又， 所以，即， 所以，解得， ， 即， 所以，． 故答案为：； 26．已知中，延长到C，使，D是将分成的一个分点，和交于点E，设，， (1)用，表示向量，； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)，． (2) 【分析】（1）利用向量的线性运算求解即可； （2）利用与共线，可得存在实数m，使得，进而计算可得，进而计算可求实数的值． 【详解】（1）为中点， ，． ． （2）， ． 与共线， ∴存在实数m，使得， 即， 即． ，不共线，， 解得． 27．已知中，是边上靠近B的三等分点，Q为的中点，过点O的直线分别交直线，于不同的两点M，N，设，，其中，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值为 【答案】D 【分析】根据平面向量基本定理结合图像和已知条件以及基本不等式的性质逐项计算判断即可. 【详解】对于A：根据题意画出图像，则根据已知条件可得 ，A正确； 对于B：，由A知. 所以，B正确； 对于C：因为，，， 所以. 因为点共线，所以设. 所以，化简得. 即，又， 所以，两式相加得，即，C正确； 对于D：由C知，所以. 所以D错误. 故选：D 28．如图所示，在中，M是的中点，且，与相交于点E，设，，，试求x，y的值． 【答案】， 【分析】由，，三点共线可得，故存在实数使，由，，三点共线可得，存在实数使，由平面向量基本定理列方程求，由此可得结论. 【详解】由题意得，， 由，，三点共线可知，存在实数使． 由，，三点共线可知，存在实数使． 所以， 由于，不共线，所以 解得，，所以． 所以，． 29．如图，在梯形中，点在线段上，．若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设，根据平面向量的线性运算可得，结合平面向量基本定理可得，即可得结果. 【详解】依题意，设， 则， 又，且，不共线，则， 解得，即，则，，所以. 故选：C 30．如图，点是点关于点的对称点，点是线段上一个靠近点的三等分点，设，． (1)用向量与表示向量，； (2)若，求证：，，三点共线． (3)若与交于点，，求实数的值．（写过程） (4)若，（，为实数），探究与第（3）问中的数量关系（直接写出结论） 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解； （2）根据向量的线性运算表示，即可根据倍数关系判断共线，即可求证； （3）根据向量的线性运算表示，即可根据向量共线列式计算求解； （4）根据向量的线性运算表示，即可根据向量相等计算求解. 【详解】（1）由题意得， ，，， ； （2）证明：， 与平行，又与有公共点C， C，D，E三点共线； （3）， ． 与共线， 存在实数，使得， 即， 即． ，不共线，．解得； （4），， ， ， 所以，； 31．在中，为的中点，，过点任作一条直线，分别交线段、于、两点，设，，若，，则的最小值是______. 【答案】 【分析】先用将表示出来，然后根据、、三点共线，列出关于的等式，最后根据基本不等式的性质求解即可. 【详解】因为为的中点，所以， 因为，所以； 因为，， 所以，，所以， 因为、、三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为.    故答案为：. 题型06向量的坐标表示与运算 32．已知向量在正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】采用坐标法，首先建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，再表示为基底形式，利用待定系数法，即可求解. 【详解】如图建立平面直角坐标系，设正方形网格的边长为1， 则，，，， 所以，，， 设向量 则 则，解得 所以. 33．已知点，，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量的坐标运算即可求解. 【详解】设，则，. 因为，所以，解得， 所以点的坐标为. 故选：B. 34．已知平行四边形满足，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点的坐标为，求出,再根据向量相等的坐标表示列出方程,即可求解. 【详解】设点的坐标为， 因为，. 因为是平行四边形，所以， 即，解得，所以点的坐标为. 故选：A 35．若，且，则点的坐标为__________. 【答案】 【分析】设点，利用题设等式进行坐标运算，列出方程组，求解即得. 【详解】设点，则由可得， 故有，解得， 即点的坐标为. 故答案为：. 题型07利用向量坐标解决共线问题 36．(多选)定义平面斜坐标系，为斜坐标系的原点，记，、分别为轴、轴正方向上的单位向量，若平面上任意一点满足，则记点的斜坐标为，则下列说法正确的是（   ） A．在斜坐标系下，的坐标不能由点的位置唯一确定 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则、、三点共线 【答案】BC 【分析】利用平面向量坐标的表示及运算即可对A判断求解；由题可得，即可对B判断求解；，，即可求得从而对C判断求解；由题可求得，，假设、、三点共线，则可得，但无解，即可对D判断求解. 【详解】A：由题可设在斜坐标系下记点的斜坐标为，原点，，故的坐标可由点的位置唯一确定，故A错误； B：若，，所以，故B正确； C：若，， 则，故C正确； D：由，，， 则，， 假设、、三点共线，则可得，即，无解，故假设不成立，故D错误. 故选：BC. 37．已知向量，若，则_________． 【答案】 【详解】因为，所以， 又，所以，解得． 38．已知三点坐标分别为，并且，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据向量的坐标表示，以及向量线性运算的坐标表示，求出向量的坐标，根据向量共线基本定理，证明结果即可. 【详解】设点的坐标分别为，依题意有，，． ，，∴点E的坐标为． ，，∴点F的坐标为． ． 又因为， ． 39．向量，，，当为何值时，A，B，C三点共线？ 【答案】或11 【分析】求出，，由A，B，C三点共线得到与共线，利用向量共线的公式求解即可. 【详解】， ． 若A，B，C三点共线，则与共线． 则，即． 解得或． 故当的值为或11时，A，B，C三点共线． 题型08向量坐标运算的几何应用 40．在直角中，是直角，的内切圆交于点，点是图中阴影区域内的一点（不包含边界）.若，则的值可以是（    ）    A．1 B．2.5 C．4 D．5.5 【答案】B 【分析】先由内切圆性质求出半径，再利用坐标法得到的几何意义，数形结合可解. 【详解】在中，，则， 设内切圆半径为r， 则，可得， 以C为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，则，.    可得， 令，则点P在直线上， 因为点P是图中阴影区域内的一点(不包含边界)，即直线与阴影区域(不包含边界)有公共点. 由图可知，当且时，才满足题意，故ACD错误，B正确. 故选：B. 41．如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，由，利用向量相等求解. 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系： 则， 所以， 因为， 所以， 则，解得， 所以， 故选：B 42．(多选)如图，在直角梯形中，，，E为AB的中点，M，N分别为线段DE的两个三等分点，点P为线段BD上的任意一点，若，则的值不可能是（   ）    A． B．3 C．7 D．9 【答案】ACD 【分析】建立适当的平面直角坐标系，依次设和并结合和得关于的方程组即可求解. 【详解】由题可建立如图以A为坐标原点的平面直角坐标系，    则，不妨设，则， 则， 设，则， 因为，所以， 所以，整理得 因为，所以. 故选：ACD 43．根据勾股定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和，现在对直角三角形（其中，）按上述操作作图后，得如图所示的图形，若，则______. 【答案】/ 【分析】依题意，建立平面直角坐标系，设，求得的坐标，再由列式求解即可. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系： 设，则， 则，， 所以，即， 所以， 因为， 所以，则， 所以， 则， 故答案为：. 1．如图，在矩形中，为上一点，，若，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】借助于矩形建立直角坐标系，利用坐标法求解. 【详解】 建立如图示坐标系，由则有： 因为E为上一点，可设 所以. 因为，所以，即，解得：，所以. 由得： ，解得：，所以. 故选：D 2．在中，，是直线上的一点，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用共线向量定理的推论列式计算即得. 【详解】由，得，则， 而三点共线，则， 所以. 故选：C 3．如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用向量基本定理得到，由共线定理的推论得到方程，求出. 【详解】， 因为，，所以， 又三点共线，所以，即. 故选：C 4．2025年是中国人民抗战胜利80周年暨世界反法西斯战争胜利80周年．抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，简称“解放碑”．如图甲所示，解放碑的底座外观呈正八棱柱形，记正八棱柱的底面是正八边形，如图乙所示，若是正八边形的中心，且，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】设正八边形的边长为，作平行四边形，则根据向量的平行四边形法则可以找到关系，即可求解. 【详解】因为为正八边形，所以其一个外角，一个内角为 如图作平行四边形，则， 设正八边形的边长为，则， 又， 所以，所以． 故选：C 5．已知平面向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量共线的坐标表示计算即可. 【详解】因为，， 所以，， 因为，所以，解得. 故选：C. 6．已知两个不共线的向量，，且，，，若A，B，D三点共线，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平面向量的线性表示与共线定理求解即可. 【详解】由，，， 所以， 因为A，B，D三点共线，所以存在实数，使得， 则， 因为向量，不共线， 所以，解得：， 故选：D 7．在中，，，，D是内一点，且设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据Rt△ABC构建平面直角坐标系，可知B、C的坐标分别为(1，0)、(0，2)，应用含参数的坐标表示向量，由平面向量基本定理，坐标运算求得参数λ、μ的关系即可求判断选项. 【详解】如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系 则B点的坐标为(1，0)，C点的坐标为(0，2)    ∵∠DAB＝45°，所以设D点的坐标为(m， m)(m≠0) 则λ＝m，且μ＝m， ∴，即 故选：B 8．如图，，，是圆上的三个不同点，且，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，建立直角坐标系，设圆的半径为1，则可求出的坐标，即可得到向量的坐标，由于不共线，所以利用平面向量基本定理进行求解即可 【详解】解：如图，建立直角坐标系，设圆的半径为1， 因为，， 所以, 所以, 因为不共线，所以由平面向量基本定理可知存在一对有序实数，使， 所以， 所以，解得， 所以， 故选：D 9．已知，则与共线的条件为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据是否共线进行分类讨论，由此求得正确答案. 【详解】若，则存在，使得， 则， 而，所以与共线. 若不共线，若与共线， 则存在，使得， 则. 综上所述，与共线的条件为或. 10．（多选）关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】根据向量不能比较大小，即可判断A；根据向量相等即可判断BD；根据向量平行及零向量即可判断C． 【详解】对于A，因为向量不能比较大小，故A错误； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若，则，但与不一定平行，故C错误； 对于D，若，则，故D正确； 故选：BD． 11．如图所示，在中，为的中点，与交于点，若，则实数的值为______. 【答案】/0.75 【分析】由向量共线定理可得，进而可得，结合向量的线性运算可得，比较系数即可求解. 【详解】三点共线，且为的中点， 存在实数使， ， ， 因为，即， ， 即，解得. 故答案为：. 12．已知非零向量､不共线，若，，，且三点共线，则___________. 【答案】 【分析】表示出向量，然后利用共线定理和平面向量基本定理求解即可. 【详解】因为，，所以， 又三点共线，且， 所以存在实数，使得，即， 因为非零向量､不共线，所以，解得. 故答案为： 13．已知平行四边形的顶点为，求点坐标. 【答案】点的坐标为. 【分析】由条件结合平行四边形的性质可得，设点的坐标为，列方程求可得结论. 【详解】因为四边形为平行四边形， 所以，设点的坐标为， 又， 所以， 所以，， 所以，， 故点的坐标为. 14．已知向量与的夹角为，且，. (1)求； (2)当为何值时？ (3)当为何值时，此时它们是同向还是反向？ 【答案】(1) (2) (3)，反向 【分析】（1）利用，把向量模的运算转化为数量积运算即得结果； （2）利用向量垂直的充要条件数量积为0，转化为数量积运算，最后解方程即得结果； （3）利用向量共线的充要条件得，根据平面向量基本定理，可得解. 【详解】（1）由已知得， 因为. 所以 （2）若，即， 所以，即，解得， 即当时，. （3）若，即， 根据平面向量基本定理可得，解得， 此时与反向. 15．如图，在等边中，，点O在边BC上，且．过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N． (1)设，，试用，表示； (2)设，，求的最小值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用给定的基底表示向量. （2）利用共线向量的推论及基本不等式求出最小值. 【详解】（1）由，得，所以. （2）由（1）知，，而，， 因此，而共线，则，又， 于是， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $