专题06 概率初步（续）（期末复习讲义，5重难题型+分层验收）高二数学下学期沪教版

专题06 概率初步（续）（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01条件概率与独立性 题型02 全概率公式应用 题型03 离散型随机变量分布列与数字特征 题型04 二项分布与超几何分布 题型05 正态分布应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 条件概率与相关公式 1.理解条件概率的本质，能结合古典概型计算简单条件概率 2.熟练应用乘法公式、独立事件公式解决概率计算问题 3.掌握全概率公式的推导逻辑，能解决多情境分类概率问题 4.（提升）了解贝叶斯公式，能处理简单逆概率问题 1. 基础题：条件概率、独立事件计算（选择 / 填空） 2. 中档题：全概率公式应用（结合实际情境） 3. 易错点：互斥与独立事件区分、条件概率样本空间缩小 随机变量的分布与特征 1.理解离散型随机变量的意义，能准确列出简单分布列 2.掌握分布列性质，能检验分布列的合理性 3.熟练计算期望、方差，掌握线性性质的应用 4.（提升）能结合实际情境（如校园、统计问题）构建随机变量模型 1. 必考解答题：分布列 + 期望 + 方差综合 2. 基础题：分布列性质检验、期望方差简单计算 3. 命题情境：贴近生活（射击、抽奖、产品检验等） 常用分布 1.理解二项分布、超几何分布、正态分布的定义背景 2.掌握二项分布的分布列、期望与方差计算 3.了解超几何分布的均值，能区分其与二项分布的适用场景 4. 掌握正态曲线的性质，能利用 3σ 原则计算区间概率 5.（提升）能应用三种分布解决实际应用题，培养数据分析能力 1. 二项分布：高频，独立重复试验模型（解答题） 2. 超几何分布：中档，不放回抽样（填空 / 选择） 3. 正态分布：必考，曲线性质、3σ 区间概率（选择 / 填空） 4. 压轴题：分布综合（二项 + 超几何）或正态分布实际应用 知识点01条件概率与相关公式 1. 条件概率 定义：事件A发生的条件下，事件B发生的概率，记为 P(B|A)。 公式： 古典概型：（缩小样本空间）； 一般情形：。 性质：；；。 2. 乘法公式 ； 独立事件：A、B独立 。 3. 全概率公式 若（两两互斥），则： 本质：由因求果，分情况汇总概率。 4. 贝叶斯公式*（了解） 本质：由果溯因，求条件后验概率。 知识点02 随机变量的分布与特征 1. 离散型随机变量及其分布列 定义：取值可一一列出的随机变量，分布列。 性质：；（检验分布列）。 2. 数学期望（均值） 定义：。 性质： ； ； 独立时。 3. 方差与标准差 定义：；标准差。 性质： ； 独立时。 知识点03 常用分布 1. 二项分布 模型：次独立重复伯努利试验，每次成功概率，。 概率：。 期望与方差：；。 2. 超几何分布 模型：件产品（正品，次品），不放回取件，为正品数，。 概率：。 期望与方差：；。 3. 正态分布 密度曲线：，记。 性质： 曲线关于对称，为均值，为标准差； “3σ原则”： ； ； 。 题型一 条件概率与独立性 解｜题｜技｜巧 技巧：条件概率优先缩样本空间法；独立事件验证。 【典例1】．（24-25高二下·上海浦东新·期末）下列四个命题中，真命题的个数是（   ） （1）若，则 （2）若，则 （3）若，且A，B为互斥事件，则A，B不为独立事件． （4）若，A和C为互斥事件，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例2】．（24-25高二下·上海·期末）已知两个随机事件，，若，，，则________． 【典例3】．（24-25高二下·上海崇明·期末）某班级有40名学生，其中男生21名，女生19名，男生中有10名团员，女生中有9名团员，在该班中随机选取一名学生，A表示“选到的是团员”，B表示“选到的是男生”，则_______． 【变式1】．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知，，则_________． 【变式2】．（23-24高二下·上海·期末）已知一个二胎家庭中有一个男孩，则这个家庭中有女孩的概率为______． 【变式3】．（24-25高二下·上海浦东新·期末）不透明的袋中装有编号为1，2，…，10的10个小球，现从中随机有放回地取4次，每次取1个球，已知摸出的球中有编号为5的球，则摸出的球中最大编号大于等于7的概率是________． 【变式4】．（23-24高二下·上海·期末）甲乙丙丁四名医生随机派往①②③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派一名医生，表示事件“医生甲派往①村庄”；表示事件“医生乙派往①村庄”；表示事件“医生乙派往②村庄”， 则下列说法①事件与相互独立； ②事件与相互独立； ③；④，其中错误的个数是__________个． 题型二 全概率公式应用 解｜题｜技｜巧 技巧：分情况、找完备划分，“由因求果”用全概率。 【典例1】．（23-24高二下·上海·期中）上师大附中闵分-宝分高二年级进行篮球比赛，甲、乙、丙、丁四个班级进入半决赛.规定首先甲与乙比、丙与丁比，这两场比赛的胜利者再争夺冠军.通过小组赛获奖统计估计出他们之间相互获胜的概率如下：则甲夺冠的概率为（   ） 甲 乙 丙 丁 甲 0.3 0.3 0.7 乙 0.7 0.6 0.3 丙 0.7 0.4 0.4 丁 0.3 0.7 0.6 A．0.15 B．0.162 C．0.3 D．0.25 【典例2】．（24-25高二下·上海·期末）某中学高一、高二、高三的学生人数比例为，假设该中学高一、高二、高三的学生阅读完《红楼梦》的概率分别为0.5，0.7，0.9，若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率________． 【典例3】．（25-26高二上·上海·期末）盒中有个红球，个黑球，其中、为正整数．这些球的大小、质地均相同． (1)若，求在第一次抽取黑球且不放回的条件下，第二次抽取的还是黑色球的概率； (2)设为正整数．先随机从盒中抽取一个球，观察其颜色后放回，并加上同色球个，再从盒中第二次抽取一球，求第二次抽出的是黑球的概率（用含、、的代数式表示）． 【变式1】．（22-23高二下·上海松江·期末）盒中有个红球，个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是红球的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高二下·上海崇明·期末）某地市场上，某商品主要有甲、乙两种品牌，已知甲的市场占有率为45%，乙的市场占有率为55%．已知甲品牌一等品比例为90%，乙品牌一等品的比例为95%．现在该地市场上任取一件该商品，它是一等品的概率是_______． 【变式3】．（25-26高二上·上海·期末）袋中装有大小与质地相同的 4 个红球与 8 个白球，从中依次摸两个球，规则如下：先从袋中任取一个球，若该球是红球，则放回袋中，进行下一次摸球；若该球是白球，则不放回，直接进行下一次摸球，则在第二次摸到白球的条件下，第一次摸到白球的概率为 __________ . 【变式4】．（23-24高二下·上海·期末）某公司对购买其产品的消费者进行了调研，已知这些消费者在一年内再次购买产品的概率为 ，且这些消费者可以分为三类．其中类消费者占，其在一年内再次购买产品的概率为；类消费者占，其在一年内再次购买产品的概率为；类消费者占比，其在一年内再次购买产品的概率为． (1)求与的值． (2)若一名消费者在一年内再次购买了产品，求其是类消费者的概率． 题型三 离散型随机变量分布列与数字特征 解｜题｜技｜巧 技巧：分布列先定取值、再算概率、最后检验和为1；期望方差优先用性质简化计算。 【典例1】．（23-24高二上·上海·期末）设，随机变量的分布是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】．（23-24高二下·上海·期末）设，随机变量的分布是: 1 2 4 则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例3】．（22-23高二下·上海长宁·期末）某科技兴趣小组有5名男生、3名女生，从中任取3名同学参加创新大赛，若随机变量X表示选出的女生人数，则______. 【典例4】．（24-25高二下·上海浦东新·期末）某校桥牌社每个月要和兄弟学校的桥牌社进行一次友谊赛，为此要从5名社员中随机选择3名参加友谊赛．新学年友谊赛从10月份开始，此时5名社员中有2名新社员没有参加过此前的友谊赛． (1)设10月份参加比赛的新社员的人数为，求的分布与期望； (2)求11月份参加比赛的社员中，恰有1个没有友谊赛经验的概率． 【变式1】．（22-23高二下·上海长宁·期末）已知X是一个随机变量，则“X是常数随机变量”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【变式2】．（23-24高二下·上海·期中）设随机变量的分布，则_________. 【变式3】．（22-23高二下·上海浦东新·期末）已知随机变量的分布为，且随机变量，则________. 【变式4】．（23-24高二下·上海·期末）在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为.在维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则__________. 【变式5】．（25-26高二上·上海普陀·期末）为激发学习数学的兴趣，高二年级举行数学知识竞赛，赛制规定：共进行5轮比赛，每轮比赛每个班可以从、两个题库中任选1题作答，在前两轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，后三轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，题库每题20分，题库每题30分，一班能正确回答、题库每题的概率分别为、，且每轮答题结果互不影响. (1)若一班前两轮选题库，后三轮选题库，求其总分不少于100分的概率； (2)若一班在前两轮比赛中选了题库，而且两轮得分60分，后三轮换成题库，设一班最后的总分为，求的分布､期望及方差. 【变式6】．（24-25高二下·上海·期末）某中学选派12名学生参加上海市高中生志愿者的培训活动，他们参加培训的次数统计如下表所示： 培训次数 1 2 3 参加人数 2 4 6 (1)从这12名学生中任选3名，求这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率（结果用最简分数表示）； (2)从这12名学生中任选2名，用表示这2人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量的期望与方差（结果用最简分数表示）． 题型四 二项分布与超几何分布 解｜题｜技｜巧 技巧：有放回→二项；不放回→超几何；近似：时，超几何≈二项。 【典例1】．（23-24高二下·上海·期末）一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】．（22-23高二上·上海徐汇·期末）已知随机变量，，，，记，其中，，现有如下命题：①；②若，则，下列判断正确的是（　　） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【典例3】．（23-24高二下·上海·期末）已知随机变量服从二项分布，则________. 【典例4】．（23-24高二下·上海·期末）如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，记上珠的个数为X，则_________． 【典例5】．（23-24高二下·上海·期末）袋中装有大小和质地相同的5个球，其中2个黑球，3个白球．从中随机地摸出3个球，用X表示摸出的黑球个数． (1)采用不放回摸球，求X的分布； (2)采用有放回摸球，求X的分布、期望． 【典例6】．（23-24高二下·上海松江·期末）某超市为促进消费推出优惠活动，为预估活动期间客户投入的消费金额，采用随机抽样统计了200名客户的消费金额，分组如下：（单位：元），得到如图所示频率分布直方图： 活跃客户 非活跃客户 总计 男 20 女 60 总计 (1)若把消费金额不低于800元的客户，称为“活跃客户”，经数据处理，现在列联表中得到一定的相关数据，求列联表中的值，并根据列联表判断是否有的把握认为“活跃客户”与性别有关？ (2)为感谢客户，该超市推出免单福利，方案如下：从“活跃客户”中按分层抽样的方法抽取12人，从中抽取2人进行免单，试写出免单总单金额的分布列及其期望．（每一组消费金额按该组中点值估计，期望结果保留至整数） 附： 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 【变式1】．（22-23高二下·上海浦东新·期末）经检测一批产品中每件产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则以下选项正确的是（    ） A．的可能取值为1，2，3，4，5 B． C．的概率最大 D．服从超几何分布 【变式2】．（24-25高二下·上海·期末）已知鸡接种一种疫苗后，有不会感染某种病毒.如果3只鸡接种了疫苗，那么没有鸡感染病毒的概率为______. 【变式3】．（23-24高二下·上海·期末）设随机变量服从二项分布若随机变量的方差则___________ 【变式4】．（23-24高二下·上海·期末）在某校举办“青春献礼二十大，强国有我新征程”的知识能力测评中，随机抽查了100名学生，其中共有4名女生和2名男生的成绩在90分以上，从这6名同学中每次随机抽1人在全校作经验分享，每位同学最多分享一次，记第一次抽到女生为事件，第二次抽到男生为事件. (1)求，； (2)若把抽取学生的方式更改为：从这6名学生中随机抽取3人进行经验分享，记被抽取的3人中女生的人数为，求的分布列和数学期望． 【变式5】．（24-25高二下·上海·期末）随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融入我们的日常生活．在教育领域，Al的赋能潜力巨大．为了解教师对大模型使用情况，现从某地区随机抽取了200名教师，对使用、、豆包、文心一言四种大模型的情况统计如下： 使用大模型的种数性别 0 1 2 3 4 男 4 27 23 16 10 女 6 48 27 24 15 在上述样本所有使用3种大模型的40人中，统计使用、、豆包、文心一言的大模型人次如下： 大模型种类 豆包 文心一言 人次 32 30 30 28 用频率估计概率． (1)从该地区教师中随机选取一人，记事件为选取的为男教师，事件为选取的教师仅会使用2种模型．求和．并据此判断事件和事件是否独立： (2)从该地区使用3种大模型（、、豆包、文心一言）的教师中，随机选出3人，记使用豆包的有人，求的分布列及其数学期望； (3)从该地区男，女教师中各随机选一人，记他们使用大模型（、、豆包、文心一言）的种数分别为，，比较，的数学期望，的大小，并说明理由． 【变式6】．（24-25高二下·上海崇明·期末）甲、乙、丙三人进行篮球投篮比赛，共比赛8场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 甲 9 10 11 8 12 10 9 13 乙 8 12 9 11 10 13 8 11 丙 10 9 12 10 9 8 11 12 (1)从上述8场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； (2)在上述8场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场次数，求的分布列和数学期望； (3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述8场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率．甲、乙、丙三人接下来又将进行5场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系，并说明理由． 【变式7】．（23-24高二下·上海·期末）已知脐橙分类标准：果径80mm～85mm为一级果，果径75mm～80mm为二级果，果径70mm～75mm或85mm以上为三级果．某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐橙中随机抽取1000个，测量这些脐橙的果径（单位：mm），得到如图所示的频率分布直方图． (1)在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径70～85mm中抽出9个脐橙，为进一步测量其他指标，在抽取的9个脐橙中再抽出3个， ①求这9个脐橙中一级果，二级果，三级果的数量 ②求抽到的一级果个数的数学期望； (2)以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个，其中一级果的个数为，记一级果的个数为的概率为，写出的表达式并求出当为何值时，最大？ 题型五 正态分布应用 解｜题｜技｜巧 技巧：正态分布标准化，利用3σ原则快速计算区间概率。 【典例1】．（24-25高二下·上海·期末）已知随机变量，，有以下两个命题：①；②存在，使得对任意，． 那么（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 【典例2】．（24-25高二下·上海·期末）已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（    ）. A．关于直线对称 B．关于点成中心对称 C．关于点成中心对称 D．关于点成中心对称 【典例3】．（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知随机变量服从正态分布且则________． 【典例4】．（24-25高二下·上海奉贤·期末）某公司生产的糖果每包标识质量是，但公司承认实际质量存在误差，已知每包糖果的实际质量服从、的正态分布，随意买一包该公司生产的糖果，其质量误差超过（即1%）的可能性为________.（结果精确到0.1%） （参考数据：若，则，，） 【变式1】．（23-24高二下·上海·期末）某班级共有 40 名同学， 其中 15 人是团员． 现从该班级通过抽签选择 10 名同学参加活动，定义随机变量 为其中团员的人数，则 服从 （    ） A．二项分布 B．超几何分布 C．正态分布 D．伯努利分布 【变式2】．（23-24高二下·上海·期末）某班有40名学生，一次考试后数学成绩，若，则估计该班学生数学成绩超过120分的人数为______． 【变式3】．（24-25高二上·上海·期末）已知随机变量，且，则_____. 【变式4】．（24-25高二下·上海·期末）已知随机变量，，且，，则__________． 【变式5】．（23-24高二下·上海·期末）老张每天下班回家，通常步行5分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有，两条线路可以选择.乘坐线路所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要5分钟；乘坐线路所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要12分钟. 下列说法从统计角度认为不合理的是_________. 参考数据：若，则，， ①若乘坐线路，前一定能到家； ②乘坐线路比乘坐线路在前到家的可能性更大； ③乘坐线路比乘坐线路在前到家的可能性更大； ④若乘坐线路，则在前到家的可能性不超过. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（22-23高二下·上海金山·期末）设随机变量X的分布列，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 2．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，在下雨天里，刮风的概率为，则既刮风又下雨的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二下·上海崇明·期末）某校高中三年级1600名学生参加了区第二次高考模拟统一考试，已知数学考试成绩X服从正态分布（试卷满分为150分），统计结果显示，数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为（    ） A．200 B．150 C．250 D．100 4．已知随机变量X的分布列为 0 1 若，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25高二下·上海·期末）某射击运动员射击所得环数的分布为，则的值为______. 6．（23-24高二下·上海·期末）已知随机变量服从正态分布，若，则_____________. 7．（23-24高二下·上海金山·期末）已知随机变量服从正态分布，若，则实数的取值范围是______． 8．（24-25高二下·上海·期末）甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，采用3局2胜制（‌3局2胜‌是指在一场比赛中，总共进行三局，先赢得两局的一方即为胜者.如果前两局中有一方已经赢了两局，那么第三局就不再进行）．假设每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的结果相互独立，则甲以的比分获胜的概率为________； 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 9．（23-24高二下·上海·期末）将一枚硬币连续抛掷三次，每次得到正面或反面的概率均为 ，且三次抛掷的结果互相独立． 记事件为 “至少两次结果为正面”，事件为 “第三次结果为正面”，则 （    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·上海·期末）已知，随机变量、相互独立，随机变量的分布为，的分布为，则当在内增大时（    ） A．减小，增大 B．减小，减小 C．增大，增大 D．增大，减小 二、填空题 11．（23-24高二下·上海·期末）某张试卷由两位陈老师、一位张老师共同命制，其中第8题从三位老师中随机抽取一位进行命题. 已知若由张老师命题，学生答对这道题的概率是；若由（任意一位）陈老师命题，学生答对这道题的概率是. 那么学生答对第8题的概率是________. 12．（23-24高二上·上海·期末）口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，数列满足：，如果为数列的前n项和，那么的概率为______． 13．（23-24高二下·上海·期末）设甲、乙两个地区爆发了某种流行病，且两个地区感染此病的比例分别为 、  ，若从这两个地区中任选一个地区选择一个人，则此人感染此疾病的概率是_______． 三、解答题 14．（23-24高二上·上海·期末）年月日至月日在国家会展中心举办中国国际进口博览会期间，为保障展会的顺利进行，有、两家外卖公司负责为部分工作者送餐.两公司某天各自随机抽取名送餐员工，统计公司送餐员工送餐数，得到如图频率分布直方图；统计两公司样本送餐数，得到如图送餐数分布茎叶图，已知两公司样本送餐数平均值相同.    (1)求的值 (2)求、的值 (3)为宣传道路交通安全法，并遵循按劳分配原则，公司决定员工送餐份后，每多送份餐对其进行一次奖励，并制定了两种不同奖励方案： 方案一：奖励现金红包元. 方案二：答两道交通安全题，答对题奖励元，答对题奖励元，答对题奖励元.员工每一道题答题相互独立且每题答对概率为与该员工交通安全重视程度相关）. 求下表中的值（用表示）；从员工收益角度出发，如何选择方案较优？并说明理由. 附：方案二综合收益满足公式，为该员工被奖励次数. 方案二奖励 元 元 元 概率 15．（23-24高二下·上海·期末）某学校举办知识竞赛， 该竞赛共有三道问题， 参赛同学须回答这些 问题， 以其答对的问题的得分之和作为最终得分． 每个问题的得分与参赛同学答对的概 率如下表 (每次回答是否正确相互独立)． 定义随机变量 为最终得分． 问题一 问题二 问题三 得分 20 30 50 答对概率 0.8 0.7 0.4 (1)求 ． (2)求 与 ． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、填空题 16．（24-25高二下·上海浦东新·期末）有甲、乙两袋，甲袋中有3个白球，2个红球；乙袋中有2个白球，3个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则此球为红球的概率为________．（结果为精确值） 17．（24-25高二下·上海·期末）有个相同的球，分别标有数字，，，，从中不放回地随机取两次，事件表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是偶数，则______． 二、解答题 18．（23-24高二下·上海长宁·期末）（1）为了解中草药甲对某疾病的预防效果，研究人员随机调查了100名人员，调查数据如表.（单位：个）若规定显著性水平，试分析中草药甲对预防此疾病是否有效； 未患病者 患病者 合计 未服用 中草药甲 29 16 45 服用 中草药甲 46 9 55 合计 75 25 100 （2）已知一个盒子中装有大小和质地相同的6个红球和3个白球.现从盒子中不放回地依次随机取出2个球，设2个球中红球的个数为X，求X的分布列、期望和方差. 附：，. α 0.100 0.050 0.010 0.001 x 2.706 3.841 6.635 10.828 19．（2025·上海崇明·二模）某区2025年3月31日至4月13日的天气预报如图所示． (1)从3月31日至4月13日某天开始，连续统计三天，求这三天中至少有两天是阵雨的概率； (2)根据天气预报，该区4月14日的最低气温是9，温差是指一段时间内最高温度与最低温度之间的差值，例如3月31日的最高温度为17，最低温度为9，当天的温差为8记4月1日至4日这4天温差的方差为，4月11日至14日这4天温差的方差为，若，求4月14日天气预报的最高气温； (3)从3月31日至4月13日中随机抽取两天，用X表示一天温差不高于9的天数，求X的分布列及期望． 20．（24-25高二下·上海·期末）学工部收到两个班级优秀学生的推荐表，分装两袋，第一袋有4份女生和2份男生的推荐表，第二袋有3份女生和3份男生的推荐表. (1)从两袋中随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，求恰好抽到1份女生推荐表和1份男生推荐表的概率； (2)若从第二袋中先后取出两份推荐表，求有一份是女生推荐表的条件下，另一份也是女生推荐表的概率，和第一份是女生推荐表的条件下，第二份也是女生推荐表的概率. 21．（24-25高二下·上海·期末）甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试．笔试共有2道专业理论题与2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率）均为（），每道岗位实践题的难度系数均为（），考生至少答对3道题才能进入面试，否则被淘汰出局；面试共有5道问答题，由考官逐一提问作答，累计答对3道题或答错3道题，面试结束．已知甲笔试得满分的概率为，笔试和面试各题是否答对相互独立． (1)当时，求； (2)求甲能够进入面试的概率的最小值及相应的值； (3)已知甲通过了笔试环节，面试时每道题答对的概率是，令甲面试结束时的答题数为，求的分布列与数学期望． 22．（23-24高二下·上海·期末）“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚.甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种.他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为，乙每天选择“共享单车”的概率为，丙在每月第一天选择“共享单车”的概率为，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为，如此往复. (1)求3月1日至少有一人选择“共享单车”出行的概率； (2)记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为，求的分布、期望与方差； (3)求丙在3月份第天选择“共享单车”的概率，并帮丙确定在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 概率初步（续）（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01条件概率与独立性 题型02 全概率公式应用 题型03 离散型随机变量分布列与数字特征 题型04 二项分布与超几何分布 题型05 正态分布应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 条件概率与相关公式 1.理解条件概率的本质，能结合古典概型计算简单条件概率 2.熟练应用乘法公式、独立事件公式解决概率计算问题 3.掌握全概率公式的推导逻辑，能解决多情境分类概率问题 4.（提升）了解贝叶斯公式，能处理简单逆概率问题 1. 基础题：条件概率、独立事件计算（选择 / 填空） 2. 中档题：全概率公式应用（结合实际情境） 3. 易错点：互斥与独立事件区分、条件概率样本空间缩小 随机变量的分布与特征 1.理解离散型随机变量的意义，能准确列出简单分布列 2.掌握分布列性质，能检验分布列的合理性 3.熟练计算期望、方差，掌握线性性质的应用 4.（提升）能结合实际情境（如校园、统计问题）构建随机变量模型 1. 必考解答题：分布列 + 期望 + 方差综合 2. 基础题：分布列性质检验、期望方差简单计算 3. 命题情境：贴近生活（射击、抽奖、产品检验等） 常用分布 1.理解二项分布、超几何分布、正态分布的定义背景 2.掌握二项分布的分布列、期望与方差计算 3.了解超几何分布的均值，能区分其与二项分布的适用场景 4. 掌握正态曲线的性质，能利用 3σ 原则计算区间概率 5.（提升）能应用三种分布解决实际应用题，培养数据分析能力 1. 二项分布：高频，独立重复试验模型（解答题） 2. 超几何分布：中档，不放回抽样（填空 / 选择） 3. 正态分布：必考，曲线性质、3σ 区间概率（选择 / 填空） 4. 压轴题：分布综合（二项 + 超几何）或正态分布实际应用 知识点01条件概率与相关公式 1. 条件概率 定义：事件A发生的条件下，事件B发生的概率，记为 P(B|A)。 公式： 古典概型：（缩小样本空间）； 一般情形：。 性质：；；。 2. 乘法公式 ； 独立事件：A、B独立 。 3. 全概率公式 若（两两互斥），则： 本质：由因求果，分情况汇总概率。 4. 贝叶斯公式*（了解） 本质：由果溯因，求条件后验概率。 知识点02 随机变量的分布与特征 1. 离散型随机变量及其分布列 定义：取值可一一列出的随机变量，分布列。 性质：；（检验分布列）。 2. 数学期望（均值） 定义：。 性质： ； ； 独立时。 3. 方差与标准差 定义：；标准差。 性质： ； 独立时。 知识点03 常用分布 1. 二项分布 模型：次独立重复伯努利试验，每次成功概率，。 概率：。 期望与方差：；。 2. 超几何分布 模型：件产品（正品，次品），不放回取件，为正品数，。 概率：。 期望与方差：；。 3. 正态分布 密度曲线：，记。 性质： 曲线关于对称，为均值，为标准差； “3σ原则”： ； ； 。 题型一 条件概率与独立性 解｜题｜技｜巧 技巧：条件概率优先缩样本空间法；独立事件验证。 【典例1】．（24-25高二下·上海浦东新·期末）下列四个命题中，真命题的个数是（   ） （1）若，则 （2）若，则 （3）若，且A，B为互斥事件，则A，B不为独立事件． （4）若，A和C为互斥事件，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式、计算条件概率 【分析】利用条件概率和事件的独立性即可判断（1），由与相互独立，不能推出与相互独立即可判断（2），根据独立事件的定义即可判断（3），由A和C为互斥事件得与互斥利用条件概率公式即可判断（4） 【详解】若，所以， 所以与相互独立，所以成立，故（1）正确； 若，所以与相互独立，不能推出与相互独立， 反例：在抛两次硬币试验中，设：第一次抛正面朝上；：第二次抛正面朝上； ：两次结果相同，那么独立，但不独立，故（2）错误； 因为与互斥，所以，所以与不是独立事件，故（3）正确； 因为，所以与互斥， 所以，故（4）正确； 所以真命题共有（1）（3）（4）三个． 故选：C 【典例2】．（24-25高二下·上海·期末）已知两个随机事件，，若，，，则________． 【答案】 【知识点】条件概率性质的应用 【分析】由条件概率公式计算即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 【典例3】．（24-25高二下·上海崇明·期末）某班级有40名学生，其中男生21名，女生19名，男生中有10名团员，女生中有9名团员，在该班中随机选取一名学生，A表示“选到的是团员”，B表示“选到的是男生”，则_______． 【答案】 【知识点】计算条件概率、计算古典概型问题的概率 【分析】先根据古典概型概率公式求出各事件的概率，再根据条件概率公式，求出条件概率. 【详解】已知男生中有10名团员，女生中有9名团员，共有19名团员，则， 已知男生中有10名团员，则, 可得， 故答案为：. 【变式1】．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知，，则_________． 【答案】/0.125 【知识点】条件概率性质的应用 【分析】根据条件概率公式即可求解． 【详解】， 故答案为：． 【变式2】．（23-24高二下·上海·期末）已知一个二胎家庭中有一个男孩，则这个家庭中有女孩的概率为______． 【答案】 【知识点】计算条件概率 【分析】根据列举法及古典概型的计算公式求得和，然后再由条件概率的定义即可求解. 【详解】一个家庭中有两个小孩只有四种可能：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)， 记事件为“其中一个是男孩”，事件为“其中一个是女孩”， 则事件包含(男，女)，(女，男)，(男，男)，三种情况， 事件包含(男，女)，(女，男)，(女，女)，三种情况， 事件包含(男，女)，(女，男)，两种情况， 于是可知，, 则. 故答案为：. 【变式3】．（24-25高二下·上海浦东新·期末）不透明的袋中装有编号为1，2，…，10的10个小球，现从中随机有放回地取4次，每次取1个球，已知摸出的球中有编号为5的球，则摸出的球中最大编号大于等于7的概率是________． 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率、实际问题中的组合计数问题 【分析】首先求出事件“摸出的球中有编号为5的球”的概率，然后求出事件“摸出的球中有编号为5的球，且摸出的球中最大编号大于等于7”的概率，最后根据条件概率公式求出结果. 【详解】令“摸出的球中有编号为5的球”为事件，“摸出的球中最大编号大于等于7”为事件， 则事件的情况包括1次球的编号为5，2次球的编号为5，3次球的编号为5和4次球的编号为5，这四种情况， 所以. 而事件表示的是“摸出的球中有编号为5的球，且摸出的球中最大编号大于等于7”， 此事件的情况包括： 当1次球的编号为5时，其余球的最大编号大于等于7的球可能为1次，2次或3次； 当2次球的编号为5时，其余球的最大编号大于等于7的球可能为1次，或2次； 当3次球的编号为5时，其余球的最大编号大于等于7的球为1次； 所以. 所以. 故答案为：. 【变式4】．（23-24高二下·上海·期末）甲乙丙丁四名医生随机派往①②③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派一名医生，表示事件“医生甲派往①村庄”；表示事件“医生乙派往①村庄”；表示事件“医生乙派往②村庄”， 则下列说法①事件与相互独立； ②事件与相互独立； ③；④，其中错误的个数是__________个． 【答案】3 【知识点】独立事件的判断、计算条件概率 【分析】按相互独立的定义可判断AB，用条件概率公式可判断CD. 【详解】将甲、乙、丙、丁4名医生派往①，②，③三个村庄进行义诊包含 （个）样本点，它们等可能， 事件含有的样本点个数为，则， 同理，， 事件含有的样本点个数为，则， 事件含有的样本点个数为，则， 对于A，，即事件与不相互独立，故A不正确； 对于B，，即事件与不相互独立，故B不正确； 对于C，，故C不正确； 对于D，，故D正确． 所以其中错误的个数是3个． 故答案为：3. 题型二 全概率公式应用 解｜题｜技｜巧 技巧：分情况、找完备划分，“由因求果”用全概率。 【典例1】．（23-24高二下·上海·期中）上师大附中闵分-宝分高二年级进行篮球比赛，甲、乙、丙、丁四个班级进入半决赛.规定首先甲与乙比、丙与丁比，这两场比赛的胜利者再争夺冠军.通过小组赛获奖统计估计出他们之间相互获胜的概率如下：则甲夺冠的概率为（   ） 甲 乙 丙 丁 甲 0.3 0.3 0.7 乙 0.7 0.6 0.3 丙 0.7 0.4 0.4 丁 0.3 0.7 0.6 A．0.15 B．0.162 C．0.3 D．0.25 【答案】B 【知识点】利用全概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】分丙、丁的输赢情况，结合独立事件的乘法公式与全概率公式即可得解. 【详解】设为甲赢乙的概率，为甲赢丙的概率，为甲赢丁的概率， 分别为丙赢丁和丁赢丙的概率，为甲夺冠的概率， 则. 故选：B. 【典例2】．（24-25高二下·上海·期末）某中学高一、高二、高三的学生人数比例为，假设该中学高一、高二、高三的学生阅读完《红楼梦》的概率分别为0.5，0.7，0.9，若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率________． 【答案】 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】根据全概率公式计算可得. 【详解】根据题意选取选手来自高一、高二、高三的概率分别为, 所以随机选取1名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率 . 故答案为：. 【典例3】．（25-26高二上·上海·期末）盒中有个红球，个黑球，其中、为正整数．这些球的大小、质地均相同． (1)若，求在第一次抽取黑球且不放回的条件下，第二次抽取的还是黑色球的概率； (2)设为正整数．先随机从盒中抽取一个球，观察其颜色后放回，并加上同色球个，再从盒中第二次抽取一球，求第二次抽出的是黑球的概率（用含、、的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用全概率公式求概率、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）分析可知在第一次抽取黑球的条件下，则盒子里还剩个红球个黑球，再利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率； （2）记事件第次从盒中摸出的一个球是黑球，求出、、、，利用全概率公式可得出的值. 【详解】（1）若，在第一次抽取黑球且不放回的条件下，则盒子里还剩个红球个黑球， 故在第一次抽取黑球且不放回的条件下，第二次抽取的还是黑色球的概率为. （2）记事件第次从盒中摸出的一个球是黑球， 则，，，， 由全概率公式可得 . 【变式1】．（22-23高二下·上海松江·期末）盒中有个红球，个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是红球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】设事件“第一次抽出的红球”为A，事件“第二次抽出的是红球”为B，则，再利用全概率公式求解. 【详解】解：设事件“第一次抽出的红球”为A，事件“第二次抽出的是红球”为B， 则， 由全概率公式得， 由题意得， ， 所以， 故选：B 【变式2】．（24-25高二下·上海崇明·期末）某地市场上，某商品主要有甲、乙两种品牌，已知甲的市场占有率为45%，乙的市场占有率为55%．已知甲品牌一等品比例为90%，乙品牌一等品的比例为95%．现在该地市场上任取一件该商品，它是一等品的概率是_______． 【答案】/ 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】先设事件，根据已知条件，写出对应事件的概率，，，，再根据全概率公式求解即可. 【详解】设任取一件商品是一等品， 取到的商品是甲品牌，则， 取到的商品是乙品牌，则， 已知甲品牌一等品比例为90%，即， 乙品牌一等品的比例为95%，即， 所以由全概率公式可知 . 故答案为： 【变式3】．（25-26高二上·上海·期末）袋中装有大小与质地相同的 4 个红球与 8 个白球，从中依次摸两个球，规则如下：先从袋中任取一个球，若该球是红球，则放回袋中，进行下一次摸球；若该球是白球，则不放回，直接进行下一次摸球，则在第二次摸到白球的条件下，第一次摸到白球的概率为 __________ . 【答案】 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】设事件为第一次取到白球，事件表示第二次取到白球，利用全概率公式计算，再利用条件概率公式求即可. 【详解】设事件为第一次取到白球，事件表示第二次取到白球，则为第一次取到红球， 则，，，， 所以. 所以 故答案为： 【变式4】．（23-24高二下·上海·期末）某公司对购买其产品的消费者进行了调研，已知这些消费者在一年内再次购买产品的概率为 ，且这些消费者可以分为三类．其中类消费者占，其在一年内再次购买产品的概率为；类消费者占，其在一年内再次购买产品的概率为；类消费者占比，其在一年内再次购买产品的概率为． (1)求与的值． (2)若一名消费者在一年内再次购买了产品，求其是类消费者的概率． 【答案】(1)， (2) 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、利用全概率公式求概率、计算条件概率 【分析】（1）记一年内再次购买产品为事件，消费者是类消费者记为事件，消费者是类消费者记为事件，消费者是类消费者记为事件，根据求出，再由全概率公式求出； （2）由条件概率公式计算可得. 【详解】（1）记一年内再次购买产品为事件，消费者是类消费者记为事件， 消费者是类消费者记为事件，消费者是类消费者记为事件， 则，，， ，，， 所以，解得， 则，解得； （2）依题意可得. 题型三 离散型随机变量分布列与数字特征 解｜题｜技｜巧 技巧：分布列先定取值、再算概率、最后检验和为1；期望方差优先用性质简化计算。 【典例1】．（23-24高二上·上海·期末）设，随机变量的分布是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、求离散型随机变量的均值 【分析】根据概率之和为找到之间的关系，用表示出，结合不等关系求出的范围. 【详解】根据分布列的性质可知： ，结合题干条件可解得：，而，于是. 故选：B 【典例2】．（23-24高二下·上海·期末）设，随机变量的分布是: 1 2 4 则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、求离散型随机变量的均值、利用不等式求值或取值范围 【分析】利用分布列的性质列出相等关系，通过计算并消元，最后再利用已知条件分析自变量的取值范围，即可作出判断. 【详解】由分布列的概率和为1，可知，可得， 又因为，所以，即， ， 故选：C. 【典例3】．（22-23高二下·上海长宁·期末）某科技兴趣小组有5名男生、3名女生，从中任取3名同学参加创新大赛，若随机变量X表示选出的女生人数，则______. 【答案】 【知识点】求离散型随机变量的均值 【分析】由题意选出女生的人数可能为0，1，2，3，计算出各自对应的概率，代入期望公式即可求解． 【详解】由题意，从5名男生、3名女生中任选3名同学参加活动， 选出女生的人数可能为0，1，2，3， 则. 故答案为：． 【典例4】．（24-25高二下·上海浦东新·期末）某校桥牌社每个月要和兄弟学校的桥牌社进行一次友谊赛，为此要从5名社员中随机选择3名参加友谊赛．新学年友谊赛从10月份开始，此时5名社员中有2名新社员没有参加过此前的友谊赛． (1)设10月份参加比赛的新社员的人数为，求的分布与期望； (2)求11月份参加比赛的社员中，恰有1个没有友谊赛经验的概率． 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、利用全概率公式求概率、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）使用古典概型方法求解分布列，再用数学期望的定义求出期望； （2）利用（1）的结果，并使用全概率公式求解. 【详解】（1）的可能取值是0、1、2， ，，， 故的分布列是 数学期望. （2）设事件、、分别表示“10月份的友谊赛中恰有0、1、2名新社员参加比赛”． 事件表示“11月参加比赛的社员中恰有1个没有参加友谊赛经验”． 由（1），可知，，． 发生时，5名社员中有2名没有比赛经验，故． 发生时，5名社员中有1名没有比赛经验，故． 发生时，7名社员中有0名没有比赛经验，故． 由全概率公式，得 ． 【变式1】．（22-23高二下·上海长宁·期末）已知X是一个随机变量，则“X是常数随机变量”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】随机变量为常数，则方差为0，但方差为0，变量不一定为常数，根据充分条件与必要条件的定义判断即可． 【详解】随机变量为常数，则方差为0，但方差为0，随机变量是常数的概率为1， 但是事件发生的概率为 1， 不代表事件必然发生（例如几何概型)； 所以“X是常数随机变量”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 【变式2】．（23-24高二下·上海·期中）设随机变量的分布，则_________. 【答案】2 【知识点】求离散型随机变量的均值、均值的性质 【分析】由分布列求随机变量的均值，再由均值的性质求. 【详解】由题意，， 所以. 故答案为：2 【变式3】．（22-23高二下·上海浦东新·期末）已知随机变量的分布为，且随机变量，则________. 【答案】29 【知识点】求离散型随机变量的均值、方差的性质、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】由数学期望和方差的公式求出，，再由方差的的性质即可求出. 【详解】因为随机变量的分布为， 所以， 所以， 所以. 故答案为：29. 【变式4】．（23-24高二下·上海·期末）在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为.在维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则__________. 【答案】 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、计算古典概型问题的概率 【分析】先确定样本点总数，再得到的可能取值，求出概率，列出分布列，求出期望. 【详解】对于维坐标，其中.即有两种选择， 故共有种选择，即维“立方体”的顶点个数是个顶点； 当时，在坐标与中有个坐标值不同，即有个坐标值满足，剩下个坐标值满足， 则满足的个数为. 所以. 故分布列为： 则. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于确定当时，在坐标与中有个坐标值不同，即有个坐标值满足，剩下个坐标值满足，再由求出概率. 【变式5】．（25-26高二上·上海普陀·期末）为激发学习数学的兴趣，高二年级举行数学知识竞赛，赛制规定：共进行5轮比赛，每轮比赛每个班可以从、两个题库中任选1题作答，在前两轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，后三轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，题库每题20分，题库每题30分，一班能正确回答、题库每题的概率分别为、，且每轮答题结果互不影响. (1)若一班前两轮选题库，后三轮选题库，求其总分不少于100分的概率； (2)若一班在前两轮比赛中选了题库，而且两轮得分60分，后三轮换成题库，设一班最后的总分为，求的分布､期望及方差. 【答案】(1) (2)分布列见解析，， 【知识点】求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列、离散型随机变量的方差与标准差、独立事件的乘法公式 【分析】（1）由概率的乘法公式与加法公式求解； （2）随机变量的可能取值为，，，，求出相应的概率，即可求出分布列、期望与方差. 【详解】（1）由条件知，若一班在前两轮得分，后三轮得分，总分为分， 其概率为， 若一班在前两轮得分，后三轮得分或分，总分为或分， 其概率为， 于是一班总分不少于分的概率为 . （2）依题意随机变量的可能取值为，，，， 所以，， ，． 所以的分布列为： 60 80 100 120 所以， . 【变式6】．（24-25高二下·上海·期末）某中学选派12名学生参加上海市高中生志愿者的培训活动，他们参加培训的次数统计如下表所示： 培训次数 1 2 3 参加人数 2 4 6 (1)从这12名学生中任选3名，求这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率（结果用最简分数表示）； (2)从这12名学生中任选2名，用表示这2人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量的期望与方差（结果用最简分数表示）． 【答案】(1) (2)． 【知识点】计算古典概型问题的概率、离散型随机变量的方差与标准差、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）由对立事件概率计算公式即可求解； （2）确定的所有可能取值，求得对应概率，结合期望、方差计算公式即可求解. 【详解】（1）这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率； （2）由题意知可能取值为0、1、2， ， 所以的期望， ， 题型四 二项分布与超几何分布 解｜题｜技｜巧 技巧：有放回→二项；不放回→超几何；近似：时，超几何≈二项。 【典例1】．（23-24高二下·上海·期末）一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二项分布的均值、二项分布的方差、利用二项分布求分布列 【分析】由题意可知，且小虫向前或向后爬行1个单位的概率均为，结合二项分布求概率，然后逐个分析判断即可. 【详解】由题意可知，爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，且小虫向前或向后爬行1个单位的概率均为， 所以设爬行后小虫一共向前爬行次，则向后爬行， 所以， 所以， 对于AB，的分布列为 … … … … 所以，所以A正确， 因为 ， 所以 ，所以B正确， 对于C，因为， 所以，所以，所以C错误， 对于D，因为， 所以， 所以，所以D正确， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是，根据题意得到相应概率，从而得解. 【典例2】．（22-23高二上·上海徐汇·期末）已知随机变量，，，，记，其中，，现有如下命题：①；②若，则，下列判断正确的是（　　） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【答案】D 【知识点】奇次项与偶次项的系数和、服从二项分布的随机变量概率最大问题 【分析】根据已知得出.取，根据二项式定理求出奇数项和偶数项和，即可判断命题①真假；先利用分布列的表达式得出，判断的增减性.讨论是否为整数，得出最大项.最后根据已知，即可判断命题②真假. 【详解】由已知可得，. 对于命题①，当时，. 因为， ，所以. 所以，所以，所以①为假命题； 对于命题②，若. . 当时，，随着的增加而增加；当时，，随着的增加而减小. 当为整数时，或时，有最大值；当不为整数时，为的整数部分时，有最大值.因为，，所以当时，最大，所以有，所以②为真命题. 故选：D. 【典例3】．（23-24高二下·上海·期末）已知随机变量服从二项分布，则________. 【答案】 【知识点】二项分布的均值 【分析】根据二项分布的期望公式计算可得. 【详解】因为，所以. 故答案为： 【典例4】．（23-24高二下·上海·期末）如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，记上珠的个数为X，则_________． 【答案】 【知识点】求超几何分布的概率 【分析】由超几何分布的概率公式、互斥加法以或者对立减法公式即可求解. 【详解】解：法一：由题意可知，x的所有可能取值为0，1，2，则 ． 法二：由题意可知，的所有可能取值为0，1，2，则． 故答案为：． 【典例5】．（23-24高二下·上海·期末）袋中装有大小和质地相同的5个球，其中2个黑球，3个白球．从中随机地摸出3个球，用X表示摸出的黑球个数． (1)采用不放回摸球，求X的分布； (2)采用有放回摸球，求X的分布、期望． 【答案】(1)分布列见解析 (2)分布列见解析； 【知识点】二项分布的均值、超几何分布的分布列、利用二项分布求分布列 【分析】（1）服从超几何分布，依据超几何分布的公式计算即可； （2），依据二项分布写出分布列，计算期望和方差即可. 【详解】（1）各次试验的结果不独立，故X服从超几何分布. ，其中. X的分布为 X 0 1 2 P （2）每次摸到黑球的概率为，且各次试验的结果是独立的，故. ，其中. X的分布为， X 0 1 2 3 P 期望. 【典例6】．（23-24高二下·上海松江·期末）某超市为促进消费推出优惠活动，为预估活动期间客户投入的消费金额，采用随机抽样统计了200名客户的消费金额，分组如下：（单位：元），得到如图所示频率分布直方图： 活跃客户 非活跃客户 总计 男 20 女 60 总计 (1)若把消费金额不低于800元的客户，称为“活跃客户”，经数据处理，现在列联表中得到一定的相关数据，求列联表中的值，并根据列联表判断是否有的把握认为“活跃客户”与性别有关？ (2)为感谢客户，该超市推出免单福利，方案如下：从“活跃客户”中按分层抽样的方法抽取12人，从中抽取2人进行免单，试写出免单总单金额的分布列及其期望．（每一组消费金额按该组中点值估计，期望结果保留至整数） 附： 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】(1)40；80；有关 (2)分布列见解析，1933 【知识点】求超几何分布的概率、超几何分布的分布列、求离散型随机变量的均值、卡方的计算 【分析】（1）先完善列联表，再求卡方,即可作出判断；（2）先用分层抽样，然后用超几何分布的概率公式计算，即可得分布列与期望. 【详解】（1）消费金额不低于800元的人数为：人， 则活跃客户共有60人，所以，， 列联表如下 活跃客户 非活跃客户 总计 男 20 80 100 女 40 60 100 总计 60 140 200 计算， 因此有的把握与性别有关． （2）从“活跃客户”中用分层抽样，抽出消费900元：人，消费1100元：人， 从中抽取2人免单总金额的取值有：， 则，，， 所以的分布列为： 即. 【变式1】．（22-23高二下·上海浦东新·期末）经检测一批产品中每件产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则以下选项正确的是（    ） A．的可能取值为1，2，3，4，5 B． C．的概率最大 D．服从超几何分布 【答案】C 【知识点】服从二项分布的随机变量概率最大问题、利用二项分布求分布列 【分析】的可能取值包括0可判断A；可判断B；随机变量，，若取得最大值时,则有，，求出的值可判断C；服从二项分布可判断D. 【详解】对于A，的可能取值为0，1，2，3，4，5，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于D，由题意，随机变量，故D不正确； 对于C，随机变量，， 若取得最大值时，则: ， 则，解得，则． 故的概率最大，所以C正确； 故选：C. 【变式2】．（24-25高二下·上海·期末）已知鸡接种一种疫苗后，有不会感染某种病毒.如果3只鸡接种了疫苗，那么没有鸡感染病毒的概率为______. 【答案】/ 【知识点】利用二项分布求分布列、独立事件的乘法公式 【分析】根据二项分布的概率公式求解即可. 【详解】由题意可得鸡接种一种疫苗后，感染某种病毒的概率为，设没有鸡感染病毒为事件，则. 故答案为： 【变式3】．（23-24高二下·上海·期末）设随机变量服从二项分布若随机变量的方差则___________ 【答案】 【知识点】二项分布的方差、独立重复试验的概率问题 【分析】利用二项分布的方差公式求出，再利用二项分布概率公式求值即可. 【详解】依题意，，解得， 所以. 故答案为： 【变式4】．（23-24高二下·上海·期末）在某校举办“青春献礼二十大，强国有我新征程”的知识能力测评中，随机抽查了100名学生，其中共有4名女生和2名男生的成绩在90分以上，从这6名同学中每次随机抽1人在全校作经验分享，每位同学最多分享一次，记第一次抽到女生为事件，第二次抽到男生为事件. (1)求，； (2)若把抽取学生的方式更改为：从这6名学生中随机抽取3人进行经验分享，记被抽取的3人中女生的人数为，求的分布列和数学期望． 【答案】(1)，. (2)分布列见解析，2 【知识点】超几何分布的分布列、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、计算条件概率 【分析】（1）根据独立事件和条件概率的计算公式计算即可求解； （2）的取值可能为，利用超几何分布求对应的概率，列出分布列，求出数学期望即可. 【详解】（1）由题意知，， 所以. （2）的取值可能为， ，，， 的分布列为 1 2 3 所以. 【变式5】．（24-25高二下·上海·期末）随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融入我们的日常生活．在教育领域，Al的赋能潜力巨大．为了解教师对大模型使用情况，现从某地区随机抽取了200名教师，对使用、、豆包、文心一言四种大模型的情况统计如下： 使用大模型的种数性别 0 1 2 3 4 男 4 27 23 16 10 女 6 48 27 24 15 在上述样本所有使用3种大模型的40人中，统计使用、、豆包、文心一言的大模型人次如下： 大模型种类 豆包 文心一言 人次 32 30 30 28 用频率估计概率． (1)从该地区教师中随机选取一人，记事件为选取的为男教师，事件为选取的教师仅会使用2种模型．求和．并据此判断事件和事件是否独立： (2)从该地区使用3种大模型（、、豆包、文心一言）的教师中，随机选出3人，记使用豆包的有人，求的分布列及其数学期望； (3)从该地区男，女教师中各随机选一人，记他们使用大模型（、、豆包、文心一言）的种数分别为，，比较，的数学期望，的大小，并说明理由． 【答案】(1)，，不独立 (2)分布列见解析， (3)，理由见解析 【知识点】求离散型随机变量的均值、利用二项分布求分布列、计算条件概率、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）利用频率估计概率，结合条件概率公式和独立事件的定义可求相应的概率和独立性判断； （2）利用二项分布可求的分布列及其数学期望； （3）利用频率估计概率，利用期望公式可求后可得它们的大小关系. 【详解】（1）由题设可得，， 故. 因为，故不独立. （2）从该地区中使用3中大模型教师中任取一名教师，该教师使用豆包的概率为， 由题设可取且， 故，， ，， 故的分布列如下： 故. （3）由题设可取，可取， 而，，， ，， 故， 又，，， ，， 故， 因为，故. 【变式6】．（24-25高二下·上海崇明·期末）甲、乙、丙三人进行篮球投篮比赛，共比赛8场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 甲 9 10 11 8 12 10 9 13 乙 8 12 9 11 10 13 8 11 丙 10 9 12 10 9 8 11 12 (1)从上述8场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； (2)在上述8场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场次数，求的分布列和数学期望； (3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述8场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率．甲、乙、丙三人接下来又将进行5场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 (3)，理由见解析 【知识点】求离散型随机变量的均值、计算古典概型问题的概率、二项分布的方差、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】(1) 通过统计甲获胜的场数，利用古典概型概率公式计算甲获胜的概率； (2) 先确定甲得分不低于分的场次，乙得分大于丙得分的场次，进而确定的可能取值，计算相应的概率，得到分布列，最后根据数学期望公式计算期望； (3) 先根据已知场比赛的获胜频率得到每人获胜的概率，由于接下来的比赛获胜场数符合二项分布，利用二项分布的方差公式计算并比较方差大小. 【详解】（1）甲获胜的场次为第五场(分)和第八场(分)，共场， 故从上述8场比赛中随机选择一场，甲获胜的概率； （2）甲得分的场次：，共场， 乙得分丙得分的场次：，共场. 的可能取值：0,1,2， 总选法：， ：选场乙丙，，概率， ：选场乙丙和场乙丙，，概率， ：选场乙丙，，概率， 分布列如下： 0 1 2 数学期望：. （3）以频率估计获胜概率：甲：，乙：，丙：， 三人获胜场数符合二项分布， ，， 所以 【变式7】．（23-24高二下·上海·期末）已知脐橙分类标准：果径80mm～85mm为一级果，果径75mm～80mm为二级果，果径70mm～75mm或85mm以上为三级果．某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐橙中随机抽取1000个，测量这些脐橙的果径（单位：mm），得到如图所示的频率分布直方图． (1)在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径70～85mm中抽出9个脐橙，为进一步测量其他指标，在抽取的9个脐橙中再抽出3个， ①求这9个脐橙中一级果，二级果，三级果的数量 ②求抽到的一级果个数的数学期望； (2)以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个，其中一级果的个数为，记一级果的个数为的概率为，写出的表达式并求出当为何值时，最大？ 【答案】(1)①一级果4个，二级果3个，三级果2个；②； (2)当时，最大 【知识点】建立二项分布模型解决实际问题、频率分布直方图的实际应用、求离散型随机变量的均值、服从二项分布的随机变量概率最大问题 【分析】（1）①求出果径80mm～85mm, 75mm～80mm，70mm～75mm的频率之比，从而求出一级果，二级果，三级果的数量； ②求出的可能取值和对应的概率，得到数学期望； （2）得到，从而得到不等式组，求出当时，最大. 【详解】（1）①果径80mm～85mm, 75mm～80mm，70mm～75mm的频率之比为， 故这9个脐橙中一级果数量为个，二级果个，三级果个； ②的可能取值为， 故，，， ， 故 （2）一级果的频率为， 用频率代替概率，故， 故， 令， 故， 解得， 又，故， 故当时，最大. 题型五 正态分布应用 解｜题｜技｜巧 技巧：正态分布标准化，利用3σ原则快速计算区间概率。 【典例1】．（24-25高二下·上海·期末）已知随机变量，，有以下两个命题：①；②存在，使得对任意，． 那么（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 【答案】A 【知识点】正态曲线的性质 【分析】根据正态分布的相关知识求解即可. 【详解】设，则，， 故； 当时，，故，从而不可能使得． 故选：A. 【典例2】．（24-25高二下·上海·期末）已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（    ）. A．关于直线对称 B．关于点成中心对称 C．关于点成中心对称 D．关于点成中心对称 【答案】B 【知识点】判断或证明函数的对称性、正态曲线的性质 【分析】根据正态分布的特征可知随增大而增大，故A错误；由可得，故B正确，CD错误. 【详解】由连续型随机变量服从正态分布，可得， 所以正态密度曲线关于直线对称，即. 因为，所以随增大而增大，的图象无对称轴，故A错误. 因为， 所以的图象关于点成中心对称，故B正确，CD错误. 故选：B. 【典例3】．（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知随机变量服从正态分布且则________． 【答案】0.8/ 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】利用正态分布的对称性结合概率和为1求解即可. 【详解】由正态分布对称性得对称轴为，则， 因为概率和为1，所以. 故答案为：. 【典例4】．（24-25高二下·上海奉贤·期末）某公司生产的糖果每包标识质量是，但公司承认实际质量存在误差，已知每包糖果的实际质量服从、的正态分布，随意买一包该公司生产的糖果，其质量误差超过（即1%）的可能性为________.（结果精确到0.1%） （参考数据：若，则，，） 【答案】 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】根据正态分布的性质，先确定的值，再结合已知的概率公式计算质量误差超过的可能性. 【详解】因为每包糖果的实际质量服从的正态分布，则. 质量误差不超过，即，也就是. 根据参考数据可知. 那么质量误差超过的概率为. 故答案为：. 【变式1】．（23-24高二下·上海·期末）某班级共有 40 名同学， 其中 15 人是团员． 现从该班级通过抽签选择 10 名同学参加活动，定义随机变量 为其中团员的人数，则 服从 （    ） A．二项分布 B．超几何分布 C．正态分布 D．伯努利分布 【答案】B 【知识点】正态分布的实际应用、两点分布、超几何分布的分布列、建立二项分布模型解决实际问题 【分析】由二项分布、超几何分布、正态分布、伯努利分布定义判断即可. 【详解】一次试验只包含两个试验结果，则称此试验分布为伯努利分布； 将一个伯努利试验重复做次，叫做重伯努利试验， 一般地，在重伯努利试验中，每次试验事件发生的概率记为， 在次试验中事件发生的次数记为，则服从二项分布； 件产品中包含件次品，从中抽取件产品，记件产品中次品数为， 则服从超几何分布； 若随机变量的概率分布密度曲线满足正态密度函数，则称机变量服从正态分布； 所以某班级共有40名同学，其中15人是团员，现从该班级通过抽签选择10名同学参加活动， 设随机变量为其中团员的人数，则随机变量服从超几何分布. 故选：B 【变式2】．（23-24高二下·上海·期末）某班有40名学生，一次考试后数学成绩，若，则估计该班学生数学成绩超过120分的人数为______． 【答案】10 【知识点】正态分布的实际应用、指定区间的概率 【分析】根据题意知正态曲线关于对称，然后由，从而可求得，从而可求解. 【详解】由题意得数学成绩， 所以由，可得， 所以， 所以估计该班学生数学成绩超过120分的人数为. 故答案为：10. 【变式3】．（24-25高二上·上海·期末）已知随机变量，且，则_____. 【答案】/ 【知识点】指定区间的概率 【分析】根据正态曲线的对称性求解即可. 【详解】根据正态曲线的对称性，时， 若，则， 于是. 故答案为： 【变式4】．（24-25高二下·上海·期末）已知随机变量，，且，，则__________． 【答案】 【知识点】二项分布的均值、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】根据正态分布的特点及二项分布的性质即可求解. 【详解】因为，, 所以. 又因为， 所以， 则，解得：. 故答案为： 【变式5】．（23-24高二下·上海·期末）老张每天下班回家，通常步行5分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有，两条线路可以选择.乘坐线路所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要5分钟；乘坐线路所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要12分钟. 下列说法从统计角度认为不合理的是_________. 参考数据：若，则，， ①若乘坐线路，前一定能到家； ②乘坐线路比乘坐线路在前到家的可能性更大； ③乘坐线路比乘坐线路在前到家的可能性更大； ④若乘坐线路，则在前到家的可能性不超过. 【答案】①② 【知识点】3δ原则、正态分布的实际应用、指定区间的概率、正态曲线的性质 【分析】利用正态分布曲线的对称性及正态分布的概率，对四个选项逐个分析判断即可. 【详解】对于①，因为， 即乘坐线路能到家的概率为， 所以乘坐线路，前不一定能到家，所以①错误； 对于②，乘坐线路A在前到家的概率为 ， 乘坐线路在前到家的概率为 ， 所以乘坐线路A和乘坐线路在前到家的可能性一样，所以②错误； 对于③，乘坐线路A在前到家的概率为， 乘坐线路在前到家的概率为 ， 所以乘坐线路比乘坐线路A在前到家的可能性更大，故③正确； 对于④，乘坐线路A，则在前到家的概率为 ，所以④正确. 故答案为：①② 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（22-23高二下·上海金山·期末）设随机变量X的分布列，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】由随机变量的分布列求概率、利用随机变量分布列的性质解题 【分析】由离散型随机变量的分布列性质求出，然后求解即可. 【详解】因为随机变量X的分布列， 所以，解得：， . 故选：B. 2．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，在下雨天里，刮风的概率为，则既刮风又下雨的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算条件概率 【分析】利用条件概率的计算公式求解即可 【详解】记“下雨”，“刮风”，“刮风又下雨”， 则， 所以. 故选：C 3．（22-23高二下·上海崇明·期末）某校高中三年级1600名学生参加了区第二次高考模拟统一考试，已知数学考试成绩X服从正态分布（试卷满分为150分），统计结果显示，数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为（    ） A．200 B．150 C．250 D．100 【答案】A 【知识点】标准正态分布的应用 【分析】根据题意，由正态分布的性质可得，即可得到结果. 【详解】因为数学考试成绩服从正态分布，又， 所以， 则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为. 故选：A 4．已知随机变量X的分布列为 0 1 若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差、求离散型随机变量的均值 【分析】由均值与方差的计算概念，可得答案. 【详解】由题意可得， 则，解得． 故选：D. 二、填空题 5．（24-25高二下·上海·期末）某射击运动员射击所得环数的分布为，则的值为______. 【答案】0.4/ 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【分析】根据分布列的性质列式计算即可. 【详解】由，得. 故答案为：0.4 6．（23-24高二下·上海·期末）已知随机变量服从正态分布，若，则_____________. 【答案】/ 【知识点】指定区间的概率、正态曲线的性质 【分析】根据正态分布的性质计算可得. 【详解】因为且， 所以， 所以. 故答案为： 7．（23-24高二下·上海金山·期末）已知随机变量服从正态分布，若，则实数的取值范围是______． 【答案】 【知识点】根据正态曲线的对称性求参数 【分析】根据正态分布密度曲线的对称性求解即可. 【详解】由正态分布的对称性知，，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 8．（24-25高二下·上海·期末）甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，采用3局2胜制（‌3局2胜‌是指在一场比赛中，总共进行三局，先赢得两局的一方即为胜者.如果前两局中有一方已经赢了两局，那么第三局就不再进行）．假设每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的结果相互独立，则甲以的比分获胜的概率为________； 【答案】 【知识点】独立重复试验的概率问题 【分析】根据给定条件，利用独立重复试验的概率公式列式求解. 【详解】若甲以的比分获胜，即一共3局，前两局甲乙各胜一局，最后一局甲胜， 所以甲以的比分获胜的概率， 故答案为： 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 9．（23-24高二下·上海·期末）将一枚硬币连续抛掷三次，每次得到正面或反面的概率均为 ，且三次抛掷的结果互相独立． 记事件为 “至少两次结果为正面”，事件为 “第三次结果为正面”，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算条件概率 【分析】由题意，先计算，再利用条件概率的公式，即可求得结论. 【详解】由题意，，， 则. 故选：C 10．（23-24高二上·上海·期末）已知，随机变量、相互独立，随机变量的分布为，的分布为，则当在内增大时（    ） A．减小，增大 B．减小，减小 C．增大，增大 D．增大，减小 【答案】C 【知识点】方差的性质、均值的性质 【分析】利用数学期望和方差的性质直接求解. 【详解】由题意可得：，， 所以. 所以当在内增大时，增大. ；. 所以. 所以当在内增大时，增大. 故选：C 二、填空题 11．（23-24高二下·上海·期末）某张试卷由两位陈老师、一位张老师共同命制，其中第8题从三位老师中随机抽取一位进行命题. 已知若由张老师命题，学生答对这道题的概率是；若由（任意一位）陈老师命题，学生答对这道题的概率是. 那么学生答对第8题的概率是________. 【答案】 【知识点】独立事件的乘法公式、利用全概率公式求概率、计算条件概率 【分析】根据条件概率与全概率公式计算即可求解. 【详解】设事件：张老师出题；事件：陈老师出题；事件：学生答对第8题. 则 所以. 故答案为： 12．（23-24高二上·上海·期末）口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，数列满足：，如果为数列的前n项和，那么的概率为______． 【答案】 【知识点】独立重复试验的概率问题 【分析】根据题意可知摸到红球的次数服从二项分布，结合分析可得：共摸球次，只有两次摸到红球，利用二项分布求概率公式求概率即可. 【详解】由题意知每次摸球结果互不影响，摸到红球的概率为，摸到白球的概率为， 由可知，共摸球次，只有两次摸到红球，设摸到红球的次数为, 且，所以只有两次摸到红球的概率为：. 故答案为： 13．（23-24高二下·上海·期末）设甲、乙两个地区爆发了某种流行病，且两个地区感染此病的比例分别为 、  ，若从这两个地区中任选一个地区选择一个人，则此人感染此疾病的概率是_______． 【答案】 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算即得. 【详解】设事件分别表示“此人来自甲地区和乙地区”；事件表示“感染此疾病”， ，， 因此 故答案为： 三、解答题 14．（23-24高二上·上海·期末）年月日至月日在国家会展中心举办中国国际进口博览会期间，为保障展会的顺利进行，有、两家外卖公司负责为部分工作者送餐.两公司某天各自随机抽取名送餐员工，统计公司送餐员工送餐数，得到如图频率分布直方图；统计两公司样本送餐数，得到如图送餐数分布茎叶图，已知两公司样本送餐数平均值相同.    (1)求的值 (2)求、的值 (3)为宣传道路交通安全法，并遵循按劳分配原则，公司决定员工送餐份后，每多送份餐对其进行一次奖励，并制定了两种不同奖励方案： 方案一：奖励现金红包元. 方案二：答两道交通安全题，答对题奖励元，答对题奖励元，答对题奖励元.员工每一道题答题相互独立且每题答对概率为与该员工交通安全重视程度相关）. 求下表中的值（用表示）；从员工收益角度出发，如何选择方案较优？并说明理由. 附：方案二综合收益满足公式，为该员工被奖励次数. 方案二奖励 元 元 元 概率 【答案】(1) (2)， (3)， 当时，，方案一较优； 当时，，方案一和方案二收益相同； 当时，，方案二较优. 【知识点】根据平均数求参数、均值的实际应用、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】（1）根据两公司样本送餐数平均值相同，可得出关于的等式，解之即可； （2）在公司中，送餐数在区间和送参数在区间的员工人数之比为，结合频率分布直方图可求得的值，利用所有直方图面积之和为可求得的值； （3）利用独立重复试验的概率公式求出，并求出、，可得出方案一、二综合收益的期望，比较大小后可得出结论. 【详解】（1）解：因为两公司样本送餐数平均值相同， 则， 则. （2）解：因为公司中，送餐数在区间和送餐数在区间的员工人数之比为， 则，可得， 由频率分布直方图可知，. （3）解：由题意知，，， 方案一的综合收益满足， 方案二综合收益满足， ， 由可得，解得， 故当时，方案一较优； 由可得，解得， 故当时，方案一和方案二收益相同； 由可得，解得， 故当时，方案二较优. 15．（23-24高二下·上海·期末）某学校举办知识竞赛， 该竞赛共有三道问题， 参赛同学须回答这些 问题， 以其答对的问题的得分之和作为最终得分． 每个问题的得分与参赛同学答对的概 率如下表 (每次回答是否正确相互独立)． 定义随机变量 为最终得分． 问题一 问题二 问题三 得分 20 30 50 答对概率 0.8 0.7 0.4 (1)求 ． (2)求 与 ． 【答案】(1)0.36 (2) 【知识点】求离散型随机变量的均值、相互独立事件与互斥事件、独立事件的乘法公式、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）将可能性均表示出来，结合互斥事件概率即可求解； （2）先求出的可能取值以及对应的概率，再列出分布列，进而求出期望和方差即可. 【详解】（1）事件包含了2种可能性： ①答对问题一和问题二答错问题三 ②答错问题一答错问题二答对问题三 . （2）的所有可能取值为： . 所以随机变量的分布列为： 20 30 50 70 80 100 0.036 0.144 0.084 0.36 0.096 0.056 0.224 所以随机变量的期望为57. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、填空题 16．（24-25高二下·上海浦东新·期末）有甲、乙两袋，甲袋中有3个白球，2个红球；乙袋中有2个白球，3个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则此球为红球的概率为________．（结果为精确值） 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率、利用全概率公式求概率、计算条件概率 【分析】将问题拆分为两步，先从甲袋中取球，再从乙袋中取球，然后根据从甲袋中取出球的颜色情况，分情况计算乙袋中取出红球的概率，再根据全概率公式，用两种情况发生的概率乘以取到红球的概率，再相加即可得解. 【详解】设表示“从乙袋中任取一球是红球”，表示“从甲袋中取出两个白球”， 表示“从甲袋中取出两个红球”，表示“从甲袋中取出一个白球和一个红球”， 则 由全概率公式，所求概率 . 故答案为： 17．（24-25高二下·上海·期末）有个相同的球，分别标有数字，，，，从中不放回地随机取两次，事件表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是偶数，则______． 【答案】 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】由全概率公式求得，然后求得，最后结合条件概率公式即可得解. 【详解】由题意，， 故所求为. 故答案为：. 二、解答题 18．（23-24高二下·上海长宁·期末）（1）为了解中草药甲对某疾病的预防效果，研究人员随机调查了100名人员，调查数据如表.（单位：个）若规定显著性水平，试分析中草药甲对预防此疾病是否有效； 未患病者 患病者 合计 未服用 中草药甲 29 16 45 服用 中草药甲 46 9 55 合计 75 25 100 （2）已知一个盒子中装有大小和质地相同的6个红球和3个白球.现从盒子中不放回地依次随机取出2个球，设2个球中红球的个数为X，求X的分布列、期望和方差. 附：，. α 0.100 0.050 0.010 0.001 x 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析 【知识点】超几何分布的分布列、超几何分布的均值、超几何分布的方差、独立性检验解决实际问题 【分析】（1）计算出卡方，即可判断； （2）的所有可能取值为0，1，2，它服从超几何分布，结合超几何分布概率的求法求得相应的概率进而可得的分布，结合期望、方差计算公式即可求解. 【详解】（1）提出原假设：中草药甲对预防此疾病无效，确定显著性水平， 计算，而， 的值超过了所确定的界限，从而否定原假设，即认为中草药甲对预防此疾病有效果. （2）的所有可能取值为0，1，2， ， 所以的分布列为， 它的期望为， 它的方差为. 19．（2025·上海崇明·二模）某区2025年3月31日至4月13日的天气预报如图所示． (1)从3月31日至4月13日某天开始，连续统计三天，求这三天中至少有两天是阵雨的概率； (2)根据天气预报，该区4月14日的最低气温是9，温差是指一段时间内最高温度与最低温度之间的差值，例如3月31日的最高温度为17，最低温度为9，当天的温差为8记4月1日至4日这4天温差的方差为，4月11日至14日这4天温差的方差为，若，求4月14日天气预报的最高气温； (3)从3月31日至4月13日中随机抽取两天，用X表示一天温差不高于9的天数，求X的分布列及期望． 【答案】(1) (2)18 (3)分布列见解析， 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、计算几个数据的极差、方差、标准差、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）根据古典概型概率公式，用事件包含的样本点个数除以总样本点个数来计算概率； （2）根据方差公式列出关于的方程，然后求解； （3）根据随机变量的分布列，利用期望公式计算期望. 【详解】（1）设“从3月31日至4月13日某天开始，连续统计三天，这三天中至少有两天是阵雨”为事件A，连续统计三天共有12个样本点，事件A共有4个样本点，所以 （2）4月1日至4日这4天温差分别为9、8、9、9， 因此，设4月14日的温差为x， 则4月11日至14日这4天温差分别为8、9°C、8、x， 因此， 解得，因此，4月11日这天最高气温是18． （3）从3月31日至4月13日，一天温差不超过9的共有11天，高于9的共有3天 X可能取值为0，1，2. ，， 随机变量X的分布列为： X 0 1 2 P 随机变量X的期望. 20．（24-25高二下·上海·期末）学工部收到两个班级优秀学生的推荐表，分装两袋，第一袋有4份女生和2份男生的推荐表，第二袋有3份女生和3份男生的推荐表. (1)从两袋中随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，求恰好抽到1份女生推荐表和1份男生推荐表的概率； (2)若从第二袋中先后取出两份推荐表，求有一份是女生推荐表的条件下，另一份也是女生推荐表的概率，和第一份是女生推荐表的条件下，第二份也是女生推荐表的概率. 【答案】(1) (2)， 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）设＂抽到第一袋＂为事件，＂抽到第二袋＂为事件，由条件概率及全概率公式求解即可； （2）（i）将问题转换成一次性抽取两份，两份都是女生推荐表的概率除以两份不都是男生推荐表的概率或通过缩小样本空间求解即可；（ii）将问题转换成先后抽取两份，第一份是女生推荐表且第二份也是女生推荐表的概率除第一份是女生推荐表的概率，或缩小样本空间求解即可. 【详解】（1）设＂抽到第一袋＂为事件，＂抽到第二袋＂为事件， ＂恰好抽到1份女生推荐表和1份男生推荐表＂为事件，则 故； （2）（i）有一份是女生推荐表的条件下，另一份也是女生推荐表， 可以看成一次性抽取两份，两份都是女生推荐表的概率除以两份不都是男生推荐表的概率， 故. （或缩小样本空间为女1男1，男1女1，女1男2，男2女1，女1男3，男3女1，女2男1，男1女2，女2男2，男2女2，女2男3，男3女2，女3男1，男1女3，女3男2，男2女3，女3男3，男3女3，女1女2，女2女1，女1女3，女3女1，女2女3，女3女2共24个样本点， 满足条件的有6个，故， （ii）第一份是女生推荐表的条件下，第二份也是女生推荐表， 可以看成先后抽取两份，第一份是女生推荐表且第二份也是女生推荐表的概率除第一份是女生推荐表的概率， 故. （或缩小样本空间为女1男1，女1男2，女1男3，女2男1，女2 男2，女2男3，女3男1，女3男2，女3男3，女1女2，女2女1，女1女3，女3女1，女2女3，女3女2共15个样本点，满足条件的有6个， 故. 21．（24-25高二下·上海·期末）甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试．笔试共有2道专业理论题与2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率）均为（），每道岗位实践题的难度系数均为（），考生至少答对3道题才能进入面试，否则被淘汰出局；面试共有5道问答题，由考官逐一提问作答，累计答对3道题或答错3道题，面试结束．已知甲笔试得满分的概率为，笔试和面试各题是否答对相互独立． (1)当时，求； (2)求甲能够进入面试的概率的最小值及相应的值； (3)已知甲通过了笔试环节，面试时每道题答对的概率是，令甲面试结束时的答题数为，求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)最小值为，相应的 (3)分布列见解析， 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、建立二项分布模型解决实际问题、基本不等式求和的最小值、独立事件的乘法公式 【分析】（1）由甲笔试得满分的概率为，可得，最后求得即可. （2）由题意，甲至少答对3道题才能够进入面试，可得甲能够进入面试的概率，化简得，利用基本不等式求得的最小值及相应的值即可. （3）由题意，甲面试结束时的答题数的可能取值为，求出对应概率，再得到分布列与数学期望即可. 【详解】（1）由题意，笔试和面试各题是否答对相互独立， 所以甲笔试满分的概率为，则， 又，故. （2）由题意，甲至少答对3道题才能够进入面试， 所以甲能够进入面试的概率， 由（1）知，则， 则， 整理得， 因为， ， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以甲能够进入面试的概率的最小值为，相应的值为. （3）由（2）知，面试时每道题的难度系数是， 则甲答对每道面试题的概率， 由题意，甲累计答对3道题或答错3道题，面试结束， 所以甲面试结束时的答题数的可能取值为， 当时，， 当时，， 当时，， 所以的分布列为： 3 4 5 由期望公式得数学期望为. 22．（23-24高二下·上海·期末）“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚.甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种.他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为，乙每天选择“共享单车”的概率为，丙在每月第一天选择“共享单车”的概率为，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为，如此往复. (1)求3月1日至少有一人选择“共享单车”出行的概率； (2)记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为，求的分布、期望与方差； (3)求丙在3月份第天选择“共享单车”的概率，并帮丙确定在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数. 【答案】(1) (2)分布列见解析；， (3)；2 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差、利用对立事件的概率公式求概率、求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）根据对立事件的概率求法，即可求得答案； （2）确定X的取值，求出每个值相应的概率，可得分布列，继而求得期望和方差； （3）确定与的关系式，从而构造数列求出的表达式，结合题意可得需满足，讨论n的奇偶性，即可求得答案. 【详解】（1）由题意可得3月1日至少有一人选择“共享单车”出行的概率为； （2）由题意知X的可能取值为， 则，， ， ， 则X的分布列为： X 0 1 2 3 P 故； . （3）由题意得， 则， 则，即得， 又，故数列是以为首项，以为公比的等比数列， 故， 在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率需满足，即， 即，即， 当n为偶数时，上式显然不成立， 故当n为奇数时，有， 当时，成立； 当时，成立； 当时，，即不成立； 又随n的增大而减小，故时，均不成立； 则只有在第1天和第3天时有， 故在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数为2. 【点睛】关键点睛：本题综合考查了概率知识和数列的应用问题，有一定难度，解答的关键在于第三问，解答时要能确定，进而根据数列知识求得的表达式，即可求解. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $