解答题专训24 数列求和（专项训练）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以“方法提炼-题型通法-分层训练”为主线，系统构建数列求和方法体系，覆盖分组转化、裂项相消、错位相减等核心方法，注重数学思维的推理与模型应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法及技巧提炼|公式法+4大方法+常用结论|提炼分组转化、裂项相消、错位相减等方法步骤及变形技巧|从等差等比求和公式到特殊数列求和方法，形成“公式-方法-结论”递进逻辑| |题型通法及变式提升|3题型（各1典例+2变式）|针对每种题型构建“典例示范-变式迁移”训练链|题型与方法一一对应，通过变式强化方法适用性判断| |重难专题分层过关练|巩固12题+创新4题|融合递推数列转化等跨模块知识，提升综合应用能力|从基础巩固到创新拓展，实现知识应用的梯度提升|

解答题专训24 数列求和 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 1 题型1 分组转化求和 2 题型2 裂项消项求和 4 题型3 错位相减求和 6 重难专题分层过关练 8 巩固过关 8 创新提升 16 解题方法及技巧提炼 1.公式法 (1)等差数列{an}的前n项和Sn＝＝na1＋. (2)等比数列{an}的前n项和Sn＝ 2.几种数列求和的常用方法 (1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或其他可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减. (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和. (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解. (4)倒序相加法：如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解. 3. 常用结论 1.一些常见的数列的前n项和 (1)1＋2＋3＋…＋n＝； (2)2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)； (3)1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2. 2.几种常见变形 (1)＝(－)； (2)等差数列{an}(an≠0)的公差为d(d≠0)，则＝(－)； (3)＝； (4)＝－. 题型通法及变式提升 题型1 分组转化求和 【典例1】（25-26高三下·北京顺义·期中）在等差数列中，,. (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1，公比2的等比数列，求数列的前n项和. 【解】（1）设等差数列的公差为，则，解得， 因此，. 故. （2）由题意知，，所以. 所以 . 故. 分组转化法求和的常见类型 【变式1】（25-26高三下·北京海淀·期中）已知正项等比数列的前项和为，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和. 【解】（1）设的公比为（）， 因为，且，，成等差数列， 所以，即，解得， 所以； （2）由（1）， ． 【变式2】（25-26高三下·北京·期中）已知是等差数列，是等比数列，且，，，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【解】（1）是等比数列，且，， ，，， ，，，， 是等差数列，，，， ， 即. （2）设的前项和为， 由（1）知，，，则， 设的前项和为， 由（1）知，，，则， 设数列的前项和为，则. 故数列的前项和为. 题型2 裂项消项求和 【典例2】（2026·江西·一模）已知数列中，，满足． (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式： (2)设为数列的前项和，求． 【解】（1）由题意，， 则， ， 所以是以为首项，3为公比的等比数列. 所以，则. （2）由， 则， 所以 即. 裂项相消法求和的步骤 【变式1】在数列中，． (1)求的通项公式； (2)设为的前项和，求数列的前项和． 【解】（1）因为，所以， 所以数列是常数列， 又，所以，故． （2）由（1）可知，是等差数列，则， 所以， 故， ． 【变式2】（2026·广东深圳·一模）已知数列是等比数列，，，数列满足：. (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和. 【解】（1）设等比数列的公比为，则，所以，， 因为， 当时，， 两式相减得， 则时，； 当时，由得，解得符合该式； 所以，. （2）由于， ， 所以. 题型3 错位相减求和 【典例3】（25-26高三下·北京密云·期中）已知数列的前项和为，且. (1)设，证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【解】（1）由题意，当时，，解得， 当时，由①，可得②， ①-②，可得，即， 两边同时加6，可得， ，，即. 数列是以2为首项，为公比的等比数列， ∴数列的通项公式为， （2）由（1）知，，则， ， ， 两式相减，得， ， . 1.如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，常采用错位相减法. 2.错位相减法求和时，应注意： (1)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式. (2)应用等比数列求和公式时必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式Sn＝na1. 【变式1】（25-26高三上·北京通州·期末）记为数列的前项和，已知. (1)求，； (2)证明：数列是等比数列； (3)设，求数列的前项和. 【解】（1）因为 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得 （2）证明：当时，； 当时，， 两式相减得：，所以 所以 又因为， 所以，所以是首项为4，公比为4的等比数列. （3）由（2）知： 所以， 所以①， 故②， 两式相减得，， 故. 【变式2】（25-26高三上·江西上饶·阶段检测）记为数列的前项和，已知. (1)求； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和. 【解】（1）因为， 当时，，解得. （2）由可得， 两式相减得，即. 当时，， 即， 由递推关系得，则。 且满足上式，故数列的通项公式为. （3）由（2）得， 设，则， 可得， ， 两式相减得 ， 故. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（25-26高三下·北京顺义·阶段检测）已知是各项均为正数的等比数列，，且，，成等差数列． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【解】（1）设等比数列的公比为，则， 由已知，，成等差数列，所以，即， 又，所以，解得或， 又是各项均为正数的等比数列，则，所以； （2）由（1）可得，， 所以 . 2．（25-26高三·北京·二轮复习）已知无穷等比数列的各项都是正数，，． (1)求数列的通项公式； (2)设无穷数列的前n项和为，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使数列唯一确定，求数列的前n项和． 条件①：，； 条件②：，； 条件③：，． 【解】（1）设各项都是正数的无穷等比数列的公比为q， 由题意知，解得，（舍）． 所以的通项公式为． （2）选条件① 因为，， 所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列． 所以． ． 选条件② 由题意知，当时，． 因为，也适合上式，所以． ． 选③，，则是等差数列，但无法确定公差，不满足题意． 3．（25-26高三上·北京丰台·期末）已知数列是等差数列，数列是等比数列，，，. (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和. 【解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由题意得，解得或（舍去）， 所以，； （2） . 4．（2026·广东广州·三模）已知数列满足，且对任意的，都有. (1)设，求数列的通项公式； (2)数列表示不超过的最大整数，求的前350项和. 【解】（1）由可得， 又，所以，即是以3为公差的等差数列， 又，得，， 所以，解得，故， 所以. （2）由（1）可得，又 所以， 所以. 5．（25-26高三上·北京朝阳·期末）已知数列是公比为的等比数列，其前n项和为，且，． (1)求q的值； (2)若等差数列满足，其前n项和为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求数列的前n项和． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解】（1）由得， 所以，即，化简得：， 解得（舍去）； （2）若选①：因为，， 所以等差数列的公差，所以， 由（1）可知， 所以， 所以数列的前n项和 ； 若选②：由（1）可知，所以，所以， 所以等差数列的公差，所以， 所以， 所以数列的前n项和 ； 若选③：由（1）可知，又， 所以，所以，所以， 所以，所以， 所以数列的前n项和 . 6．（25-26高三下·北京顺义·阶段检测）已知数列满足，且． (1)求证：数列是等差数列： (2)若，求数列的前项和． 【解】（1）已知，则， ， ，， 是首项为3，公差为的等差数列． （2）由（1）知，， ， ， ， ． 7．（25-26高三上·北京朝阳·阶段检测）已知数列是公差不为零的等差数列，，且是与的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和，为数列的前项和，求证：. 【解】（1）设数列的公差为，由题可知， ，化简得：， 因为数列的公差不为零，所以， 所以数列的通项公式为； （2）由（1）可知， 所以， 所以， 因为，所以. 8．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知是数列的前项和，且满足，，数列满足， (1)求和； (2)若数列满足，，求的前项和. 【解】（1）由题意可知，， 则，则， 则，， 所以， 则，， 而满足上式，则. 由，则， 则，即，又， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，即. （2）由， 则， 所以 . 9．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知正项数列的前项和为，且； (1)求和的值； (2)求证数列是等差数列，并求出数列的通项公式； (3)若，求数列的前项和. 【解】（1）由题可得，即， 所以即， 又数列为正项数列，所以， 所以， 所以由得； （2）因为，所以由（1）当时，， 当时， ， 整理化简得，又， 所以即， 所以数列是以为公差，1为首项的等差数列， 所以. （3）由（2）得， 所以. 10．（2026·陕西西安·一模）已知是等差数列，是公比为正整数的等比数列，且，，. (1)求，的通项公式； (2)记（），求. 【解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为（）， 由，，，有，， 有， 解得（舍），， 故，. （2）由， 有， 两式相减，得， 故. 11．（2026·湖北孝感·模拟预测）已知正项数列满足：. (1)证明是等比数列，并求通项； (2)若，求数列的前项和的表达式. 【解】（1）由，得， 因为是正项数列，所以，即，又， 所以是公比为的等比数列，又，得， 所以，即. （2）由（1）知，所以. 所以， 即， ， 所以 ， 所以. 12．（2026·内蒙古赤峰·一模）已知数列，________.在①数列的前项和为，；②数列的前项之积为，这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答.（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分.在答题前应说明“我选________”） (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【解】（1）若选①，； 当时，， 则是以为首项，公比为2的等比数列，则； 若选②，，当时，， 又满足，则时，； （2）由（1）可得. 则， . 则. 创新提升 13．已知数列的前n项和为，，且． (1)求的通项公式. (2)从下面①②中任选一个作为条件，求数列的前n项和． ①；②． 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【解】（1）因为①，故得②， ①－②得，得． 在中，令，得， 又，所以，解得，所以， 故，而，故是以2为首项、2为公比的等比数列， 所以． （2）若选①： 由（1）知，所以， 则， ， 两式相减，得：， 所以． 若选②： 由（1）知，所以， 则 ． 14．（23-24高二下·北京大兴·期中）数列是首项为2的等差数列，数列是公比为2的等比数列，且数列的前项和为．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，并解答下列问题： (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和． 条件①：；条件；②：；条件③：． 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【解】（1）设等差数列的公差为d，则， 当时，，解得，因此， 当时，，即，解得， 所以. （2）选择条件，由（1）得，， 则， 于是， 两式相减得 所以． 选择条件，由（1）可得，， 则， 所以． 选择条件，由（1）可得，， 则 所以． 15.（2026·广东广州·三模）已知数列满足，，且对任意的，，都有. (1)设，求证：数列是等差数列，并求出其的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)若，求的前n项和. 【解】（1）由有， 所以，又，，解得， 又因为，即， 所以数列是以公差为3，首项为的等差数列， 所以， （2）由（1）有， 所以， 上式相加有， 所以， 所以； （3）由（2）有， 所以， 所以 ， 所以. 16.（2026·海南·模拟预测）已知各项均为正数的等差数列的前项和为，，数列为等比数列，首项． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【解】（1）由，当时，， 相减得， 已知数列各项均为正数，即，可化简得，即数列的公差满足，解得， 当时，，解得，则数列通项公式为， 可得，则， 由数列为等比数列可得，由，求得， 则数列通项公式为. （2）由（1）知，则， 所以， 则， 作差的， 化简得， 解得. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 解答题专训24 数列求和 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 1 题型1 分组转化求和 2 题型2 裂项消项求和 4 题型3 错位相减求和 6 重难专题分层过关练 8 巩固过关 8 创新提升 16 解题方法及技巧提炼 1.公式法 (1)等差数列{an}的前n项和Sn＝＝na1＋. (2)等比数列{an}的前n项和Sn＝ 2.几种数列求和的常用方法 (1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或其他可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减. (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和. (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解. (4)倒序相加法：如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解. 3. 常用结论 1.一些常见的数列的前n项和 (1)1＋2＋3＋…＋n＝； (2)2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)； (3)1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2. 2.几种常见变形 (1)＝(－)； (2)等差数列{an}(an≠0)的公差为d(d≠0)，则＝(－)； (3)＝； (4)＝－. 题型通法及变式提升 题型1 分组转化求和 【典例1】（25-26高三下·北京顺义·期中）在等差数列中，,. (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1，公比2的等比数列，求数列的前n项和. 分组转化法求和的常见类型 【变式1】（25-26高三下·北京海淀·期中）已知正项等比数列的前项和为，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和. 【变式2】（25-26高三下·北京·期中）已知是等差数列，是等比数列，且，，，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 题型2 裂项消项求和 【典例2】（2026·江西·一模）已知数列中，，满足． (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式： (2)设为数列的前项和，求． 裂项相消法求和的步骤 【变式1】在数列中，． (1)求的通项公式； (2)设为的前项和，求数列的前项和． 【变式2】（2026·广东深圳·一模）已知数列是等比数列，，，数列满足：. (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和. 题型3 错位相减求和 【典例3】（25-26高三下·北京密云·期中）已知数列的前项和为，且. (1)设，证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 1.如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，常采用错位相减法. 2.错位相减法求和时，应注意： (1)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式. (2)应用等比数列求和公式时必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式Sn＝na1. 【变式1】（25-26高三上·北京通州·期末）记为数列的前项和，已知. (1)求，； (2)证明：数列是等比数列； (3)设，求数列的前项和. 【变式2】（25-26高三上·江西上饶·阶段检测）记为数列的前项和，已知. (1)求； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（25-26高三下·北京顺义·阶段检测）已知是各项均为正数的等比数列，，且，，成等差数列． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 2．（25-26高三·北京·二轮复习）已知无穷等比数列的各项都是正数，，． (1)求数列的通项公式； (2)设无穷数列的前n项和为，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使数列唯一确定，求数列的前n项和． 条件①：，； 条件②：，； 条件③：，． 3．（25-26高三上·北京丰台·期末）已知数列是等差数列，数列是等比数列，，，. (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和. 4．（2026·广东广州·三模）已知数列满足，且对任意的，都有. (1)设，求数列的通项公式； (2)数列表示不超过的最大整数，求的前350项和. 5．（25-26高三上·北京朝阳·期末）已知数列是公比为的等比数列，其前n项和为，且，． (1)求q的值； (2)若等差数列满足，其前n项和为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求数列的前n项和． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 6．（25-26高三下·北京顺义·阶段检测）已知数列满足，且． (1)求证：数列是等差数列： (2)若，求数列的前项和． 7．（25-26高三上·北京朝阳·阶段检测）已知数列是公差不为零的等差数列，，且是与的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和，为数列的前项和，求证：. 8．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知是数列的前项和，且满足，，数列满足， (1)求和； (2)若数列满足，，求的前项和. 9．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知正项数列的前项和为，且； (1)求和的值； (2)求证数列是等差数列，并求出数列的通项公式； (3)若，求数列的前项和. 10．（2026·陕西西安·一模）已知是等差数列，是公比为正整数的等比数列，且，，. (1)求，的通项公式； (2)记（），求. 11．（2026·湖北孝感·模拟预测）已知正项数列满足：. (1)证明是等比数列，并求通项； (2)若，求数列的前项和的表达式. 12．（2026·内蒙古赤峰·一模）已知数列，________.在①数列的前项和为，；②数列的前项之积为，这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答.（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分.在答题前应说明“我选________”） (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 创新提升 13．已知数列的前n项和为，，且． (1)求的通项公式. (2)从下面①②中任选一个作为条件，求数列的前n项和． ①；②． 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 14．（23-24高二下·北京大兴·期中）数列是首项为2的等差数列，数列是公比为2的等比数列，且数列的前项和为．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，并解答下列问题： (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和． 条件①：；条件；②：；条件③：． 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 15.（2026·广东广州·三模）已知数列满足，，且对任意的，，都有. (1)设，求证：数列是等差数列，并求出其的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)若，求的前n项和. 16.（2026·海南·模拟预测）已知各项均为正数的等差数列的前项和为，，数列为等比数列，首项． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $