期末解答题突破训练2025-2026学年湘教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦期末高频考点，以题组形式系统覆盖四边形、图形与坐标、一次函数、数据的分析四大模块，注重知识逻辑递进与核心素养培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |四边形|5题，含平行四边形、矩形、菱形、正方形判定与性质综合题|以几何证明为主，结合计算，强调转化与全等思想|从一般四边形到特殊四边形，判定与性质互逆应用，培养几何直观| |图形与坐标|5题，含坐标系建立、点的位置、图形平移与面积计算|坐标与图形结合，注重数形转化|从坐标概念到图形变换，逐步提升空间观念与应用意识| |一次函数|5题，含表达式求解、交点问题、实际应用与几何综合|函数与几何、实际问题结合，强调模型思想|从函数表达式到实际应用，培养运算能力与模型意识| |数据的分析|5题，含统计量计算、样本估计总体、频数分布|以数据处理为主，注重数据分析与推断|从基础统计量到数据应用，发展数据意识与推理能力|

期末解答题突破训练2025-2026学年湘教版八年级下册 板块一：四边形 1．如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，且AB＝CD，BF＝DE，求证：四边形ABCD是平行四边形． 2．如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，AE＝3，EB＝5，DE＝4． （1）求证：∠DEA＝90°； （2）求CE的长． 3.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，且CE＝BC，AE＝AB，AE、DC相交于点O，连接DE． （1）求证：四边形ACED是矩形； （2）若∠AOD＝120°，AC＝4，求对角线CD的长． 4．如图，点E是正方形ABCD的边BC上的动点，，且，． （1）求证：； （2）若，，用x表示DF的长． 5.如图，的对角线相交于点O，平分，过点D作，过点C作，交于点P，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 板块二：图形与坐标 1．我县圆圆圈及附近的平面示意图如图所示，已知文化宫的坐标是，闽剧团艺术中心的坐标是 (1)根据上述条件建立平面直角坐标系； (2)若华港大厦的坐标为，请在图中用实心圆点标出华港大厦的位置． 2.在直角坐标系中描绘下列各点，并将各组内这些点依次用线段连接起来．，，，． (1)图形中哪些点在坐标轴上？ (2)线段与x轴有什么位置关系？ 3．在平面直角坐标系中，点A的坐标为． (1)若点A在y轴上，求点A的坐标； (2)若点，直线轴，求a的值； (3)点C的坐标为，若直线轴，且线段的长为5，求b的值及点C的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，所给的正方形网格的每个小正方形边长均为1个单位，每个小正方形的顶点称为格点，三角形的三个顶点均在格点上，位置如图所示，其中．现将三角形沿 的方向平移，使得点A平移至的位置． (1)在图中画出三角形，写出点的坐标为 ．点的坐标为 ； (2)三角形的面积为 ． (3)线段沿的方向平移到的过程中扫过的面积是 ； 5.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，过点作直线轴，垂足为C，交线段于点D，过点A作，垂足为E，连接． (1)求的面积； (2)点P为直线上一动点，当时，求点P的坐标． 板块三：一次函数 1.已知y＝y2﹣y1，其中y1与x成正比例，y2与x+2成正比例，当x＝﹣1时，y＝2，当x＝2时，y＝10． （1）求y与x的函数表达式； （2）当x取何值时，y的值为30？ 2．如图，直线l1：y＝mx+4与x轴交于点B，点B与点C关于y轴对称，直线l2：y＝kx+b经过点C，且与l1交于点A（1，2）． （1）求直线l1与l2的解析式； （2）记直线l2与y轴的交点为D，记直线l1与y轴的交点为E，求△ADE的面积； （3）根据图象，直接写出0≤mx+4＜kx+b的解集． 3．A、B两地相距300千米，甲、乙两辆火车分别从A、B两地同时出发，相向而行．如图，分别表示两辆火车离A地的距离s（千米）与行驶时间t（时）的关系． (1) 直接写出的函数关系式？ (2) 求出两辆火车什么时间相遇？ (3) 求出两辆火车什么时间相距100千米？ 4．某城市自来水实行阶梯水价，收费标准如下表所示： 月用水量 不超过的部分 超过的部分不超过的部分 超过的部分 收费标准（元/m3） 2 3 (1)若月用水量为，水费为y元，求y与x的关系式； (2)某用户4月份用水，求所交水费； (3)某用户5月份交水费元，求所用水量． 5．如图，直线交x轴于点，交y轴于点N，直线交x轴于点M，交y轴于点A，两直线，相交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)在平面内是否存在一点Q，使得以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 板块四：数据的分析 1．某单位共有280位员工参加了社会公益捐款活动，从中任意抽取了12位员工的捐款数额，记录如下： 捐款数额/元 30 50 80 100 员工人数 2 5 3 2 估计该单位的捐款总额. 2．某次数学竞赛共有15道题，下表对做对n（n＝0，1，2，…，15）个题的人数的一个统计： 如果又知其中做对4个题和4个题以上的学生平均每人做对6个题，做对10个题和10个题以下的学生平均做对4个题，问这个表统计了多少人？ 3．某学校为提高学生“节约能源”、 “节能增效”的意识.让九（2）班的生活委员统计了2020年底前10天学生在校该班级的用电量情况，数据如下表：（单位：度） 度数 8 9 10 13 14 15 天数 1 1 2 3 1 2 （1）这10天用电量的众数是　 　度，中位数是　 　度； （2）求这个班级平均每天的用电量. 4．某公司需招聘一名员工，对应聘者甲、乙、丙从笔试、面试、体能三个方面进行量化考核．甲、乙、丙各项得分如下表： 笔试 面试 体能 甲 83 79 90 乙 85 80 75 丙 80 90 73 （1）根据三项得分的平均分，从高到低确定三名应聘者的排名顺序． （2）该公司规定：笔试，面试、体能得分分别不得低于80分，80分，70分，并按60%，30%，10%的比例计入总分．根据规定，请你说明谁将被录用． 5．某区在实施居民用水额定管理前，对居民生活用水情况进行了调查，下表是通过简单随机抽样获得的50个家庭去年的月均用水量（单位：吨），并将调查数据进行了如下整理： 分组 划记 频数 2.0＜x≤3.5 正正一 　11 　3.5＜x≤5.0 　19 　5.0＜x≤6.5 　 　 　6.5＜x≤8.0 　 　 　8.0＜x≤9.5 　2 　合计 　 　50 （1）把上面的频数分布表和频数分布直方图补充完整； （2）请你用频数分布直方图计算这50个家庭去年的月均用水量的平均数和中位数（各组的实际数据用该组的组中值表示）；若该小区有2000个家庭，请你用频数分布直方图得到的数据估计该小区月均用水总量； （3）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费，若要使60%的家庭收费不受影响，你觉得家庭月均用水量标准应该定为多少?为什么? 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末解答题突破训练2025-2026学年湘教版八年级下册 板块一：四边形 1．如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，且AB＝CD，BF＝DE，求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】证明：∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F， ∴∠AED＝∠CFB＝90°， ∵BF＝DE， ∴BF﹣EF＝DE﹣EF， 即BE＝DF， 在Rt△ADE和Rt△CBF中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△CBF（HL）， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴AB∥CD， ∵AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 2．如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，AE＝3，EB＝5，DE＝4． （1）求证：∠DEA＝90°； （2）求CE的长． 【答案】（1）证明：∵CE平分∠BCD， ∴∠BCE＝∠DCE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD， ∴∠BEC＝∠DCE， ∴∠BEC＝∠BCE， ∴BC＝BE＝5， ∴AD＝5， ∵EA＝3，ED＝4，32+42＝52， ∴EA2+ED2＝AD2， ∴△ADE是直角三角形，且∠DEA＝90°； （2）解：由（1）可知，∠DEA＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠CDE＝∠DEA＝90°，CD＝AB＝AE+EB＝3+5＝8， 在Rt△EDC中，由勾股定理得：CE＝＝＝4， 即CE的长为4． 3.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，且CE＝BC，AE＝AB，AE、DC相交于点O，连接DE． （1）求证：四边形ACED是矩形； （2）若∠AOD＝120°，AC＝4，求对角线CD的长． 【答案】（1）略 （2）8 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC， ∵CE＝BC， ∴AD＝CE，AD∥CE， ∴四边形ACED是平行四边形， ∵AB＝DC，AE＝AB， ∴AE＝DC， ∴四边形ACED是矩形； （2）解：∵四边形ACED是矩形， ∴OA＝AE，OC＝CD，AE＝CD， ∴OA＝OC， ∵∠AOC＝180°﹣∠AOD＝180°﹣120°＝60°， ∴△AOC是等边三角形， ∴OC＝AC＝4， ∴CD＝8． 4．如图，点E是正方形ABCD的边BC上的动点，，且，． （1）求证：； （2）若，，用x表示DF的长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABE=90°，AB=BC， ∵∠AEF=90°， ∴∠AEB+∠FEH=90°． 而∠AEB+∠BAE=90°， ∴∠BAE=∠FEH． 又∵EF=AE， ∴△ABE≌△EHF． ∴BE=FH，AB=EH， ∴AB=BC=EH，则BC-EC=EH-EC， ∴BE=CH； （2）作FP⊥CD于P， 由（1）可知EH=AB， ∴CE=3−x． ∴CH=FH=FP=x， ∴PD=3−x． ． 5.如图，的对角线相交于点O，平分，过点D作，过点C作，交于点P，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 解：（1）证明∵四边形是平行四边形， ∴． ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴四边形是矩形， ∴． 板块二：图形与坐标 1．我县圆圆圈及附近的平面示意图如图所示，已知文化宫的坐标是，闽剧团艺术中心的坐标是 (1)根据上述条件建立平面直角坐标系； (2)若华港大厦的坐标为，请在图中用实心圆点标出华港大厦的位置． 【答案】（1）解：建立平面直角坐标系，如图， （2）解：华港大厦的位置如图． 2.在直角坐标系中描绘下列各点，并将各组内这些点依次用线段连接起来．，，，． (1)图形中哪些点在坐标轴上？ (2)线段与x轴有什么位置关系？ 【答案】(1)点D、A、B (2)平行 【详解】（1）解：如图所示： 点D、A、B在坐标轴上； （2）解：线段平行于x轴． 3．在平面直角坐标系中，点A的坐标为． (1)若点A在y轴上，求点A的坐标； (2)若点，直线轴，求a的值； (3)点C的坐标为，若直线轴，且线段的长为5，求b的值及点C的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)当b的值为2时，点C的坐标为；当b的值为时，点C的坐标为 【详解】（1）解：由题意可得，， 解得， ， ； （2）解：直线轴， ，B两点的纵坐标相等，即， 解得； （3）解：直线轴， ，C两点的横坐标相等， 即， 解得， ， 点A的坐标为． 线段的长为5， 当点C在点A上方时， ， 解得，此时点C的坐标为； 当点C在点A下方时， ， 解得，此时点C的坐标为． 综上所述，当b的值为2时，点C的坐标为；当b的值为时，点C的坐标为． 4．如图，在平面直角坐标系中，所给的正方形网格的每个小正方形边长均为1个单位，每个小正方形的顶点称为格点，三角形的三个顶点均在格点上，位置如图所示，其中．现将三角形沿 的方向平移，使得点A平移至的位置． (1)在图中画出三角形，写出点的坐标为 ．点的坐标为 ； (2)三角形的面积为 ． (3)线段沿的方向平移到的过程中扫过的面积是 ； 【答案】(1)画图见解析，， (2)7 (3)24 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， ∴，； （2）解：； （3）解：， ∴线段沿的方向平移到的过程中扫过的面积是24． 5.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，过点作直线轴，垂足为C，交线段于点D，过点A作，垂足为E，连接． (1)求的面积； (2)点P为直线上一动点，当时，求点P的坐标． 【答案】(1)6 (2)或 【详解】（1）解：轴，， 轴， 点A的坐标为，点B的坐标为 ，， ； （2）解：点坐标为， ，， ， ∴， 设，如图所示： 当点在轴上方时，则点P一定在点E上方， ∴ ， ， ， 点的坐标为； 当点在轴下方时， 过点作轴于N， ∴ ， ， 或（舍去）， 点的坐标为：； 点的坐标为：或． 板块三：一次函数 1.已知y＝y2﹣y1，其中y1与x成正比例，y2与x+2成正比例，当x＝﹣1时，y＝2，当x＝2时，y＝10． （1）求y与x的函数表达式； （2）当x取何值时，y的值为30？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设y1＝ax，y2＝b（x+2），则y＝b（x+2）﹣ax＝（b﹣a）x+2b， 根据题意，得， 解得． 所以y与x的函数关系式为y＝（+）x+2×＝x+，即y＝x+． （2）把y＝30代入y＝x+，得30＝x+． 解得x＝ 所以，当x＝时，y的值为30． 2．如图，直线l1：y＝mx+4与x轴交于点B，点B与点C关于y轴对称，直线l2：y＝kx+b经过点C，且与l1交于点A（1，2）． （1）求直线l1与l2的解析式； （2）记直线l2与y轴的交点为D，记直线l1与y轴的交点为E，求△ADE的面积； （3）根据图象，直接写出0≤mx+4＜kx+b的解集． 【答案】解：（1）∵直线l1：y＝mx+4经过点A（1，2）， ∴2＝m+4， 解得：m＝﹣2， ∴l1：y＝﹣2x+4； ∴直线l1：y＝mx+4与x轴交点B（2，0）， ∴点C（﹣2，0）， ∵l2：y＝kx+b经过点A（1，2），C（﹣2，0）， ∴ 解得：， ∴l2：y＝x+； （2）令x＝0，则y＝﹣2x+4＝4，y＝x+＝， ∴E（0，4），D（0，）， ∴DE＝4﹣＝， ∴△ADE的面积S＝＝； （3）观察图象，0≤mx+4＜kx+b的解集为1＜x≤2． 3．A、B两地相距300千米，甲、乙两辆火车分别从A、B两地同时出发，相向而行．如图，分别表示两辆火车离A地的距离s（千米）与行驶时间t（时）的关系． (1) 直接写出的函数关系式？ (2) 求出两辆火车什么时间相遇？ (3) 求出两辆火车什么时间相距100千米？ 【答案】解：（1）结合图形，设的关系式分别为和， 结合图形可知有， 解得． 故两辆火车的与的关系式为和． 的解析式为， 的解析式为； （2）根据题意得： 解之得 所以两辆火车行驶了3小时相遇 （3）由题意，得 相遇前相距100千米： 解之得 相遇后相距100千米： 解之得 所以两辆火车行驶了2小时或4小时相距100千米． 4．某城市自来水实行阶梯水价，收费标准如下表所示： 月用水量 不超过的部分 超过的部分不超过的部分 超过的部分 收费标准（元/m3） 2 3 (1)若月用水量为，水费为y元，求y与x的关系式； (2)某用户4月份用水，求所交水费； (3)某用户5月份交水费元，求所用水量． 【答案】(1) (2)元 (3) 【详解】（1）解：依照题意， 当时，， 当时，， 当时，， 由已知得， 当时，， 当时，， 当时，； 即； （2）解：将代入， 得（元）， 某用户4月份用水，所交水费为元； （3）解：， 时，把代入得：，解得： ， 答：某用户5月份交水费元，所用水量为． 5．如图，直线交x轴于点，交y轴于点N，直线交x轴于点M，交y轴于点A，两直线，相交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)在平面内是否存在一点Q，使得以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点Q的坐标为或或 【详解】（1）解：直线与直线相交于点， 把代入得：， 解得：， 直线过． ， 解得：， ∴直线的函数解析式为：； （2）直线交y轴于点A， ∴， 设点， ①当点A，B，P，Q为顶点的四边形是时， 点A向右平移4个单位向上平移1个单位得到点B， ∴点P向右平移4个单位向上平移1个单位得到， ，即； ②当点A，B，P，Q为顶点的四边形是时， 点B向左平移4个单位向下平移1个单位得到点A， ∴点P向左平移4个单位向下平移1个单位得到， ，即； ③当点A，B，P，Q为顶点的四边形是时， 点P向右平移个单位向下平移2个单位得到点B， ∴点A向右平移个单位向下平移2个单位得到点， ，即； 综上所述，点Q的坐标为或或． 板块四：数据的分析 1．某单位共有280位员工参加了社会公益捐款活动，从中任意抽取了12位员工的捐款数额，记录如下： 捐款数额/元 30 50 80 100 员工人数 2 5 3 2 估计该单位的捐款总额. 【答案】解：这12位员工的捐款数额平均数为 以 作为所有员工捐款的平均数，由此估计该单位的捐款总额约为 62.5×280=17500(元) 所以估计该单位的捐款总额约为17500元. 2．某次数学竞赛共有15道题，下表对做对n（n＝0，1，2，…，15）个题的人数的一个统计： 如果又知其中做对4个题和4个题以上的学生平均每人做对6个题，做对10个题和10个题以下的学生平均做对4个题，问这个表统计了多少人？ 【答案】解答：解：设统计的总人数为x，答对11道题的人数为a，∵做对4个题和4个以上的人数为（x－7－8－10－21）＝（x－46）人，∴所有学生做的总题数为：（x－46）×6＋0×7＋1×8＋2×10＋3×21＝6x－185；又∵做对10个题和10个题以下的人数为（x－a－15－6－3－1）＝（x－a－25）人，∴所有学生做的总额为：（x－a－25）×4＋15×1＋14×3＋13×6＋12×15＋11a＝4x＋215＋7a，∴6x－185＝4x＋215＋7a，2x＝400＋7a，x＝200＋ ，∵a为自然数，∴当a＝0时x取最小值200，∴至少统计来200人． 3．某学校为提高学生“节约能源”、 “节能增效”的意识.让九（2）班的生活委员统计了2020年底前10天学生在校该班级的用电量情况，数据如下表：（单位：度） 度数 8 9 10 13 14 15 天数 1 1 2 3 1 2 （1）这10天用电量的众数是　 　度，中位数是　 　度； （2）求这个班级平均每天的用电量. 【答案】（1）13；13 （2）这个班级平均每天的用电量为： =12度 答：个班级平均每天的用电量为12度. 4．某公司需招聘一名员工，对应聘者甲、乙、丙从笔试、面试、体能三个方面进行量化考核．甲、乙、丙各项得分如下表： 笔试 面试 体能 甲 83 79 90 乙 85 80 75 丙 80 90 73 （1）根据三项得分的平均分，从高到低确定三名应聘者的排名顺序． （2）该公司规定：笔试，面试、体能得分分别不得低于80分，80分，70分，并按60%，30%，10%的比例计入总分．根据规定，请你说明谁将被录用． 【答案】（1）【解答】解：（1）x甲=（83+79+90）÷3=84， x乙=（85+80+75）÷3=80， x丙=（80+90+73）÷3=81． 从高到低确定三名应聘者的排名顺序为：甲，丙，乙； （2）【解答】 ∵该公司规定：笔试，面试、体能得分分别不得低于80分，80分，70分， ∴甲淘汰； 乙成绩=85×60%+80×30%+75×10%=82.5， 丙成绩=80×60%+90×30%+73×10%=82.3， 乙将被录取． 5．某区在实施居民用水额定管理前，对居民生活用水情况进行了调查，下表是通过简单随机抽样获得的50个家庭去年的月均用水量（单位：吨），并将调查数据进行了如下整理： 分组 划记 频数 2.0＜x≤3.5 正正一 　11 　3.5＜x≤5.0 　19 　5.0＜x≤6.5 　 　 　6.5＜x≤8.0 　 　 　8.0＜x≤9.5 　2 　合计 　 　50 （1）把上面的频数分布表和频数分布直方图补充完整； （2）请你用频数分布直方图计算这50个家庭去年的月均用水量的平均数和中位数（各组的实际数据用该组的组中值表示）；若该小区有2000个家庭，请你用频数分布直方图得到的数据估计该小区月均用水总量； （3）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费，若要使60%的家庭收费不受影响，你觉得家庭月均用水量标准应该定为多少?为什么? 【答案】（1）解：5.0＜x≤6.5共有13个，则频数是13， 6.5＜x≤8.0共有5个，则频数是5， 补全频数分布表和频数分布直方图如下： 分组 划记 频数 2.0<x≤3.5 正正 11 3.5<x≤5.0 正正正 19 5.0<x≤6.5 正正 13 6.5<x≤8.0 正 5 8.0<x≤9.5 2 合计 　 50 （2）解：用频数分布直方图计算平均数为： (2.75×11+4.25×19+5.75×13+7.25×5+8.75×2)÷50=239.5÷50=4.79(吨)； 根据频数分布直方图得，中位数是第25、26个数，则中位数为4.25吨； 若该小区有2000个家庭，估计该小区月均用水总量为：4.79×2000=9580(吨)； （3）解：要使60%的家庭收费不受影响，我觉得家庭月均用水量应该定为5吨， 因为月平均用水量不超过5吨的有30户， 则30÷50=60%． 学科网（北京）股份有限公司 $