专题02 二元一次方程组18大题型（期末复习讲义）七年级数学下学期新教材北京版

专题02 二元一次方程组（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 二元一次方程的定义与解 题型02 二元一次方程组的定义与解 题型03 已知二元一次方程组的解求参数 题型04 解二元一次方程组 题型05 二元一次方程组的特殊解法 题型06 二元一次方程组的错解复原问题 题型07 构造二元一次方程组求解 题型08 二元一次方程组的同解问题 题型09 已知二元一次方程组解的情况求参数 题型10 三元一次方程组的定义、解与应用 题型11 方案问题 题型12 行程问题 题型13 工程问题 题型14 分配问题 题型15 销售利润问题 题型16 几何问题 题型17 古代问题 题型18 二元一次方程组的新定义问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 二元一次方程的定义 掌握二元一次方程的定义、特征，能准确判断并理解其解的含义。 基础常考题，一般是概念辨析问题，出现在小题中，分值2分左右 二元一次方程的解 理解二元一次方程解的意义，能判断解、求对应未知数的值，并知道其有无数组解。 基础常考题，题型主要是给出方程的解去求解，出现在小题中，分值2分左右 二元一次方程组的定义与解 掌握二元一次方程组的定义，能判断方程组，并理解其解的意义、会检验一组数是否为方程组的解。 基础常考题，出现在小题中，分值2分左右 解二元一次方程组 理解并掌握代入消元法、加减消元法，能熟练解二元一次方程组，并检验解的正确性。 核心必考题，一般在计算题考查，难度不大，分值在5分左右 二元一次方程组的含参问题 掌握含参数的二元一次方程组的解法，能根据解的情况、同解等条件求参数的值或范围。 重要考点，含参问题一直是初中的难点，一般会在小题中考查，分值在3分左右 二元一次方程组的错解复原问题 利用看错系数的错解反推原方程或参数，还原并正确求解二元一次方程组。 常考易错题，所有题型均可能考查，分值在3分左右，难度不大 三元一次方程组的相关概念 三元一次方程组的相关概念 基本常考题，一般出现在小题，分值3分 二元一次方程组的实际问题 能从实际问题中提炼等量关系，列出并求解二元一次方程组，解决配套、行程、工程、利润等常见应用题。 核心必考题，二元一次方组的实际应用是期中的必考题，注意各种题型的解题方法，一般分值在6分左右 知识点01 二元一次方程 1.定义： 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程； 2.注意： （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数； (2)“含有未知数的项的次数都是1”不可理解为两个未知数的次数都是1； (3)二元一次方程的左边和右边都是整式， 3.方法技巧 判断一个方程是不是二元一次方程要“三看”：一看原方程是不是整式方程；二看化简后的方程是否含有两个未知数；三看含有未知数的项的次数是否都是1， 知识点02 二元一次方程的解 1.定义： 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 2.注意： （1） 在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解． （2）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数的值，再依次求出另一个的对应值． 3.验证二元一次方程的解的方法 把数值代入原方程，验证等号左右两边是否相等： 简记为：一代，二算，三判断 4.一般情况下，一个二元一次方程有无数组解，但如果对其未知数的取值附加某些限制条件，那么也 可能有有限个特殊的解. 知识点03 二元一次方程组的概念 1.二元一次方程组的定义： 由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 2.注意： (1)二元一次方程组一共要含有两个未知数，而不是每个方程都必须含有两个未知数 (2)方程组中的各个方程，相同未知数必须代表同一数量，否则不能将两个方程合在一起。 3.方法技巧： 判断一个方程组是二元一次方程组的方法 (1)方程组中各个方程都是整式方程： (2)方程组中一共含有两个不相同的未知数，而不是每个方程都必须含有两个未知数： (3)含未知数的项的次数都是1. 知识点04 二元一次方程组的解 1.定义： 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 2.注意： 一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数． 3.方法技巧： （1）方程组的解一定是方程组中每一个方程的解，但方程组中每一个方程的解不一定是这个方程组的解； （2）方程组的解要用大括号联立表示； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一组，但也有特殊情况，代入检验法检验一对数值是否为某二元 次方程组的解的方法是将这对数值分别代入方程组中的每个方程，只有这对数值满足其中的所有方程时，才能说这对数值是此方程组的解，如果这对数值不满妮其中的某一个方程，那么它就不是此方程组的解. 知识点05 代入消元法 1.代入消元法的概念 将方程组的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代人另一个方程，消去这个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程.这种解方程组的方法称为代入消元法，简 称代入法. 2.用代入法解二元一次方程组的一般步骤： （1） 变形：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来． （2） 代入：将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． （3） 求解：解这个一元一次方程，求出x（或y）的值． （4） 回代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值． （5） 写解：把求得的x、y的值用大括号“{”联立起来，就是方程组的解． 3.方法技巧： 用代入消元法解二元一次方程组的关键是“消元”，即化“二元”为“一元”。应注意的问题： (1)找准消元对象，消元对象一般选取系数简单的（如系数的绝对值较小的，系数是±1的)未知数，使变形后的方程比较简单或代入后比较容易化简. (2)在用代入法解二元一次方程组的一般步骤的“代入”中，必须理解“另一个”的含义，否则，若把y=ar+b代入变形的原方程，必然得到一个恒等式 (3)用代入法求出一个未知数的值后，再求另一个未知数时，一般代入变形后得到的方程比较 简单。 知识点06 加减消元法 1.加减消元法的概念 把方程组的两个方程（或先做适当变形）的左、右两边分别相加或相减，消去其中一个未知数，从而把解 二元一次方程组转化为解一元一次方程.这种解方程组的方法称为加减消元法，简称加减法. 2.用加减法解二元一次方程组的一般步骤： （1） 变形：方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数． （2） 加减：把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． （3） 求解：解这个一元一次方程，求得未知数的值． （4） 回代：将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值． （5） 写解：把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用大括号“{”的形式表示． 3.用加减消元法解二元一次方程组应注意的问题： (1)化为标准形式·用加减消元法解二元一次方程组时，一般先把方程组整理成标准形式，再设法加减消元，这样不易出错. (2)选准消元对象，当某个未知数的系数相等或互为相反数或有倍数关系时，选择消去该未知数较简单，如果同一未知数的系数既不相等，也不互为相反数，那么可以利用等式的性质进行转化，使同一未知数的系数变得相等或互为相反数· 4.加减消元法四大解题策略： 策略一：对于相同未知数的系数互为相反数的二元一次方程组，直接相加消元. 策略二：对于相同未知数的系数相同的二元一次方程组，直接相减消元 策略三：当二元一次方程组中有系数成倍数关系的相同未知数时，应适当变形后消去这个未知数. 策略四：当二元一次方程组不具备以上三种类型时，选择系数的绝对值较小的相同未知数作为“消元” 的目标更简便 知识点07 三元一次方程组的概念、解与应用 三元一次方程组的概念 1.三元一次方程组的定义： 方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． 2.三元一次方程组必须同时满足三个条件： （1）方程组中一共含有三个未知数，而不是每个方程都必须含有三个未知数； (2)含未知数的项的次数是1； (3)方程组中共有三个整式方程， 解三元一次方程组 1.解三元一次方程组的基本思路 通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程 2.解三元一次方程组的方法： 解三元一次方程组时，先仔细观察三个方程中各个未知数系数的特点及整个式子的特点，然后确定消哪个“元”，再灵活选用代入消元法或加减消元法将三元化为二元， 3.解三元一次方程组的一般步骤： ①消元：首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组． ②求解：然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值． ③回代：再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程． ④求解：解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值． ⑤写解：最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可． 三元一次方程组的简单应用 在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程． （1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础． （2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性． 知识点08 二元一次方程组的实际应用 由实际问题抽象出二元一次方程组 1. 由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． 2.一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符． 3.找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法： ①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系． ②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系． ③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系． 4. 建立二元一次方程组的基本模型 二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 题型一 二元一次方程的定义与解 易｜错｜点｜拨 定义易错：必须是整式方程，含两个未知数且次数都是 1；分母有未知数、含 xy 项都不是二元一次方程。 解的易错：二元一次方程有无数组解；检验时要把一对数值同时代入验证；已知一个未知数求另一个，注意移项计算别出错。 1．若方程是关于x、y的二元一次方程，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列各式，属于二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 3．如果是方程的一组解，那么代数式______． 题型二 二元一次方程组的定义与解 易｜错｜点｜拨 定义易错 必须满足：共含两个未知数，每个方程都是一次整式方程； 易错：出现 xy 项、未知数在分母、出现三个未知数，都不是二元一次方程组； 解的易错 方程组的解要同时满足所有方程，只满足一个不算解； 不要和二元一次方程混淆：方程组一般只有一组解，不是无数组； 检验时易只代入一个方程验算，导致判断错误。 4．下列方程组中，①；②；③；④；属于二元一次方程组的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．满足二元一次方程和的部分值分别如表1、表2所示，则方程组的解是（　　） 表1 0 1 2 2 0 表2 0 1 2 0 A． B． C． D． 6．下面三组数据： ①  ②  ③ 满足方程的是_________，满足方程的是_________，同时满足这两个方程的是_________．故二元一次方程组的解是_________．（填序号） 题型三 已知二元一次方程组的解求参数 易｜错｜点｜拨 1.方程组的解同时满足两个方程，不能只代入一个方程求参数; 2.代入计算时，注意符号、系数不要抄错，避免移项、去括号出错; 3.看清题目：是求参数的值，还是求含参数的代数式的值，不要答非所问; 4.求出参数后，可回代检验，防止计算错误。 7．已知是方程的解，则k的值为(    ) A． B．1 C． D．3 8．小亮解得方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数■和▲，请你帮他找回数■和▲，这两个数中较小的一个数的值是________． 9．已知关于x、y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)不管取任何值，方程总有一个固定解，请求出这个解． 题型四 解二元一次方程组 易｜错｜点｜拨 代入消元别漏括号，加减消元系数配平时每项同乘常数；移项、去括号符号极易出错。求出一组解后务必代入原式验算，区分方程组无解、无数组解的情况；格式规范，解成对写出不可只写单个数值。 10．解方程组： (1)； (2)． 11．解方程组： 12．解下列方程组： (1)， (2)． 题型五 二元一次方程组的特殊解法 易｜错｜点｜拨 整体换元时整体加括号，避免拆分出错；系数对称轮换可两式相加、相减简化。比例型设参数 k 代入求值，消元前先观察系数特点简化计算。换元后记得回代求原未知数，验算不可少，别混淆整体与单个变量范围。 13．若方程组的解为，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 14．已知方程组的解为，则方程组的解为__________． 15．课上老师出了一道题：已知关于的二元一次方程组①：的解为，求关于的二元一次方程组②：的解． 甲同学说：可以将代入方程组①，求出和的值，再将求出的和的值代入方程组②，求出方程组②的解． 乙同学说：观察两个方程组发现，只需令方程组②中的，即可转化为关于的方程组，与方程组①对比，立马可以得出和的值，进而得出方程组②中和的值． 老师说：甲、乙都是正确的，但乙的做法更巧妙，我们将这个方法叫做“换元法”．请你利用这种“换元法”，解决下列问题： (1)直接写出题目中方程组②的解： (2)已知关于的二元一次方程组的解是，求关于的二元一次方程组的解； (3)已知关于的二元一次方程的解如表： … 0 1 … … 4 2 … 关于的二元一次方程的解如表： … 0 1 … … 4 1 … 则关于的二元一次方程组的解为：___________． 题型六 二元一次方程组的错解复原问题 易｜错｜点｜拨 1.看清谁看错了哪个系数，错解只能代入看错的方程，不能代入原方程; 2.正确的解要同时代入两个原方程，不要和错解混用; 3.复原时先列出含参数的方程组，计算时注意符号和移项，避免算错参数; 4.最后一定要检验，确认复原后的方程组和解是否一致。 16．两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把抄错了解得，则，，正确的值应为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 17．小明在解方程组时由于看错，解得，而正确解为，则________． 18．数学课上，在解方程组时，由于粗心，亮亮看错了方程组中的、解得，彤彤看错了方程组中的，解得， 根据上面的信息解答： (1)求出正确的的值； (2)求出原方程组的正确解． 题型七 构造二元一次方程组求解 19．在等式中，当时，；当时，．则（    ） A． B． C． D． 20．已知关于的等式恒成立，则__________． 21．解答下列问题： (1)定义运算“*”，规定 ，其中，为常数，且 ，，请求出的值； (2)甲、乙两人同时解方程组，甲解题时看错了①中的，解得，乙解题时看错②中的，解得，试求原方程组的解． 题型八 二元一次方程组的同解问题 易｜错｜点｜拨 1.同解就是一组解同时满足所有方程组，不能只代入部分方程； 2.先联立不含参数的两个方程求出公共解，再把解代入含参数方程； 3.代入时看清系数与符号，别把参数和未知数弄混； 4.求出参数后记得回代检验，避免计算失误。 22．已知关于x，y的方程组与的解相同，求的值． 23．已知关于的方程组和有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求的值． 24．已知关于的方程组与关于的方程组的解相同，求的值． 题型九 已知二元一次方程组解的情况求参数 易｜错｜点｜拨 先整理成标准形式；比值判定时分母不为 0，区分唯一解、无数解、无解条件。无数解要求三个比值全相等，无解只需前两比值等、不等第三个；别漏参数正负讨论，算出值后代回检验。 25．已知关于x，y的方程组的解满足，则m的值为（     ） A． B． C． D．1 26．已知关于x、y的方程组的解满足，则k的值为________． 27．已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值． 题型十 三元一次方程组的定义、解与应用 28．解三元一次方程组，若先消去，组成关于、的二元一次方程组，则应对方程组进行的变形为（    ） A．， B．， C．， D．， 29．已知方程组，则________． 30．阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程： 令，原方程组化为，解得， 把代入，得，解得， ∴原方程组的解为． 学以致用： (1)解方程组： (2)有甲、乙、丙三种商品，如果购买甲3件、乙2件、丙1件共需315元，购买甲1件、乙2件、丙3件共需285元，求购买甲、乙、丙三种商品各1件共需多少钱． 题型十一 方案问题 易｜错｜点｜拨 设未知数后列出二元一次方程组或不等式，方案变量多为非负整数；求最值时分清一次函数增减性，自变量取整数值对比。容易忽略数量为正整数、总量限制条件，算出数值后要逐一列举全部可行方案，再对比费用选出最优。 31．某学校食堂午餐提供A，B两种套餐，1份A套餐和3份B套餐共含有蛋白质，3份A套餐和1份B套餐共含有蛋白质．学校膳食委员会建议中学生午餐蛋白质摄入总量每周不低于，且不高于（一周按5天计算）．若小云在校某一周内午餐选择A套餐2次，B套餐3次．通过计算说明，小云这周的午餐蛋白质摄入总量是否在膳食委员会建议的范围内． 32．某科研团队为优化人形机器人的动作稳定性，分别采用电机参数调试和动态算法迭代两种技术改进方式． 已知完成2次电机参数调试和3次动态算法迭代，共需要21小时：完成3次电机参数调试和1次动态算法迭代，共需要14小时 (1)求完成1次电机参数调试和1次动态算法迭代各需要多少小时？ (2)若该团队共用24小时完成这两项改进工作，且两种改进方式都至少进行1次，则有几种符合条件的安排方案？ 33．三月，我校班超联赛火热开赛！为丰富同学们的课余生活、满足运动需求，学校计划采购一批足球和篮球．负责采购的老师在团购群中看到了如下对话信息： (1)根据对话信息，求足球和篮球的单价各是多少元？ (2)若学校一次性采购总金额为700元．两种球都至少购买1个且采购资金正好用完，请给出所有购买方案． 题型十二 行程问题 易｜错｜点｜拨 牢记路程 = 速度 × 时间，相遇路程和、追及路程差；顺水逆水速要加减水流速度。单位统一，时间分段别混算；环形、折返易看错路程差，多人行程画线段辅助。设元后找准等量关系，分式行程别忘检验分母不为零。 34．平泽唯搭乘电车外出游玩，电车正要经过一条1000m长的桥，电车从车头上桥到车尾离桥共用时，整列电车完全在桥上的时间为，求电车的行驶速度． 35．甲，乙在的环形跑道上跑步，两人从某起点同时出发．如果同向而行，那么经过甲比乙多跑一圈；如果反向而行，那么经过两人第一次相遇． (1)求甲，乙两人的速度； (2)甲，乙同向而行时，丙也在跑道上跑步，且与甲，乙方向一致．若出发后甲追上丙，出发后乙追上丙，则出发时丙在甲，乙前面多少米？丙的速度是多少？ 36．学校和博物馆相距20千米，小明与小强分别从学校和博物馆出发，相向而行．如果小明比小强早出发30分钟，那么在小强出发后2小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么1小时后两人还相距11千米．求小明、小强每小时各走多少千米． 题型十三 工程问题 易｜错｜点｜拨 总工程常设单位 1，工作效率 = 1÷ 单独工期；合作效率为各效率相加。别混淆工作量、效率、时间三者关系；多人分段施工要拆分工作量求和，完工总量等于 1。设未知数列式时，切勿漏乘工作时长，结果需为正数，完工时间不能为负。 37．某公司有新员工和老员工若干名．已知1名新员工每天制造的零件个数比1名老员工少30，1名新员工与2名老员工每天共可制造180个零件，则1名新员工与1名老员工每天各能制造多少个零件？设1名新员工每天能制造个零件，1名老员工每天能制造个零件．根据题意可列方程组为（） A． B． C． D． 38．某市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，则甲工程队每天施工________米，乙工程队每天施工________米． 39．某科技物流公司承包了某智能仓库的货物运输任务，拟派出A，B两种型号的无人运输车运输货物．已知2辆A型无人运输车与3辆B型无人运输车一次共运输货物60箱，5辆A型无人运输车与6辆B型无人运输车一次共运输货物135箱． (1)一辆A型无人运输车和一辆B型无人运输车一次各运输货物多少箱？ (2)该科技物流公司决定派出A，B两种型号的无人运输车共20辆参与运输，若本次运输的货物总量不少于250箱，且B型无人运输车至少派出8辆，则有哪几种派车方案？请通过计算说明． 题型十四 分配问题 易｜错｜点｜拨 找准总量不变量，分清调配前后数量变化；调动时甲减少的量等于乙增加的量。多组分配需列两组等量关系，常误用不等号替代等式；人数、物资只能是非负整数，算出结果要贴合实际，检验调配后数量正负。 40．青花瓷是中国瓷器主流品种之一，由于它具有白瓷如雪，青花似玉的特征，因此深受人们的喜爱．现某瓷器厂计划生产由1个茶壶和8个茶杯组成套装的青花瓷茶具．若一位工人一天只能生产200个茶杯或50个茶壶，该厂现有120名工人，如何安排生产茶杯或茶壶的工人人数使生产的茶具配套． 41．春季是传染病高发的季节，同学们要勤通风常洗手，为了同学们的身体健康，李老师为全年级师生购买洗手液，根据市场调研，李老师发现某品牌的洗手液的大瓶装和小瓶装两种产品的销售数量（按瓶计算）比为，某厂每天生产这种洗手液22.5吨，请同学们利用二元一次方程组的数学思想，帮助李老师估计一下这些洗手液应该分装多少个大瓶，多少个小瓶才是最合理的？（请同学们注意单位换算） 42．某纸品加工厂制作甲（需要材料为1个正方形和4个长方形）、乙（需要材料为2个正方形和3个长方形）两种无盖的长方体小盒，利用边角料裁出正方形、长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形边长相等，现将160张正方形硬纸片和340张长方形硬纸片全部用于制作这两种无盖长方体小盒，分别可以做多少个？ 题型十五 销售利润问题 易｜错｜点｜拨 牢记利润、售价、进价、利润率公式，打折要乘折扣率；总利润 = 单件利润 × 销量。涨价降价会同步改变销量，极易漏算销量变化；分清盈利亏损正负，列方程时等量关系别颠倒，结果价格数量必须为正数，验证是否符合实际售卖逻辑。 43．列二元一次方程组解答问题： 2025年12月26日，北大附中初中部“畅听杯”合唱节圆满落幕．本届合唱节以“歌漾山河·强国有我”为主题，为初一年级同学们搭建了凝聚班级向心力、提升艺术审美、厚植家国情怀的展示舞台．为了呈现更精彩的舞台效果，某班担任合唱指挥、伴奏、伴舞与主唱的同学计划单独租赁演出服装．为享受团购优惠，该班与另一班级商议后决定一起租用服装．已知其中一个班级租赁5套男生演出服和5套女生演出服，共花费300元；另一个班级租赁3套男生演出服和7套女生演出服，共花费320元，求每套男生演出服与每套女生演出服的租赁费用分别是多少元？ 44．随着“低碳生活、绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解1辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计60万元；2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计95万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案． 45．截至目前，我国有个项目列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录（名册），总数位居世界第一．年月日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”也列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．每逢春节，为了营造喜庆祥和的氛围，很多地方都会挂上红红的灯笼．在春节前夕，某商家购进、两种型号的灯笼共对，共用元．这两种型号的灯笼的进价、售价如表： 型号 进价（元/对） 售价（元/对） (1)求该商家购进、两种型号的灯笼各多少对？ (2)为迎接新春到来，某单位购买、两种型号的灯笼（两种型号都购买）共花费元，请你计算购买、两种型号的灯笼各多少对？并计算此时商家获利多少元？ 题型十六 几何问题 46．利用方程（组）的知识解决问题： 如图，学校规划在一块长、宽的长方形场地上，分别设计与，平行的横向和纵向通道，其余部分铺上草皮．其中横向和纵向通道的宽度均相等，六块草坪的形状、大小完全相同，其中一块草坪的两边．如果考虑到铺设草坪需要额外准备面积的草皮作为损耗更换用，那么所需准备草皮的总面积是多少？ 47．如图，一块长为，宽为的长方形纸板，在它的四个角各切去一个相同的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为的长方体状无盖纸盒． (1)求该长方体纸盒底面（阴影部分）的面积； (2)若该长方形纸板长为，宽为，求该长方体纸盒的体积． 48．数学实践：用标准卡纸制作礼盒． 素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成6张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形． 素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作横式叠盖和竖式叠盖纸盒，如图3是竖式叠盖盒和横式叠盖纸盒的平面展开图． (1)数学实践小组一共有33张标准卡纸通过剪裁一共得到158张小长方形和张小正方形做成个竖式叠盖纸盒和个横式叠盖纸盒（其中x，y均不为零），恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完．求n，x，y的值． (2)计划做成100个竖式叠盖纸盒和50个横式叠盖纸盒，求至少需要多少张卡纸？ 题型十七 古代问题 49．《数学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有罗七尺，绫九尺，其价适等，只云绫尺价不及罗尺价三十六文．问：二色尺价各几何?”意思是：7尺罗类丝绸和9尺绫类丝绸的价格相同，每尺绫类丝绸的价格比罗类丝绸少36文，问这两类丝绸每尺的价格各是多少文? 50．中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题：“今有甲、乙怀钱，各不知其数，甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币若干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？ 51．《九章算术》是我国古代经典数学著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大、小器各容几何?”译文“今有大容器个，小容器个，总容量为斛；大容器个、小容器个，总容量为斛，问大、小容器的容积各是多少斛?” 题型十八 二元一次方程组的新定义问题 52．对有理数，定义新运算：，其中，是常数．若，，则，的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 53．对于关于的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“近解”方程组．若对于任意实数，关于的二元一次方程组都是“近解”方程组，则的值为_____． 54．定义：关于的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，例如：与互为“对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“对称二元一次方程”； (2)关于的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，求的值． 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（25-26七年级下·北京顺义·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·山东淄博·期中）《算学启蒙》是中国古代重要的著作，书中记载：今有军士分甲，人分五领，少十领；人分四领，多二领，问军士、甲各几何？题目大意：今有士兵分锁甲，如果每人分5领，则缺少10领；如果每人分4领，则多出2领．问士兵和铠甲各有多少？设士兵有x人，铠甲有y领，则所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·北京·期中）若关于的方程组的解为，则的值是（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 4．（25-26七年级下·北京·期中）在代数式中，当分别取，0，1，2时，对应代数式的值如下表，则的值为（   ） … 0 1 2 … … 1 3 5 … A． B．6 C．4 D． 5．（25-26七年级下·北京·期中）已知方程组的解满足，则的值为（   ） A．2 B． C．3 D．-3 6．（25-26七年级下·北京顺义·期中）如果把方程写成用含x的代数式表示y的形式，那么________． 7．（25-26七年级下·北京顺义·期中）已知是二元一次方程的一个解，则a的值为________． 8．（25-26七年级下·北京海淀·期中）如果是关于的二元一次方程的一组解，那么代数式___________． 9．（25-26七年级下·北京顺义·期中）已知，则_____________． 10．（25-26七年级下·北京昌平·期中）已知方程是关于x，y的二元一次方程，则________． 11．（25-26七年级下·北京通州·期中）解方程组： (1)； (2)． 12．（25-26七年级下·北京·期中）解方程组： (1)； (2)． 13．（2026·北京西城·二模）某研学小组计划在暑假期间参加“非遗传承，研学之旅”活动．已知该活动有画糖人和剪纸两个体验项目，据了解体验2次画糖人的费用比1次剪纸的费用多10元，体验4次画糖人的费用和3次剪纸的费用相同．若体验画糖人的总次数是5人次，剪纸总次数是4人次，且用于这次活动的总预算为150元，请判断这个费用是否够用，并说明理由． 14．（25-26七年级下·北京顺义·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求m的取值范围． 15．（25-26七年级上·贵州铜仁·阶段检测）已知关于的方程组和的解相同，求的值． 期末重难突破练（测试时间：15分钟） 16．（25-26七年级下·北京·期中）我国清代数学家梅瑴成在《增删算法统宗》中记载了这样一个问题：八百八十八文钱，甜果苦果买八百．苦果四个三文钱．甜果六个九文钱．试问甜苦果各几个？其大意是：用八百八十八文钱共买了八百个苦果和甜果．已知三文钱可以买四个苦果，九文钱可以买六个甜果．那么苦果、甜果各买了多少个？设苦果有个，甜果有个，则根据题意可列出的方程组为（   ） A． B． C． D． 17．（25-26七年级下·北京·期中）两个关于x、y的二元一次方程为：方程①和方程②，其中方程①的部分解如下表所示．将方程①中的y值记为，方程②中的y值记为，若当时，对于x的每一个值，都有，则m的取值范围是（    ） x … 0 1 2 … y … 0 1 2 3 … A． B． C． D． 18．小明在解关于x、y的二元一次方程组时，解得，则和代表的数分别是（   ） A．3、 B．1、5 C．、3 D．5、1 19．（25-26八年级上·广东深圳·期末）若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为（   ） A． B． C． D．3 20．（25-26七年级下·北京·期中）已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①当时，方程组的解也是的解；②无论取何值，，y的值不可能是互为相反数；③x，y都为自然数的解有3对；④若，则，其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 21．（25-26七年级下·北京顺义·期中）若 ，则________． 22．（24-25七年级下·湖北黄石·期末）若关于x、y的二元一次方程组的解满足方程，则k的值是________． 23．（25-26七年级下·北京·期中）已知关于、的二元一次方程组，如果，那么的取值范围是___________． 24．（25-26七年级下·北京·期中）已知关于，的方程组其中，给出下列说法： ①当时，、的值互为相反数；②是方程组的解；③方程组的解也是方程的解；④若，则．其中说法正确的有________． 25．（25-26七年级下·北京·期中）学校义卖活动中，有手工皂和香薰蜡烛两种商品需要分装打包，由社团的甲、乙两个小组分别负责，甲组负责打包手工皂，打包份的总耗时可表示为分钟；乙组负责打包香薰蜡烛，打包份的总耗时可表示为分钟． （1）第一天，社团准备了12份商品分配给两个小组，两组刚好同时完成打包，则分配给甲组的手工皂的份数与乙组的香薰蜡烛的份数之比为__________． （2）第二天，社团分配给甲组的份数在第一天的基础上增加了份，分配给乙组的份数在第一天的基础上增加了份，若两组仍能同时完成打包，且、均为小于12的正整数，则的值为__________． 26．（25-26七年级下·北京·阶段检测）解方程（组）或不等式（组） (1) (2) (3) (4) 27．（25-26七年级下·北京·阶段检测）已知关于x、y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求出a、b的值； (2)求的值． 28．（25-26七年级下·北京·期中）一超市会把临近保质期的食品特价销售．某款鸡蛋一盒有个，每盒原价元，特价每盒元；另一款鸭蛋一盒有个，每盒原价元，特价每盒元．一餐厅购买了几盒鸡蛋和几盒鸭蛋，比按原价购买共少花了元，并且这些蛋的总个数恰好够餐厅在天内每天消耗相同数量的蛋（按个计算）且正好用完．请问该餐厅购买了鸡蛋和鸭蛋各多少盒？ 29．（2026·北京石景山·二模）《营造法式》是北宋官方颁布的建筑设计与施工规范，其创立的“材份制”规定所有建筑构件的尺寸均以“份”为基本单位，不同材等对应的份的实际长度（单位：寸）不同，具体如表： 材等 一等 二等 三等 四等 五等 六等 份实际长度（寸） 书中记载：栌斗的长度为份，高度为份；华栱的长度为份，高度为份；散斗的长度为份，高度为份．图为斗拱结构示意图，标注了栌斗、散斗、华栱等构件在整体斗拱结构中的具体位置与形态． 某考古队在一处建筑群遗址中，发现了两座采用不同材等建造的建筑遗存，出土了栌斗、华栱、散斗三种构件的完整标本．经精密测量，采用第一种材等制作的栌斗实际长度与采用第二种材等制作的华栱实际高度之和为寸；采用第一种材等制作的散斗实际高度与采用第二种材等制作的散斗实际高度之比为．判断该建筑群所用的两种材等分别对应几等材，并说明理由．    30．（25-26七年级下·北京·阶段检测）已知关于x，y的二元一次方程组（其中m是参数）． (1)观察方程组中未知数的系数，用“整体法”可得 ；（用含m的代数式表示结果） (2)若方程组的解满足不等式 ，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，若不等式 的解集为，请求出整数m的值． 期末综合拓展练（测试时间：20分钟） 31．（24-25七年级下·北京大兴·期末）在等式中，当时，；当时，．当时，若对于每一个的值，关于的不等式总成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 32．（24-25七年级下·北京海淀·期中）已知关于，的方程组，其中，下列命题正确的个数为（   ） ①当时，、的值互为相反数；②是方程组的解；③当时，方程组的解也是方程的解；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 33．（24-25九年级下·山东泰安·期中）2025年亚洲冬季运动会于2月7日至2月14日在哈尔滨举行，某经销店调查发现：吉祥物“滨滨”和“妮妮”深受青少年喜爱．已知购进3个“滨滨”比购进2个“妮妮”多用80元；购进1个“滨滨”和2个“妮妮”共用160元．该商店决定购进“滨滨”和“妮妮”各100个，其总费用为（　　） A．11000元 B．10200元 C．10000元 D．9900元 34．（24-25七年级上·福建泉州·期末）在代数式 中，当x分别取， ， ， 1， 2， 3时， 对应代数式的值如表，则的值为（   ） x                1 2 3                3 5 7 A．3 B．7 C． D． 35．（23-24七年级下·甘肃天水·期末）若关于x，y方程组解满足，则m值为（    ） A．2 B． C．1 D． 36．（25-26七年级下·北京房山·期中）已知关于，的方程组的解是，则的值为________． 37．（24-25七年级下·北京·期中）已知关于的二元一次方程组的解为，且满足，则的值为______． 38．（24-25七年级下·北京·期中）规定：形如关于、的方程与的两个方程互为“友好二元一次方程”，其中；由这两个方程组成的方程组叫做“友好方程组”． （1）若关于、的方程组为“友好方程组”，则______，______； （2）若关于、的“友好方程组”的解为整数，则整数的值为______． 39．（24-25七年级下·北京·期中）我校节举办数学素养大赛，比赛共设四个项目：七巧拼图、三阶幻方、连环解锁和数独比拼，每个项目得分都按照一定百分比折算后计入总分（每个项目得分的折算百分比之和为1），并规定总分在85分以上（含85分）设为一等奖，下表为甲、乙、丙三位同学的得分情况（单位：分）． 项目 项目得分 学生 七巧拼图 三阶幻方 连环解锁 数独比拼 折算后总分 甲 66 95 68    乙 66 80 60 68 70 丙 66 90 80 68 80 若甲、乙、丙三位同学的七巧拼图和数独比拼两项得分折算后的分数之和均为a分，设三阶幻方和连环解锁两个项目的折算百分比分别为和，以下说法正确的是______． ①三阶幻方和连环解锁的折算百分比满足关系式； ②若七巧拼图和数独比拼两项折算后分数之和，则它们的折算百分比之和为0.25； ③在②的基础上，若甲在连环解锁得到90分，就一定能得到一等奖． 40．（24-25七年级下·北京·期中）已知三个数，，，用表示这三个数中最大的数，如果，那么： （1）当，，时，的值是_______； （2）当，，，且时，的值是_______． 41．（24-25七年级下·北京朝阳·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，其中m是非负整数，求m的值． 42．（25-26七年级下·北京·期中）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组） 和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式____的“梦想解”；（填序号） ①，②，③． (2)若关于，的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． 43．（25-26七年级下·北京·期中）列方程或方程组解决问题 根据以下素材，探索完成任务． 生活中的数学：如何设计合理的采购方案 素材一 4月23日是世界读书日，旨在让全球各地的人们不论年龄、贫富、健康状况，都能享受阅读，尊重并感谢为文明做出巨大贡献的大师们，同时保护知识产权． 素材二 某校在“世界读书日”前夕，决定订购A，B两种书籍，若订购A种书籍10本，B种书籍20本，共花500元；若订购A种书籍12本，B种书籍40本，共花费840元． (1)任务一：求A，B两种书籍每本的进价分别为多少元． (2)任务二：若初一2班计划用180元购进这两种书籍（两种书籍均购进），且计划投入的资金正好用完，则共有哪几种购进方案？列出所有的可能． 44．（25-26七年级下·北京·期中）我们已经学习了平方根、立方根等概念，了解到：有理数和无理数统称为实数，即数从有理数扩充到了实数范围．在学习过程中我们又知道“负数没有平方根”，即在实数范围内的任何一个数都无法使得成立． 现在，我们设想引入一个新数，使得成立，且这个新数与实数之间，仍满足实数范围内加法和乘法运算，以及交换律、结合律，包括乘法对加法的分配律．把任意实数与的相乘记作，任意实数与相加记作，由此，我们将形如（均为实数）的数叫作复数，其中叫虚数单位，叫作复数的实部，叫作复数的虚部． 对于复数（均为实数），当且仅当时，它是实数；当且仅当时，它是实数0；当时，它叫作虚数：当且时，它是纯虚数． 例如都是虚数，它们的实部分别是，虚部分别是，并且以上虚数中只有是纯虚数． (1)化简：_____． (2)已知复数 （是实数）是纯虚数，则实数_____． (3)计算：_____． (4)已知为实数，且满足 ，则_____，_____． 45．（25-26七年级下·北京昌平·期中）不妨约定：关于x，y的二元一次方程（为常数，且），若系数满足，则称这个方程为“开心”方程．例如：方程，其中，满足，且，则方程是“开心”方程，由两个“开心”方程组成的方程组称作“开心”方程组．根据上述规定，回答下列问题： (1)判断以下方程是不是“开心”方程（填“是”或“不是”）； ① ；② ；③ ． (2)若关于的“开心”方程组的解为，求的值． (3)关于的“开心”方程组满足，其中为整数，为常数且，直接写出“开心”方程组的解． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二元一次方程组（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 二元一次方程的定义与解 题型02 二元一次方程组的定义与解 题型03 已知二元一次方程组的解求参数 题型04 解二元一次方程组 题型05 二元一次方程组的特殊解法 题型06 二元一次方程组的错解复原问题 题型07 构造二元一次方程组求解 题型08 二元一次方程组的同解问题 题型09 已知二元一次方程组解的情况求参数 题型10 三元一次方程组的定义、解与应用 题型11 方案问题 题型12 行程问题 题型13 工程问题 题型14 分配问题 题型15 销售利润问题 题型16 几何问题 题型17 古代问题 题型18 二元一次方程组的新定义问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 二元一次方程的定义 掌握二元一次方程的定义、特征，能准确判断并理解其解的含义。 基础常考题，一般是概念辨析问题，出现在小题中，分值2分左右 二元一次方程的解 理解二元一次方程解的意义，能判断解、求对应未知数的值，并知道其有无数组解。 基础常考题，题型主要是给出方程的解去求解，出现在小题中，分值2分左右 二元一次方程组的定义与解 掌握二元一次方程组的定义，能判断方程组，并理解其解的意义、会检验一组数是否为方程组的解。 基础常考题，出现在小题中，分值2分左右 解二元一次方程组 理解并掌握代入消元法、加减消元法，能熟练解二元一次方程组，并检验解的正确性。 核心必考题，一般在计算题考查，难度不大，分值在5分左右 二元一次方程组的含参问题 掌握含参数的二元一次方程组的解法，能根据解的情况、同解等条件求参数的值或范围。 重要考点，含参问题一直是初中的难点，一般会在小题中考查，分值在3分左右 二元一次方程组的错解复原问题 利用看错系数的错解反推原方程或参数，还原并正确求解二元一次方程组。 常考易错题，所有题型均可能考查，分值在3分左右，难度不大 三元一次方程组的相关概念 三元一次方程组的相关概念 基本常考题，一般出现在小题，分值3分 二元一次方程组的实际问题 能从实际问题中提炼等量关系，列出并求解二元一次方程组，解决配套、行程、工程、利润等常见应用题。 核心必考题，二元一次方组的实际应用是期中的必考题，注意各种题型的解题方法，一般分值在6分左右 知识点01 二元一次方程 1.定义： 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程； 2.注意： （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数； (2)“含有未知数的项的次数都是1”不可理解为两个未知数的次数都是1； (3)二元一次方程的左边和右边都是整式， 3.方法技巧 判断一个方程是不是二元一次方程要“三看”：一看原方程是不是整式方程；二看化简后的方程是否含有两个未知数；三看含有未知数的项的次数是否都是1， 知识点02 二元一次方程的解 1.定义： 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 2.注意： （1） 在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解． （2）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数的值，再依次求出另一个的对应值． 3.验证二元一次方程的解的方法 把数值代入原方程，验证等号左右两边是否相等： 简记为：一代，二算，三判断 4.一般情况下，一个二元一次方程有无数组解，但如果对其未知数的取值附加某些限制条件，那么也 可能有有限个特殊的解. 知识点03 二元一次方程组的概念 1.二元一次方程组的定义： 由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 2.注意： (1)二元一次方程组一共要含有两个未知数，而不是每个方程都必须含有两个未知数 (2)方程组中的各个方程，相同未知数必须代表同一数量，否则不能将两个方程合在一起。 3.方法技巧： 判断一个方程组是二元一次方程组的方法 (1)方程组中各个方程都是整式方程： (2)方程组中一共含有两个不相同的未知数，而不是每个方程都必须含有两个未知数： (3)含未知数的项的次数都是1. 知识点04 二元一次方程组的解 1.定义： 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 2.注意： 一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数． 3.方法技巧： （1）方程组的解一定是方程组中每一个方程的解，但方程组中每一个方程的解不一定是这个方程组的解； （2）方程组的解要用大括号联立表示； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一组，但也有特殊情况，代入检验法检验一对数值是否为某二元 次方程组的解的方法是将这对数值分别代入方程组中的每个方程，只有这对数值满足其中的所有方程时，才能说这对数值是此方程组的解，如果这对数值不满妮其中的某一个方程，那么它就不是此方程组的解. 知识点05 代入消元法 1.代入消元法的概念 将方程组的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代人另一个方程，消去这个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程.这种解方程组的方法称为代入消元法，简 称代入法. 2.用代入法解二元一次方程组的一般步骤： （1） 变形：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来． （2） 代入：将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． （3） 求解：解这个一元一次方程，求出x（或y）的值． （4） 回代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值． （5） 写解：把求得的x、y的值用大括号“{”联立起来，就是方程组的解． 3.方法技巧： 用代入消元法解二元一次方程组的关键是“消元”，即化“二元”为“一元”。应注意的问题： (1)找准消元对象，消元对象一般选取系数简单的（如系数的绝对值较小的，系数是±1的)未知数，使变形后的方程比较简单或代入后比较容易化简. (2)在用代入法解二元一次方程组的一般步骤的“代入”中，必须理解“另一个”的含义，否则，若把y=ar+b代入变形的原方程，必然得到一个恒等式 (3)用代入法求出一个未知数的值后，再求另一个未知数时，一般代入变形后得到的方程比较 简单。 知识点06 加减消元法 1.加减消元法的概念 把方程组的两个方程（或先做适当变形）的左、右两边分别相加或相减，消去其中一个未知数，从而把解 二元一次方程组转化为解一元一次方程.这种解方程组的方法称为加减消元法，简称加减法. 2.用加减法解二元一次方程组的一般步骤： （1） 变形：方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数． （2） 加减：把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． （3） 求解：解这个一元一次方程，求得未知数的值． （4） 回代：将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值． （5） 写解：把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用大括号“{”的形式表示． 3.用加减消元法解二元一次方程组应注意的问题： (1)化为标准形式·用加减消元法解二元一次方程组时，一般先把方程组整理成标准形式，再设法加减消元，这样不易出错. (2)选准消元对象，当某个未知数的系数相等或互为相反数或有倍数关系时，选择消去该未知数较简单，如果同一未知数的系数既不相等，也不互为相反数，那么可以利用等式的性质进行转化，使同一未知数的系数变得相等或互为相反数· 4.加减消元法四大解题策略： 策略一：对于相同未知数的系数互为相反数的二元一次方程组，直接相加消元. 策略二：对于相同未知数的系数相同的二元一次方程组，直接相减消元 策略三：当二元一次方程组中有系数成倍数关系的相同未知数时，应适当变形后消去这个未知数. 策略四：当二元一次方程组不具备以上三种类型时，选择系数的绝对值较小的相同未知数作为“消元” 的目标更简便 知识点07 三元一次方程组的概念、解与应用 三元一次方程组的概念 1.三元一次方程组的定义： 方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． 2.三元一次方程组必须同时满足三个条件： （1）方程组中一共含有三个未知数，而不是每个方程都必须含有三个未知数； (2)含未知数的项的次数是1； (3)方程组中共有三个整式方程， 解三元一次方程组 1.解三元一次方程组的基本思路 通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程 2.解三元一次方程组的方法： 解三元一次方程组时，先仔细观察三个方程中各个未知数系数的特点及整个式子的特点，然后确定消哪个“元”，再灵活选用代入消元法或加减消元法将三元化为二元， 3.解三元一次方程组的一般步骤： ①消元：首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组． ②求解：然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值． ③回代：再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程． ④求解：解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值． ⑤写解：最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可． 三元一次方程组的简单应用 在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程． （1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础． （2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性． 知识点08 二元一次方程组的实际应用 由实际问题抽象出二元一次方程组 1. 由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． 2.一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符． 3.找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法： ①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系． ②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系． ③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系． 4. 建立二元一次方程组的基本模型 二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 题型一 二元一次方程的定义与解 易｜错｜点｜拨 定义易错：必须是整式方程，含两个未知数且次数都是 1；分母有未知数、含 xy 项都不是二元一次方程。 解的易错：二元一次方程有无数组解；检验时要把一对数值同时代入验证；已知一个未知数求另一个，注意移项计算别出错。 1．若方程是关于x、y的二元一次方程，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由二元一次方程的定义可知，且，解出m和n的值，进而可求出． 【详解】解：∵方程是关于x、y的二元一次方程， ∴且， ∴，， ∴． 2．下列各式，属于二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二元一次方程需要满足三个条件：①是整式方程；②含有两个未知数；③所有未知数项的次数均为1，据此逐项分析即可． 【详解】解：A．，项的次数为2，不是二元一次方程； B．，整理得，是整式方程，含两个未知数，所有未知数项次数均为1，是二元一次方程； C．，不是整式，该方程不是整式方程，不是二元一次方程； D．，未知数项的次数为2，不是二元一次方程． 3．如果是方程的一组解，那么代数式______． 【答案】5 【分析】根据二元一次方程解的定义，将解代入方程得到等式，再整体代入所求代数式求值． 【详解】解：因为是方程的解， 所以． 则 ， 将代入得： 原式. 题型二 二元一次方程组的定义与解 易｜错｜点｜拨 定义易错 必须满足：共含两个未知数，每个方程都是一次整式方程； 易错：出现 xy 项、未知数在分母、出现三个未知数，都不是二元一次方程组； 解的易错 方程组的解要同时满足所有方程，只满足一个不算解； 不要和二元一次方程混淆：方程组一般只有一组解，不是无数组； 检验时易只代入一个方程验算，导致判断错误。 4．下列方程组中，①；②；③；④；属于二元一次方程组的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】二元一次方程组需满足三个条件：①方程组共含有两个未知数；②每个未知数的最高次数为1次；③方程组中的方程都是整式方程，据此逐个判断即可． 【详解】解：根据二元一次方程组的定义逐个判断： ∵①中含有三个未知数， ∴①不属于二元一次方程组； ∵②中共含两个未知数，未知数最高次数为1，均为整式方程，满足定义， ∴②属于二元一次方程组； ∵③共含两个未知数，未知数最高次数为1，均为整式方程，满足定义， ∴③属于二元一次方程组； ∵④中未知数的最高次数为2， ∴④不属于二元一次方程组； 综上，属于二元一次方程组的共个． 5．满足二元一次方程和的部分值分别如表1、表2所示，则方程组的解是（　　） 表1 0 1 2 2 0 表2 0 1 2 0 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意及表格，找出两个方程公共解即可． 【详解】解：由表格数据可知，二元一次方程和相同的一组解是， 则方程组的解是． 6．下面三组数据： ①  ②  ③ 满足方程的是_________，满足方程的是_________，同时满足这两个方程的是_________．故二元一次方程组的解是_________．（填序号） 【答案】 ①②/②① ②③/③② ② ② 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．根据解的含义逐一进行检验即可． 【详解】解：将代入方程左边得：，右边，左边右边；是方程的解； 将代入方程左边得：，右边，左边右边；是方程的解； 将代入方程左边得：，右边，左边右边；不是方程的解； 故答案为：①② 将代入方程左边得：，右边，左边右边，不是方程的解； 将代入方程左边得：，右边，左边右边，是方程的解； 将代入方程左边得：，右边，左边右边；是方程的解； 故答案为：②③ 同时满足这两个方程的为， 则方程组的解为． 故答案为：②，② 题型三 已知二元一次方程组的解求参数 易｜错｜点｜拨 1.方程组的解同时满足两个方程，不能只代入一个方程求参数; 2.代入计算时，注意符号、系数不要抄错，避免移项、去括号出错; 3.看清题目：是求参数的值，还是求含参数的代数式的值，不要答非所问; 4.求出参数后，可回代检验，防止计算错误。 7．已知是方程的解，则k的值为(    ) A． B．1 C． D．3 【答案】B 【详解】解：将代入方程：， 即， 解得． 8．小亮解得方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数■和▲，请你帮他找回数■和▲，这两个数中较小的一个数的值是________． 【答案】 【分析】先把代入可求出，然后把代入，计算得出■所遮住的数，即可比较得出． 【详解】解：把代入，得， 解得， 把代入， 得， ， 数■和▲中较小的一个数的值是． 9．已知关于x、y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)不管取任何值，方程总有一个固定解，请求出这个解． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）将变形为，分别令求得的值，即可求解； （2）先通过方程组解出、的值，再将、代入代数式求出即可； （3）将原式进行变换后即可求出这个固定解． 【详解】（1）解：， ∴， 当时，， 当时，， ∴的所有正整数解为， ； （2）解：由和得， ， 解得，代入得， ， 解得； （3）解：整理得， ， 根据题意得， 解得， 所以，这个固定不变的解为． 题型四 解二元一次方程组 易｜错｜点｜拨 代入消元别漏括号，加减消元系数配平时每项同乘常数；移项、去括号符号极易出错。求出一组解后务必代入原式验算，区分方程组无解、无数组解的情况；格式规范，解成对写出不可只写单个数值。 10．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 11．解方程组： 【答案】 【详解】解：方程组化简为， 得：， 解得： ， 把 代入①中，得：， 解得：， ∴方程组的解为：． 12．解下列方程组： (1)， (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 由①可得：， 将③代入②可得：， 解得：， 将代入③可得：， ∴原二元一次方程组的解为； （2）解：原方程组化简得， 由可得：， 解得：， 将代入②可得， 解得， ∴原二元一次方程组的解为． 题型五 二元一次方程组的特殊解法 易｜错｜点｜拨 整体换元时整体加括号，避免拆分出错；系数对称轮换可两式相加、相减简化。比例型设参数 k 代入求值，消元前先观察系数特点简化计算。换元后记得回代求原未知数，验算不可少，别混淆整体与单个变量范围。 13．若方程组的解为，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解．根据已知条件和二元一次方程组的解的定义得到，求出，即可． 【详解】解：∵， ∴， 方程组的解为， ， 解得：， 方程组的解为：， 故选：C． 14．已知方程组的解为，则方程组的解为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据方程组的特点，理解整体思想是解题关键．先将方程变形为，根据方程组的解为得到，即可求出． 【详解】解：变形为， ∵方程组的解为， ∴， ∴． 故答案为： 15．课上老师出了一道题：已知关于的二元一次方程组①：的解为，求关于的二元一次方程组②：的解． 甲同学说：可以将代入方程组①，求出和的值，再将求出的和的值代入方程组②，求出方程组②的解． 乙同学说：观察两个方程组发现，只需令方程组②中的，即可转化为关于的方程组，与方程组①对比，立马可以得出和的值，进而得出方程组②中和的值． 老师说：甲、乙都是正确的，但乙的做法更巧妙，我们将这个方法叫做“换元法”．请你利用这种“换元法”，解决下列问题： (1)直接写出题目中方程组②的解： (2)已知关于的二元一次方程组的解是，求关于的二元一次方程组的解； (3)已知关于的二元一次方程的解如表： … 0 1 … … 4 2 … 关于的二元一次方程的解如表： … 0 1 … … 4 1 … 则关于的二元一次方程组的解为：___________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据换元法可得，则，由此即可得； （2）令，，则，代入解方程组即可； （3）先根据表格可得关于的方程组的解，再利用换元法解方程组即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， 解得． （2）解：令，， 则方程组可转化为， ∵关于的二元一次方程组的解是， ∴关于的二元一次方程组的解是， ∴， 解得， ∴关于、的二元一次方程组的解为． （3）解：由表格可知，关于的方程组的解为， 关于的二元一次方程组可转化为， 令，， 则关于的方程组可转化为，其解为， ∴， 解得， ∴关于的二元一次方程组的解为． 题型六 二元一次方程组的错解复原问题 易｜错｜点｜拨 1.看清谁看错了哪个系数，错解只能代入看错的方程，不能代入原方程; 2.正确的解要同时代入两个原方程，不要和错解混用; 3.复原时先列出含参数的方程组，计算时注意符号和移项，避免算错参数; 4.最后一定要检验，确认复原后的方程组和解是否一致。 16．两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把抄错了解得，则，，正确的值应为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查解二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组中的错解问题的方法是解题的关键，甲的正确解代入原方程组得到关于的方程，乙的解因抄错，仅满足第一个方程，由此联立方程求解． 【详解】解：将代入原方程组， 得， 得， 将代入， 得， 化简为， 则， 解得：， 综上，，，， 故选：D． 17．小明在解方程组时由于看错，解得，而正确解为，则________． 【答案】24 【分析】看错系数得到的解满足第一个方程，正确解满足方程组的两个方程，将对应解分别代入得到关于，，的方程，求解得到三个未知数的值，再计算即可． 【详解】解：由题意可知，满足方程， 代入得，； 将正确解代入，得； 联立得方程组， 解得 将正确解代入，得， 解得， ∴． 18．数学课上，在解方程组时，由于粗心，亮亮看错了方程组中的、解得，彤彤看错了方程组中的，解得， 根据上面的信息解答： (1)求出正确的的值； (2)求出原方程组的正确解． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）解：原方程组为：， 由题意得：将，代入②得： ， 解这个方程，得：， 将，代入①得：， 解这个方程，得：， ； （2）解：将代入原方程组：， 得： ， 解这个方程，得：， 将代入②：， 解这个方程，得：， 所以这个方程组的解是． 题型七 构造二元一次方程组求解 19．在等式中，当时，；当时，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“当时，；当时，”列方程组求解即可． 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴， 解得：． 20．已知关于的等式恒成立，则__________． 【答案】7 【分析】首先，将多项式展开，然后，根据题意得到关于的方程组，最后，解方程组即可． 【详解】解：∵，关于的等式恒成立， ∴， 解得， ∴． 21．解答下列问题： (1)定义运算“*”，规定 ，其中，为常数，且 ，，请求出的值； (2)甲、乙两人同时解方程组，甲解题时看错了①中的，解得，乙解题时看错②中的，解得，试求原方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新定义得出方程组，求得的值，然后根据新定义列式计算即可求解； （2）把代入②，把代入①，分别求得的值，再代入原方程组解方程组，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， ． （2）把代入②得： ， 解得：， 把代入①得： ， 解得：； 把，代入方程组得：， ③④得：，即， 把代入③得：， ∴原方程组的解为． 题型八 二元一次方程组的同解问题 易｜错｜点｜拨 1.同解就是一组解同时满足所有方程组，不能只代入部分方程； 2.先联立不含参数的两个方程求出公共解，再把解代入含参数方程； 3.代入时看清系数与符号，别把参数和未知数弄混； 4.求出参数后记得回代检验，避免计算失误。 22．已知关于x，y的方程组与的解相同，求的值． 【答案】1 【详解】解：依题意可得， 解得． 把代入和中，可得方程组， 解方程组可得， ． 23．已知关于的方程组和有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同解的性质，将两个不含参数的方程组成新方程组，利用加减消元法解方程组即可得到相同的解； （2）将得到的相同解代入含参数的方程，求出参数，的值，再代入代数式计算即可得到结果． 【详解】（1）解：两个方程组有相同的解， 该解满足两个方程组的所有方程， 将不含参数的方程组合为新方程组， 得，解得， 把代入，得，解得， 这个相同的解为； （2）解：把代入含参数的两个方程，得， 由得， 将代入得， 整理得，解得， 把代入，得， 将，代入得 ． 24．已知关于的方程组与关于的方程组的解相同，求的值． 【答案】， 【分析】根据已知的两个方程组的解相同得到关于x、y的方程组，求出x、y的值，再将x、y的值代入含a、b的两个方程中，得到关于a、b的二元一次方程组，进而求出a、b的值即可． 【详解】解:∵两个方程组的解相同， ∴先解方程组， 由得， 将代入得， 解得， 将代入，得； ∴两个方程组的公共解为， 将代入含有的方程组，即， ∴， 由得， 解得， 将代入得， 解得． 题型九 已知二元一次方程组解的情况求参数 易｜错｜点｜拨 先整理成标准形式；比值判定时分母不为 0，区分唯一解、无数解、无解条件。无数解要求三个比值全相等，无解只需前两比值等、不等第三个；别漏参数正负讨论，算出值后代回检验。 25．已知关于x，y的方程组的解满足，则m的值为（     ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】直接将方程组的两个方程相加，得到与的关系，再结合已知条件即可求出的值． 【详解】解：方程组， 将两式相加可得， 整理可得，即， ∵，即 ∴，解得． 26．已知关于x、y的方程组的解满足，则k的值为________． 【答案】2或−6 【分析】将两个方程相加整理得出．由得，因式分解进而求出k的值． 【详解】解： 由①②得， 即， 把代入， ∴， 整理得， 因式分解得， 解得，． ∴k的值为2或． 27．已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）求正整数解时，将方程变形为，再根据x，y为正整数的条件，确定y的取值； （2）先联立与求出x，y的值，再代入含m的方程求m． 【详解】（1）解：由得， ∵x，y为正整数， ∴， ∴， ∴y可取1，2，3： 时，， 时，， 时，， ∴方程的正整数解为：，，； （2）解：联立方程组， 解得：， 把代入，得， 解得：． 题型十 三元一次方程组的定义、解与应用 28．解三元一次方程组，若先消去，组成关于、的二元一次方程组，则应对方程组进行的变形为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：A．，得，，符合题意； B．，得，，不符合题意； C．，得，，不符合题意； D．，得，，不符合题意． 29．已知方程组，则________． 【答案】8 【分析】将乘以2，得，再减去即可得到解答． 【详解】解：， 由得：， 由得：． 30．阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程： 令，原方程组化为，解得， 把代入，得，解得， ∴原方程组的解为． 学以致用： (1)解方程组： (2)有甲、乙、丙三种商品，如果购买甲3件、乙2件、丙1件共需315元，购买甲1件、乙2件、丙3件共需285元，求购买甲、乙、丙三种商品各1件共需多少钱． 【答案】(1) (2)购买甲、乙、丙三种商品各1件共需150元 【分析】（1）根据题中所给的换元法进行求解即可； （2）设购买1件甲商品需元，购买1件乙商品需元，购买1件丙商品需元，由题意得：，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可令，原方程组化为， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：设购买1件甲商品需元，购买1件乙商品需元，购买1件丙商品需元，由题意得： ， 得：， ∴； 答：购买甲、乙、丙三种商品各1件共需150元． 题型十一 方案问题 易｜错｜点｜拨 设未知数后列出二元一次方程组或不等式，方案变量多为非负整数；求最值时分清一次函数增减性，自变量取整数值对比。容易忽略数量为正整数、总量限制条件，算出数值后要逐一列举全部可行方案，再对比费用选出最优。 31．某学校食堂午餐提供A，B两种套餐，1份A套餐和3份B套餐共含有蛋白质，3份A套餐和1份B套餐共含有蛋白质．学校膳食委员会建议中学生午餐蛋白质摄入总量每周不低于，且不高于（一周按5天计算）．若小云在校某一周内午餐选择A套餐2次，B套餐3次．通过计算说明，小云这周的午餐蛋白质摄入总量是否在膳食委员会建议的范围内． 【答案】这周午餐蛋白质摄入总量在建议范围内 【分析】设1份A套餐含有蛋白质，1份B套餐含有蛋白质．根据“1份A套餐和3份B套餐共含有蛋白质，3份A套餐和1份B套餐共含有蛋白质”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，将其代入中，可求出小云这周的午餐蛋白质摄入总量，再将其与学校膳食委员会建议中学生午餐蛋白质摄入总量比较后，即可得出结论． 【详解】解：设1份A套餐含有蛋白质，1份B套餐含有蛋白质．根据题意得： ， 解得， ， 不低于，且不高于， ∴这周午餐蛋白质摄入总量在建议范围内． 32．某科研团队为优化人形机器人的动作稳定性，分别采用电机参数调试和动态算法迭代两种技术改进方式． 已知完成2次电机参数调试和3次动态算法迭代，共需要21小时：完成3次电机参数调试和1次动态算法迭代，共需要14小时 (1)求完成1次电机参数调试和1次动态算法迭代各需要多少小时？ (2)若该团队共用24小时完成这两项改进工作，且两种改进方式都至少进行1次，则有几种符合条件的安排方案？ 【答案】(1)完成1次电机参数调试需要3小时，完成1次动态算法迭代需要5小时； (2)只有1种符合条件的安排方案 【分析】（1）设完成1次电机参数调试需要小时，完成1次动态算法迭代需要小时，根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可； （2）设完成电机参数调试次，动态算法迭代次，根据题意求得，结合，为正整数即可求解． 【详解】（1）解：设完成1次电机参数调试需要小时，完成1次动态算法迭代需要小时， 根据题意得， 解得， 答：完成1次电机参数调试需要3小时，完成1次动态算法迭代需要5小时； （2）解：设完成电机参数调试次，动态算法迭代次（，为正整数）， 根据题意得，即， 当，，符合题意； 当，，不符合题意； 答：只有1种符合条件的安排方案． 33．三月，我校班超联赛火热开赛！为丰富同学们的课余生活、满足运动需求，学校计划采购一批足球和篮球．负责采购的老师在团购群中看到了如下对话信息： (1)根据对话信息，求足球和篮球的单价各是多少元？ (2)若学校一次性采购总金额为700元．两种球都至少购买1个且采购资金正好用完，请给出所有购买方案． 【答案】(1)足球和篮球的单价分别为元 (2)有2种购买方案：①足球8个，篮球5个；②足球2个，篮球10个 【分析】（1）设足球和篮球的单价分别为元，根据对话信息建立二元一次方程组求解； （2）设购买足球个，篮球个，由题意得，，整理得，，再根据题意以及的约束条件求解． 【详解】（1）解：设足球和篮球的单价分别为元， 由题意得，， 解得 答：足球和篮球的单价分别为元； （2）解：设购买足球个，篮球个， 由题意得，， 整理得， ∵为正整数， ∴为整数，即为的倍数， ∵， ∴当时，； 当时， 当时，（舍去）， ∴当时，均不符合题意， ∴有2种购买方案：①足球8个，篮球5个；②足球2个，篮球10个． 题型十二 行程问题 易｜错｜点｜拨 牢记路程 = 速度 × 时间，相遇路程和、追及路程差；顺水逆水速要加减水流速度。单位统一，时间分段别混算；环形、折返易看错路程差，多人行程画线段辅助。设元后找准等量关系，分式行程别忘检验分母不为零。 34．平泽唯搭乘电车外出游玩，电车正要经过一条1000m长的桥，电车从车头上桥到车尾离桥共用时，整列电车完全在桥上的时间为，求电车的行驶速度． 【答案】电车的行驶速度为 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设电车的行驶速度为，电车的长为，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设电车的行驶速度为，电车的长为，由题意，得： ，解得：； 答：电车的行驶速度为． 35．甲，乙在的环形跑道上跑步，两人从某起点同时出发．如果同向而行，那么经过甲比乙多跑一圈；如果反向而行，那么经过两人第一次相遇． (1)求甲，乙两人的速度； (2)甲，乙同向而行时，丙也在跑道上跑步，且与甲，乙方向一致．若出发后甲追上丙，出发后乙追上丙，则出发时丙在甲，乙前面多少米？丙的速度是多少？ 【答案】(1)甲，乙两人的速度分别是 (2)出发时丙在甲，乙前面，丙的速度是 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确的理解题意找到等量关系是解题的关键． （1）设甲，乙两人的速度分别为：，；反向而行，两人相遇时所走的路程之和为400米；同向而行，两人相遇时甲比乙多走400米，据此列出方程组求解即可； （2）设丙在甲乙前方，丙的速度是，根据题意列方程组即可得到结论． 【详解】（1）解：设甲，乙两人的速度分别为：，； 根据题意得，， 解得：， 答：甲，乙两人的速度分别为：； （2）解：设丙在甲乙前方，丙的速度是， 根据题意得，， 解得：， 答：丙在甲乙前方，丙的速度是． 36．学校和博物馆相距20千米，小明与小强分别从学校和博物馆出发，相向而行．如果小明比小强早出发30分钟，那么在小强出发后2小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么1小时后两人还相距11千米．求小明、小强每小时各走多少千米． 【答案】小明每小时走4千米，小强每小时走5千米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系 ，列方程组求解． 设小明每小时走x千米，小强每小时走y千米，根据小明走小时的路程小强走2小时的路程千米，他们共同走1个小时，俩人走的路程差为11千米，据此列方程组求解． 【详解】解：设小明每小时走x千米，每小时走y千米，根据题意列方程组，得 ， 解这个方程组，得 答：小明每小时走4千米，小强每小时走5千米． 题型十三 工程问题 易｜错｜点｜拨 总工程常设单位 1，工作效率 = 1÷ 单独工期；合作效率为各效率相加。别混淆工作量、效率、时间三者关系；多人分段施工要拆分工作量求和，完工总量等于 1。设未知数列式时，切勿漏乘工作时长，结果需为正数，完工时间不能为负。 37．某公司有新员工和老员工若干名．已知1名新员工每天制造的零件个数比1名老员工少30，1名新员工与2名老员工每天共可制造180个零件，则1名新员工与1名老员工每天各能制造多少个零件？设1名新员工每天能制造个零件，1名老员工每天能制造个零件．根据题意可列方程组为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题二元一次方程组的应用，解题的关键是能够根据题意找到两个等量关系，这是列方程的依据． 找到两个等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设一个生手工每天能制作x个零件，一个熟手工每天能制造y个零件， 根据题意得：， 故选A． 38．某市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，则甲工程队每天施工________米，乙工程队每天施工________米． 【答案】 44.5 42.5 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米，由题意，得： ，解得：， 答：甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米； 故答案为：，． 39．某科技物流公司承包了某智能仓库的货物运输任务，拟派出A，B两种型号的无人运输车运输货物．已知2辆A型无人运输车与3辆B型无人运输车一次共运输货物60箱，5辆A型无人运输车与6辆B型无人运输车一次共运输货物135箱． (1)一辆A型无人运输车和一辆B型无人运输车一次各运输货物多少箱？ (2)该科技物流公司决定派出A，B两种型号的无人运输车共20辆参与运输，若本次运输的货物总量不少于250箱，且B型无人运输车至少派出8辆，则有哪几种派车方案？请通过计算说明． 【答案】(1)设A型无人运输车一次运输货物15箱，B型无人运输车一次运输货物10箱 (2)有3种方案：①A型无人运输车10辆，B型无人运输车10辆；②A型无人运输车11辆，B型无人运输车9辆；③A型无人运输车12辆，B型无人运输车8辆 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）设A型无人运输车一次运输货物x箱，B型无人运输车一次运输货物y箱，根据题意可以得到相应的二元一次方程组，从而可得答案； （2）设派出A型无人运输车m辆，B型无人运输车辆，根据题意可以列出不等式组，从而可得答案． 【详解】（1）解：设A型无人运输车一次运输货物x箱，B型无人运输车一次运输货物y箱． 由题意，得      解此方程组，得 经检验，是原方程组的解，也符合实际情况． 答：设A型无人运输车一次运输货物15箱，B型无人运输车一次运输货物10箱． （2）解：设派出A型无人运输车m辆，B型无人运输车辆． ∴． ∴． ∴有3种方案：①A型无人运输车10辆，B型无人运输车10辆； ②A型无人运输车11辆，B型无人运输车9辆； ③A型无人运输车12辆，B型无人运输车8辆． 题型十四 分配问题 易｜错｜点｜拨 找准总量不变量，分清调配前后数量变化；调动时甲减少的量等于乙增加的量。多组分配需列两组等量关系，常误用不等号替代等式；人数、物资只能是非负整数，算出结果要贴合实际，检验调配后数量正负。 40．青花瓷是中国瓷器主流品种之一，由于它具有白瓷如雪，青花似玉的特征，因此深受人们的喜爱．现某瓷器厂计划生产由1个茶壶和8个茶杯组成套装的青花瓷茶具．若一位工人一天只能生产200个茶杯或50个茶壶，该厂现有120名工人，如何安排生产茶杯或茶壶的工人人数使生产的茶具配套． 【答案】安排80名工人生产茶杯，40名工人生产茶壶 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用；设名工人生产茶杯，名工人生产茶壶，根据有120名工人，且1个茶壶和8个茶杯组成套装的青花瓷茶具．一位工人一天只能生产200个茶杯或50个茶壶，列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设名工人生产茶杯，名工人生产茶壶，    根据题意，得         解方程组.得             答：安排80名工人生产茶杯，40名工人生产茶壶. 41．春季是传染病高发的季节，同学们要勤通风常洗手，为了同学们的身体健康，李老师为全年级师生购买洗手液，根据市场调研，李老师发现某品牌的洗手液的大瓶装和小瓶装两种产品的销售数量（按瓶计算）比为，某厂每天生产这种洗手液22.5吨，请同学们利用二元一次方程组的数学思想，帮助李老师估计一下这些洗手液应该分装多少个大瓶，多少个小瓶才是最合理的？（请同学们注意单位换算） 【答案】这些消毒液应该分装20000大瓶，50000小瓶 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系，准确列方程组进行计算是解题关键．设这些消毒液应该分装x大瓶，y小瓶，根据题意列出方程组，解方程组求出x，y的值，即可求解． 【详解】解：依题意，22.5吨千克克， 设这些消毒液应该分装x大瓶，y小瓶， 由题意得 ， 解得 ， 答：这些消毒液应该分装20000大瓶，50000小瓶． 42．某纸品加工厂制作甲（需要材料为1个正方形和4个长方形）、乙（需要材料为2个正方形和3个长方形）两种无盖的长方体小盒，利用边角料裁出正方形、长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形边长相等，现将160张正方形硬纸片和340张长方形硬纸片全部用于制作这两种无盖长方体小盒，分别可以做多少个？ 【答案】甲种小盒40个，乙种小盒60个 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设可以做成无盖长方体小盒各x个，y个，根据将160张正方形硬纸片和340张长方形硬纸片全部用于制作这两种无盖长方体小盒，列出方程组求解即可． 【详解】解：设可以做成无盖长方体小盒各x个，y个， 由题意得，， 解得， 答：可以做成甲种小盒40个，乙种小盒60个． 题型十五 销售利润问题 易｜错｜点｜拨 牢记利润、售价、进价、利润率公式，打折要乘折扣率；总利润 = 单件利润 × 销量。涨价降价会同步改变销量，极易漏算销量变化；分清盈利亏损正负，列方程时等量关系别颠倒，结果价格数量必须为正数，验证是否符合实际售卖逻辑。 43．列二元一次方程组解答问题： 2025年12月26日，北大附中初中部“畅听杯”合唱节圆满落幕．本届合唱节以“歌漾山河·强国有我”为主题，为初一年级同学们搭建了凝聚班级向心力、提升艺术审美、厚植家国情怀的展示舞台．为了呈现更精彩的舞台效果，某班担任合唱指挥、伴奏、伴舞与主唱的同学计划单独租赁演出服装．为享受团购优惠，该班与另一班级商议后决定一起租用服装．已知其中一个班级租赁5套男生演出服和5套女生演出服，共花费300元；另一个班级租赁3套男生演出服和7套女生演出服，共花费320元，求每套男生演出服与每套女生演出服的租赁费用分别是多少元？ 【答案】每套男生演出服的租赁费用是25元，每套女生演出服的租赁费用是35元 【分析】设每套男生演出服的租赁费用是元，每套女生演出服的租赁费用是元，根据题意列二元一次方程求解即可． 【详解】解：设每套男生演出服的租赁费用是元，每套女生演出服的租赁费用是元， ， 解得， 答：每套男生演出服的租赁费用是25元，每套女生演出服的租赁费用是35元． 44．随着“低碳生活、绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解1辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计60万元；2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计95万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案． 【答案】(1) A型汽车每辆进价为10万元，B型汽车每辆进价为25万元 (2) 共有三种购买方案：方案一：购买A型汽车15辆，B型汽车2辆；方案二：购买A型汽车10辆，B型汽车4辆；方案三：购买A型汽车5辆，B型汽车6辆 【分析】（1）设A型汽车每辆进价为万元，B型汽车每辆进价为万元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设购进A型汽车辆，购进B型汽车辆，根据题意，列出二元一次方程，求出正整数解即可. 【详解】（1）解：设A型汽车每辆进价为万元，B型汽车每辆进价为万元，由题意， ，解得； 答：A型汽车每辆进价为10万元，B型汽车每辆进价为25万元； （2）解：设购进A型汽车辆，购进B型汽车辆，根据题意得 ， 整理得， ∵，均为正整数， ∴，， 答：共有三种购买方案，分别是购买A型汽车15辆，B型汽车2辆；或购买A型汽车10辆，B型汽车4辆；或购买A型汽车5辆，B型汽车6辆. 45．截至目前，我国有个项目列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录（名册），总数位居世界第一．年月日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”也列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．每逢春节，为了营造喜庆祥和的氛围，很多地方都会挂上红红的灯笼．在春节前夕，某商家购进、两种型号的灯笼共对，共用元．这两种型号的灯笼的进价、售价如表： 型号 进价（元/对） 售价（元/对） (1)求该商家购进、两种型号的灯笼各多少对？ (2)为迎接新春到来，某单位购买、两种型号的灯笼（两种型号都购买）共花费元，请你计算购买、两种型号的灯笼各多少对？并计算此时商家获利多少元？ 【答案】(1)购进种型号的灯笼对，种型号的灯笼对 (2)购买种型号的灯笼对，种型号的灯笼对，此时商家获利元 【分析】（1）先设两种灯笼的数量为未知数，再根据“总对数为”和“总进价为元”列二元一次方程组，解方程组得到结果； （2）根据“总售价”列二元一次方程，再结合“正整数解”的限制条件，通过枚举法求解出购买灯笼的数量，然后计算商家利润． 【详解】（1）解：设商家购进型号的灯笼对，则购进型号的灯笼对， 根据题意可得， 解得， 故购进种型号的灯笼对，种型号的灯笼对． （2）解：设单位购进型号的灯笼对，购进型号的灯笼对， 根据题意可知，，即， 两种型号都买， 、均为正整数， 当，， 当，符合题意， 当，， 当，， 当，， 故购买种型号的灯笼对，种型号的灯笼对， 此时商家获利 元． 题型十六 几何问题 46．利用方程（组）的知识解决问题： 如图，学校规划在一块长、宽的长方形场地上，分别设计与，平行的横向和纵向通道，其余部分铺上草皮．其中横向和纵向通道的宽度均相等，六块草坪的形状、大小完全相同，其中一块草坪的两边．如果考虑到铺设草坪需要额外准备面积的草皮作为损耗更换用，那么所需准备草皮的总面积是多少？ 【答案】需准备草皮的总面积是 【分析】设，，横向和纵向通道的宽度为，根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】解：设，，横向和纵向通道的宽度为， 由题意得， 解得， ∵，， ∴， 答：需准备草皮的总面积是． 47．如图，一块长为，宽为的长方形纸板，在它的四个角各切去一个相同的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为的长方体状无盖纸盒． (1)求该长方体纸盒底面（阴影部分）的面积； (2)若该长方形纸板长为，宽为，求该长方体纸盒的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列代数式，整式的运算，代入求值，解二元一次方程组，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由题意，先表示出阴影部分长方形的长与宽，然后列代数式计算面积即可； （2）长方形纸板长为，宽为，即，解方程求出的值， 利用长方体体积公式计算出体积，代入求值即可． 【详解】（1）解：根据题意，阴影部分长方形长为，宽为， 则阴影部分长方形的面积； （2）解：由题意， 解得， 长方体体积； 当时， （） 答：长方体纸盒的体积为． 48．数学实践：用标准卡纸制作礼盒． 素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成6张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形． 素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作横式叠盖和竖式叠盖纸盒，如图3是竖式叠盖盒和横式叠盖纸盒的平面展开图． (1)数学实践小组一共有33张标准卡纸通过剪裁一共得到158张小长方形和张小正方形做成个竖式叠盖纸盒和个横式叠盖纸盒（其中x，y均不为零），恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完．求n，x，y的值． (2)计划做成100个竖式叠盖纸盒和50个横式叠盖纸盒，求至少需要多少张卡纸？ 【答案】(1)80；12；22 (2)142 【分析】（1）33张标准卡纸通过剪裁得到158张小长方形，而一张可以剪裁6个小长方形，先算出总的小长方形，减去158，即为剩余的小长方形，一个小长方形可剪裁两个小正方形，再乘以2即可求解n，根据1个竖式叠盖纸盒需要4个小长方形和3个正方形，1个横式叠盖纸盒需要5个小长方形和2个小正方形，即可建立二元一次方程组求解； （2）分别求出100个竖式叠盖纸盒和50个横式叠盖纸盒需要的小长方形和小正方形的个数，再判断需要的卡纸数即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 根据题意得：， ∴． ∴n的值为80，x的值为12，y的值为22； （2）解：100个竖式叠盖纸盒需要（个）小长方形，（个）小正方形， 50个横式叠盖纸盒需要（个）小长方形，（个）小正方形， 所以，100个竖式叠盖纸盒和50个横式叠盖纸盒一共需要（个）小长方形，（个）小正方形， 又每张标准卡纸可以剪裁成6张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形 所以，1张标准卡纸可以剪裁成12个小正方形， 所以，（张）标准卡纸，还剩下2个小长方形； （张）标准卡纸，还剩下4个小正方形； 4个小正方形可拼成2个小长方形， 所以，，不足1张标准卡纸， 所以，做成100个竖式叠盖纸盒和50个横式叠盖纸盒，求至少需要张卡纸． 题型十七 古代问题 49．《数学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有罗七尺，绫九尺，其价适等，只云绫尺价不及罗尺价三十六文．问：二色尺价各几何?”意思是：7尺罗类丝绸和9尺绫类丝绸的价格相同，每尺绫类丝绸的价格比罗类丝绸少36文，问这两类丝绸每尺的价格各是多少文? 【答案】罗类丝绸每尺162文，绫类丝绸每尺126文 【分析】设罗类丝绸每尺的价格为文，绫类丝绸每尺的价格为文，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设罗类丝绸每尺的价格为文，绫类丝绸每尺的价格为文 ， 根据题意可得方程组 ， 解得， 答：罗类丝绸每尺162文，绫类丝绸每尺126文． 50．中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题：“今有甲、乙怀钱，各不知其数，甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币若干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？ 【答案】甲、乙原来各有38枚、18枚钱币 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设甲有钱x枚，乙有钱y枚，根据“甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等”列出方程组，求解即可． 【详解】解：设甲有钱x枚，乙有钱y枚，由题意，得 ， 解这个方程组，得． 答：甲、乙原来各有38枚、18枚钱币． 51．《九章算术》是我国古代经典数学著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大、小器各容几何?”译文“今有大容器个，小容器个，总容量为斛；大容器个、小容器个，总容量为斛，问大、小容器的容积各是多少斛?” 【答案】大容器的容积是斛，小容器的容积是斛 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，正确找到等量关系．设大容器的容积是斛，小容器的容积是斛，根据题意列出方程组即可求解． 【详解】解：设大容器的容积是斛，小容器的容积是斛， 依题意，得：， 解得：， 答：大容器的容积是斛，小容器的容积是斛． 题型十八 二元一次方程组的新定义问题 52．对有理数，定义新运算：，其中，是常数．若，，则，的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据新定义，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程即可． 【详解】解：由题意得： ， 解得 ， 故选B． 【点睛】本题是新定义题型，主要考查解二元一次方程组的能力，数量掌握二元一次方程组的解法是解答本题的关键． 53．对于关于的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“近解”方程组．若对于任意实数，关于的二元一次方程组都是“近解”方程组，则的值为_____． 【答案】或 【分析】先根据新定义求出的值，再把的值代入中，根据对于任意实数，关于的二元一次方程组都是“近解”方程组，求出的值，即可． 【详解】解：由题意， 解得或， 把代入，得， 整理，得， ∵对于任意实数，关于的二元一次方程组都是“近解”方程组， ∴，解得， ∴； 把代入，得， 整理，得， ∴，解得， ∴； 综上：或． 54．定义：关于的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，例如：与互为“对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“对称二元一次方程”； (2)关于的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程，解二元一次方程组，新定义． （1）根据“对称二元一次方程”的定义即可得解； （2）根据“对称二元一次方程”的定义可得关于的二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：方程的“对称二元一次方程”是； （2）解：由题意得， 解得， 即． 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（25-26七年级下·北京顺义·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的定义判断即可，二元一次方程组需满足：一共含两个未知数，所有方程都是整式方程，未知数的最高次数为1． 【详解】解：A、方程组中共有x，y，z三个未知数，不符合二元一次方程组的定义，故该方程组不是二元一次方程组； B、第一个方程不是整式方程，不符合二元一次方程组的定义，故该方程组不是二元一次方程组； C、方程组共含x，y两个未知数，两个方程都是整式方程，且未知数的最高次数都是1，符合二元一次方程组的定义，故该方程组是二元一次方程组； D、第二个方程中项的次数为2，不符合二元一次方程组的定义，故该方程组不是二元一次方程组． 2．（25-26七年级下·山东淄博·期中）《算学启蒙》是中国古代重要的著作，书中记载：今有军士分甲，人分五领，少十领；人分四领，多二领，问军士、甲各几何？题目大意：今有士兵分锁甲，如果每人分5领，则缺少10领；如果每人分4领，则多出2领．问士兵和铠甲各有多少？设士兵有x人，铠甲有y领，则所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设士兵有人，铠甲有领， ∵如果每人分5领，则缺少10领， ∴， ∵如果每人分4领，则多出2领， ∴， ∴所列方程组是． 3．（25-26七年级下·北京·期中）若关于的方程组的解为，则的值是（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的解的定义，把方程组的解代入方程组，求解得到m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴， 解得， 所以，． 4．（25-26七年级下·北京·期中）在代数式中，当分别取，0，1，2时，对应代数式的值如下表，则的值为（   ） … 0 1 2 … … 1 3 5 … A． B．6 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题根据表格给出的x对应代数式的值，先求出k和b的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵当时，，当时，， ∴，解得：， ∴． 5．（25-26七年级下·北京·期中）已知方程组的解满足，则的值为（   ） A．2 B． C．3 D．-3 【答案】A 【分析】先推导出，再将代入求解即可． 【详解】解：， ，得， 即， ∵， ∴， 解得：． 6．（25-26七年级下·北京顺义·期中）如果把方程写成用含x的代数式表示y的形式，那么________． 【答案】/ 【分析】将看作已知数，通过移项变形求出即可． 【详解】解：方程， 移项得：， 系数化为得：． 7．（25-26七年级下·北京顺义·期中）已知是二元一次方程的一个解，则a的值为________． 【答案】 【详解】解：将代入二元一次方程， 得 解得． 8．（25-26七年级下·北京海淀·期中）如果是关于的二元一次方程的一组解，那么代数式___________． 【答案】 【分析】因为是方程的解，所以将解代入方程可得到和的关系式．观察待求代数式的结构，将其变形为含的形式，然后把、满足的关系式整体代入变形后的代数式，即可求出结果． 【详解】解：是关于的二元一次方程的一组解， ， ． 9．（25-26七年级下·北京顺义·期中）已知，则_____________． 【答案】 【分析】首先由绝对值和平方的非负性得到，求出，然后代入求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴． 10．（25-26七年级下·北京昌平·期中）已知方程是关于x，y的二元一次方程，则________． 【答案】 【分析】二元一次方程指只含有两个未知数，且含未知数的项的次数都为1的整式方程，根据二元一次方程的定义得出，，求解即可得出答案. 【详解】解：由题意得：，， 解得， 由得， 故. 11．（25-26七年级下·北京通州·期中）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：， 得， 解得， 将代入②得， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：方程组整理得， 得， 解得， 将代入②得， 解得， ∴方程组的解为． 12．（25-26七年级下·北京·期中）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 把①代入②得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为； （2）解：， 得：， 得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为． 13．（2026·北京西城·二模）某研学小组计划在暑假期间参加“非遗传承，研学之旅”活动．已知该活动有画糖人和剪纸两个体验项目，据了解体验2次画糖人的费用比1次剪纸的费用多10元，体验4次画糖人的费用和3次剪纸的费用相同．若体验画糖人的总次数是5人次，剪纸总次数是4人次，且用于这次活动的总预算为150元，请判断这个费用是否够用，并说明理由． 【答案】这个费用不够用 【分析】先设体验1次画糖人的费用为元，体验1次剪纸的费用为元，根据题干给出的等量关系列出二元一次方程组，求解得到单次费用后，计算本次活动所需总费用，再与总预算150元比较大小，即可得出结论． 【详解】解：设体验1次画糖人的费用为元，体验1次剪纸的费用为元， 根据题意可得方程组， 解得， ∴所需总费用：（元）， 用于这次活动的总预算为150元，且 这个费用不够用． 14．（25-26七年级下·北京顺义·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求m的取值范围． 【答案】 【分析】先解关于，的二元一次方程组，用表示，，再由列不等式求解即可． 【详解】解：解关于，的二元一次方程组 得 ∵，即 ∴的取值范围是． 15．（25-26七年级上·贵州铜仁·阶段检测）已知关于的方程组和的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了方程组同解问题，根据方程组和的解相同， 得出这两个方程组的解也是方程组的解，然后解方程组，得出，将代入原方程组得出，求出a、b的值，最后代入求值即可． 【详解】解：因为方程组和的解相同， 所以这两个方程组的解也是方程组的解． 解得， 将代入方程组得， 解得， 所以． 期末重难突破练（测试时间：15分钟） 16．（25-26七年级下·北京·期中）我国清代数学家梅瑴成在《增删算法统宗》中记载了这样一个问题：八百八十八文钱，甜果苦果买八百．苦果四个三文钱．甜果六个九文钱．试问甜苦果各几个？其大意是：用八百八十八文钱共买了八百个苦果和甜果．已知三文钱可以买四个苦果，九文钱可以买六个甜果．那么苦果、甜果各买了多少个？设苦果有个，甜果有个，则根据题意可列出的方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据甜果和苦果的总个数得到第一个方程，再分别计算两种果实的单价，根据总花费得到第二个方程即可 【详解】解：由题意得 17．（25-26七年级下·北京·期中）两个关于x、y的二元一次方程为：方程①和方程②，其中方程①的部分解如下表所示．将方程①中的y值记为，方程②中的y值记为，若当时，对于x的每一个值，都有，则m的取值范围是（    ） x … 0 1 2 … y … 0 1 2 3 … A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据表格给出的解确定方程①的表达式，整理得到和，再根据时恒成立的条件，推导得到的取值范围即可． 【详解】解：将分别代入方程①，得 ，即， ∴方程①可化为方程①， ∵关于x，y的方程是二元一次方程， ∴， 即方程①为， ∴， 整理方程②，得 ， 根据题意，当时，恒成立，代入得： ∴ ． ， ， 即， ∵所有满足的都小于， ∴要使大于所有的，可得． 18．小明在解关于x、y的二元一次方程组时，解得，则和代表的数分别是（   ） A．3、 B．1、5 C．、3 D．5、1 【答案】D 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况求参数，将代入第一个方程求出y，再代入第二个方程求． 【详解】解：将代入，得：， 解得，即 将，代入，得：， 故和代表的数分别是5和1， 故选：D． 19．（25-26八年级上·广东深圳·期末）若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题根据二元一次方程组解的情况求参数，将方程组中的两个方程相加，得到关于的表达式，然后代入已知条件，即可求出k的值． 【详解】解：方程组为：， 将两方程相加，得：， 即 ， ∴， 又 ∵ ， ∴， 故选：D． 20．（25-26七年级下·北京·期中）已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①当时，方程组的解也是的解；②无论取何值，，y的值不可能是互为相反数；③x，y都为自然数的解有3对；④若，则，其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先解方程组，得到，然后将代入，即可判断①；若，即可得到，然后解方程即可判断②；根据题意，可知，然后代入求值即可判断③；将代入解方程即可判断④． 【详解】 解：， ，得， ，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：． ①当时，，， ∴， ， ∴，故①错误； ②若，则， 解得：， ∴，， ∴x，y互为相反数，故②错误； ③，为自然数， ∴， 当时，，， 当时，，， 当时，，， ∴x，y为自然数的解有3对，故③正确； ④∵， ∴， 解得：，故④错误， ∴其中正确的有③，共1个． 21．（25-26七年级下·北京顺义·期中）若 ，则________． 【答案】 【分析】根据绝对值与偶次幂的非负性，可知两个非负代数式的和为时，每个代数式的值均为，据此列出二元一次方程组，求解得到与的值，再计算即可. 【详解】解：，，且， ， 解得， . 22．（24-25七年级下·湖北黄石·期末）若关于x、y的二元一次方程组的解满足方程，则k的值是________． 【答案】7 【分析】观察二元一次方程组中两个方程的系数特点，将两式相加整理得到与的关系式，利用解的含义得，整体代入即可求出的值． 【详解】解： 得：， ∴， ∵， ∴， 解得：． 23．（25-26七年级下·北京·期中）已知关于、的二元一次方程组，如果，那么的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先由二元一次方程组得到，再根据得，即可求解． 【详解】解：， 得， ∴， ∵， ∴， 解得， 即的取值范围是． 24．（25-26七年级下·北京·期中）已知关于，的方程组其中，给出下列说法： ①当时，、的值互为相反数；②是方程组的解；③方程组的解也是方程的解；④若，则．其中说法正确的有________． 【答案】 ①③④ 【分析】先解二元一次方程组，得到用含a的代数式表示的x和y，再逐个代入验证四个说法，结合a的取值范围判断正误即可. 【详解】解： 得：， 解得：， 将代入②得：， 因此方程组的解为，其中. ①当时，，， ，则，互为相反数，故①正确； ②将代入解，得，， 解得：，不满足，故②错误； ③∵， ∴， 故方程组的解也是方程的解；故③正确； ④若，则，解得， 结合，得， 不等式两边同乘，不等号方向改变，得， 不等式两边同时加，得，即，故④正确. 25．（25-26七年级下·北京·期中）学校义卖活动中，有手工皂和香薰蜡烛两种商品需要分装打包，由社团的甲、乙两个小组分别负责，甲组负责打包手工皂，打包份的总耗时可表示为分钟；乙组负责打包香薰蜡烛，打包份的总耗时可表示为分钟． （1）第一天，社团准备了12份商品分配给两个小组，两组刚好同时完成打包，则分配给甲组的手工皂的份数与乙组的香薰蜡烛的份数之比为__________． （2）第二天，社团分配给甲组的份数在第一天的基础上增加了份，分配给乙组的份数在第一天的基础上增加了份，若两组仍能同时完成打包，且、均为小于12的正整数，则的值为__________． 【答案】 【分析】（1）设分配给甲组的手工皂份数为x份，乙组的香薰蜡烛份数为y份，两组同时完成即耗时相等列方程求解，再计算份数之比； （2）根据两组仍同时完成列方程，结合第一天的等式化简得到m与n的关系，根据m，n的取值范围确定的值即可． 【详解】解：（1）设分配给甲组的手工皂份数为x份，乙组的香薰蜡烛份数为y份，由题意得： ， 解得：， ∴； （2）由题意，两组同时完成，耗时相等，得： ， 展开得， 由第一天的结果可知，代入上式得： ， 整理得：， 即， ∵m，n均为小于12的正整数， ∴满足条件的对应值比值恒为， 故． 26．（25-26七年级下·北京·阶段检测）解方程（组）或不等式（组） (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ， ， ， ， ； （2）解： ， ， ， ， ； （3）解：， ，得：， 把代入②，得， ∴， ∴方程组的解是； （4）解：， ， ， ， . 27．（25-26七年级下·北京·阶段检测）已知关于x、y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求出a、b的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据方程组有相同的解得到和，先根据得到，再代入求解即可； （2）将a、b的值代入计算即可． 【详解】（1）解：关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． ∴二元一次方程组①与方程组有相同的解． 由①得：， ∴这两个方程组的相同解为； 将代入得， 解得：； （2）解：． 28．（25-26七年级下·北京·期中）一超市会把临近保质期的食品特价销售．某款鸡蛋一盒有个，每盒原价元，特价每盒元；另一款鸭蛋一盒有个，每盒原价元，特价每盒元．一餐厅购买了几盒鸡蛋和几盒鸭蛋，比按原价购买共少花了元，并且这些蛋的总个数恰好够餐厅在天内每天消耗相同数量的蛋（按个计算）且正好用完．请问该餐厅购买了鸡蛋和鸭蛋各多少盒？ 【答案】该餐厅购买了盒鸡蛋和盒鸭蛋． 【分析】设该餐厅购买了盒鸡蛋和盒鸭蛋，根据题意列方程，取符合条件的整数解即可． 【详解】解：设该餐厅购买了盒鸡蛋和盒鸭蛋， 根据题意可得， ∴， ∵，均为正整数， ∴或， 若，蛋的总个数为（个）， 符合“蛋的总个数恰好够餐厅在天内每天消耗相同数量的蛋（按个计算）且正好用完”， 若，蛋的总个数为（个）， 不符合“蛋的总个数恰好够餐厅在天内每天消耗相同数量的蛋（按个计算）且正好用完”，舍去， ∴该餐厅购买了盒鸡蛋和盒鸭蛋． 29．（2026·北京石景山·二模）《营造法式》是北宋官方颁布的建筑设计与施工规范，其创立的“材份制”规定所有建筑构件的尺寸均以“份”为基本单位，不同材等对应的份的实际长度（单位：寸）不同，具体如表： 材等 一等 二等 三等 四等 五等 六等 份实际长度（寸） 书中记载：栌斗的长度为份，高度为份；华栱的长度为份，高度为份；散斗的长度为份，高度为份．图为斗拱结构示意图，标注了栌斗、散斗、华栱等构件在整体斗拱结构中的具体位置与形态． 某考古队在一处建筑群遗址中，发现了两座采用不同材等建造的建筑遗存，出土了栌斗、华栱、散斗三种构件的完整标本．经精密测量，采用第一种材等制作的栌斗实际长度与采用第二种材等制作的华栱实际高度之和为寸；采用第一种材等制作的散斗实际高度与采用第二种材等制作的散斗实际高度之比为．判断该建筑群所用的两种材等分别对应几等材，并说明理由．    【答案】两种材等分别为三等材、六等材 【分析】设第一种材等1份的实际长度为x寸，第二种材等1份的实际长度为寸，根据“采用第一种材等制作的栌斗实际长度与采用第二种材等制作的华栱实际高度之和为寸；采用第一种材等制作的散斗实际高度与采用第二种材等制作的散斗实际高度之比为”列方程组求解即可． 【详解】解：设第一种材等1份的实际长度为x寸，第二种材等1份的实际长度为寸， 第一种材等栌斗实际长度 + 第二种材等华栱实际高度寸，栌斗长32份，华栱高21份，因此得； 第一种材等散斗实际高度：第二种材等散斗实际高度，散斗高都是10份，因此得， ∴， 解得 对照表格可知：1份实际长度0.5寸对应三等材，0.4寸对应六等材， 因此两种材等分别为三等材、六等材． 30．（25-26七年级下·北京·阶段检测）已知关于x，y的二元一次方程组（其中m是参数）． (1)观察方程组中未知数的系数，用“整体法”可得 ；（用含m的代数式表示结果） (2)若方程组的解满足不等式 ，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，若不等式 的解集为，请求出整数m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）方程组的两个方程相加即可得到结果； （2）将①的结果变形即可得到，再结合已知解答即可； （3）由已知可得，进而可得m满足，即可得到整数m的值． 【详解】（1）解：方程组中的两个方程相加得： ； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； （3）解：∵不等式 即为，且此不等式的解集为， ∴， 解得：， ∴结合（2）的结论可得：m满足， ∵m为整数， ∴． 期末综合拓展练（测试时间：20分钟） 31．（24-25七年级下·北京大兴·期末）在等式中，当时，；当时，．当时，若对于每一个的值，关于的不等式总成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次不等式，二元一次方程的解，结合已知条件列得正确的方程组是解题的关键．先由已知点代入方程求出k和b的值，再将不等式转化为关于m的条件，结合时x的取值范围确定m的取值． 【详解】解：将点和代入， 得方程组：， 解得， 将代入不等式， 得：， 整理得：， ∵当时，若对于每一个x的值，关于x的不等式总成立， ， ， 故选：C． 32．（24-25七年级下·北京海淀·期中）已知关于，的方程组，其中，下列命题正确的个数为（   ） ①当时，、的值互为相反数；②是方程组的解；③当时，方程组的解也是方程的解；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，一元一次方程的解，解不等式组等知识点，能求出方程组的解是解此题的关键． ①先求出方程组的解，把代入求出、即可；②把代入，求出的值，再根据判断即可；③求出方程组的解，再代入方程，看看方程左右两边是否相等即可；④根据和求出，再求出的范围即可． 【详解】解：解方程组得：， ①当时，，， 所以、互为相反数，故①正确； ②把代入得：， 解得：， ， 此时符合，故②正确； ③当时， ，， 方程组的解是， 把，代入方程得：左边右边， 即当时，方程组的解也是方程的解，故③正确； ④∵， ， 即， ∵， ∴， ， ， ，故④正确； 故选：D． 33．（24-25九年级下·山东泰安·期中）2025年亚洲冬季运动会于2月7日至2月14日在哈尔滨举行，某经销店调查发现：吉祥物“滨滨”和“妮妮”深受青少年喜爱．已知购进3个“滨滨”比购进2个“妮妮”多用80元；购进1个“滨滨”和2个“妮妮”共用160元．该商店决定购进“滨滨”和“妮妮”各100个，其总费用为（　　） A．11000元 B．10200元 C．10000元 D．9900元 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设1个“滨滨”的进价为x元，1个个“妮妮”的进价为y元，根据购进3个“滨滨”比购进2个“妮妮”多用80元；购进1个“滨滨”和2个“妮妮”共用160元建立方程组求解即可． 【详解】解：设1个“滨滨”的进价为x元，1个个“妮妮”的进价为y元， 由题意得，， 解得， ∴， ∴购进“滨滨”和“妮妮”各100个的总费用为11000元， 故选：A． 34．（24-25七年级上·福建泉州·期末）在代数式 中，当x分别取， ， ， 1， 2， 3时， 对应代数式的值如表，则的值为（   ） x                1 2 3                3 5 7 A．3 B．7 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式求值，二元一次方程组的应用，根据表格中相关数据，列出关于的方程组，求出的值，然后代入代数式求值即可． 【详解】解：由题意得， 解得：， 则， 故选：B． 35．（23-24七年级下·甘肃天水·期末）若关于x，y方程组解满足，则m值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是联立没有参数的方程解方程组代入求解． 联立解出，x，y，代入求解即可得到答案； 【详解】关于x，y方程组解满足， 联立 解得：， 将代入得 ， 解得：， 故选：C. 36．（25-26七年级下·北京房山·期中）已知关于，的方程组的解是，则的值为________． 【答案】 【分析】由题意得，解得，代入求解即可． 【详解】解：∵关于的方程组的解是， ∴， 解得：， ∴． 37．（24-25七年级下·北京·期中）已知关于的二元一次方程组的解为，且满足，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义．二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立的未知数的值，据此把代入原方程组中求得，再根据已知得到，据此计算即可得到答案． 【详解】解：∵关于，的二元一次方程组的解为， ∴， 两式相加得， ∵， ∴， 解得， 故答案为；． 38．（24-25七年级下·北京·期中）规定：形如关于、的方程与的两个方程互为“友好二元一次方程”，其中；由这两个方程组成的方程组叫做“友好方程组”． （1）若关于、的方程组为“友好方程组”，则______，______； （2）若关于、的“友好方程组”的解为整数，则整数的值为______． 【答案】 2 1 0或或 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据二元一次方程组的解的情况求参数，正确理解友好方程组”的定义是解题的关键。 （1）根据题意可得方程组，解方程组即可得到答案； （2）先解原方程组得到，再根据原方程组的解为整数求解即可． 【详解】解：（1）∵关于、的方程组为“友好方程组”， ∴， 解得， 故答案为：2；1； （2）解方程组得， ∵关于、的“友好方程组”的解为整数， ∴是整数， ∴或， 解得或或或（舍去）， ∴整数的值为0或或， 故答案为：0或或． 39．（24-25七年级下·北京·期中）我校节举办数学素养大赛，比赛共设四个项目：七巧拼图、三阶幻方、连环解锁和数独比拼，每个项目得分都按照一定百分比折算后计入总分（每个项目得分的折算百分比之和为1），并规定总分在85分以上（含85分）设为一等奖，下表为甲、乙、丙三位同学的得分情况（单位：分）． 项目 项目得分 学生 七巧拼图 三阶幻方 连环解锁 数独比拼 折算后总分 甲 66 95 68    乙 66 80 60 68 70 丙 66 90 80 68 80 若甲、乙、丙三位同学的七巧拼图和数独比拼两项得分折算后的分数之和均为a分，设三阶幻方和连环解锁两个项目的折算百分比分别为和，以下说法正确的是______． ①三阶幻方和连环解锁的折算百分比满足关系式； ②若七巧拼图和数独比拼两项折算后分数之和，则它们的折算百分比之和为0.25； ③在②的基础上，若甲在连环解锁得到90分，就一定能得到一等奖． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了二元一次方程以及二元一次方程组的应用，有理数混合运算的应用，理解题意是解题关键．由乙、丙两位同学三阶幻方和连环解锁两个项目分数之和相差分列二元一次方程，可判断①说法；根据题意得出乙、丙两位同学的三阶幻方和连环解锁两个项目分数之和分别为分、分，列二元一次方程组求解，可判断②说法；在②的基础上，计算出甲的折算后总分，可判断③说法． 【详解】解：由题意可知，乙、丙两位同学的七巧拼图和数独比拼两项得分折算后的分数之和均为a分，但折合后总分相差分，即三阶幻方和连环解锁两个项目分数之和相差分， 设三阶幻方和连环解锁两个项目的折算百分比分别为和， 则， 即，①说法正确； 若七巧拼图和数独比拼两项折算后分数之和， 则乙、丙两位同学的三阶幻方和连环解锁两个项目分数之和分别为分、分， 由题意得：，解得：， 每个项目得分的折算百分比之和为1， 七巧拼图和数独比拼两项的折算百分比之和为，②说法错误； 由②可知，，， 则， 即甲在连环解锁得到90分，就一定能得到一等奖，③说法正确； 故答案为：①③ 40．（24-25七年级下·北京·期中）已知三个数，，，用表示这三个数中最大的数，如果，那么： （1）当，，时，的值是_______； （2）当，，，且时，的值是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式组，三元一次方程组及定义新运算的综合． （1）根据题意建立一元不等式组，求解即可； （2）根据题意建立关于的三元一次方程组，求出，再根据定义求出，即可求出，再求出的值，即可解答． 【详解】解：（1）根据题意：， 则， 解得：， 故答案为：； （2）∵，，， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∵， 当时，，则， ∵， ∴，即， 同理，当时，， 同理，当时，， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 41．（24-25七年级下·北京朝阳·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，其中m是非负整数，求m的值． 【答案】或 【分析】先把m当做已知数，求出的值，再根据列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】解：方程组， 得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵m是非负整数， ∴或． 42．（25-26七年级下·北京·期中）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组） 和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式____的“梦想解”；（填序号） ①，②，③． (2)若关于，的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． 【答案】(1)③ (2)或 【分析】（1）分别将代入三个不等式并判断能否成立即可得解； （2）先解二元一次方程组，根据“梦想解”的定义将方程组的解代入不等式组求得得取值范围即可得到得整数解；利用加减消元法求出，再结合不等式组推出即可得解． 【详解】（1）解：当时，①， 即不是不等式①的解，不符合题意； 当时，②， 即不是不等式②的解，不符合题意； 当时，③， 即是不等式③的解，符合题意． （2）解：， 得， ， 将代入得， ， 二元一次方程组和不等式组有“梦想解”， 是不等式组的解， 把代入不等式组得， 解不等式组得， 为整数， 或； 法二：由已知得，， 又， ， 解得， 为整数， 或． 43．（25-26七年级下·北京·期中）列方程或方程组解决问题 根据以下素材，探索完成任务． 生活中的数学：如何设计合理的采购方案 素材一 4月23日是世界读书日，旨在让全球各地的人们不论年龄、贫富、健康状况，都能享受阅读，尊重并感谢为文明做出巨大贡献的大师们，同时保护知识产权． 素材二 某校在“世界读书日”前夕，决定订购A，B两种书籍，若订购A种书籍10本，B种书籍20本，共花500元；若订购A种书籍12本，B种书籍40本，共花费840元． (1)任务一：求A，B两种书籍每本的进价分别为多少元． (2)任务二：若初一2班计划用180元购进这两种书籍（两种书籍均购进），且计划投入的资金正好用完，则共有哪几种购进方案？列出所有的可能． 【答案】(1)A种书籍每本的进价为元，B种书籍每本的进价为元 (2)共有2种购进方案，即订购A种书籍3本，B种书籍8本或订购A种书籍6本，B种书籍4本． 【分析】（1）任务一：根据题意列出正确的二元一次方程组求解即可； （2）任务二：根据题意，设订购A种书籍本，B种书籍本，且为正整数，列式，求解即可． 【详解】（1）任务一：设A种书籍每本的进价为元，B种书籍每本的进价为元． 由题意得： 解得：． 答：A种书籍每本的进价为元，B种书籍每本的进价为元． （2）解：任务二：若初一2班计划用180元购进这两种书籍（两种书籍均购进），且计划投入的资金正好用完， 设订购A种书籍本，B种书籍本，且为正整数， 则， 当时，； 当时，， 所以共有2种购进方案，即订购A种书籍3本，B种书籍8本或订购A种书籍6本，B种书籍4本． 44．（25-26七年级下·北京·期中）我们已经学习了平方根、立方根等概念，了解到：有理数和无理数统称为实数，即数从有理数扩充到了实数范围．在学习过程中我们又知道“负数没有平方根”，即在实数范围内的任何一个数都无法使得成立． 现在，我们设想引入一个新数，使得成立，且这个新数与实数之间，仍满足实数范围内加法和乘法运算，以及交换律、结合律，包括乘法对加法的分配律．把任意实数与的相乘记作，任意实数与相加记作，由此，我们将形如（均为实数）的数叫作复数，其中叫虚数单位，叫作复数的实部，叫作复数的虚部． 对于复数（均为实数），当且仅当时，它是实数；当且仅当时，它是实数0；当时，它叫作虚数：当且时，它是纯虚数． 例如都是虚数，它们的实部分别是，虚部分别是，并且以上虚数中只有是纯虚数． (1)化简：_____． (2)已知复数 （是实数）是纯虚数，则实数_____． (3)计算：_____． (4)已知为实数，且满足 ，则_____，_____． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据材料提示得到，由此即可求解； （2）根据纯虚数的定义得到且，由此即可求解； （3）根据题意得到每4个一组循环，由此即可求解； （4）根据题意，实部、虚部均为0，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：复数 （是实数）是纯虚数， ∴且， 解得，且， ∴； （3）解：∵， ， ， ， ， ， ， ∴每4个一组循环， ∵， ∴ ； （4）解：， 解得， ， 故答案为：． 45．（25-26七年级下·北京昌平·期中）不妨约定：关于x，y的二元一次方程（为常数，且），若系数满足，则称这个方程为“开心”方程．例如：方程，其中，满足，且，则方程是“开心”方程，由两个“开心”方程组成的方程组称作“开心”方程组．根据上述规定，回答下列问题： (1)判断以下方程是不是“开心”方程（填“是”或“不是”）； ① ；② ；③ ． (2)若关于的“开心”方程组的解为，求的值． (3)关于的“开心”方程组满足，其中为整数，为常数且，直接写出“开心”方程组的解． 【答案】(1)①不是；②是；③不是； (2) (3) 【分析】（1）根据定义逐个判断即可； （2）先根据定义建立关于的方程组，解方程组可得的值，再代入原方程组，化简即可； （3）先根据定义将用含的式子表示出来，再建立不等式组，结合为整数，求出的值，然后代入原方程组，解方程组即可得． 【详解】（1）解：①方程中，， ∴，， ∴不满足，方程不是“开心”方程； ②方程中，， ∴，， ∴满足，且，方程是“开心”方程； ③方程中，， ∴，， ∴不满足，方程不是“开心”方程． （2）解：∵关于的方程组是“开心”方程组， ∴， 解得， ∴这个方程组为，即， ∵关于的“开心”方程组的解为， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵关于的方程组是“开心”方程组， ∴，即， 解得， ∵， ∴， 解得， ∵为整数， ∴或 当时，，，则方程为， 由（1）可知，这个方程不是“开心”方程，不符合题意，舍去； 当时，，， 则方程组为， 将两个方程相加得：， ∵为常数且， ∴，即， 将代入方程得：， ∴， ∴“开心”方程组的解为． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $