衔接点01 数与式（讲义，全国通用人教A版）数学初升高衔接

衔接点01 数与式（初高衔接点） 初中视角 高中展望 1、理解绝对值、乘法公式、二次根式、分式的基本概念与相关性质，熟记公式和运算法则； 2、能够按规则完成基础化简、计算、求值，掌握简单变形技巧，具备基础代数运算能力 1、将以上内容当作通用数学工具，熟练进行公式变形、分类讨论、综合化简； 2、能结合函数、不等式、集合、指数运算等新知识灵活运用，解决含参数、多考点融合的复杂问题 衔接引导 初中阶段考查形式：选填题、计算题、化简求值题、因式分解题、信息阅读运用题。 高中阶段考查形式：作为数学工具在代数运算、求解定义域、解不等式、函数分析等题型中灵活应用。 考点阐释 1、初中知识再现 知识点1：绝对值 1．绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即： 2．绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离． 知识点2：乘法公式 【公式1】平方差公式： 【公式2】完全平方公式： 知识点3：二次根式 一般地，形如的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如，等是无理式，而，，等是有理式． （1）分母（子）有理化 把式子分母或分子中的根号去掉的过程，叫做分母有理化或分子有理化。若两个含二次根式的代数式相乘，结果不含二次根式，那么二者互为有理化因式，常见形式有与、与等。进行有理化时，只需将分式的分子、分母同时乘对应有理化因式，即可消去分子或分母中的根号。 二次根式的运算可类比多项式运算：乘法可直接套用多项式乘法及相关公式；除法先改写成分式形式，再借助分母有理化计算；加减法要先化为最简二次根式，再去括号、合并同类二次根式。 （2）二次根式性质如下：①；② 知识点4：分式 分式的意义：形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质：①；②．上述性质被称为分式的基本性质． 2、高中相关知识 知识点1：乘法公式的拓展: 【公式1】（完全立方公式） 【公式2】（完全平方公式） 【公式3】(立方和公式) 【公式4】(立方差公式) 知识点2：繁分式的化简 如果一个分式的分子或分母中还包含分式，那么这个式子就称作繁分式。化简繁分式主要有两种常用方法，分别是运用除法法则、借助分式的基本性质进行变形计算。 题型01 绝对值方程的求解 【解题技巧】 ①核心技巧：根据绝对值代数意义，按绝对值内部式子大于0、等于0、小于0分情况讨论，去掉绝对值后转化为普通一元一次/一元二次方程求解。 ②巧用几何意义：形如，可结合数轴距离含义直接分析解，简化计算。 【例1】已知点，若点到两坐标轴的距离相等，则的值为（     ） A．5或 B．或 C．5或 D．或 【答案】B 【详解】解：∵点 到两坐标轴的距离相等， ∴， 分两种情况讨论： ①当 时， 即 ， 解得： ； ②当 时， 即 ， ， 解得 ； 综上，的值为或． 【例2】已知，求x的取值范围． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 解得． 【变式1-1】若，则_____． 【答案】3或 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或． 【变式1-2】在数轴上，点P表示的数为x，点Q表示的数为，且，则所有满足条件的x的和为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【详解】解：∵数轴上两点的距离等于两点所表示数的差的绝对值，点P表示的数为x，点Q表示的数为，且， ∴，整理得， 分两种情况讨论： 当时，解得， 当时，解得， 则所有满足条件的的和为 ． 【变式1-3】解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）解：对于方程， 由绝对值的性质可得， 当时，解得， 当时，解得， 即原方程的解为或． （2）解：对于方程， 两边同乘，得， 由绝对值的性质可得， 当时，解得， 当时，解得， 即原方程的解为或． 题型02 乘法公式的应用 【解题技巧】 ①抓结构特征：先观察式子形式，区分平方差（两项、一同一反）、完全平方（三项、两平方项+交叉两倍项），匹配对应公式。 ②整体代换：把多项式整体看成一个字母，套用公式计算，避免逐项展开增加运算量。 ③先变形再套用：式子顺序、符号不标准时，先调整符号、调换项的位置，再使用公式。 【例3】先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解： ， 当，时，原式． 【例4】若  则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， 根据完全平方公式展开得 ：， ∴， 移项化简得： ， 故选： B. 【变式2-1】用乘法公式简便运算： (1) (2) 【答案】(1)1 (2) 【分析】 【详解】（1）解： （2）解： 【点睛】掌握平方差公式，并对式子变形为平方差公式的形式是解题的关键． 【变式2-2】先化简，再求值：，其中为方程的解． 【答案】， 【详解】解：原式 为方程的解， ∴． ∴原式 ． 【变式2-3】已知，则的值是____________． 【答案】 6 【详解】解：设 ，则 ，， 将其代入原方程得： 由完全平方公式展开得： 合并同类项得： 整理得 ，即 . 题型03 乘法公式与几何图形 【解题技巧】 ①数形结合，面积转化：用图形面积的两种不同计算方式列等式，对应乘法公式。大图形面积=各部分小图形面积和。 ②标注边长：把图形线段长度用代数式标注，结合图形拼接、割补关系推导公式或求值。 ③逆向推导：已知公式，对照图形结构，补全边长、面积表达式。 【例5】几何直观如图，从腰长为a的等腰直角三角形纸片中剪掉一个腰长为b的等腰直角三角形，得到一个直角梯形，上述操作能验证的等式是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：和均为等腰直角三角形，且腰长分别为， ， ， 又阴影部分为直角梯形，， 上底，下底，高， ， ，即． 【例6】【实践操作】 如图①，从边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，形成一个长方形（如图②）． (1)通过计算图①和图②中阴影部分的面积可以验证的公式是______． 【应用探究】 (2)根据（1）中的公式解决如下问题： ①简便计算：； ②计算：． 【答案】(1) (2)①90000    ② 【分析】 【详解】（1）解：图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为：， 则阴影部分的面积可以验证的公式是； （2）①解： ； ②解：原式 ． 【变式3-1】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为_______． 【答案】54 【详解】解：由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴每个直角三角形的面积为． 【变式3-2】如图，现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知甲、乙两个正方形边长之和为10；将乙纸片放到甲的内部得到图2，图2的阴影部分面积为8，则图1的阴影部分面积为___________________ ． 【答案】 【详解】解：设正方形甲的边长为a，正方形乙的边长为b， 由题意得，，， ∵，即， ∴， 图1中阴影部分的面积为 ． 【变式3-3】在学习了乘法公式后，善于思考的小聪同学想用几何方法将其表示出来，他利用三种不同的长方形纸片拼成如图①所示的大正方形． (1)【观察发现】请用两种不同的方法表示出中阴影部分的面积，可得到的等量关系为______； (2)【问题解决】 ①已知，，则xy的值为______； ②已知，求的值； (3)【拓展应用】将正方形和正方形按如图②所示摆放，边长分别为x，y．若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】 【详解】（1）解：如图①中阴影部分的一种表示为：；另一种为：，则． （2）解：①由（1）可得：， 所以， ∴， ∵，， ∴． ②设，，则， 由（1）知， ∴． （3）解：由图②可知，阴影部分的面积为 ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴． 题型04 通过完全平方公式变形求值 【解题技巧】 ①熟记常用变形公式：、、，这三组是高频变形。 ②整体代入：题目一般只给出、、的值，不单独求，直接整体代入变形公式计算。 【例7】已知的值为_____． 【答案】1 【详解】解： ． 【例8】已知的两条直角边分别为，斜边为，若，则的面积为______． 【答案】8 【详解】解：∵中，a，b为直角边，c为斜边， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由完全平方公式展开得， ∴， 整理得， ∴的面积为 【变式4-1】已知，，则_____． 【答案】 /0.5 【详解】解：根据完全平方公式展开已知等式，得： ， ， 由得： ， 整理得， 解得． 【变式4-2】已知关于x的一元二次方程的两根，满足，求m的值． 【答案】4或 【详解】∵一元二次方程有两个实数根， ∴且， 即且，解得：且； ∵， ∴， ， ∵，， ∴， 解得：或， ∵且， ∴或． 【变式4-3】将两数和（差）的完全平方公式，通过适当的变形，可以解决很多数学问题． (1)已知，，则______； (2)两块完全相同的直角三角板（）如图所示放置，其中，，在一条直线上，连接，．若，，求一块三角板的面积； (3)若满足，求的值； 【答案】(1) (2)17 (3) 【分析】 【详解】（1）解：，， ； （2）解：根据题意得：，， 设，， ，即， ， ， ， ， ， ， ，即一块三角板的面积为17； （3）解：设，，则， ， ， ， ， ，即． 题型05 立方和、立方差公式 【解题技巧】 ①牢记公式结构：立方和：；立方差：，重点记中间项符号。 ②结合完全平方公式联用：求值类题目常搭配变形，组合式子整体计算。 【例9】因式分解：． 【答案】 【详解】解： ． 【例10】在计算多项式乘法时，，发现中间多项都可以消掉，进而得到，大家给这个式子起名叫作“立方和公式”，那么就可以利用“立方和公式”进行分解因式，．如果将转化为，就会得到，整理得，那么这个式子就应该叫作“立方差公式”了． (1)请你利用“立方和公式”和“立方差公式”完成下列等式： ①分解因式：_____；②填空：（_____）； (2)计算：_____； (3)若，，求的值． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：①； 故答案为： ②； 故答案为：； （2）解： ； 故答案为：； （3）解：由条件可知， ∴， ∵， ∴当时，； 当时，； 故的值为． 【变式5-1】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、∵完全平方公式为， ∴，故此选项错误； B、∵， ∴，故此选项错误； C、∵立方差公式为，故此选项正确； D、∵立方和公式为， ∴，故此选项错误． 【变式5-2】因式分解：． 【答案】 【详解】解：原式 【变式5-3】观察下列等式： …… (1)①根据以上等式的规律，填空：； ②根据以上等式的规律，填空：，并证明等式成立． (2)一个水平放置的长方体容器，其容积为，底面积为，装满水的高度为，求的值． 【答案】(1)①；②，证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）解：①根据以上等式的规律可得； ②根据以上等式的规律可得， 证明： ； （2）解：由题意可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型06 二次根式、分式有意义的条件 【解题技巧】 ①分式有意义：分母≠0；分式值为0：分子=0且分母≠0。 ②二次根式有意义：被开方数≥0。 ③混合式子分步列不等式：同时含分式+二次根式时，分别列出限制条件，联立不等式组求解取值范围。 【例11】若二次根式在实数范围内有意义，则x的值可以是________（写出一个即可） 【答案】3（答案不唯一） 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， ∴， 解得， 取，符合条件．（答案不唯一） 【例12】函数中自变量的取值范围是__________． 【答案】且 【详解】解：由题意得且， 解得：且． 【变式6-1】若使分式有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 分式有意义的条件是分母不为， ， 解得． 【变式6-2】若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式6-3】若分式的值为零，则______． 【答案】 【详解】解：∵分式的值为零， ∴，且， 解得， 由得， ∴． 题型07 二次根式加减乘除的混合运算 【解题技巧】 ①运算顺序优先：遵循“先乘除、后加减，有括号先算括号内”，同级运算从左到右。 ②先化简，再计算：所有根式先化为最简二次根式，再进行加减合并、乘除运算。 【例13】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【例14】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【变式7-1】估计的值在（   ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 【答案】C 【详解】解：， ∵， ∴， ∴，即原式的值在5到6之间． 【变式7-2】计算题． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式7-3】计算： (1) (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型08 分母有理化 【例15】已知a是的整数部分，b是的小数部分，求的值为______． 【答案】 【详解】解：， ， 的整数部分，小数部分， 将代入得， ． 【例16】材料阅读题：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫作分母有理化． 例如：；． 观察上面解题过程，并回答下列问题： (1)________； (2)若a是的小数部分，化简； (3)利用上面的解法，请化简：． 【答案】(1) (2) (3)22 【分析】 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分为2， ∴， ∴； （3）解： 【变式8-1】计算： 【答案】 【详解】解： ． 【变式8-2】已知：，，求代数式的值． 【答案】 【详解】解：， ， ∴，，， ∴ ． 【变式8-3】． (1)利用上面的方法计算； (2)计算． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型09 分式的化简求值 【解题技巧】 ①先化简，后代入：严禁直接代值硬算，先对分式约分、通分、因式分解，化为最简形式再代入数值。 ②因式分解为基础：分子、分母优先因式分解，快速找到公因式约分。 ③隐含条件优先看：代值前先根据分式有意义条件，排除使分母为0的数值。 【例17】若，则的值为_____． 【答案】 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ． 【例18】先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，值为． 【详解】解： ， 将代入得， 原式 ． 【变式9-1】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 【变式9-2】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ； 当时，则原式． 【变式9-3】我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，，，三角形的面积．若，，，则的值为________________． 【答案】 【详解】解：将，，代入得： ． 题型10 分式的基本性质 【解题技巧】 ①核心原则：分式分子、分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式值不变，注意“同时、同一个、不为0”三个关键点。 ②约分技巧：先因式分解，再约去分子分母公因式，化为最简分式。 ③通分技巧：先找各分母最简公分母，再利用性质统一分母。 【例19】若、均不为0，将下列分式中的、的值都变为原来的2倍，则分式的值保持不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将、都变为原来的倍，即新取值为、，分别代入验证： 选项A代入得：，与原式相等，分式值不变； 选项B代入得：，值改变； 选项C代入得：，值改变； 选项D代入得：，值改变． 【例20】根据分式的基本性质填空： （1）；括号内应填入：_________； （2）；括号内应填入：_________． 【答案】 b 【详解】解：（1）已知等式右边分母 ，且，根据分式的基本性质，给分子分母同乘，得 因此括号内应填入． （2）对等式左边分子因式分解得，变形后分子为，即分子除以，且，根据分式的基本性质，给分子分母同除以，得 因此括号内应填入． 【变式10-1】若分式的值为，现将分式中的和都扩大3倍，那么分式的值变为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意得：， 将x，y都扩大3倍后，得到新分式： ． 【变式10-2】若把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值（     ）． A．扩大2倍 B．不变 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 【答案】C 【详解】解：将分式中的和都扩大2倍可得， 原分式缩小到原来的． 【变式10-3】写出下列各等式中未知的分子或分母： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：∵， ∴把左边分式的分子和分母都除以可得右边的分式， ∴； （2）解：∵ ， ∴把的分子和分母都乘以可得左边的分式， ∴； （3）解：∵， ∴把的分子和分母都乘以可得左边的分式， ∴； （4）解：∵， ∴把左边分式的分子和分母都乘以可得右边的分式， ∴． 1．已知可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（     ） A．61，63 B．63，65 C．65，67 D．63，64 【答案】B 【分析】 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； 当时，原式． 5．已知，． (1)化简； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 6．定义：任意两个数a，b，按规则得到一个新数c，称所得的新数c为数a、b的“传承数”． (1)若，，求a，b的“传承数”c； (2)若，，且，求a，b的“传承数”c． 【答案】(1) (2)1或 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以a，b的“传承数”c为； （2）解：因为， 所以， 所以， 所以． 因为c是a，b的“传承数”， 所以． 因为或， 所以或， 所以a，b的“传承数”c为1或． 7．“探究性学习”小组的甲、乙两名同学分解因式的过程如下： 甲： （分成两组） （直接运用公式）． 乙： （分成两组） （提公因式）． 请在他们解法的启发下，分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式 （2） 8．数学活动课上，老师给每个学生准备了如图1所示的A、B、C三种纸片若干，让学生们利用这些纸片摆出不同的长方形，通过长方形面积快速得到整式乘法计算结果，从而发现某些特殊结论． (1)嘉嘉用以上三种纸片摆出了如图2所示的图形，请根据图形直接写出的计算结果为______． (2)琪琪想摆出一个长方形，来验证，通过计算说明她需要三种纸片各多少张． (3)如图3，小亮从纸片A的一角裁出一张纸片B，然后将剩余部分沿虚线剪开，拼成右图所示长方形． ①请根据图形直接写出______； ②为了计算方便，我们经常把一些特定运算转化成的形式，并利用①的结论完成计算．如：．仿照上述过程计算：． (4)拓展应用： 直接写出的结果为______．（用幂的形式表示） 【答案】(1) (2)需要A纸片6张，B纸片3张，C纸片11张 (3)①；② (4) 【详解】（1）解：图2的面积为：， ∴． （2）解： 故需要A纸片6张，B纸片3张，C纸片11张． （3）解：①根据图3面积公式可得出． ②． （4）解： ． 9．图形可以形象直观显示数量关系．例如，根据图1可以得到，请解答下列问题： (1)根据图2，直接写出一个代数恒等式：____ ； (2)小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张宽、长分别为a、b的长方形，9张边长为b的正方形纸片，拼成一个面积最小的正方形，则的值为____；这个正方形的边长为____；(用含a，b的式子表示) (3)如图4，是4个边长分别为a、b、c的直角三角形和1个边长为c的正方形拼成的大正方形．请根据图4中的图形关系可推导出a、b、c的数量关系式为____； (4)如图5，直角中，，，，点D是边上的一动点．请利用（3）的结论，求线段的最小值． 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【详解】（1）解：由图2可知，大正方形的边长为， 大正方形的面积， 又大正方形的面积等于各小图形面积之和， ． （2）解：设拼成的正方形边长为（，为正整数）， 正方形的面积， 又正方形面积， ， 解得， ，， 正方形面积最小， ， ，， ，正方形边长为． （3）解：由图4可知，大正方形的边长为， 大正方形的面积， 又大正方形的面积等于4个直角三角形与中间小正方形的面积之和， 面积， ， ． （4）解：在中，， ，， ， 点是边上的一动点， 当时，最小， ， 又， ， ． 10．某校科技节将举办机器人表演展示活动，学校购置的小型智能机器人可按预设程序排列成各种方阵表演，数学科技社团需要从数学角度研究方阵的排列规律和优化设计． 机器人排成一个正方形方阵进行展示，如下图所示，方阵一般有实心方阵和空心方阵两种形式． 【项目启动·基础探究】 机器人第一环节排成实心方阵，已知最外层每边有个机器人． (1)当时，这个方阵共有机器人 个； (2)用含的代数式表示实心方阵中机器人的总数为 个； 【项目深入·规律探究】 第二环节是“空心方阵”造型．空心方阵是指最外层每边有个机器人，中间留出一个空心区域． (3)当空心区域为，且时，空心方阵的机器人总数为 个； (4)当空心区域为，且时，用含的代数式表示空心方阵机器人总数为 个； 【项目拓展·实际应用】 学校共有个机器人，现要排出一个空心方阵（中间留出的空心区域），要求： （i）最外层每边机器人数必须是偶数（便于对称排列）， （ii）最外层每边机器人数不少于个且不超过个， (5)满足条件的方阵方案共有 种，其中使用机器人数量最多的方案需要 个机器人． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)； 【详解】（1）解：当时，这个方阵共有机器人个； （2）解：阶实心方阵中机器人的总数为个； （3）解：当时，空心方阵的机器人总数为个； （4）解：当时，空心方阵机器人总数为个； （5）解：根据题意得，为偶数且， 学校共有个机器人， ，解得， 满足条件的，，，，， 当时，个， 当时，个， 当时，个， 当时，个， 当时，个， 满足条件的方阵方案共有种，其中使用机器人数量最多的方案需要个机器人． 23 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 衔接点01 数与式（初高衔接点） 初中视角 高中展望 1、理解绝对值、乘法公式、二次根式、分式的基本概念与相关性质，熟记公式和运算法则； 2、能够按规则完成基础化简、计算、求值，掌握简单变形技巧，具备基础代数运算能力 1、将以上内容当作通用数学工具，熟练进行公式变形、分类讨论、综合化简； 2、能结合函数、不等式、集合、指数运算等新知识灵活运用，解决含参数、多考点融合的复杂问题 衔接引导 初中阶段考查形式：选填题、计算题、化简求值题、因式分解题、信息阅读运用题。 高中阶段考查形式：作为数学工具在代数运算、求解定义域、解不等式、函数分析等题型中灵活应用。 考点阐释 1、初中知识再现 知识点1：绝对值 1．绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即： 2．绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离． 知识点2：乘法公式 【公式1】平方差公式： 【公式2】完全平方公式： 知识点3：二次根式 一般地，形如的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如，等是无理式，而，，等是有理式． （1）分母（子）有理化 把式子分母或分子中的根号去掉的过程，叫做分母有理化或分子有理化。若两个含二次根式的代数式相乘，结果不含二次根式，那么二者互为有理化因式，常见形式有与、与等。进行有理化时，只需将分式的分子、分母同时乘对应有理化因式，即可消去分子或分母中的根号。 二次根式的运算可类比多项式运算：乘法可直接套用多项式乘法及相关公式；除法先改写成分式形式，再借助分母有理化计算；加减法要先化为最简二次根式，再去括号、合并同类二次根式。 （2）二次根式性质如下：①；② 知识点4：分式 分式的意义：形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质：①；②．上述性质被称为分式的基本性质． 2、高中相关知识 知识点1：乘法公式的拓展: 【公式1】（完全立方公式） 【公式2】（完全平方公式） 【公式3】(立方和公式) 【公式4】(立方差公式) 知识点2：繁分式的化简 如果一个分式的分子或分母中还包含分式，那么这个式子就称作繁分式。化简繁分式主要有两种常用方法，分别是运用除法法则、借助分式的基本性质进行变形计算。 题型01 绝对值方程的求解 【解题技巧】 ①核心技巧：根据绝对值代数意义，按绝对值内部式子大于0、等于0、小于0分情况讨论，去掉绝对值后转化为普通一元一次/一元二次方程求解。 ②巧用几何意义：形如，可结合数轴距离含义直接分析解，简化计算。 【例1】已知点，若点到两坐标轴的距离相等，则的值为（     ） A．5或 B．或 C．5或 D．或 【例2】已知，求x的取值范围． 【变式1-1】若，则_____． 【变式1-2】在数轴上，点P表示的数为x，点Q表示的数为，且，则所有满足条件的x的和为（   ） A． B． C．0 D．1 【变式1-3】解下列方程： (1)； (2)． 题型02 乘法公式的应用 【解题技巧】 ①抓结构特征：先观察式子形式，区分平方差（两项、一同一反）、完全平方（三项、两平方项+交叉两倍项），匹配对应公式。 ②整体代换：把多项式整体看成一个字母，套用公式计算，避免逐项展开增加运算量。 ③先变形再套用：式子顺序、符号不标准时，先调整符号、调换项的位置，再使用公式。 【例3】先化简，再求值：，其中，． 【例4】若  则等于（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】用乘法公式简便运算： (1) (2) 【变式2-2】先化简，再求值：，其中为方程的解． 【变式2-3】已知，则的值是____________． 题型03 乘法公式与几何图形 【解题技巧】 ①数形结合，面积转化：用图形面积的两种不同计算方式列等式，对应乘法公式。大图形面积=各部分小图形面积和。 ②标注边长：把图形线段长度用代数式标注，结合图形拼接、割补关系推导公式或求值。 ③逆向推导：已知公式，对照图形结构，补全边长、面积表达式。 【例5】几何直观如图，从腰长为a的等腰直角三角形纸片中剪掉一个腰长为b的等腰直角三角形，得到一个直角梯形，上述操作能验证的等式是（） A． B． C． D． 【例6】【实践操作】 如图①，从边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，形成一个长方形（如图②）． (1)通过计算图①和图②中阴影部分的面积可以验证的公式是______． 【应用探究】 (2)根据（1）中的公式解决如下问题： ①简便计算：； ②计算：． 【变式3-1】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为_______． 【变式3-2】如图，现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知甲、乙两个正方形边长之和为10；将乙纸片放到甲的内部得到图2，图2的阴影部分面积为8，则图1的阴影部分面积为___________________ ． 【变式3-3】在学习了乘法公式后，善于思考的小聪同学想用几何方法将其表示出来，他利用三种不同的长方形纸片拼成如图①所示的大正方形． (1)【观察发现】请用两种不同的方法表示出中阴影部分的面积，可得到的等量关系为______； (2)【问题解决】 ①已知，，则xy的值为______； ②已知，求的值； (3)【拓展应用】将正方形和正方形按如图②所示摆放，边长分别为x，y．若，，求图中阴影部分的面积． 题型04 通过完全平方公式变形求值 【解题技巧】 ①熟记常用变形公式：、、，这三组是高频变形。 ②整体代入：题目一般只给出、、的值，不单独求，直接整体代入变形公式计算。 【例7】已知的值为_____． 【例8】已知的两条直角边分别为，斜边为，若，则的面积为______． 【变式4-1】已知，，则_____． 【变式4-2】已知关于x的一元二次方程的两根，满足，求m的值． 【变式4-3】将两数和（差）的完全平方公式，通过适当的变形，可以解决很多数学问题． (1)已知，，则______； (2)两块完全相同的直角三角板（）如图所示放置，其中，，在一条直线上，连接，．若，，求一块三角板的面积； (3)若满足，求的值； 题型05 立方和、立方差公式 【解题技巧】 ①牢记公式结构：立方和：；立方差：，重点记中间项符号。 ②结合完全平方公式联用：求值类题目常搭配变形，组合式子整体计算。 【例9】因式分解：． 【例10】在计算多项式乘法时，，发现中间多项都可以消掉，进而得到，大家给这个式子起名叫作“立方和公式”，那么就可以利用“立方和公式”进行分解因式，．如果将转化为，就会得到，整理得，那么这个式子就应该叫作“立方差公式”了． (1)请你利用“立方和公式”和“立方差公式”完成下列等式： ①分解因式：_____；②填空：（_____）； (2)计算：_____； (3)若，，求的值． 【变式5-1】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】因式分解：． 【变式5-3】观察下列等式： …… (1)①根据以上等式的规律，填空：； ②根据以上等式的规律，填空：，并证明等式成立． (2)一个水平放置的长方体容器，其容积为，底面积为，装满水的高度为，求的值． 题型06 二次根式、分式有意义的条件 【解题技巧】 ①分式有意义：分母≠0；分式值为0：分子=0且分母≠0。 ②二次根式有意义：被开方数≥0。 ③混合式子分步列不等式：同时含分式+二次根式时，分别列出限制条件，联立不等式组求解取值范围。 【例11】若二次根式在实数范围内有意义，则x的值可以是________（写出一个即可） 【例12】函数中自变量的取值范围是__________． 【变式6-1】若使分式有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【变式6-3】若分式的值为零，则______． 题型07 二次根式加减乘除的混合运算 【解题技巧】 ①运算顺序优先：遵循“先乘除、后加减，有括号先算括号内”，同级运算从左到右。 ②先化简，再计算：所有根式先化为最简二次根式，再进行加减合并、乘除运算。 【例13】计算： (1) (2) 【例14】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式7-1】估计的值在（   ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 【变式7-2】计算题． (1)； (2)． 【变式7-3】计算： (1) (2)； (3)． 题型08 分母有理化 【例15】已知a是的整数部分，b是的小数部分，求的值为______． 【例16】材料阅读题：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫作分母有理化． 例如：；． 观察上面解题过程，并回答下列问题： (1)________； (2)若a是的小数部分，化简； (3)利用上面的解法，请化简：． 【变式8-1】计算： 【变式8-2】已知：，，求代数式的值． 【变式8-3】． (1)利用上面的方法计算； (2)计算． 题型09 分式的化简求值 【解题技巧】 ①先化简，后代入：严禁直接代值硬算，先对分式约分、通分、因式分解，化为最简形式再代入数值。 ②因式分解为基础：分子、分母优先因式分解，快速找到公因式约分。 ③隐含条件优先看：代值前先根据分式有意义条件，排除使分母为0的数值。 【例17】若，则的值为_____． 【例18】先化简，再求值：，其中． 【变式9-1】先化简，再求值：，其中． 【变式9-2】先化简，再求值：，其中． 【变式9-3】我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，，，三角形的面积．若，，，则的值为________________． 题型10 分式的基本性质 【解题技巧】 ①核心原则：分式分子、分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式值不变，注意“同时、同一个、不为0”三个关键点。 ②约分技巧：先因式分解，再约去分子分母公因式，化为最简分式。 ③通分技巧：先找各分母最简公分母，再利用性质统一分母。 【例19】若、均不为0，将下列分式中的、的值都变为原来的2倍，则分式的值保持不变的是（    ） A． B． C． D． 【例20】根据分式的基本性质填空： （1）；括号内应填入：_________； （2）；括号内应填入：_________． 【变式10-1】若分式的值为，现将分式中的和都扩大3倍，那么分式的值变为（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】若把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值（     ）． A．扩大2倍 B．不变 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 【变式10-3】写出下列各等式中未知的分子或分母： (1)； (2)； (3)； (4)． 1．已知可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（     ） A．61，63 B．63，65 C．65，67 D．63，64 5．已知，． (1)化简； (2)若，求的值． 6．定义：任意两个数a，b，按规则得到一个新数c，称所得的新数c为数a、b的“传承数”． (1)若，，求a，b的“传承数”c； (2)若，，且，求a，b的“传承数”c． 7．“探究性学习”小组的甲、乙两名同学分解因式的过程如下： 甲： （分成两组） （直接运用公式）． 乙： （分成两组） （提公因式）． 请在他们解法的启发下，分解因式： (1)； (2)． 8．数学活动课上，老师给每个学生准备了如图1所示的A、B、C三种纸片若干，让学生们利用这些纸片摆出不同的长方形，通过长方形面积快速得到整式乘法计算结果，从而发现某些特殊结论． (1)嘉嘉用以上三种纸片摆出了如图2所示的图形，请根据图形直接写出的计算结果为______． (2)琪琪想摆出一个长方形，来验证，通过计算说明她需要三种纸片各多少张． (3)如图3，小亮从纸片A的一角裁出一张纸片B，然后将剩余部分沿虚线剪开，拼成右图所示长方形． ①请根据图形直接写出______； ②为了计算方便，我们经常把一些特定运算转化成的形式，并利用①的结论完成计算．如：．仿照上述过程计算：． (4)拓展应用： 直接写出的结果为______．（用幂的形式表示） 9．图形可以形象直观显示数量关系．例如，根据图1可以得到，请解答下列问题： (1)根据图2，直接写出一个代数恒等式：____ ； (2)小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张宽、长分别为a、b的长方形，9张边长为b的正方形纸片，拼成一个面积最小的正方形，则的值为____；这个正方形的边长为____；(用含a，b的式子表示) (3)如图4，是4个边长分别为a、b、c的直角三角形和1个边长为c的正方形拼成的大正方形．请根据图4中的图形关系可推导出a、b、c的数量关系式为____； (4)如图5，直角中，，，，点D是边上的一动点．请利用（3）的结论，求线段的最小值． 10．某校科技节将举办机器人表演展示活动，学校购置的小型智能机器人可按预设程序排列成各种方阵表演，数学科技社团需要从数学角度研究方阵的排列规律和优化设计． 机器人排成一个正方形方阵进行展示，如下图所示，方阵一般有实心方阵和空心方阵两种形式． 【项目启动·基础探究】 机器人第一环节排成实心方阵，已知最外层每边有个机器人． (1)当时，这个方阵共有机器人 个； (2)用含的代数式表示实心方阵中机器人的总数为 个； 【项目深入·规律探究】 第二环节是“空心方阵”造型．空心方阵是指最外层每边有个机器人，中间留出一个空心区域． (3)当空心区域为，且时，空心方阵的机器人总数为 个； (4)当空心区域为，且时，用含的代数式表示空心方阵机器人总数为 个； 【项目拓展·实际应用】 学校共有个机器人，现要排出一个空心方阵（中间留出的空心区域），要求： （i）最外层每边机器人数必须是偶数（便于对称排列）， （ii）最外层每边机器人数不少于个且不超过个， (5)满足条件的方阵方案共有 种，其中使用机器人数量最多的方案需要 个机器人． 23 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $