专题05 因式分解15大题型（期末复习讲义）七年级数学下学期新教材北京版

专题05 因式分解（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 判断是否是因式分解 题型02 已知因式分解的结果求参数 题型03 提公因式法 题型04 判断是否能用公式法分解因式 题型05 平方差公式分解因式 题型06 完全平方公式分解因式 题型07 综合运用公式法分解因式 题型08 综合提公因式和公式法分解因式 题型09 因式分解在有理数简算中的应用 题型10 十字相乘法 题型11 分组分解法 题型12 因式分解的应用 题型13 因式分解的几何应用 题型14 因式分解的最值问题 题型15 因式分解的新定义问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 因式分解定义 理解因式分解概念，掌握变形规则，会区分整式乘法，熟练完成各式分解运算 重要考点，一般在选择题考查，2分左右 提公因式法 掌握找各项公因式方法，能用提公因式法分解多项式，规范书写分解结果 核心考点，一般在小题考查，2分左右 公式法分解因式 熟记平方差与完全平方公式，熟练套用公式因式分解，检验分解彻底性 核心考点，一般在计算题考查，3分左右 因式分解在有理数简算中的应用 会借助因式分解变形算式，简化有理数运算，快速准确完成求值计算 常考考点，一般在小题考查，2分左右 十字相乘法 掌握二次三项式十字拆分技巧，熟练用十字相乘法分解整系数二次多项式并检验 压轴考点，一般在大题考查，5分左右 分组分解法 学会合理分组，组内提公因式或套公式，整体再提取公因式完成分解 压轴考点，一般在大题考查，5分左右 因式分解的应用 活用因式分解化简计算、解方程、比较大小，解决代数式求值实际问题 重要考点，一般在大题考查，3分左右 知识点01 公因式 多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 特别说明：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 知识点02 提公因式 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法． 特别说明：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律， 即. （2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. （3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 知识点03 公式法分解因式 平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 知识点04 十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在，则 特别说明：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号 （2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止. 首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 　　按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 特别说明：（1）分解思路为“看两端，凑中间” （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 知识点05 分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 特别说明：分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 知识点06 因式分解的解题步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 特别说明：落实好方法的综合运用： 首先提取公因式，然后考虑用公式； 两项平方或立方，三项完全或十字； 四项以上想分组，分组分得要合适； 几种方法反复试，最后须是连乘式； 因式分解要彻底，一次一次又一次. 题型一 判断是否是因式分解 1．下列四个等式从左至右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．下面是小明的作业，请你帮忙解答：下列等式从左到右的变形，属于因式分解的有__________（填序号）． ①；②；③；④；⑤． 3．下列变形①；②；③；④；⑤中，是因式分解的是______（填序号） 题型二 已知因式分解的结果求参数 4．已知二次三项式有一个因式是，则m的值为____________． 5．若将多项式因式分解得，则的值为______． 6．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0． 利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； (3)若能使多项式的值0，请将多项式进行因式分解． 题型三 提公因式法 7．用提公因式法因式分解时，应提取的公因式是（     ） A．2 B．x C．2x D． 8．把多项式分解因式，应提取的公因式是______． 9．因式分解 (1) (2) 题型四 判断是否能用公式法分解因式 10．下列不能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 11．下列多项式中，不能用公式法因式分解的是（   ） A． B． C． D． 12．多项式①；②；③；④；⑤中能用公式法分解因式的有________（填序号）． 题型五 平方差公式分解因式 13．分解因式：________． 14．若，，则______． 15．分解因式： (1)； (2)． 题型六 完全平方公式分解因式 16．因式分解： (1)； (2)． 17．把下列各式分解因式： (1) (2)． 18．因式分解 (1) (2) 题型七 综合运用公式法分解因式 19．已知，则的值为（　　） A．36 B．25 C．5 D．无法确定 20．我们学习了配方法，小王发现有的代数式可以用配方法分解因式， 例如：分解因式； 请你根据材料中小王的探究方法解决下列问题：分解因式______． 21．因式分解：． 题型八 综合提公因式和公式法分解因式 22．因式分解： (1)； (2)． 23．因式分解： (1) (2) 24．分解因式： (1)； (2)． 题型九 因式分解在有理数简算中的应用 25．用简便方法计算： (1) (2) 26．运用简便方法计算： (1)． (2)． (3) 27．若，则_________． 题型十 十字相乘法 28．已知多项式能被整除，求的值________． 29．分解因式：____． 30．【阅读思考】 材料1：整式乘法与因式分解是相反的变形，如是整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： 一次项，①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项；③横向写出两因式：． 材料2：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“K”还原，得：原式． 请仔细阅读材料，回答下列问题： 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： __________________________ (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 题型十一 分组分解法 31．把下列各式因式分解： (1)； (2)． 32．根据多项式乘法法则，，反过来，也有．这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式． 例如，因式分解这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，符合类型，于是有这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如图： 这样，我们也可以得到． 利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【知识应用】 (1)直接写出分解因式的结果： ①______；②______； (2)因式分解； (3)【拓展提升】因式分解． 33．阅读材料：“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它是从问题的整体性质出发，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径． 例如：已知，求代数式的值．我们把看作一个整体代入求值，原式． 又如：因式分解． 我们把看作一个整体，令，则原式，再把a还原成得，原式． 请根据上面的提示和范例解决下面问题： (1)因式分解：______； (2)已知，求的值； (3)求证：四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方． 题型十二 因式分解的应用 34．分组分解也是因式分解的一种方法，顾名思义就是将原多项式进行合理分组后分别进行因式分解的方法．如 分解因式： 请你利用分组分解法分解因式： (1)； (2)； 【应用】 (3)若，，是△的三边，当时，判断△的形状． 35．小陆提出这样一个猜想：对于任意两个连续的正整数，，它们的乘积与较大数的和一定为某个正整数的平方． 【举例验证】当，，则． 【推理证明】小陆同学做了如下的证明： 设， ∵，是连续的正整数， ∴． ∵， ∴(__________)． ∴一定是正整数的平方数·请你补上小陆同学的证明过程的空格所缺内容： (1)请你补上小陆同学证明过程的空格所缺内容__________． 【类比探究】 (2)小柒同学类比小陆同学的证明方法，提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差也为某个正整数的平方，请证明该结论． 36．我们学习了一元一次不等式的解法，没有学习这样的一元二次不等式的解法．今天，一起来研究它的解法．解：原不等式可先化为，再化为，根据平方差公式最后化为，整理得．由“同号相乘得正”，可把原不等式化为不等式组①或不等式组②． 解不等式组①，得：解不等式组②，得．故原不等式的解集为或． (1)不等式：的解集是________． (2)请根据上面的解法解不等式：． 题型十三 因式分解的几何应用 37．定义：若将多项式和分别进行因式分解，至少有一个因式相同，则称多项式和为共因多项式，其中该相同因式为同因子． 例如：对于多项式，，将两个多项式因式分解，，，从因式分解的结果可知都含有因式，所以多项式和为共因多项式，其中因式为同因子． (1)共因多项式和的同因子是 ； (2)多项式可以分解为，请写出多项式的一个共因多项式除外），并说明理由； (3)现有足够多的正方形和长方形卡片，如图1所示，分别记为甲，乙，丙．选取甲卡片1张，乙卡片3张，丙卡片1张，拼图如图2所示，请直接写出一个多项式的因式分解； 38．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助此方法可将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性，从而帮助我们解决问题．初中数学中有一些代数恒等式可以用一些卡片拼成的图形面积来解释．某同学在学习的过程中动手剪了如图①所示的正方形与长方形卡片若干张． (1)他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是________． (2)如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要2号卡片______张，3号卡片______张； (3)当他拼成如图③所示的长方形时，根据6张小卡片的面积和等于大长方形的面积可以把多项式分解因式，其结果是________． (4)请你依照该同学的方法，画出拼图并利用拼图将分解因式． 39．“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律． (1)用若干个类、类、类卡片拼成图1中的长方形，根据图形多项式可以因式分解得_________． (2)现用张卡片、张卡片、张卡片拼出一个长为，宽为的长方形，试求出的值=________； 【知识迁移】 (3)根据图2：若，则的值=_____． 题型十四 因式分解的最值问题 40．阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：的最小值． 解：原式 ， 当时，的值最小，最小值为0， ， 当时，的值最小，最小值为1984， 代数式：的最小值是1984． 例如：分解因式： 解：原式 ． (1)分解因式； (2)若，求的最大值； 41．阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法：配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：的最小值． 解：原式 ∵， ∴当时，的值最小，最小值为0， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为1984， ∴代数式：的最小值是1984． 例如：分解因式： 解：原式 ． (1)根据上面材料学习的方法进行下列题目的分解因式： ①； ② (2)若，求的最小值； 42．老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： 即当时，的值最小，最小值是0， 当时，的值最小，最小值是1， ∴的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题 (1)当______时，代数式的最小值是______； (2)若，当______时，有最______值（填“大”或“小”），这个值是______； (3)若，求的最小值． 题型十五 因式分解的新定义问题 43．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．定义：若一个整数能表示成(、为整数)的形式，则称这个数为“圆梦数”． (1)判断是否为“圆梦数”，并说明理由； (2)若、均为“圆梦数”，其中为奇数，为偶数，证明：为“圆梦数”． 44．定义：如果一个三位数的百位数字与个位数字之和等于十位数字，则称这个三位数为“和谐数”．如264，因为它的百位数字2与个位数字4之和等于十位数字6，所以264是“和谐数”． (1)最小的“和谐数”是______，最大的“和谐数”是______； (2)试说明“和谐数”一定能被11整除． 45．定义：若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：因为，所以13是“完美数”； 再如：因为，所以也是“完美数”． (1)请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”可以是_____；判断53_______（请填写“是”或“否”）为“完美数”； (2)如果数m，n都是“完美数”，试说明是“完美数”． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26七年级下·北京顺义·期中）下列式子从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若，则的值为（    ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 3．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）如果 ，那么的值为（     ） A． B． C．4 D．2 4．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）若多项式可分解为，则的值为（   ） A． B．1 C．7 D． 5．（25-26七年级下·辽宁辽阳·阶段检测）如图，有三种规格的卡片共张，其中边长为的正方形卡片张，边长为的正方形卡片张，长，宽分别为，的长方形卡片张．现使用这张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）分解因式：______． 7．（25-26九年级下·云南昭通·阶段检测）因式分解___________． 8．（25-26七年级下·北京顺义·期中）已知 ，则 M 与 N 的大小关系为 M___N．（填>，<或=） 9．（25-26八年级下·辽宁阜新·期中）若能用完全平方公式因式分解，则k的值为__________． 10．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）高力装饰城某家居装饰店接到一个订单，要求用店内如图所示的，，三种板材装饰一面正方形背景墙．最后该家居装饰店用了块型板材、块型板材和块型板材完成这个装饰任务，则这面正方形背景墙的边长是______． 11．（25-26八年级下·江苏常州·期中）因式分解： (1)； (2)． 12．（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）因式分解： (1)； (2)； (3) (4)． 13．（2026·北京东城·一模）已知，求代数式的值． 14．（25-26八年级下·广东深圳·期中）在对“”进行因式分解时，小深和小圳同学产生了分歧．下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务． 小深： 原式第一步 第二步 ．第三步 小圳： 原式第一步 第二步 ．第三步 任务： (1)________（填“小深”或“小圳”）的解答错误，从第________步开始出现错误． (2)按照解答错误同学的思路，写出正确的解答过程． 15．（24-25七年级下·广西桂林·期中）某网站使用因式分解的规则产生密码，如其因式分解的结果为，若取值，则各因式的值是，于是生成六位密码“162180”，现在该网站用作为新的密码基础，取时，用上述方法产生的密码是多少？ 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 16．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容． 分解因式：． 解： ● ☆ 其中运用到的方法是 △ 和 □ ． 下列回答错误的是（    ） A．●代表 B．☆代表 C．△可能代表提公因式法 D．□可能代表完全平方公式法 17．（25-26七年级下·全国·单元测试）设为某一自然数，代入代数式计算其值时，四个学生算出了下列四个结果，只有一个同学计算正确，那么正确的结果应该是（   ） A．2514 B．2184 C．5241 D．6418 18．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为，则长方形的另一边长为（   ） A． B． C． D． 19．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列形成密码．例如：多项式，将其分解因式为．若取，，则，，，那么12，17，13为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码．已知多项式，当取，时，按上述方法生成的密码是（   ） A．152131 B．211331 C．132131 D．132115 20．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得到图甲，将A，B构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和16，若三个正方形和两个正方形得到图丙，则阴影部分的面积为（   ） A．43 B．44 C．45 D．46 21．因式分解： _______． 22．（2026·湖南娄底·二模）已知m，n满足，，则的值为_____． 23．（2025·辽宁盘锦·一模）分解因式：____________． 24．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）若多项式分解因式的结果中有因式和，则_____． 25．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项式，因式分解的结果是，若取，，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码．那么对于多项式，取，时，用上述方法产生的六位数密码是___（写出一个即可）． 26．（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 27．（25-26七年级下·陕西西安·期中）已知：，，，求的值． 28．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，将一张长方形纸片按如图所示分割成6块，其中有两块是边长为的正方形，一块是边长为的正方形． (1)观察图形，代数式可因式分解为________． (2)图中阴影部分面积之和记作，非阴影部分面积之和记作，若，求的值． 29．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）我们知道，和这样的式子可以运用完全平方公式进行因式分解．有些多项式不是完全平方式，我们可以用配方法将多项式进行分解，并解决一些最值问题． 例如：①分解因式：； 解：原式 ； ②求代数式的最小值． 解：原式， ∵，∴， ∴当时，代数式有最小值． 结合以上材料解决下面的问题： (1)分解因式：； (2)当x为何值时，有最小值？最小值为多少？ (3)求证：无论x，y取任何实数，代数式的值恒为正数． 30．（25-26八年级下·江西九江·期中）现有图1中的A，B，C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解． 例：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式． (1)请把表示图3面积的多项式因式分解（直接写出等式即可）_____________； (2)请利用图1的卡片，若想得到面积为的图形，需要卡片A____张，卡片B____张，卡片C____张． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 31．（25-26六年级下·山东烟台·期中）若是一个完全平方式，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 32．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，正方形与正方形的边长分别为，连接、，若阴影部分的面积为10．当的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 33．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“鸿蒙数”．若，则b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 34．（25-26八年级上·全国·阶段检测）定义：如果一个正整数能表示成两个正整数m，n的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．下列结论：①所有的正奇数都是“智慧数”；②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；③被4除余2的正整数都不是“智慧数”．其中正确的结论有（     ）个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 35．（24-25八年级下·重庆秀山·期末）已知，，下列说法正确的个数是（   ） ①若不含二次项，则； ②若不含二次项，则； ③若的值与x的取值无关，则； ④若，恒成立． A．1 B．2 C．3 D．4 36．（25-26七年级下·北京顺义·期中）分解因式：____；___． 37．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）若实数x，y，m满足，，则m的值为______________． 38．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．其中“杨辉三角”（图1）就是一例，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．如图2中虚线标记的一列数：，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，第个数记为，若，则的值是__________． 39．（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且． （1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为______． （2）若图中阴影部分的面积为162平方厘米，大长方形纸板的周长为60厘米，图中空白部分的面积为______． 40．（25-26八年级上·北京·阶段检测）已知，，，则______． 41．（25-26八年级上·湖南永州·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，15是一个智慧优数，若将智慧优数从小到大排列，第100个智慧优数是_______________． 42．（25-26七年级下·北京顺义·期中）如图，甲、乙图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． (1)根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是 ． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． (2)因式分解：，其中，则 ， ． 【拓展延伸】 (3)若可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式，其中一个因式为，请写出q的值： ． (4)若可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数k的值． 43．（25-26七年级下·江西景德镇·期中）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆用，即．利用配方法可以解决代数式的最值等问题． 例如：求代数式的最小值． 解：∵， ∴当时，代数式的最小值是4． 按要求解答下列问题． (1)配方：______． (2)已知，求的值． (3)用配方法求代数式的最小值． 44．（25-26八年级上·山东临沂·期末）阅读下面材料，完成任务： 材料一： 材料二： 任务一：请根据学习经验，分解因式： （1）； （2） 材料三： 下面是小数的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务 2025年12月5日阴转晴今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 任务二：（3）学习了小数的笔记之后，请用“十字相乘法”分解因式：__________，请画出分解示意图． 45．（25-26八年级上·福建莆田·期中）定义：若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：因为，所以13是“完美数”； 再如：因为，所以也是“完美数”． (1)请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”可以是_____；判断53_______（请填写“是”或“否”）为“完美数”； (2)如果数m，n都是“完美数”，试说明是“完美数”． 46．（25-26八年级上·北京·期中）阅读下列材料： 材料1：若，利用配方法求的最小值． 解：． 当时，有最小值1． 把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法． 材料2：对于多项式，若存在，使得，则可对因式分解如下，， 例1因式分解： 解： 例2因式分解：． 解：把看作关于的二次式， ． 在分解含多个字母的多项式时，选取其中一个字母为主元，将其它字母看成是常数，把多项式整理成关于主元的降幂排列的多项式，这种解题方法叫做主元法． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)若，则的最小值为___________； (2)因式分解：___________； (3)若，求的最小值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 因式分解（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 判断是否是因式分解 题型02 已知因式分解的结果求参数 题型03 提公因式法 题型04 判断是否能用公式法分解因式 题型05 平方差公式分解因式 题型06 完全平方公式分解因式 题型07 综合运用公式法分解因式 题型08 综合提公因式和公式法分解因式 题型09 因式分解在有理数简算中的应用 题型10 十字相乘法 题型11 分组分解法 题型12 因式分解的应用 题型13 因式分解的几何应用 题型14 因式分解的最值问题 题型15 因式分解的新定义问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 因式分解定义 理解因式分解概念，掌握变形规则，会区分整式乘法，熟练完成各式分解运算 重要考点，一般在选择题考查，2分左右 提公因式法 掌握找各项公因式方法，能用提公因式法分解多项式，规范书写分解结果 核心考点，一般在小题考查，2分左右 公式法分解因式 熟记平方差与完全平方公式，熟练套用公式因式分解，检验分解彻底性 核心考点，一般在计算题考查，3分左右 因式分解在有理数简算中的应用 会借助因式分解变形算式，简化有理数运算，快速准确完成求值计算 常考考点，一般在小题考查，2分左右 十字相乘法 掌握二次三项式十字拆分技巧，熟练用十字相乘法分解整系数二次多项式并检验 压轴考点，一般在大题考查，5分左右 分组分解法 学会合理分组，组内提公因式或套公式，整体再提取公因式完成分解 压轴考点，一般在大题考查，5分左右 因式分解的应用 活用因式分解化简计算、解方程、比较大小，解决代数式求值实际问题 重要考点，一般在大题考查，3分左右 知识点01 公因式 多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 特别说明：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 知识点02 提公因式 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法． 特别说明：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律， 即. （2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. （3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 知识点03 公式法分解因式 平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 知识点04 十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在，则 特别说明：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号 （2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止. 首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 　　按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 特别说明：（1）分解思路为“看两端，凑中间” （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 知识点05 分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 特别说明：分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 知识点06 因式分解的解题步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 特别说明：落实好方法的综合运用： 首先提取公因式，然后考虑用公式； 两项平方或立方，三项完全或十字； 四项以上想分组，分组分得要合适； 几种方法反复试，最后须是连乘式； 因式分解要彻底，一次一次又一次. 题型一 判断是否是因式分解 1．下列四个等式从左至右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐一判断各选项即可. 【详解】解：A、是整式的乘法，不符合题意； B、等式的右边不是积的形式，不符合题意； C、是因式分解，符合题意； D、等式的右边不是整式的积的形式，不符合题意. 2．下面是小明的作业，请你帮忙解答：下列等式从左到右的变形，属于因式分解的有__________（填序号）． ①；②；③；④；⑤． 【答案】③④ 【分析】本题考查了因式分解的定义，掌握因式分解的对象是多项式，结果是几个整式的积，与整式乘法互为逆运算是解题的关键． 因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，据此判断各等式变形是否符合定义． 【详解】解：等式①左边为积的形式，右边为多项式，属于整式乘法，不是因式分解； 等式②左边为单项式，不是多项式，不符合因式分解对象要求； 等式③左边为多项式，右边为积的形式，符合因式分解定义； 等式④左边为多项式，右边为积的形式，符合因式分解定义； 等式⑤右边不是积的形式，因此不是因式分解． 故答案为：③④． 3．下列变形①；②；③；④；⑤中，是因式分解的是______（填序号） 【答案】② 【分析】本题主要考查了因式分解的意义，直接利用因式分解的意义分析得出答案． 【详解】解：①，是多项式乘法，故①不是因式分解； ②，是因式分解，； ③是单项式，不是因式分解； ④中不是整式，故④不是因式分解； ⑤，等式右边不是整式的乘积，故⑤不是因式分解， 故答案为：②． 题型二 已知因式分解的结果求参数 4．已知二次三项式有一个因式是，则m的值为____________． 【答案】 【分析】设另一个因式为，可得，根据整式的乘法运算法则即可求解． 【详解】解：设另一个因式为，可得， 则， ∴，解得， ∴另一个因式为，m的值为． 5．若将多项式因式分解得，则的值为______． 【答案】 【分析】先展开因式分解后的多项式，利用多项式相等时对应项系数相等求出和的值，再计算的值． 【详解】解：∵， ∴， ， 解得， ． 6．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0． 利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； (3)若能使多项式的值0，请将多项式进行因式分解． 【答案】(1) (2), (3) 【分析】本题考查因式分解的特殊方法，阅读相关材料能够举一反三是解题的关键． （1）根据材料把代入多项式中使多项式值为零，解方程即可求出k值； （2）把和分别代入式子中使原式值为零，解方程组即可求出m，n值； （3）把，，代入多项式中，使原式值为零，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，把代入， ∴ ∴； （2）解：把和分别代入， 即 解得： （3）解：∵能使多项式的值0， ∴是多项式的一个因式 又∵当时，， 当时， ∴是的因式 ∴． 题型三 提公因式法 7．用提公因式法因式分解时，应提取的公因式是（     ） A．2 B．x C．2x D． 【答案】B 【分析】按照“找系数最大公约数，找相同字母取最低次幂”的规则即可确定公因式. 【详解】解：∵ 多项式的两项为和 ∴应提取的公因式是. 8．把多项式分解因式，应提取的公因式是______． 【答案】 【分析】先找各项系数的最大公因数，再找各项相同字母的最低次幂，将二者相乘即可得到公因式． 【详解】解：多项式中，各项系数分别为和，其最大公因数为；各项所含字母中，两项都含有字母，的最低次幂为，只有第二项含有字母，因此公共字母部分为；将系数的最大公因数与公共字母部分相乘，可得公因式为． 9．因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）提公因式即可分解因式； （2）先处理符号问题得到，再提公因式，结合整式运算即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型四 判断是否能用公式法分解因式 10．下列不能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平方差公式分解因式要求多项式可化为两个平方项作差，即形如，据此判断各选项即可． 【详解】解：A、，两项符号相同，无法写成两个平方项作差的形式，因此不能用平方差公式分解因式，符合题意； B、符合的形式，可以用平方差公式分解因式，不符合题意； C、，符合的形式，可以用平方差公式分解因式，不符合题意； D、 ，符合的形式，可以用平方差公式分解因式，不符合题意． 11．下列多项式中，不能用公式法因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方差公式、完全平方公式的结构特征判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，不能用公式法分解因式，故此选项符合题意； 12．多项式①；②；③；④；⑤中能用公式法分解因式的有________（填序号）． 【答案】③④⑤ 【分析】本题主要考查了公式法分解因式（平方差公式、完全平方公式），熟练掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征是解题的关键．根据平方差公式和完全平方公式的形式，逐一判断每个多项式是否符合公式法分解因式的条件． 【详解】解：①不符合完全平方公式形式，且无法用平方差公式分解，故不能使用公式法． ②可写为，平方和在实数范围内不能分解，故不能使用公式法． ③可写为，符合平方差公式，即，故能用公式法． ④可写为，符合完全平方公式，即，故能用公式法． ⑤可写为，符合完全平方公式，即，故能用公式法． 综上，能用公式法分解因式的有③、④、⑤． 故答案为：③④⑤． 题型五 平方差公式分解因式 13．分解因式：________． 【答案】 【详解】解： ． 14．若，，则______． 【答案】 【分析】利用平方差公式将因式分解，再代入已知的和的值计算，即可得到最终结果． 【详解】解：根据平方差公式，可得： ， 将，代入上式，得： ， ∴ ． 15．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型六 完全平方公式分解因式 16．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 17．把下列各式分解因式： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 18．因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接运用完全平方公式分解即可； （2）变形为平方差形式后，利用平方差公式分解，合并同类项后提取公因式即可得到结果． 【详解】（1）解： （2）解：原式 题型七 综合运用公式法分解因式 19．已知，则的值为（　　） A．36 B．25 C．5 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用．能通过对已知条件的变形得出的值是解题的关键．先由已知条件得出的值，再把化成完全平方的形式，再进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 20．我们学习了配方法，小王发现有的代数式可以用配方法分解因式， 例如：分解因式； 请你根据材料中小王的探究方法解决下列问题：分解因式______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，理解题意，掌握配方法因式分解是解题的关键． 通过配方法，添加和减去一次项系数一半的平方，再应用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： =． 故答案为：． 21．因式分解：． 【答案】 【分析】先展开原式，再对多项式分组，运用完全平方公式和平方差公式完成因式分解． 【详解】解：原式 ． 题型八 综合提公因式和公式法分解因式 22．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提公因式，再运用完全平方公式进行因式分解； （2）先提公因式，再运用平方差公式进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 23．因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 24．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2） ． 题型九 因式分解在有理数简算中的应用 25．用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1)41200 (2)3200 【详解】（1）解：原式     ； （2）解：原式 ． 26．运用简便方法计算： (1)． (2)． (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解的简便运算，涉及提取公因式、平方差公式、完全平方公式，掌握观察式子结构，通过提取公因式或凑乘法公式简化计算是解题的关键． （1）提取公因式，再用平方差公式因式分解简化计算． （2）将转化为，凑完全平方公式因式分解． （3）统一各项系数为，提取公因式后计算括号内的和． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 27．若，则_________． 【答案】 【分析】利用平方差公式对分子因式分解，化简后对比等式两边，即可求出的值． 【详解】解：，， ， ， ， ． 题型十 十字相乘法 28．已知多项式能被整除，求的值________． 【答案】 【分析】由于，而多项式能被整除，则能被整除．运用待定系数法，可设商是A，则，则和时，，分别代入，得到关于a、b的二元一次方程组，解此方程组，求出a、b的值，进而得到的值. 【详解】解：∵， ∴能被整除， 设商是A． 则， 则和时，右边都等于0，所以左边也等于0． 当时， ① 当时， ② ，得， ∴， ∴． ∴， 29．分解因式：____． 【答案】 【分析】先用十字相乘法对进行因式分解，用提公因式法对因式分解，再将分解为，最后将整体利用十字相乘法因式分解，即可求解． 【详解】解： ， ， ， ． 【点睛】掌握因式分解十字相乘法对于型的式子如果能分解为两个数，的积，且有时(即与和是一次项的系数)，那么,这种分解因式的方法叫做十字相乘法． 30．【阅读思考】 材料1：整式乘法与因式分解是相反的变形，如是整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： 一次项，①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项；③横向写出两因式：． 材料2：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“K”还原，得：原式． 请仔细阅读材料，回答下列问题： 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： __________________________ (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）直接用十字相乘法分解二次三项式； （2）①将视为整体，用换元法转化为二次三项式，再用十字相乘法分解；②先对多项式整体换元，用十字相乘法分解后，再对分解结果中的二次三项式继续用十字相乘法或公式法分解． 【详解】（1）解： 中，常数项，一次项系数， ． （2）①解：令， 则原式 将还原，得 原式． ②解：令， 则原式 将还原，得： 原式 又 ，， 原式． 题型十一 分组分解法 31．把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2） ． 32．根据多项式乘法法则，，反过来，也有．这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式． 例如，因式分解这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，符合类型，于是有这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如图： 这样，我们也可以得到． 利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【知识应用】 (1)直接写出分解因式的结果： ①______；②______； (2)因式分解； (3)【拓展提升】因式分解． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）①把化为，然后利用十字相乘法分解因式； ②把化为，然后利用十字相乘法分解因式； （2）先把多项式看作关于的二次三项式，然后利用十字相乘法分解因式； （3）先把多项式分成和两组，再把两组分别分解，然后利用提公因式法分解因式． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解： ； （3）解： ． 33．阅读材料：“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它是从问题的整体性质出发，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径． 例如：已知，求代数式的值．我们把看作一个整体代入求值，原式． 又如：因式分解． 我们把看作一个整体，令，则原式，再把a还原成得，原式． 请根据上面的提示和范例解决下面问题： (1)因式分解：______； (2)已知，求的值； (3)求证：四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题以整体换元法为背景考查了完全平方公式的应用，关键是要找到整体即可解答． （1）将看作整体换元，利用完全平方公式即可求解； （2）将看成整体换元，即可求解； （3）将中第一项与第四项结合，第二项第三相结合展开，利用整体换元即可求解． 【详解】（1）解：（1）将看成整体，令， 则原式， 再将a还原，得到原式， 故答案为：； （2）∵， ∴ ∴ ； （3）证明：设这连续整数分别为n，，，，（n为整数）， 则 将看成整体，令， 则原式 ， 再将b还原，得到原式， ∵n为整数， ∴为整数， 故式子的值一定是某一个整数的平方． ∴四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方 题型十二 因式分解的应用 34．分组分解也是因式分解的一种方法，顾名思义就是将原多项式进行合理分组后分别进行因式分解的方法．如 分解因式： 请你利用分组分解法分解因式： (1)； (2)； 【应用】 (3)若，，是△的三边，当时，判断△的形状． 【答案】(1) (2) (3)是等腰三角形 【分析】（1）利用分组分解法分解因式，可得：原式，再把整体提公因式； （2）利用分组分解法分解因式，可得：原式，再把看作整体，运用完全平方公式分解因式； （3）把方程左边分解因式，可得：，因为，，是的三边，不可能是，可得：，所以是等腰三角形． 【详解】（1）解： ；    （2）解： ；   （3）解：， ， ， ，     ，，是的三边， ，， ， ， ， 是等腰三角形． 35．小陆提出这样一个猜想：对于任意两个连续的正整数，，它们的乘积与较大数的和一定为某个正整数的平方． 【举例验证】当，，则． 【推理证明】小陆同学做了如下的证明： 设， ∵，是连续的正整数， ∴． ∵， ∴(__________)． ∴一定是正整数的平方数·请你补上小陆同学的证明过程的空格所缺内容： (1)请你补上小陆同学证明过程的空格所缺内容__________． 【类比探究】 (2)小柒同学类比小陆同学的证明方法，提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差也为某个正整数的平方，请证明该结论． 【答案】(1)（或） (2)证明见解析 【分析】（1）通过设连续正整数（），对进行因式分解，即可得到完全平方形式，从而补全空格． （2）类比（1）的方法，设且，对因式分解，证明其结果为完全平方数． 【详解】（1）证明：设， ∵，是连续的正整数， ∴． ∵， ∴或， ∴一定是正整数的平方数， 故空格处填（或）． （2）证明：设，是连续的正整数，且， ， ， ， 一定是平方数，即任意两个连续正整数的乘积与较小数的差为平方数． 36．我们学习了一元一次不等式的解法，没有学习这样的一元二次不等式的解法．今天，一起来研究它的解法．解：原不等式可先化为，再化为，根据平方差公式最后化为，整理得．由“同号相乘得正”，可把原不等式化为不等式组①或不等式组②． 解不等式组①，得：解不等式组②，得．故原不等式的解集为或． (1)不等式：的解集是________． (2)请根据上面的解法解不等式：． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据有理数的乘法法则：“两数相乘，同号得正”，可得出不等式组，即可求出不等式的解集； （2）先把不等式整理为，根据有理数的乘法法则：“两数相乘，同号得正”，可得出不等式组，即可求出不等式的解集． 【详解】（1）解： ∴不等式可化为不等式组①或不等式组②， 解不等式组①得，， 解不等式组②得，， ∴不等式的解集为或． （2）解： ∴， ∴不等式可化为不等式组①或不等式组②， 解不等式组①得，， 解不等式组②得，， ∴不等式的解集为或． 题型十三 因式分解的几何应用 37．定义：若将多项式和分别进行因式分解，至少有一个因式相同，则称多项式和为共因多项式，其中该相同因式为同因子． 例如：对于多项式，，将两个多项式因式分解，，，从因式分解的结果可知都含有因式，所以多项式和为共因多项式，其中因式为同因子． (1)共因多项式和的同因子是 ； (2)多项式可以分解为，请写出多项式的一个共因多项式除外），并说明理由； (3)现有足够多的正方形和长方形卡片，如图1所示，分别记为甲，乙，丙．选取甲卡片1张，乙卡片3张，丙卡片1张，拼图如图2所示，请直接写出一个多项式的因式分解； 【答案】(1) (2)（答案不唯一）；见解析 (3) 【分析】（1）利用完全平方公式将式子因式分解即可求出结果； （2）写出一个含有因子的多项式即可； （3）结合图形，可知拼成的大长方形面积可表示为：，也可表示为，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， 共因多项式和的同因子是； （2）解：，， 共因多项式和的同因子是， 为多项式的一个共因多项式； （3）解：根据题意，可知甲卡片面积为，乙卡片面积为a，丙卡片面积为2， ∵图2长方形由甲卡片1张，乙卡片3张，丙卡片1张拼成， ∴拼成的大长方形面积可表示为：， ∵拼成的大长方形长为，宽为， ∴拼成的大长方形面积也可表示为：， ∴． 38．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助此方法可将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性，从而帮助我们解决问题．初中数学中有一些代数恒等式可以用一些卡片拼成的图形面积来解释．某同学在学习的过程中动手剪了如图①所示的正方形与长方形卡片若干张． (1)他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是________． (2)如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要2号卡片______张，3号卡片______张； (3)当他拼成如图③所示的长方形时，根据6张小卡片的面积和等于大长方形的面积可以把多项式分解因式，其结果是________． (4)请你依照该同学的方法，画出拼图并利用拼图将分解因式． 【答案】(1) (2)4张，5张 (3) (4)图见解析， 【分析】（1）等积法作答即可； （2）求出多项式乘以多项式的积，即可得出结果； （3）等积法作答即可； （4）按要求画图后，即可得出结果. 【详解】（1）解：由题意，这个乘法公式是； （2）解：， 故需要2号卡片4张，3号卡片5张； （3）解：由图可知，； （4）解：由题意，画图如下： 由图可知：. 39．“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律． (1)用若干个类、类、类卡片拼成图1中的长方形，根据图形多项式可以因式分解得_________． (2)现用张卡片、张卡片、张卡片拼出一个长为，宽为的长方形，试求出的值=________； 【知识迁移】 (3)根据图2：若，则的值=_____． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）拼成的长方形长为 ，宽为，则长方形面积为 ，由已知多项式转化为长与宽的乘积形式，完成因式分解； （2）利用多项式乘法计算出长为、宽为的长方形的面积表达式，再根据类纸片对应的面积项，分别确定的值，最后计算的值； （3）利用，将已知和的值代入，开平方即可求出的值． 【详解】（1）解：观察图1，拼成的长方形长为 ，宽为， ∴长方形面积为 ：， ∵长方形面积等于所有纸片面积和：， ∴； （2）解：∵长为、宽为的长方形面积为：， ∴类卡片对应，故；类卡片对应，故；类卡片对应，故； ∴ ； （3）解：由完全平方公式可得： ， ∴ ， ∴ ， ∵为正数， ∴ ． 题型十四 因式分解的最值问题 40．阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：的最小值． 解：原式 ， 当时，的值最小，最小值为0， ， 当时，的值最小，最小值为1984， 代数式：的最小值是1984． 例如：分解因式： 解：原式 ． (1)分解因式； (2)若，求的最大值； 【答案】(1) (2)1314 【分析】本题考查了因式分解，准确理解题意是解题的关键． （1）根据题例进行配方，继而利用平方差公式因式分解即可； （2）根据题例进行配方，根据平方大于等于0的性质进行判断即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 的最大值1314． 41．阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法：配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：的最小值． 解：原式 ∵， ∴当时，的值最小，最小值为0， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为1984， ∴代数式：的最小值是1984． 例如：分解因式： 解：原式 ． (1)根据上面材料学习的方法进行下列题目的分解因式： ①； ② (2)若，求的最小值； 【答案】(1)①；② (2)的最小值28 【分析】本题考查了因式分解，完全平方公式以及平方差公式，准确理解题意的配方法是解题的关键． （1）①根据题例进行配方，继而利用平方差公式因式分解即可；②根据题例进行配方，继而利用平方差公式因式分解即可； （2）根据题例进行配方，根据平方大于等于0的性质进行判断即可． 【详解】（1）解：① ； ② ． （2）解： ， ∵， ∴当时，的值最小，最小值为0， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为28， ∴的最小值是28． 42．老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： 即当时，的值最小，最小值是0， 当时，的值最小，最小值是1， ∴的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题 (1)当______时，代数式的最小值是______； (2)若，当______时，有最______值（填“大”或“小”），这个值是______； (3)若，求的最小值． 【答案】(1)； (2)，大， (3) 【分析】本题考查的是偶次方的非负性的应用，利用完全平方公式分解因式，熟练的利用完全平方公式进行变形是解本题的关键； （1）把化为，再结合非负数的性质可得答案； （2）把化为，再利用非负数的性质可得答案； （3）先求解，再化为，再结合非负数的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵， 而， ∴， ∴当时，的最小值是； （2）∵ ， 而， ∴， ∴当时，有最大值； （3）∵， ∴ ， 而， ∴， ∴的最小值为． 题型十五 因式分解的新定义问题 43．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．定义：若一个整数能表示成(、为整数)的形式，则称这个数为“圆梦数”． (1)判断是否为“圆梦数”，并说明理由； (2)若、均为“圆梦数”，其中为奇数，为偶数，证明：为“圆梦数”． 【答案】(1)是“圆梦数”，理由见解析； (2)证明见解析 【分析】本题考查因式分解的应用，核心是紧扣“能表示为两个整数的平方和的正整数是圆梦数”这一关键． （1）判断是否为“圆梦数”，只需找到两个整数，使它们的平方和等于，若能找到，则是“圆梦数”，反之则不是； （2）要证明是“圆梦数”，需先根据“圆梦数”定义设出、的表达式，再对进行代数变形，将其转化为两个整数的平方和形式，同时验证变形后的结果为整数，即可完成证明． 【详解】（1）解：∵，且4、1均为整数， ∴是“圆梦数”； （2）证明：设，， 则 ． ∵为奇数，为偶数， ∴一奇一偶，不妨设为奇数，为偶数；同为奇数或同为偶数， 令，，则， 当同为奇数时，均为奇数，则，均为整数， 当同为偶数时，均为偶数，，均为整数， ∴为“圆梦数”． 44．定义：如果一个三位数的百位数字与个位数字之和等于十位数字，则称这个三位数为“和谐数”．如264，因为它的百位数字2与个位数字4之和等于十位数字6，所以264是“和谐数”． (1)最小的“和谐数”是______，最大的“和谐数”是______； (2)试说明“和谐数”一定能被11整除． 【答案】(1)110；990 (2)见解析 【分析】此题考查了利用分解因式的应用． （1）按照题意写出最小的“和谐数”与最大的“和谐数”即可； （2）可设“和谐数”为，则有，再通过计算即可． 【详解】（1）解：设和谐数百位上的数是a，十位上的数为b，个位上的数为c， 由题意，得， 要想求最小的和谐数，就是a最小时，a最小是1， b最小是， 此时c最小是0， 所以最小的“和谐数”时110； 最大的“和谐数”，就是a最大时，a最大是9， 十位上b最大是9， 此时， 所以最大的“和谐数”是990． 由题意可得：最小的“和谐数”是110，最大的“和谐数”是990； 故答案为：110；990； （2）解：设这个“和谐数”（百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c）， 由题意，得， ∴“和谐数”为，则有： ， ∵a，b是整数， ∴是整数， ∴任意“和谐数”一定能被11整除． 45．定义：若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：因为，所以13是“完美数”； 再如：因为，所以也是“完美数”． (1)请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”可以是_____；判断53_______（请填写“是”或“否”）为“完美数”； (2)如果数m，n都是“完美数”，试说明是“完美数”． 【答案】(1) 2或5或8（写一个即可） 是 (2)见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键． （1）根据“完美数”的定义求解即可； （2）设（a，b，c，d为整数），运用整式的乘方与因式分解证明能表示为两个整数的平方和的形式即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：，，， 故2，5，8都是“完美数”，且都小于10， ∵， 故53是“完美数”， 故答案为：2或5或8（写一个即可）；是； （2）证明：设（a，b，c，d为整数），则 ∵a，b，c，d为整数， ∴，都是整数， 是“完美数”． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26七年级下·北京顺义·期中）下列式子从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化为几个整式乘积的形式，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、它是整式乘法运算，结果是多项式和的形式，不是几个整式乘积，故式子从左到右的变形不是因式分解； B、等式右边是和的形式，不是整式乘积，故式子从左到右的变形不是因式分解； C、原式左边是单项式，不是多项式，故式子从左到右的变形不是因式分解； D、将多项式转化为两个整式乘积的形式，符合因式分解定义，故式子从左到右的变形是因式分解． 2．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若，则的值为（    ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】A 【分析】根据题意可得，把所求式子变形为，再代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 3．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）如果 ，那么的值为（     ） A． B． C．4 D．2 【答案】C 【分析】利用平方差公式解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 4．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）若多项式可分解为，则的值为（   ） A． B．1 C．7 D． 【答案】B 【分析】将分解后的因式展开，对比原多项式对应项的系数，即可求出的值． 【详解】解： ∵ 多项式可分解为 ∴将展开结果与对比，对应项系数相等，可得． 5．（25-26七年级下·辽宁辽阳·阶段检测）如图，有三种规格的卡片共张，其中边长为的正方形卡片张，边长为的正方形卡片张，长，宽分别为，的长方形卡片张．现使用这张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先列出大正方形的面积，再根据完全平方公式因式分解，即可得出大正方形的边长. 【详解】解：由题意得： 大正方形的面积为：， ∴大正方形的边长为：． 6．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）分解因式：______． 【答案】 【详解】解：． 7．（25-26九年级下·云南昭通·阶段检测）因式分解___________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行二次因式分解． 【详解】解： 8．（25-26七年级下·北京顺义·期中）已知 ，则 M 与 N 的大小关系为 M___N．（填>，<或=） 【答案】 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴，即. 9．（25-26八年级下·辽宁阜新·期中）若能用完全平方公式因式分解，则k的值为__________． 【答案】5或/或5 【详解】解： 能用完全平方公式因式分解， 根据完全平方公式的结构特征可得： ， 即或 ， 解得：或 ∴k的值为5或． 10．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）高力装饰城某家居装饰店接到一个订单，要求用店内如图所示的，，三种板材装饰一面正方形背景墙．最后该家居装饰店用了块型板材、块型板材和块型板材完成这个装饰任务，则这面正方形背景墙的边长是______． 【答案】 【分析】首先根据图形分别表示出、、三种板材的面积，然后根据使用的数量计算出背景墙的总面积，最后利用完全平方公式将总面积分解为平方的形式，从而得出正方形的边长． 【详解】解：由图可知，型板材的面积为，型板材的面积为，型板材的面积为， 根据题意，这面正方形背景墙的总面积为： ， 因为背景墙是正方形，且面积为， 所以这面正方形背景墙的边长是． 11．（25-26八年级下·江苏常州·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 12．（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）因式分解： (1)； (2)； (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解； （2）先提出公因式，再利用完全平方公式分解即可； （3）利用完全平方公式分解即可； （4）先用平方差公式，再用完全平方公式进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：； （4）解： ． 13．（2026·北京东城·一模）已知，求代数式的值． 【答案】3 【详解】解：∵ ∴ ． 14．（25-26八年级下·广东深圳·期中）在对“”进行因式分解时，小深和小圳同学产生了分歧．下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务． 小深： 原式第一步 第二步 ．第三步 小圳： 原式第一步 第二步 ．第三步 任务： (1)________（填“小深”或“小圳”）的解答错误，从第________步开始出现错误． (2)按照解答错误同学的思路，写出正确的解答过程． 【答案】(1)小圳，一 (2)正确步骤见解析， 【分析】（1）根据平方差公式及整式的加减运算法则即可得答案； （2）先利用平方差公式因式分解，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：由平方差公式及整式的加减运算法则可知，小圳的解答错误，从第一步开始出现错误． （2）解： ． 15．（24-25七年级下·广西桂林·期中）某网站使用因式分解的规则产生密码，如其因式分解的结果为，若取值，则各因式的值是，于是生成六位密码“162180”，现在该网站用作为新的密码基础，取时，用上述方法产生的密码是多少？ 【答案】222717 【分析】将多项式进行因式分解后，求出各因式的值，即可得出结果． 【详解】解：， ∵， ∴； 故上述方法产生的密码是222717． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 16．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容． 分解因式：． 解： ● ☆ 其中运用到的方法是 △ 和 □ ． 下列回答错误的是（    ） A．●代表 B．☆代表 C．△可能代表提公因式法 D．□可能代表完全平方公式法 【答案】D 【分析】先逐步对原式因式分解，再判断各选项内容即可. 【详解】解： ； ∴●代表，选项A正确， ☆代表，选项B正确， 分解过程第一步为提公因式法，第二步为平方差公式法，因此△可以代表提公因式法，选项C正确，□代表平方差公式法，不是完全平方公式法，选项D错误. 17．（25-26七年级下·全国·单元测试）设为某一自然数，代入代数式计算其值时，四个学生算出了下列四个结果，只有一个同学计算正确，那么正确的结果应该是（   ） A．2514 B．2184 C．5241 D．6418 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用，对代数式因式分解后可得其为三个连续自然数的乘积，根据三个连续自然数的性质，乘积必能被6整除，先排除不符合的选项，再验证得到正确结果． 【详解】解：∵ ， ∴ 表示三个连续自然数的乘积， ∵ 三个连续自然数中，必有一个偶数，且必有一个是3的倍数， ∴ 一定能被6整除； 选项C，5241是奇数，不能被2整除，排除； 选项D，，19不能被3整除，因此6418不能被3整除，排除； 选项A，，，2514介于两个乘积之间，不存在自然数使结果为2514，排除； 由此，选项B正确． 18．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为，则长方形的另一边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，再根据长方形一边长为，得出另外一条边长即可． 【详解】解： ， ∵长方形一边长为， ∴长方形的另外一条边长为． 19．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列形成密码．例如：多项式，将其分解因式为．若取，，则，，，那么12，17，13为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码．已知多项式，当取，时，按上述方法生成的密码是（   ） A．152131 B．211331 C．132131 D．132115 【答案】C 【分析】先对多项式用提公因式法和平方差公式分解因式，再代入，的值计算各因式的取值得到因式码，最后将因式码从小到大排列得到密码，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． 【详解】解： ， ∵，， ∴，， 得到三个因式码为13，21，31， 按从小到大顺序排列后连接得到密码132131． 20．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得到图甲，将A，B构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和16，若三个正方形和两个正方形得到图丙，则阴影部分的面积为（   ） A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】B 【分析】设正方形，正方形的边长分别为，由甲可得，由乙可得，即得，进而可得，再根据图形解答即可求解． 【详解】解：设正方形，正方形的边长分别为， 由甲得：，即， 由乙得：，即， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∵， ∴（负值舍去）， ∴， 由丙得知：． 21．因式分解： _______． 【答案】 【分析】先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解：． 22．（2026·湖南娄底·二模）已知m，n满足，，则的值为_____． 【答案】 【分析】先对所求式子因式分解，将式子转化为含有、的形式，再整体代入已知条件求值． 【详解】解：对式子进行因式分解： ， ，， 原式． 23．（2025·辽宁盘锦·一模）分解因式：____________． 【答案】 【分析】先将原式变形得到相同公因式，提取公因式后利用平方差公式继续分解，即可得到结果． 【详解】解： ． 24．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）若多项式分解因式的结果中有因式和，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解与多项式根的关系（因式定理），解题的关键是利用因式定理，若多项式含有因式，当时，则，建立关于参数的方程组求解． 根据因式定理，由多项式含因式和，得和是方程的根，代入方程得到关于、的方程组，解方程组求出、的值，再代入计算结果． 【详解】解：设多项式分解因式的结果中有因式和， 当和时，， 即 化简得 即 由得，代入，得， ， ， 解得， ， ． 故答案为：． 25．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项式，因式分解的结果是，若取，，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码．那么对于多项式，取，时，用上述方法产生的六位数密码是___（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据，再把代入计算，即可得到答案． 【详解】解：依题意， ∵， ∴， ∴对于多项式，取，时，用上述方法产生的六位数密码是（答案不唯一） 26．（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）提取公因式即可； （2）先变形，再提取公因式即可； （3）先变形，再提取公因式，再将括号内的同类项合并； （4）先提取公因式，再将括号内的同类项合并，合并后再提取公因式2即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 27．（25-26七年级下·陕西西安·期中）已知：，，，求的值． 【答案】3 【分析】根据题意求出，把所求式子变形为，再利用完全平方公式分解因式得到，据此代入求值即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ． 28．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，将一张长方形纸片按如图所示分割成6块，其中有两块是边长为的正方形，一块是边长为的正方形． (1)观察图形，代数式可因式分解为________． (2)图中阴影部分面积之和记作，非阴影部分面积之和记作，若，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据题意可得长方形纸片的面积为，或者表示为，即可求解； （2）观察图形得到，，根据得到，再代入，即可求解． 【详解】（1）解：观察图形得：长方形纸片分为2块是边长为的正方形，1块是边长为的正方形，3块是长为y，宽为的长方形， ∴长方形纸片的面积为， ∵长方形纸片的长为，宽为， ∴长方形纸片的面积为， ∴， 即代数式可因式分解为； （2）解：根据题意得：，； ∵， ∴， 整理得：， ∴， ∴，即， ∴． 29．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）我们知道，和这样的式子可以运用完全平方公式进行因式分解．有些多项式不是完全平方式，我们可以用配方法将多项式进行分解，并解决一些最值问题． 例如：①分解因式：； 解：原式 ； ②求代数式的最小值． 解：原式， ∵，∴， ∴当时，代数式有最小值． 结合以上材料解决下面的问题： (1)分解因式：； (2)当x为何值时，有最小值？最小值为多少？ (3)求证：无论x，y取任何实数，代数式的值恒为正数． 【答案】(1) (2)当时，代数式取最小值 (3)见解析 【详解】（1）解： ； （2）解： ∵ ∴ 当时，代数式取最小值； （3）解： ∵， ∴ ∴无论x，y取任何实数，代数式的值恒为正数． 30．（25-26八年级下·江西九江·期中）现有图1中的A，B，C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解． 例：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式． (1)请把表示图3面积的多项式因式分解（直接写出等式即可）_____________； (2)请利用图1的卡片，若想得到面积为的图形，需要卡片A____张，卡片B____张，卡片C____张． 【答案】(1) (2)2，5，3 【分析】（1）仿照题意把图3的面积用两种方法表示出来，然后根据两种表示方法表示的面积相等即可得到答案； （2）仿照题意画出对应的图形即可得到答案． 【详解】（1）解：由图可知，图3是由1张A卡片，3张B卡片，2张C卡片拼成的， 图3的面积为， 又图3的面积又等于一个长为，宽为的长方形面积， ． （2）解：如图所示，下图是由2张A卡片，5张B卡片，3张C卡片拼成的 同理可得； 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 31．（25-26六年级下·山东烟台·期中）若是一个完全平方式，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查完全平方式的结构特征，根据完全平方公式的形式，对应系数列方程求解即可得到结果． 【详解】解：先将原式变形可得 ∵该多项式是完全平方式，完全平方公式符合 ∴一次项系数满足 即 分两种情况计算： 当时，解得 当时，解得 ∴的值为或． 32．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，正方形与正方形的边长分别为，连接、，若阴影部分的面积为10．当的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据用含a、b的式子表示出阴影部分的面积即可得到答案． 【详解】解： ， ∵阴影部分的面积为10， ∴． ∴的值不变． 33．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“鸿蒙数”．若，则b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，利用作差法比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； ∴． 34．（25-26八年级上·全国·阶段检测）定义：如果一个正整数能表示成两个正整数m，n的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．下列结论：①所有的正奇数都是“智慧数”；②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；③被4除余2的正整数都不是“智慧数”．其中正确的结论有（     ）个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式法因式分解以及整数的奇偶性分析．理解“智慧数”的定义是解题的关键． 根据“智慧数”的定义，通过对中、的取值分析来判断各个结论是否正确． 【详解】解：∵1不能表示成两个正整数m，n的平方差，故①错误； 设能被4整除的正整数为（为正整数且）， ，令， 将两式相加可得：，即， 解得：， 将代入，解得． 为正整数且， 、为正整数， 除4以外所有能被4整除的正整数都可以表示成两个正整数的平方差，即除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”， 故②正确； 假设存在正整数、，使得是被4除余2的正整数，即（为正整数）． 与的奇偶性相同，若与都是奇数，则都是奇数，不可能是这种偶数； 若与都是偶数，则能被4整除，也不可能是； 被4除余2的正整数都不是“智慧数”． 故③正确； 综上所述，正确的结论是②③． 故选：C． 35．（24-25八年级下·重庆秀山·期末）已知，，下列说法正确的个数是（   ） ①若不含二次项，则； ②若不含二次项，则； ③若的值与x的取值无关，则； ④若，恒成立． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，多项式乘以多项式不含某一项问题，完全平方公式，根据整式的加减运算法则，多项式乘以多项式的法则，完全平方公式分解因式，逐一进行计算后，判断即可． 【详解】解：①：， 不含二次项， 则二次项系数 ． 解得 ． 结论正确． ②： 不含二次项时，系数 ， 解得 ，而非 ． 结论错误． ③：． 与 无关时，二次项系数 ． 解得，而非． 结论错误． ④：当，． 恒成立． 结论正确． 综上，正确的说法为①和④，共2个． 故选：B． 36．（25-26七年级下·北京顺义·期中）分解因式：____；___． 【答案】 【详解】解：； ． 37．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）若实数x，y，m满足，，则m的值为______________． 【答案】3 【分析】先把两个等式相加，再进行配方，根据非负数的性质求出x、y的值，再代入求解． 【详解】解：，， 两式相加，得：， ， ， ，， ， ． 38．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．其中“杨辉三角”（图1）就是一例，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．如图2中虚线标记的一列数：，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，第个数记为，若，则的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查数的规律探索，关键是根据规律推导得出的表达式，再通过代数运算建立方程求解． 【详解】解：观察图2中虚线标记的一列数：可知： ，，，， ； 则， 当时， 整理化简得， 为正整数， ， 解得； 故答案为：． 39．（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且． （1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为______． （2）若图中阴影部分的面积为162平方厘米，大长方形纸板的周长为60厘米，图中空白部分的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用，熟练掌握等积法是解题的关键： （1）根据等积法得到代数式是边长为，的长方形的面积，即可得出结果； （2）利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：（1）由题意，； 故答案为：； （2）由题意，， 即， ∴， ∴， ∴空白部分的面积为． 故答案为：． 40．（25-26八年级上·北京·阶段检测）已知，，，则______． 【答案】3 【分析】本题考查了因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答．通过计算，和的值，利用进行求解． 【详解】解：，，， ，，， ， 故答案为：3． 41．（25-26八年级上·湖南永州·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，15是一个智慧优数，若将智慧优数从小到大排列，第100个智慧优数是_______________． 【答案】609 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，根据定义，智慧优数可表示为 ，进而可求出第100个智慧优数． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， 即智慧优数为 ，， ∴第100个智慧优数为 ． 故答案为：609． 42．（25-26七年级下·北京顺义·期中）如图，甲、乙图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． (1)根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是 ． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． (2)因式分解：，其中，则 ， ． 【拓展延伸】 (3)若可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式，其中一个因式为，请写出q的值： ． (4)若可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数k的值． 【答案】(1) (2)1；4 (3) (4)1，4，11 【分析】（1）分别表示出图甲、图乙中长方形的面积，即可得出结果； （2）由得到，，即可求解； （3）设另一个因式为，则，再分别对应相等即可得出结果； （4）设，即可得出，再结合、均为整数，为正整数，分情况计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由甲图可得，长方形的面积为， 由乙图可得，长方形的面积为， 故得到的等式是． （2）解：∵，且， ∴，， ∴，或，， ∵， ∴，． （3）解：∵可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式，其中一个因式为， ∴设另一个因式为， ∴， ∴，，， ∴，，． （4）解：∵可以分解成关于的两个一次式乘积的形式，且， ∴设， ∴， ∵、均为整数， ∴或或或或或或或， 当时，，不是正整数，不符合题意； 当时，，是正整数，符合题意； 当时，，不是正整数，不符合题意； 当时，，是正整数，符合题意； 当时，，是正整数，符合题意； 当时，，不是正整数，不符合题意； 当时，，不是正整数，不符合题意； 当时，，是正整数，符合题意； 综上所述，所有正整数的值为1，4，11． 43．（25-26七年级下·江西景德镇·期中）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆用，即．利用配方法可以解决代数式的最值等问题． 例如：求代数式的最小值． 解：∵， ∴当时，代数式的最小值是4． 按要求解答下列问题． (1)配方：______． (2)已知，求的值． (3)用配方法求代数式的最小值． 【答案】(1) (2)7 (3)1 【分析】本题考查配方法，涉及公式法因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据公式可直接得出答案； （2）根据题目要求配方得，利用平方的非负性即可求解； （3）根据题目要求配方可得，利用平方的非负性即可求解． 【详解】（1）解：． （2）解：由题意得，， 则，， 故． （3）解：， ， ， 即的最小值为1． 44．（25-26八年级上·山东临沂·期末）阅读下面材料，完成任务： 材料一： 材料二： 任务一：请根据学习经验，分解因式： （1）； （2） 材料三： 下面是小数的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务 2025年12月5日阴转晴今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 任务二：（3）学习了小数的笔记之后，请用“十字相乘法”分解因式：__________，请画出分解示意图． 【答案】（1）；（2）；（3），画图见解析 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握运算法则是解题的关键； 任务一：（1）运用因式分解法解一元二次方程即可； （2）由题意得一次项系数为：2，二次项系数是1，常数项，一次项系数，再利用十字相乘法分解因式即可； 任务二：（3）根据提示方法求解即可． 【详解】解：任务一：（1） ； （2） ； 任务二：（3） ，二次项系数是1，常数项，一次项系数， ∴， 如图 故答案为：． 45．（25-26八年级上·福建莆田·期中）定义：若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：因为，所以13是“完美数”； 再如：因为，所以也是“完美数”． (1)请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”可以是_____；判断53_______（请填写“是”或“否”）为“完美数”； (2)如果数m，n都是“完美数”，试说明是“完美数”． 【答案】(1) 2或5或8（写一个即可） 是 (2)见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键． （1）根据“完美数”的定义求解即可； （2）设（a，b，c，d为整数），运用整式的乘方与因式分解证明能表示为两个整数的平方和的形式即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：，，， 故2，5，8都是“完美数”，且都小于10， ∵， 故53是“完美数”， 故答案为：2或5或8（写一个即可）；是； （2）证明：设（a，b，c，d为整数），则 ∵a，b，c，d为整数， ∴，都是整数， 是“完美数”． 46．（25-26八年级上·北京·期中）阅读下列材料： 材料1：若，利用配方法求的最小值． 解：． 当时，有最小值1． 把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法． 材料2：对于多项式，若存在，使得，则可对因式分解如下，， 例1因式分解： 解： 例2因式分解：． 解：把看作关于的二次式， ． 在分解含多个字母的多项式时，选取其中一个字母为主元，将其它字母看成是常数，把多项式整理成关于主元的降幂排列的多项式，这种解题方法叫做主元法． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)若，则的最小值为___________； (2)因式分解：___________； (3)若，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题综合考查了完全平方公式和因式分解，对给出的代数式进行适当变形是解题关键； （1）根据即可求解； （2）根据，结合，且，即可求解； （3）根据即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴当时，有最小值． （2）解：， ∵，且， ∴； （3）解： ∵， ∴当时，有最小值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $