专题01 一元一次不等式和一元一次不等式组15大题型（期末复习讲义）七年级数学下学期新教材北京版

专题01 一元一次不等式和一元一次不等式组（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 不等式的定义 题型02 不等式的性质 题型03 不等式的解集 题型04 求一元一次不等式的解集 题型05 数轴上表示不等式的解集 题型06 求一元一次不等式的整数解 题型07 列一元一次不等式 题型08 用一元一次不等式解决问题 题型09 求不等式组的解集 题型10 求一元一次不等式组的整数解 题型11 由一元一次不等式组的解集情况求参数 题型12 不等式组和方程组结合的问题 题型13 列一元一次不等式组 题型14 一元一次不等式组的实际应用 题型15 一元一次不等式（组）的新定义问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 不等式的定义 理解并掌握不等式的定义、相关概念及基本性质，能正确辨析不等式与等式的区别，会用不等式表示不等关系并进行简单判断与应用。 基础考点，常出现在小题，2分左右 不等式的性质 掌握不等式的基本性质，能正确运用性质进行不等式变形，尤其注意乘除负数时不等号方向改变，为解不等式奠定基础。 核心考点，常与其他知识点一起考查，分值大概在3分左右 不等式的解集 理解不等式解集的定义，能正确求出解集并在数轴上规范表示，区分实心点与空心圈，为解不等式组打好基础。 基础考点，注意不等式解集的表示，常出现在解答题，大概在3分左右 一元一次不等式的整数解 掌握求一元一次不等式整数解的方法，先正确求解集，再准确找出范围内所有符合条件的整数。 重要考点，主要在小题考查，分值在2分左右 用一元一次不等式解决问题 能根据实际问题列出一元一次不等式并求解，结合题意检验结果，解决简单的不等关系应用问题。 基本考点，主要在解答题考查，分值在3分左右 求不等式组的解集 掌握一元一次不等式组的解法，会分别解每个不等式、利用数轴确定公共解集，熟记 “同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到” 的口诀。 核心考查点，一般在计算题考查，分值在5分左右 由一元一次不等式组的解集情况求参数 掌握根据一元一次不等式组的解集存在性、边界情况，逆向求解参数取值范围，注意等号是否成立的临界判断。 核心考查点，注意含参问题的解决方法，一般在小题考查，分值在2分左右 不等式组和方程组结合的问题 掌握方程组与不等式组的综合运算，先解方程组得到含参数的表达式，再代入不等式组求参数范围或特殊解。 重要考查点，一般在小题考查，2分左右 一元一次不等式组的实际应用 能从实际问题中抽象出一元一次不等式组，正确列、解并结合题意检验解集，确定符合实际的方案或最值。 核心考查点，一般在解答题出现，5分左右 知识点01 不等式 不等式的定义：用符号“＞”、“＜”表示大小关系的式子，叫做不等式，像x≠2这样用符号“≠”表示的不等关系的式子也叫不等式. 常见的不等式基本语言与符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 a是正数 a＞0 a是非正数 a≤0 a、b同号 ab＞0 a是负数 a＜0 a是非负数 a≥0 a、b异号 ab＜0 知识点02 不等式的解及解集 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. 不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示. 不等式表示 x＞a x＜a x≥a x≤a 数轴表示 【易错点】用数轴上表示不等式的解集时，要注意两点： 1）确定边界点，若边界点表示的数是不等式的解，用实心圆点，若边界点表示的数不是不等式的解，则用空心圆圈； 2）确定方向，小于边界点表示的数时向左画，大于边界点表示的数时向右画. 解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式. 知识点03 不等式的性质 性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变 若a＞b，则a±c＞b±c 性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 若a＞b，c＞0，则ac＞bc（或） 性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不 等号的方向改变 若a＞b，c＜0，则ac＜bc（或） 【补充说明】运用不等式的性质的注意事项： 1）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算． 2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子． 3）在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清楚这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号要改变方向. 4）所谓不等号方向改变，就是指原来的不等号方向改变成与其相反的方向，如“＞”改变方向后就变成“＜”. 知识点04 一元一次不等式 1.一元一次不等式 定义：一般地，不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，不等式的左右两边都是整式，像这样的不等式叫一元一次不等式. 一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1. 一元一次不等式的一般形式：或. 2.一元一次不等式的解集及表示方法 定义：一元一次不等式的所有解组成的集合，叫做一元一次不等式的解集. 表示方法：1）用不等式表示.2）用数轴表示. 3.解一元一次不等式的一般步骤为： 步骤 具体做法 注意事项 去分母 在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数，得到系数为整数的不等式 1、不要漏乘不含分母的项； 2、当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3、如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1、去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项，不要漏乘； 2、若括号外是负号时，去掉括号后括号内的各项负号都要改变符号.. 移项 一般把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边 1、移项时不要漏项; 2、将不等式中的项从一边移到另一边要变号，而在不等式同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把不等式变为、 的形式 1、不要漏项； 2、系数的符号处理要得当. 3、字母及指数保持不变. 系数化为1 将不等式化为的形式 1、不等式两边都除以未知数系数; 2、当系数为负数，不等号的方向发生改变. 【补充说明】在解一元一次不等式时，上述的五个步骤不一定都能用到，并且也不一定按照自上而下的顺序，要根据不等式的形式灵活安排求解步骤. 知识点05 一元一次不等式组 1.一元一次不等式组 定义：关于同一个未知数的几个一元一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组. 2.一元一次不等式组的解集 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集．解不等式组就是求它的解集. 【补充】 1、如果不等式的解集无公共部分，就说这个不等式组无解. 2、在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的.确定方法如下表所示： 不等式组 设a＞b 解集 x＞a x＜b 无解 数轴上的表示 口诀 同大取大 同小取小 大大小小无处找 大小，小大中间找 3.解一元一次不等式组的一般步骤 第一步：求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 知识点06 一元一次不等式（组）的实际应用 用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤： 审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； 设：设出适当的未知数； 列：根据题中的不等关系，列出不等式； 解：解所列的不等式； 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 一元一次不等式（组）的应用题的关键语句： 1、列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2、对一些实际问题的分析还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本，设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式6x≤50. 3、在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上． 题型一 不等式的定义 易｜错｜点｜拨 用不等号连接的式子才是不等式，含等号不是；未知数取值只要满足不等关系即可，别误把单一数值当作唯一解，区分不等式与等式、代数式。 1．下列选项中，是不等式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．已知“①；②；③；④；⑤”属于不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型二 不等式的性质 易｜错｜点｜拨 不等式两边同乘除负数时，必须改变不等号方向，这是最易出错点；乘除 0 会直接变成等式，不可忽略。不能随意加减、乘除含字母的式子，要先判断字母正负；传递性质使用时，不等号方向需全程一致，切勿颠倒。 4．下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．如果，那么下列不等式中正确的是（     ） A． B． C． D． 6．已知实数，满足，，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 题型三 不等式的解集 易｜错｜点｜拨 解集是所有满足不等式未知数的全体，不是单个数值。数轴表示时空心圈不含端点、实心点含端点易混淆；解连写不等式时不等号方向不能乱。不要把整数解、正整数解等同全部解集，审题看清限制条件，化简后再准确标注范围。 7．某不等式的解集是，下列表述不正确的是（   ） A．0是这个不等式的解． B．不是这个不等式的解． C．大于的数都是这个不等式的解． D．小于的数都不是这个不等式的解． 8．下列说法中，正确的是（   ）． A．方程和不等式的解是一样的 B．不是不等式的解 C．是不等式的一个解 D．是不等式的解集 9．请写出满足下列条件的一个不等式：使得，，0，1都是该不等式的解：________． 题型四 求一元一次不等式的解集 易｜错｜点｜拨 去分母勿漏乘常数项，去括号注意负号变号；移项牢记变号，系数化为 1 时分负要翻转不等号。数轴区分实心空心，常误将整数解当作全部解集，计算细心防止符号与计算失误。 10．解不等式：． 11．解方程、不等式 (1)解方程：； (2)解不等式：． 12．解不等式：． 题型五 数轴上表示不等式的解集 13．解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 14．解不等式：并把解集在数轴上表示出来． 15．解不等式，并在数轴上表示解集： (1)； (2)． 题型六 求一元一次不等式的整数解 易｜错｜点｜拨 先正常求出不等式解集，再从中筛选整数。极易直接把解集端点当作整数解，端点不含时要舍去；审题分清正整数、负整数、非负整数等限定。数轴标记辅助排查，别漏边界附近整数，计算解集出错会连带整数解全部偏差。 16．已知代数式 减去的值大于1，求出x的取值范围，并写出x的最大整数值． 17．求不等式的最小整数解． 18．解不等式：，并写出它的所有正整数解． 题型七 列一元一次不等式 19．为普及相关科技知识，某校举办了人工智能AI知识竞答活动．一共25道题．每一题答对得4分，答错或不答扣2分．设答对了道题，若得分不低于80分，可列出关于的不等式是（    ） A． B． C． D． 20．某校计划举办“五一启智游”活动，为了丰富活动内容，学校计划购买，两款纪念品共件，已知款纪念品的单价为元，款纪念品的单价________，要求总费用不超过元．设购买件款纪念品，可列不等式．则横线处应填写的内容为（   ） A．比款纪念品的单价多元 B．比款纪念品的单价少元 C．是款纪念品单价的倍 D．是款纪念品单价的一半 21．某校举行定点投篮趣味赛，在较远位置投中球得5分（称“五分球”），在较近位置投中球得3分（称“三分球”），未投中得0分．小敏同学共投篮次，其中次未投中，最终得分不低于70分．若设小敏同学投中了个五分球，则可列出的不等式为________． 题型八 用一元一次不等式解决问题 易｜错｜点｜拨 审题找准不等关键词，至少、至多、不大于、不少于对应不同不等号；设未知数不带不等表述，列式别混淆数量关系。求出解集后结合实际取舍，人数、物品数须取正整数，不可直接照搬解集，最后完整作答检验合理性。 22．某学校八年级同学到劳动基地进行实践活动，第一天的任务是用100斤黄豆磨豆浆．由于操作不熟练，开始的半小时只磨完9斤黄豆，基地要求完成全部任务的时间不超4小时，若设在剩余时间内每小时需磨完斤黄豆，则可列一元一次不等式为______． 23．一部电梯的额定限载量为，甲、乙两人用电梯把一批货物从一楼搬到六楼．已知甲、乙两人的体重分别为和，货物每箱质量为，若两人一起乘梯搬货物，则一次最多搬运________箱货物． 24．2026年3月12日是我国第48个植树节，主题“履行植树义务，共建美丽中国”．鹰潭二中某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵． (1)求该班的学生人数； (2)这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元．购买这批树苗的总费用没有超过5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？ 题型九 求不等式组的解集 易｜错｜点｜拨 分别解两个不等式后再取公共部分，口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到。数轴实心空心别弄混；容易只解单个不等式忘记求交集，无公共部分要写无解，别漏检验端点是否可取。 25．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 26．解不等式组：，并写出它的所有整数解． 27．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 题型十 求一元一次不等式组的整数解 28．解不等式组，并求出整数解． 29．解不等式组：，在数轴上表示它的解集，并求出它的所有整数解的和． 30．解不等式组：并写出全部整数解，请结合题意填空，完成本题的解答． 解：解不等式①，得：_______， 解不等式②，得：______， ∴原不等式组的解集为________，故原不等式组的整数解为________． 题型十一 由一元一次不等式组的解集情况求参数 易｜错｜点｜拨 端点是否取等号最易错，要单独检验 分清同大取大、同小取小，别搞反参数范围 无解与有解、整数解存在性，边界临界必验证 先画数轴再定范围，别凭感觉写答案 31．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”． 例如：方程的解为，不等式组的解集为，可以发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相伴方程”． 【问题解决】 (1)在方程①，②中，不等式组的“相伴方程”是_____（填序号）； (2)若关于x的方程是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围； (3)若方程，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，请求出m的取值范围． 32．定义：若两个不等式（组）存在整数解且完全一致，则称这两个不等式（组）“互为等值整数组”． 例：不等式组的解集为，其整数解为大于等于的整数；不等式的解集为， 其整数解也为大于等于的整数．因此，不等式组与不等式“互为等值整数组”． (1)下列不等式（组）中与“互为等值整数组”的是 （填写正确结论的序号）； ①，②，③． (2)已知关于的不等式组与“互为等值整数组”，且是整数，请求出的值； (3)已知关于的不等式组与“互为等值整数组”，请求出的取值范围． 33．阅读下列材料： 问题：已知，且，，试确定的取值范围． 解：∵，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴ ∴，即， 得，∴的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，， ①试确定y的取值范围； ②试确定的取值范围 (2)已知，且，，若根据上述做法得到的取值范围是，请求出的值． 题型十二 不等式组和方程组结合的问题 易｜错｜点｜拨 先解方程组求字母表达式，再代入不等式组，顺序别反 计算方程组时符号、系数别算错，一步错全错 解含参数不等式时，乘除负数勿忘变号 最后结果要同时满足两个范围，别漏交集 34．已知关于的方程组 (1)方程组的解均为非负数，求的取值范围； (2)在（1）的条件下，化简：． 35．关于x、y的方程组的解满足x、y均为负数． (1)求m的取值范围； (2)在（1）的条件下关于的不等式的解为，求m的整数值． 36．小明同学在解决关于x、y的二元一次方程组的解满足，求a的取值范围的问题中是这么做的：将方程①+②：得，进而，又．代入得：，，，即的取值范围为． 你能用小明的方法解决下列问题吗？ 已知方程组的解满足． (1)求a的取值范围； (2)求a为何整数时，不等式的解集为？请直接写出a的整数值______． 题型十三 列一元一次不等式组 37．野生兰草适宜生长在温度为的山区．已知海拔每升高，气温下降5℃，现测得某地区的气温为24℃，海拔为．设野生兰草在海拔高度为的山区较适宜，则所列下面不等式组中正确的是（    ） A． B． C． D． 38．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A． B． C． D． 39．小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下： ①将诗词分成4组，第组有首，，2，3，4； ②对于第组诗词，第天背诵第一遍，第天背诵第二遍，第天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，，2，3，4； 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第1组 第2组 第3组 第4组 ③每天最多背诵10首，最少背诵3首． 解答下列问题： （1）若，，，则的取值为________； （2）7天后，小云背诵的诗词最多为________首． 题型十四 一元一次不等式组的实际问题 40．“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议，某童装厂准备生产L、M两种型号的童装销往“一带一路”沿线国家和地区．现工厂有甲种布料38米，乙种布料26米．计划用这两种布料生产这两种型号的童装50套进行市场调研．已知做一套L型号的童装需甲种布料0.5米、乙种布料1米，可获利50元；做一套M型号的童装需甲种布料0.9米、乙种布料0.2米，可获利30元． (1)按要求安排L、M两种型号的童装的生产套数，有哪几种方案?请你设计出来； (2)在你设计的方案中，哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？ 41．某网店销售甲、乙两种遮阳帽，进价和售价格如表所示． 名称 甲种遮阳帽 乙种遮阳帽 进价（元/顶） 30 15 售价（元/顶） 40 20 根据上面提供的信息，解答下列问题． (1)根据消费者需求，该网店决定用不超过2280元购进甲、乙两种遮阳帽共100顶，且甲种遮阳帽的数量超过乙种遮阳帽的数量，则购进甲、乙两种遮阳帽有多少种进货方案？ (2)在（1）的条件下，哪种进货方案可使获利最大？最大利润是多少元？ 42．“低碳生活”是指减少二氧化碳的排放，低能量、低消耗、低开支的生活方式．生活中，一方面要采取低碳生活的方式，减少碳排放；另一方面是通过一定“碳补偿”措施，来达到平衡．查阅相关资料可确定每一“种类”消耗的碳排放系数，进而得到相应的排碳计算公式． 家居用电的二氧化碳排放量耗电量 家用自来水二氧化碳排放量自来水使用量 乘公交车的二氧化碳排放量行驶距离 驾驶汽车的二氧化碳排放量行驶距离 碳排放量 碳足迹数据标示 20.2 20 20.8 20 21 20或22皆可 23.1 24 (1)小明家某月耗电 ，用自来水，则这两项的二氧化碳排放总量是 ； (2)小明想为我国“碳中和”的实现贡献自己的力量，他决定上下学时从乘坐汽车改为乘公交车．已知小明每天上下学乘坐汽车或乘公交车的往返距离共为，与乘坐汽车相比，每天乘公交车上下学可以减少产生碳排放量 ．植树造林也是实现“碳中和”的一种重要手段．树木通过光合作用吸收二氧化碳，并将其转化为氧气和有机物，中和碳排放．一棵树一年大约吸收二氧化碳．若小明决定在 学年均乘公交车上下学，已知该学年到校时间共182天，那么他减少的碳排放量大约相当于种植了 棵树（结果四舍五入到个位）； (3)碳足迹标签是一种碳排放量的标示方式，让大众了解某一产品或服务所产生的碳排放量多少．碳足迹标签的数据标示有其规定，以碳排放量大于 （千克二氧化碳当量）且不超过 为例，此范围内的碳足迹数据标示只有20，22，24，……，38，等11个偶数．碳足迹数据标示决定于碳排放量与这11个偶数之中的哪一个差距最小，两者对应标示的范例如表所示． ① 若有一个产品的碳足迹数据标示为 ，则它可能的碳排放量的最大值为 ； ②当①中产品的碳排放量减少为原来的时，此产品碳足迹数据的标示可能是 ． 题型十五 一元一次不等式（组）的新定义问题 43．定义一种新运算“”∶当时，；当时，．例如： ， (1)__________________，________________ (2)已知，求的取值范围． 44．定义：三个关于的整式、、，若的解集为，则称它们构成“不等式”．例如：三个整式，，，有的解集为，则称，，构成“不等式”． (1)整式、、，可以构成“不等式”吗？请说明理由． (2)若三个关于的整式、、，可以构成“不等式”，求的值． (3)若，，构成“不等式”，求关于的不等式组的解集． 45．新定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)在方程①；②中，关于的不等式组的“关联方程”是__________；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围． 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（25-26七年级下·北京通州·期中）某不等式的解集是，其在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·北京·期中）若，则下列不等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·北京顺义·期中）已知，下列不等式错误的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·北京怀柔·期中）小明的体重是，小亮的体重是，小明的肺活量是，小亮的肺活量是，肺活量体重指数公式是肺活量体重，小明比小亮的肺活量体重指数至少大1，则下列不等式表达正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·全国·单元测试）关于x的不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·北京西城·期中）“x的3倍与2的差小于”所对应的不等式是______． 7．（25-26七年级下·北京·期中）若，则的取值范围是__________，你推理的依据是__________． 8．（25-26七年级下·北京·期中）“的2倍与3的差不小于6”用不等式表示为_____． 9．（25-26七年级下·北京昌平·期中）下面的框图表示解不等式的流程，其中“系数化为1”的结果是_______，这一步骤的依据是_______． 10．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知，则关于的不等式组的所有整数解的积是________． 11．（2026·北京西城·二模）解不等式组： 12．（25-26七年级下·北京西城·期中）解不等式组，在数轴上表示解集并写出它的所有整数解． 13．（25-26七年级下·北京·期中）解不等式：，并在数轴上表示出其解集． 14．（2025九年级下·贵州·专题练习）下面是小星同学解不等式的过程： 解：去分母，得：．．．．．．．．．．．第一步 去括号，得：．．．．．．．．．．．第二步 移项，得：．．．．．．．．．．．．第三步 合并同类项，得：．．．．．．．．．．．第四步 系数化为1，得：．．．．．．．．．．．．第五步 ①小星同学的解答过程从第_______步开始出错； ②请写出你认为正确的解答过程． 15．（25-26八年级上·浙江台州·期末）为了让更多的同学参与到课外活动中去，某校计划购买羽毛球拍和乒乓球拍这两种体育用品．已知商店每副羽毛球拍的售价是50元，每副乒乓球拍的售价是42元，如果该校要购进羽毛球拍和乒乓球拍共100副，且总费用不超过4500元，那么该校最多能购进羽毛球拍多少副？ 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 16．（25-26七年级下·北京·阶段检测）已知关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17．（2026·北京朝阳·二模）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数满足，则的值可以是（     ） A． B． C．0 D．2 18．（25-26七年级下·北京顺义·期中）如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有2个非负整数解，则a的取值范围是（） A． B． C． D． 19．（25-26七年级下·北京通州·期中）已知关于的不等式组，甲、乙两位同学分别得出以下结论：甲：如果不等式组有且仅有一个整数解，那么的取值范围是；乙：如果，那么此不等式组无解．其中下列判断正确的是（   ） A．甲、乙都对 B．甲错，乙对 C．甲对，乙错 D．甲、乙都错 20．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．（25-26七年级下·北京通州·期中）已知关于的不等式的每一个解都能使成立，那么的取值范围是_______． 22．（25-26七年级下·北京房山·期中）定义一种新运算“★”．规定．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是________． 23．（25-26七年级下·北京通州·期中）已知关于，的二元一次方程组的解满足，那么的取值范围为_______． 24．（25-26七年级下·北京西城·期中）如果关于x的不等式组有且只有4个整数解，则a的取值范围是______． 25．（25-26七年级下·北京昌平·期中）对于任何数，符号表示不大于的最大整数，例如：． （1）_______． （2）如果，则满足条件的所有整数的和为_______． 26．（2026·北京石景山·二模）解不等式组：． 27．（25-26七年级下·北京·阶段检测）解下列不等式（组） (1)解不等式； (2)解不等式组． 28．（25-26七年级下·北京通州·期中）定义一种新运算“”∶当时，；当时，．例如： ， (1)__________________，________________ (2)已知，求的取值范围． 29．（25-26七年级下·北京通州·期中）剪纸是我国著名的非物质文化遗产，学校准备购进两种样式的剪纸用于课外拓展课，A种剪纸每幅10元、B种剪纸每幅8元，计划购进两种类型剪纸共100幅，购买预算不超过900元，且购进的B种剪纸数量不大于A种剪纸数量的2倍，则至少购进A种剪纸多少幅？ 30．（25-26七年级下·广西玉林·期末）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的关联方程． (1)在方程①，②，③中，不等式组的关联方程是__________；（填序号） (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是__________；（写出一个即可） (3)若方程，都是关于的不等式组的关联方程，求的取值范围． 期末综合拓展练（测试时间：20分钟） 31．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）已知，且，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．（24-25八年级上·广西贵港·期末）对一个实数按如图所示的程序进行操作，计算机运行从“输入一个实数”到“判断结果是否大于190？”为一次操作，如果操作恰好进行两次操作才停止，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 33．（24-25七年级下·江西宜春·期末）关于，二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 34．（24-25七年级下·河南周口·阶段检测）对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则，如，给出下列关于的结论：①；②；③；④若，则实数的取值范围是；⑤满足的非负数只有两个．正确结论的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 35．（24-25七年级下·四川内江·期中）若关于的不等式组的所有整数解之和等于20，则所有满足条件的整数的值之和为（　　） A．15 B．21 C． D．24 36．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于x的不等式组的解为，则a的取值范围为__________． 37．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）某超市开展促销活动，一次性购买的商品超过88元时，就可享受打折优惠．小明同学准备为班级购买奖品，需买6本笔记本和若干支钢笔．已知笔记本每本4元，钢笔每支7元，如果小明想享受打折优惠，那么至少买钢笔__________支． 38．（24-25七年级下·北京·期末）对于实数、（其中），不等式的解集构成“的邻域”． （1）不等式的解集构成“_______的________邻域”； （2）不等式的解集构成“的2邻域”，不等式的解集构成“2的1邻域”，若由、组成的不等式组的解集构成“的邻域”，则的取值范围是_________． 39．（24-25七年级下·北京丰台·期末）3月14日被命名为“国际数学日”，某校在当日举办了数学节活动，分为“数独”和“24点速算”两项比赛．为鼓励学生积极参加，设置了班级参与奖，要求每名学生至少参加一项比赛，获得个人参与积分后再进行累加，记作班级参与积分，个人积分规则如下表： 参加比赛的数量 每人获得的积分 参加两项 10分 只参加一项 4分 （1）七年级1班共32人，有8人参与了两项活动，则此班级获得的参与积分为______； （2）在（1）的条件下，七年级2班学生经过测算，若报名22人参加“数独”，14人参加“24点速算”，可得积分156分．若仍是22人报名参加“数独”，2班积分想要超过1班积分，则至少需要______人报名参加“24点速算”． 40．（2025·北京西城·二模）小林驾车去某地办事，目的地附近有甲、乙两个停车场．已知小林停车时间不超过24小时．甲停车场收费标准是： 停车时长（单位：小时） 收费标准（单位：元） 免费 5 10 15 18 24 乙停车场收费标准是；每小时2元（不足1小时按1小时收费）． （1）若小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出，则小林需交的停车费是______元； （2）若小林将车停到乙停车场，且停车费比停在甲停车场更优惠，则小林停车时间最长为______小时， 41．（25-26八年级下·北京怀柔·期中）在某班元旦联欢会上组织了一个竞答活动，随机抽10道题，答对一道题得5分，答错一道题扣3分，10道题都必须答完．若得分不低于10分可得一个奖品，得分不低于20分可得两个奖品，以此类推．请回答下面的问题： (1)若小莹得18分，她答对多少题？ (2)小莹至少答对多少道题可以获得奖品？ 42．（25-26七年级下·北京延庆·期中）给出如下定义：如果一个未知数的值使得方程和不等式（组）同时成立，那么这个未知数的值称为该方程与不等式（组）的“伴随解”． 例如：已知方程和不等式，对于未知数，当时，使得，同时成立，则称是方程与不等式的“伴随解”． (1)是否是方程与不等式的“伴随解”？___________（填“是”或“否”） (2)是方程与不等式（组）①，②，③中___________的“伴随解”．（只填序号） (3)如果是关于的方程与关于的不等式组的“伴随解”，那么___________，的取值范围是___________． (4)如果是关于的方程与关于的不等式组的“伴随解”，直接写出的取值范围． 43．（25-26七年级下·全国·期末）定义：给定两个不等式组和，若不等式组的任意一个解，都是不等式组的一个解，则称不等式组为不等式组的“子集”． 例如：不等式组是不等式组：的“子集”． (1)若不等式组，不等式组，则其中不等式组________是不等式组的“子集”（填“”或“”）； (2)若关于的不等式组是不等式组的“子集”，则的取值范围是多少？ 44．（25-26七年级上·北京延庆·期末）小明在解关于的一元一次方程时，发现正整数被遮挡 (1)小刚猜“”是3，请解一元一次方程． (2)若老师告诉小刚这个方程的解是正整数，则被遮挡的正整数是多少？ 45．（25-26七年级下·北京顺义·期中）若关于x的一个一元一次不等式组的解集为（a，b为常数，且），则称为这个不等式组的“解集中点”．若一个一元一次方程的解与一个一元一次不等式组的“解集中点”相等，则称这个一元一次方程为此一元一次不等式组的“中点关联方程”． (1)在方程①，②中，不等式组的“中点关联方程”是______（填序号）． (2)已知不等式组，请写出这个不等式组的一个“中点关联方程”：______． (3)若关于x的不等式的解满足大于不等式组的“解集中点”的整数x恰好有3个，求m的取值范围． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元一次不等式和一元一次不等式组（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 不等式的定义 题型02 不等式的性质 题型03 不等式的解集 题型04 求一元一次不等式的解集 题型05 数轴上表示不等式的解集 题型06 求一元一次不等式的整数解 题型07 列一元一次不等式 题型08 用一元一次不等式解决问题 题型09 求不等式组的解集 题型10 求一元一次不等式组的整数解 题型11 由一元一次不等式组的解集情况求参数 题型12 不等式组和方程组结合的问题 题型13 列一元一次不等式组 题型14 一元一次不等式组的实际应用 题型15 一元一次不等式（组）的新定义问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 不等式的定义 理解并掌握不等式的定义、相关概念及基本性质，能正确辨析不等式与等式的区别，会用不等式表示不等关系并进行简单判断与应用。 基础考点，常出现在小题，2分左右 不等式的性质 掌握不等式的基本性质，能正确运用性质进行不等式变形，尤其注意乘除负数时不等号方向改变，为解不等式奠定基础。 核心考点，常与其他知识点一起考查，分值大概在3分左右 不等式的解集 理解不等式解集的定义，能正确求出解集并在数轴上规范表示，区分实心点与空心圈，为解不等式组打好基础。 基础考点，注意不等式解集的表示，常出现在解答题，大概在3分左右 一元一次不等式的整数解 掌握求一元一次不等式整数解的方法，先正确求解集，再准确找出范围内所有符合条件的整数。 重要考点，主要在小题考查，分值在2分左右 用一元一次不等式解决问题 能根据实际问题列出一元一次不等式并求解，结合题意检验结果，解决简单的不等关系应用问题。 基本考点，主要在解答题考查，分值在3分左右 求不等式组的解集 掌握一元一次不等式组的解法，会分别解每个不等式、利用数轴确定公共解集，熟记 “同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到” 的口诀。 核心考查点，一般在计算题考查，分值在5分左右 由一元一次不等式组的解集情况求参数 掌握根据一元一次不等式组的解集存在性、边界情况，逆向求解参数取值范围，注意等号是否成立的临界判断。 核心考查点，注意含参问题的解决方法，一般在小题考查，分值在2分左右 不等式组和方程组结合的问题 掌握方程组与不等式组的综合运算，先解方程组得到含参数的表达式，再代入不等式组求参数范围或特殊解。 重要考查点，一般在小题考查，2分左右 一元一次不等式组的实际应用 能从实际问题中抽象出一元一次不等式组，正确列、解并结合题意检验解集，确定符合实际的方案或最值。 核心考查点，一般在解答题出现，5分左右 知识点01 不等式 不等式的定义：用符号“＞”、“＜”表示大小关系的式子，叫做不等式，像x≠2这样用符号“≠”表示的不等关系的式子也叫不等式. 常见的不等式基本语言与符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 a是正数 a＞0 a是非正数 a≤0 a、b同号 ab＞0 a是负数 a＜0 a是非负数 a≥0 a、b异号 ab＜0 知识点02 不等式的解及解集 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. 不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示. 不等式表示 x＞a x＜a x≥a x≤a 数轴表示 【易错点】用数轴上表示不等式的解集时，要注意两点： 1）确定边界点，若边界点表示的数是不等式的解，用实心圆点，若边界点表示的数不是不等式的解，则用空心圆圈； 2）确定方向，小于边界点表示的数时向左画，大于边界点表示的数时向右画. 解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式. 知识点03 不等式的性质 性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变 若a＞b，则a±c＞b±c 性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 若a＞b，c＞0，则ac＞bc（或） 性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不 等号的方向改变 若a＞b，c＜0，则ac＜bc（或） 【补充说明】运用不等式的性质的注意事项： 1）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算． 2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子． 3）在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清楚这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号要改变方向. 4）所谓不等号方向改变，就是指原来的不等号方向改变成与其相反的方向，如“＞”改变方向后就变成“＜”. 知识点04 一元一次不等式 1.一元一次不等式 定义：一般地，不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，不等式的左右两边都是整式，像这样的不等式叫一元一次不等式. 一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1. 一元一次不等式的一般形式：或. 2.一元一次不等式的解集及表示方法 定义：一元一次不等式的所有解组成的集合，叫做一元一次不等式的解集. 表示方法：1）用不等式表示.2）用数轴表示. 3.解一元一次不等式的一般步骤为： 步骤 具体做法 注意事项 去分母 在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数，得到系数为整数的不等式 1、不要漏乘不含分母的项； 2、当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3、如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1、去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项，不要漏乘； 2、若括号外是负号时，去掉括号后括号内的各项负号都要改变符号.. 移项 一般把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边 1、移项时不要漏项; 2、将不等式中的项从一边移到另一边要变号，而在不等式同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把不等式变为、 的形式 1、不要漏项； 2、系数的符号处理要得当. 3、字母及指数保持不变. 系数化为1 将不等式化为的形式 1、不等式两边都除以未知数系数; 2、当系数为负数，不等号的方向发生改变. 【补充说明】在解一元一次不等式时，上述的五个步骤不一定都能用到，并且也不一定按照自上而下的顺序，要根据不等式的形式灵活安排求解步骤. 知识点05 一元一次不等式组 1.一元一次不等式组 定义：关于同一个未知数的几个一元一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组. 2.一元一次不等式组的解集 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集．解不等式组就是求它的解集. 【补充】 1、如果不等式的解集无公共部分，就说这个不等式组无解. 2、在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的.确定方法如下表所示： 不等式组 设a＞b 解集 x＞a x＜b 无解 数轴上的表示 口诀 同大取大 同小取小 大大小小无处找 大小，小大中间找 3.解一元一次不等式组的一般步骤 第一步：求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 知识点06 一元一次不等式（组）的实际应用 用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤： 审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； 设：设出适当的未知数； 列：根据题中的不等关系，列出不等式； 解：解所列的不等式； 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 一元一次不等式（组）的应用题的关键语句： 1、列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2、对一些实际问题的分析还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本，设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式6x≤50. 3、在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上． 题型一 不等式的定义 易｜错｜点｜拨 用不等号连接的式子才是不等式，含等号不是；未知数取值只要满足不等关系即可，别误把单一数值当作唯一解，区分不等式与等式、代数式。 1．下列选项中，是不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“用不等号连接表示不等关系的式子是不等式”即可逐一判断选项． 【详解】解：是用等号连接的等式，不符合不等式定义，A不符合要求； 没有连接不等号表示不等关系，不符合不等式定义，B不符合要求； 是用不等号连接，表示不等关系的式子，符合不等式定义，C符合要求； 是用等号连接的等式，不符合不等式定义，D不符合要求． 2．下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解： ①，② ，⑤，⑥都含有不等号，是用不等号连接表示不等关系的式子，属于不等式；③是等式，④是代数式，都不是不等式，所以不等式共有4个． 3．已知“①；②；③；④；⑤”属于不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】根据不等式的定义，即用不等号连接的式子是不等式，逐个判断式子，统计符合条件的个数即可求解． 【详解】解：∵ ①是等式，不含不等号，不属于不等式； ②是代数式，不含不等号，不属于不等式； ③是代数式，不含不等号，不属于不等式； ④含有不等号，属于不等式； ⑤含有不等号，属于不等式； ∴ 属于不等式的共有2个． 题型二 不等式的性质 易｜错｜点｜拨 不等式两边同乘除负数时，必须改变不等号方向，这是最易出错点；乘除 0 会直接变成等式，不可忽略。不能随意加减、乘除含字母的式子，要先判断字母正负；传递性质使用时，不等号方向需全程一致，切勿颠倒。 4．下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式性质逐一判断各选项，即可找出错误说法． 【详解】解：A、∵不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变， ∴若，可得，A正确； B、∵不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变， ∴若，可得，B正确； C、该选项未说明的取值范围，若，不等式两边同乘后不等号方向改变，可得，原结论不恒成立，C错误； D、若，两边同乘正数3得，再两边同时加5，不等号方向不变，可得，D正确． 5．如果，那么下列不等式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质，逐项分析判断即可． 【详解】解：已知，对各选项逐一判断： A：，不等式两边同时乘，不等号方向改变， 得，不等式两边同时加，不等号方向不变， ，A正确，故此选项符合题意； B：，不等式两边同时加，不等号方向不变， 得，B错误，故此选项不符合题意； C：当时，， 此时，C错误，故此选项不符合题意； D：，移项得， D错误，故此选项不符合题意． 6．已知实数，满足，，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先通过等量代换求出和的取值范围，再化简各选项的表达式，结合不等式性质判断正误即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，解得，故A错误， ∴，即，故B错误， 对于C，， ∵， ∴， ∴，即，故C错误， 对于D，， ∵， ∴，即，故D正确． 题型三 不等式的解集 易｜错｜点｜拨 解集是所有满足不等式未知数的全体，不是单个数值。数轴表示时空心圈不含端点、实心点含端点易混淆；解连写不等式时不等号方向不能乱。不要把整数解、正整数解等同全部解集，审题看清限制条件，化简后再准确标注范围。 7．某不等式的解集是，下列表述不正确的是（   ） A．0是这个不等式的解． B．不是这个不等式的解． C．大于的数都是这个不等式的解． D．小于的数都不是这个不等式的解． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的解的定义，不等式的解集是满足不等式的所有解的集合，使原不等式成立的数就是不等式的一个解，据此逐项分析求解即可． 【详解】解：A、∵某不等式的解集是， ∴0是这个不等式的解，故A不符合题意； B、∵某不等式的解集是， ∴不是这个不等式的解，故B不符合题意； C、∵某不等式的解集是， ∴大于的数都是这个不等式的解，大于且小于等于的数不是这个不等式的解，故C符合题意； D、∵某不等式的解集是， ∴小于的数都不是这个不等式的解，故D不符合题意． 故选：C 8．下列说法中，正确的是（   ）． A．方程和不等式的解是一样的 B．不是不等式的解 C．是不等式的一个解 D．是不等式的解集 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的解，熟练掌握不等式的解是解题的关键；因此此题可根据不等式的解进行排除选项． 【详解】解：A、方程和不等式的解是不一样的，故原说法错误； B、是不等式的解，故原说法错误； C、是不等式的一个解，故原说法正确； D、不是不等式的解集，故原说法错误； 故选C． 9．请写出满足下列条件的一个不等式：使得，，0，1都是该不等式的解：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据，0，1都是不等式的解，写出不等式即可． 【详解】解：∵，0，1都是不等式的解， ∴该不等式可以是（答案不唯一）． 题型四 求一元一次不等式的解集 易｜错｜点｜拨 去分母勿漏乘常数项，去括号注意负号变号；移项牢记变号，系数化为 1 时分负要翻转不等号。数轴区分实心空心，常误将整数解当作全部解集，计算细心防止符号与计算失误。 10．解不等式：． 【答案】． 【详解】解：去括号得， 移项合并得， 解得． 11．解方程、不等式 (1)解方程：； (2)解不等式：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 解得； （2）解： 解得． 12．解不等式：． 【答案】 【详解】解：， ， ， ． 题型五 数轴上表示不等式的解集 13．解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】， 【分析】根据解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，再把解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得 ， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， 不等式的解集在数轴上表示为： 14．解不等式：并把解集在数轴上表示出来． 【答案】， 【详解】解：去分母，得， 去括号，得，， 移项，得，， 合并同类项，得，， 系数化为1，得，． 解集在数轴上表示如下： 15．解不等式，并在数轴上表示解集： (1)； (2)． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【详解】（1）解： 在数轴上表示： （2）解： 在数轴上表示： 题型六 求一元一次不等式的整数解 易｜错｜点｜拨 先正常求出不等式解集，再从中筛选整数。极易直接把解集端点当作整数解，端点不含时要舍去；审题分清正整数、负整数、非负整数等限定。数轴标记辅助排查，别漏边界附近整数，计算解集出错会连带整数解全部偏差。 16．已知代数式 减去的值大于1，求出x的取值范围，并写出x的最大整数值． 【答案】 ，的最大整数值为 【详解】解：∵代数式与的差大于1， ∴， ， ， ， ； 则的最大整数值为． 17．求不等式的最小整数解． 【答案】 2 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得 ， ∴原不等式的最小整数解为2． 18．解不等式：，并写出它的所有正整数解． 【答案】，， 【分析】先求出不等式的解集，再在解集中找出所有的正整数解． 【详解】解：， 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 不等式的正整数解有、． 题型七 列一元一次不等式 19．为普及相关科技知识，某校举办了人工智能AI知识竞答活动．一共25道题．每一题答对得4分，答错或不答扣2分．设答对了道题，若得分不低于80分，可列出关于的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据题中数量关系，结合“不低于”表示大于等于的含义，即可列出正确不等式． 【详解】解：∵总题数为25道，答对x道题， ∴答错或不答的题数为道， 根据题意得． 20．某校计划举办“五一启智游”活动，为了丰富活动内容，学校计划购买，两款纪念品共件，已知款纪念品的单价为元，款纪念品的单价________，要求总费用不超过元．设购买件款纪念品，可列不等式．则横线处应填写的内容为（   ） A．比款纪念品的单价多元 B．比款纪念品的单价少元 C．是款纪念品单价的倍 D．是款纪念品单价的一半 【答案】A 【分析】根据给出的不等式可得出款纪念品的单价表达式，再结合款单价可得出款单价与款单价的关系． 【详解】解：设购买件款纪念品，则购买件款纪念品， ∵款纪念品的单价为元， ∴购买件款纪念品的费用为， 又∵，且总费用不超过元， ∴购买件款纪念品的费用可表示为， ∴款纪念品的单价为元， 即款纪念品的单价比款纪念品的单价多元． 21．某校举行定点投篮趣味赛，在较远位置投中球得5分（称“五分球”），在较近位置投中球得3分（称“三分球”），未投中得0分．小敏同学共投篮次，其中次未投中，最终得分不低于70分．若设小敏同学投中了个五分球，则可列出的不等式为________． 【答案】 【分析】由题意知，小敏投中了个三分球，根据得分不低于70分即可列出不等式． 【详解】解：小敏同学投中了个五分球，投中了个三分球， 由题意得：． 题型八 用一元一次不等式解决问题 易｜错｜点｜拨 审题找准不等关键词，至少、至多、不大于、不少于对应不同不等号；设未知数不带不等表述，列式别混淆数量关系。求出解集后结合实际取舍，人数、物品数须取正整数，不可直接照搬解集，最后完整作答检验合理性。 22．某学校八年级同学到劳动基地进行实践活动，第一天的任务是用100斤黄豆磨豆浆．由于操作不熟练，开始的半小时只磨完9斤黄豆，基地要求完成全部任务的时间不超4小时，若设在剩余时间内每小时需磨完斤黄豆，则可列一元一次不等式为______． 【答案】 【分析】设在剩余时间内每小时需磨完x斤黄豆，根据完成任务量大于或等于100列不等式求解即可． 【详解】解：设在剩余时间内每小时需磨完x斤黄豆， 依题意得：． 23．一部电梯的额定限载量为，甲、乙两人用电梯把一批货物从一楼搬到六楼．已知甲、乙两人的体重分别为和，货物每箱质量为，若两人一起乘梯搬货物，则一次最多搬运________箱货物． 【答案】 【分析】根据电梯额定限载量得到总重量的不等关系，求解后取最大正整数即可得到结果． 【详解】解：设每次搬运箱货物，则总重量为， 根据题意，列不等式得， 解不等式得， 为正整数， 的最大值为，即两人一起乘梯搬货物，则一次最多搬运28箱货物． 24．2026年3月12日是我国第48个植树节，主题“履行植树义务，共建美丽中国”．鹰潭二中某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵． (1)求该班的学生人数； (2)这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元．购买这批树苗的总费用没有超过5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？ 【答案】(1)该班的学生人数为45人. (2)至少购买了甲树苗80棵. 【分析】（1）设该班的学生人数为x人，根据两种方案下树苗的总数不变列出方程求解即可； （2）根据（1）所求求出树苗的总数为155棵，设购买了甲树苗m棵，则购买了乙树苗棵树苗，再根据总费用不超过5400元列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设该班的学生人数为x人， 由题意得，， 解得， ∴该班的学生人数为45人； （2）解：由（1）得一共购买了棵树苗， 设购买了甲树苗m棵，则购买了乙树苗棵树苗， 由题意得，， 解得， ∴m的最小值为80， ∴至少购买了甲树苗80棵， 答：至少购买了甲树苗80棵． 题型九 求不等式组的解集 易｜错｜点｜拨 分别解两个不等式后再取公共部分，口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到。数轴实心空心别弄混；容易只解单个不等式忘记求交集，无公共部分要写无解，别漏检验端点是否可取。 25．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】先分别解两个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定该不等式组的解集，然后把解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解①得， 解②得， ∴不等式组的解集是 解集在数轴上表示，如图， 26．解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解：，，，，，， 【详解】解：解得， 解得， ∴不等式组的解集为， ∴它的所有整数解为，，，，，，． 27．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】， 【详解】解：解不等式①，得； 解不等式②，得； 不等式组的解集为． 该解集在数轴上表示如下： 题型十 求一元一次不等式组的整数解 28．解不等式组，并求出整数解． 【答案】，不等式组的整数解为，，0，1，2 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 所以不等式组的解集为， 所以不等式组的整数解为，，0，1，2． 29．解不等式组：，在数轴上表示它的解集，并求出它的所有整数解的和． 【答案】解集为，所有整数解的和为，数轴表示如图所示： 【分析】按照解一元一次不等式组的一般步骤求出不等式组的解集，然后把解集表示在数轴上，并求出不等式组的整数解的和即可． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为：， 数轴表示略， 所有整数解为、、、、， ∴所有整数解的和为：． 30．解不等式组：并写出全部整数解，请结合题意填空，完成本题的解答． 解：解不等式①，得：_______， 解不等式②，得：______， ∴原不等式组的解集为________，故原不等式组的整数解为________． 【答案】；；；、、 【分析】根据题意，求出不等式组解集，然后根据解集范围求出整数解即可． 【详解】解：解不等式①： ， 解不等式②： ， 不等式组的解集是：， 原不等式组的整数解为：、、． 题型十一 由一元一次不等式组的解集情况求参数 易｜错｜点｜拨 端点是否取等号最易错，要单独检验 分清同大取大、同小取小，别搞反参数范围 无解与有解、整数解存在性，边界临界必验证 先画数轴再定范围，别凭感觉写答案 31．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”． 例如：方程的解为，不等式组的解集为，可以发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相伴方程”． 【问题解决】 (1)在方程①，②中，不等式组的“相伴方程”是_____（填序号）； (2)若关于x的方程是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围； (3)若方程，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，请求出m的取值范围． 【答案】(1)② (2) (3) 【分析】（1）根据“相伴方程”的定义进行判断即可． （2）根据题意，得出关于k的不等式，据此得出关于k的取值范围即可． （3）根据题意，得出关于m的不等式，据此得出关于m的取值范围即可． 【详解】（1）解：由得，； 由得，． 解不等式组得，． 因为，， 所以不等式组的“相伴方程”是②． （2）解：由得，x． 解不等式组得，， 则， 解得． （3）解：由得，； 由得，； 由得，． 因为所给方程都是不等式组的“相伴方程”， 所以， 解得． 32．定义：若两个不等式（组）存在整数解且完全一致，则称这两个不等式（组）“互为等值整数组”． 例：不等式组的解集为，其整数解为大于等于的整数；不等式的解集为， 其整数解也为大于等于的整数．因此，不等式组与不等式“互为等值整数组”． (1)下列不等式（组）中与“互为等值整数组”的是 （填写正确结论的序号）； ①，②，③． (2)已知关于的不等式组与“互为等值整数组”，且是整数，请求出的值； (3)已知关于的不等式组与“互为等值整数组”，请求出的取值范围． 【答案】(1)② (2) (3) 【分析】（）分别求出几个不等式（组）的整数解，按照定义要求判断即可； （）分别求出两个不等式组的解集，因为两个不等式组有相同的整数解，所以根据第一个不等式组的整数解，得到，解不等式即可； （）分别求出两个不等式组的解集，可分析得两不等式组有相同整数解时，整数解只可能为0，据此求出的范围． 【详解】（1）解∶解原不等式得； ∴整数解为：； ①解得， ∴整数解为：，与原不等式不同； 解得， 整数解为，与原不等式相同； ③解得， 解得， ∴不等式组的解集为， ∴整数解为与原不等式不同； （2）解：解第一个不等式组 解第一个不等式得， 解第二个不等式得， ∴不等式组的解集为， 整数解为； 解第二个不等式组 解第一个不等式得， 解第二个不等式得， ∴不等式组的解集为， ∵整数解需为， ∴， ∴， ∴， ∵是整数， ∴； （3）解：解第一个不等式组， 解第二个不等式得， ∴不等式组的解集为； 解第二个不等式组， 解第二个不等式得， ∴不等式组的解集为； ∵两不等式组整数解相同且存在整数解， 若整数解为： 则，解得； 若整数解为， 则，解得，此不等式组无解； 同理可得若原题中两个不等式组的相同整数解包括小于的其他整数解时，都没有使之成立； ∴两不等式组相同的整数解只有0，此时． 33．阅读下列材料： 问题：已知，且，，试确定的取值范围． 解：∵，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴ ∴，即， 得，∴的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，， ①试确定y的取值范围； ②试确定的取值范围 (2)已知，且，，若根据上述做法得到的取值范围是，请求出的值． 【答案】(1)①；②； (2) 【分析】（）根据阅读材料所给的解题过程，直接套用解答即可求得的取值；由得，进而求得，即，即可求得的取值范围； （）根据题意求得，再求出，从而得到关于，的方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由得， ∴，即， ∴， ∴的取值范围是； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 题型十二 不等式组和方程组结合的问题 易｜错｜点｜拨 先解方程组求字母表达式，再代入不等式组，顺序别反 计算方程组时符号、系数别算错，一步错全错 解含参数不等式时，乘除负数勿忘变号 最后结果要同时满足两个范围，别漏交集 34．已知关于的方程组 (1)方程组的解均为非负数，求的取值范围； (2)在（1）的条件下，化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出的值，根据方程组的解均为非负数，得到关于的不等式组，进行求解即可； （2）根据绝对值的意义，进行化简即可. 【详解】（1）解： 得：， ， 将代入②得：， ，， 关于，的方程组的解均为非负数， ， ； （2）解：， ，， ． 35．关于x、y的方程组的解满足x、y均为负数． (1)求m的取值范围； (2)在（1）的条件下关于的不等式的解为，求m的整数值． 【答案】(1) (2)m的整数值为 【分析】（1）先解方程组求出，，然后根据x、y均为负数列不等式组求解； （2）根据不等式的解为可得，结合（1）求出，找出其中的整数即可． 【详解】（1）解：， 由，得：； 即：． 将代入②，得：， ∵x、y均为负数 ∴， 解得：． （2）解：∵， ∴， ∵不等式的解为， ∴， ∴， 由（1）得，， ∴m的整数值为． 36．小明同学在解决关于x、y的二元一次方程组的解满足，求a的取值范围的问题中是这么做的：将方程①+②：得，进而，又．代入得：，，，即的取值范围为． 你能用小明的方法解决下列问题吗？ 已知方程组的解满足． (1)求a的取值范围； (2)求a为何整数时，不等式的解集为？请直接写出a的整数值______． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将方程组的两个方程相加，得到关于和的关系式，再将用含的式子表示出来，最后代入，解这个一元一次不等式组得到的取值范围． （2）先对不等式进行变形整理，根据不等式的性质，可知未知数的系数小于0，由此得到关于的不等式，结合（1）中的取值范围，确定符合条件的整数． 【详解】（1）仿照小明的方法，将方程组两个方程相加：， 得 ，进而， 已知， 代入得：， 不等式三边同时减1，得； （2）整理不等式，即， 因为不等式的解集为， 不等号方向改变，根据不等式性质，可得，解得． 结合（1）中的范围，得，其中整数为． 题型十三 列一元一次不等式组 37．野生兰草适宜生长在温度为的山区．已知海拔每升高，气温下降5℃，现测得某地区的气温为24℃，海拔为．设野生兰草在海拔高度为的山区较适宜，则所列下面不等式组中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算目标海拔相对已知海拔的升高量，再根据气温变化规律得到目标海拔处的气温，最后结合适宜温度范围列出不等式组即可． 【详解】解：∵野生兰草适宜温度为，已知海拔处气温为，目标海拔为， ∴目标海拔相对已知海拔的升高量为， ∵海拔每升高，气温下降， ∴总下降气温为，因此处的气温为， 根据适宜温度范围可得不等式． 38．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，设购买篮球x个，则购买排球个，根据购买资金不超过3600元、购买篮球的数量不少于排球数量的一半，即可得出关于x的一元一次不等式组． 【详解】解：设购买篮球x个，则购买排球个， 由题意得， 故选：C． 39．小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下： ①将诗词分成4组，第组有首，，2，3，4； ②对于第组诗词，第天背诵第一遍，第天背诵第二遍，第天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，，2，3，4； 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第1组 第2组 第3组 第4组 ③每天最多背诵10首，最少背诵3首． 解答下列问题： （1）若，，，则的取值为________； （2）7天后，小云背诵的诗词最多为________首． 【答案】 3 16 【分析】（1）根据题意列出每天背诵数量的不等式，结合每天最多背诵10首，最少背诵3首，即可求出的取值； （2）根据每天最多背诵10首列出不等式，利用不等式的性质求出总背诵数量的范围，即可得到最多背诵的数量． 【详解】（1）解：由题意，每天最多背诵10首，最少背诵3首，且， 第1天背诵数量为，满足，符合要求； 第2天背诵数量为，满足，符合要求； 第3天背诵数量为，满足，符合要求； 第4天背诵数量为，可得，解得； 第5天背诵数量为，可得，解得； 第6天背诵数量为，满足，符合要求； 第7天背诵数量为，可得； 综上可得，故； （2）解：设总背诵数量为， 由题意得不等关系：， ∵要求的最大值， ∴取， 由，得， 整理，得 ⑤， 由③，得，两边同乘2，得 ⑥， ，得， 解得， 且存在正整数解，满足所有约束条件，总数量为16， 故7天后，小云背诵的诗词最多为16首． 题型十四 一元一次不等式组的实际问题 40．“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议，某童装厂准备生产L、M两种型号的童装销往“一带一路”沿线国家和地区．现工厂有甲种布料38米，乙种布料26米．计划用这两种布料生产这两种型号的童装50套进行市场调研．已知做一套L型号的童装需甲种布料0.5米、乙种布料1米，可获利50元；做一套M型号的童装需甲种布料0.9米、乙种布料0.2米，可获利30元． (1)按要求安排L、M两种型号的童装的生产套数，有哪几种方案?请你设计出来； (2)在你设计的方案中，哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)共有3种方案，方案1：生产18套L型号的童装，32套M型号的童装；方案2：生产19套L型号的童装，31套M型号的童装；方案3：生产20套L型号的童装，30套M型号的童装； (2)方案3利润最大，最大为1900元 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算； （1）设生产型号的童装件，则生产型号的童装件，根据生产50套童装所需甲种布料不超过38米、乙种布料不超过26米，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数即可得出各生产方案； （2）利用总利润=每套的利润×生产数量，即可得出各生产方案获得的总利润，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设生产型号的童装件，则生产型号的童装件， 依题意得： 解得：． 又∵为正整数， ∴可以取，，， ∴共有种生产方案， 方案：生产套型号的童装，套型号的童装； 方案：生产套型号的童装，套型号的童装； 方案：生产套型号的童装，套型号的童装． （2）方案获得的总利润为（元）； 方案获得的总利润为（元）； 方案获得的总利润为（元）． ∵， ∴方案获得的总利润最大，最大利润是元． 41．某网店销售甲、乙两种遮阳帽，进价和售价格如表所示． 名称 甲种遮阳帽 乙种遮阳帽 进价（元/顶） 30 15 售价（元/顶） 40 20 根据上面提供的信息，解答下列问题． (1)根据消费者需求，该网店决定用不超过2280元购进甲、乙两种遮阳帽共100顶，且甲种遮阳帽的数量超过乙种遮阳帽的数量，则购进甲、乙两种遮阳帽有多少种进货方案？ (2)在（1）的条件下，哪种进货方案可使获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)2种 (2)购进52顶甲种遮阳帽，48顶乙种遮阳帽；760元 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． （1）设购进x顶甲种遮阳帽，则购进顶乙种遮阳帽，，利用总价单价数量，结合“总价不超过元，且购进甲种遮阳帽的数量超过乙种遮阳帽的数量”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各购进方案； （2）利用总利润每顶甲种遮阳帽的利润购进甲种遮阳帽的数量每顶乙种遮阳帽的利润购进乙种遮阳帽的数量，可求出各方案所需费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设购进x顶甲种遮阳帽，则购进顶乙种遮阳帽， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为51，52， 该网店共有2种进货方案， 方案1：购进51顶甲种遮阳帽，49顶乙种遮阳帽； 方案2：购进52顶甲种遮阳帽，48顶乙种遮阳帽； （2）选择方案1可获利元； 选择方案2可获利元 ， 购进52顶甲种遮阳帽，48顶乙种遮阳帽可使获利最大，最大利润是760元． 42．“低碳生活”是指减少二氧化碳的排放，低能量、低消耗、低开支的生活方式．生活中，一方面要采取低碳生活的方式，减少碳排放；另一方面是通过一定“碳补偿”措施，来达到平衡．查阅相关资料可确定每一“种类”消耗的碳排放系数，进而得到相应的排碳计算公式． 家居用电的二氧化碳排放量耗电量 家用自来水二氧化碳排放量自来水使用量 乘公交车的二氧化碳排放量行驶距离 驾驶汽车的二氧化碳排放量行驶距离 碳排放量 碳足迹数据标示 20.2 20 20.8 20 21 20或22皆可 23.1 24 (1)小明家某月耗电 ，用自来水，则这两项的二氧化碳排放总量是 ； (2)小明想为我国“碳中和”的实现贡献自己的力量，他决定上下学时从乘坐汽车改为乘公交车．已知小明每天上下学乘坐汽车或乘公交车的往返距离共为，与乘坐汽车相比，每天乘公交车上下学可以减少产生碳排放量 ．植树造林也是实现“碳中和”的一种重要手段．树木通过光合作用吸收二氧化碳，并将其转化为氧气和有机物，中和碳排放．一棵树一年大约吸收二氧化碳．若小明决定在 学年均乘公交车上下学，已知该学年到校时间共182天，那么他减少的碳排放量大约相当于种植了 棵树（结果四舍五入到个位）； (3)碳足迹标签是一种碳排放量的标示方式，让大众了解某一产品或服务所产生的碳排放量多少．碳足迹标签的数据标示有其规定，以碳排放量大于 （千克二氧化碳当量）且不超过 为例，此范围内的碳足迹数据标示只有20，22，24，……，38，等11个偶数．碳足迹数据标示决定于碳排放量与这11个偶数之中的哪一个差距最小，两者对应标示的范例如表所示． ① 若有一个产品的碳足迹数据标示为 ，则它可能的碳排放量的最大值为 ； ②当①中产品的碳排放量减少为原来的时，此产品碳足迹数据的标示可能是 ． 【答案】(1) (2)， (3)①  ②或 【分析】本题考查有理数混合运算的应用， 不等式的应用； （1）利用表格中数据计算解答即可； （2）先求出每天汽车和公交车排放量求差，然后计算一学年的较少排放量，除以一棵树一年大约吸收二氧化碳的量解答即可； （3）①由表格可得碳足迹数据标示为，碳排放量之最小值与最大值分别为和公克； ②由①的最大值和最小值乘以就求出此产品碳足迹数据标示的所有可能情形． 【详解】（1）解：家居用电排放量：， 自来水排放量： ， 总排放量：， 故答案为： ； （2）解：汽车排放量：， 公交车排放量：， 减排量：， 总减排量： 等效植树数： 棵， 故答案为：，； （3）解：①由表中的数据可知产品的碳足迹数据标示与碳排放量波动的范围为， ∴一个产品的碳足迹数据标示为，碳排放量之最小值与最大值分别为和， 故答案为：； ②∵此产品的碳排放量减少为原本的， ， ， ∴此产品碳足迹数据标示为：或， 故答案为：或． 题型十五 一元一次不等式（组）的新定义问题 43．定义一种新运算“”∶当时，；当时，．例如： ， (1)__________________，________________ (2)已知，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据新定义进行计算即可； （2）分两种情况列出不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解：∵当时，；当时，． ∴，． （2）解：∵，当时，；当时，， ∴①或② 由①得； 由②得不等式组无解； 的取值范围为． 44．定义：三个关于的整式、、，若的解集为，则称它们构成“不等式”．例如：三个整式，，，有的解集为，则称，，构成“不等式”． (1)整式、、，可以构成“不等式”吗？请说明理由． (2)若三个关于的整式、、，可以构成“不等式”，求的值． (3)若，，构成“不等式”，求关于的不等式组的解集． 【答案】(1)可以，理由见解析 (2)或 (3) 【分析】本题考查了不等式组的应用，理解“不等式”的定义，利用分类讨论的思想解决问题是关键． （1）先列不等式求解，再根据“不等式”等定义判断即可； （2）根据“不等式”的定义分三种情况列不等式，根据不等式的性质和解集分别求解即可； （3）根据“不等式”的定义列不等式，求出，，，再分别解不等式组中的等式，最后根据同小取小得到解集即可． 【详解】（1）解：可以，理由如下： ， 解得：， 即整式、、，可以构成“不等式”； （2）解：三个关于的整式、、，可以构成“不等式”， ①当时，即， 则，且， 解得：； ②若，即， 则，且， 解得：（舍）； ③若，即， 则，且， 解得：； 综上可知，的值为或． （3）解：若，，构成“不等式”， 则， 即， 所以， 化简，得， 将代入，得， 所以， 由不等式，得， 即， 解得：； 由不等式，得， 解得：， 所以该不等式组的解集为． 45．新定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)在方程①；②中，关于的不等式组的“关联方程”是__________；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围． 【答案】(1)① (2) 【分析】（1）求得方程的解，不等式的解集，根据定义判定即可． （2）先求得不等式组的解集，求得方程的解，建立新的不等式组解答即可． 本题考查了新定义问题，解方程，解不等式组是解题的关键． 【详解】（1）解：方程①的解为；②解方程得，关解不等式组得，在解集范围内，不在范围内， 故是不等式组的“关联方程”， 故答案为：①． （2）解：方程的解为， 由得到不等式组的解集为， 由方程是不等式组的“关联方程”， 故， 解得． 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（25-26七年级下·北京通州·期中）某不等式的解集是，其在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：不等式的解集在数轴上表示如下： 2．（25-26七年级下·北京·期中）若，则下列不等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式性质逐一判断选项即可，用到的性质为：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变． 【详解】解：∵ ， 对于A选项，不等式两边同时加2，不等号方向不变，可得 ，故A错误，不符合题意． 对于B选项，不等式两边同时除以正数3，不等号方向不变，可得 ，故B错误，不符合题意． 对于C选项，不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，可得 ，故C错误，不符合题意． 对于D选项，不等式两边同时乘正数5，不等号方向不变，得，再两边同时减2，不等号方向不变，可得 ，故D正确，符合题意． 3．（25-26七年级下·北京顺义·期中）已知，下列不等式错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知，结合不等式的基本性质逐一判断各选项即可解答． 【详解】解：A、不等式两边同乘，得，两边再同减，得，故本选项不等式错误； B、不等式两边同乘，不等号方向改变，得，故本选项不等式正确； C、不等式两边同减，不等号方向不变，得，故本选项不等式正确； D、不等式两边同加，不等号方向不变，得，故本选项不等式正确． 4．（25-26八年级下·北京怀柔·期中）小明的体重是，小亮的体重是，小明的肺活量是，小亮的肺活量是，肺活量体重指数公式是肺活量体重，小明比小亮的肺活量体重指数至少大1，则下列不等式表达正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据公式分别计算小明和小亮的肺活量体重指数，再根据“小明比小亮的肺活量体重指数至少大1”的不等关系列出不等式，即可选出正确选项． 【详解】解：∵肺活量体重指数公式：肺活量体重， ∴小明的肺活量体重指数为：， 小亮的肺活量体重指数为：， ∵小明比小亮的肺活量体重指数至少大1， 小明的肺活量体重指数小亮的肺活量体重指数， ∴， 故选C． 5．（25-26七年级下·全国·单元测试）关于x的不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组解集“同小取小”的规则，即可确定a的取值范围． 【详解】解：， 解不等式得∶， 解不等式得∶， ∵不等式组的解集是， ∴， 6．（25-26七年级下·北京西城·期中）“x的3倍与2的差小于”所对应的不等式是______． 【答案】 【分析】根据题目描述的数量关系即可列出对应的不等式． 【详解】解：根据题意可得，的倍为，与的差为，差小于， 因此列出不等式为． 7．（25-26七年级下·北京·期中）若，则的取值范围是__________，你推理的依据是__________． 【答案】 不等式的基本性质3：不等式两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变 【详解】解：∵， ∴， 推理的依据是：不等式的基本性质3：不等式两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 8．（25-26七年级下·北京·期中）“的2倍与3的差不小于6”用不等式表示为_____． 【答案】 【详解】解：“的2倍与3的差不小于6”用不等式表示为． 9．（25-26七年级下·北京昌平·期中）下面的框图表示解不等式的流程，其中“系数化为1”的结果是_______，这一步骤的依据是_______． 【答案】 不等式的性质3（或不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变） 【详解】解：“系数化为1”的结果是，这一步骤的依据是不等式的性质3（或不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）． 10．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知，则关于的不等式组的所有整数解的积是________． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是求不等式组的整数解，解题关键是熟练掌握一元一次不等式组的解法． 先求出不等式组的解集，结合的取值范围找到所有整数解并求积即可． 【详解】解：由可得， ， 不等式组的解为，所有整数解为、、， 故所有整数解的积是． 故答案为：． 11．（2026·北京西城·二模）解不等式组： 【答案】 【分析】先分别解出每个不等式的解集，再得出不等式组的解集，即可作答． 【详解】解：∵， ∴由得， ∴由得， ∴不等式组的解集为． 12．（25-26七年级下·北京西城·期中）解不等式组，在数轴上表示解集并写出它的所有整数解． 【答案】，在数轴上表示见解析，整数解为，0，1，2，3 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，最后写出整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为． 在数轴上表示如图， 它的所有整数解为，0，1，2，3． 13．（25-26七年级下·北京·期中）解不等式：，并在数轴上表示出其解集． 【答案】，数轴见解析 【详解】解： 解得 ∴原不等式的解集为， 数轴表示为： 14．（2025九年级下·贵州·专题练习）下面是小星同学解不等式的过程： 解：去分母，得：．．．．．．．．．．．第一步 去括号，得：．．．．．．．．．．．第二步 移项，得：．．．．．．．．．．．．第三步 合并同类项，得：．．．．．．．．．．．第四步 系数化为1，得：．．．．．．．．．．．．第五步 ①小星同学的解答过程从第_______步开始出错； ②请写出你认为正确的解答过程． 【答案】①一；②解答过程见详解 【分析】本题考查了解一元一次不等式，准确地进行计算是解题的关键．①由题可知，第一步错误；②按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解一元一次不等式即可． 【详解】①解：第一步，去分母错误， 故答案为：一； ②解：去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1，得： 15．（25-26八年级上·浙江台州·期末）为了让更多的同学参与到课外活动中去，某校计划购买羽毛球拍和乒乓球拍这两种体育用品．已知商店每副羽毛球拍的售价是50元，每副乒乓球拍的售价是42元，如果该校要购进羽毛球拍和乒乓球拍共100副，且总费用不超过4500元，那么该校最多能购进羽毛球拍多少副？ 【答案】该校最多能购进羽毛球拍37副． 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用．设该校购进羽毛球拍x副，则购进乒乓球拍副，根据“总费用不超过4500元”列出一元一次不等式即可求解． 【详解】解：设该校购进羽毛球拍x副，则购进乒乓球拍副， 根据题意，得， 解得， 因为x为非负整数， 所以x的最大值为37． 答：该校最多能购进羽毛球拍37副． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 16．（25-26七年级下·北京·阶段检测）已知关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次不等式的基本性质，解题思路是根据不等号方向的变化判断系数的正负，进而求解的取值范围． 【详解】解：由题意可知原不等式为 ， ∵ 不等式 的解集为 ，不等号方向发生改变， ∴ 根据不等式的性质，不等式两边除以负数时不等号方向改变，可得 ， 解得 ． 17．（2026·北京朝阳·二模）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数满足，则的值可以是（     ） A． B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】先根据数轴得出的取值范围，结合题意得出的取值范围，从答案中筛选即可． 【详解】解：根据数轴可知，， ， 将在数轴上表示出来如下： ， ∴b在a和之间． ∴选项中只有0符合条件． 18．（25-26七年级下·北京顺义·期中）如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有2个非负整数解，则a的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据数轴确定不等式的解集为，再根据“恰有2个非负整数解”确定这两个非负整数分别为和，从而确定的取值范围． 【详解】解：由数轴可知，该不等式的解集为， ∵非负整数包括，且该不等式恰有2个非负整数解， ∴这两个非负整数解只能是和， ∴必须满足． 19．（25-26七年级下·北京通州·期中）已知关于的不等式组，甲、乙两位同学分别得出以下结论：甲：如果不等式组有且仅有一个整数解，那么的取值范围是；乙：如果，那么此不等式组无解．其中下列判断正确的是（   ） A．甲、乙都对 B．甲错，乙对 C．甲对，乙错 D．甲、乙都错 【答案】B 【分析】根据不等式组解的情况，对a进行讨论求解． 【详解】解：根据题意，得不等式组的解集为， 由它有且仅有一个整数解， ∴， 解得：，故甲错误； 若它无解，则， 解得：， 因为当时，满足， 所以不等式组无解，故乙正确． 20．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的步骤． 先分别解不等式组中的两个不等式，再根据不等式组无解（两个解集无公共部分），建立关于的不等式求解即可． 【详解】解不等式，得， 解不等式，得， 又∵不等式组无解， ∴， 解得． 故选：A． 21．（25-26七年级下·北京通州·期中）已知关于的不等式的每一个解都能使成立，那么的取值范围是_______． 【答案】 【分析】先求出每一个不等式的解集，再根据两个解集之间的关系，求出的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵不等式的每一个解都能使成立， ∴． 22．（25-26七年级下·北京房山·期中）定义一种新运算“★”．规定．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先根据定义的新运算法则化简不等式组，再分别解两个一元一次不等式，最后根据已知解集，结合一元一次不等式组解集的确定方法确定a的取值范围． 【详解】解：根据新定义，关于x的不等式组可化为： ， 解不等式①可得：， 解不等式②移项可得：， 因为该不等式组的解集为， 根据同大取大的解集确定法则，可得， 解得：． 23．（25-26七年级下·北京通州·期中）已知关于，的二元一次方程组的解满足，那么的取值范围为_______． 【答案】 【分析】先利用整体的思想求出，从而可得，进而可得，进一步进行计算，即可解答． 【详解】解：， 得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， 解得：． 24．（25-26七年级下·北京西城·期中）如果关于x的不等式组有且只有4个整数解，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】先分别解出两个不等式的解，根据不等式组有且只有4个整数解可以是，，，，即可得到，解得即可． 【详解】解：由，得， 由，得， 关于的不等式组有且只有4个整数解， 这4个整数解是，，，， ， 解得：． 25．（25-26七年级下·北京昌平·期中）对于任何数，符号表示不大于的最大整数，例如：． （1）_______． （2）如果，则满足条件的所有整数的和为_______． 【答案】 6 【分析】（1）先求出，，再代入计算即可； （2）根据题意可得，解不等式组，再求和即可． 【详解】解：（1）由题意得： ． （2）∵， ∴， 解得， ∴满足条件的所有整数为和， ∴满足条件的所有整数的和为． 26．（2026·北京石景山·二模）解不等式组：． 【答案】 【分析】先分别求出不等式组中每个不等式的解集，再取两个解集的公共部分即可得到不等式组的最终解集． 【详解】解：， 解不等式①：去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， 解不等式②：去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， 两个解集的公共部分为， 因此原不等式组的解集为． 27．（25-26七年级下·北京·阶段检测）解下列不等式（组） (1)解不等式； (2)解不等式组． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，； （2）解：解不等式①得：； 解不等式②得：； 所以不等式组的解集为． 28．（25-26七年级下·北京通州·期中）定义一种新运算“”∶当时，；当时，．例如： ， (1)__________________，________________ (2)已知，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据新定义进行计算即可； （2）分两种情况列出不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解：∵当时，；当时，． ∴，． （2）解：∵，当时，；当时，， ∴①或② 由①得； 由②得不等式组无解； 的取值范围为． 29．（25-26七年级下·北京通州·期中）剪纸是我国著名的非物质文化遗产，学校准备购进两种样式的剪纸用于课外拓展课，A种剪纸每幅10元、B种剪纸每幅8元，计划购进两种类型剪纸共100幅，购买预算不超过900元，且购进的B种剪纸数量不大于A种剪纸数量的2倍，则至少购进A种剪纸多少幅？ 【答案】34幅 【分析】设购进种剪纸幅，则购进种剪纸幅，根据“购买预算不超过900元，且购进的B种剪纸数量不大于A种剪纸数量的2倍”列不等式组求解即可． 【详解】解：设购进种剪纸幅，则购进种剪纸幅， ， 由①得，， 由②得，， 不等式组解集为， 为整数， ， ∴最小整数解为， 答：至少购进A种剪纸34幅． 30．（25-26七年级下·广西玉林·期末）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的关联方程． (1)在方程①，②，③中，不等式组的关联方程是__________；（填序号） (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是__________；（写出一个即可） (3)若方程，都是关于的不等式组的关联方程，求的取值范围． 【答案】(1)③ (2)（答案不唯一） (3) 【分析】（1）分别求出三个一元一次方程的解和不等式组的解集，再根据关联方程的定义即可得； （2）求出一元一次不等式组的整数解，则可得其关联方程的解，由此即可得； （3）先分别求出两个一元一次方程的解和不等式组的解集，再根据关联方程的定义即可得． 【详解】（1）解：方程①的解为， 方程②的解为， 方程③的解为， ， 解不等式④得：， 解不等式⑤得：， 则不等式组的解集为， 所以这个不等式组的关联方程是③； （2）解：， 解不等式⑥得：， 解不等式⑦得：， 则不等式组的解集为， 所以这个不等式组的整数解为1， ∵不等式组的一个关联方程的解是整数， ∴这个关联方程可以是（答案不唯一）； （3）解：方程的解为， 方程的解为， ， 解不等式⑧得：， 解不等式⑨得：， 则不等式组的解集为， ∵方程都是关于的不等式组的关联方程， ∴， 解得． 期末综合拓展练（测试时间：20分钟） 31．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）已知，且，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解不等式（组），熟练掌握解二元一次方程组的方法是关键． 先根据加减消元法解二元一次方程组，再将值代入，求不等式组即可得出答案． 【详解】解：， ，得 解得：， 将代入①，得， 解得：， ， ， ， ． 故选A． 32．（24-25八年级上·广西贵港·期末）对一个实数按如图所示的程序进行操作，计算机运行从“输入一个实数”到“判断结果是否大于190？”为一次操作，如果操作恰好进行两次操作才停止，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了程序流程图，一元一次不等式组的应用，根据程序运行一次的结果小于等于，运行两次的结果大于，可得出关于的一元一次不等式组，求解即可，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得， ， 解得：， 故选：C． 33．（24-25七年级下·江西宜春·期末）关于，二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据方程组的解的情况求参数的范围，解一元一次不等式， 将两个方程相减得到的值，整体代入不等式中，解不等式即可． 【详解】解： 由得：， ∵， ∴， 解得： 故选C． 34．（24-25七年级下·河南周口·阶段检测）对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则，如，给出下列关于的结论：①；②；③；④若，则实数的取值范围是；⑤满足的非负数只有两个．正确结论的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用和理解题意的能力，关键是看到所得值是个位数四舍五入后的值．对于①可直接判断，②、③可用举反例法判断，④、⑤可以根据题意所述利用不等式判断即可． 【详解】解：①，故①正确； ②例如当时，，，，故②错误； ③例如，时，，，，故③错误 ④若，则，解得：，故④错误； ⑤若，则，解得， ∴非负数x可取0和1，即满足的非负数只有两个，故⑤正确， 综上可得①⑤正确，共2个． 故选：A． 35．（24-25七年级下·四川内江·期中）若关于的不等式组的所有整数解之和等于20，则所有满足条件的整数的值之和为（　　） A．15 B．21 C． D．24 【答案】A 【分析】本题考查根据不等式组的解的情况求参数．求出不等式的解集，利用不等式组的所有整数解之和等于20，求出a的取值即可，进一步可求出满足条件的整数a的值之和． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∵关于的不等式组的所有整数解之和等于20， 即整数解有6，5，4，3，2，或6，5，4，3，2，1，0，， ∴，或， 解得：，或， ∴a的整数值可以是6、7、8，或，，， ∴所有满足条件的整数为， 故选：A． 36．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于x的不等式组的解为，则a的取值范围为__________． 【答案】 【分析】本题考查了由一元一次不等式组的解集求参数，解题关键是掌握一元一次不等式组的解法． 先分别解不等式组中的每个不等式，再根据不等式组的解集确定参数的取值范围． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：． 故答案为：． 37．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）某超市开展促销活动，一次性购买的商品超过88元时，就可享受打折优惠．小明同学准备为班级购买奖品，需买6本笔记本和若干支钢笔．已知笔记本每本4元，钢笔每支7元，如果小明想享受打折优惠，那么至少买钢笔__________支． 【答案】10 【分析】设需要购买x支钢笔，根据总价=单价×数量，结合总价超过88元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论． 本题主要考查了一元一次不等式的应用，准确列不等式计算是解题的关键． 【详解】解：设购买钢笔x支，根据题意，得 由题意得， 解得． ∵x为整数， ∴x的最小值为10， ∴至少买10支钢笔． 故答案为：10． 38．（24-25七年级下·北京·期末）对于实数、（其中），不等式的解集构成“的邻域”． （1）不等式的解集构成“_______的________邻域”； （2）不等式的解集构成“的2邻域”，不等式的解集构成“2的1邻域”，若由、组成的不等式组的解集构成“的邻域”，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查绝对值不等式的解法以及邻域概念的理解，熟练掌握绝对值不等式的解法是解题的关键． （1）将绝对值不等式转化为邻域形式即可得到答案； （2）通过不等式组的解集关系，建立关于的不等式，即可得到答案． 【详解】解：（1）， ， ， ， 故不等式的解集构成“的邻域， 故答案为：，； （2）由题意可得：不等式的解集构成“的2邻域”，不等式的解集构成“2的1邻域”， 不等式：， 即， 不等式：， 即， 由、组成的不等式组的解集构成“的邻域” 故、组成的不等式组的解集为， 即， ， 解得， 故答案为：． 39．（24-25七年级下·北京丰台·期末）3月14日被命名为“国际数学日”，某校在当日举办了数学节活动，分为“数独”和“24点速算”两项比赛．为鼓励学生积极参加，设置了班级参与奖，要求每名学生至少参加一项比赛，获得个人参与积分后再进行累加，记作班级参与积分，个人积分规则如下表： 参加比赛的数量 每人获得的积分 参加两项 10分 只参加一项 4分 （1）七年级1班共32人，有8人参与了两项活动，则此班级获得的参与积分为______； （2）在（1）的条件下，七年级2班学生经过测算，若报名22人参加“数独”，14人参加“24点速算”，可得积分156分．若仍是22人报名参加“数独”，2班积分想要超过1班积分，则至少需要______人报名参加“24点速算”． 【答案】 176分 18 【分析】本题主要考查有理数混合运算的应用以及一元一次不等式的应用，理解题意是解答本题的关键． （1）求出只参加一项的人数再进行计算即可； （2）设七年级2班共有x人，由题意得，求出七年级2班共有30人，再需要y人报名参加“24点速算”，根据题意列不等式求解即可． 【详解】解：（1）七年级1班参加一项的人数为：（人）， 积分为：（分）， 故答案为：176分； （2）设七年级2班共有x人， 由题意得：， 解得， ∴七年级2班共有30人． 设需要y人报名参加“24点速算”， 由题意得：， 解得， 又∵y为正整数， ∴y的最小值为18， 即至少需要18人报名参加“24点速算”， 故答案为：18． 40．（2025·北京西城·二模）小林驾车去某地办事，目的地附近有甲、乙两个停车场．已知小林停车时间不超过24小时．甲停车场收费标准是： 停车时长（单位：小时） 收费标准（单位：元） 免费 5 10 15 18 24 乙停车场收费标准是；每小时2元（不足1小时按1小时收费）． （1）若小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出，则小林需交的停车费是______元； （2）若小林将车停到乙停车场，且停车费比停在甲停车场更优惠，则小林停车时间最长为______小时， 【答案】 15 7 【分析】本题考查了有理数的运算，不等式，正确理解题意是解题的关键． （1）由小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出，即可求出停车时间，再根据表格即可求解； （2）根据表格分析每一个时间段，在乙停车场最多停车时间及费用，即可求解． 【详解】解：（1）∵小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出， ∴， ∴在甲停车场停了8小时20分钟， ∴由表格得收费15元， 故答案为：15； （2）若时，知甲免费，乙至少花费2元，不合题意； 若时，要使得乙停车费少，则乙最多2小时4元； 若时，要使得乙停车费少，则乙最多4小时8元； 若时，要使得乙停车费少，则乙最多7小时14元； 若时，乙至少花费20元，不合题意； 若时，乙至少26元，不合题意， ∴小林停车时间最长为7小时， 故答案为：7． 41．（25-26八年级下·北京怀柔·期中）在某班元旦联欢会上组织了一个竞答活动，随机抽10道题，答对一道题得5分，答错一道题扣3分，10道题都必须答完．若得分不低于10分可得一个奖品，得分不低于20分可得两个奖品，以此类推．请回答下面的问题： (1)若小莹得18分，她答对多少题？ (2)小莹至少答对多少道题可以获得奖品？ 【答案】(1)6道 (2)5道 【分析】本题为一元一次方程与不等式的实际应用题． （1）结合已知得分列一元一次方程求解； （2）根据获得奖品的最低得分要求列一元一次不等式，结合题数为正整数的条件得到最少答对的题数． 【详解】（1）解：设小莹答对x道题，则答错道题， 根据题意得， 去括号得：， 合并同类项得， 解得， 答：她答对6道题． （2）设小莹答对y道题可以获得奖品，获得奖品的最低得分为10分， 根据题意得 ， 去括号得， 合并同类项得， 解得， ∵y是正整数， ∴y的最小值为5 答：小莹至少答对5道题可以获得奖品． 42．（25-26七年级下·北京延庆·期中）给出如下定义：如果一个未知数的值使得方程和不等式（组）同时成立，那么这个未知数的值称为该方程与不等式（组）的“伴随解”． 例如：已知方程和不等式，对于未知数，当时，使得，同时成立，则称是方程与不等式的“伴随解”． (1)是否是方程与不等式的“伴随解”？___________（填“是”或“否”） (2)是方程与不等式（组）①，②，③中___________的“伴随解”．（只填序号） (3)如果是关于的方程与关于的不等式组的“伴随解”，那么___________，的取值范围是___________． (4)如果是关于的方程与关于的不等式组的“伴随解”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)否； (2)②； (3)，； (4)． 【分析】（1）将代入方程与不等式中，看是否同时成立即可； （2）将分别代入不等式或不等式组中看是否成立即可； （3）根据题目定义得，，即可求出的值及的取值范围； （4）根据题目定义得，，可由不等式组得出的取值范围，由得到，代入的取值范围即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：当时，，， 即方程成立，不等式不成立， 不是方程与不等式的“伴随解”； （2）解：当时，①，不成立， ②，成立， ③，不成立， 综上，②符合题意； （3）解：依题意得，， ，， ； （4）解：依题意得，，， 不等式组为，即， ， ， 即， ， ， ． 43．（25-26七年级下·全国·期末）定义：给定两个不等式组和，若不等式组的任意一个解，都是不等式组的一个解，则称不等式组为不等式组的“子集”． 例如：不等式组是不等式组：的“子集”． (1)若不等式组，不等式组，则其中不等式组________是不等式组的“子集”（填“”或“”）； (2)若关于的不等式组是不等式组的“子集”，则的取值范围是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先解出两个不等式组的解集，然后根据定义判断即可； （2）先解不等式组，然后根据定义解答即可． 【详解】（1）解：解不等式组，得， 解不等式组，得， ∵不等式组的解集为， ∴不等式组的任意一个解，都是不等式组的一个解， ∴不等式组是不等式组的“子集”； （2）解：解不等式组，得， 关于的不等式组是不等式组的“子集”， ． 44．（25-26七年级上·北京延庆·期末）小明在解关于的一元一次方程时，发现正整数被遮挡 (1)小刚猜“”是3，请解一元一次方程． (2)若老师告诉小刚这个方程的解是正整数，则被遮挡的正整数是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，已知方程的解求参数，解一元一次不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去分母，再移项，合并同类项，即可作答． （2）与（1）同理得，结合方程的解是正整数，得，故，又因为为正整数，解得，即可作答． 【详解】（1）解：∵， 去分母得， 移项得， 合并同类项得； （2）解：设被遮挡的正整数是， ∴， 去分母得， 移项得， 合并同类项得； ∵方程的解是正整数， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴， 即被遮挡的正整数是． 45．（25-26七年级下·北京顺义·期中）若关于x的一个一元一次不等式组的解集为（a，b为常数，且），则称为这个不等式组的“解集中点”．若一个一元一次方程的解与一个一元一次不等式组的“解集中点”相等，则称这个一元一次方程为此一元一次不等式组的“中点关联方程”． (1)在方程①，②中，不等式组的“中点关联方程”是______（填序号）． (2)已知不等式组，请写出这个不等式组的一个“中点关联方程”：______． (3)若关于x的不等式的解满足大于不等式组的“解集中点”的整数x恰好有3个，求m的取值范围． 【答案】(1)① (2)（答案不唯一） (3) 【分析】本题考查了解一元一次不等式(组)，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“中点关联方程”是解题的关键． （1）先分别求出三个方程的解和不等式组的解集，再根据“中点关联方程”的定义即可判断； （2）先求出不等式组的解集，根据关联方程的定义即可求解； （3）先求出不等式（组）的解集，根据满足条件的整数解有3个列出不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：解方程①，得：； 解方程②，得：； 解不等式组得：， 该不等式组的“解集中点”为， 故答案为：①； （2）解：解不等式组得：， 该不等式组的“解集中点”为， 故答案为：（答案不唯一）； （3）解：解不等式，得 解不等式组． 解①得，解②得， 因为该不等式组有“解集中点”，说明它有解集形式为的解． 所以不等式组的解集为：．此时，即， 该不等式组的“解集中点”： ∵在不等式的解集（即）中，满足大于该不等式组的“解集中点”的整数恰好有个．即满足且的整数恰好有个． 因为是整数且，这个整数只能是2，1，． ∴， 解得， 综上所述：的取值范围是． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $