专题01导数及其应用（期末复习讲义，5重难题型+分层验收）高二数学下学期沪教版

专题01导数及其应用（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 在点型、过点型切线方程求解 题型02 含参函数单调区间、极值最值讨论 题型03 分离参数法解决恒成立问题 题型04 结合区间判定函数零点数量 题型05 构造函数证明导数型不等式 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 导数的概念与瞬时变化率 理解导数概念及定义，区分导函数与某点导数，会简单求导。 低频基础题（选择/填空），侧重定义理解，无复杂极限。 导数的几何意义 掌握几何意义，会求切线方程，区分“在某点”与“过某点”切线 高频，难度中等，侧重切线求解，“过某点”切线为易错点。 导数的运算 牢记公式法则，熟练求导，准确计算多项式、简单复合函数导数。 高频基础，多作为解答题第一步，计算失误为主要失分点。 导数在研究函数单调性中的应用 会用导数判断单调性、求单调区间，注意定义域限制。 高频，难度中等，常与极值、最值结合，定义域为易错点 导数在研究函数极值与最值中的应用 会求极值与闭区间最值，区分极值与最值 高频解答题，难度中等偏难，失分点在极值判断和最值比较。 导数的实际应用 能建立函数模型，用导数求实际问题最值，验证合理性。 中频解答题，难度中等，核心难点是建立函数模型。 知识点01 导数的概念与瞬时变化率 平均变化率： 瞬时变化率（导数定义）： 导函数定义： ·示例：已知函数，求：（1）在处，时的平均变化率；（2）的值。 解析：（1）平均变化率； （2）由导数定义：。 ·易错点：1. 混淆平均变化率与瞬时变化率，误将平均变化率当作导数； 2. 计算极限时，忽略的条件，直接代入导致分母为0； 3. 区分不清导函数与某点导数，误将当作函数。 知识点02 导数的几何意义 1. 曲线在点处的切线斜率：； 2. 切线方程：。 ·示例：已知函数，求曲线在点处的切线方程。 解析：先求导数，则切线斜率； 代入切线方程公式：，整理得。 ·易错点：1. 误将“过某点”的切线当作“在某点处”的切线，忽略多解情况； 2. 求切线方程时，漏算导数或代入点坐标错误； 3. 混淆切线斜率与导数值，误将函数值当作切线斜率。 知识点03 导数的运算 1. 基本初等函数导数：（为常数），； 2. 四则运算法则：，，； 3. 简单复合函数导数：，则。 ·示例：求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）。 解析：（1）； （2）由乘法法则：； （3）令，则，。 ·易错点：1. 记错基本导数公式，如误写成； 2. 运用除法法则时，分子符号出错，漏写分母平方； 3. 复合函数求导时，漏乘内层函数的导数，如误求导为。 知识点04 导数在研究函数单调性中的应用 1. 若时，，则在上单调递增； 2. 若时，，则在上单调递减； 3. 个别点，不影响函数整体单调性。 ·示例：求函数的单调区间。 解析：先求导数； 令，解得或，故单调递增区间为； 令，解得，故单调递减区间为。 ·易错点：1. 求单调区间时，忽略函数定义域，如分式函数未排除分母为0的情况； 2. 误将的点当作单调区间的分界点，未判断两侧导数符号； 3. 解不等式或时，计算出错，导致区间范围错误。 知识点05 导数在研究函数极值与最值中的应用 1. 极值判断：若，且两侧符号异号，则为极值点（左正右负为极大值，左负右正为极小值）； 2. 闭区间最值：在上的最值，需比较端点值与区间内极值。 ·示例：求函数在闭区间上的极值与最值。 解析：（1）求导数，令，得或； 判断极值：左侧，右侧，故为极大值；左侧，右侧，故为极小值； 求最值：计算端点值，；比较得，最大值为（和处），最小值为（和处）。 ·易错点：1. 误将的点直接当作极值点，未判断两侧导数符号； 2. 求闭区间最值时，遗漏端点值，仅比较极值； 3. 混淆极大值与极小值的判断方法，左正右负与左负右正记反。 知识点06 导数的实际应用（最值问题） 建立函数模型→求导→判断单调性→求极值、最值→验证实际意义 同导数运算、单调性、极值与最值相关公式。 ·示例：某工厂生产一批产品，总成本（为产量，单位：件），求产量为多少时，总成本最低？最低总成本为多少？ 解析：（1）建立函数模型：总成本函数（，且为整数）； （2）求导：，令，得； （3）判断单调性：时，，单调递减；时，，单调递增； （4）求最值：时，取得极小值，也是最小值，； （5）验证：产量为5件时，符合实际意义，最低总成本为5。 ·易错点：1. 建立函数模型时，忽略实际意义，未确定自变量取值范围； 2. 求导后未验证极值是否为实际问题的最值； 3. 计算最值时，未结合自变量的实际约束（如整数、正数），导致结果不符合实际。 题型一 在点型、过点型切线方程求解 解｜题｜技｜巧 1. 在点型（切点明确）：直接求切点处的导数，即为切线斜率，代入切线方程化简即可； 2. 过点型（切点不明确）：先设切点，求导数得斜率，写出切线方程，将已知点代入方程，求解，注意检验，避免漏解； 3. 若切线斜率不存在，直接写切线方程（适用于函数在该点导数不存在但有切线的情况）。 【典例1】求过点且与曲线相切的直线的方程． 【答案】或. 【分析】设出切点，根据导数的几何意义，写出切线方程，把代入求出切点，进而求出切线方程. 【详解】根据题意设切点为，由可得切线斜率为， 切线方程为， 把代入可得，即，解得； 把代入切线方程可得或. 所以可得过点且与曲线相切的直线的方程为或. 【典例2】设曲线在点处的切线与轴、轴分别交于、两点，为坐标原点，求的面积. 【答案】2 【分析】求出曲线在点处的切线斜率，可得切线方程，求出A，B坐标，即可求得答案. 【详解】点处的切线的斜率， 故切线方程为，即， 令，，则, 令，，则，则. 【变式1】下图为函数及其在点P处切线的图象， (1)求切线方程； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由直线过点、可得答案； （2）求出、可得答案． 【详解】（1）由题意得，直线过点、， 所以切线方程为， 即； （2）因为切线的斜率为， 所以，又， 所以． 【变式2】已知，分别求曲线在点和点处的切线方程． 【答案】在点处的切线方程为：；在点处的切线方程为：. 【分析】求得函数的导数，根据导数的几何意义可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程． 【详解】由题，， 在点处的切线斜率为， 可得在点处的切线方程为：，即为； 同样，在点处的切线斜率为， 可得在点处的切线方程为：，即为. 题型二 含参函数单调区间、极值最值讨论 答｜题｜模｜板 步骤1：确定函数定义域； 步骤2：求导数，并化简（因式分解或整理为二次函数形式）； 步骤3：分析的方程，结合参数范围分类讨论： ① 方程无解：判断恒正或恒负，确定单调区间，无极值； ② 方程有1个解：判断该点两侧导数符号，确定单调区间，判断是否为极值点； ③ 方程有2个及以上解：比较解的大小，划分区间，判断各区间导数符号，确定单调区间； 步骤4：根据单调区间，求极值（计算极值点处的函数值）； 步骤5：若为闭区间，计算端点函数值，与极值比较，确定最值； 步骤6：总结不同参数范围下的单调区间、极值与最值。 【典例1】已知，函数，当时，讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析 【分析】先求，再分类讨论大于和小于时的正负即可得到函数的单调性. 【详解】函数的定义域为， 又， 当时，，故函数在区间上单调递减； 当时，令，解得， 当变化时，，的变化情况如下表所示： 单调递增 单调递减 故当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减； 当时，函数在区间上单调递减. 【典例2】已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求在上的最大值． 【答案】(1)增区间为，减区间为 (2) 【分析】（1）由函数解析式明确定义域，求导，利用导数与函数单调性的关系，可得答案； （2）由（1）所得函数单调性，利用分情况，可得答案. 【详解】（1）函数的定义域为，则． 因为时，由，可得，由，可得． 此时，函数的增区间为，减区间为． 综上所述，当时，函数的增区间为，减区间为． （2）当时，函数在上单调递减， 此时，； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 此时，； 当时，函数在上单调递增，此时，． 综上所述：. 【变式1】已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求在上的最大值． 【答案】(1)增区间为，减区间为 (2) 【分析】（1）由函数解析式明确定义域，求导，利用导数与函数单调性的关系，可得答案； （2）由（1）所得函数单调性，利用分情况，可得答案. 【详解】（1）函数的定义域为，则． 因为时，由，可得，由，可得． 此时，函数的增区间为，减区间为． 综上所述，当时，函数的增区间为，减区间为． （2）当时，函数在上单调递减， 此时，； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 此时，； 当时，函数在上单调递增，此时，． 综上所述：. 【变式2】（24-25高二下·上海·期末）设函数（）． (1)当时，求的极值； (2)当时，讨论的单调性； (3)若只有一个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)极大值为，没有极小值 (2)答案见解析 (3)或 【分析】（1）根据导数的正负即可求解极值； （2）分类讨论，及时的正负即可得出的单调性； （3）分类讨论，结合零点存在性定理，以及函数的单调性即可求解． 【详解】（1）当时，，令，解得， 当时，，时，， 所以在上为增函数，在上为减函数，， 所以当时，的极大值为，没有极小值． （2）， ， ①当时，，则在上为增函数； ②当时，在区间及上有，在区间上有， 故当时，在及上为增函数，在上为减函数； ③当时，在区间及上有，在区间上有， 故当时，在及上为增函数，在上为减函数． （3）由（2）知： ①当时，在上为增函数，且， 则在上只有一个零点； ②当时，在及上为增函数，在上为减函数， 故的极大值为， 且， 令， 则， 在上为减函数，， 所以时，，即， ，则只有一个零点， ③当时，在及上为增函数，在上为减函数， 故的极大值为， 且， 令，且， 则，则在上为增函数， 故时有， 即，则只有一个零点； ④当时，在上为增函数，在上为减函数； ， 因为只有一个零点，所以，； 综上所述，当或时，只有一个零点． 题型三 分离参数法解决恒成立问题 答｜题｜模｜板 步骤1：整理恒成立不等式，将参数与自变量分离，得到（或）； 步骤2：确定自变量的取值范围； 步骤3：构造函数，求其在对应区间上的导数； 步骤4：根据的符号，判断的单调区间，求其最值（或）； 步骤5：根据恒成立条件，确定参数的取值范围（注意等号是否成立）； 步骤6：整理参数范围，写成集合或区间形式。 易｜错｜点｜拨 1. 分离参数时，不等号方向判断错误（尤其是自变量范围含负数时）； 2. 构造函数后，求导失误，导致最值计算错误； 3. 忽略自变量的定义域，求最值时超出区间范围； 4. 未验证“等号”是否成立，导致参数范围遗漏端点； 5. 分离参数不彻底，无法转化为单一函数最值问题。 【典例1】（25-26高三·上海·期末）已知函数（）．若恒成立，求a的取值范围． 【答案】 【分析】根据不等式恒成立，分离参数，再由导数求函数的最大值即可得解. 【详解】，其中， 所以问题转化为（）恒成立， 记，则， 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则的最大值为，所以． 【典例2】已知函数（其中），当时，不等式恒成立，求整数的最大值． 【答案】 【分析】利用参变分离以及隐零点求出的最小值即可. 【详解】可化为， 当时，则，符合题意，； 当时，则，可得恒成立， 令，，可知， 可得， 令，， 则在上恒成立， 可知在上单调递增，且，， 则，使得，即， 当时，，即，单调递减； 当时，，即，单调递增； 所以， 所以只需，因为，即整数的最大值为； 综上所述：整数的最大值为. 【变式1】（25-26高二上·上海奉贤·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导数，然后代入，然后求切线方程. （2）首先参变分离，然后根据恒成立问题，求实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则，所以，， 所以函数在点处的切线方程为，即. （2）对任意的，，可得， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得， 因此实数的取值范围是. 【变式2】已知函数为自然对数的底数，若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 【答案】 【分析】分类讨论，参变分离，再借助导数研究函数的单调性即可求解. 【详解】当时，恒成立，此时；              当时，问题转化为对任意的恒成立，     令，则， 令， 则， 因为，所以，则在上单调递增， 又因为，故当时， 则在上单调递减； 当时，则在上单调递增， 所以，所以 当时，问题转化为对任意的恒成立， 仿上设函数，则有， 因为，所以，则函数在上单调递减， 所以， 故当时，， 所以函数在上单调递减， 所以，所以 综上所述，的取值范围为． 题型四 结合区间判定函数零点数量 答｜题｜模｜板 步骤1：确定函数定义域及研究区间； 步骤2：求导数，判断函数在内的单调区间，找到极值点； 步骤3：计算区间端点及所有极值点处的函数值； 步骤4：结合零点存在性定理和单调性，判断每个单调区间内的零点数量： ① 单调区间内，端点函数值异号，有1个零点；② 端点函数值同号，无零点；③ 极值点函数值为0，该点为1个零点； 步骤5：汇总所有单调区间的零点数量，得到函数在上的总零点数。 易｜错｜点｜拨 1. 求导失误，导致单调区间判断错误； 2. 遗漏极值点，未计算极值点处的函数值； 3. 误用零点存在性定理，忽略“单调函数”这一前提； 4. 计算函数值时出错，导致符号判断错误； 5. 忽略区间端点处函数值为0的情况（端点为零点） 【典例1】（25-26高三·上海·期末）设函数．记，若，试讨论在上的零点个数． 【答案】1 【分析】讨论在上的零点个数，需先求的导数，分析导数的单调性和零点，确定的单调性，结合端点值及零点存在定理判断零点个数. 【详解】由已知得，所以. 令，则． 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减. 即在上单调递增，在上单调递减． 当时，. 所以存在，使得. 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 因为，故函数在上无零点， 又因为，由零点存在定理可得在上有且只有一个零点． 综上所述，当时，函数在上的零点个数为1． 【典例2】已知函数，当时，试判断的零点个数并证明． 【答案】有两个零点，证明见解析 【分析】先判断是的一个零点，利用分类讨论法，对进行分类讨论，或利用分离参数法，结合导数来确定正确答案. 【详解】解法一：因为，故有一个零点是2． 令，解得（舍去），． 当时，，单调递减． 时，，单调递增．   当时，，． 下面先证明当时，． 令，， 故在上单调递增，所以． 因为，所以． 易知，所以在上存在唯一的零点， 所以当时，有两个零点，为2和．      解法二：当时，，故2是的一个零点， 令，又，所以． 当时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以是的极小值点． 当时，，所以．     下证． 令，则．   当时，，单调递减，当时，，单调递增， 从而，所以当时，， 所以， 即 令，则有，则．       易得当时，， 所以在上有唯一解． 综上，当时，有两个零点 【变式1】已知为实数，函数. (1)若函数在处的切线斜率为2，求的值； (2)讨论函数在上的零点个数； (3)设表示的最大值，设.当时，，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义进行求解即可； （2）利用导数的性质，结合函数零点的宝义、零点存在原理进行求解即可； （3）根据题中定义，结合导数的性质，给合函数的单调性分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）， 因为函数在处的切线斜率为2， 所以； （2）， 令， ， 令，解得. ①当，即时，在恒成立， 在为严格增函数， ， 由零点存在定理知在上有唯一零点. ②当时，在恒成立， 在为严格增函数， ，故在恒成立，没有零点. ③当时 - 0 + 极小值 最小值，无零点. 综上，时有一个零点，时没有零点. （3）当时，， 根据题中定义显然有. 当时， 时，， 根据题中定义显然有； 时， 根据题中定义显然有. 下考虑时的情况. ， 由解得，且 - 0 + 极小值 最小值. 令，则在为严格增函数. ①时， ，故， 故的最小值； ②时， 故在上的最小值， 而在上，，即在上， 此时. 综上，. 【点睛】关键点睛：本题的关键是理解题中定义含义，能够转化为不等式，能够运用分类讨论思想进行求解. 【变式2】已知函数.（其中为常数） (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的最小值； (3)当时，试讨论函数的零点个数，并说明理由. 【答案】(1) (2) (3)只有1个，理由见解析 【分析】（1）当时，求得，得到且，进而求得切线方程； （2）求得，利用导数求得函数的单调性和极值，即可求解； （3）当时，求得在上有一个零点；当 时，利用导数求得函数的单调性和极值，进而得出函数零点的个数. 【详解】（1）解：当时，可得， 可得，所以且， 所以切线方程为，即， 即曲线所以曲线在点处的切线方程为. （2）解：由函数，可得函数的定义域为， 又由，令，解得，， 当时，与在区间的情况如下表： 极小值 ↗ 所以函数的极小值为，也是函数的最小值， 所以当时，函数的最小值为 （3）解：当时，，令，解得（舍去） 所以函数在上有一个零点； 当 时，与在区间的情况如下表： 0 0 ↗ 极大值 极小值 ↗ 所以函数在单调递增，在上单调递减， 此时函数的极大值为， 所以函数在上没有零点； 又由且函数在上单调递增， 且当时，， 所以函数在上只有一个零点， 综上可得，当时，在上有一个零点. 【点睛】知识总结：解决函数极值、最值综合问题的策略与方法： 1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小； 2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论； 3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值. 题型五 构造函数证明导数型不等式 答｜题｜模｜板 步骤1：变形原不等式，构造新函数（如不等式左边-右边），确定其定义域； 步骤2：求的导数，化简并判断在定义域内的符号； 步骤3：根据的符号，确定的单调区间、极值或最值； 步骤4：结合的单调性或最值，证明（或）； 步骤5：还原原不等式，得出证明结论。 【典例1】证明： 【答案】证明见解析 【分析】要证原不等式成立，只需证明，分别构造函数，利用导数求最小值与最大值即可得证. 【详解】要证明，只需证， 令，则的定义域为， 因为， 所以当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以， 故只需证，且等号成立的条件与不同， 设，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值， 故，当且仅当时等号成立， 故. 【典例2】已知函数．当，时，求证：．（参考数据：） 【答案】证明见解析 【分析】当时，令，利用导数分析函数在上的单调性，根据可证得所证不等式成立. 【详解】当，时，， 构造函数，其中， 则， 令，其中，则， 所以，函数在上单调递增， 故当时，，即， 由可得，由可得， 所以，函数的减区间为，增区间为， 所以，，即， 故，时，. 【变式1】已知函数．当时，求证. 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，当时，，故只需证明，进而利用导数方法证明函数的最小值大于0即可. 【详解】当时，，故只需证明. . 易知在上单调递增（增+增）. 所以必定存在唯一一个零点，且， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. 由，得，， 所以， 所以. 所以，当时，. 【变式2】已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程. (2)证明：无零点. (3)若函数，证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）根据给定条件，构造函数，再利用导数求出函数最大值即可. （3）求出函数，等价变形不等式，换元并构造函数，再利用导数求出最小值即可得证. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 所以所求的切线方程为，即. （2）函数的定义域为，设，求导得， 由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此，即，则恒成立， 所以函数无零点. （3）依题意，函数的定义域为， 不等式 ，由（2）得，则， 令，则，令函数，求导得， 由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，因此， 则，所以. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、解答题 1．已知. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值. 【答案】(1) (2)函数的极小值为，无极大值. 【分析】（1）利用导数的几何意义可求得曲线在点处的斜率，从而求得该处的切线方程； （2）利用导数研究函数的单调性，得到极值点，求得极值. 【详解】（1）的定义域为，， 所以. 所以曲线在点处的切线方程为，即 （2）函数的定义域为，. 当时，；当时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以函数在处取得极小值，极小值为. 所以函数的极小值为，无极大值. 2．（25-26高二下·上海·期末）已知函数，其中． (1)若，求的极小值； (2)令，讨论函数的单调性． 【答案】(1) (2)当时，在单增；当时，在单调递减，在上单调递增 【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数求导，由导数的正负求出函数的单调区间，从而可求出函数的极小值； （2）先求出函数的定义域，然后对函数求导，再令，求出，再由的正负可求得的单调区间. 【详解】（1）当时，，的定义域为， 则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值． （2）的定义域为， . 令，则， 当时，恒成立，所以即在上单调递增． 当时，由，得，由，得， 所以即在上单调递减，在上单调递增. 综上所述：当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在上单调递增. 3．记（）． (1)若，解不等式：； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用指数函数的单调性转化为求解不等式，再结合对数函数的定义域和单调性求解不等式； （2）先将原不等式整理为，构造函数，分析函数的单调性和极值点，进而根据函数性质建立关于的不等式求解取值范围. 【详解】（1）当时，. 因此， 等价转化为，即，解得. 故原不等式的解集为. （2）将代入得. 故，其中. 令，则在上是严格增函数， 故不等式转化为. 从而，即对于恒成立. 令，故，. + 0 - 严格增 极大值 严格减 所以在上为严格增函数，在上为严格减函数. 因此，在上的极大值也是最大值为. 故的取值范围是. 4．已知函数. (1)当时，，求实数的取值范围; (2)若，使得，求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由题可得，其中，构造函数，利用导数求函数的最值即得. （2）由题可得，构造函数，根据函数的单调性可得，再由导数证明即可. 【详解】（1）当时，由，，得，即， 令，求导得， 设，求导得则，则在上单调递增， 于是，即，因此在上单调递增， 即在上有最大值，，则， 所以m的取值范围为. （2），由，得， 整理为，令， 求导得，则函数在上单调递增， 不妨令，即有，从而， 于是，即， 下面证明，即证，令，就证，只需证， 设，求导得，则在上单调递增，于是， 因此当时，成立，即， 于是，所以． 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 5．已知函数. (1)若，求的取值范围； (2)若关于的方程有两个不同的正实根，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）对不等式参变分离，然后构造函数，利用导数求的最大值可解； （2）将变形为，构造函数，根据其单调性将方程转化为，再构造函数，利用导数讨论其性质，结合图象可得，构造函数，根据单调性，并令，可得，最后由作差整理可证. 【详解】（1）的定义域为， 由，得. 设，则. 由，得，由，得， 则在上单调递增，在上单调递减， 从而. 故，即的取值范围是. （2）证明：由，得， 即，即. 设，则等价于. 易证在上单调递增，则，即. 设，则. 由，得，由，得， 则在上单调递增，在上单调递减， 从而，且， 当x趋于时，趋于0. 方程有两个不同的正实根，不妨设， 由图可知，. 设 则在上单调递增. 因为，所以，即. 设，则， 即，则. 因为方程有两个不同的正实根， 所以，作差得. 因为，所以，所以， 则，故. 【点睛】本题属于极值点偏移问题，通常处理方法有构造差函数借助单调性证明，或者合理代换将二元化为一元问题，利用导数求解即可. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、解答题 1．已知函数． (1)讨论函数的极值点个数； (2)若恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）通过导数的正负来判断原函数的单调性，再结合导函数的零点个数，从而可求极值点个数； （2）利用同构函数思想，把指对函数同构为，使得原不等式变为，然后再利用分离参变量，再利用求导来研究函数的最值，问题即可求解. 【详解】（1）由，可知定义域为，则． 当时，恒成立，所以在上是减函数，则无极值点． 当时，，则， 所以在上单调递增． 当，即时，， 当，即时，， 所以存在唯一的实数，使得． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以是函数的极小值点，无极大值点． 综上所述，当时，的极值点个数为0；当时，的极值点个数为1． （2）由得，故．① 设函数，由，可知在R上单调递增． 由于①式可化为，即有， 所以对恒成立． 设函数，则，令，得． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以当时，取得极大值也是最大值， 即最大值为．故． 2．已知曲线． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线过原点的切线方程． 【答案】(1) (2)和． 【分析】（1）利用导数的几何意义，先求曲线的导函数，验证点在曲线上，再计算该点处的导数值得到切线斜率，最后用点斜式写出切线方程. （2）设出切点坐标，结合导数的几何意义表示切线斜率，再利用两点间斜率公式表示过原点的切线斜率，联立方程求解切点，进而得到过原点的切线方程. 【详解】（1）已知曲线，先求导：, 验证点在曲线上：，点在曲线上． 求该点的切线斜率：, 由点斜式得：, 整理得切线方程：. （2）设切点为，即， 切点处的斜率：, 所以切线方程为， 切线过原点，即， 整理得，解得或． 当时，切点为，斜率，切线方程为： 当时，切点为，斜率， 切线方程为： 因此，过原点的切线方程为和． 3．已知函数. (1)若时，曲线与轴相切，求的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若关于的不等式在区间上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义建立方程，求解参数即可. （2）先求导函数，由导函数特征对参数范围进行分类讨论即可求解. （3）方法一：利用分离参数法得到即可分析计算求解；方法二：转化为，再结合的单调性建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】（1）由题意得， 因为曲线与轴相切，所以设切点为， 则，解得， 又因为，所以，解得. （2）由题意得的定义域为，， 当时，恒成立，在上为增函数， 当时，若，，在上为减函数， 若，，在上为增函数； 综上，当时，在上为增函数； 当时，在上为减函数，在上为增函数 （3）方法一：由题意得当时，恒成立， 等价于恒成立，得到， 令，则，解得， 当时，，在上为增函数， 当时，，在上为减函数， 则，故. 方法二：当时，恒成立，等价于恒成立 由（2）可知：①当时，在上为增函数， ，则，无解 ②当时，在上为减函数，在上为增函数， 得到，解得. 4．已知函数.求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标. 【答案】和 【分析】首先求得导数过坐标原点的切线方程，然后将原问题转化为方程求解的问题，据此即可求得公共点坐标. 【详解】由题意可得：，， 则切线方程为：， 切线过坐标原点，则：， 整理可得：，即：， 解得：，则， 切线方程为：， 与联立得， 化简得，由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，是的一个因式，∴该方程可以分解因式为 解得，， 综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和. 5．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)函数在区间上有零点，求的值； (3)记函数，设，是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再求出切点坐标，即可求出切线方程； （2）求出的导数，判断的单调性，利用零点存在性定理判断即可； （3）求函数的导函数，令，依题意方程有两不相等的正实根、，利用韦达定理，结合的取值方程，即可求出的取值范围，则，构造函数，，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而得解． 【详解】（1）因为，所以，则切线斜率为， 又，切点为，所以切线方程为； （2），， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以的极小值为，， 在区间上存在一个零点，此时； 又，， 在区间上存在一个零点，此时， 综上，的值为或； （3）函数，， 所以， 由得，依题意方程有两不相等的正实根、， 则，所以， ，，， 又，，，解得， ， 构造函数，， 所以， 在上单调递减， 所以当时，， 因为恒成立， 所以，则的最大值为． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、解答题 1．（25-26高二下·上海闵行·期末）已知函数的解析式为. (1)求函数的严格单调区间； (2)求函数在闭区间上的最大值与最小值. 【答案】(1)严格递增区间为，严格递减区间为； (2)最大值与最小值分别为. 【分析】（1）求出函数的导数，再解不等式、即可. （2）由（1）的结论，利用单调性求出最值. 【详解】（1）函数的定义域为R，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的严格递增区间为，严格递减区间为. （2）当时，由（1）得函数在上单调递减，在上单调递增， 而， 所以函数在闭区间上的最大值与最小值分别为. 2．已知曲线上的两点和，求： (1)割线AB的斜率； (2)过点A的切线的斜率； (3)点A处的切线的方程． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据斜率公式，即可得到；（2）令，根据导数的定义求出，分成切点为点和不是点两种情况.当切点不是点时，设出切点坐标，表示出切线斜率，得到关系式，求出参数值，得到这种情况不符合，所以斜率即为；（3）根据（2）中求出的斜率，代入点斜式方程，整理即可得到结果. 【详解】（1）由已知可得，. （2）令，， 根据导数的定义可得，. ①当切点为点时，根据导数的几何意义知； ②当切点不是点时. 设切点坐标为，，则， 又，所以有，解得， 因为，所以此时无解. 综上所述，过点A的切线的斜率. （3）由（2）知，曲线在点A处的切线的斜率， 代入点斜式方程有，，整理可得切线的方程为. 3．已知函数. (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)证明：当时，. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）当时， ，，求出，，即可写出点处的切线方程. （2）求出导函数后，对参数与进行讨论，分别求出对应情况下的单调性. （3）要证，即证，求出，再构造新函数求证即可. 【详解】（1）当时， ，所以. 得，点处的切线斜率为， 所以函数的图像在点处的切线方程为：， 即：. （2）由得， 当时，恒成立，则在上单调递减； 当时，令得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增. 综上所述， 当时， 在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）可知，当时， 的最小值. 要证， 只需证 只需证 设. 则，令得. 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以在处取最小值，且， 所以得证， 即得证. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是求出，则将原不等式等价转化为证明，再设新函数，利用导数求出其最值即可. 4．（25-26高三·上海·期末）已知函数．当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】 【分析】当时，恒成立，则对求导，利用导数研究函数的单调性，求出函数在上不等式成立的必要条件，再验证充分性成立，即可求出的取值范围. 【详解】， 设， 则， 当时，， 故在上为单调递增函数， 故，即， 所以在上为增函数，故. 当时，当时，， 故在上为单调递减函数， 故在上， 即在上， 即为单调递减函数， 故在上，，不合题意，舍. 当，此时在上恒成立， 同理可得在上恒成立，不合题意，舍； 综上，的取值范围为. 5．已知，是实数，1和是函数的两个极值点 (1)求，的值. (2)设函数的导函数，求的极值点. (3)设其中求函数的零点个数. 【答案】(1)， (2) (3)当时，函数有5个零点；当时，函数有9个零点. 【分析】（1）求出导函数，根据1和是函数的两个极值点代入方程组求解即可； （2）由(1)得，求出，令，求解讨论即可; （3）分和讨论关于方程的情况，再考虑函数的零点. 【详解】（1）由，得， 因为1和是函数的两个极值点， 所以，解得：，， 当，时，， 所以的单调增区间为，，单调减区间为， 所以经检验当，时，1和是函数的两个极值点. （2）由(1)得，则， 令，解得或， 当时，， 当时，， 当时，， 所以，是极值点，不是极值点， 所以极值点为 （3）令，则， 先讨论关于的方程根的情况：， 当时，由(2)可知的两个不同根为和，注意到为奇函数，。 所以的两个不同根为和， 当时，因为，， 所以，，，都不是的根， 由(1)知， ①当时，，则是单调增函数，从而，此时再上无实数根； ②当时，，则是单调减函数，因为，，则的图象不间断， 所以在内有唯一实根， 同理，在内有唯一实根 ③当时，，则是单调减函数，因为，，则的图象不间断， 所以在内有唯一实根， 因此，当时，有两个不同根，满足，， 当时，有三个不同的根，，，满足，，，， 先考虑函数的零点： (i)当时，有两个根，，满足； 而有三个不同的根，有两个不同的根，故函数有5个零点， (ii) 当时，有两个根，，,满足，,,； 而有三个不同的根，故函数有9个零点， 综上，当时，函数有5个零点； 当时，函数有9个零点. 【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解.这类问题求解的通法是： （1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； （2）求导数，得单调区间和极值点； （3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与轴的交点情况进而求解. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01导数及其应用（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 在点型、过点型切线方程求解 题型02 含参函数单调区间、极值最值讨论 题型03 分离参数法解决恒成立问题 题型04 结合区间判定函数零点数量 题型05 构造函数证明导数型不等式 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 导数的概念与瞬时变化率 理解导数概念及定义，区分导函数与某点导数，会简单求导。 低频基础题（选择/填空），侧重定义理解，无复杂极限。 导数的几何意义 掌握几何意义，会求切线方程，区分“在某点”与“过某点”切线 高频，难度中等，侧重切线求解，“过某点”切线为易错点。 导数的运算 牢记公式法则，熟练求导，准确计算多项式、简单复合函数导数。 高频基础，多作为解答题第一步，计算失误为主要失分点。 导数在研究函数单调性中的应用 会用导数判断单调性、求单调区间，注意定义域限制。 高频，难度中等，常与极值、最值结合，定义域为易错点 导数在研究函数极值与最值中的应用 会求极值与闭区间最值，区分极值与最值 高频解答题，难度中等偏难，失分点在极值判断和最值比较。 导数的实际应用 能建立函数模型，用导数求实际问题最值，验证合理性。 中频解答题，难度中等，核心难点是建立函数模型。 知识点01 导数的概念与瞬时变化率 平均变化率： 瞬时变化率（导数定义）： 导函数定义： ·示例：已知函数，求：（1）在处，时的平均变化率；（2）的值。 解析：（1）平均变化率； （2）由导数定义：。 ·易错点：1. 混淆平均变化率与瞬时变化率，误将平均变化率当作导数； 2. 计算极限时，忽略的条件，直接代入导致分母为0； 3. 区分不清导函数与某点导数，误将当作函数。 知识点02 导数的几何意义 1. 曲线在点处的切线斜率：； 2. 切线方程：。 ·示例：已知函数，求曲线在点处的切线方程。 解析：先求导数，则切线斜率； 代入切线方程公式：，整理得。 ·易错点：1. 误将“过某点”的切线当作“在某点处”的切线，忽略多解情况； 2. 求切线方程时，漏算导数或代入点坐标错误； 3. 混淆切线斜率与导数值，误将函数值当作切线斜率。 知识点03 导数的运算 1. 基本初等函数导数：（为常数），； 2. 四则运算法则：，，； 3. 简单复合函数导数：，则。 ·示例：求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）。 解析：（1）； （2）由乘法法则：； （3）令，则，。 ·易错点：1. 记错基本导数公式，如误写成； 2. 运用除法法则时，分子符号出错，漏写分母平方； 3. 复合函数求导时，漏乘内层函数的导数，如误求导为。 知识点04 导数在研究函数单调性中的应用 1. 若时，，则在上单调递增； 2. 若时，，则在上单调递减； 3. 个别点，不影响函数整体单调性。 ·示例：求函数的单调区间。 解析：先求导数； 令，解得或，故单调递增区间为； 令，解得，故单调递减区间为。 ·易错点：1. 求单调区间时，忽略函数定义域，如分式函数未排除分母为0的情况； 2. 误将的点当作单调区间的分界点，未判断两侧导数符号； 3. 解不等式或时，计算出错，导致区间范围错误。 知识点05 导数在研究函数极值与最值中的应用 1. 极值判断：若，且两侧符号异号，则为极值点（左正右负为极大值，左负右正为极小值）； 2. 闭区间最值：在上的最值，需比较端点值与区间内极值。 ·示例：求函数在闭区间上的极值与最值。 解析：（1）求导数，令，得或； 判断极值：左侧，右侧，故为极大值；左侧，右侧，故为极小值； 求最值：计算端点值，；比较得，最大值为（和处），最小值为（和处）。 ·易错点：1. 误将的点直接当作极值点，未判断两侧导数符号； 2. 求闭区间最值时，遗漏端点值，仅比较极值； 3. 混淆极大值与极小值的判断方法，左正右负与左负右正记反。 知识点06 导数的实际应用（最值问题） 建立函数模型→求导→判断单调性→求极值、最值→验证实际意义 同导数运算、单调性、极值与最值相关公式。 ·示例：某工厂生产一批产品，总成本（为产量，单位：件），求产量为多少时，总成本最低？最低总成本为多少？ 解析：（1）建立函数模型：总成本函数（，且为整数）； （2）求导：，令，得； （3）判断单调性：时，，单调递减；时，，单调递增； （4）求最值：时，取得极小值，也是最小值，； （5）验证：产量为5件时，符合实际意义，最低总成本为5。 ·易错点：1. 建立函数模型时，忽略实际意义，未确定自变量取值范围； 2. 求导后未验证极值是否为实际问题的最值； 3. 计算最值时，未结合自变量的实际约束（如整数、正数），导致结果不符合实际。 题型一 在点型、过点型切线方程求解 解｜题｜技｜巧 1. 在点型（切点明确）：直接求切点处的导数，即为切线斜率，代入切线方程化简即可； 2. 过点型（切点不明确）：先设切点，求导数得斜率，写出切线方程，将已知点代入方程，求解，注意检验，避免漏解； 3. 若切线斜率不存在，直接写切线方程（适用于函数在该点导数不存在但有切线的情况）。 【典例1】求过点且与曲线相切的直线的方程． 【典例2】设曲线在点处的切线与轴、轴分别交于、两点，为坐标原点，求的面积. 【变式1】下图为函数及其在点P处切线的图象， (1)求切线方程； (2)求． 【变式2】已知，分别求曲线在点和点处的切线方程． 题型二 含参函数单调区间、极值最值讨论 答｜题｜模｜板 步骤1：确定函数定义域； 步骤2：求导数，并化简（因式分解或整理为二次函数形式）； 步骤3：分析的方程，结合参数范围分类讨论： ① 方程无解：判断恒正或恒负，确定单调区间，无极值； ② 方程有1个解：判断该点两侧导数符号，确定单调区间，判断是否为极值点； ③ 方程有2个及以上解：比较解的大小，划分区间，判断各区间导数符号，确定单调区间； 步骤4：根据单调区间，求极值（计算极值点处的函数值）； 步骤5：若为闭区间，计算端点函数值，与极值比较，确定最值； 步骤6：总结不同参数范围下的单调区间、极值与最值。 【典例1】已知，函数，当时，讨论函数的单调性. 【典例2】已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求在上的最大值． 【变式1】已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求在上的最大值． 【变式2】（24-25高二下·上海·期末）设函数（）． (1)当时，求的极值； (2)当时，讨论的单调性； (3)若只有一个零点，求实数的取值范围． 题型三 分离参数法解决恒成立问题 答｜题｜模｜板 步骤1：整理恒成立不等式，将参数与自变量分离，得到（或）； 步骤2：确定自变量的取值范围； 步骤3：构造函数，求其在对应区间上的导数； 步骤4：根据的符号，判断的单调区间，求其最值（或）； 步骤5：根据恒成立条件，确定参数的取值范围（注意等号是否成立）； 步骤6：整理参数范围，写成集合或区间形式。 易｜错｜点｜拨 1. 分离参数时，不等号方向判断错误（尤其是自变量范围含负数时）； 2. 构造函数后，求导失误，导致最值计算错误； 3. 忽略自变量的定义域，求最值时超出区间范围； 4. 未验证“等号”是否成立，导致参数范围遗漏端点； 5. 分离参数不彻底，无法转化为单一函数最值问题。 【典例1】（25-26高三·上海·期末）已知函数（）．若恒成立，求a的取值范围． 【典例2】已知函数（其中），当时，不等式恒成立，求整数的最大值． 【变式1】（25-26高二上·上海奉贤·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 【变式2】已知函数为自然对数的底数，若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 题型四 结合区间判定函数零点数量 答｜题｜模｜板 步骤1：确定函数定义域及研究区间； 步骤2：求导数，判断函数在内的单调区间，找到极值点； 步骤3：计算区间端点及所有极值点处的函数值； 步骤4：结合零点存在性定理和单调性，判断每个单调区间内的零点数量： ① 单调区间内，端点函数值异号，有1个零点；② 端点函数值同号，无零点；③ 极值点函数值为0，该点为1个零点； 步骤5：汇总所有单调区间的零点数量，得到函数在上的总零点数。 易｜错｜点｜拨 1. 求导失误，导致单调区间判断错误； 2. 遗漏极值点，未计算极值点处的函数值； 3. 误用零点存在性定理，忽略“单调函数”这一前提； 4. 计算函数值时出错，导致符号判断错误； 5. 忽略区间端点处函数值为0的情况（端点为零点） 【典例1】（25-26高三·上海·期末）设函数．记，若，试讨论在上的零点个数． 【典例2】已知函数，当时，试判断的零点个数并证明． 【变式1】已知为实数，函数. (1)若函数在处的切线斜率为2，求的值； (2)讨论函数在上的零点个数； (3)设表示的最大值，设.当时，，求的取值范围. 【变式2】已知函数.（其中为常数） (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的最小值； (3)当时，试讨论函数的零点个数，并说明理由. 题型五 构造函数证明导数型不等式 答｜题｜模｜板 步骤1：变形原不等式，构造新函数（如不等式左边-右边），确定其定义域； 步骤2：求的导数，化简并判断在定义域内的符号； 步骤3：根据的符号，确定的单调区间、极值或最值； 步骤4：结合的单调性或最值，证明（或）； 步骤5：还原原不等式，得出证明结论。 【典例1】证明： 【典例2】已知函数．当，时，求证：．（参考数据：） 【变式1】已知函数．当时，求证. 【变式2】已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程. (2)证明：无零点. (3)若函数，证明：. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、解答题 1．已知. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值. 2．（25-26高二下·上海·期末）已知函数，其中． (1)若，求的极小值； (2)令，讨论函数的单调性． 3．记（）． (1)若，解不等式：； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 4．已知函数. (1)当时，，求实数的取值范围; (2)若，使得，求证：． 5．已知函数. (1)若，求的取值范围； (2)若关于的方程有两个不同的正实根，证明：. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、解答题 1．已知函数． (1)讨论函数的极值点个数； (2)若恒成立，求实数a的取值范围． 2．已知曲线． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线过原点的切线方程． 3．已知函数. (1)若时，曲线与轴相切，求的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若关于的不等式在区间上恒成立，求的取值范围. 4．已知函数.求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标. 5．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)函数在区间上有零点，求的值； (3)记函数，设，是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、解答题 1．（25-26高二下·上海闵行·期末）已知函数的解析式为. (1)求函数的严格单调区间； (2)求函数在闭区间上的最大值与最小值. 2．已知曲线上的两点和，求： (1)割线AB的斜率； (2)过点A的切线的斜率； (3)点A处的切线的方程． 3．已知函数. (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)证明：当时，. 4．（25-26高三·上海·期末）已知函数．当时，恒成立，求的取值范围． 5．已知，是实数，1和是函数的两个极值点 (1)求，的值. (2)设函数的导函数，求的极值点. (3)设其中求函数的零点个数. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $