解答题专训23 数列基本量运算（含数列结构不良问题）（专项训练）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以等差等比数列基本量运算为核心，通过方法提炼-题型通法-分层过关三级体系，系统构建概念-公式-性质-应用的逻辑链条，培养数学抽象与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |方法提炼|8类方法总结|基本量法、判定四法、结构不良问题策略|概念生成→公式推导→性质应用| |题型通法|4题型（含典例+变式）|等差（比）量运算、判定及结构不良问题解法|题型与方法对应，变式拓展思维| |分层过关|16题（巩固12+创新4）|综合应用与创新迁移|基础巩固→能力提升→创新拓展|

解答题专训23 数列基本量运算（含数列结构不良问题） 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 1 题型1 等差数列基本量运算 3 题型2 等比数列基本量运算 5 题型3 等差（比）数列的判定 7 题型4 等差（比）数列中结构不良试题 9 重难专题分层过关练 11 巩固过关 11 创新提升 19 解题方法及技巧提炼 1.等差数列的概念 (1)定义：对于一个数列，如果从第2项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数，那么称这样的数列为等差数列. 数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N+，d为常数). (2)等差中项：如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b. 2.等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝. 3.等差数列的性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N+). (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N+)是公差为md的等差数列. (4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列. (5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列. 4.等差数列常用结论 1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p. 2.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值. 3.等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列. 4.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数). 5.等比数列的概念 (1)定义：如果一个数列从2项起，每一项与它的前一项的比值都是同一个常数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0). 数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数). (2)等比中项：如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，＝，G2＝ab，G＝±，我们称G为a，b的等比中项. 6.等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1； 通项公式的推广：an＝amqn－m. (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝. 7.等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和. (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则有ak·al＝am·an. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm. (3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn. (4)当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列. 8.等比数列常用结论 1.若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a}，，{an·bn}，也是等比数列. 2.数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和. (1)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列. (2)若数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q， 或＝q. 3.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0. 4.等比数列{an}的前n项和Sn，可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1，0). 5.三个数成等比数列，通常设为，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为，，xq，xq3. 题型通法及变式提升 题型1 等差数列基本量运算 【典例1】（2026·北京延庆·一模）已知数列的前项和为，且. (1)证明：是等差数列； (2)若，求的最大值. 【解】（1）已知， 所以， 所以， 两边同除以，得， 因为，所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）可知，所以， 当时，， 时，也满足， 因为，所以，解得， 又，所以的最大值为. 1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题. 2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法. 【变式1】（25-26高三下·北京房山·期中）设等差数列的公差不为0，，且． (1)求的通项公式： (2)设数列的前项和为，求使成立的的最小值． 【解】（1）设等差数列的公差为，． ，，解得或（舍）． 所以的通项公式为． （2）由题意可得， 令，解得或（舍）， 故使成立的的最小值为8． 【变式2】（25-26高三上·北京·期末）已知等差数列中，．数列的前项和为，且． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列，求的前项和． 【解】（1）设等差数列的公差为，由， 所以，所以， 解得，所以， 所以； 由， 当时，，解得， 当时，由，得， 所以，即， 所以数列是以为公比，为首项的等比数列， 所以； （2）由（1）得， 所以， 所以 所以的前项和为：. 题型2 等比数列基本量运算 【典例1】（25-26高三下·北京门头沟·期中）已知等比数列中，，. (1)求数列的前5项及前项和； (2)若等差数列满足，，求的前项和，的最值及取得最值时的取值. 【解】（1）等比数列中，，所以公比. 又，所以，所以. 前5项分别为，，，，， . （2）由（1）知，，，所以，. 设等差数列的公差为，则， 由，得. 所以等差数列的通项公式为. 则. 为开口向上的二次函数，对称轴为， 因为为正整数，所以当时，取得最小值，. 该数列无最大值. 故；当时，取得最小值，无最大值. 1.等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解. 2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝. 【变式1】（2026·山西大同·一模）已知数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【解】（1）因为，所以，， 两式相减，得，即，故， 当时，，所以，满足， 所以数列为以为首项，4为公比的等比数列， 所以. （2）由（1）得， 所以数列的前项和 . 【变式2】（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）等比数列中，，公比.对于数列，点都在函数的图象上，求： (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)数列中最大项是第几项？（直接写出答案） 【解】（1）由题设且，则，则； （2）由题设，则； （3）由，其中为奇数时，为偶数时， 又，若第项最大为奇数且，则， 所以，整理得，则， 所以. 题型3 等差（比）数列的判定 【典例1】（2026·四川绵阳·模拟预测）已知数列满足，． (1)证明：数列是等比数列； (2)求的通项公式，并求的前项和． 【解】（1）证明：，， 两式相减得， ， 又， 数列是首项为2，公比为2的等比数列． （2）数列是首项为2，公比为2的等比数列， ， ，， 两式相加得， ，， 当时，满足上式， 数列是首项为4，公差为4的等差数列，即， ，解得，   ． 等差、等比数列的判断与证明 方法 等差数列 等比数列 定义法 an＋1－an＝d ＝q（q≠0，an≠0） 通项公式法 an＝a1＋（n－1）d an＝a1·qn－1 中项法 2an＝an－1＋an＋1（n≥2） ＝an－1an＋1（n≥2，an≠0） 前n项和法 Sn＝an2＋bn（a，b为常数） Sn＝kqn－k（k≠0，q≠0，1） 【变式1】（25-26高三上·北京海淀·期中）已知数列的前项和为，且． (1)求的值； (2)求的通项公式； (3)若的各项都为正数，记，求． 【解】（1）对于，令， 可得，解得或. （2）当时，，此时， 则， 当时，则，可得， 得到，即， 则，化简得， 可得是以为首项，为公比的等比数列， 故. （3）因为的各项都为正数，所以， 则. 【变式2】（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）数列满足. (1)求； (2)当时，判断数列是否为等差数列，并说明理由： (3)求证：“”是“数列单调递增”的充分不必要条件. 【解】（1）因为数列满足， 所以； （2）假设数列能为等差数列，设它的公差为， ， 因此当时，恒成立， 所以等式在时恒成立， 所以有. 因为，所以数列不能是等差数列. （3）当时，因为， 所以，因此数列单调递增， 当时，，显然数列单调递增， 但是不成立， 故“”是“数列单调递增”的充分不必要条件. 题型4 等差（比）数列中结构不良试题 【例4】（25-26高三下·北京顺义·期中）设是等差数列的前项和，，______. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和的最值. 从①②③中任选一个，补充在上面的问题中并作答. 【解】（1）选①：，设等差数列的公差，依题意，，解得， 所以数列的通项公式. 选②：，则等差数列的公差， 所以数列的通项公式. 选③：，则，即，而， 解得，等差数列的公差， 所以数列的通项公式. （2）由（1）知，，公差，数列是递减等差数列，且首项， 由，得，由，得，即数列前5项都为正，从第6项起为负， 因此数列前5项和最大，， 所以数列的前项和的最大值为35，无最小值. 【变式1】（25-26高三下·北京房山·期中）已知等差数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得数列为等比数列，并求此时数列的前项和. 条件①：； 条件②：； 条件③：，. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分. 【解】（1）设等差数列的公差为，首项为. 由等差数列性质得：，解得. 又，解得. 因此通项公式为： ,即. （2）选条件②：，所以​不是常数，不是等比数列，不符合要求. 选条件①：，代入得，则， 因此是首项，公比的等比数列. 由等比数列前项和公式： ，符合要求. 选条件③：，即，则不能判断数列是等比数列，故不符合要求. 综上所述，选条件①：；选条件②：数列不是等比数列； 选条件③：不能判断数列是等比数列. 【变式2】在，，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题的题设条件中，并解答． 问题：等差数列的公差为，且，______． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和取得最小值时的值． 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 【解】（1）由，得，则； 若选①，则，解得， 故，； 若选②，则由，可得， 得，代入解得， 故，； 若选③，则由，可得， 即，可得， 故，. （2）由(1)知，，，数列是递增数列． 由，得，又，当时，， 当时，， ∴当时，取得最小值． 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（25-26高三下·辽宁铁岭·阶段检测）已知数列是等差数列，且，． (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，求的最小值． 【解】（1）设等差数列的公差为，由题意可得，解得， 所以． （2）因为是等差数列，所以． 因为，所以当时，有最小值. 2．设函数，且，，其中. (1)计算，的值； (2)设，求证：数列为等比数列； (3)求证：. 【解】（1）由题意，得， 因为，所以，. （2）证明：因为， 所以. 所以数列是首项，公比为的等比数列. （3）由（2），得， 所以. 因为， 且当时，，， 所以，即. 因为， 所以. 综上，对于任意，都有. 3．已知无穷数列满足，，令. (1)求，的值； (2)证明：数列是等比数列，写出数列的通项公式； (3)记数列的前n项和为，求，并判断数列：，，，…，，…的单调性. 【解】（1）因为，，， 所以，. （2）因为，所以. 由(1)知，所以是以2为首项，2为公比的等比数列. 所以的通项公式为. （3）由(2)知，.所以. 故数列的通项公式为. 数列的前n项和 . 因为当时，， 所以数列：，，，…，，…是递增数列. 4．（25-26高三上·北京·阶段检测）记为等差数列的前n项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)当n为何值时，取最小值并求出最小值． (3)记为数列的前n项和，求． 【解】（1）因为为等差数列的前n项和，且，， 则，即，可得公差， 所以数列的通项公式为． （2）因为，则， 令，解得， 可知当时，；当时，； 所以的最小值为． （3） . 5.（25-26高二上·北京·阶段检测）已知等差数列的前n项和为 ，等比数列满足是和的等差中项，且 (1)求数列和的通项公式; (2)设数列，求数列的前n项和. 【解】（1）在等差数列中，，即， 又，则，等差数列的公差， 因此等差数列的通项公式为； 由是和的等差中项，得，由， 得，则，等比数列的公比， 所以的通项公式为. （2）由（1）得， 所以 . 6．（25-26高二上·北京·期末）已知是等差数列，是等比数列，且，，，． (1)求和的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求的最小值． 【解】（1）设等比数列的公比为， 则，； 又，， 设等差数列的公差为，则， . （2）由， 故，， 当或时，有最小值. 7．（25-26高三上·北京海淀·期末）已知是首项为1，公差为2的等差数列；是各项均为正数的等比数列，其前项和为． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的通项公式及的前项和． 【解】（1）由题，，公差，故； 设等比数列的公比为，由，， 则，解得或，又，即， 故，则. （2）由（1），； . 8．（2026·河北沧州·一模）已知数列满足． (1)证明：存在非零实数，使得数列是等比数列； (2)求数列的前项和． 【解】（1）因为． 所以， 若数列是等比数列，又，则，解得． 此时． 由，得， 所以当时，数列是以8为首项、2为公比的等比数列． （2）由（1）得，所以， 即数列为等差数列，且公差为2，所以， 即．则， ， 所以 ， 所以． 9．（25-26高三上·北京平谷·阶段检测）已知是等差数列，是等比数列，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)求数列前项和的最大值． 【解】（1）因为， 所以等比数列的公比为，所以. 所以， 所以等差数列的公差为， 所以. （2）由（1）知， 所以 . （3）由等差数列的前项和公式知 ， 由二次函数的性质知，当时，取得最大值75. 10.（25-26高三下·北京·阶段检测）两个数列，，，已知数列为等比数列且，数列的前项和为，又满足______在①（）；② ：③ （）这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，使数列唯一确定，并解答下列问题. (1)求数列，的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 注：请考生从给出的条件①、②、③中任选一个作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选条件对应的题号涂黑，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【解】（1）因为，，故公比即，故. 若选①，因为，故对也成立， 故，此时数列唯一确定，符合； 若选② ，则，而，此时数列不能唯一确定，舍； 若选③ ，则，故为等差数列且公差为2， 故，此时数列唯一确定，符合； 故选条件①或③，此时，数列唯一确定. （2）, 故. 11.（25-26高三上·北京·阶段检测）已知等差数列的前项和为，且. (1)求的通项公式: (2)等比数列的首项为1，公比为，在下列三个条件中选择一个，使得的每一项都是中的项.若对任意的，有，求的通项公式和前项和. 条件①:; 条件②:; 条件③:. 注:如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分:如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【解】（1）由题意，设等差数列的首项为，公差为. 则有， 所以通项公式为 （2）选择条件①:. 由（1）可知，若，则， 显然当为偶数时，不是中的项， 因此，选择条件①不符合要求； 选择条件②：. 等比数列的首项为1，公比为 2，则， 由题意，即 当时，；当时，. 但必须为整数，因此时成立，时不成立. 因此，选择条件②不符合要求； 选择条件③：. 等比数列的首项为1，公比为3，则， 由题意，即 当时，；当时，因为任意均不是中的因子， 所以为奇数，所以为偶数， 所以均为整数，因此条件③符合要求.于是， 故其前项和为 . 12．（25-26高三上·北京·开学考试）设为数列的前项和，为数列的前项积，已知 (1)求的值； (2)求证数列是等差数列，并求出数列的通项公式； (3)求数列的通项公式. 【解】（1）由已知得,且，, 取,由得， 取,， 所以. （2）由已知条件知 ， ① 于是． ② 由①②得． ③ 又， ④ 由③④得． 令，由，得． 所以数列是以为首项，为公差的等差数列． 所以. （3）由（2）可得，， 当时，, 当时,，显然对于不成立， ∴. 创新提升 13.（25-26高三下·北京西城·阶段检测）已知等差数列的公差为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和； (3)若等比数列满足，设数列的前项和为.若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 【解】（1）已知等差数列的公差为，， ， 所以，经检验符合题意； （2）因为， 所以. （3）数列为等比数列，， 所以首项为1，公比为的等比数列， 则， 又对任意，不等式恒成立， 所以. 14.（25-26高三上·云南德宏·开学考试）设数列的前n项和为．已知，． (1)求的值； (2)求证：为等差数列； (3)证明：对一切正整数n，有． 【解】（1）数列中，， 当时，，而，则， 当时，，所以. （2）由，得， 当时，， 两式相减得，即， 整理得，而， 故数列是首项为，公差为1的等差数列. （3）由（2）知，则， 当时，，原不等式成立； 当时，，原不等式成立； 当时，由，得， 因此 ， 所以对一切正整数，有. 15．（24-25高三下·北京怀柔·期中）已知数列的前n项和为，且. (1)求出，并求出与的递推关系； (2)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (3)在与之间插入n个数，使得包括与在内的这个数成等差数列，其公差为，若对任意，有恒成立，求实数的最小值. 【解】（1）当时，，而， 所以，解得9， 当时，，， 得：，整理得：， 经检验，，满足上式， 所以； （2）由得， 又， 所以数列是以6为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以. （3）由题意， 由（2）可知：， 所以，所以，令， 则，而， 所以，即数列单调递减， 故，所以，所以的最小值为. 16.已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项. (1)求和的通项公式； (2)对任意的正整数，设求数列的前项和. (3)若对于恒成立，求实数的取值范围. 【解】（1）由，，解得， 所以；则， 由是和的等比中项，则，解得， 又由，所以，所以. （2）由（1）可得， 则①， ②， 将两式相减得：， 化简得. （3）若对于恒成立， 即对于恒成立， 化简得对于恒成立，令， 则，当时，； 所以当时，， 所以当时，单调递减，当时，， 所以，所以. 故实数的取值范围为. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 解答题专训23 数列基本量运算（含数列结构不良问题） 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 1 题型1 等差数列基本量运算 3 题型2 等比数列基本量运算 5 题型3 等差（比）数列的判定 7 题型4 等差（比）数列中结构不良试题 9 重难专题分层过关练 11 巩固过关 11 创新提升 19 解题方法及技巧提炼 1.等差数列的概念 (1)定义：对于一个数列，如果从第2项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数，那么称这样的数列为等差数列. 数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N+，d为常数). (2)等差中项：如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b. 2.等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝. 3.等差数列的性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N+). (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N+)是公差为md的等差数列. (4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列. (5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列. 4.等差数列常用结论 1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p. 2.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值. 3.等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列. 4.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数). 5.等比数列的概念 (1)定义：如果一个数列从2项起，每一项与它的前一项的比值都是同一个常数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0). 数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数). (2)等比中项：如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，＝，G2＝ab，G＝±，我们称G为a，b的等比中项. 6.等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1； 通项公式的推广：an＝amqn－m. (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝. 7.等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和. (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则有ak·al＝am·an. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm. (3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn. (4)当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列. 8.等比数列常用结论 1.若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a}，，{an·bn}，也是等比数列. 2.数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和. (1)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列. (2)若数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q， 或＝q. 3.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0. 4.等比数列{an}的前n项和Sn，可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1，0). 5.三个数成等比数列，通常设为，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为，，xq，xq3. 题型通法及变式提升 题型1 等差数列基本量运算 【典例1】（2026·北京延庆·一模）已知数列的前项和为，且. (1)证明：是等差数列； (2)若，求的最大值. 1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题. 2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法. 【变式1】（25-26高三下·北京房山·期中）设等差数列的公差不为0，，且． (1)求的通项公式： (2)设数列的前项和为，求使成立的的最小值． 【变式2】（25-26高三上·北京·期末）已知等差数列中，．数列的前项和为，且． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列，求的前项和． 题型2 等比数列基本量运算 【典例1】（25-26高三下·北京门头沟·期中）已知等比数列中，，. (1)求数列的前5项及前项和； (2)若等差数列满足，，求的前项和，的最值及取得最值时的取值. 1.等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解. 2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝. 【变式1】（2026·山西大同·一模）已知数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【变式2】（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）等比数列中，，公比.对于数列，点都在函数的图象上，求： (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)数列中最大项是第几项？（直接写出答案） 题型3 等差（比）数列的判定 【典例1】（2026·四川绵阳·模拟预测）已知数列满足，． (1)证明：数列是等比数列； (2)求的通项公式，并求的前项和． 等差、等比数列的判断与证明 方法 等差数列 等比数列 定义法 an＋1－an＝d ＝q（q≠0，an≠0） 通项公式法 an＝a1＋（n－1）d an＝a1·qn－1 中项法 2an＝an－1＋an＋1（n≥2） ＝an－1an＋1（n≥2，an≠0） 前n项和法 Sn＝an2＋bn（a，b为常数） Sn＝kqn－k（k≠0，q≠0，1） 【变式1】（25-26高三上·北京海淀·期中）已知数列的前项和为，且． (1)求的值； (2)求的通项公式； (3)若的各项都为正数，记，求． 【变式2】（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）数列满足. (1)求； (2)当时，判断数列是否为等差数列，并说明理由： (3)求证：“”是“数列单调递增”的充分不必要条件. 题型4 等差（比）数列中结构不良试题 【例4】（25-26高三下·北京顺义·期中）设是等差数列的前项和，，______. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和的最值. 从①②③中任选一个，补充在上面的问题中并作答. 【变式1】（25-26高三下·北京房山·期中）已知等差数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得数列为等比数列，并求此时数列的前项和. 条件①：； 条件②：； 条件③：，. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分. 【变式2】在，，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题的题设条件中，并解答． 问题：等差数列的公差为，且，______． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和取得最小值时的值． 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（25-26高三下·辽宁铁岭·阶段检测）已知数列是等差数列，且，． (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，求的最小值． 2．设函数，且，，其中. (1)计算，的值； (2)设，求证：数列为等比数列； (3)求证：. 3．已知无穷数列满足，，令. (1)求，的值； (2)证明：数列是等比数列，写出数列的通项公式； (3)记数列的前n项和为，求，并判断数列：，，，…，，…的单调性. 4．（25-26高三上·北京·阶段检测）记为等差数列的前n项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)当n为何值时，取最小值并求出最小值． (3)记为数列的前n项和，求． 5.（25-26高二上·北京·阶段检测）已知等差数列的前n项和为 ，等比数列满足是和的等差中项，且 (1)求数列和的通项公式; (2)设数列，求数列的前n项和. 6．（25-26高二上·北京·期末）已知是等差数列，是等比数列，且，，，． (1)求和的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求的最小值． 7．（25-26高三上·北京海淀·期末）已知是首项为1，公差为2的等差数列；是各项均为正数的等比数列，其前项和为． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的通项公式及的前项和． 8．（2026·河北沧州·一模）已知数列满足． (1)证明：存在非零实数，使得数列是等比数列； (2)求数列的前项和． 9．（25-26高三上·北京平谷·阶段检测）已知是等差数列，是等比数列，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)求数列前项和的最大值． 10.（25-26高三下·北京·阶段检测）两个数列，，，已知数列为等比数列且，数列的前项和为，又满足______在①（）；② ：③ （）这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，使数列唯一确定，并解答下列问题. (1)求数列，的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 注：请考生从给出的条件①、②、③中任选一个作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选条件对应的题号涂黑，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 11.（25-26高三上·北京·阶段检测）已知等差数列的前项和为，且. (1)求的通项公式: (2)等比数列的首项为1，公比为，在下列三个条件中选择一个，使得的每一项都是中的项.若对任意的，有，求的通项公式和前项和. 条件①:; 条件②:; 条件③:. 注:如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分:如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 12．（25-26高三上·北京·开学考试）设为数列的前项和，为数列的前项积，已知 (1)求的值； (2)求证数列是等差数列，并求出数列的通项公式； (3)求数列的通项公式. 创新提升 13.（25-26高三下·北京西城·阶段检测）已知等差数列的公差为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和； (3)若等比数列满足，设数列的前项和为.若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 14.（25-26高三上·云南德宏·开学考试）设数列的前n项和为．已知，． (1)求的值； (2)求证：为等差数列； (3)证明：对一切正整数n，有． 15．（24-25高三下·北京怀柔·期中）已知数列的前n项和为，且. (1)求出，并求出与的递推关系； (2)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (3)在与之间插入n个数，使得包括与在内的这个数成等差数列，其公差为，若对任意，有恒成立，求实数的最小值. 16.已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项. (1)求和的通项公式； (2)对任意的正整数，设求数列的前项和. (3)若对于恒成立，求实数的取值范围. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $