专题02 计数原理与统计案例（5大考点期末真题汇编，吉林内蒙古专用）高二数学下学期人教A版

**基本信息** 本试卷聚焦计数原理5大高频考点，精选吉林、内蒙古等地期末试题，以AI绘画、体重管理等社会热点及古诗词竞赛等文化情境为载体，实现基础巩固与综合应用的梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|约20题|排列组合（旅游路线选择）、二项式定理（展开式系数）、回归方程（散点图分析）|基础计算与情境应用结合，如“地图涂色”考查排列组合| |多选题|约10题|杨辉三角（二项式系数性质）、独立性检验（性别与运动关联）|多选项设计深化概念辨析，如杨辉三角行数与和的关系| |填空题|约5题|排列组合（数字排列）、二项式定理（常数项计算）|强调解题技巧，如“偶数数字有序排列”考查受限排列| |解答题|约10题|独立性检验（AI取代画师调查）、回归方程（身高体重建模）|综合应用真实数据，如“电子产品使用时长与近视关系”完整考查统计流程|

专题02 计数原理 地 城 考点01 排列组合 一、单选题 1．C． 2．D. 3．A 4．. 5．B 6．C 7．B． 8．D. 9．C 10．B 二、多选题 11．BCD 三、填空题 12．40 13．3 14． 15． 四、解答题 16．【详解】（1）甲、乙报同一项目，可以在A、B、C三个智力竞赛项目中任选一个，有种方法， 接下来丁可以在A、B、C三个智力竞赛项目中任选一个，有种方法， 最后丙不报A项目，共有种方法. 则甲、乙报同一项目，丙不报A项目共有种报名方法. （2）由题意，若B、C项目各有一人，先在乙、丙、丁三名同学中任选一人，有种方法，此人与甲在B、C项目中全排列，有种方法，余下的二人去参加A项目，有1种方法.则方法总数为种报名方法； 若B、C项目各有两人，则先给B项目选人，有种方法，再给C项目选人，有种方法，则方法总数为种报名方法. 所以甲不报A项目，且B、C项目报名的人数相同的报名方法共有种. 地 城 考点02 二项式定理 一、单选题 1．C 2．B． 3．C. 4．B． 5．D 6．A． 7．C 8．B 9．C. 二、多选题 10．BC 11．ACD 12．BC 13．BD 14．ABD 15．ABD 三、填空题 16．112 17．20 四、解答题 18．【详解】（1）令得； （2）等于的展开式的各个项系数的和， 令代入， 则 （3）令，. 则， 且， 令，则， 且， 所以. 地 城 考点03 杨辉三角 一、多选题 1．BCD 2．BCD 地 城 考点04 回归方程 一、单选题 1．A 二、多选题 2．ACD 3．BD 三、填空题 4．. 5．290 四、解答题 6．【详解】（1）略 （2）因为， 所以， 所以体重关于身高的回归方程为， 所以当时，. 即某同学身高为时，体重大概为. 地 城 考点05 独立性检验 一、多选题 1．BC. 二、解答题 2．【详解】（1）完成列联表如下： 年龄 理解情况 总计 会取代 不会取代 30岁以下 18 12 30 30岁及以上 24 6 30 总计 42 18 60 （2）零假设为：年龄与理解情况相互独立，即年龄与理解情况无关， 由题意，． 所以根据小概率值的独立性检验，我们推断成立． 即认为年龄与理解情况无关，此推断犯错误的概率不大于0.010． 3．【详解】列联表如下： 单位：人 满意程度 性别 合计 男生 女生 满意 120 30 150 不满意 80 70 150 合计 200 100 300 零假设为：满意程度与性别无关，， 所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即能认为满意程度与性别有关系，此推断犯错误的概率不大于0.001. 4．【详解】（1）列联表如下． 对新课程教学模式 教师身份 合计 老教师 青年教师 赞同 10 24 34 不赞同 10 6 16 合计 20 30 50 （2）零假设为：对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关， 由公式得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可认为对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关； （3）青年教师对新课程教学模式赞同的频率为， 所以在该校任取一位青年教师赞同新课程教学模式的概率为， 3位教师中恰好有两位赞同新课程教学模式的概率为. 5．【详解】（1）列联表如下： 近视学生 非近视学生 合计 每天使用时长不低于2小时 145 105 250 每天使用时长低于2小时 30 120 150 合计 175 225 400 零假设：“学生近视”与“每天使用电子产品的时长是否低于2小时”无关联． 因为， 根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立， 即认为“学生近视”与“每天使用电子产品时长是否低于2小时”有关联，此推断犯错误的概率不超过0.001． （2）由分层随机抽样知：在每天使用电子产品不低于2小时的学生中抽取人， 在每天使用电子产品低于2小时的学生中抽取人． 所以的可能取值为0，1，2，3，4，5， 所以， ， 故的分布列为： 0 1 2 3 4 5 所以. 6．【详解】（1）列联表中部分数据补充如下： 有减肥的想法 没有减肥的想法 合计 男性居民 女性居民 合计 180 400 由上知，有，可得， 完成列联表如下： 有减肥的想法 没有减肥的想法 合计 男性居民 100 100 200 女性居民 80 120 200 合计 180 220 400 （2）零假设为：性别与是否有减肥的想法无关， 由， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 故能认为性别与是否有减肥的想法有关； （3）由表格中的数据知，从男性居民中抽取1人，其“有减肥想法”的概率为， 的取值可以是0，1，2，3，4，且， 所以. 7．【详解】（1）零假设：数学成绩优秀与整理数学错题集习惯无关联 由题设， 故依据小概率值的独立性检验，不能认为零假设成立， 故认为数学成绩优秀与整理数学错题集习惯有关联； （2）由分层抽样的等比例性质，5人中有2人优秀，3人非优秀， 所以优秀学生人数，且，，， 故分布列如下， 0 1 2 则. 8．【详解】（1）完成的列联表如下： 喜欢 不喜欢 合计 男性 60 40 100 女性 35 65 100 合计 95 105 200 ． ∴有99％的把握认为人们是否喜欢喝啤酒与性别有关． （2）根据题意可知，男性品尝者中喜欢和不喜欢的比例为， 利用分层抽样随机抽取的5名品尝者中，有3人喜欢喝啤酒，有2人不喜欢喝啤酒． 随机变量，2，3． ；；． X的分布列为 X 1 2 3 P ． 9．【详解】（1）男生人数为， 所以女生人数为，于是可完成列联表如下： 单位：人 满意 不满意 合计 男生 30 25 55 女生 50 15 65 合计 80 40 120 零假设为：对线上教育是否满意与性别无关. 计算可得 ， 依据的独立性检验，推断不成立，即认为对线上教育是否满意与性别有关. （2）由（1）可知男生抽取3人，女生抽取5人，依题可知的可能取值为0，1，2，3， 并且服从超几何分布，，即 ，， ，. 所以的分布列为 0 1 2 3 可得. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 计数原理 5大高频考点概览 考点01排列组合 考点02二项式定理 考点03杨辉三角 考点04回归方程 考点05独立性检验 地 城 考点01 排列组合 一、单选题 1．(24-25高二下·吉林长春外五县·期末)计算（   ） A．6 B．35 C．41 D．45 【答案】C 【分析】根据组合数及排列数计算求解. 【详解】，，， 故选：C． 2．(24-25高二下·吉林吉林永吉实验高级中学等校·期末)用、、、可以组成没有重复数字的三位数的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用排列计数原理可求得结果. 【详解】用、、、可以组成没有重复数字的三位数的个数是. 故选：D. 3．(24-25高二下·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期末)已知甲、乙、丙、丁、戊5名同学站一排照相，要求甲、乙站在丙、丁之间，则不同站法有（   ） A．20 B．30 C．36 D．48 【答案】A 【分析】由题意甲、乙站在丙、丁之间，先排丙、丁，再将甲、乙排在丙、丁之间，再排戊以及分步乘法计算原理即可得出. 【详解】由题意先将丙、丁排列有种站法， 再将甲、乙排在丙、丁之间有种站法， 最后在排好的4人所形成的5个空挡中选一个站戊， 有种站法， 根据分步乘法计数原理， 得共有种不同的站法. 故选：A. 4．(24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末)某旅行社设计了4条不同的旅游路线，甲要从中任选2条路线，分别在假期7月和8月出游，则不同的选择及安排方法有（    ） A．24种 B．16种 C．12种 D．6种 【答案】C 【分析】从四个当中选两个安排在不同日期，意味着有顺序需要用排列解决. 【详解】由题意可得不同的选择及安排方法有种. 故选：. 5．(24-25高二下·吉林友好学校·期末)某省专家组为评审某市是否达到“生态园林城市”的标准，从6位专家中选出2位组成评审委员会，则组成该评审委员会的不同方式共有（ 　） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用组合的定义直接列式作答. 【详解】依题意，从6位专家中选出2位组成评审委员会是组合问题， 所以组成该评审委员会的不同方式共有种. 故选：B 6．(24-25高二下·内蒙古部分学校·期末)方程的正整数解共有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】C 【分析】转化为将21瓶相同的矿泉水分给5人，每人至少1瓶，利用隔板法求解即可. 【详解】原题等价于下面这个问题： 将21瓶相同的矿泉水分给5人，每人至少1瓶，有多少种不同的分法? 由隔板法可得，方程的正整数解共有组． 故选：C 7．(24-25高二下·吉林长春G8教考联盟·期末)从5名男生和4名女生中选出4人参加比赛，如果4人中须既有男生又有女生，选法有（　　）种 A．21 B．120 C．60 D．91 【答案】B 【分析】根据题意，先计算从9人中选出4人的选法数目，再排除其中“只有男生没有女生的选法”和“只有女生没有男生的选法”，即可得答案． 【详解】根据题意，从5名男生和4名女生共9人中选出4人去参加辩论比赛，有＝126种选法， 其中只有男生没有女生的选法有＝5种，只有女生没有男生的选法有＝1种， 则4人中既有男生又有女生的不同选法共有126﹣5﹣1＝120种； 故选B． 8．(24-25高二下·内蒙古呼和浩特和林格尔县民族中学·期末)从7名男运动员和3名女运动员中选出2人组队参加乒乓球混合双打比赛，则不同的选法共有（    ） A．12种 B．18种 C．20种 D．21种 【答案】D 【分析】根据分步乘法计算原理求解即可. 【详解】7名男运动员选1名组对有7种选法，3名女生选1名组对有3种选法， 则不同的选法共有种． 故选：D. 9．(24-25高二下·吉林吉林普通高中友好学校联合体·期末)北京市某高中高一年级5名学生参加“传承诗词文化，赓续青春华章”古诗词知识竞赛，比赛包含“唐诗”、“宋词”、“元曲”三个项目，规定每个项目至少有一名学生参加且每名学生只能报一个项目，则符合要求的参赛方法种类数为（    ） A．60 B．90 C．150 D．240 【答案】C 【分析】根据分组分配问题，结合排列组合即可求. 【详解】依题意5名同学参加三个项目比赛，每个项目至少有一名同学先分组再排列， 5人分为：1,1,3，则有种； 5人分为：1,2,2，则有种， 所以一共有种方法； 故选：C. 10．(24-25高二下·吉林长春外五县·期末)如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有4种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（    ）    A．96 B．144 C．480 D．600 【答案】B 【分析】由分步乘法计数原理按步骤去涂色即可. 【详解】第一步涂陕西有4种选择，第二步涂湖北有3种选择，第三步涂安徽有3种选择，第四步涂江西有2选择，第五步涂湖南有2种选择， 所以共有种涂色方案. 故选：B 二、多选题 11．(24-25高二下·吉林长春G8教考联盟·期末)（多选）下列叙述正确的是（   ） A．甲、乙、丙等5人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有36种排法 B．用数字0，1，2，3这四个数可以组成没有重复数字的四位数共有18个 C．4个人分别从3个景点中选择一处游览，有81种不同选法 D．正十二边形的对角线的条数是54 【答案】BCD 【分析】应用间接法求不同排法数判断A；先排千位，再排其它三位判断B；应用分步计数原理判断C；根据对角线定义及分步计数原理求对角线条数判断D. 【详解】A：将5人作全排列有种，先求甲丙相邻的情况，将甲和丙捆绑，再和其他三人全排列，有， 若甲与丙不相邻，则共有种，错； B：从1、2、3中选一个放在千位有种，再把余下的3个数作全排种，共有种，对； C：由题意，每个人都有3种选择，故共有种，对； D：对于任意一个顶点都有9条对角线，但会重复计算一次，故共有条，对. 故选：BCD 三、填空题 12．(24-25高二下·内蒙古呼和浩特和林格尔县民族中学·期末)的值为______. 【答案】40 【分析】根据组合数和排列数公式计算即可. 【详解】. 故答案为：40 13．(24-25高二下·吉林友好学校·期末)若，则_________. 【答案】3 【分析】应用排列公式解排列数方程即可. 【详解】由题设，且，， 则， 所以，则， 所以，可得（非整数解舍）. 故答案为：3 14．(24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末)某英语听力测试规则如下：测试者听一段录音材料，录音材料用标准的英式英语依次朗读4个发音相近的英文单词，该段录音材料仅播放一遍，播放完后，测试者根据刚刚播放的录音材料确认录音材料中4个英文单词的先后朗读顺序，即完成一次测试.若测试者甲在一次测试中每正确答出一个英文单词的朗读顺序加20分，则测试者甲在一次测试中所得分数不高于60分且至少正确答出一个英文单词朗读顺序的概率为__________. 【答案】 【分析】求出测试者甲在一次测试中正确答出的英文单词朗读顺序个数可能以及对应得分，求出为甲得80分的概率，得0分的情况数及概率即可求解. 【详解】根据题意得测试者甲在一次测试中正确答出的英文单词朗读顺序个数可能为0，1，2，4，其对应得分分别为0，20，40，80， 因为甲得80分的概率为，得0分的情况有9种，得0分的概率为， 所以测试者甲在一次测试中所得分数不高于60分且至少正确答出一个英文单词朗读顺序的概率为. 故答案为：. 15．(24-25高二下·吉林长春外五县·期末)由这七个数字组成没有重复数字的七位数，且偶数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的七位数有__________个． 【答案】90 【分析】由题可知，偶数排列顺序固定且0只能在6，5，4位，奇数可任意排列，据此可得答案. 【详解】因偶数排列顺序固定且0只能在6，5，4位，奇数可任意排列，则 当0排在第6位时，共有（个）数； 当0排在第5位时，共有（个）数； 当0排在第4位时，共有（个）数， 故这样的七位数共有（个）． 故答案为： 四、解答题 16．(24-25高二下·吉林友好学校·期末)甲、乙、丙、丁四名同学报名参加A、B、C三个智力竞赛项目，每个人都要报名参加.分别求在下列情况下的不同报名方法的种数. (1)甲、乙报同一项目，丙不报A项目； (2)甲不报A项目，且B、C项目报名的人数相同. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按分步计数原理去求解即可解决； （2）先分类再分步去求甲不报A项目，且B、C项目报名的人数相同的方法数即可. 【详解】（1）甲、乙报同一项目，可以在A、B、C三个智力竞赛项目中任选一个，有种方法， 接下来丁可以在A、B、C三个智力竞赛项目中任选一个，有种方法， 最后丙不报A项目，共有种方法. 则甲、乙报同一项目，丙不报A项目共有种报名方法. （2）由题意，若B、C项目各有一人，先在乙、丙、丁三名同学中任选一人，有种方法，此人与甲在B、C项目中全排列，有种方法，余下的二人去参加A项目，有1种方法.则方法总数为种报名方法； 若B、C项目各有两人，则先给B项目选人，有种方法，再给C项目选人，有种方法，则方法总数为种报名方法. 所以甲不报A项目，且B、C项目报名的人数相同的报名方法共有种. 地 城 考点02 二项式定理 一、单选题 1．(24-25高二下·内蒙古赤峰·期末)的展开式中的系数是（   ） A．80 B．16 C．10 D．8 【答案】C 【分析】根据二项式定理展开式的通项公式求解即可. 【详解】的展开式的通项， 令，得，所以的系数是. 故选：C 2．(24-25高二下·吉林友好学校·期末)在的展开式中，常数项为（   ） A． B．15 C． D．30 【答案】B 【分析】由二项展开式通项公式求解． 【详解】， 令，得， ∴常数， 故选：B． 3．(24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末)展开式中的系数为（   ） A． B．180 C． D．960 【答案】C 【分析】根据二项式展开式通项公式计算求解. 【详解】因为通项， 令，得. 故选：C. 4．(24-25高二下·吉林长春外五县·期末)的展开式中，的系数与常数项之差为（   ） A．20 B．19 C． D． 【答案】B 【分析】化简式子，然后分别按照二项式定理的性质计算即可. 【详解】，展开式中的系数为， 常数项为2，故的系数与常数项之差为． 故选：B． 5．(24-25高二下·吉林吉林普通高中友好学校联合体·期末)展开式中的常数项为（   ） A．5 B． C．80 D． 【答案】D 【分析】应用二项式展开式通项求常数项. 【详解】由题设，展开式通项为，， 当时，有. 故选：D 6．(24-25高二下·吉林长春外五县·期末)已知的展开式中含有常数项，则n的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】写出通项，然后判断即可. 【详解】展开式的通项为， 则当时，n取最小值4. 故选：A． 7．(24-25高二下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期末)已知的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则的值为 A．14 B．10 C．14或23 D．10或23 【答案】C 【解析】利用二项式定理展开式的通项公式求出第9项、第10项、第11项的二项式系数，再结合等差中项求解. 【详解】由题意得，即，化简得，解得或 8．(24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末)除以64的余数为（   ） A．13 B．33 C．23 D．31 【答案】B 【分析】利用二项式定理得到，所求余数即为801除以64的余数，得到答案. 【详解】因为 ， 且显然能被64整除， 所以所求余数即为801除以64的余数. 因为，所以除以64的余数为33. 故选：B 9．(24-25高二下·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期末)化简：（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】由二项式定理写可得答案. 【详解】因为， ，所以. 故选：C. 二、多选题 10．(24-25高二下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期末)（多选）若，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C．当时，除以8的余数是1 D．展开式中二项式系数最大项为第3项 【答案】BC 【分析】利用赋值法可判断AC，利用导数可判断B，利用二项式系数的性质可判断D. 【详解】对于A，令，可得，令，可得， 所以，故A错误； 对于B，， 两边求导，可得， 令，可得，故B正确； 对于C，当时，，所以除以8的余数是1，故C正确； 对于D，展开式共有7项，所以展开式中二项式系数最大项为第4项，故D错误. 故选：BC. 11．(24-25高二下·吉林吉林普通高中友好学校联合体·期末)（多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据给定的等式，利用二项式定理，结合赋值法逐项求解判断. 【详解】对于A，取，得，A正确； 对于B，取，得，因此，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，取，得， 因此，D正确. 故选：ACD 12．(24-25高二下·吉林吉林永吉实验高级中学等校·期末)（多选）在二项式的展开式中，下列结论正确的是（   ） A．常数项为-64 B．含的项的系数为-160 C．所有的二项式系数之和为64 D．所有项的系数之和为-1 【答案】BC 【分析】利用二项式定理得展开式为可对A、B判断求解；利用二项式系数的性质可判断C，利用赋值法求出展开式系数和可判断D 【详解】A：由题得二项式的展开式为，当时为常数项，且系数为，故A错误； B：当时，系数为，故B正确； C：因，所有的二项式系数之和为，故C正确； D：令，得所有项的系数之和为，故D错误. 故选：BC. 13．(24-25高二下·内蒙古呼和浩特和林格尔县民族中学·期末)（多选）关于的展开式，下列判断正确的是（    ） A．展开式共有6项 B．展开式的各二项式系数的和为64 C．展开式的第6项的系数为30 D．展开式中二项式系数最大的项是第4项 【答案】BD 【分析】根据二项式定理逐一判断即可. 【详解】解：展开式共有7项，故A错误； 展开式的各二项式系数的和为，故B正确； 展开式的第6项是，其系数为-30，故C错误； 展开式共7项，所以第4项的二项式系数最大，故D正确. 故选:. 14．(24-25高二下·内蒙古部分学校·期末)（多选）已知的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则（   ） A． B．各项系数之和为 C．第3项的二项式系数最大 D．常数项为 【答案】ABD 【分析】根据二项式系数和的性质列式求得，判断A，令得各项系数之和判断B，根据二项式系数的性质判断C，求出展开式的通项，令得，代入即可求常数项判断D. 【详解】根据各项的二项式系数之和为64，可得，解得，A正确． 令，则各项系数之和为，B正确． 因为，所以第4项的二项式系数最大，C错误． 的展开式的通式为， 令得，故所求的常数项为，D正确． 故选：ABD 15．(24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末)（多选）已知，则（    ） A． B． C．的展开式的二项式系数之和为 D． 【答案】ABD 【分析】令得即可判断A，利用二项式定理的通项公式求即可判断B，二项式系数之和为即可判断C，令和即可求即可判断D. 【详解】由题意有：令有，故A正确； 由，故B正确； 的展开式的二项式系数之和为，故C错误； 令有， 令有， 两式相加有，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 16．(24-25高二下·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期末)二项式的展开式中的常数项为______________． 【答案】112 【详解】试题分析：由二项式通项可得，（r=0,1,…,8）,显然当时，，故二项式展开式中的常数项为112. 考点：二项式通项． 17．(24-25高二下·吉林长春G8教考联盟·期末)的二项展开式的常数项为_______ 【答案】20 【详解】的二项展开式的通项为． 令得．所以的二项展开式的常数项为． 四、解答题 18．(24-25高二下·吉林吉林普通高中友好学校联合体·期末)若，请求值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)1 (2)65536 (3)3072 【分析】（1）利用赋值法，令即可求解， （2）在中令即可求解， （3）求导后赋值即可求解. 【详解】（1）令得； （2）等于的展开式的各个项系数的和， 令代入， 则 （3）令，. 则， 且， 令，则， 且， 所以. 地 城 考点03 杨辉三角 一、多选题 1．(24-25高二下·内蒙古赤峰·期末)（多选）“杨辉三角”是中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中首次记载的，比欧洲早393年．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（   ）    A．第6行中，有两个相等的最大数 B． C．第行所有数之和为 D．在第3行以后，还会出现全为奇数的行 【答案】BCD 【分析】根据由杨辉三角的规律直接写出第6、7行可判断AD；利用性质化简可判断B；由二项式系数性质可判断C. 【详解】对A，由杨辉三角的规律可知，第6行的数为：，最大数只有一个，错误； 对B， ，正确； 对C，由二项式系数性质可知，第行所有数之和为，正确； 对D，由杨辉三角的规律可知，第6行的数为：， 第7行的数为：，所有数都是奇数，正确. 故选：BCD 2．(24-25高二下·吉林长春外五县·期末)（多选）以下关于杨辉三角的猜想中，正确的有（   ） A．第100行中，从左到右看第50个数最大 B．第100行的所有数的和为 C． D． 【答案】BCD 【分析】根据二项式系数的增减性判断A，根据组合数运算及性质计算判断B，C，D. 【详解】对于A选项，由二项式系数的增减性可知，第100行中共有101个数，从左到右看第51个数最大，A错误； 对于B选项，第100行的所有数的和为，B正确； 对于C选项，由组合数的性质可得，C正确； 对于D选项， ，D正确． 故选：BCD． 地 城 考点04 回归方程 一、单选题 1．(24-25高二下·吉林长春G8教考联盟·期末)对四组数据进行统计，获得以下散点图，将四组数据对应的相关系数进行比较，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的散点图，结合相关系数的意义判断即得. 【详解】由图知，对应的与负相关，且对应的相关性更强，即； 对应的与正相关，且对应的相关性更强，即， 所以. 故选：A 二、多选题 2．(24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末)（多选）小张同学收集了某商品销售收入y（单位：万元）与相应的广告支出x（单位：万元）共10组数据，绘制出散点图，如下图所示，并利用线性回归模型进行拟合．她将图中10个点中的A点去掉后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（    ）． A．决定系数变大 B．残差平方和变大 C．相关系数r的值变大 D．去掉A点后，若所有散点都在一条直线上，则决定系数 【答案】ACD 【分析】根据散点图的特征可得点较其他点偏离直线更远，从而可得去掉点后，回归效果更好，故可判断ABC的正误，根据残差和为零可判断D的正误. 【详解】由散点图可知，点较其他点偏离直线更远， 去掉点后，回归效果更好，残差平方和变小，决定系数变大； 自变量与因变量的相关性变强，又与正相关，所以相关系数的值变大； 当所有散点都在一条直线上时，残差平方和为，决定系数， 故ACD正确，B错误. 故选：ACD. 3．(24-25高二下·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期末)（多选）对四组样本数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的关系，正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据散点图分析数据的正（负）相关及相关性的强弱，即可判断相关系数的特征. 【详解】由图形特征可知，对应的样本数据都是负相关，所以，都是负数， 又对应的样本数据比对应的样本数据的线性相关程度更强，所以， ，对应的样本数据都是正相关，又对应的样本数据比对应的样本数据的线性相关程度更强， 所以，所以BD正确． 故选：BD． 三、填空题 4．(24-25高二下·吉林吉林永吉实验高级中学等校·期末)为了比较E、F、G、H四组数据的线性相关性强弱，某同学分别计算了E、F、G、H四组数据的线性相关系数，求得数值依次为，，，，则这四组数据中线性相关性最强的是______组数据. 【答案】 【分析】借助相关系数的性质计算即可得. 【详解】因为线性相关系数的绝对值越大，线性相关性越强， 且， 所以H组数据的线性相关性最强. 故答案为：. 5．(24-25高二下·吉林友好学校·期末)为研究变量x，y的相关关系，收集得到如下数据： x 1 2 3 4 5 y 60 若由最小二乘法求得y关于x的线性回归方程为，并据此计算在样本点处的残差为0，则______． 【答案】290 【分析】先利用残差的计算公式求出，再根据回归直线过样本点的中心求出，即可得解． 【详解】因为在样本点处的残差为0， 所以，得， 则y关于x的线性回归方程为． 因为，所以， 所以． 故答案为： 四、解答题 6．(24-25高二下·吉林长春外五县·期末)某研究小组为了解青少年的身高与体重的关系，随机从15岁人群中选取了9人，测得他们的身高（单位：cm）和体重（单位：kg），得到如下数据： 样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 均值 身高 165 157 156 173 163 159 177 161 165 164 体重 53 46 48 56 57 49 60 45 54 52 (1)若两组变量间的样本相关系数满足，则称其为高度相关，试判断青少年身高与体重是否高度相关，说明理由（精确到0.01）； (2)建立关于的经验回归方程，并预测某同学身高为时，体重的估计值（保留整数）. 参考数据：，，，，. 参考公式：样本相关系数，经验回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为：，. 【答案】(1). 因为（或）， 所以，即身高与体重间是高度相关的； (2)，身高为的某同学，体重大概为 【分析】（1）根据题意，由相关系数的公式代入计算，即可判断； （2）根据题意，由最小二乘法公式代入计算，分别求得，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）略 （2）因为， 所以， 所以体重关于身高的回归方程为， 所以当时，. 即某同学身高为时，体重大概为. 地 城 考点05 独立性检验 一、多选题 1．(24-25高二下·吉林友好学校·期末)（多选）某校团委对“学生性别和喜欢运动是否有关”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生喜欢运动的人数占男生人数的，女生喜欢运动的人数占女生人数的，若有95%的把握，但没有99%的把握认为“是否喜欢运动和性别有关”，则被调查人中男生可能有（   ） 临界值参照表： A．25人 B．45人 C．60人 D．75人 【答案】BC 【分析】设男生人数为，写出列联表，计算出，根据临界值列不等式求解. 【详解】设男生人数为，则女生人数也为，列联表如下： 喜欢运动的人数 不喜欢运动的人数 合计 男生 女生 合计 ， 由题意，解得， 故选：BC. 二、解答题 2．(24-25高二下·吉林长春外五县·期末)人们曾经相信，艺术家将是最后被AI所取代的职业，但技术的进步已经将这一信念敲出了裂痕，这可能是AI第一次引起人类的恐慌．由novalAI，DALL-E2等软件创作出来的绘画作品风格各异，乍看之下，已与人类绘画作品无异．AI会取代人类画师吗？某机构随机对60人进行了一次调查，统计发现认为会取代的有42人，30岁以下认为不会取代的有12人，占30岁以下调查人数的． (1)根据以上数据完成如下列联表： 年龄 理解情况 总计 会取代 不会取代 30岁以下 12 30岁及以上 总计 42 60 (2)依据小概率值的独立性检验，能否认为年龄与理解情况有关？ 附： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中． 【答案】(1)答案见解析 (2)年龄与理解情况无关 【分析】（1）依据题意直接计算即可； （2）计算卡方判断. 【详解】（1）完成列联表如下： 年龄 理解情况 总计 会取代 不会取代 30岁以下 18 12 30 30岁及以上 24 6 30 总计 42 18 60 （2）零假设为：年龄与理解情况相互独立，即年龄与理解情况无关， 由题意，． 所以根据小概率值的独立性检验，我们推断成立． 即认为年龄与理解情况无关，此推断犯错误的概率不大于0.010． 3．(24-25高二下·内蒙古呼和浩特和林格尔县民族中学·期末)某学校为全面提高学生的语文素养和阅读水平，构建“书香校园”，特举办“课外阅读知识竞赛”，为了调查学生对这次活动的满意程度，在所有参加“课外阅读知识竞赛”的同学中抽取容量为300的样本进行调查，并得到如下列联表： 单位：人 满意程度 性别 合计 男生 女生 满意 120 不满意 150 合计 200 请补全上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为满意程度与性别有关系. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】列联表见解析，能认为满意程度与性别有关，且犯错误的概率不大于0.001 【分析】完成列联表，并利用独立性检验的步骤完成计算即可. 【详解】列联表如下： 单位：人 满意程度 性别 合计 男生 女生 满意 120 30 150 不满意 80 70 150 合计 200 100 300 零假设为：满意程度与性别无关，， 所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即能认为满意程度与性别有关系，此推断犯错误的概率不大于0.001. 4．(24-25高二下·吉林长春十一高中·)某省进行高中新课程改革，为了解教师对新课程教学模式的使用情况，某一教育机构对某学校的教师关于新课程教学模式的使用情况进行了问卷调查，共调查了50人，其中有老教师（50岁以上）20人，青年教师（49岁以下）30人．老教师对新课程教学模式赞同的有10人，不赞同的有10人；青年教师对新课程教学模式赞同的有24人，不赞同的有6人． (1)根据以上数据建立一个列联表； (2)试根据小概率值的独立性检验，分析对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄是否有关系； (3)以样本频率作为概率，在该校任取3位青年教师，求这3位教师中恰好有两位赞同新课程教学模式的概率． 附：，，其中 ，. 【答案】(1)答案见解析 (2)对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关 (3) 【分析】（1）根据题意列出列联表即可； （2）零假设为：对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关，求出即可求解； （3）求出青年教师对新课程教学模式赞同的频率，求出在该校任取一位青年教师赞同新课程教学模式的概率，求出3位教师中恰好有两位赞同新课程教学模式的概率. 【详解】（1）列联表如下． 对新课程教学模式 教师身份 合计 老教师 青年教师 赞同 10 24 34 不赞同 10 6 16 合计 20 30 50 （2）零假设为：对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关， 由公式得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可认为对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关； （3）青年教师对新课程教学模式赞同的频率为， 所以在该校任取一位青年教师赞同新课程教学模式的概率为， 3位教师中恰好有两位赞同新课程教学模式的概率为. 5．(24-25高二下·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期末)某市疾控中心为研究青少年每日使用电子产品的时长与近视的关系，随机抽取了400名学生进行调查，将数据整理后得到如下列联表： 近视学生 非近视学生 合计 每天使用时长不低于2小时 105 250 每天使用时长低于2小时 合计 175 400 (1)完善列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为“学生近视”与“每天使用电子产品的时长是否低于2小时”有关联？ (2)按每天使用电子产品的时长是否低于2小时，利用分层随机抽样的方法从非近视的学生中抽取15人进一步调查其用眼卫生情况，再从这15人中随机抽取5人，记为所抽5人中每天使用电子产品不低于2小时的人数，求的分布列和数学期望． 参考公式：，其中， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析，有关联； (2)分布列见解析，. 【分析】（1）根据已知完善列联表，应用卡方公式求卡方值，结合独立检验的基本思想得到结论； （2）根据已知的可能取值为0，1，2，3，4，5，应用超几何分布的概率公式求对应概率，即可得分布列，进而求期望. 【详解】（1）列联表如下： 近视学生 非近视学生 合计 每天使用时长不低于2小时 145 105 250 每天使用时长低于2小时 30 120 150 合计 175 225 400 零假设：“学生近视”与“每天使用电子产品的时长是否低于2小时”无关联． 因为， 根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立， 即认为“学生近视”与“每天使用电子产品时长是否低于2小时”有关联，此推断犯错误的概率不超过0.001． （2）由分层随机抽样知：在每天使用电子产品不低于2小时的学生中抽取人， 在每天使用电子产品低于2小时的学生中抽取人． 所以的可能取值为0，1，2，3，4，5， 所以， ， 故的分布列为： 0 1 2 3 4 5 所以. 6．(24-25高二下·吉林吉林永吉实验高级中学等校·期末)3月9日，在十四届全国人大三次会议举行的记者会上，国家卫生健康委员会主任雷海潮表示，体重管理年实施的首期三年体重管理行动，目的是“在全社会形成重视体重､管好体重，健康饮食､积极参与运动锻炼等良好的生活方式和习惯.”由于肥胖对人体健康的危害，某健康咨询机构为了了解居民是否有减肥的想法，随机调查了400名居民，得到如下列联表： 有减肥的想法 没有减肥的想法 合计 男性居民 女性居民 合计 180 (1)求的值，并完成上述列联表； (2)根据小概率值的独立性检验，能否认为性别与是否有减肥的想法有关？ (3)以样本估计总体，且以频率估计概率，若从男性居民中随机抽取4人，记其中“有减肥想法”的人数为，求的期望值. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1), 有减肥的想法 没有减肥的想法 合计 男性居民 100 100 200 女性居民 80 120 200 合计 180 220 400 (2)有关 (3) 【分析】（1）由表，得，可得，再填表即可； （2）根据列联表，求得值，再与临界值表对照下结论； （3）先求“有减肥想法”的概率为，再用二项分布期望公式计算. 【详解】（1）列联表中部分数据补充如下： 有减肥的想法 没有减肥的想法 合计 男性居民 女性居民 合计 180 400 由上知，有，可得， 完成列联表如下： 有减肥的想法 没有减肥的想法 合计 男性居民 100 100 200 女性居民 80 120 200 合计 180 220 400 （2）零假设为：性别与是否有减肥的想法无关， 由， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 故能认为性别与是否有减肥的想法有关； （3）由表格中的数据知，从男性居民中抽取1人，其“有减肥想法”的概率为， 的取值可以是0，1，2，3，4，且， 所以. 7．(24-25高二下·吉林长春G8教考联盟·期末)为了研究高中学生平时的数学成缆和整理数学错题习惯的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校抽取100名学生进行调查统计．数据如下： 整理数学错题习惯 数学成绩 合计 优秀 非优秀 有 20 30 50 没有 10 40 50 合计 30 70 100 (1)依据小概率值的独立性检验，是否认为数学成绩优秀与整理数学错题集习惯有关联； (2)在调查统计有整理数学错题集习惯的50名学生中，采用比例分配的分层随机抽样的方法选取5人组建研讨小组，再从5人研讨小组中随机抽取3人进行访谈，用表示访谈时成绩优秀的人数，求的分布列及数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)有关； (2)分布列见解析，期望为. 【分析】（1）先求卡方值，根据独立检验的基本思想得结论即可； （2）由已知5人中有2人优秀，3人非优秀，则并求出对应概率，即可得分布列，进而求期望. 【详解】（1）零假设：数学成绩优秀与整理数学错题集习惯无关联 由题设， 故依据小概率值的独立性检验，不能认为零假设成立， 故认为数学成绩优秀与整理数学错题集习惯有关联； （2）由分层抽样的等比例性质，5人中有2人优秀，3人非优秀， 所以优秀学生人数，且，，， 故分布列如下， 0 1 2 则. 8．(24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末)某调查小组为了了解人们是否喜欢喝啤酒与性别有关，随机调查了200名品尝者，得到以下不完善的列联表． (1)完成以下2×2列联表，能否有99％的把握认为人们是否喜欢喝啤酒与性别有关？ 喜欢 不喜欢 合计 男性 40 女性 100 合计 95 200 (2)根据是否喜欢喝啤酒利用分层抽样的方法从男性品尝者中随机抽取5人，再从这5人中随机选出3人进行深入交流，记这3人中喜欢喝啤酒的人数为X，求随机变量X的分布列、期望． 附：，． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)列联表见解析；有99％的把握认为人们是否喜欢喝啤酒与性别有关，理由见解析 (2)分布列见解析；期望为 【分析】（1）完善列联表，计算出卡方，与6.635比较后得到结论； （2）计算出5名品尝者中，有3人喜欢喝啤酒，有2人不喜欢喝啤酒，从而得到X的可能取值和对应的概率，得到分布列,计算出数学期望. 【详解】（1）完成的列联表如下： 喜欢 不喜欢 合计 男性 60 40 100 女性 35 65 100 合计 95 105 200 ． ∴有99％的把握认为人们是否喜欢喝啤酒与性别有关． （2）根据题意可知，男性品尝者中喜欢和不喜欢的比例为， 利用分层抽样随机抽取的5名品尝者中，有3人喜欢喝啤酒，有2人不喜欢喝啤酒． 随机变量，2，3． ；；． X的分布列为 X 1 2 3 P ． 9．(24-25高二下·吉林友好学校·期末)2020年3月，由于疫情的影响，各地学生在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为，男生中有30人对线上教育满意，女生中有15人表示对线上教育不满意. (1)完成下面的列联表，并依据的独立性检验，分析对线上教育是否满意与性别是否有关： 单位：人 满意 不满意 合计 男生 女生 合计 120 (2)从被调查的对线上教育满意的学生中，利用分层随机抽样抽取8名学生，再在这8名学生中抽取3名学生作线上学习的经验介绍，其中抽取男生的人数为，求的分布列及期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析，认为对线上教育是否满意与性别有关 (2)分布列见解析，数学期望： 【分析】（1）由题意，根据比例求出男女生满意和不满意的人数，即可完成列联表；写出零假设，由定义计算并与比较即可得出结果； （2）由男女满意人数比例求出男生的人数及的可能取值，服从超几何分布，即可由超几何分布概率公式求出概率，得到分布列，最后根据定义求出期望即可 【详解】（1）男生人数为， 所以女生人数为，于是可完成列联表如下： 单位：人 满意 不满意 合计 男生 30 25 55 女生 50 15 65 合计 80 40 120 零假设为：对线上教育是否满意与性别无关. 计算可得 ， 依据的独立性检验，推断不成立，即认为对线上教育是否满意与性别有关. （2）由（1）可知男生抽取3人，女生抽取5人，依题可知的可能取值为0，1，2，3， 并且服从超几何分布，，即 ，， ，. 所以的分布列为 0 1 2 3 可得. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 计数原理 5大高频考点概览 考点01排列组合 考点02二项式定理 考点03杨辉三角 考点04回归方程 考点05独立性检验 地 城 考点01 排列组合 一、单选题 1．(24-25高二下·吉林长春外五县·期末)计算（   ） A．6 B．35 C．41 D．45 2．(24-25高二下·吉林吉林永吉实验高级中学等校·期末)用、、、可以组成没有重复数字的三位数的个数是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高二下·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期末)已知甲、乙、丙、丁、戊5名同学站一排照相，要求甲、乙站在丙、丁之间，则不同站法有（   ） A．20 B．30 C．36 D．48 4．(24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末)某旅行社设计了4条不同的旅游路线，甲要从中任选2条路线，分别在假期7月和8月出游，则不同的选择及安排方法有（    ） A．24种 B．16种 C．12种 D．6种 5．(24-25高二下·吉林友好学校·期末)某省专家组为评审某市是否达到“生态园林城市”的标准，从6位专家中选出2位组成评审委员会，则组成该评审委员会的不同方式共有（ 　） A．种 B．种 C．种 D．种 6．(24-25高二下·内蒙古部分学校·期末)方程的正整数解共有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 7．(24-25高二下·吉林长春G8教考联盟·期末)从5名男生和4名女生中选出4人参加比赛，如果4人中须既有男生又有女生，选法有（　　）种 A．21 B．120 C．60 D．91 8．(24-25高二下·内蒙古呼和浩特和林格尔县民族中学·期末)从7名男运动员和3名女运动员中选出2人组队参加乒乓球混合双打比赛，则不同的选法共有（    ） A．12种 B．18种 C．20种 D．21种 9．(24-25高二下·吉林吉林普通高中友好学校联合体·期末)北京市某高中高一年级5名学生参加“传承诗词文化，赓续青春华章”古诗词知识竞赛，比赛包含“唐诗”、“宋词”、“元曲”三个项目，规定每个项目至少有一名学生参加且每名学生只能报一个项目，则符合要求的参赛方法种类数为（    ） A．60 B．90 C．150 D．240 10．(24-25高二下·吉林长春外五县·期末)如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有4种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（    ）    A．96 B．144 C．480 D．600 二、多选题 11．(24-25高二下·吉林长春G8教考联盟·期末)（多选）下列叙述正确的是（   ） A．甲、乙、丙等5人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有36种排法 B．用数字0，1，2，3这四个数可以组成没有重复数字的四位数共有18个 C．4个人分别从3个景点中选择一处游览，有81种不同选法 D．正十二边形的对角线的条数是54 三、填空题 12．(24-25高二下·内蒙古呼和浩特和林格尔县民族中学·期末)的值为______. 13．(24-25高二下·吉林友好学校·期末)若，则_________. 14．(24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末)某英语听力测试规则如下：测试者听一段录音材料，录音材料用标准的英式英语依次朗读4个发音相近的英文单词，该段录音材料仅播放一遍，播放完后，测试者根据刚刚播放的录音材料确认录音材料中4个英文单词的先后朗读顺序，即完成一次测试.若测试者甲在一次测试中每正确答出一个英文单词的朗读顺序加20分，则测试者甲在一次测试中所得分数不高于60分且至少正确答出一个英文单词朗读顺序的概率为__________. 15．(24-25高二下·吉林长春外五县·期末)由这七个数字组成没有重复数字的七位数，且偶数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的七位数有__________个． 四、解答题 16．(24-25高二下·吉林友好学校·期末)甲、乙、丙、丁四名同学报名参加A、B、C三个智力竞赛项目，每个人都要报名参加.分别求在下列情况下的不同报名方法的种数. (1)甲、乙报同一项目，丙不报A项目； (2)甲不报A项目，且B、C项目报名的人数相同. 地 城 考点02 二项式定理 一、单选题 1．(24-25高二下·内蒙古赤峰·期末)的展开式中的系数是（   ） A．80 B．16 C．10 D．8 2．(24-25高二下·吉林友好学校·期末)在的展开式中，常数项为（   ） A． B．15 C． D．30 3．(24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末)展开式中的系数为（   ） A． B．180 C． D．960 4．(24-25高二下·吉林长春外五县·期末)的展开式中，的系数与常数项之差为（   ） A．20 B．19 C． D． 5．(24-25高二下·吉林吉林普通高中友好学校联合体·期末)展开式中的常数项为（   ） A．5 B． C．80 D． 6．(24-25高二下·吉林长春外五县·期末)已知的展开式中含有常数项，则n的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．(24-25高二下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期末)已知的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则的值为 A．14 B．10 C．14或23 D．10或23 8．(24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末)除以64的余数为（   ） A．13 B．33 C．23 D．31 9．(24-25高二下·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期末)化简：（   ） A．2 B．1 C．0 D． 二、多选题 10．(24-25高二下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期末)（多选）若，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C．当时，除以8的余数是1 D．展开式中二项式系数最大项为第3项 11．(24-25高二下·吉林吉林普通高中友好学校联合体·期末)（多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 12．(24-25高二下·吉林吉林永吉实验高级中学等校·期末)（多选）在二项式的展开式中，下列结论正确的是（   ） A．常数项为-64 B．含的项的系数为-160 C．所有的二项式系数之和为64 D．所有项的系数之和为-1 13．(24-25高二下·内蒙古呼和浩特和林格尔县民族中学·期末)（多选）关于的展开式，下列判断正确的是（    ） A．展开式共有6项 B．展开式的各二项式系数的和为64 C．展开式的第6项的系数为30 D．展开式中二项式系数最大的项是第4项 14．(24-25高二下·内蒙古部分学校·期末)（多选）已知的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则（   ） A． B．各项系数之和为 C．第3项的二项式系数最大 D．常数项为 15．(24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末)（多选）已知，则（    ） A． B． C．的展开式的二项式系数之和为 D． 三、填空题 16．(24-25高二下·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期末)二项式的展开式中的常数项为______________． 17．(24-25高二下·吉林长春G8教考联盟·期末)的二项展开式的常数项为_______ 四、解答题 18．(24-25高二下·吉林吉林普通高中友好学校联合体·期末)若，请求值： (1)； (2)； (3). 地 城 考点03 杨辉三角 一、多选题 1．(24-25高二下·内蒙古赤峰·期末)（多选）“杨辉三角”是中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中首次记载的，比欧洲早393年．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（   ）    A．第6行中，有两个相等的最大数 B． C．第行所有数之和为 D．在第3行以后，还会出现全为奇数的行 2．(24-25高二下·吉林长春外五县·期末)（多选）以下关于杨辉三角的猜想中，正确的有（   ） A．第100行中，从左到右看第50个数最大 B．第100行的所有数的和为 C． D． 地 城 考点04 回归方程 一、单选题 1．(24-25高二下·吉林长春G8教考联盟·期末)对四组数据进行统计，获得以下散点图，将四组数据对应的相关系数进行比较，则（   ）    A． B． C． D． 二、多选题 2．(24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末)（多选）小张同学收集了某商品销售收入y（单位：万元）与相应的广告支出x（单位：万元）共10组数据，绘制出散点图，如下图所示，并利用线性回归模型进行拟合．她将图中10个点中的A点去掉后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（    ）． A．决定系数变大 B．残差平方和变大 C．相关系数r的值变大 D．去掉A点后，若所有散点都在一条直线上，则决定系数 3．(24-25高二下·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期末)（多选）对四组样本数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的关系，正确的有（   ） A． B． C． D． 三、填空题 4．(24-25高二下·吉林吉林永吉实验高级中学等校·期末)为了比较E、F、G、H四组数据的线性相关性强弱，某同学分别计算了E、F、G、H四组数据的线性相关系数，求得数值依次为，，，，则这四组数据中线性相关性最强的是______组数据. 5．(24-25高二下·吉林友好学校·期末)为研究变量x，y的相关关系，收集得到如下数据： x 1 2 3 4 5 y 60 若由最小二乘法求得y关于x的线性回归方程为，并据此计算在样本点处的残差为0，则______． 四、解答题 6．(24-25高二下·吉林长春外五县·期末)某研究小组为了解青少年的身高与体重的关系，随机从15岁人群中选取了9人，测得他们的身高（单位：cm）和体重（单位：kg），得到如下数据： 样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 均值 身高 165 157 156 173 163 159 177 161 165 164 体重 53 46 48 56 57 49 60 45 54 52 (1)若两组变量间的样本相关系数满足，则称其为高度相关，试判断青少年身高与体重是否高度相关，说明理由（精确到0.01）； (2)建立关于的经验回归方程，并预测某同学身高为时，体重的估计值（保留整数）. 参考数据：，，，，. 参考公式：样本相关系数，经验回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为：，. 地 城 考点05 独立性检验 一、多选题 1．(24-25高二下·吉林友好学校·期末)（多选）某校团委对“学生性别和喜欢运动是否有关”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生喜欢运动的人数占男生人数的，女生喜欢运动的人数占女生人数的，若有95%的把握，但没有99%的把握认为“是否喜欢运动和性别有关”，则被调查人中男生可能有（   ） 临界值参照表： A．25人 B．45人 C．60人 D．75人 二、解答题 2．(24-25高二下·吉林长春外五县·期末)人们曾经相信，艺术家将是最后被AI所取代的职业，但技术的进步已经将这一信念敲出了裂痕，这可能是AI第一次引起人类的恐慌．由novalAI，DALL-E2等软件创作出来的绘画作品风格各异，乍看之下，已与人类绘画作品无异．AI会取代人类画师吗？某机构随机对60人进行了一次调查，统计发现认为会取代的有42人，30岁以下认为不会取代的有12人，占30岁以下调查人数的． (1)根据以上数据完成如下列联表： 年龄 理解情况 总计 会取代 不会取代 30岁以下 12 30岁及以上 总计 42 60 (2)依据小概率值的独立性检验，能否认为年龄与理解情况有关？ 附： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中． 3．(24-25高二下·内蒙古呼和浩特和林格尔县民族中学·期末)某学校为全面提高学生的语文素养和阅读水平，构建“书香校园”，特举办“课外阅读知识竞赛”，为了调查学生对这次活动的满意程度，在所有参加“课外阅读知识竞赛”的同学中抽取容量为300的样本进行调查，并得到如下列联表： 单位：人 满意程度 性别 合计 男生 女生 满意 120 不满意 150 合计 200 请补全上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为满意程度与性别有关系. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 4．(24-25高二下·吉林长春十一高中·)某省进行高中新课程改革，为了解教师对新课程教学模式的使用情况，某一教育机构对某学校的教师关于新课程教学模式的使用情况进行了问卷调查，共调查了50人，其中有老教师（50岁以上）20人，青年教师（49岁以下）30人．老教师对新课程教学模式赞同的有10人，不赞同的有10人；青年教师对新课程教学模式赞同的有24人，不赞同的有6人． (1)根据以上数据建立一个列联表； (2)试根据小概率值的独立性检验，分析对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄是否有关系； (3)以样本频率作为概率，在该校任取3位青年教师，求这3位教师中恰好有两位赞同新课程教学模式的概率． 附：，，其中 ，. 5．(24-25高二下·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期末)某市疾控中心为研究青少年每日使用电子产品的时长与近视的关系，随机抽取了400名学生进行调查，将数据整理后得到如下列联表： 近视学生 非近视学生 合计 每天使用时长不低于2小时 105 250 每天使用时长低于2小时 合计 175 400 (1)完善列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为“学生近视”与“每天使用电子产品的时长是否低于2小时”有关联？ (2)按每天使用电子产品的时长是否低于2小时，利用分层随机抽样的方法从非近视的学生中抽取15人进一步调查其用眼卫生情况，再从这15人中随机抽取5人，记为所抽5人中每天使用电子产品不低于2小时的人数，求的分布列和数学期望． 参考公式：，其中， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 6．(24-25高二下·吉林吉林永吉实验高级中学等校·期末)3月9日，在十四届全国人大三次会议举行的记者会上，国家卫生健康委员会主任雷海潮表示，体重管理年实施的首期三年体重管理行动，目的是“在全社会形成重视体重､管好体重，健康饮食､积极参与运动锻炼等良好的生活方式和习惯.”由于肥胖对人体健康的危害，某健康咨询机构为了了解居民是否有减肥的想法，随机调查了400名居民，得到如下列联表： 有减肥的想法 没有减肥的想法 合计 男性居民 女性居民 合计 180 (1)求的值，并完成上述列联表； (2)根据小概率值的独立性检验，能否认为性别与是否有减肥的想法有关？ (3)以样本估计总体，且以频率估计概率，若从男性居民中随机抽取4人，记其中“有减肥想法”的人数为，求的期望值. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 7．(24-25高二下·吉林长春G8教考联盟·期末)为了研究高中学生平时的数学成缆和整理数学错题习惯的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校抽取100名学生进行调查统计．数据如下： 整理数学错题习惯 数学成绩 合计 优秀 非优秀 有 20 30 50 没有 10 40 50 合计 30 70 100 (1)依据小概率值的独立性检验，是否认为数学成绩优秀与整理数学错题集习惯有关联； (2)在调查统计有整理数学错题集习惯的50名学生中，采用比例分配的分层随机抽样的方法选取5人组建研讨小组，再从5人研讨小组中随机抽取3人进行访谈，用表示访谈时成绩优秀的人数，求的分布列及数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 8．(24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末)某调查小组为了了解人们是否喜欢喝啤酒与性别有关，随机调查了200名品尝者，得到以下不完善的列联表． (1)完成以下2×2列联表，能否有99％的把握认为人们是否喜欢喝啤酒与性别有关？ 喜欢 不喜欢 合计 男性 40 女性 100 合计 95 200 (2)根据是否喜欢喝啤酒利用分层抽样的方法从男性品尝者中随机抽取5人，再从这5人中随机选出3人进行深入交流，记这3人中喜欢喝啤酒的人数为X，求随机变量X的分布列、期望． 附：，． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 9．(24-25高二下·吉林友好学校·期末)2020年3月，由于疫情的影响，各地学生在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为，男生中有30人对线上教育满意，女生中有15人表示对线上教育不满意. (1)完成下面的列联表，并依据的独立性检验，分析对线上教育是否满意与性别是否有关： 单位：人 满意 不满意 合计 男生 女生 合计 120 (2)从被调查的对线上教育满意的学生中，利用分层随机抽样抽取8名学生，再在这8名学生中抽取3名学生作线上学习的经验介绍，其中抽取男生的人数为，求的分布列及期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $