专题04 概念、命题与证明24大题型（期末复习讲义）七年级数学下学期新教材北京版

专题04 概念、命题与证明（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 命题 题型02 写出命题的题设与结论 题型03 判断命题真假 题型04 举例说明假命题 题型05 举反例 题型06 实验 题型07 归纳 题型08 类比 题型09 演绎 题型10 证明 题型11 求余角、补角 题型12 对顶角 题型13 用直尺、三角板画平行线 题型14 平行公理的应用 题型15 同位角、内错角、同旁内角 题型16 平行线的判定 题型17 平行线的性质 题型18 根据平行线的性质探究角的关系 题型19 根据平行线的性质求角的度数 题型20 平行线的性质在生活中的应用 题型21 根据平行线的判定与性质证明 题型22 生活中的平移现象 题型23 利用平移的性质求解 题型24 利用平移解决实际问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 命题 掌握命题、真假命题概念，分清题设结论，会改写句式，能判断并举反例辨假命题 基础考点，一般在小题考查，2分左右 举反例 学会构造反例否定假命题，精准抓住条件、推翻结论，规范写出验证过程 基础考点，一般在小题考查，2分左右 归纳、类比 理解归纳与类比推理特点，能用两种方法猜想结论，并验证猜想正误 基础考点，综合考查，2分左右 演绎、证明 掌握演绎推理步骤，规范书写几何证明，依据定理公理严谨推导结论 基础考点，综合考查，2分左右 余角补角 熟记余角、补角数量关系，会求角度，熟练运用等角的余补角相等性质解题 重要考点，余角补角的应用，考查题型丰富，3分左右 对顶角 牢记对顶角定义与相等性质，能识图辨认，结合角度计算规范列式求解 核心考点，和其他知识点综合，3分左右 平行公理 熟记平行公理及其推论，会判断直线位置，利用平行关系推理计算 核心考点，小题中考查，2分左右 三线八角 准确识别同位角、内错角、同旁内角，结合平行判定进行角度运算推理 核心主要考点，小题中考查，2分左右 平行线的判定 掌握三种平行线判定方法，能识图说理，规范书写几何推理步骤 核心考点，5分左右 平行线的性质 熟记平行线三大性质，区分判定与性质，规范完成角度推理计算 核心考点，5分左右 平移 掌握平移特征，找准对应点线段，会作图，利用平移性质计算边长面积 主要考点，2分左右 知识点01 命题、定理、证明 1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题． 注意：（1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. （2）命题的表达形式：“如果……，那么…….”，也可写成：“若……，则…….” （3）真命题与假命题： 真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题. 假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题. 2.定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据. 3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明. 注意： （1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等. （2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可． 知识点02 余角、补角 1.互补与互余的概念 互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补.互余：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，也称互余. 2.互补与互余的性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等.知识点03 对顶角 1.两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表： 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 1 2 ∠1与∠2 有公共顶点 ∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线 对顶角相等 即∠1=∠2 2.对顶角的性质：对顶角相等. 知识点04 同位角、内错角与同旁内角 角的名称 位置特征 图形结构特征 同位角 既在截线的同侧，又在两条被截线的同侧 形如字母“F”（或倒置、反转、旋转） 内错角 既位于被截两直线之间，又位于截线两侧，即被截线“错开” 形如字母“Z”（或倒置、反转、旋转） 同旁内角 既位于接线的同侧，又位于被截两直线之间. 形如字母“U”（或倒置、反转、旋转） 知识点05 平行线的定义、画法、公理 1.定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“//”表示. 2.画法 一“落”：把三角尺一边落在已知直线上； 二“靠”：用直尺紧靠三角尺的另一边； 三“移”：沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点； 四“画”：沿三角尺过已知点的变化直线. 3. 公理 （1）平行公理：经过直线过一点，有且只有一条只限于这条直线平行. （2）平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 知识点06 平行线的判定与性质 1.平行线的判定 判定方法1 判定方法2 判定方法3 两条直线平行的判定 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，即同位角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同位内角相等，那么这两条直线平行，即内错角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，即同旁内角互补，两直线平行 符号语言 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1+∠2=180° 那么AB//CD 2.平行线的性质 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，即两直线平行，同位角相等. 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，即两直线平行，同位角相等. 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，即两直线平行，同旁内角互补. 题型一 命题 1．下列语言叙述是命题的是（ ） A．2026年“全到莆田过大年”是莆田市重点打造的春节文旅品牌． B．你喜欢吃枇杷吗？ C．赶紧写作业！ D．画一条端点为A的射线 2．下列说法错误的是（   ） A．命题不一定是定理，但定理一定是命题 B．定理不可能是假命题 C．真命题是定理 D．“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”是基本事实 3．在讨论“对顶角不相等”是不是命题的问题时，甲说：“这不是命题，因为这句话是错误的．”乙说：“这是命题，因为它作出了判断，只不过这一判断是错误的，所以它是假命题．”由此可判断______的说法是正确的． 题型二 写出命题的题设与结论 4．把命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果那么”的形式：________． 5．命题：绝对值相等的两个数相等． (1)请将上述命题改写成“如果……，那么……”，并指出这个命题的条件与结论； (2)判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题请说明理由，如果是假命题请举出反例． 6．指出下列命题中的条件和结论： (1)如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角． (2)绝对值等于5的数一定是5． (3)两个钝角相等． (4)如果，,那么． 题型三 判断命题真假 7．下列命题为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．命题“如果，那么”是________命题．（填“真”或“假”） 9．分别指出下列命题的题设和结论，并判断命题的真假： (1)两条直线被第三条直线所截，同位角相等； (2)个位数是3的整数一定能被3整除； (3)对顶角的平分线在同一条直线上． 题型四 举例说明假命题 10．对于命题“若，则”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 11．写出一个的值，使命题“”是假命题，这个值可以是______． 12．定义：对于任意两个实数a、b，若满足，则称数对为异差数对． 观察例子： 当，时，，，，则数对为异差数对． (1)验证：判断数对是否为异差数对； (2)推理证明：当时，数对一定是异差数对； (3)判断命题：“若是异差数对，则”是真命题还是假命题？若是真命题，请写出理由；若是假命题，请举出恰当反例． 题型五 举反例 13．下列各语句哪些是命题，哪些不是命题？如果是命题，判断命题的真假并对假命题举反例说明． (1)如果a，b互为相反数，那么． (2)有理数一定是自然数． (3)延长线段． (4)明天一定下雨吗？ (5)． 14．给出命题：“如果两个角是同位角，那么这两个角相等．” (1)写出命题的题设和结论； (2)直接判断命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例．（只举例，不必详细说明理由） 15．某数学实验小组在探究“关于x的二次三项式﹣x2+2x+3的性质”时，进行了如下活动． 【试验操作】取不同的x的值，计算代数式﹣x2+2x+3的值． (1)补充完整下列表格： x … ﹣1 0 1 2 3 … ﹣x2+2x+3 … 0 3 4 … (2)【观察猜想】实验小组组员观察表格，提出以下猜想：同学甲说：“代数式﹣x2+2x+3的值随着x的增大而增大”．同学乙说：“不论x取何值，代数式﹣x2+2x+3的值一定不大于4”．请你也提出一个合理的猜想 ； (3)【验证猜想】我们知道，猜想有可能是正确的，也有可能是错误的，请你分别判断甲、乙两位同学的猜想是否正确，若不正确，请举出反例；若正确，请加以证明． 题型六 实验 16．睡鼠是冬眠时间最长的动物，一般每年有个月的时间处于冬眠状态．2024年，动物学家跟踪研究的一只睡鼠从去年10月21日开始冬眠，直到今年4月3日才出冬眠，这只睡鼠冬眠了（    ）天． A．163 B．164 C．165 D．166 17．在探究圆的面积公式的过程中，可以通过将圆等分成不同的份数，再拼成一个近似的长方形如图．当把圆等分的份数越多，由一段一段弧连成的曲线越接近直线，拼成的图形就越接近长方形．关于这一探究过程，下列说法错误的是（   ） A．拼合成的近似长方形的宽相当于圆的半径 B．拼合成的近似长方形的长相当于圆周长 C．圆的面积公式是 D．探究过程体现了“无限逼近”和“以直代曲”的数学思想方法 18．透明盒子中有A、B、C、D四个圆形盖子，现在需要将它们全部取出，要求每次只能取一个，将第一个取出的盖子扣在桌面上，之后取出的盖子依次扣在前一个取出的盖子上面（不考虑盖子厚度）．每个盖子的直径如下表： 盖子 A B C D 直径（） 1 2 3 4 当四个盖子被全部取出后，恰好有两个盖子被罩住的顺序组合有___________种． 题型七 归纳 19．观察下图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则________（结果用含的代数式表示）． 20．如图，线段上的点数与线段的总数有如下关系：当线段上有个点时，线段总共有条；当线段上有个点时，线段总共有条；当线段上有个点时，线段总共有条，···，按此规律．当线段上有个点时，线段总共有______条 21．观察与思考：我们知道，那么等于多少呢？请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系，解决下列问题： (1)发现规律： ________． (2)推算概括：用含的式子表示出的值． (3)拓展应用：求的值． 题型八 类比 22．阅读下列材料，然后回答问题： 观察下列等式：，，； 将以上三个等式相加：． (1)猜想并写出_____； (2)直接写出下列式子的结果：_____； (3)探究并计算： 23．你能比较和的大小吗？为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较和的大小（，且为整数）． 从分析，…的简单情况入手，从中发现规律，经过归纳猜想结论． (1)通过计算，选填“>”或“<”： ①__________；②__________； ③__________；④__________； ⑤__________． (2)根据（1）的结果，猜想和的大小关系． (3)根据（2）中的猜想，试比较下列两数的大小关系：__________2025（填“>”或“<”）． 24．阅读下列材料： 某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式计算：． 回答下列问题： (1)请借鉴该同学的方法，计算：． (2)借鉴上面的方法，再逆用平方差公式计算：． 题型九 演绎 25．十名篮球运动员身穿1至10号的球衣围成一个圆圈．证明一定存在三个相邻的队员，它们的球衣号码数加起来一定大于17． 26．A、B、C三个油桶各盛油若干千克．第一次把A桶的一部分油倒入B、C两桶，使B、C两桶内的油分别增加到原来的2倍；第二次从B桶把油倒入C、A两桶，使C、A两桶内的油分别增加到第二次倒之前桶内油的2倍；第三次从C桶把油倒入A、B两桶，使A、B两桶内的油分别增加到第三次倒之前桶内油的2倍，这样，各桶的油都为16千克．问A、B、C三个油桶原来各有油多少千克？ 27．某届“新希望杯”竞赛临近前，有10所学校向组委会申请增加参赛名额，组委会同意增加29个参赛名额，每所学校至少增加一个名额． (1)求证：不管怎样分配，至少有3所学校增加的参赛名额相同： (2)求证：如果增加相同参赛名额的学校少于4所，那么增加的29名参赛选手中至少有5名选手来自于同一所学校． 题型十 证明 28．2014年“世界杯”足球赛中，甲、乙、丙、丁4支队分在同一小组，在小组赛中，这4支队中的每支队都要与另3支队比赛一场．根据规定：每场比赛获胜的队可得3分；失败的队得0分；如果双方踢平，两队各得1分．已知： ①这4支队三场比赛的总得分为4个连续奇数； ②乙队总得分排在第一； ③丁队恰有两场同对方踢平，其中有一场是与丙队踢平的． 根据以上条件可以推断：总得分排在第四的是_____队．（要有推断过程） 29．有五个足球队、、、、分入同一小组进行单循环足球比赛，争夺出线权，比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中名次在前的两个队出线，小组赛结束后，如果队的积分为9分，讨论： (1)队的战绩是几胜，几平，几负？ (2)如果小组赛中有一个队的战绩为全胜，队能否出线？ (3)如果小组赛中有一个队的积分为10，队能否出线？ 30．代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性． 例如：证明命题“如果，，那么”是真命题． 证明：，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，，（已证） ．（不等式的传递性） (1)已知有理数、满足，证明：（补全下列推理过程）； 证明：且，均为正数，（已知） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______，（不等式的基本性质） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______．（不等式的基本性质） ．（不等式的传递性） (2)请你尝试证明：若，则． (3)命题“三个连续自然数之和能被3整除”是真命题还是假命题？若为真命题，请证明；若为假命题，请举一个反例说明． 题型十一 求余角、补角 31．如图，直线，相交于点O，，分别在，的内部，且平分，． (1)写出图中的余角：_______． (2)若，求的度数． 32．如图，点O在直线上，射线都在直线的上方，射线在直线的下方．，垂足为点O，在的内部，． (1)求证：与互为余角； (2)若，与互为余角，求的度数． 33．如图，直线，交于点，已知，在右侧，． (1)若，求的度数； (2)若，试说明与互余． 题型十二 对顶角 34．在物理光学实验中，小明将一束激光从空气射入上、下表面平行的玻璃砖(如图)．光线从空气射到玻璃砖上表面点B并发生了折射，折射光线射到玻璃砖下表面C处，点D在的延长线上，若，，则的度数等于（     ） A． B． C． D． 35．如图，木条a，b与木条c钉在一起，，转动木条a．当______°时，木条a与b平行． 36．如图，已知点，在直线上，点在线段上，与交于点，，． (1)求证：； (2)试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)若，，求的度数． 题型十三 用直尺、三角板画平行线 37．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是正方形，点，，，都在格点上，请利用网格完成下面画图并回答问题： (1)过点画直线（点E是格点）； (2)过点P画的垂线（点F是格点），交于点C； (3)在（2）中，线段______的长度表示点P到直线的距离，与的大小关系是______，依据是______． 38．如图，已知三角形，根据要求用直尺和三角尺画图，并回答问题： (1)过点画，垂足为；点到的距离是线段___________的长； (2)过点画，交于点． 39．如图，P是的边上的一点，点A，O，P都在格点上． (1)请同学们借助三角板或直尺，在方格纸上按要求画图，并标注相应的字母（保留作图痕迹）．要求：过点P画的垂线，交于点C；过点P画的垂线，垂足为点D； (2)在第（1）问基础上，完成下面填空： ①线段______的长度表示点P到直线的距离； ②______（填“”“”或“”），理由是______； (3)请同学们借助三角板或直尺，或利用尺规作图的方法，过点A画的平行线（保留作图痕迹）． 题型十四 平行公理的应用 40．在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，刘老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)路灯维护工程车的工作示意图如图①，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则______°； (2)一种路灯的示意图如图②所示，在安装时需要保证其底部支架与吊线平行；灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，若，则安装是否符合标准？请说明理由． 41．如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，，两支架和的夹角．如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点C作如图②，则可以得到，其理由是： ． (2)如图②，根据小明的思路求和的度数； 42．在数学活动课上，老师提出如下问题，请你和同学们一起进行探究： 问题情境：如图1，已知，点E在，之间，连接，． (1)初步探究： 在图1中，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 小高同学添加了一条辅助线，过点E作，他的解题思路如下，请你补全解答过程： 解： 理由如下： 过点E作 ∵（已知）， ∴______（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴，（______）． ∵， ∴． (2)类比探究： 如图2，若，，的平分线相交于点F，猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用： 如图3，，若点E在直线下方，平分，平分，与相交于点F，（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 题型十五 同位角、内错角、同旁内角 43．两条直线被第三条直线所截，在两个交点处形成八个角，这就是“三线八角”．如图所示，以下选项中在位置上互为同旁内角的是（     ） A． 和 B．和 C．和 D．和 44．如图，下列说法不正确的是（   ） A．与是内错角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 45．如图，①和是___角；②和是___角．（选填“同位”、“内错”、“同旁内”、“对顶”、“邻补”） 题型十六 平行线的判定 46．如图，下列能判定的条件有______（填序号）． ①；②；③；④；⑤． 47．如图所示，与交于点，点在直线上，，，，下列四个结论，其中正确的结论有________． ①；②；③；④． 48．如图，，． (1)求证：． (2)若，直接写出与的位置关系． 题型十七 平行线的性质 49．已知：点、、不在同一条直线上，， (1)如图，当，时，求的度数； (2)如图，、分别为、的平分线所在直线，试探究与的数量关系． 50．如图，已知，． (1)请你判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，于点，，试求的度数． 51．已知：如图，，． (1)求证：； (2)若平分，平分，且，求的度数． 题型十八 根据平行线的性质探究角的关系 52．如图，，，则，，之间关系是（    ）． A． B． C． D． 53．若和的两边分别平行，且比的3倍少，则的度数为_______ 54．如图，已知为直线上的一点，交于点，交于点． (1)当点在线段上时，求证：； (2)当点不在线段上时，探究与的数量关系； (3)根据以上探究过程，求的度数． 题型十九 根据平行线的性质求角的度数 55．如图所示，点，在直线的异侧，点，分别是线段，上的点，已知，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 56．如图，已知， (1)求证：； (2)若于点，求的度数． 57．已知：如图，点、、、都在的边上，，且． (1)求证：； (2)若平分，，求和的度数． 题型二十 平行线的性质在生活中的应用 58．在学习完《相交线和平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情境：如图1，已知，． ①问题探究：求证：； ②拓展探究：，，之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (2)迁移应用：图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若，则的度数为 ． 59．按要求完成下列各题： (1)如图1：潮潮用三根木棍a，b，c制作了如图所示的模型，固定c不动，转动a和b，使得__________时，可以使得，其依据是______________________． (2)潮潮的孪生兄弟实实，偶然间在数学教材上看见一幅神奇的平行线图如图2，为了验证这些直线是否互相平行，请你帮助实实同学设计一个方案，在只使用一个含的直角三角板的情况下，验证直线互相平行，并说明设计依据． (3)据此，潮潮实实，在晚上回家写作业的时候，为了转动台灯的灯管面（线段）与桌（线段）面平行，已知，，，请求出图3中的应该为多少？（用含x，y的式子表示），并说明理由． 60．如图1，这是东阳最具代表性的地标建筑《走向世界》，象征东阳人团结、奋进、开拓的精神．为了亮化雕像，如图2，设置了四条长度相同的彩灯带，且于点，雕像交汇处夹角 ，又在处各安装一盏可旋转的探照灯来回旋转，射出的光线近似看成射线，分别从同时开始按顺时针方向旋转，光线的旋转速度为每秒，光线的旋转速度为每秒，且满足 ． (1)求的值． (2)求光线开始旋转几秒时，第一次与平行？ (3)两盏探照灯同时从起始位置开始旋转，在光线第一次和重合的过程中，当与平行时，求旋转的时间． 题型二十一 根据平行线的判定与性质证明 61．如图，已知，求证：． 证明：（_________）， （已知）， （等量代换）， __________（同位角相等，两直线平行）， （____________）， （已知）， （等量代换）， （____________）， （两直线平行，内错角相等）． 62．阅读题目，完成下面推理过程． 问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图①是一个“互”字．如图②是由图①抽象的几何图形，其中，，点E，M，F在同一直线上，点G，N，H在同一直线上，且． 求证：． 证明：如图②，延长交于点P． ∵（ ① ）， ∴（ ② ）， 又∵， ∴ ③ （ ④ ）， ∴（ ⑤ ）， ∴（ ⑥ ）， 又∵， ∴（ ⑦ ）， ∴（ ⑧ ）． 63．如图，已知，与互补． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 题型二十二 生活中的平移现象 64．2025年全运会在11月9日至21日举行，由粤港澳三地共办，运动会会徽的设计常常运用数学中图形的变化．以下各届运动会会徽设计中蕴含平移元素的是（   ） A． B． C． D． 65．下列运动变化，属于平移的是_________．（填序号） ①冷水加热过程中小气泡变成大气泡；    ②钟表上分针的走动； ③将一张正方形纸片折叠；    ④乘普通住宅电梯从一楼到十楼． 66．下面生活中的物体的运动情况可以看成平移的是_______________． （1）摆动的钟摆；（2）在笔直的公路上行驶的汽车；（3）随风摆动的旗帜；（4）投篮时运动的篮球；（5）汽车玻璃上雨刷的运动；（6）从楼顶自由落下的球（球不旋转）． 题型二十三 利用平移的性质求解 67．如图，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，如果平移距离为3，且，那么点A到点G的距离是_________． 68．如图，将三角形沿方向向右平移到三角形的位置，连接．已知三角形的周长为，四边形的周长为，则这次平移的距离为________． 69．在中，将线段沿直线向右平移得到线段（点D与点B对应，且不与点B，C重合），连接，和的平分线所在直线相交于点P（点P不与点C，E重合）． (1)如图1，，， ①依题意补全图1； ②求的度数； (2)如图2，，，直接写出的度数．（用含的式子表示） (3)在平移过程中，直接写出和的数量关系． 题型二十四 利用平移解决实际问题 70．如图，某公园一块长方形空地的设计方案．公园计划在长为米，宽为米的空地上修建横、纵各两条宽为a米的走道供行人散步，其余区域修建为绿化草地． (1)借助图形的平移可以实现“等面积图形”的转化，简化计算的过程．请在空白图中画出平移的示意图，并标清楚边长的数据． (2)求绿化草地的面积（用含a，b的式子表示）． 71．综合与实践：【活动主题】弯曲的小路面积 图形操作：（图1，图2中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段AB向上平移1米到线段，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线ABC（其中点B叫作折线ABC的一个“折点”）向上平移1米到折线，得到封闭图形（阴影部分）． (1)问题解决：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，，则______平方米，并比较大小：______（填“＞”“＝”或“＜”）； (2)动手操作：如图3，类似地，请你画一条有两个“折点”的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并画出阴影部分； (3)联想探索人教7下P30拓广探索： 如图4，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），长方形的长为a米，宽为b米，则空白部分表示的草地的面积是______平方米（用含a，b的式子表示）； (4)实际运用：学校有一块长方形地块，如图5，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为草地，要求草地面积不小于450平方米，现设计道路宽为4米，请你通过计算说明这个道路宽设计是否达到要求？ 72．【教材溯源】 如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1m就是它的右边线．求这块草地青草覆盖的面积．（本题无需解答） (1)【初步解决】 数学老师布置了一个任务：在一块长为，宽为的长方形空地上，设计一条宽为的小路，剩余部分作为草坪，画出设计图并求出草坪的面积．图①是小明同学的设计图，以下是他的计算过程，请将该内容补充完整． 小明：我利用平移的性质，将图①中左边的草坪向右平移得到了如图②所示的图形，图②中空白部分的面积就是草坪的面积，所以草坪的面积为_______． (2)【类比应用】 若设计两条宽均为的小路呢？如图③，此时草坪的面积为_______． (3)【方法迁移】 某小区物业准备在一块长为，宽为的长方形空地上铺设一条如图④所示的宽度处处相等的小路，剩余部分栽种花草，要求栽种花草的面积为，求小路的宽度， (4)【拓展延伸】 一个长为，宽为街心花园的设计图，如图⑤所示，空白部分为花坛，阴影部分是宽为的小路，花坛的总面积可以表示为__________．（用含a，b的代数式表示） (5)【深入探究】 某劳动公园一块长为，宽为的空地的设计方案如图⑥所示，空白部分为草地，阴影部分是宽为的小路．小丽沿着小路的中间从入口B处走到出口C处，求草地的面积和她所走路线（即图中虚线）的长． 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）下列各图中的与，是同位角的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·北京海淀·期中）如图，下列推理中正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（25-26七年级下·北京西城·期中）下列命题中，真命题是（    ） A．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．相等的角是对顶角 C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 4．（25-26七年级下·北京·期中）如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·北京大兴·期中）如图，直线，相交于点，，垂足为．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·北京海淀·二模）命题“若，则”是________命题（填“真”或“假”）． 7．（25-26七年级下·北京·期中）如图，三角形ABC中，点D在BC的延长线上，以点C为端点画射线CE，要使，还需要添加一个条件，这个条件可以是______． 8．（25-26七年级下·北京海淀·期中）如图，沿着所在直线的方向，向右平移到，已知，，那么平移的距离为________． 9．（25-26七年级下·北京·期中）对于a的取值，能说明命题“若，则”为假命题的a的值可以是________（写出一个即可）． 10．（25-26七年级下·北京·期中）如图，直线，被直线所截，平分，． 求证：． 下面是小军的解答过程，请补充完整． 证明：直线与相交于点， （①__________）（填推理的依据） ， ． （②__________）（填推理的依据） （③__________）（填推理的依据） 平分， （④__________）（填推理的依据） （等量代换）． 11．（24-25七年级下·北京朝阳·期中）如图，，的平分线交于点F，交的延长线于点E，． 求证：． 请将下面的证明过程补充完整： 证明：， ∴________． ∵平分， ∴________=________． ． ， ． ∴________________．（理由：________） ．（理由：________） 12．（25-26七年级下·北京朝阳·期中）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，已知，，垂足分别为、，，试说明：． 解：，（已知） （____①____） （____②____） （____③____）． 又（已知） （____④____） （____⑤____） ． 13．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图，已知四边形，点 E 是射线上一点，连接交线段于点F，  若，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，平分， 求的大小． 14．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，直线与被直线所截，与，分别交于点P，O，且，． (1)试说明：； (2)若平分，，求的度数． 15．（24-25七年级下·陕西安康·期末）已知命题“如果，那么．” (1)写出此命题的题设和结论； (2)判断此命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明． 期末重难突破练（测试时间：15分钟） 16．（2026·北京房山·二模）如图，直线，被直线所截，，．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 17．（25-26七年级下·北京·期中）直线、相交于，平分，过点作，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 18．（25-26七年级下·北京海淀·期中）如图，长方形的长，宽，则图中长方形内部的五个小长方形的周长之和为（     ） A．9 B．13 C．14 D．18 19．（25-26七年级下·北京·期中）如图，将三角形沿着射线向右平移得到，连接，若，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．5 20．（25-26七年级下·北京·期中）如图，在三角形中，，，，．将三角形沿方向平移，得到三角形，与相交于点，连接．给出下面三个结论： ①； ②若，则四边形的周长为； ③若三角形的面积比三角形的面积大，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①② C．②③ D．①②③ 21．（25-26七年级下·北京海淀·期中）小红同学在学习完《相交线和平行线》这一章后认为：一个真命题，交换其题设与结论后得到的新命题也是真命题．请你举出一个反例说明小红同学的观点是错误的：___________． 22．（24-25七年级下·北京朝阳·期中）某学生上学路线如图所示，他总共拐了三次弯，最后行车路线与开始的路线相互平行，已知第一次转过的角度和第三次转过的角度分别为、，则第二次拐弯角（）的度数是________． 23．（25-26七年级下·北京·期中）为增强学生体质，感受我国的传统文化，某校体育老师提出将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入体育社团，图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小雅把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则______． 24．（25-26七年级下·北京海淀·期中）如图，已知平面镜平行于平面镜，光线由水平方向射来，传播路线为，若，则___________． 25．（25-26七年级下·北京·期中）如图，下列条件：①；②；③；④．其中能判定的是________（填序号）． 26．（25-26七年级下·北京海淀·期中）按要求完成下列的证明： 已知：如图，于点，是上一点，． 求证：． 证明：∵（已知） ∴____________（依据：________________________） ∵（已知） ∴____________（依据：________________________） ∴（依据：________________________） 27．（22-23七年级下·北京西城·期中）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点与交于点． (1)求证：； (2)若平分时，求扶手与靠背的夹角的度数． 28．（25-26七年级下·北京海淀·期中）如图，，． (1)求证：； (2)若，则的度数为_____． 29．（25-26七年级下·北京·期中）如图，在三角形中，，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，，求的度数． 30．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，已知，于点H，． (1)求证：； (2)连接，若，且，求的度数． 期末综合拓展练（测试时间：20分钟） 31．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②④ 32．（24-25七年级下·北京大兴·期中）如图，四边形中，平分交的延长线于点F，平分交的延长线于点E，与交于点P，，下列结论不正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 33．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，将周长为12的三角形沿直线向右平移个单位长度，得到三角形交于点，连接．给出下列结论：①；②若，则；③；④若四边形的周长为24，则．其中，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 34．（2025·湖南长沙·模拟预测）某校举行“定向越野比赛”，将参赛人员分成若干小组，每组四人，四人需完成各自对应的挑战任务．比赛规则如下： ①出发规则：每次需两名队员从起点同时出发，沿路线完成挑战任务到达终点，耗时以两人中较慢者的挑战完成时间为准(例如甲完成他的挑战需1分钟，乙完成他的挑战需2分钟，则两人同时出发耗时2分钟)； ②返程规则：到达终点后，一人留在终点，另一人必须立即返回起点(返程也需完成对应的挑战任务，耗时与原挑战时间相同，即甲返程仍需1分钟)； ③重复规则：已到达终点的队友可多次参与后续往返； ④结束规则：当四人全部到达终点时，比赛结束． 某组的甲、乙、丙、丁四位队员完成单程挑战任务所需时间(单位：分钟)分别为1，2，3，5，则该组队员完成比赛所需的最短时间为(    ) A．12分钟 B．13分钟 C．14分钟 D．15分钟 35．（25-26七年级下·北京·期中）如图，锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点，的对应点分别是点），连接．若在整个平移过程中，和的度数之间存在3倍关系．则下列角度中不可能是度数的是（   ） A． B． C． D． 36．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）如图，直线l上摆放着两个大小相同的直角三角板和，将三角板沿直线l向左平到如图所示的位置，使点E落在上的点处，点P为与的交点．图中三块阴部分的面积之和为7，则直角三角板的面积为________． 37．（2025·北京·中考真题）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为_______，_______． 38．（24-25八年级上·北京·期末）本学期，学生自主开展的羽毛球社团举办了一场羽毛球比赛，来鼓励支持大家的兴趣发展，在比赛中进一步提升综合能力．为参加这场比赛，甲、乙、丙三人进行赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现甲共当裁判8局，乙、丙分别进行了12局、11局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共进行了______局比赛，其中最后一局比赛的裁判是______． 39．（24-25七年级下·北京·期末）某公司设有三个充电桩，分别为两个快充桩和一个慢充桩，每个充电桩在同一时间仅为一辆车提供充电服务，且每辆车充电完成前，充电过程不得中断．现有5辆电动汽车需要充电，每辆车的充电需求如下表（不考虑车辆交接等其他因素）： 车辆编号 甲 乙 丙 丁 戊 快充桩充电时间 30 40 50 80 100 慢充桩充电时间 130 180 120 120 210 （1）若甲车必须使用慢充桩，则其他4辆车完成充电的总用时最短为_______； （2）这5辆车完成充电的总用时最短为________． 40．（25-26九年级上·北京海淀·期末）某校为校庆做筹备工作，共有十项工序，筹备过程需满足以下要求： （1）只能在两项工序均完成后才能开始； （2）只能在两项工序均完成后才能开始； （3）只能在两项工序均完成后才能开始； （4）其余每项工序相互独立，无先后依赖关系； （5）一项工序只能由一名员工负责，该工序完成后员工才能接手其他工序．各项工序所需时间如表所示： 工序 所需时间（天） 20 18 19 15 14 11 6 5 4 3 在不考虑其他因素的前提下，若由若干名员工合作完成筹备工作，则至少需要___________天才能全部完成；若要在最短时间内合作完成筹备工作，则最少需要_______________名员工共同参与． 41．（22-23七年级下·全国·期中）如图，已知，，． (1)请你判断与的位置关系，并证明你的结论； (2)若，平分，试求的度数． 42．（24-25七年级上·福建漳州·期末）在学习完《相交线和平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情景：如图1，已知，． ①问题初探：请说明：； ②拓展探究：试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数为________（直接写出答案）． 43．（24-25七年级下·北京·自主招生）某居民楼共有8层，电梯在1层时刚好进来了4个人，他们互相都认识，且都准备上楼分别去往4个互不相同的楼层，4人之间开启了一段有趣的对话： 甲：“我是第二个下电梯的，乙说的是假话．” 乙：“我将是最先下电梯的，并且没有人和我在相邻楼层下电梯．” 丙：“我将是最后一个下电梯的，乙说的确实是假话．” 丁：“我是第三个下电梯的，乙才是最后一个下电梯的，并且有人和我在相邻楼层下电梯．” 如果4个人之中有两人始终说真话，他们刚好都在奇数楼层下电梯，而另两人始终说假话，他们刚好都在偶数楼层下电梯．那么甲乙丙丁依次去往的楼层所组成的四位数是多少？ 44．（22-23七年级下·北京·期中）如图，点为直线外一点，过点作直线．现将一个含角的三角板按如图1放置，使点F、E分别在直线上，且点在点的右侧， ，设． (1)填空： ． (2)若的平分线交直线于点，如图2． ①当时，求的度数； ②在①的条件下，将三角板绕点以每秒的转速进行顺时针旋转，同时射线绕点以每秒的转速进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．在旋转过程中，当 秒时，． 45．（25-26七年级下·北京海淀·期中）已知，点、分别是和上两个定点，的角平分线交于，点是直线上一个动点，且不与点、重合． (1)如图1，当时，请补全图1，已知，则____________； (2)如图2，平分交于，连接，设、、 ． ①当点在线段上，请证明：、与之间满足（不能直接用三角形相关知识）； ②当点在直线上运动时，、与之间的数量关系是否保持①中的结论不变？若不变，请说明理由，若发生改变，请直接写出、与之间所有其他可能的数量关系． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 概念、命题与证明（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 命题 题型02 写出命题的题设与结论 题型03 判断命题真假 题型04 举例说明假命题 题型05 举反例 题型06 实验 题型07 归纳 题型08 类比 题型09 演绎 题型10 证明 题型11 求余角、补角 题型12 对顶角 题型13 用直尺、三角板画平行线 题型14 平行公理的应用 题型15 同位角、内错角、同旁内角 题型16 平行线的判定 题型17 平行线的性质 题型18 根据平行线的性质探究角的关系 题型19 根据平行线的性质求角的度数 题型20 平行线的性质在生活中的应用 题型21 根据平行线的判定与性质证明 题型22 生活中的平移现象 题型23 利用平移的性质求解 题型24 利用平移解决实际问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 命题 掌握命题、真假命题概念，分清题设结论，会改写句式，能判断并举反例辨假命题 基础考点，一般在小题考查，2分左右 举反例 学会构造反例否定假命题，精准抓住条件、推翻结论，规范写出验证过程 基础考点，一般在小题考查，2分左右 归纳、类比 理解归纳与类比推理特点，能用两种方法猜想结论，并验证猜想正误 基础考点，综合考查，2分左右 演绎、证明 掌握演绎推理步骤，规范书写几何证明，依据定理公理严谨推导结论 基础考点，综合考查，2分左右 余角补角 熟记余角、补角数量关系，会求角度，熟练运用等角的余补角相等性质解题 重要考点，余角补角的应用，考查题型丰富，3分左右 对顶角 牢记对顶角定义与相等性质，能识图辨认，结合角度计算规范列式求解 核心考点，和其他知识点综合，3分左右 平行公理 熟记平行公理及其推论，会判断直线位置，利用平行关系推理计算 核心考点，小题中考查，2分左右 三线八角 准确识别同位角、内错角、同旁内角，结合平行判定进行角度运算推理 核心主要考点，小题中考查，2分左右 平行线的判定 掌握三种平行线判定方法，能识图说理，规范书写几何推理步骤 核心考点，5分左右 平行线的性质 熟记平行线三大性质，区分判定与性质，规范完成角度推理计算 核心考点，5分左右 平移 掌握平移特征，找准对应点线段，会作图，利用平移性质计算边长面积 主要考点，2分左右 知识点01 命题、定理、证明 1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题． 注意：（1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. （2）命题的表达形式：“如果……，那么…….”，也可写成：“若……，则…….” （3）真命题与假命题： 真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题. 假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题. 2.定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据. 3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明. 注意： （1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等. （2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可． 知识点02 余角、补角 1.互补与互余的概念 互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补.互余：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，也称互余. 2.互补与互余的性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等. 知识点03 对顶角 1.两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表： 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 1 2 ∠1与∠2 有公共顶点 ∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线 对顶角相等 即∠1=∠2 2.对顶角的性质：对顶角相等. 知识点04 同位角、内错角与同旁内角 角的名称 位置特征 图形结构特征 同位角 既在截线的同侧，又在两条被截线的同侧 形如字母“F”（或倒置、反转、旋转） 内错角 既位于被截两直线之间，又位于截线两侧，即被截线“错开” 形如字母“Z”（或倒置、反转、旋转） 同旁内角 既位于接线的同侧，又位于被截两直线之间. 形如字母“U”（或倒置、反转、旋转） 知识点05 平行线的定义、画法、公理 1.定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“//”表示. 2.画法 一“落”：把三角尺一边落在已知直线上； 二“靠”：用直尺紧靠三角尺的另一边； 三“移”：沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点； 四“画”：沿三角尺过已知点的变化直线. 3. 公理 （1）平行公理：经过直线过一点，有且只有一条只限于这条直线平行. （2）平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 知识点06 平行线的判定与性质 1.平行线的判定 判定方法1 判定方法2 判定方法3 两条直线平行的判定 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，即同位角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同位内角相等，那么这两条直线平行，即内错角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，即同旁内角互补，两直线平行 符号语言 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1+∠2=180° 那么AB//CD 2.平行线的性质 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，即两直线平行，同位角相等. 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，即两直线平行，同位角相等. 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，即两直线平行，同旁内角互补. 题型一 命题 1．下列语言叙述是命题的是（ ） A．2026年“全到莆田过大年”是莆田市重点打造的春节文旅品牌． B．你喜欢吃枇杷吗？ C．赶紧写作业！ D．画一条端点为A的射线 【答案】A 【详解】解：∵选项A是对事件作出明确判断的陈述语句，∴A是命题； ∵选项B是疑问句，未对事情作出判断，∴B不是命题； ∵选项C是祈使句，未对事情作出判断，∴C不是命题； ∵选项D是操作指令，未对事情作出判断，∴D不是命题． 2．下列说法错误的是（   ） A．命题不一定是定理，但定理一定是命题 B．定理不可能是假命题 C．真命题是定理 D．“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”是基本事实 【答案】C 【分析】根据命题、定理的定义、基本事实的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．命题包含真命题和假命题，因此命题不一定是定理，定理是经过证明的真命题，因此定理一定是命题，故A选项说法正确； B．定理是被证明为正确的命题，即定理不可能是假命题，故B选项说法正确； C．只有经过推理证明、可作为推理依据的真命题才是定理，并不是所有真命题都是定理，故C选项说法错误； D．“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”是初中几何公认的基本事实，故D选项说法正确． 3．在讨论“对顶角不相等”是不是命题的问题时，甲说：“这不是命题，因为这句话是错误的．”乙说：“这是命题，因为它作出了判断，只不过这一判断是错误的，所以它是假命题．”由此可判断______的说法是正确的． 【答案】乙 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．根据命题的定义对两种说法进行判断． 【详解】解：乙的说法正确．因为“对顶角不相等”是一个判断语句，所以它是命题，根据对顶角的性质可得到它是假命题． 故答案为：乙． 题型二 写出命题的题设与结论 4．把命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果那么”的形式：________． 【答案】如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零 【分析】命题由题设和结论两部分组成，“如果”后接题设，“那么”后接结论，先分离出原命题的题设与结论即可完成改写． 【详解】解：原命题的题设为“两个数互为相反数”，结论为“这两个数的和为零”，因此改写为：如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零． 5．命题：绝对值相等的两个数相等． (1)请将上述命题改写成“如果……，那么……”，并指出这个命题的条件与结论； (2)判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题请说明理由，如果是假命题请举出反例． 【答案】(1)如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等；命题的条件是：两个数的绝对值相等；结论：这两个数也相等 (2)是假命题，反例：，但 【分析】（1）根据命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论； （2）根据有关性质与定理，对命题的真假进行判断，如果是假命题，再举出反例即可． 【详解】（1）解：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等； 命题的条件是：两个数的绝对值相等； 结论：这两个数也相等． （2）解：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等，是假命题， 反例：，但． 6．指出下列命题中的条件和结论： (1)如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角． (2)绝对值等于5的数一定是5． (3)两个钝角相等． (4)如果，,那么． 【答案】(1)条件：两个角的和等于；结论：这两个角互为补角． (2)条件：绝对值等于5；结论：这个数是5． (3)条件：两个角都是钝角；结论：这两个角相等． (4)条件：且；结论：． 【分析】本题考查命题的条件和结论，掌握知识点是解题的关键根据命题的定义即可解答， （1）将“如果”后的语句定为条件，“那么”后的语句定为结论． （2）把命题表述转化为“如果（数的绝对值等于5），那么（这个数是5）”的形式，前半为条件，后半为结论． （3）将命题转化为“如果（两个角是钝角），那么（这两个角相等）”的形式，拆分出条件与结论． （4）“如果”后并列的语句为条件，“那么”后语句为结论． 【详解】（1）解：条件：两个角的和等于；结论：这两个角互为补角． （2）解：条件：绝对值等于5；结论：这个数是5． （3）解：条件：两个角都是钝角；结论：这两个角相等． （4）解：条件：且；结论：． 题型三 判断命题真假 7．下列命题为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】根据等式两边同除以一个数时，该数不能为0，结合等式性质逐一判断即可． 【详解】解：对于A，∵ 当时，任意不相等的都满足， ∴ 由无法推出，A是假命题； 对于B，，等式两边同时加2，得，B是真命题； 对于C，，等式两边同时加2，得，C是真命题； 对于D， ， ，等式两边同时除以，得， D是真命题． 8．命题“如果，那么”是________命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】举出反例即可判断该命题为假命题． 【详解】解：当时，满足，此时，，则， 故原命题为假命题． 9．分别指出下列命题的题设和结论，并判断命题的真假： (1)两条直线被第三条直线所截，同位角相等； (2)个位数是3的整数一定能被3整除； (3)对顶角的平分线在同一条直线上． 【答案】(1)题设：两条直线被第三条直线所截，结论：同位角相等，是假命题 (2)题设：个位数是3的整数，结论：一定能被3整除，是假命题 (3)题设：对顶角的平分线，结论：在同一条直线上，是真命题 【分析】本题主要考查了写出原命题的题设和结论，判断命题的真假，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意写出原命题的题设和结论，再判断真假即可； （2）根据题意写出原命题的题设和结论，再判断真假即可； （3）根据题意写出原命题的题设和结论，再判断真假即可． 【详解】（1）解：题设：两条直线被第三条直线所截，结论：同位角相等， 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原命题是假命题； （2）解：题设：个位数是3的整数，结论：一定能被3整除， 所有数位上的数字之和为3的倍数的整数一定能被3整除，个位数是3的整数不一定能被3整除，原命题是假命题； （3）解：题设：对顶角的平分线，结论：在同一条直线上，原命题是真命题． 题型四 举例说明假命题 10．对于命题“若，则”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查举反例判断命题真假，反例需满足命题的条件，但不满足命题的结论，据此逐一检验选项即可． 【详解】解：说明该命题是假命题的反例，需要满足条件，且不满足结论，即， 对选项A：，，满足条件，且，满足结论，不符合要求； 对选项B：，，满足条件，且，满足结论，不符合要求； 对选项C：，，不满足，不符合条件，不符合要求； 对选项D：，，，满足，但，不满足，符合反例要求． 11．写出一个的值，使命题“”是假命题，这个值可以是______． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】根据绝对值的性质：正数和零的绝对值等于它本身，确定命题为真时的取值范围，取该范围外的任意值即可得到符合要求的解． 【详解】解：若成立，则． 即当时，命题为真命题， 要使命题为假命题，只需满足，如（答案不唯一）． 12．定义：对于任意两个实数a、b，若满足，则称数对为异差数对． 观察例子： 当，时，，，，则数对为异差数对． (1)验证：判断数对是否为异差数对； (2)推理证明：当时，数对一定是异差数对； (3)判断命题：“若是异差数对，则”是真命题还是假命题？若是真命题，请写出理由；若是假命题，请举出恰当反例． 【答案】(1)数对是异差数对． (2)见解析． (3)该命题是假命题．反例不唯一，例如异差数对满足条件，但，不满足． 【分析】（1）代入数值计算，根据异差数对的定义验证判断即可． （2）由得出，进而得出，即可证明． （3）由（2）可知原命题不成立，然后举反例即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴数对是异差数对． （2）证明：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 即数对一定是异差数对． （3）解：该命题是假命题． 由（2）的结论可知，当时，数对也可以是异差数对，因此原命题不成立． 举反例：数对是异差数对，其中，，满足是异差数对，但，不满足，原命题是假命题． 题型五 举反例 13．下列各语句哪些是命题，哪些不是命题？如果是命题，判断命题的真假并对假命题举反例说明． (1)如果a，b互为相反数，那么． (2)有理数一定是自然数． (3)延长线段． (4)明天一定下雨吗？ (5)． 【答案】(1)是真命题 (2)是假命题，见解析 (3)不是命题 (4)不是命题 (5)是假命题，见解析 【分析】本题考查了命题的定义，命题的真假，相反数，有理数，有理数的乘方，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据命题的定义进行判定，再结合相反数的性质得出原命题是真命题，即可作答． （2）根据命题的定义进行判定，再结合有理数与自然数的定义得出原命题是假命题，即可作答． （3）根据命题的定义进行判定，即可作答． （4）根据命题的定义进行判定，即可作答． （5）根据命题的定义进行分析，即“”是命题，且是假命题；再举反例：当时，分别算出等式左边为9，右边为5，左边右边，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，如果a，b互为相反数，那么是命题，且是真命题； （2）解：“有理数一定是自然数”是命题，且是假命题； 例如：是有理数，但不是自然数， ∴原命题是假命题， （3）解：“延长线段”不是命题； （4）解：“明天一定下雨吗？”不是命题； （5）解：“”是命题，且是假命题； 当时， 则 即等式左边为9，右边为5，左边右边， 因此原命题是假命题． 14．给出命题：“如果两个角是同位角，那么这两个角相等．” (1)写出命题的题设和结论； (2)直接判断命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例．（只举例，不必详细说明理由） 【答案】(1)命题的题设为两个角是同位角，结论为这两个角相等． (2)命题是假命题，反例见详解（反例答案不唯一，正确即可） 【分析】本题主要考查命题，反例，掌握命题是有题设和结论组成，有真命题，假命题之分，反例的含义是解题的关键． （1）“如果”后面的部分为题设，“那么”后面的部分为结论； （2）反例是指符合某个命题的条件，而又不符合该命题结论的例子，由此即可求解 【详解】（1）解：命题的题设为两个角是同位角，结论为这两个角相等； （2）解：命题是假命题， 反例：如图， 与是同位角，但是． 15．某数学实验小组在探究“关于x的二次三项式﹣x2+2x+3的性质”时，进行了如下活动． 【试验操作】取不同的x的值，计算代数式﹣x2+2x+3的值． (1)补充完整下列表格： x … ﹣1 0 1 2 3 … ﹣x2+2x+3 … 0 3 4 … (2)【观察猜想】实验小组组员观察表格，提出以下猜想：同学甲说：“代数式﹣x2+2x+3的值随着x的增大而增大”．同学乙说：“不论x取何值，代数式﹣x2+2x+3的值一定不大于4”．请你也提出一个合理的猜想 ； (3)【验证猜想】我们知道，猜想有可能是正确的，也有可能是错误的，请你分别判断甲、乙两位同学的猜想是否正确，若不正确，请举出反例；若正确，请加以证明． 【答案】(1)3,0 (2)当x＞1时，代数式的值随着x的增大而减小（答案不唯一） (3)甲的判断不正确，乙的判断正确，反例和证明见解析 【分析】（1）将数值代入计算即可； （2）填一个从表中数据可以得到的结论，并言之有理即可； （3）根据表中数据即可举出反例说明甲的判断错误，通过对代数式进行变形，即可得到它的最大值为4，证明乙正确． 【详解】（1）当x=2时，﹣x2+2x+3=3； 当x=3时，﹣x2+2x+3=0； 故答案为：3；0． （2）当x＞1时，代数式的值随着x的增大而减小（答案不唯一）． （3）甲的判断是不正确的，例如当x=2时，﹣x2+2x+3=3＜4； ∴同学甲说：“代数式﹣x2+2x+3的值随着x的增大而增大”是错误的； 乙的判断是正确的，原因如下： ， 由于， ∴， 所以同学乙的判断正确． 【点睛】本题考查了代数式的求值及其变化规律问题，解题关键是能够根据表中数据正确判断代数式值的情况，并能够对代数式进行正确的变形． 题型六 实验 16．睡鼠是冬眠时间最长的动物，一般每年有个月的时间处于冬眠状态．2024年，动物学家跟踪研究的一只睡鼠从去年10月21日开始冬眠，直到今年4月3日才出冬眠，这只睡鼠冬眠了（    ）天． A．163 B．164 C．165 D．166 【答案】C 【分析】本题考查日期的计算，解题的关键思路是分别计算出去年和今年睡鼠冬眠的天数，然后将二者相加，即可求解． 【详解】解：去年10月共有31天，睡鼠从10月21日开始冬眠， ∴10月冬眠的天数为（天）． 11月有30天，12月有31天， ∴去年冬眠的总天数为（天）． 今年1月有31天， ∵， ∴是闰年，闰年2月有29天， 3月有31天，4月睡鼠到3日才出冬眠， ∴4月冬眠了2天， 那么今年冬眠的总天数为（天）， 将去年和今年冬眠的天数相加，可得（天）． 答：这只睡鼠冬眠了165天． 故选：C． 17．在探究圆的面积公式的过程中，可以通过将圆等分成不同的份数，再拼成一个近似的长方形如图．当把圆等分的份数越多，由一段一段弧连成的曲线越接近直线，拼成的图形就越接近长方形．关于这一探究过程，下列说法错误的是（   ） A．拼合成的近似长方形的宽相当于圆的半径 B．拼合成的近似长方形的长相当于圆周长 C．圆的面积公式是 D．探究过程体现了“无限逼近”和“以直代曲”的数学思想方法 【答案】B 【分析】此题考查了圆的面积公式，根据探究圆的面积公式的过程求解即可． 【详解】A．拼合成的近似长方形的宽相当于圆的半径，正确； B．拼合成的近似长方形的长相当于圆周长的一半，原说法错误； C．圆的面积公式是，正确； D．探究过程体现了“无限逼近”和“以直代曲”的数学思想方法，正确． 故选：B． 18．透明盒子中有A、B、C、D四个圆形盖子，现在需要将它们全部取出，要求每次只能取一个，将第一个取出的盖子扣在桌面上，之后取出的盖子依次扣在前一个取出的盖子上面（不考虑盖子厚度）．每个盖子的直径如下表： 盖子 A B C D 直径（） 1 2 3 4 当四个盖子被全部取出后，恰好有两个盖子被罩住的顺序组合有___________种． 【答案】11 【分析】首先明确“恰好有两个盖子被罩住”的含义，即最终有两个盖子被完全罩住，另外两个盖子能被看到，由此分解出关键问题：确定哪两个盖子被罩住，哪两个不被罩住．对于取出盖子的不同顺序进行分类讨论即可求出． 【详解】若最后取出的盖子，则有三个盖子都能被罩住， 盖子取出顺序不能是第四个，故可以为第一、第二或第三个． ①当第一个取出盖子时，第二个无论取哪个盖子都不能罩住盖子，因为有两个盖子被罩住，故盖子应该在最后取出，第二个和第三个无论是先取还是先取，这两个盖子都能被罩住，即有2种情况：，； ②当第二个取出盖子时，第一个盖子无论取哪个盖子，都能被罩住，但第三个无论取哪个盖子都不能罩住，故需要满足第四个取出的盖子能罩住第三个取出的盖子，故有3种情况：； ③当第三个取出盖子时，前两次无论取哪两个盖子，都能被罩住，即有6种情况：． 综上所述，当四个盖子被全部取出后，恰好有两个盖子被罩住的顺序组合共有（种）． 题型七 归纳 19．观察下图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则________（结果用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化类问题，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的共同规律以及与第一个图形的相互联系，探寻其规律．仔细观察图形变化，找到图形的变化规律，利用规律解题即可． 【详解】解：第一个图形中有个三角形； 第二个图形中有个三角形； 第三个图形中有个三角形； 第四个图形中有个三角形； ； 第n个图形中有个三角形． 故答案为： 20．如图，线段上的点数与线段的总数有如下关系：当线段上有个点时，线段总共有条；当线段上有个点时，线段总共有条；当线段上有个点时，线段总共有条，···，按此规律．当线段上有个点时，线段总共有______条 【答案】 【分析】本题考查线段条数计算和规律性探索，解答关键是辨别线段数目增长的规律． 根据给出的条件进行观察找出规律：当有个点时，线段总共有条，代入，即可求解． 【详解】解：∵当线段上有个点时，线段总共有条； 当线段上有个点时，线段总共有条； 当线段上有个点时，线段总共有条， ···，按此规律． ∴当线段上有个点时，线段总共有条， ∴当线段上有个点时，线段总共有条， 故答案为：条． 21．观察与思考：我们知道，那么等于多少呢？请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系，解决下列问题： (1)发现规律： ________． (2)推算概括：用含的式子表示出的值． (3)拓展应用：求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式找规律，（1）根据题干中的规律续写即可；（2）找到规律后按规律进行求和计算即可；（3）利用（2）的公式即可求得式子的值 【详解】（1）解： ， . （2）解： ． （3）解： ． 题型八 类比 22．阅读下列材料，然后回答问题： 观察下列等式：，，； 将以上三个等式相加：． (1)猜想并写出_____； (2)直接写出下列式子的结果：_____； (3)探究并计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察等式规律进行猜想即可； （2）根据规律进行计算即可． （3）观察发现进行相减后需乘两式才相等，由此规律即可求解． 【详解】（1）解：观察已知的等式：，，． 可以发现规律：； （2）解：根据（1）中得到的规律， 则 ； （3）解：对于， 则有，，， 可以发现， 那么： ． 23．你能比较和的大小吗？为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较和的大小（，且为整数）． 从分析，…的简单情况入手，从中发现规律，经过归纳猜想结论． (1)通过计算，选填“>”或“<”： ①__________；②__________； ③__________；④__________； ⑤__________． (2)根据（1）的结果，猜想和的大小关系． (3)根据（2）中的猜想，试比较下列两数的大小关系：__________2025（填“>”或“<”）． 【答案】(1)①<  ②<  ③>  ④>  ⑤> (2)当或2时，；当时， (3)> 【分析】（1）直接计算每个式子的乘方结果，再比较大小； （2）根据（1）的计算结果，归纳取不同值时与的大小规律； （3）利用（2）中归纳的规律，判断与的大小． 【详解】（1）解：①，故； ②，故； ③，故； ④，故； ⑤，故． （2）解：当时，； 当且为整数时，． （3）解：因为，根据（2）的结论，得． 【点睛】本题考查了有理数的乘方运算和归纳推理的方法，掌握通过计算简单情况归纳规律，再用规律解决复杂问题是解题的关键． 24．阅读下列材料： 某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式计算：． 回答下列问题： (1)请借鉴该同学的方法，计算：． (2)借鉴上面的方法，再逆用平方差公式计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方差公式的运用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）为了利用平方差公式，将原式第一部分乘以和进行配凑然后再连续利用平方差公式计算； （2）把每个因式逆用平方差公式分解，然后根据有理数的乘法计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 题型九 演绎 25．十名篮球运动员身穿1至10号的球衣围成一个圆圈．证明一定存在三个相邻的队员，它们的球衣号码数加起来一定大于17． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的运算和反证法，由已知，1～10号运动员随意地站成一个圆圈，求出3组有顺次相邻的某3名运动员的号码的和，再假设每组都小于等于17，得3组的和与计算出3组的和矛盾确定一定有顺次相邻的某三名运动员，他们运动服号码数之和大于17． 【详解】解：设在圆周上按逆时针顺序以1号为起点记运动服号码数为 ， 显然，而就是2，3，4，5，6，…，10，的一个排列． 令； ； ； 则； ； ； ． 如果，，中每一个都，则有，与式矛盾． 所以，， 中至少有一个大于17． 即所以，一定存在三个相邻的队员，它们的球衣号码数加起来一定大于17． 26．A、B、C三个油桶各盛油若干千克．第一次把A桶的一部分油倒入B、C两桶，使B、C两桶内的油分别增加到原来的2倍；第二次从B桶把油倒入C、A两桶，使C、A两桶内的油分别增加到第二次倒之前桶内油的2倍；第三次从C桶把油倒入A、B两桶，使A、B两桶内的油分别增加到第三次倒之前桶内油的2倍，这样，各桶的油都为16千克．问A、B、C三个油桶原来各有油多少千克？ 【答案】原来A桶有油26千克，B桶有油14千克，C桶有油8千克． 【分析】本题考查的是逻辑推理，解决此问题的关键是用倒推法，从后往前一步步推算，即可得出结果． ①第三次后都为16千克，第三次前是C向A，B倒，并使A、B增加到第三次前的2倍，所以A、B两桶第三次前是16的一半，是即，所以第三次前（千克）； ②第二次是从B桶把油倒入C、A两桶，所以第二次倒前就是把C、A减半，再算出B； ③第一次把A油倒入B、C两桶，所以第一次倒前就是把B、C减半，再算出A． 【详解】解：如下表： 第三次倒以后 第二次倒以后 第一次倒以后 未倒时 用倒推法可得：原来A桶有油26千克，B桶有油14千克，C桶有油8千克． 27．某届“新希望杯”竞赛临近前，有10所学校向组委会申请增加参赛名额，组委会同意增加29个参赛名额，每所学校至少增加一个名额． (1)求证：不管怎样分配，至少有3所学校增加的参赛名额相同： (2)求证：如果增加相同参赛名额的学校少于4所，那么增加的29名参赛选手中至少有5名选手来自于同一所学校． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了反证法． （1）假设没有3所学校得到相同的名额，而每所学校至少要有1名，推出总人数为30名，与增加29名参赛名额矛盾，据此证明原结论正确； （2）假设每所学校分得的名额都不超过4个，推出10所学校派出的选手人数最多不会超过28名，与增加29名参赛名额矛盾，据此证明原结论正确． 【详解】（1）解：假设没有3所学校得到相同的名额，而每所学校至少要有1名， 则人数最少的分配方案是： 每两所学校一组依次各得1，2，3，4，5个名额， 总人数为， 矛盾， 故不管如何分配，都至少有3所学校分得的名额相同； （2）解：假设每所学校分得的名额都不超过4个，并且每所学校的名额不少于1，则在分到相同名额的学校少于4所的条件下， 选手人数最多的分配方法是：3所学校各分4个名额，3所学校各分3个名额，3所学校各分2个名额，还有一所学校分一个名额， 这样10所学校派出的选手人数最多不会超过， 矛盾，所以至少会有一所学校派出的选手人数不少于5． 题型十 证明 28．2014年“世界杯”足球赛中，甲、乙、丙、丁4支队分在同一小组，在小组赛中，这4支队中的每支队都要与另3支队比赛一场．根据规定：每场比赛获胜的队可得3分；失败的队得0分；如果双方踢平，两队各得1分．已知： ①这4支队三场比赛的总得分为4个连续奇数； ②乙队总得分排在第一； ③丁队恰有两场同对方踢平，其中有一场是与丙队踢平的． 根据以上条件可以推断：总得分排在第四的是_____队．（要有推断过程） 【答案】丙 【分析】本题考查了逻辑推理问题的应用，根据比赛规则以及3个已知条件不难解答本题，4队单循环比赛，合计比赛（）场比赛，即每队比赛3场，根据积分规则，每队最多积分9分，最少积分0分。根据（1）这4支队三场比赛的总得分为4个连续奇数可知，四队积分可能为1、3、5、7或3、5、7、9，有且仅有这两种可能；而6场比赛全部分出胜负时四队合计积分为（分），即四队积分和最高18分，而，显然不可能，故四队积分只可能为1、3、5、7；根据（2）乙队总得分排在第一可知，乙队2胜1平积分7分，排名第一；根据（3）丁队恰有两场同对方踢平，平2场积分为2分，根据四队积分均为奇数分可知丁队另一场比赛胜了对方，积分3分，合计积分5分，即丁队1胜2平积分5分，排名第二，据此解答． 【详解】解：甲、乙、丙、丁4支队合计比赛场次：（场）， 因为每场比赛获胜的队可得3分：失败的队得0分；如果双方踢平，两队各得1分， 所以6场比赛如果全部分出胜负，则四队积分和：（分）， 根据（1）这4支队三场比赛的总得分为4个连续奇数， 所以四队积分可能为1、3、5、7或3、5、7、9 而， 所以四队积分只能为1、3、5、7， 因为（2）乙队总得分排在第一， 所以乙队积分7分（2胜1平）， 因为（3）丁队恰有两场同对方踢平，两场比赛积分：（分） 所以丁队另外一场比赛一定胜了对方，积分3分， 即丁队一共积分：（分） 所以丁队总得分排在第二，积分5分（1胜2平）， 因为（3）丁队有一场是与丙队踢平的， 此时剩余两队（甲、丙）的积分为3分和1分， 积3分的队伍战绩为1胜2负（0场平局），积1分的队伍战绩为1平2负（1场平局）， 根据条件③，丁队与丙队踢平，说明丙队必有1场平局， 故丙队只可能积分1分（1平2负），最后甲队积分3分（1胜2负）． 综上： 甲1胜2负，积分3分，即甲胜丙，负乙和丁； 乙2胜1平，积分7分，即乙胜甲和丙，平丁； 丙1平2负，积分1分，即丙平丁，负甲和乙； 丁1胜2平，积分5分，即丁胜甲，平乙和丙． 所以总得分排在第四的是丙队． 故答案为：丙． 29．有五个足球队、、、、分入同一小组进行单循环足球比赛，争夺出线权，比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中名次在前的两个队出线，小组赛结束后，如果队的积分为9分，讨论： (1)队的战绩是几胜，几平，几负？ (2)如果小组赛中有一个队的战绩为全胜，队能否出线？ (3)如果小组赛中有一个队的积分为10，队能否出线？ 【答案】(1)3胜0平1负 (2)A队能出线 (3)队能出线 【分析】本题考查了不等式的应用，二元一次方程的应用及逻辑推理，根据球队的积分判断出胜负的场次是解题的关键． （1）五个队分在同一小组进行单循环赛，则每个组只进行4场比赛，队的积分为9分，就可以得到队的胜负情况； （2）利用队的胜负以及另一队战绩为全胜情况，进而就可以得到其它队的胜负的情况，就可以进行判断； （3）利用队的胜负以及另一队战绩为积分10分情况，进而就可以得到其它队的胜负的情况，就可以进行判断． 【详解】（1）解：个队进行单循环足球比赛， 每2个队间只比赛1次，每个队和其他队比赛4次， 设队胜，平， ． ， 得：，，故队的战绩是3胜0平1负． （2）解：小组赛中有一个队的战绩为全胜，队的积分为9分， 其他队最多可以胜2场比赛，故最多可得6分， 队能出线； （3）解：假设是队的战绩为10分．它就是3胜1平0负， 可以看出，队只败给了队，即、、都负于队了， 3队里有1队和队平了1次，其他2队都负于队， 、、，3队里积分最高的是2胜1平1负，有7分． ∴队出线了． 30．代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性． 例如：证明命题“如果，，那么”是真命题． 证明：，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，，（已证） ．（不等式的传递性） (1)已知有理数、满足，证明：（补全下列推理过程）； 证明：且，均为正数，（已知） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______，（不等式的基本性质） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______．（不等式的基本性质） ．（不等式的传递性） (2)请你尝试证明：若，则． (3)命题“三个连续自然数之和能被3整除”是真命题还是假命题？若为真命题，请证明；若为假命题，请举一个反例说明． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查不等式的性质，命题的判定，关键是掌握不等式的性质． （1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，由此即可证明问题； （2）不等式的两边同时加上同一个数b得，不等式的两边同时除以同一个正数2，由此即可证明问题； （3）设这三个自然数分别是，，，其中，将这三个自然数求和即可得出结论． 【详解】（1）解：证明：且，均为正数，（已知） 不等式的两边都乘以同一个正数，得，（不等式的基本性质） 不等式的两边都乘以同一个正数，得．（不等式的基本性质） ．（不等式的传递性）； 故答案为：，； （2）证明：， 不等式两边同加上，得， 不等式两边同时除以2，得； （3）解：真命题， 证明：设这三个自然数分别是，，，其中， ， 能被3整除， 这三个自然数的和能被3整除． 题型十一 求余角、补角 31．如图，直线，相交于点O，，分别在，的内部，且平分，． (1)写出图中的余角：_______． (2)若，求的度数． 【答案】(1)、、 (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，利用垂线的定义得到，最后利用余角的性质求解即可； （2）利用角之间的和差关系求出的度数，进而得到、的度数，利用平角的性质求解即可． 【详解】（1）解：平分， ， ， ， ， ， ， ， 的余角为：、、； （2）解：， ， ， ， ． 32．如图，点O在直线上，射线都在直线的上方，射线在直线的下方．，垂足为点O，在的内部，． (1)求证：与互为余角； (2)若，与互为余角，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据垂直的定义，平角的定义，得到，即可得证； （2）根据余角的定义结合角的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 则． ∴与互为余角． （2）解：∵，由（1）可得，． ∵与互为余角，， ∴． ∴． 33．如图，直线，交于点，已知，在右侧，． (1)若，求的度数； (2)若，试说明与互余． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先根据对顶角相等和已知条件，求出，从而求出即可； （2）先根据垂直定义和已知条件求出，再根据已知条件求出，进而求出即可证明． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）证明：， ． ， ， ∴， ， ， 与互余． 题型十二 对顶角 34．在物理光学实验中，小明将一束激光从空气射入上、下表面平行的玻璃砖(如图)．光线从空气射到玻璃砖上表面点B并发生了折射，折射光线射到玻璃砖下表面C处，点D在的延长线上，若，，则的度数等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，“对顶角相等”．先由“两直线平行，内错角相等”，得到，结合已知条件，以及“对顶角相等”，求得的度数． 【详解】解：如图，∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 35．如图，木条a，b与木条c钉在一起，，转动木条a．当______°时，木条a与b平行． 【答案】70 【分析】根据题意可知，再结合“同位角相等，两直线平行”得出答案． 【详解】解：如图， 木条转动时． 当时，． ∴当时，木条a与b平行． 36．如图，已知点，在直线上，点在线段上，与交于点，，． (1)求证：； (2)试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：因为， 所以(同位角相等，两直线平行) ． (2)解：．理由如下： 因为， 所以． 又， 所以． 所以， 所以． (3) 【分析】（1）根据平行线的判定定理进行判断，即可求解； （2）根据平行线的性质可得，结合已知可得，即可证明，根据平行线的性质，即可得出结论； （3）根据平行线的性质可得，，再根据角的和差以及对顶角相等即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：因为， 所以． 因为， 所以， 所以． 题型十三 用直尺、三角板画平行线 37．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是正方形，点，，，都在格点上，请利用网格完成下面画图并回答问题： (1)过点画直线（点E是格点）； (2)过点P画的垂线（点F是格点），交于点C； (3)在（2）中，线段______的长度表示点P到直线的距离，与的大小关系是______，依据是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，，垂线段最短 【分析】（1）根据平行线的判定定理解题； （2）根据垂线的定义解题即可； （3）根据垂线段最短解题即可． 【详解】（1）解：如图， （2）解：如图， （3）解：线段的长度表示点P到直线的距离， ∴， 依据是垂线段最短． 38．如图，已知三角形，根据要求用直尺和三角尺画图，并回答问题： (1)过点画，垂足为；点到的距离是线段___________的长； (2)过点画，交于点． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析 【分析】（1）利用三角尺的直角和直尺画图，根据垂线段的长度即为点到直线的距离求解； （2）利用直尺和三角尺画平行线． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求， 点到的距离是线段的长度， 画图说明：直尺和重合，三角尺的一直角边过点，利用一直角边与直尺重合，过点向画线即可； （2）解：如图所示，即为所求， 画图说明：三角尺直角顶点与点重合，一直角边与重合，另一直角边与直尺重合，三角尺沿着直尺移动，经过点时，画射线即可； 39．如图，P是的边上的一点，点A，O，P都在格点上． (1)请同学们借助三角板或直尺，在方格纸上按要求画图，并标注相应的字母（保留作图痕迹）．要求：过点P画的垂线，交于点C；过点P画的垂线，垂足为点D； (2)在第（1）问基础上，完成下面填空： ①线段______的长度表示点P到直线的距离； ②______（填“”“”或“”），理由是______； (3)请同学们借助三角板或直尺，或利用尺规作图的方法，过点A画的平行线（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)①；②，点到直线的距离，垂线段最短 (3)见解析 【分析】（1）根据题意即可作出垂线； （2）①根据点到直线的距离的定义判断即可；②根据垂线段最短，可得结论； （3）取格点E，作直线即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求；直线即为所求； （2）解：①线段的长度表示点到直线的距离； ②根据垂线段最短得到，理由是点到直线的距离，垂线段最短； （3）解：如图，直线即为所求． 题型十四 平行公理的应用 40．在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，刘老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)路灯维护工程车的工作示意图如图①，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则______°； (2)一种路灯的示意图如图②所示，在安装时需要保证其底部支架与吊线平行；灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，若，则安装是否符合标准？请说明理由． 【答案】(1) (2)安装符合标准，见解析 【分析】（1）过拐点作平行线，通过平行线的性质推导得出，代入的度数即可求解； （2）通过作辅助线平行于和，将相关的角分解为与、相关的角，结合平行线性质求出锐角度数． 【详解】（1）解：如图，过的顶点作直线平行于支撑平台． ∵工作篮底部支撑平台，支撑平台， ∴工作篮底部， ∵支撑平台， ∴， ∵工作篮底部， ∴， ∴． （2）解：安装符合标准，理由如下： 如图，过点作， ， ， ∵顶部支架与灯杆所成锐角， ， ， ， ， ． ∴安装符合标准． 41．如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，，两支架和的夹角．如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点C作如图②，则可以得到，其理由是： ． (2)如图②，根据小明的思路求和的度数； 【答案】(1)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 (2)； 【分析】（1）根据平行公理进行解答即可； （2）根据平行线的性质得出，从而求出，再根据已知角求出，根据平行线的性质求出；根据平行线的性质得出，从而求出．再根据，求出结果即可． 【详解】（1）解：过点C作如图②，则可以得到，其理由是：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； （2）解：如图，∵， ， ∵， ， ∵， ， ∵， ∴， ； ∵， ， ∵， ． ∵， ； 42．在数学活动课上，老师提出如下问题，请你和同学们一起进行探究： 问题情境：如图1，已知，点E在，之间，连接，． (1)初步探究： 在图1中，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 小高同学添加了一条辅助线，过点E作，他的解题思路如下，请你补全解答过程： 解： 理由如下： 过点E作 ∵（已知）， ∴______（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴，（______）． ∵， ∴． (2)类比探究： 如图2，若，，的平分线相交于点F，猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用： 如图3，，若点E在直线下方，平分，平分，与相交于点F，（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 【答案】(1)；两直线平行，内错角相等 (2)，理由见解析 (3)（2）中的结论仍成立，理由见解析 【分析】（1）根据平行公理与平行线的性质可得答案； （2）根据（1）的结论，结合角平分线证明即可； （3）过点E作，证明，可得，，再进一步证明即可. 【详解】（1）解： 理由如下： 过点E作 ∵（已知）， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴，（两直线平行，内错角相等解）． ∵， ∴． （2）解：； 理由：由（1）得，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 即. （3）解：（2）中的结论仍成立； 理由：过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵由三角形内角和可得：， ∴， ∴， ∴即. 题型十五 同位角、内错角、同旁内角 43．两条直线被第三条直线所截，在两个交点处形成八个角，这就是“三线八角”．如图所示，以下选项中在位置上互为同旁内角的是（     ） A． 和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，据此求解即可． 【详解】解：A、 和是同位角的关系； B、和是内错角的关系； C、和是内错角的关系； D、和是同旁内角的关系． 44．如图，下列说法不正确的是（   ） A．与是内错角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 【答案】B 【分析】同位角：在截线同旁，被截线相同的一侧的两角，内错角：在截线两旁，被截线之内的两角，同旁内角：在截线同旁，被截线之内的两角；首先结合图形找出需要判断的两个角所涉及的直线，再根据同位角、内错角、同旁内角的概念进行分析即可． 【详解】解：．与是内错角，说法正确，故该选项不符合题意； ．与不是同位角，说法错误，故该选项不符合题意； ．与是内错角，说法正确，故该选项不符合题意； ．与是同旁内角，说法正确，故该选项不符合题意； 45．如图，①和是___角；②和是___角．（选填“同位”、“内错”、“同旁内”、“对顶”、“邻补”） 【答案】 内错 同位 【详解】解：①和是内错角； ②和是同位角． 题型十六 平行线的判定 46．如图，下列能判定的条件有______（填序号）． ①；②；③；④；⑤． 【答案】 ①③④ 【分析】根据同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行，对各个条件进行逐一分析即可． 【详解】解：①， ，符合题意； ②， ，不能判定，不符合题意； ③， ，符合题意； ④， ，符合题意； ⑤与是同旁内角，若才能判定，而不能判定，不符合题意； 综上所述，能判定的条件有①③④． 47．如图所示，与交于点，点在直线上，，，，下列四个结论，其中正确的结论有________． ①；②；③；④． 【答案】①②④ 【分析】由已知条件即可得出，从而判断①正确；作，结合平行线的性质即可判断②正确；设，，则，，作，结合平行线的性质即可判断③错误，④正确． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； 如图，作，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确； 设，，则，， 如图，作，则，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴，无法判断是否为，故③错误； ，故④正确； 综上所述，正确的有①②④． 48．如图，，． (1)求证：． (2)若，直接写出与的位置关系． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由平行线的性质结合等量代换即可证出结论； （2）由同旁内角的关系，可求出的度数，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型十七 平行线的性质 49．已知：点、、不在同一条直线上，， (1)如图，当，时，求的度数； (2)如图，、分别为、的平分线所在直线，试探究与的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图，过点作，根据平行线的性质得，根据平行公理推论得，继而得到，最后得到，再代入数据可得答案； （2）如图，过点作，根据平行线的性质及平行公理推论推出，根据角平分线的定义得，，继而得到，再结合（1）的结论即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即的度数为； （2）解：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵、分别为、的平分线所在直线， ∴，， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， 即． 50．如图，已知，． (1)请你判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，于点，，试求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）证明得，继而得到，根据平行线的判定可得答案； （2）根据角平分的定义得，根据平行线的性质及垂直的定义得，然后由可得答案． 【详解】（1）解：． 理由：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的度数为． 51．已知：如图，，． (1)求证：； (2)若平分，平分，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行线的性质，可得，，即可证得结论； （2）由平行线的性质，结合角平分线的定义，可得，即可得的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵平分， ∴． 题型十八 根据平行线的性质探究角的关系 52．如图，，，则，，之间关系是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别过作的平行线和，根据两直线平行内错角相等以及角的和差关系得到，根据垂直的定义得到． 【详解】解：如图，分别过作的平行线和， ∵， ∴， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 53．若和的两边分别平行，且比的3倍少，则的度数为_______ 【答案】或 【分析】根据平行线的性质，若两个角的两边分别平行，则两个角相等或互补，因此分类讨论两种情况，结合题目给出的数量关系列方程求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∵和的两边分别平行， ∴分两种情况讨论： 如图， ∵， ∴， ∴； 当时，， 解得； 如图， ∵， ∴， ∴； 当时，， 解得； 综上，的度数为或． 54．如图，已知为直线上的一点，交于点，交于点． (1)当点在线段上时，求证：； (2)当点不在线段上时，探究与的数量关系； (3)根据以上探究过程，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据平行线的性质得到，，等量代换即可得到； （2）根据平行线的性质得到，，等量代换即可得到； （3）根据题意分三种情况讨论，分别利用平行线的性质结合（2）的结论求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）解：如图，当点D在延长线上时， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴； 如图，当点D在延长线上时， 同理可得，； （3）解：当点在线段上时， ∵ ∴ ∵ ∴ 由（1）得， ∴； 当点D在延长线上时， ∵ ∴ ∵ ∴ 由（2）得， ∴； 当点D在延长线上时，同理可得． 题型十九 根据平行线的性质求角的度数 55．如图所示，点，在直线的异侧，点，分别是线段，上的点，已知，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据证得，进而得到，即，得到结论； （2）由（1）得，，结合题干得，相减得，进而得到答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知， ①，， ，由（1）知， ②， 由①-②，得， 解得， ． 56．如图，已知， (1)求证：； (2)若于点，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由可得，进而可得，再由，得到，再等量代换即可证得； （2）由题可得，再，可得，根据即可求解． 【详解】（1）证明：， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， ， （两直线平行，同旁内角互补）， ； （2）解：， ， 解得，则， ， ， ， 57．已知：如图，点、、、都在的边上，，且． (1)求证：； (2)若平分，，求和的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)， 【分析】（1）根据，得出，又，得出，利用同旁内角互补即可推出； （2）根据，得出，又因为平分，得出，再证明，再根据两直线平行的性质即可得出． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． 题型二十 平行线的性质在生活中的应用 58．在学习完《相交线和平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情境：如图1，已知，． ①问题探究：求证：； ②拓展探究：，，之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (2)迁移应用：图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若，则的度数为 ． 【答案】(1)①见解析；②，见解析 (2) 【分析】（1）①根据同旁内角互补两直线平行，即可得，根据平行线的性质可得，结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行，即可得证； ②过点F作，根据两直线平行内错角相等得出，，进而即可求解； （2）根据题意以及平行线的性质得出，，即可求解． 【详解】（1）证明：①， ， ， ， ， ； ②如图所示，过点F作， ， ， ， ； （2）如图所示，过点作， 依题意，， ∴ ∴， ∴． 59．按要求完成下列各题： (1)如图1：潮潮用三根木棍a，b，c制作了如图所示的模型，固定c不动，转动a和b，使得__________时，可以使得，其依据是______________________． (2)潮潮的孪生兄弟实实，偶然间在数学教材上看见一幅神奇的平行线图如图2，为了验证这些直线是否互相平行，请你帮助实实同学设计一个方案，在只使用一个含的直角三角板的情况下，验证直线互相平行，并说明设计依据． (3)据此，潮潮实实，在晚上回家写作业的时候，为了转动台灯的灯管面（线段）与桌（线段）面平行，已知，，，请求出图3中的应该为多少？（用含x，y的式子表示），并说明理由． 【答案】(1)；同位角相等，两直线平行 (2)将三角板角的一边与第一条直线重合，标记出角另一边的位置；再移动三角板到第二条直线处，让角的一边与第二条直线重合，若角的另一边与标记位置重合，则两条直线平行．依据：同位角相等，两直线平行（方案合理即可，也可利用内错角相等、同旁内角互补设计） (3)， 理由： 如图，过点作，过点作， ， ． ，，； 又， ，即； ， ． 【分析】（1）因为a、b、c所截形成同位角、内错角或同旁内角，所以根据平行线的判定定理，找到对应角满足的数量关系即可． （2）如果用直角三角板构造截线，测量待验证直线被截线所截的同位角、内错角或同旁内角，那么根据平行线判定定理即可判断平行． （3）因为，所以过F、G分别作的平行线，利用平行线的性质传递角度关系，结合已知角的度数推导的表达式． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 60．如图1，这是东阳最具代表性的地标建筑《走向世界》，象征东阳人团结、奋进、开拓的精神．为了亮化雕像，如图2，设置了四条长度相同的彩灯带，且于点，雕像交汇处夹角 ，又在处各安装一盏可旋转的探照灯来回旋转，射出的光线近似看成射线，分别从同时开始按顺时针方向旋转，光线的旋转速度为每秒，光线的旋转速度为每秒，且满足 ． (1)求的值． (2)求光线开始旋转几秒时，第一次与平行？ (3)两盏探照灯同时从起始位置开始旋转，在光线第一次和重合的过程中，当与平行时，求旋转的时间． 【答案】(1)， (2)5秒 (3)旋转时间为15秒或60秒 【分析】（1）非负性求出的值即可； （2）作，根据平行线的性质，求出的度数，即可得出结果； （3）分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 由（1）知：， ∴； 故光线开始旋转5秒时，第一次与平行； （3）解：当光线第一次和重合时，所需时间为（秒）； ∴光线共旋转， 当与第一次平行时，如图：作， 则，，， ∴， ∴， ∴； 当与第二次平行时，如图，作， 则，，， ∴， ∴， ∴； 此时回到原位置，如图： 综上：当与平行时，旋转时间为15秒或60秒． 题型二十一 根据平行线的判定与性质证明 61．如图，已知，求证：． 证明：（_________）， （已知）， （等量代换）， __________（同位角相等，两直线平行）， （____________）， （已知）， （等量代换）， （____________）， （两直线平行，内错角相等）． 【答案】对顶角相等；；；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行． 【分析】根据对顶角的性质，平行线的判定方法，平行线的性质，进行作答即可. 【详解】略 62．阅读题目，完成下面推理过程． 问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图①是一个“互”字．如图②是由图①抽象的几何图形，其中，，点E，M，F在同一直线上，点G，N，H在同一直线上，且． 求证：． 证明：如图②，延长交于点P． ∵（ ① ）， ∴（ ② ）， 又∵， ∴ ③ （ ④ ）， ∴（ ⑤ ）， ∴（ ⑥ ）， 又∵， ∴（ ⑦ ）， ∴（ ⑧ ）． 【答案】已知；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同旁内角互补；等量代换 【分析】根据平行线的性质和判定即可求解 【详解】证明：如图②，延长交于点P． ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， 又∵， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∴（等量代换）． 63．如图，已知，与互补． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）首先证明，再进一步结合已知条件即可得证； （2）结合已知条件先求出，进而利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：， ． ． ， ， 又， ， ； （2）解：平分， ， 又， ． ， ， ． ， ， ． 题型二十二 生活中的平移现象 64．2025年全运会在11月9日至21日举行，由粤港澳三地共办，运动会会徽的设计常常运用数学中图形的变化．以下各届运动会会徽设计中蕴含平移元素的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的性质：平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，平移不改变图形的形状和大小，结合各选项图形特征进行判断即可． 【详解】A．该图形属于旋转对称图形，是由基本图形绕中心旋转得到的，故本选项不符合题意； B．该图形中的三个小图形的形状大小相同、方向一致，可以看作是由一个基本图形通过平移得到的，故本选项符合题意； C．该图形属于轴对称图形，是沿对称轴折叠重合，故本选项不符合题意； D．该图形主要由扇形和线条组成，不具备通过平移一个基本图形得到整体的特征，故本选项不符合题意． 65．下列运动变化，属于平移的是_________．（填序号） ①冷水加热过程中小气泡变成大气泡；    ②钟表上分针的走动； ③将一张正方形纸片折叠；    ④乘普通住宅电梯从一楼到十楼． 【答案】④ 【分析】图形移动过程中形状与大小不变，仅位置改变，逐一判断各运动变化是否符合平移的要求． 【详解】解：①冷水加热过程中小气泡变成大气泡，气泡的大小发生改变，不符合平移定义，不属于平移； ②钟表上分针的走动是绕定点的旋转运动，不属于平移； ③将正方形纸片折叠，图形的位置和方向发生改变，不符合平移定义，不属于平移； ④乘普通住宅电梯从一楼到十楼，电梯整体沿固定方向移动，移动过程中形状和大小均不改变，仅位置发生改变，符合平移的定义，属于平移． 66．下面生活中的物体的运动情况可以看成平移的是_______________． （1）摆动的钟摆；（2）在笔直的公路上行驶的汽车；（3）随风摆动的旗帜；（4）投篮时运动的篮球；（5）汽车玻璃上雨刷的运动；（6）从楼顶自由落下的球（球不旋转）． 【答案】（2）（6） 【分析】本题主要考查了图形的平移，平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移．平移不改变图形的形状和大小，据此求解即可． 【详解】解：由平移的定义可得只有（2）（6）是平移，（1）（3）（4）（5）都不是平移， 故答案为：（2）（6）． 题型二十三 利用平移的性质求解 67．如图，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，如果平移距离为3，且，那么点A到点G的距离是_________． 【答案】12 【分析】由平移的性质得到，求出，再由求解即可． 【详解】解：由平移可得， ∵， ∴，即， ∴． 68．如图，将三角形沿方向向右平移到三角形的位置，连接．已知三角形的周长为，四边形的周长为，则这次平移的距离为________． 【答案】/厘米 【详解】解：由题意得：，． ∵三角形的周长为，四边形的周长为， ，，则， ． 69．在中，将线段沿直线向右平移得到线段（点D与点B对应，且不与点B，C重合），连接，和的平分线所在直线相交于点P（点P不与点C，E重合）． (1)如图1，，， ①依题意补全图1； ②求的度数； (2)如图2，，，直接写出的度数．（用含的式子表示） (3)在平移过程中，直接写出和的数量关系． 【答案】(1)①见解析，② (2) (3)或 【分析】（1）①根据题意补全图形即可；②过点P作，根据平行线的性质和角平分线的定义，即可解答； （2）用和（1）相同的方法，即可解答； （3）根据题意分两种情况进行讨论：①当点D在点C左侧时，②当点D在点C右侧时． 【详解】（1）解：①补全图形如图所示： ②∵线段沿直线向右平移得到线段， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∵，，平分，平分， ∴， 过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵线段沿直线向右平移得到线段， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∵，，平分，平分， ∴， 过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：设， ∴， ①当点D在点C左侧时， 和（2）同理可得：， ∴； ②当点D在点C右侧时， ∵线段沿直线向右平移得到线段， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， 过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上：或． 题型二十四 利用平移解决实际问题 70．如图，某公园一块长方形空地的设计方案．公园计划在长为米，宽为米的空地上修建横、纵各两条宽为a米的走道供行人散步，其余区域修建为绿化草地． (1)借助图形的平移可以实现“等面积图形”的转化，简化计算的过程．请在空白图中画出平移的示意图，并标清楚边长的数据． (2)求绿化草地的面积（用含a，b的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)绿化草地的面积为平方米． 【分析】（1）利用平移的性质作图即可； （2）由（1）知绿化草地的部分可以拼成一个长方形，分别表示出绿化草地的长和宽，即可得绿化草地部分的面积． 【详解】（1）解：示意图如下： （2）解：由（1）知绿化草地的部分可以拼成一个长方形，长为米，宽为（米）， 绿化草地的面积为平方米， 答：绿化草地的面积为平方米． 71．综合与实践：【活动主题】弯曲的小路面积 图形操作：（图1，图2中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段AB向上平移1米到线段，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线ABC（其中点B叫作折线ABC的一个“折点”）向上平移1米到折线，得到封闭图形（阴影部分）． (1)问题解决：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，，则______平方米，并比较大小：______（填“＞”“＝”或“＜”）； (2)动手操作：如图3，类似地，请你画一条有两个“折点”的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并画出阴影部分； (3)联想探索人教7下P30拓广探索： 如图4，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），长方形的长为a米，宽为b米，则空白部分表示的草地的面积是______平方米（用含a，b的式子表示）； (4)实际运用：学校有一块长方形地块，如图5，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为草地，要求草地面积不小于450平方米，现设计道路宽为4米，请你通过计算说明这个道路宽设计是否达到要求？ 【答案】(1)， (2)见解析 (3) (4)这个道路宽设计不达到要求 【分析】（1）依据平移变换可知，图1，图2中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为10米，宽为4米，进而得出其面积即可； （2）依照例题画出图形即可； （3）依据平移变换可知，图中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为a个单位，宽为个单位的长方形，进而得出其面积； （4）依据平移变换可知，图中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为28米，宽为16米的长方形，进而得出其面积即可判断． 【详解】（1）解：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为， 则平方米，平方米； ∴． 故答案为：40，=． （2）解：如图： ； （3）解：由题意：长方形的长为，宽为，小路的宽度是1米， ∴空白部分表示的草地的面积是平方米， 故答案为：； （4）解：由题意，长方形的长为32米，宽为20米，道路宽为4米， ∴空白部分表示的草地的面积是平方米． ， ∴这个道路宽设计不达到要求． 72．【教材溯源】 如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1m就是它的右边线．求这块草地青草覆盖的面积．（本题无需解答） (1)【初步解决】 数学老师布置了一个任务：在一块长为，宽为的长方形空地上，设计一条宽为的小路，剩余部分作为草坪，画出设计图并求出草坪的面积．图①是小明同学的设计图，以下是他的计算过程，请将该内容补充完整． 小明：我利用平移的性质，将图①中左边的草坪向右平移得到了如图②所示的图形，图②中空白部分的面积就是草坪的面积，所以草坪的面积为_______． (2)【类比应用】 若设计两条宽均为的小路呢？如图③，此时草坪的面积为_______． (3)【方法迁移】 某小区物业准备在一块长为，宽为的长方形空地上铺设一条如图④所示的宽度处处相等的小路，剩余部分栽种花草，要求栽种花草的面积为，求小路的宽度， (4)【拓展延伸】 一个长为，宽为街心花园的设计图，如图⑤所示，空白部分为花坛，阴影部分是宽为的小路，花坛的总面积可以表示为__________．（用含a，b的代数式表示） (5)【深入探究】 某劳动公园一块长为，宽为的空地的设计方案如图⑥所示，空白部分为草地，阴影部分是宽为的小路．小丽沿着小路的中间从入口B处走到出口C处，求草地的面积和她所走路线（即图中虚线）的长． 【答案】(1)560 (2)504 (3)2米 (4) (5)68米 【分析】（1）根据长方形的面积公式求解即可； （2）同理根据小明的方法利用平移的性质求解即可； （3）设小路宽为，根据题意列出关于x的方程求解即可； （4）根据花坛的总面积等于长方形的面积减去阴影部分的小路面积列出代数式化简即可； （5）把横向和纵向的小路长度分别分析，横向长度是长方形的长，纵向长度通过计算得出，再求和． 【详解】（1）解：草坪的面积为：； （2）解：草坪的面积为：； （3）解：设小路宽为 根据题意得 解得： 则小路的宽为2米； （4）解：花坛的总面积为： ； （5）解：横向路线长度为长方形的长；纵向路线长度，把纵向部分平移后，相当于个 ． 路线总长 ∴所走的路线（图中虚线）长为 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）下列各图中的与，是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同位角位置相同即“同旁和同侧”，进行解答即可． 【详解】解：A．与不是同位角，不符合题意； B．与不是同位角，不符合题意； C．与是同位角，符合题意； D．与不是同位角，不符合题意． 2．（25-26七年级下·北京海淀·期中）如图，下列推理中正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行，对各选项进行逐一分析即可. 【详解】解：A、与不是内错角或同位角关系，无法判定，故A错误； B、与是直线、被直线所截形成的内错角，若，则，故B正确； C、与不是内错角或同位角关系，无法判定，故C错误； D、与是直线、被直线所截形成的内错角，若，则，故D错误． 3．（25-26七年级下·北京西城·期中）下列命题中，真命题是（    ） A．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．相等的角是对顶角 C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【分析】根据对顶角定义，垂线的性质，平行线的相关概念，逐一判断各选项命题的真假即可． 【详解】解：A、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，符合垂线的基本性质，原命题是真命题，该选项符合题意； B、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，该选项不符合题意； C、只有两条平行直线被第三条直线所截，内错角才相等，原命题是假命题，该选项不符合题意； D、同一平面内，只有过直线外一点才有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题，该选项不符合题意． 4．（25-26七年级下·北京·期中）如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据直角求出，再根据两直线平行同位角相等得到的度数． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ． 5．（25-26七年级下·北京大兴·期中）如图，直线，相交于点，，垂足为．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合对顶角相等、垂直定义及余角定义，数形结合求解即可． 【详解】解：由图可知，， ， ， 则． 6．（2026·北京海淀·二模）命题“若，则”是________命题（填“真”或“假”）． 【答案】 假 【分析】根据命题真假的判定规则，找到满足条件但不满足结论的反例，即可判断该命题的真假． 【详解】解：当时，，满足的条件， 但当，不满足的结论， 该命题为假命题． 7．（25-26七年级下·北京·期中）如图，三角形ABC中，点D在BC的延长线上，以点C为端点画射线CE，要使，还需要添加一个条件，这个条件可以是______． 【答案】或或 【详解】解：根据平行线的判定方法， 当时，； 当时，； 当时，； 故添加条件可以是：或或. 8．（25-26七年级下·北京海淀·期中）如图，沿着所在直线的方向，向右平移到，已知，，那么平移的距离为________． 【答案】2 【详解】解：由平移的性质可知，，且平移的距离为或 ∵，， ， ∴平移的距离为2． 9．（25-26七年级下·北京·期中）对于a的取值，能说明命题“若，则”为假命题的a的值可以是________（写出一个即可）． 【答案】 （答案不唯一，合理即可） 【分析】要说明该命题是假命题，只需找到满足但不满足的a的值即可． 【详解】解：取， ∵，满足， 而，不满足， ∴可以说明命题“若，则”是假命题． 10．（25-26七年级下·北京·期中）如图，直线，被直线所截，平分，． 求证：． 下面是小军的解答过程，请补充完整． 证明：直线与相交于点， （①__________）（填推理的依据） ， ． （②__________）（填推理的依据） （③__________）（填推理的依据） 平分， （④__________）（填推理的依据） （等量代换）． 【答案】见解析 【详解】证明：直线与相交于点， （对顶角相等） ， ． （同旁内角互补，两直线平行） （两直线平行，内错角相等） 平分， （角平分线的定义） （等量代换） 11．（24-25七年级下·北京朝阳·期中）如图，，的平分线交于点F，交的延长线于点E，． 求证：． 请将下面的证明过程补充完整： 证明：， ∴________． ∵平分， ∴________=________． ． ， ． ∴________________．（理由：________） ．（理由：________） 【答案】；；；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 【分析】根据平行线的判定与性质证明即可． 【详解】略 12．（25-26七年级下·北京朝阳·期中）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，已知，，垂足分别为、，，试说明：． 解：，（已知） （____①____） （____②____） （____③____）． 又（已知） （____④____） （____⑤____） ． 【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】根据平行线的性质与判定条件结合垂直的定义，同角的补角相等进行证明即可． 【详解】解：，（已知） （垂直的定义） （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，同旁内角互补）． 又（已知） （同角的补角相等） （内错角相等，两直线平行） ． 13．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图，已知四边形，点 E 是射线上一点，连接交线段于点F，  若，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，平分， 求的大小． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，邻补角互补，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合邻补角互补相等，则，结合可得，即可作答． （2），平分，所以，因为，则．即可作答． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵ ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴． 14．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，直线与被直线所截，与，分别交于点P，O，且，． (1)试说明：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． （1）根据题意可得，进而可知，结合可证明，然后根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论； （2）根据平分线的定义及平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：平分 、 ． 15．（24-25七年级下·陕西安康·期末）已知命题“如果，那么．” (1)写出此命题的题设和结论； (2)判断此命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明． 【答案】(1)题设为，结论为， (2)假命题，举例见解析 【分析】本题考查命题的含义，真假命题的判断，熟练掌握命题的条件和结论是解题的关键； （1）如果后面的部分为条件，那么后面的部分为结论； （2）先说明命题的真假性，然后举出反例即可求解； 【详解】（1）解：此命题的题设为，结论为，． （2）解：此命题是假命题， 当a为负数，b为正数时，，但是，， 例如：当，时，，但是，． 期末重难突破练（测试时间：15分钟） 16．（2026·北京房山·二模）如图，直线，被直线所截，，．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得，再根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ． 17．（25-26七年级下·北京·期中）直线、相交于，平分，过点作，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对顶角的性质可求得的度数，由角平分线的性质得出的度数，再利用垂直定义得出的度数，最后根据求解即可． 【详解】解：直线、相交于，， ， 平分， ， ， ， ， 故选：D． 18．（25-26七年级下·北京海淀·期中）如图，长方形的长，宽，则图中长方形内部的五个小长方形的周长之和为（     ） A．9 B．13 C．14 D．18 【答案】D 【详解】解：根据题意可知，图中长方形内部的五个小长方形的周长之和与长方形的周长相等， 故周长之和为． 19．（25-26七年级下·北京·期中）如图，将三角形沿着射线向右平移得到，连接，若，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查平移的性质．根据平移的性质有：，即可解答． 【详解】解：沿着射线向右平移得到， ， ， ，， ． 20．（25-26七年级下·北京·期中）如图，在三角形中，，，，．将三角形沿方向平移，得到三角形，与相交于点，连接．给出下面三个结论： ①； ②若，则四边形的周长为； ③若三角形的面积比三角形的面积大，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据平移的性质得出，，，即可判断①正确，②错误，利用三角形的面积公式求出，根据三角形的面积比三角形的面积大，得出平行四边形的面积比三角形的面积大，列方程求出，即可判断③正确；综上即可得答案． 【详解】解：∵将三角形沿方向平移，得到三角形， ∴，，故①正确； ∵， ∴， ∴四边形的周长为；故②错误； 如图，过点作于， ∵，，，， ∴，即， 解得：， ∵三角形的面积比三角形的面积大， ∴平行四边形的面积比三角形的面积大， ∴，即， 解得：，故③正确； 综上所述：正确的结论为①③． 21．（25-26七年级下·北京海淀·期中）小红同学在学习完《相交线和平行线》这一章后认为：一个真命题，交换其题设与结论后得到的新命题也是真命题．请你举出一个反例说明小红同学的观点是错误的：___________． 【答案】对顶角相等（答案不唯一） 【分析】要说明小红的观点错误，只需举出一个原命题为真，交换题设与结论后得到的新命题为假的例子即可． 【详解】解：“对顶角相等”是真命题，该命题的题设为“两个角是对顶角”，结论为“这两个角相等”， 交换题设与结论后得到新命题“相等的角是对顶角”，该命题是假命题， 例如不同三角板的直角都为，二者相等但不是对顶角， 因此该例子可以说明小红同学的观点是错误的. 故答案为对顶角相等（答案不唯一）. 22．（24-25七年级下·北京朝阳·期中）某学生上学路线如图所示，他总共拐了三次弯，最后行车路线与开始的路线相互平行，已知第一次转过的角度和第三次转过的角度分别为、，则第二次拐弯角（）的度数是________． 【答案】/80度 【分析】过作，根据平行线的性质分别求出、的度数，根据即可求解． 【详解】解：如图，过作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 23．（25-26七年级下·北京·期中）为增强学生体质，感受我国的传统文化，某校体育老师提出将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入体育社团，图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小雅把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则______． 【答案】/度 【分析】过点作，根据平行线的性质，求得的度数，再根据平行线的传递性，证明，可求得的度数，即可进一步求得答案． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 24．（25-26七年级下·北京海淀·期中）如图，已知平面镜平行于平面镜，光线由水平方向射来，传播路线为，若，则___________． 【答案】 34 【分析】根据光的反射规律可知光线与平面镜A的夹角等于，光线b与平面镜的夹角等于，根据平行线的性质得到这两个夹角相等，即可得解． 【详解】 解：如图，设光线b与平面镜A的夹角为，光线与平面镜B的夹角为 ， 根据光的反射规律可知，， 平面镜A平行于平面镜B ， 由平行线的性质可得， ． 25．（25-26七年级下·北京·期中）如图，下列条件：①；②；③；④．其中能判定的是________（填序号）． 【答案】 ④ 【分析】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；逐一判断即可得答案． 【详解】解：①：和是被所截的内错角，只能推出，无法判定，不符合要求； ②：这组同旁内角互补，只能推出，无法判定，不符合要求； ③：仅这组对角相等，无法推出，不符合要求； ④：和是被所截的内错角，根据内错角相等，两直线平行，可以推出，符合要求； 因此只有条件④满足要求． 26．（25-26七年级下·北京海淀·期中）按要求完成下列的证明： 已知：如图，于点，是上一点，． 求证：． 证明：∵（已知） ∴____________（依据：________________________） ∵（已知） ∴____________（依据：________________________） ∴（依据：________________________） 【答案】见解析 【详解】证明：∵（已知） ∴（依据：垂直的定义） ∵（已知） ∴（依据：同角的余角相等） ∴（依据：内错角相等，两直线平行） 27．（22-23七年级下·北京西城·期中）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点与交于点． (1)求证：； (2)若平分时，求扶手与靠背的夹角的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据对顶角相等可得，再结合已知条件，由同位角相等两直线平行证明即可； （2）先由平行求解出的度数，进而由角平分线可得的度数，结合平行线的性质进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵，且． ∴， ∴． （2）解：∵与底座都平行于地面， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 28．（25-26七年级下·北京海淀·期中）如图，，． (1)求证：； (2)若，则的度数为_____． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意推出，结合，推出，即可推出， （2）先证明，再由平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ∴， ∴． 29．（25-26七年级下·北京·期中）如图，在三角形中，，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据已知结合邻补角互补等量代换证明，即可得证； （2）根据垂直的定义可求得的度数，由平行线的性质可得的度数，再根据角平分线的定义可得的度数，最后由平行线的性质即可得解． 【详解】（1）解：，理由如下： ，， ， ； （2）解：， ， ， ， ，， 平分， ， ， ． 30．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，已知，于点H，． (1)求证：； (2)连接，若，且，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由内错角相等，两直线平行，再由平行线的性质得，即可得证； （2）由平行线的性质得，可得，由 平行线的性质得，进行求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， 解得， ． 期末综合拓展练（测试时间：20分钟） 31．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线判定与性质，解题的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用． 由题意可得，利用内错角相等，两直线平行即可判定；由题意可得，利用邻补角即可求；过点作，可得，从而得，可求得再利用平行线的性质即可求得；利用角的计算可求得，，即可得出答案． 【详解】解：由题意， ∴， ∴，故正确； 由题意得， ∴，故正确； 过点作，如图， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，故错误； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故正确， 综上所述，正确， 故选：D． 32．（24-25七年级下·北京大兴·期中）如图，四边形中，平分交的延长线于点F，平分交的延长线于点E，与交于点P，，下列结论不正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义和平行线的性质、判定的应用能力，先运用角平分线的定义和平行线的判定推导出，再运用平行线的性质推导出． 【详解】证明：∵平分平分， ∴， ∴， ∴，故A不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， 故B不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故C不符合题意； 根据题意无法证明， 故D符合题意； 故选：D． 33．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，将周长为12的三角形沿直线向右平移个单位长度，得到三角形交于点，连接．给出下列结论：①；②若，则；③；④若四边形的周长为24，则．其中，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平移的性质和平行线的性质逐一判断即可． 本题考查了平移的性质，平行线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 【详解】解：①根据平移的性质，得，故①正确，符合题意； ②根据平移的性质，可得， ∴， ∵，即， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③G是，的交点，但不一定是中点，故③错误，不符合题意； ④根据平移的性质可得，，， ∴四边形的周长为， ∴，即三角形沿方向平移的距离为，故④正确，符合题意； 综上所述，①②④符合题意． 故选：C． 34．（2025·湖南长沙·模拟预测）某校举行“定向越野比赛”，将参赛人员分成若干小组，每组四人，四人需完成各自对应的挑战任务．比赛规则如下： ①出发规则：每次需两名队员从起点同时出发，沿路线完成挑战任务到达终点，耗时以两人中较慢者的挑战完成时间为准(例如甲完成他的挑战需1分钟，乙完成他的挑战需2分钟，则两人同时出发耗时2分钟)； ②返程规则：到达终点后，一人留在终点，另一人必须立即返回起点(返程也需完成对应的挑战任务，耗时与原挑战时间相同，即甲返程仍需1分钟)； ③重复规则：已到达终点的队友可多次参与后续往返； ④结束规则：当四人全部到达终点时，比赛结束． 某组的甲、乙、丙、丁四位队员完成单程挑战任务所需时间(单位：分钟)分别为1，2，3，5，则该组队员完成比赛所需的最短时间为(    ) A．12分钟 B．13分钟 C．14分钟 D．15分钟 【答案】A 【分析】本题考查了推理，有理数的计算，通常在这种问题中，最优策略是让最快的两个人(甲和乙)多次往返，以减少返程时间．具体策略先让最快的两人(甲和乙)一起出发，然后让最快的(甲)返回．然后让最慢的两人(丙和丁)一起出发，让次快的(乙)返回．最后让最快的两人(甲和乙)一起出发．结合题意求得最短时间，即可求解． 【详解】解：∵甲、乙、丙、丁四位队员完成单程挑战任务所需时间(单位：分钟)分别为1，2，3，5， 要使得该组队员完成比赛所需的最短时间， ∴让最快的两个人(甲和乙)多次往返，以减少返程时间， 第一次出发：甲(1)和乙(2)一起出发．耗时：分钟． 第一次返程：甲(1)返回．总时间：2 + 1 = 3分钟 第二次出发：丙(3)和丁(5)一起出发．耗时：分钟． 总时间：分钟 第二次返程：乙(2)返回．耗时：2分钟． 总时间：分钟 第三次出发：甲(1)和乙(2)一起出发．耗时：分钟． 总时间：分钟 总计：分钟． 故选：A． 35．（25-26七年级下·北京·期中）如图，锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点，的对应点分别是点），连接．若在整个平移过程中，和的度数之间存在3倍关系．则下列角度中不可能是度数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当点在上时，当点在延长线上时，两种情况中又分当时，当时，过点作，证明，得到，再通过角之间的关系建立方程求解即可． 【详解】解：第一种情况：如图，当点在线段上时，过点作， ∵由平移得到， ， ∵， ， ， 当时， 设，则， ∴， ， ， 解得：， ； 当时， 设，则， ∴， ， ， 解得：， ； 第二种情况：当点在线段延长线上时，过点作， 同理可得， ， 当时， 设，则， ∴， ， ， 解得：， ； 由于，则这种情况不存在； 综上所述，的度数可以为或或，不可以是． 36．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）如图，直线l上摆放着两个大小相同的直角三角板和，将三角板沿直线l向左平到如图所示的位置，使点E落在上的点处，点P为与的交点．图中三块阴部分的面积之和为7，则直角三角板的面积为________． 【答案】7 【分析】本题考查了平移的性质，由平移的性质得到，则，再根据图形之间的关系，结合三块阴影部分的面积之和为7，进行求解即可． 【详解】解；由平移的性质可得， ∴， ∴， 故答案为：7． 37．（2025·北京·中考真题）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为_______，_______． 【答案】 （答案不唯一） 1（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了命题与定理、反证法等知识点，掌握判断一个命题是假命题的时候可以举出反例是解题的关键． 根据举反例的方法找到a，b满足，但是不满足即可解答． 【详解】解：当，时，，但是． 故答案为：，1（答案不唯一）． 38．（24-25八年级上·北京·期末）本学期，学生自主开展的羽毛球社团举办了一场羽毛球比赛，来鼓励支持大家的兴趣发展，在比赛中进一步提升综合能力．为参加这场比赛，甲、乙、丙三人进行赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现甲共当裁判8局，乙、丙分别进行了12局、11局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共进行了______局比赛，其中最后一局比赛的裁判是______． 【答案】 15 甲 【分析】本题考查推理与论证，解题的关键根据题目提供的特征和数据，分析其存在的规律和方法，并递推出相关的关系式，从而解决问题． 先确定了乙与丙打了8局，乙、甲之间打了4局，丙、甲之间打了3局，进而确定三人一共打的局数， 根据甲当了8局裁判员，甲当裁判的局次只能是1，3，5，…15，由此能求出结果． 【详解】甲当了裁判8局， 乙、丙之间打了8局， 又乙、丙分别进行了12局、11局比赛， 乙、甲之间打了4局，丙、甲之间打了3局， 甲、乙、丙三人共进行了局比赛， 又甲当了8局裁判，而从1到15共8个奇数，7个偶数， 甲当裁判的局为奇数局， 最后一局比赛的裁判是：甲， 故答案为：15；甲． 39．（24-25七年级下·北京·期末）某公司设有三个充电桩，分别为两个快充桩和一个慢充桩，每个充电桩在同一时间仅为一辆车提供充电服务，且每辆车充电完成前，充电过程不得中断．现有5辆电动汽车需要充电，每辆车的充电需求如下表（不考虑车辆交接等其他因素）： 车辆编号 甲 乙 丙 丁 戊 快充桩充电时间 30 40 50 80 100 慢充桩充电时间 130 180 120 120 210 （1）若甲车必须使用慢充桩，则其他4辆车完成充电的总用时最短为_______； （2）这5辆车完成充电的总用时最短为________． 【答案】 140 120 【分析】本题考查的是逻辑推理，先由甲车必须使用慢充桩，需要分钟，再确定两个快充的安排即可；由丙，丁的慢充时间最短为，选择丙或丁慢充，而丁的快充时间长，选择丁慢充；再进一步安排即可. 【详解】解：甲车必须使用慢充桩，需要分钟， 另外两个快充一个安排乙，戊或一个安排丙，丁； ∴其他4辆车完成充电的总用时最短为； ∵丙，丁的慢充时间最短为， ∴选择丙或丁慢充，而丁的快充时间长， ∴选择丁慢充； 一个快充安排甲，乙，丙；另一个快充安排戊， 此时所花时间最短为； 故答案为：140；120 40．（25-26九年级上·北京海淀·期末）某校为校庆做筹备工作，共有十项工序，筹备过程需满足以下要求： （1）只能在两项工序均完成后才能开始； （2）只能在两项工序均完成后才能开始； （3）只能在两项工序均完成后才能开始； （4）其余每项工序相互独立，无先后依赖关系； （5）一项工序只能由一名员工负责，该工序完成后员工才能接手其他工序．各项工序所需时间如表所示： 工序 所需时间（天） 20 18 19 15 14 11 6 5 4 3 在不考虑其他因素的前提下，若由若干名员工合作完成筹备工作，则至少需要___________天才能全部完成；若要在最短时间内合作完成筹备工作，则最少需要_______________名员工共同参与． 【答案】 25 5 【分析】本题可通过分析各工序的先后依赖关系，理安排工序，分别计算出单独完成和合作完成时的最短时间与最少员工数． 工序A(20天)、B(18天)可并行这部分最长时间由 A 决定，为20天，之后H(5天)才能开始．工序C(19天)、D(15天)可并行最长时间由C决定，为19天，之后J(3天)才能开始． 工序E(14天)、G(6天)可并行最长时间由E决定，为14天，之后I(4天)才能开始． 工序 F(11天)可单独进行．然后，计算各部分的时间即可得出答案． 把各工序的时间相加然后除以最短的天数即可得出答案。 【详解】解：A、B并行后H所需时间∶(天)． C、D 并行后J所需时间∶(天)． E、G并行后I时间∶(天) F单独所需时间∶11天． 取各部分时间的最大值，即25天，所以单独完成最少需要25天． （人） 因为员工为整数， 所以人数取5， 所以，最少需5名员工共同参与． 故答案为：25；5 41．（22-23七年级下·全国·期中）如图，已知，，． (1)请你判断与的位置关系，并证明你的结论； (2)若，平分，试求的度数． 【答案】(1)；见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （1）依据平行线的判定与性质，即可得到与的数量关系； （2）利用平行线的性质以及角平分线的定义，即可得出的度数，再根据为直角，即可得出． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴； 42．（24-25七年级上·福建漳州·期末）在学习完《相交线和平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情景：如图1，已知，． ①问题初探：请说明：； ②拓展探究：试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数为________（直接写出答案）． 【答案】(1)①见解析；②，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理推论，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）①先根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，则可得，再根据平行线的判定即可得； ②过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据角的和差、等量代换即可得； （2）如图（见解析），过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据角的和差求解即可得． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ②，理由如下： 如图，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． （2）解：如图，过点作， ∴， 由题意得：， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 43．（24-25七年级下·北京·自主招生）某居民楼共有8层，电梯在1层时刚好进来了4个人，他们互相都认识，且都准备上楼分别去往4个互不相同的楼层，4人之间开启了一段有趣的对话： 甲：“我是第二个下电梯的，乙说的是假话．” 乙：“我将是最先下电梯的，并且没有人和我在相邻楼层下电梯．” 丙：“我将是最后一个下电梯的，乙说的确实是假话．” 丁：“我是第三个下电梯的，乙才是最后一个下电梯的，并且有人和我在相邻楼层下电梯．” 如果4个人之中有两人始终说真话，他们刚好都在奇数楼层下电梯，而另两人始终说假话，他们刚好都在偶数楼层下电梯．那么甲乙丙丁依次去往的楼层所组成的四位数是多少？ 【答案】甲乙丙丁依次去往的楼层所组成的四位数是5672 【分析】根据所给的真假话条件以及楼层奇偶性条件，通过假设甲说真话来逐步推导每个人下电梯的顺序和对应的楼层，进而得出甲乙丙丁依次去往的楼层所组成的四位数． 本题考查了逻辑推理问题的应用，充分利用题干条件：4个人之中有两人始终说真话，他们刚好都在奇数楼层下电梯，而另两人始终说假话，他们刚好都在偶数楼层下电梯是解题的关键． 【详解】解：假设甲说真话并推导相关信息： 若甲说的是真话，那么甲是第二个下电梯的，且因为“4个人之中有两人始终说真话，他们刚好都在奇数楼层下电梯，而另两人始终说假话，他们刚好都在偶数楼层下电梯”，所以甲在奇数楼层，同时甲说“乙说的是假话”，即乙说的是假话； 因为乙说的是假话，而丙说“乙说的确实是假话”，所以丙说的是真话，那么丙是最后一个下电梯的，且丙在奇数楼层； 由于甲丙说的是真话，所以乙和丁说的是假话．因为乙说“我将是最先下电梯的”是假的，所以乙不是最先下电梯的，那么丁是最先下电梯的． 又因为乙和丁说假话，所以乙和丁都在偶数楼层下电梯，所以丁在2层或4层． 确定每个人可能所在的楼层范围： 因为甲是第二个下电梯且在奇数层，所以甲在3层或5层； 因为乙是第三个下电梯且在偶数层，所以乙在4层或6层； 因为丙是最后一个下电梯且在奇数层，所以丙在5层或7层． 根据假话内容进一步分析： 因为乙和丁始终说假话，所以乙说“没有人和我在相邻楼层下电梯”是假的，即有人和乙在相邻楼层下电梯； 丁说“有人和我在相邻楼层下电梯”是假的，即没有人和丁在相邻楼层下电梯． 分情况讨论丁所在楼层： 若丁在2层，为了满足有人和乙在相邻楼层下电梯且没有人和丁在相邻楼层下电梯，此时甲可以在5层，乙在6层，丙在7层，这种情况是合理的； 若丁在4层，若甲在5层，此时乙无论在6层还是其他偶数层，都无法满足有人和乙在相邻楼层下电梯且没有人和丁在相邻楼层下电梯的条件，所以这种情况无法成立． 综上，甲在5层，乙在6层，丙在7层，丁在2层． 即甲乙丙丁依次去往的楼层所组成的四位数是5672． 答：甲乙丙丁依次去往的楼层所组成的四位数是5672． 44．（22-23七年级下·北京·期中）如图，点为直线外一点，过点作直线．现将一个含角的三角板按如图1放置，使点F、E分别在直线上，且点在点的右侧， ，设． (1)填空： ． (2)若的平分线交直线于点，如图2． ①当时，求的度数； ②在①的条件下，将三角板绕点以每秒的转速进行顺时针旋转，同时射线绕点以每秒的转速进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．在旋转过程中，当 秒时，． 【答案】(1)90 (2)①；②20或80 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，添加辅助线是解题的关键，第（2）②问是动点问题，找到模型即可解答． （1）先作辅助线构造平行，然后根据平行线的性质即可解答； （2）①利用两次平行线的性质，找到等量关系， ②动点问题，先画出图形，然后数形结合找到角之间的数量关系，列出方程，从而求出t． 【详解】（1）解：如图1，过点G，作， ， ， ，， ， ， 故答案为：90； （2）解：①， ， 平分， ， 又， ，， ， 解得； ②如图2，当射线旋转到时，旋转至,延长至点Q， ， ， ， ， 由题意知，， 未旋转前，， ， ， 解得：； 当与在直线同侧且平行时， 由，得， 故答案为：20或80． 45．（25-26七年级下·北京海淀·期中）已知，点、分别是和上两个定点，的角平分线交于，点是直线上一个动点，且不与点、重合． (1)如图1，当时，请补全图1，已知，则____________； (2)如图2，平分交于，连接，设、、 ． ①当点在线段上，请证明：、与之间满足（不能直接用三角形相关知识）； ②当点在直线上运动时，、与之间的数量关系是否保持①中的结论不变？若不变，请说明理由，若发生改变，请直接写出、与之间所有其他可能的数量关系． 【答案】(1)见解析； (2)①：见解析；②：①中的结论改变，或 【分析】（1）过点P作，根据平行线的判定和性质解答即可； （2）①过点P作，根据平行线的判定和性质解答即可； ②分两种情况，结合平行线的判定和性质解答即可． 【详解】（1）解：补全图形，如下图； 过点P作， ∵， ∴， ∴ ， ∵，即， ∴， ∴； （2）解：①如图，过点P作， ∵， ∴， ∴ ， ∵平分，， ∴， ∵的角平分线为， ∴， ∴， ∵ ，， ∴； ②：①中的结论改变， 如图，当点P在的延长线上时，过点P作， ∵， ∴， ∴ ， ∵平分，， ∴， ∵的角平分线为， ∴， ∴， ∵ ，， ∴； 如图，当点P在的延长线上时，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵的角平分线为， ∴ ， ∴， ∵ ，， ∴， 即； 综上所述，、与之间的数量关系为或． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $