专题03 整式的运算24大题型（期末复习讲义）七年级数学下学期新教材北京版

专题03 整式的运算（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 整式的加减运算 题型02 整式加减的无关型问题 题型03 多项式按某个字母升降幂排列 题型04 同底数幂乘法及其逆用 题型05 幂的乘方及其逆用 题型06 积的乘方及其逆用 题型07 单项式乘法 题型08 单项式乘法求字母或代数式的值 题型09 单项式乘法的应用 题型10 多项式乘法 题型11 已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型12 多项式乘法与图形面积 题型13 多项式乘法的化简求值 题型14 多项式乘法的规律性问题 题型15 乘法公式 题型16 乘法公式与几何图形 题型17 求完全平方式中的字母系数 题型18 通过对完全平方公式变形求值 题型19 利用乘法公式配方求最值 题型20 同底数幂的除法运算及其逆用 题型21 零指数幂与负整数指数幂 题型22 幂的运算等于1的分类讨论问题 题型23 科学记数法 题型24 多项式除以单项式 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 整式的加减 能够熟练进行整式的加减运算，并能运用其解决简单的实际问题。 重要考点，一般在计算题考查，3分左右 同底数幂的乘法 理解并掌握同底数幂相乘的法则（底数不变，指数相加），能熟练运用该法则进行计算，并注意与合并同类项的区别。 核心考点，一般在计算题考查，2分左右 幂的乘方 理解并掌握幂的乘方法则（底数不变，指数相乘），能熟练运用该法则进行计算，并注意与同底数幂乘法的区别。 重要考点，一般在计算题考查，2分左右 积的乘方 理解并掌握积的乘方法则（把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘），能熟练运用该法则进行计算，并注意符号问题。 重要考点，一般在计算题考查，2分左右 单项式乘法 掌握单项式乘法法则，能熟练进行单项式乘法运算，注意系数的符号和只在一个单项式里含有的字母。 基础考点，一般在小题考查，2分左右 多项式乘法 掌握多项式乘法法则，能熟练进行多项式乘法运算，注意避免漏乘项和符号错误，并能运用乘法公式进行简便运算。 基础考点，一般在计算题考查，2分左右 多项式乘法与图形面积 理解多项式乘法与图形面积之间的关系，能够运用多项式乘法解决图形面积问题，并通过图形面积验证多项式乘法法则。 核心考点，一般在解答题考查，4分左右 乘法公式 掌握平方差公式和完全平方公式，能熟练运用乘法公式进行计算，并注意公式的结构和符号。 核心考点，一般在计算题考查，3分左右 乘法公式与几何图形 理解乘法公式与几何图形面积之间的关系，能够运用几何图形验证乘法公式，并通过图形直观理解乘法公式的几何意义。 核心考点，一般在解答题考查，5分左右 同底数幂的除法 掌握同底数幂的除法法则（底数不变，指数相减），能熟练进行同底数幂的除法运算，并理解零指数幂和负整数指数幂的意义。 重要考点，一般在计算题考查，2分左右 零指数幂 理解零指数幂的意义，掌握零指数幂的法则（任何非零数的零次幂都等于 1），并能正确运用。 基础考点，一般在小题考查，3分左右 负整数指数幂 理解负整数指数幂的意义，掌握负整数指数幂的法则（任何非零数的 - p 次幂等于这个数的 p 次幂的倒数），并能正确运用。 基础考点，一般在小题考查，3分左右 科学记数法 掌握用科学记数法表示绝对值比 1 小的数的方法（a×10−n，其中1≤∣a∣<10，n 是正整数），能正确确定 a 和 n 的值。 重要考点，一般在选择题考查，2分左右 多项式除法 掌握多项式除法法则，能熟练进行多项式除以单项式及多项式除以多项式的运算，注意避免漏除项和符号错误。 重要考点，一般在计算题考查，3分左右 知识点01 整式的加减 1.利用合并同类项和去括号法则，我们可以进行整式的加减运算. 整式的加减运算，像数的运算一样满足各种运算律，如果有括号要先去括号，再合并同类项. 2.整式加减注意事项：整式加减的结果要最简，不能有同类项，含字母的项的系数不要出现带分数（化成假分数），能去括号的要去括号，一般不含有括号. 3.整式加减的应用 （1）整式的化简求值 一般这类题会利用整体代入法求值，从题中条件中不易直接得到某个字母的具体值，可以将原式化为已知条件中字母间的关系，然后将某个式子的值作为一个整体代入计算. （2）整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法 若整式加减运算结果“不含x项”或整体的值“与x的值无关”，实质是指去括号并合并同类项后含字母x的项的系数为0. （3）解决多项式能否被一个数整除类问题 判断一个多项式是否能被一个数整除，关键是看这个多项式是否能化为这个数和某个多项式（多项式的值为整数）乘积的形式. 多位数的表示方法：相同的字母在不同的数位上所表示的数值不同，若一个三位数数，百位数是x，十位数是y，个位数是z，则这个三位数数可表示为. 知识点02 整式的化简求值 1.求代数式的值时，如果代数式中含有同类项和括号，通常先去括号，合并同类项后再计算. 2.整式的化简求值步骤（一化、二代、三计算）： （1）利用整式的加减运算将整式化简； （2）把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子； （3）依据有理数的运算法则进行计算. 知识点03 同底数幂的乘法 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an=·==． 语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． （m，n，…，p都是正整数）． （2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）． 知识点04 幂的乘方 （1）幂的乘方的意义： 幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a5）3是三个a5相乘，读作a的五次幂的三次方，（am）n是n个am相乘，读作a的m次幂的n次方． （2）幂的乘方法则： 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 【拓展】 （1） 幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）． （2）幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）． 知识点05 积的乘方 积的乘方的意义： 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等． （积的乘方的意义） =（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交换律、结合律） =a3b3． 积的乘方法则： 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 知识点06 同底数幂的除法 同底数幂的除法法则： 一般地，我们有（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【拓展】 （1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质， 例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）． （2）同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 知识点07 零指数幂与负整数指数幂 零指数幂：a0=1 (a≠0) 负整数指数幂：当n 是正整数时，（，n是正整数） 知识点08 科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 知识点09 单项式乘单项式 1.单项式乘单项式的运算法则： 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 2.单项式与单项式相乘的步骤 (1)确定积的系数，积的系数等于各项系数的积； (2)同底数幂相乘，底数不变，指数相加； (3)只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数一起写在积里 3.要点提示： (1)先把各因式里的系数组成一组，积的系数等于各因式系数的积，在各系数相乘时，先确定积的符号，再计算绝对值： (2)相同字母相乘时，利用同底数暴的乘法法则“底数不变，指数相加”； (3)单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方，再乘法”的顺序进行： (4)单项式乘单项式，结果仍是单项式，对于暴的底数是多项式形式的，应将其作为一个整体来运算： (5)对于三个或三个以上的单项式相乘，法则仍然适用 知识点10 单项式乘多项式 【法则】单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加 即m（a+b+c)=ma+mb+mc. 【注意】 (1)一般情况下，单项式与多项式相乘的结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，通常将这个多项式按某一字母的降幂（或升幂)进行排列。 (2)计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，根据去括号法则，积的符号由单项式的符号与多项式的项的符号共同决定 (3)对于混合运算，要注意运算顺序，同时要注意运算结果中若有同类项要合并同类项，从而得出最简结果 （4）利用单项式乘多项式的法则，将单项式与多项式中的每一项相乘，但应注意多项式中的常数项，不能漏乘， 知识点11 多项式乘多项式 1.多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 2.运用法则时应注意以下几点： (1)运用多项式乘多项式的法则时，必须做到不重不漏，相乘时要按一定的顺序进行.例如(m+n)· (a+b+c),可先用第一个多项式中的第一项“m”分别与第二个多项式的每一项相乘，再用第一个多项式的第二项“n”分别与第二个多项式的每一项相乘，然后把所得的积相加.即 （m+n )（a+b+c )=ma+mb+mc+na+nb+nc. (2)在相乘时防止漏项，检查有无漏项的方法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项前，积的项数应是这两个多项式项数的积，如(m+n)(a+b+c),积的项数应为2×3=6. (3)各项的系数：由单项式与单项式相乘来确定积中各项的系数. (4)各项的排列：合并同类项之后，积中各项的排列一般按某一字母的升（或降）幂排列. (5)注意确定积中每一项的符号，多项式中每一项都包含它前面的符号，“同号得正，异号得负” (6)多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项一定要合并同类项，化为最简结果 知识点12 完全平方公式 1.完全平方公式： 即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍. 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． 完全平方公式的常见变形： 2.完全平方公式的特征： ①左边是两个数的和的平方； ②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． 3.应用完全平方公式时，要注意： ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式； ③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 知识点13 完全平方公式的几何意义 如图，大正方形的面积可以表示为,也可以表示为S= 其几何意义：以a+b为边长的正方形的面积等于边长分别为a,b的小正方形及2个长、宽分别是b,a的小长方形的面积之和.从而验证了完全平方公式 知识点14 平方差公式 1.平方差公式：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差，即(a+b)(a-b)= 2.平方差公式的结构特征： （1）平方差公式(a+b)(a-b)= ，它的左边是两个二项式的积，在这两个二项式中，有一项完全相 同，而另一项互为相反数： （2）公式的右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与互为相反数项的平方差.掌握了这些结构特征，就容易判断哪些多项式相乘可以用此乘法公式，哪些不能用. 3.平方差公式的解读： （1）在平方差公式中，字母α和b可以表示具体的数，也可以表示一个单项式，还可以表示一个多项式， 但字母之间的运算规律是不发生变化的，因此，只要符合公式的特征，就可以直接写出结果； （2）有些多项式乘法，公式特征不明显，所以看起来不符合公式，其实只要经过变形就能使用公式： （3）两数和乘这两数差的积等于这两数的平方差，此公式有时也可以逆用，会使运算简便 知识点15 平方差公式的几何背景 如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形Ⅱ的面积，即若把小长方形V变换到小长方形V的位置，则此时阴影部分的面积又可以看成是=(a+b)(a-b).从而验证了平方差公式(a+b)(a-b)= 题型一 整式的加减运算 1．计算：． 【答案】 【分析】先去括号，再合并同类项即可得出结果． 【详解】解： ． 2．计算： 【答案】 【分析】先去括号，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】先去括号，然后合并同类项，即可求解； 【详解】（1）解：原式     （2）解：原式 ． 题型二 整式加减的无关型问题 4．已知． (1)求的值； (2)若的值与x的取值无关，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将A、B代入中进行化简合并， （2）再令x的系数为0解出m值即可． 【详解】（1）解：（1） ． （2）解：∵的值与x的取值无关， ∴， ∴． 5．已知整式，其中a、b、c为常数． (1)若的结果中不含项和x项，求a、b的值； (2)若对于任意x，的值始终为，求a、b、c的值． 【答案】(1)， (2)，， 【分析】（1）把与代入中，去括号合并后，根据结果不含项和x项，可求出a、b的值； （2）把与代入中，去括号合并后，根据的值始终为，可分别得关于a、b、c的一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：， ∵的结果中不含项和x项， ∴，， 解得，； （2）解： ， ∵对于任意x，的值始终为， ∴，，， 解得，，． 6．老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌遮住了一个整式， 形式如下：． (1)设所遮住的整式为，小明认为整式，你认为正确吗？如果正确，请说明理由：如果不正确，请求出正确的整式． (2)在（1）的条件下．设．若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1)小明的计算不正确，正确的整式为 (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，以及整式的值与的取值无关的条件． （1）利用等式关系，移项展开求出被遮住的整式，验证小明答案． （2）代入计算，合并同类项后令的系数为，求解的值． 【详解】（1）解：∵设所遮住的整式为， ∴，即， 化简，得：， ∴小明的计算不正确，正确的整式为； （2）解：∵， ∴， 即， ∵的值与的取值无关， ∴，解得：． 题型三 多项式按某个字母升降幂排列 7．以下各组多项式按字母降幂排列的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误； 选项B：各项的指数依次为，符合降幂排列的要求，正确； 选项C：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误； 选项D：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误． 8．多项式是___________次___________项式，按字母的降幂排列为___________． 【答案】 四 四 【分析】本题考查多项式定义，熟记多项式定义是解决问题的关键． 根据多项式定义、多项式次数求解即可得到答案． 【详解】解：次数由最高次项决定：次数是，次数是，次数是， 则是四次四项式， 按的指数从高到低排列：， 故答案为：四；四；． 9．已知多项式是关于、的四次三项式． (1)直接写出 ； (2)将此多项式按的升幂重新排列． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式的项与次数，绝对值，掌握知识点是解题的关键． （1）根据多项式的定义，列出方程且，求解即可； （2）根据多项式按的升幂重新排列即可． 【详解】（1）解：∵多项式是关于、的四次三项式， ∴且， 解得且， ∴． （2）∵ ∴ ． 题型四 同底数幂乘法及其逆用 10．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，掌握同底数幂的乘法法则即可求解． 【详解】解：根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∵是同底数幂的乘法运算， ∴． 11．已知，则=____________ 【答案】16 【分析】先根据已知等式得到的值，再利用同底数幂的乘法法则化简后代入计算即可． 【详解】解：由可得. ∴． 12．计算：． 【答案】 【详解】解：原式． 题型五 幂的乘方及其逆用 13．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式. 14．在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题： (1)若，求x的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂的乘方法则变形得出，对应相等可得，求解即可； （2）根据同底数幂的法则计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．已知：，，，，求证： (1)； (2)； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法和幂的乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）根据同底数幂的乘法运算法则得，又，故可得，从而可得； （2）根据同底数幂的乘法运算法则得，由幂的乘方得，故可得，从而可得． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴ ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴, ∴． 题型六 积的乘方及其逆用 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 17．阅读下列各式：，， (1)根据积的乘方得出规律：（_____，_____； (2)应用规律： ①填空：_____，_____； ②计算： 【答案】(1)， (2)①1，1② 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，积的乘方的逆运算，同底数幂的乘法，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）运用积的乘方法则计算求解即可； （2）①利用积的乘方的逆运算求解即可； ②把原式变形为，进而求解． 【详解】（1）解：根据题意得，，， 故答案为：，； （2）解：①， ， 故答案为：1，1； ② ． 18．将幂的运算利用逆向思维可以得到，，，．在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）逆用积的乘方法则计算即可； （2）先逆用幂的乘方法则，再根据同底数幂的乘法法则计算即可求出m的值． 【详解】（1）解：原式， ， ， ； （2）解：， ． 题型七 单项式乘法 19．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单项式乘单项式运算法则，结合同底数幂的乘法法则计算即可得到结果． 【详解】解：． 20．计算：=______． 【答案】 / 【分析】本题考查单项式乘单项式运算及同底数幂的乘法法则，按照单项式乘单项式的运算法则计算即可． 【详解】． 21．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据单项式乘多项式法则展开，再合并同类项； （2）直接利用单项式乘多项式法则，将单项式分别与多项式的每一项相乘，再整理结果． 【详解】（1）解：原式 =． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了单项式乘多项式的运算，解题关键是熟练掌握单项式乘多项式的法则，注意同底数幂相乘的运算法则． 题型八 单项式乘法求字母或代数式的值 22．已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查单项式乘法法则（系数相乘、同底数幂“底数不变，指数相加” ），熟练掌握单项式乘法的运算规则是解题关键．先依据单项式乘法法则计算与的积，再通过对比积与的形式，确定、的值． 【详解】解： 单项式相乘，系数相乘，同底数幂分别相乘（底数不变，指数相加） ，， 又 ， 故选：． 23．设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题关键． 先根据单项式乘单项式法则列出关于m、n的方程，进而求得m、n的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ，解得：， ∴． 故选：A． 24．已知单项式和的积与是同类项，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式和同类项的定义，注意相乘的结果仍是一个单项式，只是系数和指数发生了变化，系数相乘作为积的系数，把相同字母的指数相加，再根据同类项的定义即可求解． 【详解】解：∵ 又∵单项式和的积与是同类项， ∴   解得 ∴． ∴的值为． 题型九 单项式乘法的应用 25．如图，将边长为的大正方形和边长为的小正方形放在同一平面上（）． (1)用含、的代数式表示阴影部分的面积_________． (2)请说明：图形空白部分的面积与的大小无关． 【答案】(1) (2)说明见解析 【分析】（1）分别求出两个三角形面积，即可得出答案； （2）根据题意表示出空白部分的面积即可求解． 【详解】（1）解：图中阴影部分的面积： ； （2）解：空白部分的面积为 空白部分面积与无关． 26．明德学校在进行“雷小锋”校园文化墙装饰时，师傅对原装饰区域做了改动，在原长方形基础上挖去四个边长相同的正方形，如图所示． (1)根据平面图数据，用含、、的代数式表示图中阴影部分新装饰区面积． (2)已知，，，且装饰板块一所用布料单价为5元/，装饰板块二所用布料单价为7元/，完成新装饰区域全部铺设，总费用为多少？ 【答案】(1) (2)完成新装饰区域全部铺设，总费用为元 【分析】本题主要考查单项式乘以多项式及代数式的值，解题的关键是理解题意； （1）根据图形可直接进行求解； （2）由图可分别得出装饰板块一和板块二的面积，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由图形可知：； （2）解：由图可知：装饰板块一的面积为，装饰板块二的面积为， ∵，，， ∴装饰板块一的面积为，装饰板块二的面积为， ∴总费用为（元）； 答：完成新装饰区域全部铺设，总费用为元． 27．在一次普及“交通安全知识”的活动中，学生们对货车的盲区面积进行探究．货车盲区的部分分布图如图所示，盲区1，2是两个形状大小均相同的直角三角形，盲区3是一个梯形，盲区4是一个正方形． (1)用含的代数式表示图中盲区的总面积．（结果需化简） (2)若，求图中盲区的总面积． 【答案】(1) (2)20 【分析】本题考查了整式的乘法运算与图形面积，求代数式的值，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键； （1）盲区面积等于梯形面积加上正方形面积加上两个直角三角形的面积，据此列式计算即可； （2）把整体代入（1）中所求代数式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，盲区的总面积为： ； （2）解：当时，． 题型十 多项式乘法 28．计算：． 【答案】 【详解】解：． 29．化简：． 【答案】 【详解】解： ． 30．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先计算多项式乘以多项式、单项式乘以多项式，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型十一 已知多项式乘积不含某项求字母的值 31．若计算的结果中不含项，则常数的值为（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题．正确的合并同类项是解题的关键． ，由结果不含有项，可得，计算求解即可． 【详解】解：， ∵结果不含有项， ∴， 解得，， 故选A． 32．若等式恒成立，无论为何值，的值始终为定值，则这个定值为_____． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式运算与整式恒成立的性质，先将等式左边按多项式乘多项式法则展开，对比等式两边对应项系数得到m、n关于s、t的表达式，代入整理，根据无论t为何值结果为定值，得到t的系数为0，求出s的值，即可计算得到定值 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵无论为何值，的值始终为定值， ∴ ∴ ∴ 33．我们在学习多项式乘以多项式时，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为：，常数项为．那么一次项是什么呢？要解决这个问题，就是要确定一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项的系数就是，即一次项为． 请你参考上面的计算方法，解答下列问题： (1)计算求所得多项式的一次项系数； (2)如果计算所得多项式中不含一次项，求常数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式的规律探究，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． （1）根据题干提示列式计算即可； （2）根据给定的方法可得出一次项系数，进一步求解即可； 【详解】（1）解：所得多项式的一次项系数为： ； （2）根据题意，一次项系数， 依据题意： 解得：． 题型十二 多项式乘法与图形面积 34．在下面四个整式中，表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了多项式乘法与图形面积．根据题意列式表示出该阴影部分的面积． 【详解】解：图中阴影部分面积为：或， 故选：A． 35．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则这个长方形的面积为______． 【答案】/ 【分析】观察图形，拼成的长方形的两边长与两正方形边长之间的关系，求出长方形的另一边长，即可求出答案． 【详解】解：大正方形的边长为，小正方形的边长为， 根据图形可得，拼成的长方形的一边长为，另一边长为， 则这个长方形的面积为：． 36．综合与实践 活动主题：借助图形直观感受数与形之间的关系 初步应用 (1)如图，一个大长方形被分割为4个大小不同的小长方形，通过用两种不同方法计算大长方形的面积，可推导出整式乘法的运算规律，请用图中标注的字母写出对应的等式： ． 拓展创新 (2)仿照（1）中面积法的思路，画出图形，并计算． 迁移应用 (3)若式子无论x为多少时恒成立，求m的值． 【答案】(1) (2)图见解析， (3) 【分析】（1）根据大长方形面积的不同计算方法可得等式； （2）画一个长为，宽为的长方形，然后用两种不同的计算方法进行列式，即可得出答案； （3）先计算，再根据题意得出，，先求出p，然后可得m的值． 【详解】（1）解：把大长方形当成一个整体计算面积为：， 把大长方形分成四个小长方形计算面积为：， 可得对应的等式为：； （2）解：如图： 把大长方形当成一个整体计算面积为：， 把大长方形分成四个小长方形计算面积为：， 所以； （3）解：， ∵式子无论x为多少时恒成立， ∴，， ∴， ∴． 题型十三 多项式乘法的化简求值 37．先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【分析】先根据完全平方公式、多项式乘多项式及单项式乘多项式的运算法则将原式展开，合并同类项后，再整体代入已知条件计算即可． 【详解】解：原式 ， ， ， 原式 ． 38．先化简，再求值：，其中． 【答案】；8 【分析】利用多项式与多项式的乘法、单项式与多项式的乘法运算法则进行化简，将代入化简后的式子进行计算即可． 【详解】解： 当时，原式． 39．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查整式的乘法混合运算，涉及单项式与多项式的乘法，多项式与多项式的乘法，代数式求值，熟练掌握整式的乘法运算法则是解题的关键． （1）先利用单项式与多项式的乘法化简，再合并，最后代入求值即可； （2）先利用多项式与多项式的乘法化简，再合并，最后代入求值即可． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当，时，原式． 题型十四 多项式乘法的规律性问题 40．观察下列各式： ；…； 根据前面各式的规律可得到：______； ______． 【答案】 【分析】本题考查了整式乘法相关的规律探究，掌握题目中的规律探究是解题的关键．根据题目中的规律可看出，公式左边的第一项为，公式左边的第二项为x的n次幂开始降次排序，系数都为1，公式右边为问题得解． 【详解】解： ；…； 根据前面各式的规律可得到：， 故答案为：，． 41．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）： ， ， ， 则______________． 【答案】 4 6 4 【分析】本题考查了完全平方公式，根据所给式子的系数规律求出的展开式的系数即可． 【详解】解：由所给式子的系数规律可得： ， 故答案为：4；6；4． 42．（1）计算下列式子： ①___________； ②___________． ③___________； ④___________． （2）从上面的计算中总结出规律：___________ （3）运用上面的规律，直接写出下列各式的结果： ①___________； ②___________． ③___________； ④___________． 【答案】（1）①；②；③；④；（2）；（3）①；②；③；④ 【分析】此题考查了多项式乘以多项式的规律问题，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据多项式乘以多项式的法则求解即可； （2）由（1）中的运算总结出规律即可； （3）由（2）总结出的规律求解即可； 【详解】解：①； ②． ③； ④． （2）从上面的计算中总结出规律：； （3）①； ②． ③； ④． 题型十五 乘法公式 43．计算：． 【答案】． 【分析】先运用平方差、完全平方公式进行计算，然后去括号合并同类项即可． 【详解】解： ． 44．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将式子变形为，再计算平方差公式，然后计算完全平方公式即可； （2）先计算多项式乘以多项式，再计算整式的加减即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 45．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方差公式的连续应用，解题的关键是灵活运用平方差公式简化运算； （1）先运用平方差公式计算，再将结果与继续运用平方差公式； （2）先运用平方差公式计算，再将结果与继续运用平方差公式． 【详解】（1）解： （2）解： 题型十六 乘法公式与几何图形 46．有两类正方形A，B，其边长分别为a，b．现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，求： (1)根据图1和图2，得到______， ______． (2)小明想要拼一个两边长分别为和的长方形（不重不漏），除用去若干个正方形A，B外，还需要以a，b为边的长方形______个． (3)三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，求阴影部分的面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据图①和图②，表示出阴影部分的面积，即可得出结果； （2）先利用多项式乘以多项式的运算法则计算得出两边长分别为和的长方形的面积，比较即可得出结果； （3）先求出，再结合完全平方公式的变形得出，表示出阴影部分的面积为，化简后整体代入计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由图①可得：， 由图②可得：， ∴； （2）解： ， ∴还需要以a，b为边的长方形个； （3）解：∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 47．通常用“作差法”比较代数式的大小，即通过计算的值，就可以比较代数式，的大小． (1)图是边长为的正方形，将正方形一组对边不变，另一组对边增加，得到如图所示的新长方形，此长方形的面积为；将图中的正方形一组邻边长均增加得到如图所示的新正方形，此正方形的面积为．请直接写出与的大小关系是 ，并说明理由； (2)已知，，请说明与的大小关系． 【答案】(1)；理由见解析 (2) 【分析】（1）根据图形表示出新长方形的面积和新正方形的面积，再利用作差法比较即可； （2）先求出的值，再比较大小即可． 【详解】（1）解：；理由如下： ， ， ， ； （2）解：，， ， ． 48．【知识生成】：通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图①，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开：拼成图②的长方形．（用字母表示）． （1）比较图①和图②两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： ． 如图3大正方形的面积有两种表示方法可以得到乘法公式： ． 【问题探究】：（2）①已知，，则的值为 ． ②如图3，已知，，求的值． 【答案】（1）；（2）①12；②7 【分析】本题考查了平方差公式与完全平方公式的探索与应用，解决本题的关键是由面积得到乘法公式并进行变形代值求解． （1）图①中的阴影面积为大正方形面积减去小正方形的面积，图②中阴影面积为拼接后的两个长方形的面积，由此可得结论． 根据图3大正方形的面积可表示为边长乘边长，也可以由两个正方形与两个长方形的面积表示，由此可得结论． （2）①根据平方差公式，将变形为代值求解即可． ②根据完全平方公式，先求解，由此可求解． 【详解】解：（1）图①中的阴影面积为大正方形面积减去小正方形的面积，即， 图②中阴影面积为拼接后的两个长方形的面积，即， ∴比较图①和图②两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：． 故答案为：． 图3大正方形的面积可表示为边长乘边长，即， 图3大正方形的面积也可表示为两个正方形，即；两个长方形，即， ∴图3大正方形的面积有两种表示方法可以得到乘法公式：． 故答案为：． （2）①∵，， ∴． 故答案为：12． ②∵，，即， ∴． 题型十七 求完全平方式中的字母系数 49．已知是完全平方公式，则的值为（    ） A．4 B．4或 C．16 D． 【答案】B 【分析】利用完全平方式的结构特征求解即可． 【详解】解：∵是完全平方公式， ∴， 解得或． 50．已知关于的多项式是一个完全平方式，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的结构特征，解题关键是根据完全平方公式的形式对比多项式，确定中间项的系数关系． 将多项式与完全平方公式对比，确定的值，再通过中间项系数关系求出即可． 【详解】关于的多项式是一个完全平方式， ， ， ． 故答案为． 51．定义一种新的运算：对于任意两个有理数，规定． 例如，；． 若为有理数，请解答下列问题： (1)若是一个完全平方式，求的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查定义新运算，完全平方公式，理解新定义的法则是解题的关键： （1）根据新定义的法则，列式计算，根据完全平方公式的结构得出的值； （2）根据新定义得出，进而根据，利用完全平方公式变形求值，即可求解． 【详解】（1）解： ． 因为是一个完全平方式， 所以．所以或． （2）因为， 所以． 所以． 因为， 所以． 所以 题型十八 通过对完全平方公式变形求值 52．若，，则________． 【答案】 【分析】利用完全平方公式将所求代数式展开，再将已知条件整体代入计算即可． 【详解】解：， 将，，可得． 53．若，，则______． 【答案】3 【分析】利用平方差公式和整体代入法进行求值即可. 【详解】解：∵，，， ∴. 54．已知．求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了代数式求值、完全平方公式的变形，关键是灵活应用公式进行求解； （1）将代数式去括号后，整体代入求值即可； （2）将完全平方公式变形后，求值即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型十九 利用乘法公式配方求最值 55．把关于的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法在代数式求值，最值问题，解方程等问题中都有着广泛的应用．配方法的本质是完全平方公式的逆运用，即：． 例如：将配方如下：． 请根据阅读材料解决下列问题： 【初步应用】（1）用上面的方法对多项式配方； 【类比应用】（2）求代数式的最小值； 【拓展应用】已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查完全平方式的逆用和非负数的性质，负整数指数幂的含义，熟练掌握完全平方公式的逆运用是解题的关键． （1）根据完全平方公式的逆运用计算即可； （2）根据完全平方公式的逆运用把原式化为，再利用非负数的性质计算即可． （3）把化为，再结合非负数的性质进一步求解即可． 【详解】解：（1）； （2） ， ∵，， ∴； ∴的最小值为； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，， 解得：，，， ∴． 56．阅读材料：把形如的二次三项式或其一部分配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法基本形式是完全平方公式的逆写，即． 例如：、、是的三种不同形式的配方即“余项”分别是常数项、一次项、二次项． 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方； (2)已知，，求的值； (3)当，何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ 【答案】(1)第一种：；第二种：；第三种： (2) (3)16 【分析】（1）根据材料中的三种不同形式的配方，“余项”分别是常数项、一次项、二次项，可解答； （2）将配方，根据平方的非负性可得和的值，可解答； （3）首先把已知等式变为，然后利用完全平方公式分解因式，变为两个非负数和一个正数的和的形式，然后利用非负数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：第一种：； 第二种：； 第三种：； （2），， ， ， ， ，， ； （3）， ， ， ， ， 解得． 当，时，代数式的最小值是． 【点睛】本题考查的是配方法的应用，首先利用完全平方公式使等式变为两个非负数和一个正数的和的形式，然后利用非负数的性质解决问题． 57．把代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在代数式求值、解方程、求最值等都有广泛的应用，如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值． 所以当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题： (1)将变形为的形式_____________，则的最小值为_____________； (2)已知，求的值． 【答案】(1)，1； (2)． 【分析】本题考查了完全平方式的应用． （1）仿照题干所给示例作答即可； （2）可化为，根据题意可知当时，取最小值0，当时，取最小值0，代入计算即可． 【详解】（1）解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值1． 所以当时，有最小值1． 故答案为：，1； （2）解： ， ∴，， ∵当时，取最小值0，当时，取最小值0， ∴，， ∴． 题型二十 同底数幂的除法运算及其逆用 58．已知：，求的值． 【答案】 【分析】利用积的乘方的逆应用求出的值，利用幂的乘方，同底数幂的乘法以及同底数幂相除法则化简整式，最后代数求值． 【详解】解：∵ ， ∴， 解得， 将代入上式得， 原式． 【点睛】注意掌握幂的运算的法则． 59．【课内回顾】如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如； ②底数为的整数指数幂，例如； ③底数为的偶数指数幂，例如． 【知识运用】 (1)若，则_________； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为或或； (3)的值为或． 【分析】此题主要考查了同底数幂的除法的法则，零指数幂的定义等，分类讨论是解决问题的关键． （1）根据同底数幂的除法法则进行运算，得到，再根据零指数幂的定义求解即可； （2）根据题意进行的分类讨论，即可求解； （3）先分类讨论：（）当且时，求出的值并判断；（）当时，整理，得：，再根据题意进行的分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵， 又∵， ∴， ∴，解得：； （2）∵， ∴如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，即且，解得：； ②底数为1的整数指数幂，即，解得：； ③底数为的偶数指数幂，即且为偶数，解得：，检验：为偶数，即成立， ∴综上，的值为或或； （3）∵， ∴分类讨论： （）当且时，解得：且，矛盾，不成立； （）当时，整理，得：， ∴如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，即且，解得：； ②底数为的整数指数幂，即，解得：； ③底数为的偶数指数幂，即且为偶数，解得：，检验：不为偶数，即不成立； ∴综上，的值为或． 60．已知（且是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 【答案】(1)2 (2)3 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，灵活运用以上知识点是解题的关键． （1）先对等号的左边进行变形，列出关于x的方程式即可； （2）先对等号的左边进行变形，列出关于a的方程式即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 题型二十一 零指数幂与负整数指数幂 61．若，，，则它们的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据乘方法则、负整数指数幂及零指数幂法则，分别计算出a、b、c的值，再比较大小即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 62．__________． 【答案】8 【分析】先根据负整数指数幂与零指数幂的运算法则分别计算两项，再做减法运算即可得到结果． 【详解】解: 根据负整数指数幂运算法则，可得， 根据零指数幂运算法则，，可得， 则原式 ． 63．计算：． 【答案】 【分析】本题考查绝对值，零指数，负指数，乘方运算，掌握相关知识是解决问题的关键．先计算绝对值，零指数，负指数，乘方运算，再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 题型二十二 幂的运算等于1的分类讨论问题 64．满足的整数n有几个（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查零指数幂与有理数的乘方运算，解题的关键是分情况讨论使等式成立的条件（底数为1，底数为且指数为偶数、指数为0且底数不为0）． 通过分指数为0且底数不为，底数为，底数为且指数为偶数，三种情况，求解满足的整数，即可解题． 【详解】解：∵， ∴需分三种情况讨论： 当指数时，即，此时底数，成立； 当底数时，即，解得或，此时指数分别为和，但底数为，故成立； 当底数时，即，解得或．此时指数分别为（偶数）和（奇数），故仅时成立； 综上，满足条件的整数有，共个． 故选：A． 65．使的的值为__________． 【答案】3或2或1 【分析】根据任何非零数的零次幂等于1，1的任何次幂都等于1，的偶次幂等于1进行计算即可． 【详解】解：当即，此时； 当即时，； 当即时，； 综上，x的值为3或2或1． 66．若，求的值． 【答案】 【分析】分、、三种情况求解即可． 【详解】解：分三种情况讨论： 当，即时，此时底数，原式成立，故是方程的解； 当，即时，此时，原式成立，故是方程的解； 当，即时，此时，指数是偶数，原式成立，故是方程的解； 综上所述，的值为． 题型二十三 科学记数法 67．2025年，成都青羊金沙遗址文物保护团队运用纳米无损检测技术，精准复原三千年前古蜀金器纹样．已知1纳米0.000000001米，该文物扫描精度可达100纳米，则100纳米用科学记数法可表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】先将100纳米换算为以米为单位的数，再根据科学记数法的要求整理得到结果，科学记数法形式为，要求满足，n为整数． 【详解】解：∵1纳米米米， ∴100纳米米， 整理得：米． 68．我国“嫦娥六号”探测器携带的微型激光测距仪，对月球表面测量的精度可达（）．用科学记数法表示这一测量的精度是________．蜂鸟是世界上最小的鸟，某只蜂鸟从头到尾的长度大约仅为，问最大的蜂鸟的长度相当于该测量的精度的_______倍． 【答案】 /90000 【分析】先根据单位换算关系将换算为米，并用科学记数法表示，再计算蜂鸟体长与测量精度的倍数关系． 【详解】解：∵， ∴． 蜂鸟体长为， 倍数． 69．新冠肺炎是由新型冠状病毒引起的，这种新型冠状病毒的直径约在纳米（1米纳米），那么140纳米用科学记数法可表示为_______米． 【答案】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为． 【详解】解：纳米用科学记数法可表示为． 题型二十四 多项式除以单项式 70．若等式成立，则________． 【答案】 【分析】先分别化简等式左右两边，整理得到一元一次方程，求解即可． 【详解】解：由题意得，除式，即，且 分别化简等式左右两边，得 移项，合并同类项得 系数化为得． 71．设a为常数，多项式除以所得的余式为，则________． 【答案】2 【分析】根据多项式除法的性质，被除式减去余式可被除式整除，据此设出整式乘积，展开后对比对应项系数即可求解a的值． 【详解】解：∵多项式除以所得的余式为． ∴可设，其中为常数． ∴， 根据多项式相等则对应项系数相等，可得 ， ∴． 72．已知，均为整式，，小马在计算时，误把“”抄成了“”，这样他计算的正确结果为． (1)求整式； (2)求的正确结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列出式子再根据整式混合运算的顺序和法则进行计算即可； （2）根据题意列出式子进行计算即可． 【详解】（1） ， 小马误算为， 故：； （2）解： 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（25-26七年级下·北京顺义·期中）下面运算结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同类项定义、同底数幂乘法、积的乘方等运算法则逐一判断选项． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，A错误； B、，B错误； C、，C错误； D、，D正确． 2．（2026·北京丰台·二模）近日，中国科学技术大学研制出了可编程量子计算原型机“九章四号”，其生成一个样本仅需25微秒，比当前全球最快的超级计算机快倍，进一步巩固了我国在光量子计算领域的世界领先地位．25微秒秒，将0.000025用科学记数法表示应为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 3．（25-26七年级下·北京·期末）下列等式的变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据相关性质逐一判断选项即可得到答案． 【详解】解：A选项：∵若，可得或，∴A变形错误； B选项：∵若，根据等式性质，两边同时加同一个数等式仍成立，可得，∴B变形错误； C选项：∵中分母不为，隐含条件，等式两边同乘可得，∴C变形正确； D选项：∵若，当时，与无意义，该变形不成立，∴D变形错误． 4．（25-26九年级下·北京·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据积的乘方运算法则，合并同类项法则，完全平方公式，平方差公式，逐一计算各选项即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误； B、，原式计算正确； C、，原式计算错误； D、，原式计算错误． 5．（25-26七年级下·北京顺义·期中）计算下列各式①；②；③；④，正确的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【详解】解：①，故①错误； ②，故②正确； ③，故③正确； ④，故④错误； 综上，正确的式子共2个． 6．（25-26七年级下·北京·期末）若，那么的取值范围为_______． 【答案】 【分析】根据绝对值的性质，绝对值等于其相反数的数为非正数，据此列出关于的一元一次不等式，求解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：， ， 移项得，， 系数化为得，． 7．（25-26七年级下·北京顺义·期中）计算：_____． 【答案】 【分析】将多项式的每一项分别除以单项式，再合并结果即可． 【详解】解：． 8．（25-26七年级下·广东深圳·期中）若代数式是一个完全平方式，则实数______． 【答案】7或 【详解】解：代数式是一个完全平方式， ， ∴， ∴， 当时，解得， 当时，解得， 综上，实数或． 9．（25-26九年级下·北京顺义·期末）如果，那么代数式的值是______． 【答案】9 【分析】利用完全平方公式将所求式子展开，再结合计算即可． 【详解】解：由于，则， ． 10．（25-26八年级上·甘肃甘南·期末）数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：，的地方被钢笔弄污了，你认为处应是______． 【答案】 【分析】将加法转化为减法，然后计算单项式乘以多项式，再利用整式的加减运算法则计算即可． 【详解】解：由题意得， 11．（25-26七年级下·北京顺义·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（25-26九年级下·北京·期中）如果，求代数式的值． 【答案】 【分析】先利用完全平方公式和平方差公式化简代数式，再根据已知条件得到，最后整体代入化简后的式子求值． 【详解】解： ∵， ∴， ∴原式． 13．（25-26七年级下·北京延庆·期中）阅读下面材料： 材料一：比较和的大小 材料二：比较和的大小 解：因为，且，所以，即． 解：因为，且，所以，即． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较的大小； (2)比较的大小． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：，， 且， ， 即； （2）解：，，， 且， ， 即． 14．（24-25七年级下·江苏·期末）用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）原式运用完全平方公式进行计算即可； （2）原式运用完全平方公式进行计算即可； （3）原式运用完全平方公式进行计算即可； （4）原式运用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 15．（25-26七年级上·山东济南·期末）【知识生成】：通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图①，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开：拼成图②的长方形．（用字母表示）． （1）比较图①和图②两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： ． 如图3大正方形的面积有两种表示方法可以得到乘法公式： ． 【问题探究】：（2）①已知，，则的值为 ． ②如图3，已知，，求的值． 【答案】（1）；（2）①12；②7 【分析】本题考查了平方差公式与完全平方公式的探索与应用，解决本题的关键是由面积得到乘法公式并进行变形代值求解． （1）图①中的阴影面积为大正方形面积减去小正方形的面积，图②中阴影面积为拼接后的两个长方形的面积，由此可得结论． 根据图3大正方形的面积可表示为边长乘边长，也可以由两个正方形与两个长方形的面积表示，由此可得结论． （2）①根据平方差公式，将变形为代值求解即可． ②根据完全平方公式，先求解，由此可求解． 【详解】解：（1）图①中的阴影面积为大正方形面积减去小正方形的面积，即， 图②中阴影面积为拼接后的两个长方形的面积，即， ∴比较图①和图②两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：． 故答案为：． 图3大正方形的面积可表示为边长乘边长，即， 图3大正方形的面积也可表示为两个正方形，即；两个长方形，即， ∴图3大正方形的面积有两种表示方法可以得到乘法公式：． 故答案为：． （2）①∵，， ∴． 故答案为：12． ②∵，，即， ∴． 期末重难突破练（测试时间：15分钟） 16．（25-26七年级下·北京顺义·期中）若 ，则 的值是（     ） A．6 B．72 C．1 D． 【答案】D 【分析】将所求式子利用幂的运算法则变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 17．（2026·北京海淀·二模）中国古代用“毫厘丝忽”表示极微细的事物，其中“毫”“厘”“丝”“忽”均为我国古代一种微小的长度计量单位．秦朝统一度量衡时，丝约为，则丝用科学记数法可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算出5丝的长度，再按照科学记数法的规则改写即可，科学记数法表示较小数的形式为，需满足，为整数． 【详解】解：∵1丝长度约为 ∴5丝的长度为 将改写为符合要求的科学记数法，得 ． 18．（25-26七年级下·山东枣庄·期中）观察下列各式： 观察上面的规律计算：（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】先根据给出的各式归纳出一般规律，再将所求式子对照规律，代入计算即可得到结果． 【详解】解：根据已知式子归纳规律可得，其中为正整数， 则中，最高次项为，对应规律得 ， 即， ∴把，代入规律得． 19．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）若有理数、满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式的应用及平方的非负性，解题的关键是掌握平方差公式．依据平方差公式求得，结合，可求得 【详解】解：， ， ，， ． 故选：A． 20．（25-26八年级上·北京密云·期末）已知，若正方形M的边长为，其面积记为，长方形N的长为，宽为，其面积记为，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，整式的混合运算的应用，掌握相关运算法则是解题关键．由题意可知，，，再计算即可． 【详解】解：由题意可知，，， 则 ， 故选：D． 21．（25-26七年级下·北京顺义·期中）计算：_____． 【答案】 【分析】先利用同底数幂的乘法逆运算将原式变形为，再由积的乘方逆运算求解即可． 【详解】解： ． 22．（25-26七年级下·北京顺义·期中）若关于x的二次三项式．是完全平方式，则m的值为________． 【答案】7或 【分析】本题考查完全平方式，熟练掌握完全平方式的结构特征是解题的关键，利用完全平方式的结构特征即可求解． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 当时，解得， 当时，解得， 故答案为7或． 23．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：如：．若，那么的结果是______ 【答案】 【分析】根据定义求解即可； 【详解】解：， 由， 得， 由， 故； 24．（20-21七年级下·湖南怀化·期中）观察：；，那么，________． 【答案】/ 【分析】本题考查平方差公式的应用．通过乘以构造平方差形式，然后连续使用平方差公式简化计算即可． 【详解】解： ． 故答案为： 25．（25-26八年级上·北京·期末）如图，正方形的边长为，其中，，两个阴影部分都是正方形且面积和为60，则重叠部分的面积为____________． 【答案】28 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的变形是解题的关键；先根据正方形的性质表示出，再根据完全平方公式的变形得出，从而得出，即可得出答案． 【详解】解：设正方形的边长为x， ， ， ， ， 两个阴影部分都是正方形且面积和为60， ， ， ， 重叠部分的面积为28， 故答案为：28． 26．（25-26七年级下·河南郑州·期中）若（且，m，n是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件可得：，可得，进一步可得答案； （2）由条件可得：，可得，进一步可得答案. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 27．（25-26七年级下·北京顺义·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ， 【详解】解：原式 ； ∵，， ∴原式． 28．（25-26七年级下·浙江台州·期中）爱思考的可可同学在学习“整式的乘法”时，给出“平衡多项式”的定义： 对于三个多项式（按顺序排列）：，，（其中，是非零常数），当是一个常数时，称这样的三个多项式是平衡多项式，的值是平衡因子． (1)根据“平衡多项式”的定义，试判断： ①，，______（是或不是）平衡多项式；②，，______（是或不是）平衡多项式； (2)已知，，是平衡多项式，求平衡因子． 【答案】(1)①是；②不是 (2)． 【分析】（1）①根据平衡多项式定义，计算即可判断； ②根据平衡多项式定义，计算即可判断； （2）根据平衡多项式定义计算即可． 【详解】（1）解：①∵ ， ∴由定义可知，，，是平衡多项式； ②∵ ， ∴由定义可知，不是平衡多项式； （2）解：∵，，是平衡多项式， ∴， 整理得， ∴， 因为结果是常数，所以含x的项系数为0： ∴， ∴， ∴， ∴平衡因子． 29．（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，有A，B，C三种类型的卡片． (1)选取1张A型卡片，2张B型卡片，1张C型卡片，恰好拼成一个大正方形． ①请画出所拼大正方形的示意图； ②通过用不同方法表示大正方形的面积，可得到乘法公式为_________． (2)若用若干张A，B，C卡片（每种类型的卡片至少一张），恰好拼成一个大正方形，则使用的所有卡片的张数之和一定是一个完全平方数．请说明理由． 【答案】(1)①见详解；② (2)理由见详解 【分析】（1）结合三种卡片的数量以及每种卡片的面积即可求解； （2）先假设拼接后大正方形的边长，然后利用乘法公式确定大正方形的面积，再结合三种卡片的面积即可确定所需每种卡片的数量，继而求解． 【详解】（1）解：①所拼大正方形的示意图如图所示： ②． （2）解：设拼接后的大正方形的边长为，则大正方形的面积为 ． 因为1张A型卡片的面积为，1张B型卡片的面积为，1张C型卡片的面积为， 所以拼接后的大正方形包含了张A型卡片，张B型卡片，张C型卡片, 所以使用的所有卡片的张数之和为，即它是一个完全平方数． 30．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)用含a，b的代数式分别表示、 (2)若，，求的值； (3)若图1中的，图3中，则的值为 ．（用含x，y的代数式表示） 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的面积之间的关系，即可用含a、b的代数式分别表示、； （2）根据，再变形为：，将，代入进行计算即可； （3）由图1中的，图3中，可得，，再把的右边分解因式，最后代入即可． 【详解】（1）解：由图1可得， ； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴； （3）解：∵图1中的，图3中， ∴，， ∴． 期末综合拓展练（测试时间：20分钟） 31．（25-26八年级上·北京海淀·期中）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项式的乘方的展开式各系数规律（如图），称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）． 1             1  2  1          1  3  3   1        1  4  6   4    1         …                          …. 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（    ） A．1 B．6 C．15 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索．观察可知把看成常数，从左往右数，的第二项的系数为，据此规律求解即可． 【详解】解；把看成常数， 从左往右数，的第二项的系数为， 从左往右数，的第二项的系数为， 从左往右数，的第二项的系数为， 从左往右数，的第二项的系数为， ……， 以此类推，从左往右数，的第二项的系数为， 而中，项就是第二项， 展开式中含项的系数是6， 故选：B． 32．（24-25七年级下·安徽马鞍山·期中）如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为．已知，且，则为（   ） A．24 B．22 C．26 D．31 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，根据正方形的性质，得到，设，得到，进而得到，进而得到，利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 故选：C． 33．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如果一个数等于两个连续偶数的平方差，那么我们称这个数为“和谐数”．例如：因为，所以12是“和谐数”．下列各数为“和谐数”的是(   ) A．48 B．50 C．52 D．54 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式的应用，解决本题的关键是求出两个偶数的平方差的代数式是多少．设连续两个偶数为、为整数，这两个数的平方差是，根据选项，可得、、、，求出选择符合题意的的值． 【详解】解：设连续两个偶数为、为整数， ， A，，，不符合题意； B，，，不符合题意； C，，，，，，符合题意； D，，，不符合题意． 故选：C． 34．（24-25八年级上·福建福州·期中）已知，则代数式的值是（    ） A．2 B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】解：∵ 又， ， ∴ ∴， 故选：C． 35．（24-25九年级下·甘肃张掖·期末）如图，在矩形中，，，点和点分别在和边上，并且，分别以和为边向上、向右作正方形，两个正方形的面积分别为和，且，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； 设，，根据，得，根据完全平方公式求解的值，进而求解； 【详解】解：设，， ，， ，． 根据，得， ， ， 又， ， 即阴影部分的面积为． 故选：B 36．（25-26七年级上·北京·期中）定义新运算“”：对于任意有理数，都有，且有括号先做括号内的运算．例如，那么______；当为有理数时，______． 【答案】 / 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，对于第一部分，直接代入新运算定义计算；对于第二部分，先分别计算和，再相减． 【详解】解：， ； ， ， ， 故答案为：；． 37．（25-26七年级上·北京·期中）在长方形纸片中，，，将两张边长分别为和的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．若，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法与图形的面积，利用图形正确列式是解题的关键．用长方形面积减去空白部分的面积分别表示出、，再利用整式的混合运算计算它们的差即可． 【详解】解：由题意可得： ， ， 由得， 解得：， 故答案为：． 38．（24-25七年级下·安徽六安·期中）阅读下面例题的解题过程：例：已知，，请你用含m，n的代数式表示． 解：因为知，，所以． （1）一位同学发现解答此例题还有另一种思路，请你补全解题答案：______； （2）解决问题：若，，试用含a，b的代数式表示______． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方逆用，同底数幂的乘发，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）利用运算法则进行运算即可； （2）利用积的乘方公式运算求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴； 故答案为：； （2）∵，， ∴， 故答案为：． 39．（25-26七年级下·北京顺义·期中）“杨辉三角”给出了展开式的系数规律（其中为正整数，展开式的项按的数降幂排列），它的构造规则是：两腰上都是数字1，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和．例如：展开式的项的系数，，与“杨辉三角”第三排对应；展开式的项的系数，，，与“杨辉三角”第四排对应；依此类推…下列说法正确的有____________（填序号） ①“杨辉三角”第一排是，第六排数字依次是：，，，，，1； ②当，时，代数式的值为； ③展开式中所有系数之和为； ④当代数式的值为时，． 【答案】①③ 【分析】根据杨辉三角的构造规则推导第六排数字；计算代数式的值；利用赋值法求展开式系数之和；利用完全平方式解方程判断的值． 【详解】解：如图，    依此规律可得“杨辉三角”第六排数字依次是：1，5，10，10，5，1，故说法①正确； 当时，，故②说法错误； 令，，则，故说法③正确； 当代数式的值为1时， 即， ∴， ∴或（不合题意，舍去）， ∴， 解得或，故说法④错误， 综上可得，说法正确的有①③． 40．（25-26八年级上·北京·期中）已知50个数从，0，1中取值．若，且，则： （1）中0的个数是___________； （2）的值为___________． 【答案】 13 197 【分析】本题考查了完全平方公式，有理数的乘方，代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式，得到，继而推导出，得到中或的个数是37个，则中的个数是，即可解答； （2）先求出比多9个，得到的个数为（个），1的个数为（个）．则，即可解答． 【详解】解：（1）∵ 又∵， ∴； ∵个数从，，中取值， ∴中或的个数是37个， ∴中的个数是， 故答案为：13． （2）∵，或的个数是37个，的个数是13个， ∴比多9个， 即的个数为：（个），1的个数为（个）． ∴ ． 故答案为：197． 41．（24-25七年级下·江苏·期末）阅读下列材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法．①比较，的大小．当时，，当底数相同时，指数越大值越大．②比较和的大小．，，，．可以将其先化为同指数，再比较大小，指数相同时，底数越大值越大．根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：________（填写“＞”“＜”或“＝”）． (2)已知，，，试比较，，的大小． 【答案】(1)＜ (2) 【分析】本题考查了有理数大小比较，有理数的乘方运算，幂的乘方的逆用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）化为相同指数，再比较底数的大小，来确定原数的大小关系； （2）先化为相同指数，再比较底数的大小，从而可确定原数的大小关系 【详解】（1）解：∵，， ， ， ∴， 故答案为：＜； （2）解：，，，， ， ． 42．（25-26八年级上·山东济宁·期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． (1)请写出图，图，图阴影部分的面积分别能解释的乘法公式． 图：___________，图：___________，图：__________ (2)根据上述图中你探索发现的结论，完成下列计算： 已知，，求代数式①；②的值． (3)若，求的值． 【答案】(1)；； (2)①；② (3) 【分析】本题考查乘法公式的几何背景，准确识图，熟练掌握图形的面积计算，乘法公式的结构特征是解决问题的关键． （1）根据图中的阴影部分是一个边长为的正方形得面积为，再根据图中的阴影部分是由两个边长分别为，的正方形和两个长为，宽为的长方形构成得面积为，由此可得出答案；根据图中的阴影部分是一个边长为的正方形得面积为，再根据图中边长为的大正方形是由边长分别为的正方形和两个长为，宽为的长方形构成及阴影部分构成得面积为，由此可得出答案；根据图中两种不同拼图计算面积即可得出答案； （2）①根据图所得出的乘法公式可求出的值； ②根据图及①的结论可求出，再根据图所得出的乘法公式即可求出的值； （3）设，，则，，根据即可得出的值． 【详解】（1）解：∵图中的阴影部分是一个边长为的正方形， ∴图中的阴影部分的面积为， 又∵图中的阴影部分是由两个边长分别为，的正方形和两个长为，宽为的长方形构成， ∴图中的阴影部分的面积为， ∴， ∴图能解释的乘法公式是：； ∵图中的阴影部分是一个边长为的正方形， ∴图中的阴影部分的面积为， 又∵图中边长为的大正方形是由边长分别为的正方形和两个长为，宽为的长方形构成及阴影部分构成， ∴图中的阴影部分的面积为：， ∴， ∴图能解释的乘法公式是：； ∵图中的左边阴影部分是一个长为，宽为的长方形， ∴图中的阴影部分的面积为， ∵图中的右边阴影部分的面积是边长的正方形与边长为的正方形的差， ∴图中的右边阴影部分的面积为， ∴， ∴图能解释的乘法公式是：； 故答案为：；；； （2）解：①∵， 又∵，， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， 当，时，； 当，时，； 综上所述，的值为； （3）解：设，，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的值为． 43．（25-26七年级下·江苏·单元测试）【阅读理解】 若满足，求的值． 解：设，，则，， 所以． 【解决问题】 （1）若满足，求的值； （2）若满足，求的值． 【答案】（1）120 （2）2021 【分析】本题考查了利用完全平方公式变形求值，熟记完全平方公式是解题关键． （1）设，，则，再利用完全平方公式变形求值即可得； （2）设，，则，再利用完全平方公式变形求值即可得． 【详解】解：（1）设，， 则， ， ∴． （2）设，， 则，， ∴． 44．（25-26八年级上·北京西城·期末）有这样一组按规律依次排列的正整数：，，，其中每个数都能表示为两个连续正奇数的平方差，我们称这样的数为“特征数”，记按上述顺序排列的第个“特征数”为（为正整数）． (1)将表示为两个连续正奇数的平方差：______－______； (2)求证：对于任意的正整数，一定能被8整除； (3)已知是第个“特征数”，判断是否为“特征数”，如果是，求出它是第几个“特征数”（用含的式子表示）；如果不是，说明理由． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)该数是第个“特征数” 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，平方差公式，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键． （1）根据“特征数”的定义及规律解答即可； （2）根据“特征数”的定义及规律得，利用平方差公式化简即可得出结论； （3）先利用平方差公式化简得，由（2）可知，代入得，再根据“特征数”的定义即可得解． 【详解】（1）解：将表示为两个连续正奇数的平方差：； 故答案为：，； （2）证明：由题意得，， 为正整数， 能被8整除， ∴对任意的正整数，一定能被8整除； （3）解：是， ∵， 又是第个“特征数”，由（2）可知， ， 为正整数， ∴该数是第个“特征数”． 45．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）我们知道，，关于这个公式的推导方法，有很多，比如说小高斯的故事．下面我们利用以前学过的公式，给出另外一种推导方法： 首先，我们知道：， 变形一下，就是， 依次给一些特殊的值：，，，，我们就能得到下面一列式子： ； ； ； ； 观察这列式子，如果把它们所有的等式两端左右相加，抵消掉对应的项，我们可以得到，观察这个式子，等式右边小括号内的式子，不就是我们要求的吗？把它记为就是：，把表示出来，得到：．用这个思路，可以求很多你以前不知道的和，请你仿照这个推导思路，推导一下的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，整式的加减运算，完全立方公式，因式分解的应用，熟练掌握各知识点，理解题意是解题的关键． 仿照题干进行求解即可． 【详解】解：， 当式中的从、、、依次取到时，就可得下列个等式： ， ， ， ， ， 将这个等式的左右两边分别相加得：， 即 ． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 整式的运算（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 整式的加减运算 题型02 整式加减的无关型问题 题型03 多项式按某个字母升降幂排列 题型04 同底数幂乘法及其逆用 题型05 幂的乘方及其逆用 题型06 积的乘方及其逆用 题型07 单项式乘法 题型08 单项式乘法求字母或代数式的值 题型09 单项式乘法的应用 题型10 多项式乘法 题型11 已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型12 多项式乘法与图形面积 题型13 多项式乘法的化简求值 题型14 多项式乘法的规律性问题 题型15 乘法公式 题型16 乘法公式与几何图形 题型17 求完全平方式中的字母系数 题型18 通过对完全平方公式变形求值 题型19 利用乘法公式配方求最值 题型20 同底数幂的除法运算及其逆用 题型21 零指数幂与负整数指数幂 题型22 幂的运算等于1的分类讨论问题 题型23 科学记数法 题型24 多项式除以单项式 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 整式的加减 能够熟练进行整式的加减运算，并能运用其解决简单的实际问题。 重要考点，一般在计算题考查，3分左右 同底数幂的乘法 理解并掌握同底数幂相乘的法则（底数不变，指数相加），能熟练运用该法则进行计算，并注意与合并同类项的区别。 核心考点，一般在计算题考查，2分左右 幂的乘方 理解并掌握幂的乘方法则（底数不变，指数相乘），能熟练运用该法则进行计算，并注意与同底数幂乘法的区别。 重要考点，一般在计算题考查，2分左右 积的乘方 理解并掌握积的乘方法则（把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘），能熟练运用该法则进行计算，并注意符号问题。 重要考点，一般在计算题考查，2分左右 单项式乘法 掌握单项式乘法法则，能熟练进行单项式乘法运算，注意系数的符号和只在一个单项式里含有的字母。 基础考点，一般在小题考查，2分左右 多项式乘法 掌握多项式乘法法则，能熟练进行多项式乘法运算，注意避免漏乘项和符号错误，并能运用乘法公式进行简便运算。 基础考点，一般在计算题考查，2分左右 多项式乘法与图形面积 理解多项式乘法与图形面积之间的关系，能够运用多项式乘法解决图形面积问题，并通过图形面积验证多项式乘法法则。 核心考点，一般在解答题考查，4分左右 乘法公式 掌握平方差公式和完全平方公式，能熟练运用乘法公式进行计算，并注意公式的结构和符号。 核心考点，一般在计算题考查，3分左右 乘法公式与几何图形 理解乘法公式与几何图形面积之间的关系，能够运用几何图形验证乘法公式，并通过图形直观理解乘法公式的几何意义。 核心考点，一般在解答题考查，5分左右 同底数幂的除法 掌握同底数幂的除法法则（底数不变，指数相减），能熟练进行同底数幂的除法运算，并理解零指数幂和负整数指数幂的意义。 重要考点，一般在计算题考查，2分左右 零指数幂 理解零指数幂的意义，掌握零指数幂的法则（任何非零数的零次幂都等于 1），并能正确运用。 基础考点，一般在小题考查，3分左右 负整数指数幂 理解负整数指数幂的意义，掌握负整数指数幂的法则（任何非零数的 - p 次幂等于这个数的 p 次幂的倒数），并能正确运用。 基础考点，一般在小题考查，3分左右 科学记数法 掌握用科学记数法表示绝对值比 1 小的数的方法（a×10−n，其中1≤∣a∣<10，n 是正整数），能正确确定 a 和 n 的值。 重要考点，一般在选择题考查，2分左右 多项式除法 掌握多项式除法法则，能熟练进行多项式除以单项式及多项式除以多项式的运算，注意避免漏除项和符号错误。 重要考点，一般在计算题考查，3分左右 知识点01 整式的加减 1.利用合并同类项和去括号法则，我们可以进行整式的加减运算. 整式的加减运算，像数的运算一样满足各种运算律，如果有括号要先去括号，再合并同类项. 2.整式加减注意事项：整式加减的结果要最简，不能有同类项，含字母的项的系数不要出现带分数（化成假分数），能去括号的要去括号，一般不含有括号. 3.整式加减的应用 （1）整式的化简求值 一般这类题会利用整体代入法求值，从题中条件中不易直接得到某个字母的具体值，可以将原式化为已知条件中字母间的关系，然后将某个式子的值作为一个整体代入计算. （2）整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法 若整式加减运算结果“不含x项”或整体的值“与x的值无关”，实质是指去括号并合并同类项后含字母x的项的系数为0. （3）解决多项式能否被一个数整除类问题 判断一个多项式是否能被一个数整除，关键是看这个多项式是否能化为这个数和某个多项式（多项式的值为整数）乘积的形式. 多位数的表示方法：相同的字母在不同的数位上所表示的数值不同，若一个三位数数，百位数是x，十位数是y，个位数是z，则这个三位数数可表示为. 知识点02 整式的化简求值 1.求代数式的值时，如果代数式中含有同类项和括号，通常先去括号，合并同类项后再计算. 2.整式的化简求值步骤（一化、二代、三计算）： （1）利用整式的加减运算将整式化简； （2）把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子； （3）依据有理数的运算法则进行计算. 知识点03 同底数幂的乘法 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an=·==． 语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． （m，n，…，p都是正整数）． （2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）． 知识点04 幂的乘方 （1）幂的乘方的意义： 幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a5）3是三个a5相乘，读作a的五次幂的三次方，（am）n是n个am相乘，读作a的m次幂的n次方． （2）幂的乘方法则： 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 【拓展】 （1） 幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）． （2）幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）． 知识点05 积的乘方 积的乘方的意义： 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等． （积的乘方的意义） =（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交换律、结合律） =a3b3． 积的乘方法则： 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 知识点06 同底数幂的除法 同底数幂的除法法则： 一般地，我们有（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【拓展】 （1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质， 例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）． （2）同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 知识点07 零指数幂与负整数指数幂 零指数幂：a0=1 (a≠0) 负整数指数幂：当n 是正整数时，（，n是正整数） 知识点08 科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 知识点09 单项式乘单项式 1.单项式乘单项式的运算法则： 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 2.单项式与单项式相乘的步骤 (1)确定积的系数，积的系数等于各项系数的积； (2)同底数幂相乘，底数不变，指数相加； (3)只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数一起写在积里 3.要点提示： (1)先把各因式里的系数组成一组，积的系数等于各因式系数的积，在各系数相乘时，先确定积的符号，再计算绝对值： (2)相同字母相乘时，利用同底数暴的乘法法则“底数不变，指数相加”； (3)单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方，再乘法”的顺序进行： (4)单项式乘单项式，结果仍是单项式，对于暴的底数是多项式形式的，应将其作为一个整体来运算： (5)对于三个或三个以上的单项式相乘，法则仍然适用 知识点10 单项式乘多项式 【法则】单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加 即m（a+b+c)=ma+mb+mc. 【注意】 (1)一般情况下，单项式与多项式相乘的结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，通常将这个多项式按某一字母的降幂（或升幂)进行排列。 (2)计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，根据去括号法则，积的符号由单项式的符号与多项式的项的符号共同决定 (3)对于混合运算，要注意运算顺序，同时要注意运算结果中若有同类项要合并同类项，从而得出最简结果 （4）利用单项式乘多项式的法则，将单项式与多项式中的每一项相乘，但应注意多项式中的常数项，不能漏乘， 知识点11 多项式乘多项式 1.多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 2.运用法则时应注意以下几点： (1)运用多项式乘多项式的法则时，必须做到不重不漏，相乘时要按一定的顺序进行.例如(m+n)· (a+b+c),可先用第一个多项式中的第一项“m”分别与第二个多项式的每一项相乘，再用第一个多项式的第二项“n”分别与第二个多项式的每一项相乘，然后把所得的积相加.即 （m+n )（a+b+c )=ma+mb+mc+na+nb+nc. (2)在相乘时防止漏项，检查有无漏项的方法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项前，积的项数应是这两个多项式项数的积，如(m+n)(a+b+c),积的项数应为2×3=6. (3)各项的系数：由单项式与单项式相乘来确定积中各项的系数. (4)各项的排列：合并同类项之后，积中各项的排列一般按某一字母的升（或降）幂排列. (5)注意确定积中每一项的符号，多项式中每一项都包含它前面的符号，“同号得正，异号得负” (6)多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项一定要合并同类项，化为最简结果 知识点12 完全平方公式 1.完全平方公式： 即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍. 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． 完全平方公式的常见变形： 2.完全平方公式的特征： ①左边是两个数的和的平方； ②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． 3.应用完全平方公式时，要注意： ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式； ③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 知识点13 完全平方公式的几何意义 如图，大正方形的面积可以表示为,也可以表示为S= 其几何意义：以a+b为边长的正方形的面积等于边长分别为a,b的小正方形及2个长、宽分别是b,a的小长方形的面积之和.从而验证了完全平方公式 知识点14 平方差公式 1.平方差公式：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差，即(a+b)(a-b)= 2.平方差公式的结构特征： （1）平方差公式(a+b)(a-b)= ，它的左边是两个二项式的积，在这两个二项式中，有一项完全相 同，而另一项互为相反数： （2）公式的右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与互为相反数项的平方差.掌握了这些结构特征，就容易判断哪些多项式相乘可以用此乘法公式，哪些不能用. 3.平方差公式的解读： （1）在平方差公式中，字母α和b可以表示具体的数，也可以表示一个单项式，还可以表示一个多项式， 但字母之间的运算规律是不发生变化的，因此，只要符合公式的特征，就可以直接写出结果； （2）有些多项式乘法，公式特征不明显，所以看起来不符合公式，其实只要经过变形就能使用公式： （3）两数和乘这两数差的积等于这两数的平方差，此公式有时也可以逆用，会使运算简便 知识点15 平方差公式的几何背景 如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形Ⅱ的面积，即若把小长方形V变换到小长方形V的位置，则此时阴影部分的面积又可以看成是=(a+b)(a-b).从而验证了平方差公式(a+b)(a-b)= 题型一 整式的加减运算 1．计算：． 2．计算： 3．计算： (1)； (2)． 题型二 整式加减的无关型问题 4．已知． (1)求的值； (2)若的值与x的取值无关，求m的值． 5．已知整式，其中a、b、c为常数． (1)若的结果中不含项和x项，求a、b的值； (2)若对于任意x，的值始终为，求a、b、c的值． 6．老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌遮住了一个整式， 形式如下：． (1)设所遮住的整式为，小明认为整式，你认为正确吗？如果正确，请说明理由：如果不正确，请求出正确的整式． (2)在（1）的条件下．设．若的值与的取值无关，求的值． 题型三 多项式按某个字母升降幂排列 7．以下各组多项式按字母降幂排列的是（     ） A． B． C． D． 8．多项式是___________次___________项式，按字母的降幂排列为___________． 9．已知多项式是关于、的四次三项式． (1)直接写出 ； (2)将此多项式按的升幂重新排列． 题型四 同底数幂乘法及其逆用 10．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 11．已知，则=____________ 12．计算：． 题型五 幂的乘方及其逆用 13．计算： (1)； (2)． 14．在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题： (1)若，求x的值； (2)若，求x的值． 15．已知：，，，，求证： (1)； (2)； 题型六 积的乘方及其逆用 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．阅读下列各式：，， (1)根据积的乘方得出规律：（_____，_____； (2)应用规律： ①填空：_____，_____； ②计算： 18．将幂的运算利用逆向思维可以得到，，，．在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)求的值； (2)若，求的值． 题型七 单项式乘法 19．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 20．计算：=______． 21．计算： (1)． (2)． 题型八 单项式乘法求字母或代数式的值 22．已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 23．设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 24．已知单项式和的积与是同类项，求的值． 题型九 单项式乘法的应用 25．如图，将边长为的大正方形和边长为的小正方形放在同一平面上（）． (1)用含、的代数式表示阴影部分的面积_________． (2)请说明：图形空白部分的面积与的大小无关． 26．明德学校在进行“雷小锋”校园文化墙装饰时，师傅对原装饰区域做了改动，在原长方形基础上挖去四个边长相同的正方形，如图所示． (1)根据平面图数据，用含、、的代数式表示图中阴影部分新装饰区面积． (2)已知，，，且装饰板块一所用布料单价为5元/，装饰板块二所用布料单价为7元/，完成新装饰区域全部铺设，总费用为多少？ 27．在一次普及“交通安全知识”的活动中，学生们对货车的盲区面积进行探究．货车盲区的部分分布图如图所示，盲区1，2是两个形状大小均相同的直角三角形，盲区3是一个梯形，盲区4是一个正方形． (1)用含的代数式表示图中盲区的总面积．（结果需化简） (2)若，求图中盲区的总面积． 题型十 多项式乘法 28．计算：． 29．化简：． 30．计算： (1)； (2)． 题型十一 已知多项式乘积不含某项求字母的值 31．若计算的结果中不含项，则常数的值为（   ） A． B． C．0 D．3 32．若等式恒成立，无论为何值，的值始终为定值，则这个定值为_____． 33．我们在学习多项式乘以多项式时，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为：，常数项为．那么一次项是什么呢？要解决这个问题，就是要确定一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项的系数就是，即一次项为． 请你参考上面的计算方法，解答下列问题： (1)计算求所得多项式的一次项系数； (2)如果计算所得多项式中不含一次项，求常数的值． 题型十二 多项式乘法与图形面积 34．在下面四个整式中，表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 35．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则这个长方形的面积为______． 36．综合与实践 活动主题：借助图形直观感受数与形之间的关系 初步应用 (1)如图，一个大长方形被分割为4个大小不同的小长方形，通过用两种不同方法计算大长方形的面积，可推导出整式乘法的运算规律，请用图中标注的字母写出对应的等式： ． 拓展创新 (2)仿照（1）中面积法的思路，画出图形，并计算． 迁移应用 (3)若式子无论x为多少时恒成立，求m的值． 题型十三 多项式乘法的化简求值 37．先化简，再求值：，其中． 38．先化简，再求值：，其中． 39．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 题型十四 多项式乘法的规律性问题 40．观察下列各式： ；…； 根据前面各式的规律可得到：______； ______． 41．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）： ， ， ， 则______________． 42．（1）计算下列式子： ①___________； ②___________． ③___________； ④___________． （2）从上面的计算中总结出规律：___________ （3）运用上面的规律，直接写出下列各式的结果： ①___________； ②___________． ③___________； ④___________． 题型十五 乘法公式 43．计算：． 44．化简： (1)； (2)． 45．计算： (1)； (2)． 题型十六 乘法公式与几何图形 46．有两类正方形A，B，其边长分别为a，b．现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，求： (1)根据图1和图2，得到______， ______． (2)小明想要拼一个两边长分别为和的长方形（不重不漏），除用去若干个正方形A，B外，还需要以a，b为边的长方形______个． (3)三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，求阴影部分的面积． 47．通常用“作差法”比较代数式的大小，即通过计算的值，就可以比较代数式，的大小． (1)图是边长为的正方形，将正方形一组对边不变，另一组对边增加，得到如图所示的新长方形，此长方形的面积为；将图中的正方形一组邻边长均增加得到如图所示的新正方形，此正方形的面积为．请直接写出与的大小关系是 ，并说明理由； (2)已知，，请说明与的大小关系． 48．【知识生成】：通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图①，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开：拼成图②的长方形．（用字母表示）． （1）比较图①和图②两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： ． 如图3大正方形的面积有两种表示方法可以得到乘法公式： ． 【问题探究】：（2）①已知，，则的值为 ． ②如图3，已知，，求的值． 题型十七 求完全平方式中的字母系数 49．已知是完全平方公式，则的值为（    ） A．4 B．4或 C．16 D． 50．已知关于的多项式是一个完全平方式，则的值是______． 51．定义一种新的运算：对于任意两个有理数，规定． 例如，；． 若为有理数，请解答下列问题： (1)若是一个完全平方式，求的值； (2)若，，求的值． 题型十八 通过对完全平方公式变形求值 52．若，，则________． 53．若，，则______． 54．已知．求： (1)的值； (2)的值． 题型十九 利用乘法公式配方求最值 55．把关于的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法在代数式求值，最值问题，解方程等问题中都有着广泛的应用．配方法的本质是完全平方公式的逆运用，即：． 例如：将配方如下：． 请根据阅读材料解决下列问题： 【初步应用】（1）用上面的方法对多项式配方； 【类比应用】（2）求代数式的最小值； 【拓展应用】已知，求的值． 56．阅读材料：把形如的二次三项式或其一部分配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法基本形式是完全平方公式的逆写，即． 例如：、、是的三种不同形式的配方即“余项”分别是常数项、一次项、二次项． 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方； (2)已知，，求的值； (3)当，何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ 57．把代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在代数式求值、解方程、求最值等都有广泛的应用，如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值． 所以当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题： (1)将变形为的形式_____________，则的最小值为_____________； (2)已知，求的值． 题型二十 同底数幂的除法运算及其逆用 58．已知：，求的值． 59．【课内回顾】如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如； ②底数为的整数指数幂，例如； ③底数为的偶数指数幂，例如． 【知识运用】 (1)若，则_________； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 60．已知（且是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 题型二十一 零指数幂与负整数指数幂 61．若，，，则它们的大小关系是（    ） A． B． C． D． 62．__________． 63．计算：． 题型二十二 幂的运算等于1的分类讨论问题 64．满足的整数n有几个（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 65．使的的值为__________． 66．若，求的值． 题型二十三 科学记数法 67．2025年，成都青羊金沙遗址文物保护团队运用纳米无损检测技术，精准复原三千年前古蜀金器纹样．已知1纳米0.000000001米，该文物扫描精度可达100纳米，则100纳米用科学记数法可表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 68．我国“嫦娥六号”探测器携带的微型激光测距仪，对月球表面测量的精度可达（）．用科学记数法表示这一测量的精度是________．蜂鸟是世界上最小的鸟，某只蜂鸟从头到尾的长度大约仅为，问最大的蜂鸟的长度相当于该测量的精度的_______倍． 69．新冠肺炎是由新型冠状病毒引起的，这种新型冠状病毒的直径约在纳米（1米纳米），那么140纳米用科学记数法可表示为_______米． 题型二十四 多项式除以单项式 70．若等式成立，则________． 71．设a为常数，多项式除以所得的余式为，则________． 72．已知，均为整式，，小马在计算时，误把“”抄成了“”，这样他计算的正确结果为． (1)求整式； (2)求的正确结果． 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（25-26七年级下·北京顺义·期中）下面运算结果正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·北京丰台·二模）近日，中国科学技术大学研制出了可编程量子计算原型机“九章四号”，其生成一个样本仅需25微秒，比当前全球最快的超级计算机快倍，进一步巩固了我国在光量子计算领域的世界领先地位．25微秒秒，将0.000025用科学记数法表示应为（    ）． A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·北京·期末）下列等式的变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（25-26九年级下·北京·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·北京顺义·期中）计算下列各式①；②；③；④，正确的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．（25-26七年级下·北京·期末）若，那么的取值范围为_______． 7．（25-26七年级下·北京顺义·期中）计算：_____． 8．（25-26七年级下·广东深圳·期中）若代数式是一个完全平方式，则实数______． 9．（25-26九年级下·北京顺义·期末）如果，那么代数式的值是______． 10．（25-26八年级上·甘肃甘南·期末）数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：，的地方被钢笔弄污了，你认为处应是______． 11．（25-26七年级下·北京顺义·期中）计算： (1) (2) 12．（25-26九年级下·北京·期中）如果，求代数式的值． 13．（25-26七年级下·北京延庆·期中）阅读下面材料： 材料一：比较和的大小 材料二：比较和的大小 解：因为，且，所以，即． 解：因为，且，所以，即． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较的大小； (2)比较的大小． 14．（24-25七年级下·江苏·期末）用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 15．（25-26七年级上·山东济南·期末）【知识生成】：通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图①，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开：拼成图②的长方形．（用字母表示）． （1）比较图①和图②两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： ． 如图3大正方形的面积有两种表示方法可以得到乘法公式： ． 【问题探究】：（2）①已知，，则的值为 ． ②如图3，已知，，求的值． 期末重难突破练（测试时间：15分钟） 16．（25-26七年级下·北京顺义·期中）若 ，则 的值是（     ） A．6 B．72 C．1 D． 17．（2026·北京海淀·二模）中国古代用“毫厘丝忽”表示极微细的事物，其中“毫”“厘”“丝”“忽”均为我国古代一种微小的长度计量单位．秦朝统一度量衡时，丝约为，则丝用科学记数法可表示为（     ） A． B． C． D． 18．（25-26七年级下·山东枣庄·期中）观察下列各式： 观察上面的规律计算：（   ） A． B． C． D．无法确定 19．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）若有理数、满足，则（   ） A． B． C． D． 20．（25-26八年级上·北京密云·期末）已知，若正方形M的边长为，其面积记为，长方形N的长为，宽为，其面积记为，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 21．（25-26七年级下·北京顺义·期中）计算：_____． 22．（25-26七年级下·北京顺义·期中）若关于x的二次三项式．是完全平方式，则m的值为________． 23．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：如：．若，那么的结果是______ 24．（20-21七年级下·湖南怀化·期中）观察：；，那么，________． 25．（25-26八年级上·北京·期末）如图，正方形的边长为，其中，，两个阴影部分都是正方形且面积和为60，则重叠部分的面积为____________． 26．（25-26七年级下·河南郑州·期中）若（且，m，n是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 27．（25-26七年级下·北京顺义·期中）先化简，再求值：，其中，． 28．（25-26七年级下·浙江台州·期中）爱思考的可可同学在学习“整式的乘法”时，给出“平衡多项式”的定义： 对于三个多项式（按顺序排列）：，，（其中，是非零常数），当是一个常数时，称这样的三个多项式是平衡多项式，的值是平衡因子． (1)根据“平衡多项式”的定义，试判断： ①，，______（是或不是）平衡多项式；②，，______（是或不是）平衡多项式； (2)已知，，是平衡多项式，求平衡因子． 29．（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，有A，B，C三种类型的卡片． (1)选取1张A型卡片，2张B型卡片，1张C型卡片，恰好拼成一个大正方形． ①请画出所拼大正方形的示意图； ②通过用不同方法表示大正方形的面积，可得到乘法公式为_________． (2)若用若干张A，B，C卡片（每种类型的卡片至少一张），恰好拼成一个大正方形，则使用的所有卡片的张数之和一定是一个完全平方数．请说明理由． 30．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)用含a，b的代数式分别表示、 (2)若，，求的值； (3)若图1中的，图3中，则的值为 ．（用含x，y的代数式表示） 期末综合拓展练（测试时间：20分钟） 31．（25-26八年级上·北京海淀·期中）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项式的乘方的展开式各系数规律（如图），称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）． 1             1  2  1          1  3  3   1        1  4  6   4    1         …                          …. 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（    ） A．1 B．6 C．15 D．20 32．（24-25七年级下·安徽马鞍山·期中）如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为．已知，且，则为（   ） A．24 B．22 C．26 D．31 33．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如果一个数等于两个连续偶数的平方差，那么我们称这个数为“和谐数”．例如：因为，所以12是“和谐数”．下列各数为“和谐数”的是(   ) A．48 B．50 C．52 D．54 34．（24-25八年级上·福建福州·期中）已知，则代数式的值是（    ） A．2 B．1 C． D．3 35．（24-25九年级下·甘肃张掖·期末）如图，在矩形中，，，点和点分别在和边上，并且，分别以和为边向上、向右作正方形，两个正方形的面积分别为和，且，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 36．（25-26七年级上·北京·期中）定义新运算“”：对于任意有理数，都有，且有括号先做括号内的运算．例如，那么______；当为有理数时，______． 37．（25-26七年级上·北京·期中）在长方形纸片中，，，将两张边长分别为和的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．若，则_____． 38．（24-25七年级下·安徽六安·期中）阅读下面例题的解题过程：例：已知，，请你用含m，n的代数式表示． 解：因为知，，所以． （1）一位同学发现解答此例题还有另一种思路，请你补全解题答案：______； （2）解决问题：若，，试用含a，b的代数式表示______． 39．（25-26七年级下·北京顺义·期中）“杨辉三角”给出了展开式的系数规律（其中为正整数，展开式的项按的数降幂排列），它的构造规则是：两腰上都是数字1，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和．例如：展开式的项的系数，，与“杨辉三角”第三排对应；展开式的项的系数，，，与“杨辉三角”第四排对应；依此类推…下列说法正确的有____________（填序号） ①“杨辉三角”第一排是，第六排数字依次是：，，，，，1； ②当，时，代数式的值为； ③展开式中所有系数之和为； ④当代数式的值为时，． 40．（25-26八年级上·北京·期中）已知50个数从，0，1中取值．若，且，则： （1）中0的个数是___________； （2）的值为___________． 41．（24-25七年级下·江苏·期末）阅读下列材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法．①比较，的大小．当时，，当底数相同时，指数越大值越大．②比较和的大小．，，，．可以将其先化为同指数，再比较大小，指数相同时，底数越大值越大．根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：________（填写“＞”“＜”或“＝”）． (2)已知，，，试比较，，的大小． 42．（25-26八年级上·山东济宁·期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． (1)请写出图，图，图阴影部分的面积分别能解释的乘法公式． 图：___________，图：___________，图：__________ (2)根据上述图中你探索发现的结论，完成下列计算： 已知，，求代数式①；②的值． (3)若，求的值． 43．（25-26七年级下·江苏·单元测试）【阅读理解】 若满足，求的值． 解：设，，则，， 所以． 【解决问题】 （1）若满足，求的值； （2）若满足，求的值． 44．（25-26八年级上·北京西城·期末）有这样一组按规律依次排列的正整数：，，，其中每个数都能表示为两个连续正奇数的平方差，我们称这样的数为“特征数”，记按上述顺序排列的第个“特征数”为（为正整数）． (1)将表示为两个连续正奇数的平方差：______－______； (2)求证：对于任意的正整数，一定能被8整除； (3)已知是第个“特征数”，判断是否为“特征数”，如果是，求出它是第几个“特征数”（用含的式子表示）；如果不是，说明理由． 45．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）我们知道，，关于这个公式的推导方法，有很多，比如说小高斯的故事．下面我们利用以前学过的公式，给出另外一种推导方法： 首先，我们知道：， 变形一下，就是， 依次给一些特殊的值：，，，，我们就能得到下面一列式子： ； ； ； ； 观察这列式子，如果把它们所有的等式两端左右相加，抵消掉对应的项，我们可以得到，观察这个式子，等式右边小括号内的式子，不就是我们要求的吗？把它记为就是：，把表示出来，得到：．用这个思路，可以求很多你以前不知道的和，请你仿照这个推导思路，推导一下的值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $