第三章3整式及其加减探索与表达规律2026-2027学年北师大七年级数学上册

**基本信息** 北师大七年级上册整式及其加减探索与表达规律专项试卷，通过庄子名言、毕达哥拉斯学派、有机化合物分子结构等多样化情境，设计选择、填空、解答题，系统考查规律观察、抽象表达及模型构建能力，适配暑假规律探究专项提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|单项式规律、图形规律（树形图/地砖）、数字规律（截绳/日历）|结合品字形、棋子图案等图形情境，考查观察归纳能力| |填空题|5/15|数列规律、幂的个位数字、数字黑洞、质点跳动|融入“一尺之棰”文化素材，强化抽象概括| |解答题|8/75|会议桌拼摆、日历规律、链条长度、三角点阵|多问设计（如日历规律的关系验证与拓展），综合考查模型意识与推理能力|

2026-2027北师大七年级上册整式及其加减 探索与表达规律专项 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.按一定规律排列的单项式：，，，，，，，第个单项式是(    ) A. B. C. D. 2.观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出的值为(    ) A. B. C. D. 3.如图所示为按照一定规律画出的“树形图”经观察可以发现：比多出个“树枝”，比多出个“树枝”，比多出个“树枝”照此规律，比多出的“树枝”个数为(    ) A. B. C. D. 4.某校校园里的一条小路使用正六边形、正方形、正三角形三种地砖按如图方式铺设若这条小路共用了块正六边形地砖，则正方形地砖的数量为(    ) A. 块 B. 块 C. 块 D. 块 5.如图是用棋子摆成的图案，按照这样的规律摆下去，第个图案需要的棋子个数为(    ) A. B. C. D. 6.米长的细绳，第次截去一半，第次截去剩下的，第三次截去剩下的如此下去，直到截去剩下的，则剩下的细绳长为(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把，，，这样的数称为“三角形数”，而把，，，这样的数称为“正方形数”从图中可以发现，任何一个大于的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和下列等式中，符合这一规律的是(    ) A. B. C. D. 8.如表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第个格子中的数为(    ) A. B. C. D. 9.醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子第种如图有个氢原子，第种如图有个氢原子，第种如图有个氢原子，第种如图有个氢原子，按照这一规律，第种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是(    ) A. B. C. D. 10.如图是年月的日历，观察日历日期发现：上下行同星期的日期差，左右相邻的日期数差，日历中的日期数为正整数，小芳同学要在该日历上圈出三个数，，，使得它们的和为，则这三个数在日历中的位置不可能是(    ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.已知，，，，，以此类推，则的值为          ． 12.庄子天下篇中记载道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话的意思是：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完根据这句话计算：           ． 13.观察下列算式：，，，，，，，，通过观察，用所发现的规律确定的个位数字是          ． 14.探究数字“黑洞”“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再“爬”出来无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌譬如：任意找一个的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方、求和，，重复运算下去，就能得到一个固定的数          ，我们称它为数字“黑洞”． 15.一质点从距原点个单位的点处向原点方向跳动，第一次跳动到的中点处，第二次从点跳动到的中点处，第三次从点跳动到的中点处，如此不断跳动下去，则第次跳动后，该质点到原点的距离为          ． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分某会议中心购买了一批长方形会议桌，每张会议桌的长边可以坐个人，短边只能坐个人．按照如图所示的规律拼摆会议桌，能够得到不同型号的大桌子． 型号的大桌子可以坐多少人？ 型号的大桌子可以坐多少人？ 如果有人参会，那么哪个型号的大桌子恰好可以坐下？请说明理由． 17.本小题分观察日历图， 回答下列问题： 日历图中的数有什么规律 日历图的套色方框中的个数之和与该方框正中间的数有什么关系 这个关系对其他这样的方框成立吗你能用代数式表示这个关系吗 这个关系对任何一个月的日历都成立吗为什么 你还能发现这样的方框中个数之间的其他关系吗请用代数式表示。 日历图中，能否使框中个数的和为呢为什么？ 18.本小题分如图，自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为． 节链条长          ，节链条长          ． 现有节这样的链条，求链条总长为多少． 19.本小题分观察下列等式． 第个等式：；第个等式：； 第个等式：；第个等式：； 请解答下列问题： 按以上规律列出第个等式：                    ． 求的值． 20.本小题分观察下列图形和对应表达式的变化规律： 画出第个图形，写出它对应的表达式，并说明图形和对应表达式之间有什么规律； 利用上面发现的规律计算：． 21.本小题分已知表，表分别是从表中选取的一部分，表中第一行第四个数是，第二行第三个数是，根据表中的规律，解答下列问题： 表中第四行第五个数是__________； 表，表中的，的和是__________； 求表中第四行第几个数是？ 表中第行第个数是___________用含的代数式表示． 22.本小题分阅读下面材料，并解决相关问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有个点，第二行有个点，，第行有个点，容易发现，三角点阵中前行的点数之和为． 探索：三角点阵中前行的点数之和为          ，前行的点数之和为          ，那么，前行的点数之和为          ． 体验：三角点阵中前行的点数之和          填“能”或“不能”为． 运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用盆同样规格的花，按照第一排盆，第二排盆，第三排盆，，第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 23.本小题分数学活动课上，同学们对三角形点阵中前行的点数计算进行探究活动： 图是一个三角形点阵，从上到下有无数行，其中第行有个点，第行有个点第行有个点． 【发现问题】在探究的过程中，容易发现是三角形点阵前行的点数和，但遇到较大的点数和，逐个数很烦琐． 【提出问题】前多少行的点数和是 【分析问题】数形结合是解决数学问题的重要思想下表分别从数和形两个角度探究前行的点数和． 从数的角度看 从形的角度看 通过具体的数字，想到了一种计算方法倒序相加法例如：求前行的点数和， ， 由式倒序：． ，得 所以，即前行的点数和为 利用图形的特征进行计算如图，将一个正立的三角形点阵倒立，再与正立的原图形的三角形点阵拼成一个平行四边形点阵，三角形点阵点数和为平行四边形点阵点数和的一半 【解决问题】 请根据材料，类比“从数的角度看”的计算方法，求出前行的点数和．前          行的点数和是． 【拓展应用】如果把图中的三角形点阵中各行的点数依次换为，，，，你能探究出前行的点数和的规律吗请说明理由． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 1.【答案】  2.【答案】  3.【答案】  4.【答案】  5.【答案】  6.【答案】  7.【答案】  8.【答案】  9.【答案】  10.【答案】  11.【答案】  12.【答案】  13.【答案】  14.【答案】  15.【答案】  16.【答案】【小题】 解：型号的大桌子可以坐人，型号的大桌子可以坐人， 型号的大桌子可以坐人． 【小题】 型号的大桌子可以坐人． 【小题】 型号的大桌子恰好可以坐下．理由如下： ， ． 型号的大桌子恰好可以坐下．   17.【答案】解：规律有很多。例如：每一列上下相邻两数相差，每一行上的相邻两数相差。 个数之和为，，这个数之和是正中间的数的倍。 都成立。 设最中间一个数为，因为这个数可以表示为 ， 所以其和为。 成立。根据的代数式可以得出结论。 从问中用代数式表示的框图来看，这个数中，对角线上个数的和为中间数的倍，如，每一行个数的和为这行中间数的倍，如，每一列个数的和为这列中间数的倍，如。 能使框中个数的和为，但不能使框中个数的和为。 由日历图可知框中个数的和为正中间数的倍，，则框中的个数为，，，，，，，，． ，而在第列，所以不能使框中个数的和为。   18.【答案】【小题】 【小题】 ． 答：节这样的链条总长是．   19.【答案】【小题】 【小题】 ．   20.【答案】【小题】 图如图所示： 规律：每个图形中分成小正方形个数相同的空白和阴影两个部分，且空白部分的小正方形个数从上往下由逐次增加增加到与图序相同的个数为止，阴影部分由上往下逐次减少，即每个图的小正方形个数，值与行数相同； 每个图形的行数与图的序号相同，列数比行数多，且行数列数小正方形的个数． 即：每个图的小正方形个数行数列数． 【小题】 由中发现的规律，得．   21.【答案】解：． ． 表中第四行第一个数为，第个数为， 当时， 解得：． ．  22.【答案】【小题】 【小题】 不能 【小题】 由题知，前排盆景的总数可表示为， 令得，解得，． 因为为正整数，所以， 即一共能摆放排．   23.【答案】【小题】 解：设，由式倒序：，，得．．前行的点数和为． 【小题】 前行的点数和为理由：．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027北师大七年级上册整式及其加减 探索与表达规律专项 题号 三 总分 得分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.按一定规律排列的单项式：a,-a2,a3,一a4,a,一a,,第n个单项式是() A.an B.-am C.(-1)n+1an D.(-1)an 2.观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为() 品品品品 A.23 B.75 C.77 D.139 3.如图所示为按照一定规律画出的“树形图”经观察可以发现：②比①多出2个“树枝”，③比②多出 4个“树枝”，④比③多出8个“树枝”照此规律，⑥比②多出的“树枝”个数为() ①② ④ A.28 B.56 C.60 D.124 第1页，共7页 4.某校校园里的一条小路使用正六边形、正方形、正三角形三种地砖按如图方式铺设.若这条小路共用了 50块正六边形地砖，则正方形地砖的数量为() A.300块 B.301块 C.250块 D.251块 5.如图是用棋子摆成的图案，按照这样的规律摆下去，第⑨个图案需要的棋子个数为(）) o00 00000 ① ② ③ ④ A.81 B.91 C.109 D.111 6.100米长的细绳，第1次截去一半，第2次截去剩下的，第三次截去剩下的好如此下去，直到截去 剩下的 ,则剩下的细绳长为() A.20米 B.15米 C.1米 D.50米 7.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16这样 的数称为“正方形数”.从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形 数”之和下列等式中，符合这一规律的是() ●●●/● 测 ●●/● ●0● ●●●● ●/●●● ●●●● 4=1+3 9=3+6 16=6+10 A.13=3+10 B.25=9+16 C.36=15+21D.49=18+31 8.如表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等， 则第2026个格子中的数为() -2abc3-1 … A.3 B.-1 C.2 D.-2 第2页，共7页 9.醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中 代表碳原子，○代表氧原子，o代表氢原子.第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原 子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，按照这一规律，第9种化合物的分 子结构模型中氢原子的个数是() 碳原子 。氧原子 。氢原子 图1 图2 图3 图4 A.18 B.20 C.22 D.24 10.如图是2025年6月的日历，观察日历日期发现：上下行同星期的日期差7，左右相邻的日期数差1， 日历中的日期数为正整数，小芳同学要在该日历上圈出三个数a,b,c,使得它们的和为63，则这三个数 在日历中的位置不可能是() 2025年6月 2345678 9101112131415 16171819202122 23242526272829 30 a B b C 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 1.已知a1-号a=女ag=。a4=…以此类推，则a20的值为 12.住子·天下篇》中记载道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话的意思是：一尺长的木棍，每 天截掉一半，水远也截不完根据这句话计算：1-分之-一245=一 1 13.观察下列算式：21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,28=256，通过 观察，用所发现的规律确定215的个位数字是 第3页，共7页 14.探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那 里都别想再“爬”出来无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算， 都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌譬如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每一个数位上 的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方、求和，，重复 运算下去，就能得到一个固定的数T=,我们称它为数字“黑洞”· 15.一质点P从距原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点A1处，第二次从A1点跳动 到0A1的中点A2处，第三次从A2点跳动到OA2的中点A3处，如此不断跳动下去，则第5次跳动后，该质点 到原点0的距离为 PP OA:A3 A2 A, A 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.(本小题9分)某会议中心购买了一批长方形会议桌，每张会议桌的长边可以坐2个人，短边只能坐1 个人，按照如图所示的规律拼摆会议桌，能够得到不同型号的大桌子. 型号1 型号2 型号3 (1)型号3的大桌子可以坐多少人？ (2)型号n的大桌子可以坐多少人？ (3)如果有36人参会，那么哪个型号的大桌子恰好可以坐下？请说明理由 第4页，共7页 17.(本小题9分)观察日历图，回答下列问题： (1)日历图中的数有什么规律？ (2)日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？ (3)这个关系对其他这样的方框成立吗？你能用代数式表示这个关系吗？ (④这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？ (⑤)你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗？请用代数式表示。 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (6日历图中，能否使框中9个数的和为144？180呢？为什么？ 18.(本小题9分)如图，自行车每节链条的长度为2.5cm,交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm. ←2.5cm→ 0.8cm ⊙⊙⊙ ◎⊙⊙·◎⊙⊙ 1节链条 2节链条 n节链条 (1)5节链条长 cm,n节链条长 cm. (2)现有50节这样的链条，求链条总长为多少 19.(本小题9分)观察下列等式. 第1个等式：a1=3=方×(1-)： 1 第2个等式：a=35=x(后)月 第3个等式：a=☆7=×（传-》：第4个等式：4=★g=×(传-）》 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式：as==一 (2)求a1十a2+a3+a4十.十a1o0的值. 第5页，共7页 20.(本小题9分)观察下列图形和对应表达式的变化规律： 2=1×22×(1+2)=6=2×32×(1+2+3)=12=3×42×(1+2+3+4)=20=4×5 图1 图2 图3 图4 (1)画出第5个图形，写出它对应的表达式，并说明图形和对应表达式之间有什么规律： (2)利用上面发现的规律计算：2+4+6+…+100 21.(本小题10分)己知表②，表③分别是从表①冲选取的一部分，表①冲第一行第四个数是3，第二行第 三个数是5，根据表①冲的规律，解答下列问题： 1113 a 表① 表② 表③ (1)表①冲第四行第五个数是 (2)表②，表③中的a,b的和是 (3)求表①冲第四行第几个数是107？ (4表①中第n行第7个数是 (用含n的代数式表示). 22.(本小题10分)阅读下面材料，并解决相关问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，，第n行有n 个点，容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10. 】 ●● ●●● ●●●● ●●●● ●●●●●● ●●●●●● (1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为，前15行的点数之和为，那么，前n行的点数之和 为一 (2)体验：三角点阵中前n行的点数之和（填“能”或“不能”）为500. 第6页，共7页 (③)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆， 第二排4盆，第三排6盆，，第n排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 23.(本小题10分)数学活动课上，同学们对三角形点阵中前n行的点数计算进行探究活动： 图1是一个三角形点阵，从上到下有无数行，其中第1行有1个点，第2行有2个点…第n行有n个 点 【发现问题】在探究的过程中，容易发现10是三角形点阵前4行的点数和，但遇到较大的点数和，逐个 数很烦琐. 【提出问题】前多少行的点数和是120？ 【分析问题】数形结合是解决数学问题的重要思想.下表分别从数和形两个角度探究前行的点数和， 从数的角度看 从形的角度看 通过具体的数字，想到了一种计算方法一一倒序相加法， 例如：求前10行的点数和， 利用图形的特征进行计算如图2，将一个正 S=1+2+3+…+10①， 立的三角形点阵倒立，再与正立的原图形的 由①式倒序：S=10+9+…+2+1②. 三角形点阵拼成一个平行四边形点阵，三角 ①+②，得2S=(10+1)+(9+2)+…+(10+ 形点阵点数和为平行四边形点阵点数和的一 1)=11×10=110. 半 所以S=55,即前10行的点数和为55 n+1个 n行 图1 图2 (1)【解决问题】 (1)请根据材料，类比“从数的角度看”的计算方法，求出前n行的点数和.(2)前_行的点数和是 120. (2)【拓展应用】如果把图1中的三角形点阵中各行的点数依次换为2,4,6，…，2n,,你能探究出前n行 的点数和的规律吗？请说明理由. 第7页，共7页