解答题专训25 新定义问题及变换与置换型问题（专项训练）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦数列新定义与变换置换问题，构建“三问分层+变式迁移”方法体系，强化抽象建模与逻辑推理能力 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法及技巧提炼|1|三问分层突破：基础代入验证→性质推导论证→高阶思想综合（存在性/构造性/分类讨论）|从具体计算到抽象论证，形成“定义理解-性质探究-综合应用”逻辑链| |题型通法及变式提升|2题型（各1例+2变式）|新定义问题：紧扣定义内涵验证；变换置换问题：聚焦变换规则与不变量分析|典例覆盖北京模考高频题型，变式拓展定义情境与变换维度| |重难专题分层过关练|12题（巩固8+创新4）|分层训练：基础巩固定义应用，创新提升跨模块综合论证|从单一知识点到多方法融合，培养数学表达与创新意识|

解答题专训25 新定义问题及变换与置换型问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 1 题型1 新定义问题 1 题型2 变换与置换问题 4 重难专题分层过关练 8 巩固过关 8 创新提升 16 解题方法及技巧提炼 数列压轴题，多以新定义三问形式来考察： 第一问多为代入定义的简单计算与举例验证，门槛较低，保证基础得分； 第二问聚焦数列固有性质推导，围绕单调性、有界性、不等关系、唯一性等内容展开证明，锻炼学生逻辑推导与文字论证表达能力； 第三问为整道题的难点与拉分点，集中考查存在性论证、构造性证明、分类讨论、反证法以及抽屉原理等高阶思想方法，题干符号语言抽象、条件关联复杂，需要学生深度解读定义内涵，自主梳理逻辑链条，依托严谨的数学思维完成综合论证，重点选拔具备独立思考、自主建构逻辑、深度探究问题能力的考生。 题型通法及变式提升 题型1 新定义问题 【例1】（2026·北京石景山·一模）若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“等比源数列”． (1)已知数列为4，3，1，2，数列为1，2，6，24，分别判断，是否为“等比源数列”，并说明理由； (2)已知数列的通项公式为，判断是否为“等比源数列”，并说明理由； (3)已知数列为单调递增的等差数列，且，，求证：为“等比源数列”． 【解】（1）是“等比源数列”， 不是“等比源数列”． 中“1，2，4”构成等比数列，所以是“等比源数列”； 中“1，2，6”，“1，2，24”，“1，6，24”，“2，6，24”均不能构成等比数列， 且这四者的其他次序也不构成等比数列， 所以不是“等比源数列”． （2）不是“等比源数列”． 假设是“等比源数列”，因为是单调递增数列， 即中存在的，，三项成等比数列， 也就是，即， ，两边时除以得， 等式左边为偶数， 等式右边为奇数． 所以数列中不存在三项按一定次序排列构成等比数列． 综上可得不是“等比源数列”． （3）证明：因为等差数列单调递增，所以． 因为则，且，所以数列中必有一项． 为了使得为“等比源数列”，只需要中存在第项，第项， 使得成立，即， 即成立． 当，时，上式成立． 所以中存在，，成等比数列． 所以，数列为“等比源数列“． 【变式1】（25-26高三下·北京密云期末）若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“等比源数列”． (1)已知数列为4，3，1，2，数列为1，2，6，24，分别判断,是否为“等比源数列”，并说明理由； (2)已知数列的通项公式为，判断是否为“等比源数列”，并说明理由； 【解】（1）是“等比源数列”， 不是“等比源数列”． 中“1，2，4”构成等比数列，所以是“等比源数列”； 中“1，2，6”，“1，2，24”，“1，6，24”，“2，6，24”均不能构成等比数列， 且这四者的其他次序也不构成等比数列， 所以不是“等比源数列”． （2）不是“等比源数列”． 假设是“等比源数列”，因为是单调递增数列， 即中存在的，，三项成等比数列， 也就是，即， ，两边时除以得， 等式左边为偶数， 等式右边为奇数． 所以数列中不存在三项按一定次序排列构成等比数列． 综上可得不是“等比源数列”． 【变式2】（2026·北京通州一模）给定数列，若满足 (且)，对于任意的，都有，则称数列为“指数型数列”． (1)已知数列的通项公式分别为，试判断数列是不是“指数型数列”； (2)已知数列满足，判断数列是不是“指数型数列”．若是，请给出证明，若不是，请说明理由； (3)若数列是“指数型数列”，且，证明数列中任意三项都不能构成等差数列． 【解】（1）对于数列，， 所以不是指数型数列． 对于数列，对任意，因为， 所以是指数型数列． （2）证明：由题意，不是“指数型数列”， 由， 所以数列是等比数列，， ， 数列不是“指数型数列”． （3）证明：因为数列是指数型数列，故对于任意的， 有，， 假设数列中存在三项，，构成等差数列，不妨设， 则由，得， 所以， 当为偶数时，是偶数， 而是偶数，是奇数， 故不能成立； 当为奇数时，是偶数，而是奇数，是偶数， 故也不能成立． 所以，对任意，不能成立， 即数列的任意三项都不成构成等差数列． 题型2 变换与置换问题 【例2】（2026·北京房山·一模）已知数列：，，若集合，则称数列为数列的一个置换． (1)求数列：的任意置换的前项和的最大值； (2)已知数列：．写出的一个置换，使得该置换的前项的和满足：存在，．对任意，，数列是否也存在一个置换，使得该置换的前项的和满足：存在，？说明理由； (3)在项数为的数列中，，证明：“数列为常数列”的充要条件为 “在数列的以任意项为末项的所有置换中，都存在置换，使得”． 【解】（1）数列的每个置换的前6项和． 当置换为4，8，16，32，64，128，1，2时，． 所以的最大值为252． （2）数列的一个置换：1，3，7，2，4，5，6， 存在，使得．对任意，数列， 存在一个置换为：， 存在，使得． （3）必要性： 因为数列为常数列，每个置换是常数列，存在． 充分性：＂的以任意项为末项的所有置换中，都存在置换，使得．＂称具有性质． 由，得．又因为为偶数，为定值，所以数列的所有项的奇偶性相同.称具有性质. 对具有性质的数列施加变换：若的所有项均为偶数， 令；若的所有项均为奇数，令．得到数列． ①若的所有项均为偶数，， 则＂具有性质＂等价于＂具有性质＂， 又因为，所以．且数列具有性质． ②若的所有项均为奇数，，则＂具有性质＂等价于＂具有性质＂. 又因为，所以，当且仅当时取等号． 且数列具有性质. 总之，对数列施加变换，数列保持性质和性质不变. 对数列施加次变换后，得到常数列． 常数列，经过次相反的变换：或者， 每次得到的数列都是常数列，最终得到数列，且数列为常数列． 【变式1】（25-26高三上·北京·期末）已知有序数对，有序数对，定义“变换”：.通过“变换”可以将有序数对转化为有序数对. (1)写出有序数对经过3次“变换”后得到的有序数对； (2)若有序数对经过一次“变换”得到有序数对，且有序数对的三项之和为4050，求的值； (3)在（2）的条件下，有序数对经过次“变换”后得到有序数对三项之和最小，求的最小值. 【解】（1）对于有序数对， 由“变换”：，可得： 则第1次有序数对为，第2次有序数对为，第3次有序数对为， 故经过3次“变换”后得到的有序数对为； （2）由变换知：，，， 因为有序数对的三项之和为4050，且，所以，故， 所以，故最大，即或， 当时，可得， 由，得，即， 所以，故； 当时，可得， 由，得，即， 所以，故． 综上可得，； （3）有序数对，将有序数对经过6次“变换”得到的有序数对分别为， 由此可见，经过6次“变换”后得到的有序数对也是形如的有序数对， 与有序数对“结构”完全相同，但最大项减小12， 因为， 所以将有序数对经过次“变换”后得到的有序数对为， 经过“变换”后得到的有序数对分别为， 从以上分析可知，以后数对循环出现，所以有序数对各项之和不会更小， 所以当时，经过次“变换”得到的有序数对的三项之和均最小为2． 所以的最小值为1013． 【变式2】（25-26高三上·北京东城·期末）已知数列为有穷整数数列，定义变换：将的第项与第项同时减1，其余项不变，所得数列记作．对依次进行变换后，所得数列记为． (1)已知，直接写出； (2)已知，若存在变换使得的各项均为0，求的值； (3)已知为偶数，的各项均为正整数，且对任意的变换，当中的各项均为非负整数时，都有中等于0的项的个数不大于，求的各项之和的最小值． 【解】（1）由题可知，代表将数列的第3，4项，第1，2项，第1，2项依次减1， 即减2，减2，减1， 得； 同理可得，； （2）由于变换，将的第项与第项同时减1， 因此变换前的数列与变换后的数列的奇数项的和与偶数项的和之差不变． 对于中，， 此时的奇数项的和与偶数项的和之差为． 当的各项均为0时，变换后的数列的奇数项的和与偶数项的和之差为0， 因此，即； （3）因为为偶数，把分成组， 其中为第1组，为第2组，…，为第组，为第组， 存在变换使每组的两个数中至少一个变为0， 因此存在变换，当中的项非负时，所有项中0的个数不小于． 由已知可得同一组的两个数不能相同． 下证第2组，第3组，…，第组，这组数满足：每一组中的较大数不小于3． 考察第2组数，不妨设， 若，则只能为2，此时存在一组变换使得第2组的两个数均变为0，矛盾． 同理可以证明其它组的两个数中较大的不小于3． 对于第1组这两个数至少有一个不小于2， 对于第组这两个数，至少有一个不小于2， 因此的所有项之和不小于． 令， 这个数列满足对任意的一组变换，当中的项非负时，中的3和2均不会变为0， 因此中0的个数不大于． 综上所述，的所有项之和的最小值为． 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（25-26高三下·北京延庆·期中）如果数列对任意的，，则称为“速增数列”. (1)判断数列是否为“速增数列”？说明理由； (2)若数列为“速增数列”，且任意项，，，，求正整数k的最大值. 【解】（1）是“速增数列”，理由如下： 数列对，有， 所以，即， 所以数列是“速增数列”. （2）由数列为“速增数列”， ，，， 所以，对有，且， 所以，，，， 累加得， 所以，又，则， 由，，故正整数的最大值为64. 2．（25-26高三下·北京怀柔·阶段检测）若数列满足．对任意，都有，则称是“P数列”， (1)若，判断，是否是“P数列”； (2)已知是等差数列，，其前n项和记为，若是“P数列”，且恒成立，求公差d的取值范围； 【解】（1）由，则数列是“数列”， 由，当时，，则数列不是“数列”. （2）设等差数列的公差为，则， 由数列是“数列”，则， ， 恒成立，即恒成立， 令， 当时，即，二次函数开口向下，对称轴为直线， 易知函数在上单调递减，则数列无最小值，不符合题意； 当时，即，，当时，，符合题意； 当时，即，二次函数开口向上，对称轴为直线， 易知函数在上单调递增，则，符合题意. 综上所述，公差d的取值范围为. 3．（2023·广东汕头·三模）设数列的前项和为，若，则称是“紧密数列”. (1)若，判断是否是“紧密数列”，并说明理由； (2)若数列前项和为，判断是否是“紧密数列”，并说明理由； (3)设数列是公比为的等比数列.若数列与都是“紧密数列”，求的取值范围. 【解】（1），所以不是“紧密数列”； （2）数列为“紧密"数列；理由如下： 数列的前项和， 当时，； 当时，， 又，即满足，因此， 所以对任意， 所以， 因此数列为“紧密”数列； （3）因为数列是公比为的等比数列，前项和为， 当时，有， 所以，满足题意； 当时.， 因为为“紧密"数列，所以.即或， 当时，， ， 所以，满足为“紧密”数列； 当时，，不满足为“紧密"数列； 综上，实数的取值范围是. 4．已知项数为m（，）的数列满足如下条件：①（，2，…，）；②.若数列满足，其中，2，…，，则称为“默契数列”. (1)数列1，5，9，13，17是否存在“默契数列”，若存在，写出其默契数列，若不存在请说明理由； (2)若为的“默契数列”，判断数列的单调性，并予以证明； (3)已知数列存在“默契数列”，且，，求的最大值. 【解】（1）数列1，5，9，13，17存在“默契数列” 因为， ，， ，， 所以数列1，5，9，13，17存在“默契数列”为：11，10，9，8，7. （2）数列为单调递减数列． 因为，，， 又因为，所以有， 所以， 即成立 所以数列为单调递减数列． （3），都有， 因为，． 所以， 所以， 所以 因为， 所以， 又 ， 则，即，，所以． 所以的最大值是46． 5．已知数列的前项和为，若数列满足，则称数列是“方特数列”. (1)证明：数列是“方特数列”； (2)若数列是“方特数列”，求的取值范围； (3)证明：当时，数列是“方特数列”. 【解】（1）当时，， ， ∴数列满足，即数列是“方特数列”. （2）当时，， ，满足条件； 当时，， ∵数列是“方特数列”， ∴，. ∴，∴且， 综上所述，当数列是“方特数列”时，的取值范围为. （3）当时，由（1）知满足条件， 当且时，， ， ∴， ∴， ， 设，∴， 当时，单调递增；当时，单调递减，∴， ∴， 综上所述，当时，数列是“方特数列”. 6．（25-26高三上·福建福州·期中）对于数列，，，定义“变换”：将数列变换成数列，，，其中，且.这种“变换”记作，继续对数列进行“变换”，得到数列，，，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束. (1)写出数列2，6，4经过5次“变换”后得到的数列； (2)设数列400，2，403经过次“变换”得到的数列各项之和最小，求的最小值. 【解】（1）根据“变换”定义5次“变换”后有：， 即5次“变换”后数列为：． （2）数列，经过第1次“变换”后为数列：，经过第2次“变换”后为数列：，经过第3次“变换”后为数列：，依此类推可知： 数列（例如数列中的），经过第1次“变换”后为数列：，这里， 而且，即三个数中较大的两个数的差等于最小的数， 若是这三个数中最小的数，则下一次变换所得数列中三个数（不考虑顺序），保留最小的数，用较大的两个数减去这个最小的数，即得：， 而且后面的变换，只要较大的两个数与最小的数的差不小于最小数， 则下一次变换所得数列中三个数都是保留最小的数，用较大的两个数减去这个最小的数， 因此依次变换有: 第一次变换后：； 第二次变换后：； 第三次变换后：； 第四次变换后：， 第五次变换后： 第六次变换后：， 第七次变换后：， 故的位置周期性变化且周期为3，三个数字的大小位置也呈周期性性变化，周期为6， 而，且，     故第133次变换后所得三个数依次为：， 然后有， 即第136次变换后三个数为，再变换后三个数中都是两个为1，一个为0，和是2为最小值不改变了． 所以的最小值是136， 7．（25-26高三下·北京东城·期末）已知项数列，满足有.若变换满足，有，且有，则称数列是数列的一个排列.，记，如果是满足的最小正整数，称数列存在阶逆序排列，称是的阶逆序变换. (1)已知数列，数列，求： (2)证明：对于项数列，不存在阶逆序变换： (3)若项数列存在阶逆序变换，求的最小值. 【解】（1）由于，，故，，，. 所以，即. 所以，即. 所以，即. 故，. （2）对数列的任意变换， ①若存在，有，则， 则不是的阶逆序变换； ②若对，由，，，， 则，，，， 所以，和是相同的数列. 若是的逆序排列，则也是的逆序排列，所以，不是阶逆序变换； ③若，有，，， 则，， 所以，不是的阶逆序变换， 综上所述，对于项数列，不存在阶逆序变换. （3）由（2）知阶数列不存在阶逆序变换， 对于项数列、、， （i）若，则，所以，变换不是的阶逆序变换； （ii）若， 当时，有，则，所以，变换不是的阶逆序变换； 当时，有，则， 所以，变换不是的阶逆序变换； （iii）若，同（ii）可知，变换不是的阶逆序变换； 所以，项数列不存在阶逆序变换； 对于项数列、、、、， 若存在阶逆序变换，则，，，，， （i）若，则对于数列、、、、，和上述的变换， 有，，，， 所以，这项数列、、、存在阶逆序变换，与（2）的结论矛盾； （ii）若，因为，则存在、，有，， 此时，，与是阶逆序变换矛盾， 所以，项数列不存在阶逆序变换. 对于项数列、、、、、，存在变换，使得、、、、、， 则、、、、、，、、、、、， 所以，项数列存在阶逆序变换. 综上所述，的最小值为. 8．（25-26高三上·湖北·期中）n为不小于3的正整数，对整数数列：，可以做以下三种变换： ①将中的减1，加1，其余项不变，称此变换为对做变换； ②取，将中的减2，，均加1，其余项不变，称此变换为对做变换； ③将中的减1，加1，其余项不变，称此变换为对做变换.将数列做一次变换得到，将数列做一次变换得到……例如：时，对数列：0，-1，1，0依次做，变换，意义如下：先对做变换得到数列：0，0，-1，1，再对做变换得到数列：0，0，0，0. (1)时，给定数列：0，-1，1，0，0，求证：可以对做若干次变换得到数列0，0，0，0，0； (2)时，求证：对任意整数数列：，，，，，若，则可以对做若干次变换得到数列0，0，0，0，0； (3)若将变换①中的改为，将变换③中的改为，在时，求证：对任意整数数列：，若，且和均为偶数，则可以对整数数列做若干次变换得到数列. 【解】（1）首先对给定数列，做变换，减，和均加，得到数列. 再对该数列做变换，减，和均加，得到数列. 然后对这个数列做变换，就得到了 （2）首先，若对数列：依次做变换，得到的数列加1，减1，其余项不变； 若对数列中：依次做变换，得到的数列中减1，加1，其余项不变. ∴可以通过若干次变换使得相邻两数一个加1，另一个减1， ∴可以通过若干次变换使得第一项变为0，第二项变为. 同样的可以通过若干次变换分别使得均变为0，此时即为 （3）记此时的变换①为，变换③为. 首先，记，. 每次变换使得的值加2或减2或不变，故可以经过若干次变换使得，此时； 其次，对任意数列:依次做变换，其中， 得到的数列中减2，，均加1，其余项不变，记此变换为， 依次做，，变换，得到的数列中减1，加1，其余项不变，记此变换为， 此时，，，，只变换，且对规则同第（2）问，且， ∴由（2）知可以对做若干次变换，得到的数列中. 同理可以再对做若干次变换，得到的数列中，则此时得到数列. 创新提升 9.（2025·北京平谷·一模）对于数列，若满足，则称数列为“数列”.定义变换，若，将变成0，1，若，将变成1，0，得到新的“数列”.设是“数列”，令. (1)若数列，求数列； (2)若数列共有10项，则数列中连续两项相等的数对至多有多少对？请说明理由； (3)若为0，1，记数列中连续两项都是0的数对个数为.求关于的表达式. 【解】（1）由变换的定义可得. （2）数列中连续两项相等的数对至多有19对. 证明：对于任意一个“数列”中每一个1在中对应连续四项， 在中每一个0在中对应的连续四项为， 因此，共有10项的“数列”中的每一个项在中都会对应一个连续相等的数对， 在中若出现连续两项的数对最多， 对于中的每一个第项和第项之间产生一个连续相等的数对， 所以中至多有19对连续相等的数对. 比如：取，则 . （3）设中有个0，1数对， 中的“0，0”数对只能由中的“0，1”数对得到，所以， 中的“0，1”数对有两个产生途径：①由中的1得到；②由中“0，0”得到， 由变换的定义及可得中0和1的个数总相等，且共有个. 所以，得， 由可得， 所以， 当时， 若为偶数，． 上述各式相加可得， 经检验，时，也满足． 若为奇数，． 上述各式相加可得， 经检验，时，也满足． 所以． 10．（2026·北京平谷·一模）对于每项均是正整数的数列、、、，定义变换，将数列变换成数列、、、、．对于每项均是非负整数的数列、、、，定义变换，将数列各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列；又定义．设是每项均为正整数的有穷数列，令． (1)如果数列为、、，写出数列、； (2)对于每项均是正整数的有穷数列，证明； (3)证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数，当时，． 【解】（1）解：、、，、、、，、、， 、、、，、、、. （2）证明：设每项均是正整数的有穷数列为、、、， 则为、、、、， 从而． 又 ， 所以， 故． （3）解：设是每项均为非负整数的数列，，． 当存在，使得时，交换数列的第项与第项得到数列， 则． 当存在，使得时，若记数列，，为， 则． 所以． 从而对于任意给定的数列，由，1，2，… 可知． 又由（2）可知，所以． 即对于，要么有，要么有． 因为是大于的整数，所以经过有限步后，必有． 即存在正整数，当时，. 11．（2026·北京海淀·二模）给定正整数，如果一个无穷数列满足：对于任意正整数，这项中恰有个不同的数，则称为预言数列． (1)分别写出下列数列是否为3-预言数列； ①；② (2)是否存在首项为3的3-预言数列？若存在，求出所有符合条件的数列；若不存在，说明理由； (3)求预言数列的个数． 【解】（1）解：对于①， 当时，对于任意正整数，的值均为，不同的数的个数为， 所以是预言数列； 对于② 由于，，，，，，……， 当，时，对应的项为，，， 其中不同的数有和两个，不等于， 所以不是预言数列. （2）解：不存在，证明如下： 根据题意，任意正整数，这项中恰有个不同的数， 任意正整数，，这项中恰有个不同的数 所以且 假设存在首项的预言数列，则中有不同的数， 即必须互不相同，即， 当时，不满足，矛盾； 当，根据题意，对于正整数，，这项中恰有个不同的数， 即，与矛盾； 当时，根据题意，对于正整数，，这项中恰有个不同的数， 即，且， 又因为，所以，，， 此时与对于正整数，，这项中恰有个不同的数矛盾. 综上，不存在首项为的预言数列. （3）解：当时，，此时预言数列的个数为1； 当时，预言数列的个数为，证明如下： ①同（2），可得且， 所以，若数列中某一项为1，则后续项只可能均为1或者均为2. ②设中的最大项为，证明. 假设，则存在， 由题可知，中恰有，这个不同的数， 所以，其中存在（若有多个，则取最后一个），存在，（若有多个，则取最前一个）， 若，则，，矛盾； 若，则中恰有个不同的数， 又因为中没有，且，其后续项也没有，矛盾. 由上可知，. ③由②，若，则，符合； 若，设，则其后续项可取到和，且其中第一个1的后续项只能为2， 否则其前一项（取2）对应的后续项只能取1，矛盾； 所以，若，则其后续项只能有1个1，个2， 共有种不同的取法，考虑到数列首项还可能是1， 所以，当数列中最大项为2时，共有个预言数列， 综上，时，预言数列的个数为. 12．（2026·陕西榆林·三模）已知数列：，数列：，其中，且，若对于任意的，且，都有，则称，互为“反调数列”． (1)已知数列：3，6，4，分别判断下面数列是否为数列的反调数列，并说明理由； ①数列：5，1，7，②数列：10，4，9． (2)若，数列为等差数列，其前项和为，，，数列：，，…，与数列互为反调数列，求数列的公差的取值范围； (3)对于固定的正整数，任意的，总有，，数列，互为反调数列，且，求． 【解】（1）数列：3，6，4，则， ①数列：5，1，7，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意， 故数列不是数列的反调数列； ②数列：10，4，9，， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 故数列是数列的反调数列； （2）数列为等差数列，，， 前项和， ， ， 数列与数列互为反调数列， 对于任意的，都有， ， ， ，对于任意的恒成立， ，， 当时，，不符合； 当时，则需， ，随着的增大而减小， 只需满足时，，， ， 故数列的公差的取值范围为； （3），，，， ， 数列，互为反调数列，， ，，所有的互不相等， 数列是的排列，即取遍从到的所有整数， 不妨设数列为，数列为 当为偶数时，设， 则数列为， 数列为， 则数列为， 则 ， ，，； 当为奇数时，设， 则数列为， 数列为， 则数列为， 则 ， ，，， 综上可知，当为偶数时，，当为奇数时. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 解答题专训25 新定义问题及变换与置换型问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 1 题型1 新定义问题 1 题型2 变换与置换问题 2 重难专题分层过关练 3 巩固过关 3 创新提升 5 解题方法及技巧提炼 数列压轴题，多以新定义三问形式来考察： 第一问多为代入定义的简单计算与举例验证，门槛较低，保证基础得分； 第二问聚焦数列固有性质推导，围绕单调性、有界性、不等关系、唯一性等内容展开证明，锻炼学生逻辑推导与文字论证表达能力； 第三问为整道题的难点与拉分点，集中考查存在性论证、构造性证明、分类讨论、反证法以及抽屉原理等高阶思想方法，题干符号语言抽象、条件关联复杂，需要学生深度解读定义内涵，自主梳理逻辑链条，依托严谨的数学思维完成综合论证，重点选拔具备独立思考、自主建构逻辑、深度探究问题能力的考生。 题型通法及变式提升 题型1 新定义问题 【例1】（2026·北京石景山·一模）若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“等比源数列”． (1)已知数列为4，3，1，2，数列为1，2，6，24，分别判断，是否为“等比源数列”，并说明理由； (2)已知数列的通项公式为，判断是否为“等比源数列”，并说明理由； (3)已知数列为单调递增的等差数列，且，，求证：为“等比源数列”． 【变式1】（25-26高三下·北京密云期末）若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“等比源数列”． (1)已知数列为4，3，1，2，数列为1，2，6，24，分别判断,是否为“等比源数列”，并说明理由； (2)已知数列的通项公式为，判断是否为“等比源数列”，并说明理由； 【变式2】（2026·北京通州一模）给定数列，若满足 (且)，对于任意的，都有，则称数列为“指数型数列”． (1)已知数列的通项公式分别为，试判断数列是不是“指数型数列”； (2)已知数列满足，判断数列是不是“指数型数列”．若是，请给出证明，若不是，请说明理由； (3)若数列是“指数型数列”，且，证明数列中任意三项都不能构成等差数列． 题型2 变换与置换问题 【例2】（2026·北京房山·一模）已知数列：，，若集合，则称数列为数列的一个置换． (1)求数列：的任意置换的前项和的最大值； (2)已知数列：．写出的一个置换，使得该置换的前项的和满足：存在，．对任意，，数列是否也存在一个置换，使得该置换的前项的和满足：存在，？说明理由； (3)在项数为的数列中，，证明：“数列为常数列”的充要条件为 “在数列的以任意项为末项的所有置换中，都存在置换，使得”． 【变式1】（25-26高三上·北京·期末）已知有序数对，有序数对，定义“变换”：.通过“变换”可以将有序数对转化为有序数对. (1)写出有序数对经过3次“变换”后得到的有序数对； (2)若有序数对经过一次“变换”得到有序数对，且有序数对的三项之和为4050，求的值； (3)在（2）的条件下，有序数对经过次“变换”后得到有序数对三项之和最小，求的最小值. 【变式2】（25-26高三上·北京东城·期末）已知数列为有穷整数数列，定义变换：将的第项与第项同时减1，其余项不变，所得数列记作．对依次进行变换后，所得数列记为． (1)已知，直接写出； (2)已知，若存在变换使得的各项均为0，求的值； (3)已知为偶数，的各项均为正整数，且对任意的变换，当中的各项均为非负整数时，都有中等于0的项的个数不大于，求的各项之和的最小值． 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（25-26高三下·北京延庆·期中）如果数列对任意的，，则称为“速增数列”. (1)判断数列是否为“速增数列”？说明理由； (2)若数列为“速增数列”，且任意项，，，，求正整数k的最大值. 2．（25-26高三下·北京怀柔·阶段检测）若数列满足．对任意，都有，则称是“P数列”， (1)若，判断，是否是“P数列”； (2)已知是等差数列，，其前n项和记为，若是“P数列”，且恒成立，求公差d的取值范围； 3．（2023·广东汕头·三模）设数列的前项和为，若，则称是“紧密数列”. (1)若，判断是否是“紧密数列”，并说明理由； (2)若数列前项和为，判断是否是“紧密数列”，并说明理由； (3)设数列是公比为的等比数列.若数列与都是“紧密数列”，求的取值范围. 4．已知项数为m（，）的数列满足如下条件：①（，2，…，）；②.若数列满足，其中，2，…，，则称为“默契数列”. (1)数列1，5，9，13，17是否存在“默契数列”，若存在，写出其默契数列，若不存在请说明理由； (2)若为的“默契数列”，判断数列的单调性，并予以证明； (3)已知数列存在“默契数列”，且，，求的最大值. 5．已知数列的前项和为，若数列满足，则称数列是“方特数列”. (1)证明：数列是“方特数列”； (2)若数列是“方特数列”，求的取值范围； (3)证明：当时，数列是“方特数列”. 6．（25-26高三上·福建福州·期中）对于数列，，，定义“变换”：将数列变换成数列，，，其中，且.这种“变换”记作，继续对数列进行“变换”，得到数列，，，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束. (1)写出数列2，6，4经过5次“变换”后得到的数列； (2)设数列400，2，403经过次“变换”得到的数列各项之和最小，求的最小值. 7．（25-26高三下·北京东城·期末）已知项数列，满足有.若变换满足，有，且有，则称数列是数列的一个排列.，记，如果是满足的最小正整数，称数列存在阶逆序排列，称是的阶逆序变换. (1)已知数列，数列，求： (2)证明：对于项数列，不存在阶逆序变换： (3)若项数列存在阶逆序变换，求的最小值. 8．（25-26高三上·湖北·期中）n为不小于3的正整数，对整数数列：，可以做以下三种变换： ①将中的减1，加1，其余项不变，称此变换为对做变换； ②取，将中的减2，，均加1，其余项不变，称此变换为对做变换； ③将中的减1，加1，其余项不变，称此变换为对做变换.将数列做一次变换得到，将数列做一次变换得到……例如：时，对数列：0，-1，1，0依次做，变换，意义如下：先对做变换得到数列：0，0，-1，1，再对做变换得到数列：0，0，0，0. (1)时，给定数列：0，-1，1，0，0，求证：可以对做若干次变换得到数列0，0，0，0，0； (2)时，求证：对任意整数数列：，，，，，若，则可以对做若干次变换得到数列0，0，0，0，0； (3)若将变换①中的改为，将变换③中的改为，在时，求证：对任意整数数列：，若，且和均为偶数，则可以对整数数列做若干次变换得到数列. 创新提升 9.（2025·北京平谷·一模）对于数列，若满足，则称数列为“数列”.定义变换，若，将变成0，1，若，将变成1，0，得到新的“数列”.设是“数列”，令. (1)若数列，求数列； (2)若数列共有10项，则数列中连续两项相等的数对至多有多少对？请说明理由； (3)若为0，1，记数列中连续两项都是0的数对个数为.求关于的表达式. 10．（2026·北京平谷·一模）对于每项均是正整数的数列、、、，定义变换，将数列变换成数列、、、、．对于每项均是非负整数的数列、、、，定义变换，将数列各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列；又定义．设是每项均为正整数的有穷数列，令． (1)如果数列为、、，写出数列、； (2)对于每项均是正整数的有穷数列，证明； (3)证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数，当时，． 11．（2026·北京海淀·二模）给定正整数，如果一个无穷数列满足：对于任意正整数，这项中恰有个不同的数，则称为预言数列． (1)分别写出下列数列是否为3-预言数列； ①；② (2)是否存在首项为3的3-预言数列？若存在，求出所有符合条件的数列；若不存在，说明理由； (3)求预言数列的个数． 12．（2026·陕西榆林·三模）已知数列：，数列：，其中，且，若对于任意的，且，都有，则称，互为“反调数列”． (1)已知数列：3，6，4，分别判断下面数列是否为数列的反调数列，并说明理由； ①数列：5，1，7，②数列：10，4，9． (2)若，数列为等差数列，其前项和为，，，数列：，，…，与数列互为反调数列，求数列的公差的取值范围； (3)对于固定的正整数，任意的，总有，，数列，互为反调数列，且，求． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $