课时规范练39　分组转化法、错位相减法求和-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦分组转化与错位相减求和，以等差等比数列为基础，通过分层典例构建“概念-方法-变式”逻辑链，培养运算推理与模型构建能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分组转化法|2题（第1、3题）|分组求和（等差+等比）、分类讨论（奇偶项）|由等差等比通项推导，延伸至混合数列拆分求和| |错位相减法|2题（第2、4题）|乘公比错位相减、化简技巧（错位相减后合并同类项）|基于等比数列求和原理，解决“等差×等比”型数列求和|

课时规范练39　分组转化法、错位相减法求和 (分值:55分) 1.(13分)(2026·福建厦门期中)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,满足a4=8,S3=12. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若等比数列{bn}的前n项和为Tn,且b1b2b3=8,T2=S2,设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和Mn. 2.(12分)(2024·全国甲,理18)记Sn为数列{an}的前n项和,已知4Sn=3an+4. (1)求{an}的通项公式; (2)设bn=(-1)n-1nan,求数列{bn}的前n项和Tn. 3.(15分)(2025·河南郑州三模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3+a7=6,S12=45. (1)求an. (2)若数列{bn}满足bn= ①求数列{bn}的前20项和T20; ②求数列{bn}的前n项和Tn. 4.(15分)(2026·湖南长沙期中)已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+2n+c,其中c为常数. (1)求数列{an}的通项公式. (2)若数列{an}为等差数列. ①若cn=,设dn=求数列{dn}的前n项和Hn; ②若数列{bn}的前n项和为Tn,且bn=,求证:Tn<5. 参考答案 课时规范练39　分组转化法、错位相减法求和 1.解 (1)设等差数列{an}的首项和公差分别为a1,d, 因为可得解得a1=d=2, 所以an=a1+(n-1)d=2n. (2)设等比数列{bn}的首项和公比分别为b1,q,因为b1b2b3==8,可得b2=2. 又因为T2=S2,即a1+a2=b1+b2=6,可得b1=4,q=,则bn=4×=23-n,可得cn=an+bn=2n+23-n, 所以Mn=Sn+Tn=+4×=n2+n+8-. 2.解 (1)因为4Sn=3an+4,所以4Sn+1=3an+1+4,两式相减,得4an+1=3an+1-3an,即an+1=-3an,又4S1=3a1+4,则a1=4,故数列{an}是首项为4,公比为-3的等比数列,则an=4×(-3)n-1. (2)bn=(-1)n-1nan=4n·3n-1,所以Tn=4(1×30+2×31+3×32+…+n·3n-1). 3Tn=4(1×31+2×32+3×33+…+n·3n),两式相减,得-2Tn=4(1+31+32+…+3n-1-n·3n)=4(-n·3n)=(2-4n)·3n-2, 所以Tn=(2n-1)3n+1. 3.解 (1)设等差数列{an}的公差为d,由a3+a7=6,S12=45, 得解得 所以an=1+(n-1)×. (2)①因为an+an+2==n+2,所以bn= 故T20=b1+b2+b3+…+b20=(b1+b3+…+b19)+(b2+b4+…+b20)=(3+5+…+21)+(22+23+…+211)==4 212. ②当n为偶数时,Tn=b1+b2+b3+…+bn=(b1+b3+…+bn-1)+(b2+b4+…+bn)=(3+5+…+n+1)+(22+23+…+)=-4. 当n为奇数时,Tn=b1+b2+b3+…+bn=(b1+b3+…+bn)+(b2+b4+…+bn-1)=(3+5+…+n+2)+(22+23+…+)=-4. 故Tn= 4.(1)解 由已知得当n=1时,S1=a1=3+c; 当n≥2时,由Sn=n2+2n+c,得Sn-1=(n-1)2+2(n-1)+c, 所以an=Sn-Sn-1=2n+1. 当n=1时,2×1+1=3, 所以当c=0时,an=2n+1, 当c≠0时,an= (2)①解 由数列{an}为等差数列,所以an=2n+1,所以a2=2×2+1=5, 所以cn==5n,故当n≥2时,有dn=×()n-1,而d1=也符合上式, 故dn=×()n-1. 易知数列{dn}是等比数列,所以Hn=[1-()n]. ②证明 由于bn=, 所以Tn=3×+5×()2+7×()3+…+(2n-1)×()n-1+(2n+1)×()n, (ⅰ) 于是Tn=3×()2+5×()3+7×()4+…+(2n-1)×()n+(2n+1)×()n+1, (ⅱ) (ⅰ)-(ⅱ)得Tn=+2×(+…+)-(2n+1)×()n+1=+2×-(2n+1)×()n+1,所以Tn=5-(2n+5)×()n,由于(2n+5)×()n>0, 所以Tn=5-(2n+5)×()n<5. 3 学科网（北京）股份有限公司 $