专题03直角三角形.垂直平分线.角平分线期末复习讲义 (18大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题03直角三角形.垂直平分线.角平分线期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.系统掌握直角三角形相关知识点：锐角性质、勾股定理及逆定理、斜边中线定理、含 30° 直角三角形性质、直角三角形 HL 全等判定。 2.熟记线段垂直平分线、角平分线的性质定理、判定定理，精准理解两个定理中点的 “距离” 几何含义。 3.掌握两种平分线的尺规作图方法，理清三类几何知识之间的内在联系，完善几何知识体系。 1.能利用直角三角形相关定理完成边长、角度计算，能判别直角三角形，熟练运用 HL 证明特殊三角形全等。 2.掌握平分线专属辅助线作法，能借助两条平分线定理，实现角、线段之间的等量转化。 3.能整合直角三角形、全等三角形、两类平分线知识，独立拆解复杂几何图形。 4.规范几何作图与证明书写，提升几何逻辑推理、综合解题能力 1.选择填空：秒杀角度、线段计算题型，辨析易混概念，杜绝基础低级失分。 2.基础解答：熟练尺规作图，精准套用各类定理，答题格式规范，稳拿基础分值。 3.证明题型：能根据题干条件，灵活选用全等、直角三角形、平分线定理完成证明。 4.综合压轴：突破多知识点融合题型，攻克折叠、最值、动点类高频大题，规避三类章节高频易错点。 题型01.含30角的直角三角形 题型02.直角三角形的性质 题型03.直角三角形的判定 题型04.写出命题的逆命题 题型05.判断是否为互逆命题 题型06.定理与证明 题型07.互逆定理 题型08.用HL证全等 题型09.全等的性质和HL综合 题型10..直角三角形折叠问题 题型11.直角三角形最值问题 题型12.直角三角形中动点问题 题型13.线段垂直平分线的性质 题型14,线段垂直平分线的判定 题型15.作垂线 题型16.角平分线的性质定理 题型17.角平分线的判定定理 题型18.角平分线的实际应用 知识点01:基本概念 定义：有一个角是直角90的三角形叫做直角三角形。 边角名称：夹直角的两条边叫直角边，直角所对的边叫斜边。 表示方法：Rt△ABC， ∠C=90 内角特点：直角三角形只有一个直角，另外两个均为锐角。 知识点02:性质 性质 内容 几何语言 图示 角的性质 直角三角形的两个锐角互余（和为 90°） 在 Rt△ABC 中，若 ∠C=90°，则 ∠A + ∠B = 90° 边的性质（勾股定理） 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 在 Rt△ABC 中，若 ∠C=90°，则 a² + b² = c²（a,b 为直角边，c 为斜边） 斜边中线性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 在Rt△ABC中.若∠C=90°，D为AB中点,则CD=AB 30°角性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 在Rt△ABC中，若∠C=90°，∠A=30°，则BC=AB 知识点03:核心判定（高频考点） 判定方法 内容 几何语言 图示 定义判定 有一个角是直角（90°）的三角形是直角三角形 在△ABC中，若∠C=90°，则 △ABC是直角三角形 角的判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 在△ABC中若∠A+∠B= 90，则∠C=90°，△ABC是直角三角形 边的判定（勾股逆定理） 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 在△ABC 中，若a² + b² = c²，则∠C=90°，△ABC是直角三角形 中线判定 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形 在△ABC中，若D为AB中点，且CD = AB，则∠C=90°，△ABC 是直角三角形 知识点04:线段的垂直平分线 垂直平分线定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。 图形性质：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的一条对称轴 定理 几何语言 图示 性质定理 线上点到线段两端距离相等 ∵ 点 P 在 AB 的垂直平分线上∴ PA = PB 判定定理（逆定理） 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ∵ PA = PB∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上 尺规作图：作线段的垂直平分线 已知：线段 AB。作法： 1.分别以 A,B 为圆心，大于 AB 的长为半径画弧，两弧交于 C,D 两点； 2.作直线 CD，即为 AB 的垂直平分线。 知识点05:角平分线 1.角平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的平分线。 几何特征：角是轴对称图形，角平分线所在直线是它的对称轴。 几何语言： ∵ 射线 OC 把 ∠AOB 分成两个相等的角，即 ∠1=∠2，∴ 射线 OC 是 ∠AOB 的角平分线。 2. 性质定理+判定定理（重点） 定理 几何语言 图示 性质定理 角平分线上的任意一点，到这个角两边的距离相等 ∵ OC 平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB∴ PD = PE 判定定理 到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上 3尺规作图：作已知角的平分线 已知：∠AOB。作法： 1.以 O 为圆心，任意长为半径画弧，交 OA,OB 于 M,N； 2.分别以 M,N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在角内交于点 C； 3.作射线 OC，即为 ∠AOB 的平分线。 题型01.含30角的直角三角形 1．如图，是等边三角形，点D在边上，过点D作于点E．若，则的长为（     ） A．1 B．2 C．4 D．6 2．如图，平分，，，，，则_____________． 3．如图，中，，，，有以下作图：①以点为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点，交于点；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交于点．若点，分别为，上的动点，那么的最小值是（   ） A．2 B．3 C． D．4 4．在中，，，点是线段上的一动点（不与点，重合）连接，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，点是的中点，连接． (1)【问题发现】如图（1），当点是的中点时，线段与的数量关系是______．与的位置关系是_____． (2)【猜想论证】当点在边上且不是的中点时，试猜想与的数量关系和位置关系．小汇通过深入思考，从几何变换角度出发构建辅助线，类比问题（1）中所用知识，仍可得到（1）中的结论，请根据小汇的思路就图（2）中的情况完成解答过程． (3)【拓展应用】连接，若时，，其他条件不变，直接写出的面积． 题型02.直角三角形的性质. 5．如图，在中，，是边上的中线，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．将一把直尺和一个含角的直角三角板按如图方式放置．若，那么的度数是__________． 7．如图，在中，，是的外角的平分线，平分，且与的反向延长线相交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，D是边上的动点，过点D作交于E，交的延长线于点F． (1)若，求的度数； (2)在D点运动的过程中，探究是否为定值，如果是求出定值并证明；如果不是定值，请说明理由． 题型03.直角三角形的判定 9．在中，，，的对边分别是a，b，c，则下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，，为四边形的对角线，，，，四边形的面积是15，则的长为______． 11．在中，，，的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 12．如图，在中，，点E在边上，，，．求证：． 题型04.写出命题的逆命题 13．命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题为（    ） A．两个三角形的对应边相等 B．两组对应边相等的两个三角形全等 C．对应边相等的两个三角形全等 D．对应边相等的两个三角形不全等 14．命题“全等三角形的周长相等”的逆命题是______命题（填“真”或“假”）． 15．定理“等腰三角形两腰上的高相等”的逆定理是（   ） A．如果一个三角形两条边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形 B．等腰三角形的高都相等 C．两条边上的高不相等的三角形不是等腰三角形 D．三角形两边上的高相等，这两边不一定相等 题型05.判断是否为互逆命题 16．下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 17．“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 18．命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 题型06.定理与证明 19．下列语句中，是定义的是（    ） A．若两角之和为，则这两个角互余 B．相等的角是对顶角 C．同角的余角相等 D．延长至D使 20．定理可以作为证明后续命题的_______，根据_______，可以得到推论：三角形的外角等于与它不相邻的_______的和． 21．下列命题可以称为定理的有（   ） ①与的平均数是；②能被整除的数也能被整除；③是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数，等式仍成立． A．个 B．个 C．个 D．个 题型07.互逆定理 22．定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆定理是（   ） A．到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上 B．到角两边距离不相等的点不在这个角的角平分线上 C．角平分线上的点到角两边的距离不相等 D．不在角平分线上的点到角两边的距离不相等 23．命题“两锐角互余的三角形是直角三角形”的逆命题____定理（填“是”或“不是”）． 24．定理“三角形的三条中线交于一点”的逆定理是（） A．三条线段交于一点，它们是三角形的中线 B．交于一点的三条线段是三角形的中线 C．这个定理没有逆定理 D．如果三条线段是三角形的中线，那么它们交于一点 题型08.用HL证全等 25．如图，在中，于点，若要根据“”直接判定，还需要添加条件：_______________． 26．如图，在和中，，，若要用“斜边直角边”直接证明，则还需补充条件（   ） A． B． C． D． 27．如图，点B、E、C、F在一条直线上，与交于点G，，，．求证：． 28．如图，是上的一点，且， (1)求证：． (2)若，则等于______． 题型09.全等的性质和HL综合 29．在中，是中点，，，垂足分别是，，，则是________三角形． 30．如图，在梯形中，，，点F为中点，点E在上，平分，，，则的长为（    ） A．4 B． C．5 D．6 31．如图，点，，，在同一直线上，且，，与相交点，，．求证：． 32．如图，在和中，，点、、、在同一条直线上，，，的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，，求． 题型10..直角三角形折叠问题 33．如图，把长方形沿折叠，得到，交于点F，平分，若，则长为_______． 34．如图，在中，，，点为边上一点，连接，将沿翻折，使点落在点处，点为边上一点，连接，将沿翻折，点恰好与点重合．，则下列结论：①点是的中点；②是等腰三角形；③与互补；④的长是1；⑤的面积是2．其中结论正确的有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 35．如图所示为直角三角形纸片，，是边上一点．将纸片沿折叠，使点落在点的位置，交于点，且． (1)求证：是直角三角形． (2)若，，求折痕的长． 题型11.直角三角形最值问题 36．如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为____________． 37．如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点和顶点分别在轴正半轴及轴正半轴上运动，若，，则在运动过程中，线段的最大值是_____． 38．如图，在等腰中，，，是边上的一个动点，连接，则的最小值为______． 39．如图，在中，，，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），则的最小值是（    ） A． B．3 C．1 D． 题型12.直角三角形中动点问题 40．如图，在中，，，，是边上的一个动点，以为顶点作，点在边上，则的长度可以是（    ）． A．4 B．6 C．8 D．10 41．如图，在中，，，平分交于点D，点E是射线上的动点，连接，的平分线与交于点P，若，则的度数为________． 42．如图，在等腰中，，点是斜边上的动点，且，连接． (1)过点作的垂线，垂足为，在线段上取点，使得，连接、. ①请你依据题意，补全图形； ②求证：； (2)在（1）的条件下，若点为线段的中点，连接，试判断线段与线段之间的位置关系，并证明． 题型13.线段垂直平分线的性质 43．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，垂足分别为，．则的周长是_____________． 44．如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、．若，，则点到点的距离是（     ） A． B．2.5 C． D． 45．在中，已知，，的垂直平分线分别交，于点D，E，点F和点G分别是线段和边上的动点，则的最小值为______． 46．已知，是等腰三角形，，且． (1)试在边上找到两点，使．（用无刻度的直尺与圆规作图，并保留作图痕迹） (2)连接，求三角形的周长． 题型14,线段垂直平分线的判定 47．如图，，则有（    ） A．垂直平分 B．垂直平分 C．是等腰三角形 D．与互相垂直平分 48．如图，在中，是上一点，已知，则点在线段__________的垂直平分线上． 49．如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点；分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；作射线交于点．则的度数为（   ） A． B． C． D． 50．如图，在中，已知，为的中点，于点，于点，连接、． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 题型15.作垂线 51．如图，在中，，，，根据尺规作图痕迹，线段的长为______． 52．如图，点A在直线l外，以点A为圆心，a长为半径画弧，交直线l于B，C两点，分别以点B，C为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点D，作直线．下列说法中，一定正确的是（     ） A． B． C．垂直平分 D．垂直平分 53．如图，在等腰中，，点为边上的点． (1)尺规作图：在的右侧作，使得，；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，连接，求证：． 题型16.角平分线的性质定理 54．如图，在中，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E；再分别以D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点F，作射线交于点G．若，，则的长为 _____ ． 55．如图，在中，，，平分交于点，于点，交于点，于点，于点，若，则的长是（    ） A．2 B． C． D． 56．如图，在中，，是的角平分线，，． (1)求的面积； (2)求的长． 题型17.角平分线的判定定理 57．在内部，将两个完全一样的含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，连接，则可得到平分，判断依据是__________． 58．如图，在中，的平分线与的平分线交于点，连接，如果要求出的度数，只需知道下列哪个角的度数（   ） A． B． C． D． 59．如图，在直线AB的同一侧作和，和都是等边三角形，连接、交于点H，下列选项正确的序号是______． ①；②；③；④连接，则平分； 60．如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，，，在边上截取，连接．求证：平分． 题型18.角平分线的实际应用 61．如图，在中，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点、．若，则的周长是_______． 62．如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 63．探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H． 平分 ， 即． 新知应用： (1)如图②，是的角平分线，若，则_________； (2)如图②，是的角平分线，若，则_________； (3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03直角三角形.垂直平分线.角平分线期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.系统掌握直角三角形相关知识点：锐角性质、勾股定理及逆定理、斜边中线定理、含 30° 直角三角形性质、直角三角形 HL 全等判定。 2.熟记线段垂直平分线、角平分线的性质定理、判定定理，精准理解两个定理中点的 “距离” 几何含义。 3.掌握两种平分线的尺规作图方法，理清三类几何知识之间的内在联系，完善几何知识体系。 1.能利用直角三角形相关定理完成边长、角度计算，能判别直角三角形，熟练运用 HL 证明特殊三角形全等。 2.掌握平分线专属辅助线作法，能借助两条平分线定理，实现角、线段之间的等量转化。 3.能整合直角三角形、全等三角形、两类平分线知识，独立拆解复杂几何图形。 4.规范几何作图与证明书写，提升几何逻辑推理、综合解题能力 1.选择填空：秒杀角度、线段计算题型，辨析易混概念，杜绝基础低级失分。 2.基础解答：熟练尺规作图，精准套用各类定理，答题格式规范，稳拿基础分值。 3.证明题型：能根据题干条件，灵活选用全等、直角三角形、平分线定理完成证明。 4.综合压轴：突破多知识点融合题型，攻克折叠、最值、动点类高频大题，规避三类章节高频易错点。 题型01.含30角的直角三角形 题型02.直角三角形的性质 题型03.直角三角形的判定 题型04.写出命题的逆命题 题型05.判断是否为互逆命题 题型06.定理与证明 题型07.互逆定理 题型08.用HL证全等 题型09.全等的性质和HL综合 题型10..直角三角形折叠问题 题型11.直角三角形最值问题 题型12.直角三角形中动点问题 题型13.线段垂直平分线的性质 题型14,线段垂直平分线的判定 题型15.作垂线 题型16.角平分线的性质定理 题型17.角平分线的判定定理 题型18.角平分线的实际应用 知识点01:基本概念 定义：有一个角是直角90的三角形叫做直角三角形。 边角名称：夹直角的两条边叫直角边，直角所对的边叫斜边。 表示方法：Rt△ABC， ∠C=90 内角特点：直角三角形只有一个直角，另外两个均为锐角。 知识点02:性质 性质 内容 几何语言 图示 角的性质 直角三角形的两个锐角互余（和为 90°） 在 Rt△ABC 中，若 ∠C=90°，则 ∠A + ∠B = 90° 边的性质（勾股定理） 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 在 Rt△ABC 中，若 ∠C=90°，则 a² + b² = c²（a,b 为直角边，c 为斜边） 斜边中线性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 在Rt△ABC中.若∠C=90°，D为AB中点,则CD=AB 30°角性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 在Rt△ABC中，若∠C=90°，∠A=30°，则BC=AB 知识点03:核心判定（高频考点） 判定方法 内容 几何语言 图示 定义判定 有一个角是直角（90°）的三角形是直角三角形 在△ABC中，若∠C=90°，则 △ABC是直角三角形 角的判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 在△ABC中若∠A+∠B= 90，则∠C=90°，△ABC是直角三角形 边的判定（勾股逆定理） 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 在△ABC 中，若a² + b² = c²，则∠C=90°，△ABC是直角三角形 中线判定 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形 在△ABC中，若D为AB中点，且CD = AB，则∠C=90°，△ABC 是直角三角形 知识点04:线段的垂直平分线 垂直平分线定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。 图形性质：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的一条对称轴 定理 几何语言 图示 性质定理 线上点到线段两端距离相等 ∵ 点 P 在 AB 的垂直平分线上∴ PA = PB 判定定理（逆定理） 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ∵ PA = PB∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上 尺规作图：作线段的垂直平分线 已知：线段 AB。作法： 1.分别以 A,B 为圆心，大于 AB 的长为半径画弧，两弧交于 C,D 两点； 2.作直线 CD，即为 AB 的垂直平分线。 知识点05:角平分线 1.角平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的平分线。 几何特征：角是轴对称图形，角平分线所在直线是它的对称轴。 几何语言： ∵ 射线 OC 把 ∠AOB 分成两个相等的角，即 ∠1=∠2，∴ 射线 OC 是 ∠AOB 的角平分线。 2. 性质定理+判定定理（重点） 定理 几何语言 图示 性质定理 角平分线上的任意一点，到这个角两边的距离相等 ∵ OC 平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB∴ PD = PE 判定定理 到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上 3尺规作图：作已知角的平分线 已知：∠AOB。作法： 1.以 O 为圆心，任意长为半径画弧，交 OA,OB 于 M,N； 2.分别以 M,N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在角内交于点 C； 3.作射线 OC，即为 ∠AOB 的平分线。 题型01.含30角的直角三角形 1．如图，是等边三角形，点D在边上，过点D作于点E．若，则的长为（     ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】证明，结合，，可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴． 2．如图，平分，，，，，则_____________． 【答案】 【分析】首先根据三角形内角和定理求出的度数，结合角平分线的定义得出的度数，进而利用三角形内角和定理判定为直角三角形，最后根据含度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， 是直角三角形， 在中，，， ． 3．如图，中，，，，有以下作图：①以点为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点，交于点；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交于点．若点，分别为，上的动点，那么的最小值是（   ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】先由作图作法得出是的平分线，再根据垂线段最短，在上截取，连接，作于G，此时，值最小，最小值为，再根据直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：在上截取，连接，作于G，如图， 根据垂线段最短，此时，值最小，最小值为， 理由：由作图可知，是的平分线， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴值最小，最小值为， ∵，， ∴， 即最小值为4． 4．在中，，，点是线段上的一动点（不与点，重合）连接，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，点是的中点，连接． (1)【问题发现】如图（1），当点是的中点时，线段与的数量关系是______．与的位置关系是_____． (2)【猜想论证】当点在边上且不是的中点时，试猜想与的数量关系和位置关系．小汇通过深入思考，从几何变换角度出发构建辅助线，类比问题（1）中所用知识，仍可得到（1）中的结论，请根据小汇的思路就图（2）中的情况完成解答过程． (3)【拓展应用】连接，若时，，其他条件不变，直接写出的面积． 【答案】(1)， (2)，，解答过程见解析 (3) 【分析】（1）第一问根据等腰直角三角形的判定和性质进行解答即可； （2）第二问需要作辅助线，构造全等三角形（见详解图），把线段与的数量关系转化为线段与的数量关系，再利用三角形中位线的性质即可解答； （3）第三问是考察特殊角的计算，利用含的直角三角形的短边是斜边的一半这个性质解出的长度，从而解出长度，利用第二问的答案解出的高的长度即可求得的面积． 【详解】（1）解：，， 是等腰直角三角形， ， 是的中点， ， 即是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， 是的中点， ， 是等腰直角三角形， ， 即且． （2）解：，，理由如下： 延长到，使得，连接，． ，， 是的垂直平分线， ， 又是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 是的中点， 是的中位线， ，, ，． （3）解：连接，过点作于点K， , , ， ， ， ∴， ∴， 由（2）可得，，且， ． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，手拉手模型，解直角三角形． 题型02.直角三角形的性质. 5．如图，在中，，是边上的中线，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等腰三角形“三线合一”的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴． 6．将一把直尺和一个含角的直角三角板按如图方式放置．若，那么的度数是__________． 【答案】/度 【分析】根据直角三角形两锐角互余的性质得出，根据平行线的性质结合对顶角相等得出，进而可得出答案． 【详解】解：如图所示， ∵将一把直尺和一个含角的直角三角板按如图方式放置， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 7．如图，在中，，是的外角的平分线，平分，且与的反向延长线相交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线、三角形内角和、三角形外角的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外角、角平分线的性质，从而完成求解．利用角平分线性质得出，结合三角形外角性质推出，即；在中由内角和求出，借助对顶角相等得；最后在中算出，最后根据角平分线定义得出． 【详解】解：∵是的外角的平分线，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， 设交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8．如图，在中，D是边上的动点，过点D作交于E，交的延长线于点F． (1)若，求的度数； (2)在D点运动的过程中，探究是否为定值，如果是求出定值并证明；如果不是定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】（1）根据题意可得，再根据直角三角形的两个锐角互余得，然后根据三角形的外角的性质得； （2）由垂直定义得，再根据三角形外角的性质得，进而得，则此题可解． 【详解】（1）解：∵于点E，交的延长线于点F， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴的度数是； （2）解：为定值，理由如下： ∵于点E，交的延长线于点F， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴为定值． 题型03.直角三角形的判定 9．在中，，，的对边分别是a，b，c，则下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，逐一判断各选项，即可得到不能判定为直角三角形的结果． 【详解】解：A．∵ ∴，符合勾股定理的逆定理 ∴是直角三角形，不符合要求； B．∵，三角形内角和为， 设，，， ∴， 解得：， ∴最大角， ∴不能判定为直角三角形，符合要求； C．∵， 设，，， ∴， ， ∴，符合勾股定理的逆定理，能判定是直角三角形，不符合要求； D．∵，， ∴，得， ∴能判定是直角三角形，不符合要求． 10．如图，，为四边形的对角线，，，，四边形的面积是15，则的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，含30度的直角三角形的性质，直角三角形的判断，熟练掌握等腰三角形的性质以及含30度的直角三角形的性质是解题的关键． 先求出，进而求出，，再进行计算即可． 【详解】解：过点B作交于点F，如图， ∵， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 11．在中，，，的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的判定方法，涉及三角形内角和定理及勾股定理的逆定理，直角三角形的判定需满足一个角为或三边满足勾股定理，通过三角形内角和定理或勾股定理验证每个选项是否能判定直角三角形． 【详解】解：∵三角形内角和为， A项：由，代入得，解得，∴为直角三角形； B项：设，，，则，解得 ，得出，，，无角，∴不是直角三角形； C项：，符合勾股定理，∴为直角三角形，； D项：设，，，则，，∴，为直角三角形，， 综上所述，不能判定的是B， 故选：B． 12．如图，在中，，点E在边上，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由题意易得，则有，然后可得，进而根据全等三角形的性质进行求证即可． 【详解】证明：，， ，， ∴， ∴， ，， ， ， ，即， ． 题型04.写出命题的逆命题 13．命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题为（    ） A．两个三角形的对应边相等 B．两组对应边相等的两个三角形全等 C．对应边相等的两个三角形全等 D．对应边相等的两个三角形不全等 【答案】C 【分析】本题主要考查了逆命题，原命题是条件语句“如果两个三角形全等，那么对应边相等”，其逆命题需交换条件和结论，即“如果两个三角形的对应边相等，那么这两个三角形全等”. 【详解】解：原命题可表述为“若两个三角形全等，则对应边相等”， 逆命题为“若两个三角形的对应边相等，则这两个三角形全等”． 故选：C． 14．命题“全等三角形的周长相等”的逆命题是______命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【分析】先写出逆命题，再判断真假即可． 【详解】解：命题“全等三角形的周长相等”的逆命题是“周长相等的三角形是全等三角形”，是假命题． 15．定理“等腰三角形两腰上的高相等”的逆定理是（   ） A．如果一个三角形两条边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形 B．等腰三角形的高都相等 C．两条边上的高不相等的三角形不是等腰三角形 D．三角形两边上的高相等，这两边不一定相等 【答案】A 【分析】本题考查了逆定理．原定理的条件为“三角形是等腰三角形”，结论为“两腰上的高相等”． 逆定理需交换条件与结论，即“如果一个三角形两条边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形”． 【详解】解：∵ 逆定理的定义是将原命题的条件和结论互换， ∴ 原定理的逆定理为“如果一个三角形两条边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形”， 故选：A． 题型05.判断是否为互逆命题 16．下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 【答案】C 【分析】本题考查逆命题，根据条件和结论互换的两个命题互为逆命题，进行判断即可． 【详解】解：“同旁内角互补，两直线平行”的逆定理是“两直线平行，同旁内角互补”， 故选C． 17．“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 【答案】A 【分析】根据逆命题，逆定理，公理，假命题的定义，分别对每一项进行分析即可． 【详解】“直角都相等”的条件是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等” “相等的角是直角” 的条件是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角” 条件和结论互换，所以是互为逆命题． 定理：“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”明显这个定理的逆命题是假命题， 所以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定理． 故选：A． 【点睛】本题考查了互为逆命题的知识，熟记互为逆命题的定义是解题关键． 18．命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 【答案】C 【分析】交换题设和结论，即可得到答案． 【详解】解：“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是：如果x2＝y2，那么|x|＝|y|， 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握求一个命题的逆命题，就是交换原命题的题设与结论． 题型06.定理与证明 19．下列语句中，是定义的是（    ） A．若两角之和为，则这两个角互余 B．相等的角是对顶角 C．同角的余角相等 D．延长至D使 【答案】A 【分析】本题考查了定义的概念，互为余角的定义，对顶角的定义和性质，余角的性质，几何语言，利用定义的定义分别判断各项是解题的关键． 【详解】解：A. 若两角之和为，则这两个角互余，是定义，符合题意； B.相等的角是对顶角，不是定义，不符合题意； C.同角的余角相等，不是定义，不符合题意； D. 延长至D使，不是定义，不符合题意； 故选：A． 20．定理可以作为证明后续命题的_______，根据_______，可以得到推论：三角形的外角等于与它不相邻的_______的和． 【答案】 依据 三角形内角和定理及平角的定义 两个内角 【分析】本题考查定理和命题，根据三角形的内角和定理以及平角的定义推出三角形的外角的性质，作答即可． 【详解】解：定理可以作为证明后续命题的依据，根据三角形内角和定理及平角的定义，可以得到推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 故答案为：依据，三角形内角和定理及平角的定义，两个内角 21．下列命题可以称为定理的有（   ） ①与的平均数是；②能被整除的数也能被整除；③是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数，等式仍成立． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题主要考查的知识点有:定理的概念:定理是经过逻辑证明为真的陈述，是具有普遍意义、经过严格证明的结论．包括平均数的计算、能被和整除的数的特征、方程的根的验证、三角形内角和定理、等式的基本性质等相关数学概念和性质，通过对这些内容的考查，判断哪些命题符合定理的定义． 【详解】解：命题①平均数的计算是，所以“与的平均数是”是错误的，不是定理； 命题②能被整除的数不一定能被整除，例如能被整除，但不能被整除，所以该命题错误，不是定理； 命题③“将 代入方程，左边，右边，左边右 边，所以该命题是错误的，不是定理； 命题④“三角形的内角和是”，这是经过严格的几何证明(如通过平行线性质、拼图等方法证明)，具有普遍适用性的结论，是定理； 命题⑤“等式两边加上同一个数，等式仍成立”，这是等式的基本性质之一，是经过数学定义和推导确定的、具有普遍意义的结论，是定理； 综上，命题④和命题⑤是定理，共个． 故选：A． 题型07.互逆定理 22．定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆定理是（   ） A．到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上 B．到角两边距离不相等的点不在这个角的角平分线上 C．角平分线上的点到角两边的距离不相等 D．不在角平分线上的点到角两边的距离不相等 【答案】A 【分析】本题考查互逆定理． 将原定理的题设和结论互换，判断逆命题的真假，若逆命题为真命题，即为原定理的逆定理． 【详解】解：“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆命题是“到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上”， ∵“到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上”是真命题， ∴定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆定理是“到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上”， 故选：A． 23．命题“两锐角互余的三角形是直角三角形”的逆命题____定理（填“是”或“不是”）． 【答案】是 【分析】先交换原命题的题设与结论得到逆命题，再判断逆命题是否为定理即可． 【详解】解：原命题“两锐角互余的三角形是直角三角形”的题设为“一个三角形中两个锐角互余”， 结论为“这个三角形是直角三角形”， 交换题设与结论得到逆命题为“直角三角形的两锐角互余”， 该逆命题是经过推理证实的真命题， 因此它是定理． 24．定理“三角形的三条中线交于一点”的逆定理是（） A．三条线段交于一点，它们是三角形的中线 B．交于一点的三条线段是三角形的中线 C．这个定理没有逆定理 D．如果三条线段是三角形的中线，那么它们交于一点 【答案】C 【分析】本题考查了逆定理．原定理的逆命题成立，则原定理有逆定理，否则没有；原定理的逆定理需将条件与结论互换，但互换后的命题不成立． 【详解】解：∵原定理“三角形的三条中线交于一点”的逆命题为“如果三条线段交于一点，那么它们是三角形的中线”，但此逆命题为假， 例如三角形的三条角平分线交于一点，但对于非等边三角形，角平分线不是中线， ∴该定理没有逆定理， 故选：C． 题型08.用HL证全等 25．如图，在中，于点，若要根据“”直接判定，还需要添加条件：_______________． 【答案】 【详解】解：∵于点， ∴， ∵， ∴当时，根据“”可判定. 26．如图，在和中，，，若要用“斜边直角边”直接证明，则还需补充条件（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形的全等判定解答即可． 【详解】解：补充，可得：， 在和中， ， ∴． 【点睛】斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 27．如图，点B、E、C、F在一条直线上，与交于点G，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】利用证明即可． 【详解】证明：∵ ∴ ∴ ∵， ∴． 28．如图，是上的一点，且， (1)求证：． (2)若，则等于______． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）等角对等边，得到，利用即可得证； （2）根据全等三角形的性质结合含30度角直角三角形的性质，即可得出结果. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵ ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 在中，， ∴． 题型09.全等的性质和HL综合 29．在中，是中点，，，垂足分别是，，，则是________三角形． 【答案】等腰 【分析】根据全等三角形的判定和性质求出，即可证明是等腰三角形． 【详解】∵是中点， ∴， ∵，， ∴和都是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 30．如图，在梯形中，，，点F为中点，点E在上，平分，，，则的长为（    ） A．4 B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据平行线的性质得到，根据点F为中点，得到，根据勾股定理得到，过点F作交于G，证明，得到，，，证明，得到，进而求出，即，设，求出，即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点F为中点，， ∴， ∵， ∴， 如图，过点F作交于G， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 则，， ∴， 解得：， ∴． 31．如图，点，，，在同一直线上，且，，与相交点，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用“”证明，由全等三角形的性质可得结论. 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 32．如图，在和中，，点、、、在同一条直线上，，，的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）由得到，即可证明，得到，根据三角形外角的性质即可证明； （2）根据全等三角形的性质得到，再根据线段的和差即可求解． 【详解】（1）证明：，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ，， ， ． 题型10..直角三角形折叠问题 33．如图，把长方形沿折叠，得到，交于点F，平分，若，则长为_______． 【答案】4 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，直角三角形的特征等；由折叠的性质和等腰三角形的判定及性质得，由直角三角形的特征得 ，可得，即可求解． 【详解】解：在长方形中，， ，， ，， 由折叠得， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 解得； 故答案为：． 34．如图，在中，，，点为边上一点，连接，将沿翻折，使点落在点处，点为边上一点，连接，将沿翻折，点恰好与点重合．，则下列结论：①点是的中点；②是等腰三角形；③与互补；④的长是1；⑤的面积是2．其中结论正确的有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据折叠的性质，得，，，，得到，可判定①正确；结合，可判定②正确；根据折叠的性质，可证，判定③正确；设，由勾股定理，得,解得，判定④⑤错误，解答即可． 本题考查了折叠的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，四边形内角和定理，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：根据折叠的性质，得，， ，， ∴， ∴点是的中点， 故①正确； ∵，， ∴， ∴是等腰三角形， 故②正确； 根据折叠的性质，得，，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴与互补， 故③正确； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 设， ∴， 根据勾股定理，得， ∴, 解得， ∴的长是， ∴的面积是， 故④⑤错误； ∴结论正确的有3个， 故选：C． 35．如图所示为直角三角形纸片，，是边上一点．将纸片沿折叠，使点落在点的位置，交于点，且． (1)求证：是直角三角形． (2)若，，求折痕的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等边对等角及对顶角相等得，根据折叠的性质得，再根据直角三角形两锐角互余可推出，即可得证； （2）如图，过点作于点，根据勾股定理得，根据三角形等积变换得，再结合折叠的性质推出，最后再根据勾股定理可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵将纸片沿折叠，使点落在点的位置， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：如图，过点作于点， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵将纸片沿折叠，使点落在点的位置， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即折痕的长为． 【点睛】本题考查折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的判定，勾股定理等知识点，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 题型11.直角三角形最值问题 36．如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为____________． 【答案】/ 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 取的中点，连接，，，根据直角三角形斜边中线的性质求出，根据勾股定理求出，根据两点之间线段最短得到即可解决问题． 【详解】解：如图，取的中点，连接，，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 37．如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点和顶点分别在轴正半轴及轴正半轴上运动，若，，则在运动过程中，线段的最大值是_____． 【答案】/ 【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．取的中点E，连接，当O，E及C三点共线时，最大，此时，由勾股定理求出，，即可得出结论． 【详解】解：取的中点E，连接， 则， 当O，E及C共线时，最大， ，， ， ， ， 故答案为：． 38．如图，在等腰中，，，是边上的一个动点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，垂线段最短，掌握垂线段最短是解题的关键．由勾股定理可得的长，过点作于，由垂线段最短可得，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即可得解． 【详解】解：如图，过点作于， 在等腰中，，， ，点是的中点， ， 由垂线段最短可知，， 的最小值为． 故答案为：． 39．如图，在中，，，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），则的最小值是（    ） A． B．3 C．1 D． 【答案】A 【分析】以A为顶点，为一边，在下方作，过B作于D，交于P，由是等腰直角三角形可得，即，故取最小值即是取最小值，此时B、P、D共线，且，的最小值即是的长，根据，，可得，即可得答案． 【详解】解：以A为顶点，为一边，在下方作，过B作于D，交于P，如图： 由作图可知：是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴取最小值即是取最小值，此时B、P、D共线，且，的最小值即是的长， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴的最小值是． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形中的最小路径，解题的关键是作辅助线，把的最小值转化为求的最小值． 题型12.直角三角形中动点问题 40．如图，在中，，，，是边上的一个动点，以为顶点作，点在边上，则的长度可以是（    ）． A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形的性质和等腰三角形的判定，熟练掌握直角三角形的性质是解题关键． 由，可以得出是等腰三角形，故越大，就越大．当点D与点A重合时，取最大值．计算出此时的值，对比选项即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴越大，就越大， 当点D与点A重合时，取最大值，即取最大值，如图， 此时， ∵， ∴， ∴，即点C为斜边的中点， ∴， ∴点D运动过程中，，只有选项A符合． 故选：A． 41．如图，在中，，，平分交于点D，点E是射线上的动点，连接，的平分线与交于点P，若，则的度数为________． 【答案】或 【分析】当在线段上时，由角平分线定义求出，由直角三角形的性质求出，得到，由角平分线定义求出，由三角形内角和定理即可求出的度数；当在的延长线上时，求出，由角平分线定义求出，由三角形内角和定理即可求出的度数，即可得到答案． 【详解】解：当在线段上时， ，平分， ， ， ， ， 平分， ， ； 当在的延长线上时， ，平分， ， ， ， ， 平分， ， ， 综上所述，或． 42．如图，在等腰中，，点是斜边上的动点，且，连接． (1)过点作的垂线，垂足为，在线段上取点，使得，连接、. ①请你依据题意，补全图形； ②求证：； (2)在（1）的条件下，若点为线段的中点，连接，试判断线段与线段之间的位置关系，并证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形的两个锐角互余，全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定； （1）①根据题意补全图形； ②根据，，即可得证； （2）连接并延长至，使得，连接，证明，进而可得，再证明是等腰直角三角形，得出，证明得出，，得出是等腰直角三角形，，即可证明，根据三线合一的性质得出，即可证明． 【详解】（1）解：①如图所示 ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2），理由如下， 如图，连接并延长至，使得，连接， ∵是的中点 ∴， 又∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得， ∴， 在中， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵是的中点，， ∴， ∴． 题型13.线段垂直平分线的性质 43．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，垂足分别为，．则的周长是_____________． 【答案】6 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，，再结合三角形的周长公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴的周长是． 44．如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、．若，，则点到点的距离是（     ） A． B．2.5 C． D． 【答案】D 【分析】连接，设，由线段垂直平分线的性质得到，由勾股定理求出，得到，由勾股定理得到，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：连接， 设， 垂直平分， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 点到点的距离是． 45．在中，已知，，的垂直平分线分别交，于点D，E，点F和点G分别是线段和边上的动点，则的最小值为______． 【答案】6 【分析】作于点，由等腰三角形的性质可得，由勾股定理可得，连接、，由线段垂直平分线的性质可得，则，由垂线段最短可得，当点与点重合时，此时最短为，即可得出结果． 【详解】解：如图，作于点， ∵，， ∴， ∴， 连接、， ∵垂直平分， ∴， ∴， 由垂线段最短可得，当点与点重合时，此时最短为， ∴的最小值为． 46．已知，是等腰三角形，，且． (1)试在边上找到两点，使．（用无刻度的直尺与圆规作图，并保留作图痕迹） (2)连接，求三角形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）作线段的垂直平分线，交于点E，以点E为圆心，为半径画弧交于点D，点即为所求； （2）根据已知条件，证明为等边三角形，再利用勾股定理求出，则三角形的周长可求． 【详解】（1）解法一： 如图，点即为所求； 理由：连，由题意，为中位线，， 则可知， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴； 解法二： 分别作边的垂直平分线，交于点两点，即为所求； 由解法一可知，点E为三等分点，同理，点D为三等分点，故点即为所求； （2）解：由（1）可知，， 则，， ∴为等边三角形， 设，则， ∴，即， ∴（负舍），即， ∴三角形的周长为3． 题型14,线段垂直平分线的判定 47．如图，，则有（    ） A．垂直平分 B．垂直平分 C．是等腰三角形 D．与互相垂直平分 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，等腰三角形的判定，根据垂直平分线的判定定理，逐一分析即可解题． 【详解】解：，， A、B在的垂直平分线上， 即垂直平分（但不一定垂直平分）． ∴不一定是等腰三角形， ∴A，C，D错误，B正确， 故选：B． 48．如图，在中，是上一点，已知，则点在线段__________的垂直平分线上． 【答案】/ 【分析】根据已知得出，根据线段垂直平分线定理得出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴D在的垂直平分线上， 49．如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点；分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；作射线交于点．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了尺规作图和直角三角形的性质，解题的关键就是根据作图法则得出直角三角形.根据辅助线作法得出，然后直角三角形两个锐角互余即可求解． 【详解】解：∵根据作图法则可得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 50．如图，在中，已知，为的中点，于点，于点，连接、． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据三线合一定理得到，利用三角形内角和定理求得，再证明，得到，求得，得到，即可证明； （2）由得到，，即可得到垂直平分． 【详解】（1）证明：∵，为的中点， ∴，， ∵于，于， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得， ∴，， ∴垂直平分． 题型15.作垂线 51．如图，在中，，，，根据尺规作图痕迹，线段的长为______． 【答案】 【分析】由勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，由作图可知，，再结合等面积法求解即可． 【详解】解：在中，，，， ， 是直角三角形，， 由作图可知，， ， ． 52．如图，点A在直线l外，以点A为圆心，a长为半径画弧，交直线l于B，C两点，分别以点B，C为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点D，作直线．下列说法中，一定正确的是（     ） A． B． C．垂直平分 D．垂直平分 【答案】D 【分析】根据作图痕迹可知，，即可得出结论． 【详解】根据作图痕迹可以判断作图过程为过点作直线的垂线，且，， 所以垂直平分一定正确． 故选：D． 53．如图，在等腰中，，点为边上的点． (1)尺规作图：在的右侧作，使得，；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）过C在右侧，作的垂线，然后在垂线上截取，连接即可； （2）证明，然后根据全等三角形的性质即可得证. 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）证明：如图， 在等腰中，， ∴， 又，， ∴， ∴． 题型16.角平分线的性质定理 54．如图，在中，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E；再分别以D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点F，作射线交于点G．若，，则的长为 _____ ． 【答案】5 【分析】首先根据尺规作图的步骤，判断是的角平分线，得到角相等的条件，过点G作的垂线，利用角平分线的性质，得到该垂线段的长度等于的长度，用勾股定理计算AB的长度，再通过三角形面积的不同表示方法，或者利用角平分线分对边成比例的性质，建立关于或的方程，结合的长度求解． 【详解】解：过G作于H， 由作图得：平分， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 又∵，平分， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴ ， ∴ ， 设． 则，即：， 解得：， ∴ ． 55．如图，在中，，，平分交于点，于点，交于点，于点，于点，若，则的长是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，通过证明三角形全等，得出相等的边，证明、和为等腰直角三角形，求出相关线段的长度，最后利用勾股定理求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵平分，且，，，， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，，， ∴，为等腰直角三角形， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得． 56．如图，在中，，是的角平分线，，． (1)求的面积； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质，以及勾股定理求得，进而根据三角形的面积公式，即可求解． （2）根据角平分线的性质，过点作于点，作于点F，根据含角的直角三角形的性质可求出的值，再根据三角形的面积计算方法即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ∵， ∴ ∴ 在中， ∴； （2）解：如图所示，过点作于点，作于点， ∵，是的角平分线，，， ∴，， 在中，， 设， ∴， ∴ ， ∵ ∴ ∴，即． 题型17.角平分线的判定定理 57．在内部，将两个完全一样的含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，连接，则可得到平分，判断依据是__________． 【答案】在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 【详解】 解：两个完全一样的三角尺， 且， 根据角的平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上， 平分． 58．如图，在中，的平分线与的平分线交于点，连接，如果要求出的度数，只需知道下列哪个角的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质与判定．过点作、、所在直线的垂线，利用角平分线的性质定理可得点到、的距离相等，进而判定平分，建立与的数量关系即可求解． 【详解】解：过点作交的延长线于点，交于点，交的延长线于点． 平分，，， ． 平分，，（、、共线）， ． ． ，， 平分． ． 只要求出的度数，只需知道的度数．故选C． 59．如图，在直线AB的同一侧作和，和都是等边三角形，连接、交于点H，下列选项正确的序号是______． ①；②；③；④连接，则平分； 【答案】①②④ 【分析】根据和都是等边三角形，得出，可判断①②，根据和边上的高相等，可判断④． 【详解】解：和都是等边三角形， ，，， ， ， ，故①正确； ， ， 又， ， 即，故②正确； 没有理由能证明，故③错误； ， 和边上的高相等，即点B到和边的距离相等， 平分，故④正确； 综上可知，正确的结论是①②④． 60．如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，，，在边上截取，连接．求证：平分． 【答案】证明见解析 【分析】证明得到，，再根据角平分线的判定定理可得结论． 【详解】证明：在与中， ∵，，． ∴． ∴，． ∴， ∴平分． 题型18.角平分线的实际应用 61．如图，在中，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点、．若，则的周长是_______． 【答案】13 【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的应用，正确的进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．先根据角平分线的定义及平行线的性质证明和是等腰三角形，再由等腰三角形的性质得，则的周长，从而得出答案． 【详解】解：∵平分， ∵， 同理， ∴的周长． 故答案为：13． 62．如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 如图：过点作，垂足为点F，根据C是的中点可求的长度，再根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：如图：过点作，垂足为点F， ∵C是的中点，， ∴， ∵，，射线是的平分线， ． 故选：B． 63．探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H． 平分 ， 即． 新知应用： (1)如图②，是的角平分线，若，则_________； (2)如图②，是的角平分线，若，则_________； (3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查角平分线性质（角平分线分对边的比等于邻边比、角平分线关联三角形面积比与邻边比），解题关键是运用探索新知得出的角平分线性质，建立边与面积的比例关系． （1）依据探索新知结论，代入、得；设、，由，推出． （2）根据探索新知中，结合已知，直接得． （3）用平分的性质，结合，及，算；同理，由平分，结合，算．连接，因点到三边距离相等，结合，得，算出 由，代入计算得结果． 【详解】（1）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H 由探索新知，是的角平分线时， ， ∵，， ∴． 设，， ∴， ∴． （2）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H 由探索新知可知，对于，是角平分线时： ， ， ∵ ∴． ∵， ∴． 故答案为； （3）∵平分， ∴点D到，的距离相等， ∴， ∵， ∴，， 同理平分， ∴， ∴，， 连接，过点F作,，分别垂直于，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ∴平分， ∴点F到，，三边的距离相等， ∴， ∵ ∴，，， ∴ ． 故答案为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $