期末高频考点专练之勾股定理（五考点）2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦勾股定理五大核心考点，从基础计算到实际应用，题型覆盖全面，逻辑递进，培养几何直观与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |用勾股定理求值|6题|含分类讨论、斜边上的高计算|从直角边求第三边到非直角三角形高的应用| |以直角三角形三边为边长的图形面积|6题|正方形、正三角形、半圆面积|勾股定理与图形面积公式结合，体现数形结合| |勾股定理与网格问题|4题|格点三角形边长、面积、角度计算|利用网格构建直角三角形，强化几何直观| |勾股数与直角三角形的判断|5题|勾股数识别、三角形形状判定|从数到形，培养推理意识与运算能力| |勾股定理及其逆定理的应用|8题|折叠、梯子、航海、立体图形最短路径|综合应用定理解决实际问题，发展模型意识|

期末高频考点专练之勾股定理2025-2026学年人教版 八年级下册（五考点） 考点1：用勾股定理求值 1．若直角三角形的两条边分别为和2，则该三角形第三边的长为（   ） A．1 B． C．5 D．1或 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，CD⊥AB于D，则CD的长是(       )    A．5 B．7 C． D． 3.已知△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上的高为12．则△ABC的面积为（　　） A．24或84 B．84 C．48或84 D．48 4.在等腰三角形中，，，则边上的高是 ． 5．如图，在中，点为的中点，，，，则边上的高为 ． 6.如图，在△ABC中AB＝AC＝10，BC＝16，若∠BAD＝3∠DAC，则CD＝　 　． 考点2：以直角三角形三边为边长的图形面积 1.以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形的边长为（   ） A．6 B．36 C．64 D． 2.如图，在中，，，分别以，为一边向外作正方形，记这两个正方形的面积分别为，，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3.所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是（   ）． A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 4.如图，中，，分别以的边为一边向外作正三角形，记三个正三角形的面积分别为．若，则 ． 5.如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形的面积依次为5、13、30，则正方形的面积为 ． 6.如图，在中，，，以斜边和直角边为直径的半圆面积分别记为、，则 ．（结果保留π） 考点3：勾股定理与网格问题 1.如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，下面结论：①；②；③的面积为10；④点A到直线的距离是2．正确的结论共有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，求边上的高长＝ ． 3.如图所示的网格是由相同的小正方形组成的网格，点A，B，P是网格线的交点，则∠PAB+∠PBA＝　 　°． 4．如图，在每个小正方形面积为1的方格纸中有三个格点、、，则点到的距离为 ． 考点4：勾股数与直角三角形的判断 1.下列各组数中，为勾股数的是（    ） A．9，40，41 B．5，6，7 C．，， D．，， 2.下列各组数据分别是三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 3.在中，，，，则下列结论正确的是（   ） A．是直角三角形，且 B．是直角三角形，且 C．是直角三角形，且 D．不是直角三角形 4.三角形的三条边分别为，，且满足，，则三角形的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 5.勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是 　 　（结果用含m的式子表示）． 考点5：勾股定理及其逆定理的应用 1.轩轩同学在校园里散步时看到鸟儿飞来飞去的场景，提出了一个有趣的数学问题：有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞多远？下列结果最接近的是（    ） A． B． C． D． 2.如图1，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，图2是这棵大树折断的示意图，则这棵大树在折断之前的高是（　　） A．20米 B．18米 C．16米 D．15米 3.一架长5m的梯子斜靠在墙上，梯子底端到墙的距离为3m．若梯子顶端下滑1m，那么梯子底端在水平方向上滑动了（　　） A．1m B．小于1m C．大于1m D．无法确定 4．如图，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 5.如图，小明有一个圆柱形饮水杯．底面半径是6cm，高是16cm，上底面贴着杯壁有一个小圆孔，则一条长24cm的直吸管露在杯外部分a的长度（杯壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（　　） A．8≤a≤10 B．4≤a≤8 C．4≤a≤2 D．4≤a≤10 6.如图，铁路和公路在点O处相交，公路上距离O点的点A到的直线距离为．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点A处受噪音影响的时间为 ． 7.如图，长方体的棱长为3，棱长为5，棱长为2，P为中点，一只蚂蚁从点A出发，在长方体表面沿如图所示的路径到点P处吃食物，则它爬行的最短路程是 ． 8.如图，某港口O位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里． （1）若它们离开港口一个半小时后分别位于A、B处，且相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？说明理由． （2）若“远航”号沿北偏东60°方向航行，经过两个小时后位于F处，此时船上有一名乘客需要紧急回到PE海岸线上，若他从F处出发，乘坐的快艇的速度是每小时80海里．他能在半小时内回到海岸线吗？说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末高频考点专练之勾股定理2025-2026学年人教版 八年级下册（五考点） 考点1：用勾股定理求值 1．若直角三角形的两条边分别为和2，则该三角形第三边的长为（   ） A．1 B． C．5 D．1或 【答案】D 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，CD⊥AB于D，则CD的长是(       )    A．5 B．7 C． D． 【答案】C 3.已知△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上的高为12．则△ABC的面积为（　　） A．24或84 B．84 C．48或84 D．48 【答案】A． 4.在等腰三角形中，，，则边上的高是 ． 【答案】 5．如图，在中，点为的中点，，，，则边上的高为 ． 【答案】/ 6.如图，在△ABC中AB＝AC＝10，BC＝16，若∠BAD＝3∠DAC，则CD＝　 　． 【答案】5． 考点2：以直角三角形三边为边长的图形面积 1.以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形的边长为（   ） A．6 B．36 C．64 D． 【答案】D 2.如图，在中，，，分别以，为一边向外作正方形，记这两个正方形的面积分别为，，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 3.所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是（   ）． A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 4.如图，中，，分别以的边为一边向外作正三角形，记三个正三角形的面积分别为．若，则 ． 【答案】4 5.如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形的面积依次为5、13、30，则正方形的面积为 ． 【答案】12 6.如图，在中，，，以斜边和直角边为直径的半圆面积分别记为、，则 ．（结果保留π） 【答案】 考点3：勾股定理与网格问题 1.如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，下面结论：①；②；③的面积为10；④点A到直线的距离是2．正确的结论共有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 2.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，求边上的高长＝ ． 【答案】 3.如图所示的网格是由相同的小正方形组成的网格，点A，B，P是网格线的交点，则∠PAB+∠PBA＝　 　°． 【答案】45． 4．如图，在每个小正方形面积为1的方格纸中有三个格点、、，则点到的距离为 ． 【答案】 考点4：勾股数与直角三角形的判断 1.下列各组数中，为勾股数的是（    ） A．9，40，41 B．5，6，7 C．，， D．，， 【答案】A 2.下列各组数据分别是三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 3.在中，，，，则下列结论正确的是（   ） A．是直角三角形，且 B．是直角三角形，且 C．是直角三角形，且 D．不是直角三角形 【答案】B 4.三角形的三条边分别为，，且满足，，则三角形的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】B 5.勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是 　 　（结果用含m的式子表示）． 【答案】m2+1． 考点5：勾股定理及其逆定理的应用 1.轩轩同学在校园里散步时看到鸟儿飞来飞去的场景，提出了一个有趣的数学问题：有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞多远？下列结果最接近的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 2.如图1，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，图2是这棵大树折断的示意图，则这棵大树在折断之前的高是（　　） A．20米 B．18米 C．16米 D．15米 【答案】B 3.一架长5m的梯子斜靠在墙上，梯子底端到墙的距离为3m．若梯子顶端下滑1m，那么梯子底端在水平方向上滑动了（　　） A．1m B．小于1m C．大于1m D．无法确定 【答案】A． 4．如图，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 5.如图，小明有一个圆柱形饮水杯．底面半径是6cm，高是16cm，上底面贴着杯壁有一个小圆孔，则一条长24cm的直吸管露在杯外部分a的长度（杯壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（　　） A．8≤a≤10 B．4≤a≤8 C．4≤a≤2 D．4≤a≤10 【答案】B． 6.如图，铁路和公路在点O处相交，公路上距离O点的点A到的直线距离为．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点A处受噪音影响的时间为 ． 【答案】16 7.如图，长方体的棱长为3，棱长为5，棱长为2，P为中点，一只蚂蚁从点A出发，在长方体表面沿如图所示的路径到点P处吃食物，则它爬行的最短路程是 ． 【答案】 8.如图，某港口O位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里． （1）若它们离开港口一个半小时后分别位于A、B处，且相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？说明理由． （2）若“远航”号沿北偏东60°方向航行，经过两个小时后位于F处，此时船上有一名乘客需要紧急回到PE海岸线上，若他从F处出发，乘坐的快艇的速度是每小时80海里．他能在半小时内回到海岸线吗？说明理由． 【答案】解：（1）∵OA＝16×1.5＝24，OB＝12×1.5＝18，AB＝30， ∴OA2+OB2＝AB2， ∴△AOB是直角三角形， ∴∠AOB＝90°， ∵“远航”号沿东北方向航行， ∴∠AON＝45°， ∴∠BON＝90°﹣45°＝45°， ∴“海天”号沿西北方向航行； （2）过点F作FD⊥PE于D， OF＝16×2＝32， ∵∠NOF＝60°， ∴∠FOD＝90°﹣60°＝30°， ∴FD， ∴16÷80＝0.2（小时）， ∵0.2＜0.5， ∴能在半小时内回到海岸线． 学科网（北京）股份有限公司 $