等差数列与等比数列 专项训练-2025届高三数学一轮复习

等差数列与等比数列-2025年高考数学一轮复习专题 一、单选题 1．设等差数列的前n项和为，且公差不为0，若，，，成等比数列，，则（    ） A．7 B．8 C．10 D．123 2．设是等差数列的前n项和，且，则（    ） A．17 B．34 C．51 D．68 3．已知数列通项公式为，将数列的公共项从小到大排列得到数列，设数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 4．南宋数学家杨辉详解九张算法和算法通变本末中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前项分别，，，，，，，则该数列的第项为（    ） A． B． C． D． 5．已知等比数列为递增数列，若，，则公比（    ） A． B．6 C． D． 6．已知等比数列 为递增数列，. 记 分别为数列 的前项和，若 ，则 （    ） A． B． C． D． 7．类比数列，我们把一系列向量按照一定的顺序排列，可得到向量列.已知向量列满足，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．用“作切线”的方法求函数零点时，若数列满足，则称该数列为言蹊数列.若函数有两个零点1和2，数列为言蹊数列.设，已知，的前n项和为，则（    ） A．2022 B．2023 C． D． 二、多选题 9．数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（    ） A．是递减数列 B． C．当时， D．当且仅当时，取得最大值 10．若，成等差数列，成等比数列，则题中等比数列的公比可以是：（    ）. A． B． C． D． 11．已知等比数列的公比为，前n项和为，若，且，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．在数列中，，则数列的通项 13．已知数列满足，，，若为数列的前n项和，则 ． 14．已知数列满足，则数列的通项公式为 ，若数列的前项和为，记，则数列的最大项为第 项． 四、解答题 15．已知等差数列的前n项和为． (1)求的通项公式； (2)数列满足为数列的前n项和，求的值. 16．已知首项为1的数列的前项和为，且. (1)求证：数列为等差数列； (2)若，求数列的前项和. 17．已知数列是等差数列，，且，，成等比数列，，数列的前n项和为 (1)求数列的通项公式及数列的前n项和 (2)是否存在正整数m，n（），使得，，成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由. 18．已知数列满足．若的前项和为，且当时，的等比中项为． (1)求的通项公式； (2)若对任意，记时，的个数为，求数列的前项和． 19．已知和是无穷的非常数数列．给出两个性质：①对于中任意两项，在中都存在一项，使得；②对于中任意一项，在中都存在两项，使得． (1)若，证明：数列满足性质①②； (2)若是单调数列，且满足性质①②，判断是否为等差数列，并说明理由； (3)若数列和满足（2）的条件，记（表示x，y，z，…中的最大者），证明：下列两个结论必有一个成立． （ⅰ）对任意的正数M，存在正整数m，当时，； （ⅱ）存在正整数m，使得，，，…是等差数列． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】设公差为，由题意可得的方程组，解方程组求出可得答案. 【详解】设公差为， 由题意可得， 即，解得舍去，或， 所以， 可得. 故选：C. 2．C 【分析】利用等差数列的求和公式即可求解． 【详解】解：设公差为d， 则，即， 则， 故选：C 3．D 【分析】首先判断出数列项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果. 【详解】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列， 数列是以1首项，以3为公差的等差数列， 所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列， 即 所以的前项和. 故选：D. 4．B 【分析】利用已知条件，推出数列的差数列的差组成的数列是等差数列，转化求解即可． 【详解】令数列：为数列，于是， 依题意，数列为：，于是 数列为：是等差数列，， 则，因此， 所以该数列的第项为. 故选：B 5．D 【分析】由等比数列的角标性质结合单调性得出公比. 【详解】由，解得或； 数列是由正数组成的递增数列，，且. 故选:：D 6．C 【分析】利用等比数列的通项公式及前n项和公式求解q的值，再由数列的单调性进一步判断即可. 【详解】， 则 . 由于 为递增数列，则 ， 所以 的通项公式为 所以 ， 故选：C. 7．B 【分析】构造得，再利用等比数列定义和通项公式即可. 【详解】， 则，其中， 则是以为首项，2为公比的等比数列， 则，则. 故选：B. 8．D 【分析】根据题意，先求出，进而再求，据此可以发现数列为等比数列，进而求解. 【详解】 函数 有两个零点 , 则由题意得 , , , 且 , 所以数列是以 1 为首项, 以 2 为公比的等比数列, 所以, , 故选：D. 9．AC 【分析】利用求出可判断ABC；对配方可判断D. 【详解】当时，， 当时，， 所以， 对于A，，所以是递减数列，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，当，得，所以当时，，故C正确； 对于D，，因为， 所以当且仅当，或时，取得最大值，故D错误. 故选：AC. 10．BCD 【分析】设公比为，根据等差数列和等比数列可得，运算求解即可. 【详解】因为成等比数列，设其公比为，则， 又因为成等差数列，则， 可得，则， 整理可得，解得或或， 结合选项可知：A错误，BCD正确， 故选：BCD. 11．CD 【分析】首先排除公比的特殊情况，结合给定条件解出公比范围，利用等比数列的性质逐个分析即可. 【详解】当时，不可能作为公比，故排除， 当时，不满足，故排除， 设等比数列的首项为，因为，所以， 因为，所以，， 故，得到，解得 也可得到，对左右两侧同乘后，未改变不等号方向， 所以，综上，故B错误， 而，故A错误， 由等比数列的性质得该数列单调递减，故成立，则C正确， 因为，，所以， 所以，，所以成立，故D正确. 故选：CD 12． 【分析】 讨论，，且，结合等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，可得所求通项． 【详解】分情况讨论． 若，可得，即； 若，可得，即有， 则，可得； 若且，则， 当时，， 时上式成立，于是，上式对和同样成立， 故答案为：，． 13． 【分析】分奇偶讨论，结合等差等比定义以及求和公式求解即可. 【详解】当时，， 即数列的奇数项构成等差数列, 其首项为1，公差为2 ， 则. 当时,，即数列的偶数项构成等比数列， 其首项为，公比为，则 ， 所以 故答案为： 14． 【分析】当时求出，当时，，作差即可求出的通项公式，从而求出，即可表示出，再由基本不等式求出数列的最大项. 【详解】因为， 当时，，解得； 当时，， 两式相减得，即， 经检验当时也成立，所以； 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号． 所以数列的最大项为第项. 故答案为：；． 15．(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列定义根据题意可求得首项和公差，即可得出的通项公式； （2）根据等差数列前项和公式可得，裂项可得，即可求出. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 由可得， 解得， 所以； 因此的通项公式为， （2）由（1）可得； 所以， 因此数列的前n项和; 即可得. 16．(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用变形给定等式，再利用等差数列定义推理即得. （2）由（1）求出，进而求出，再按奇偶分类，利用分组求和法求解即得. 【详解】（1）由，得，即， 两边同加，得，则，因此数列为常数列， 所以数列为等差数列. （2）由（1）知，，则，， 当为正奇数时，，；当为正偶数时，，， 当为正奇数时，； 当为正偶数时，， 所以. 17．(1)， (2)存在，， 【分析】（1）设出公差，得到方程组，求出公差，得到通项公式，并利用错位相减法求和； （2）假设存在正整数m，n（），使得，，成等比数列，得到方程，得到，求范围，即得结论. 【详解】（1）由题意在等差数列中，设公差为d， 由，得，则， 又，，成等比数列， ∴7，，成等比数列，得， 即，得， ∴，， ∴数列的通项公式为：（）． ∴， ∴ . （2）若存在正整数m，n（），使得，，成等比数列， 则，即， 化简得：，解得： 又且，所以，， 故存在正整数，，使得，，成等比数列. 18．(1) (2) 【分析】（1）依题意，当时求出，即可得到，则，两式作差得到，即可求出通项公式； （2）结合二次函数的性质，分、、分别求出，即可确定，再求和即可. 【详解】（1）由题意知当时，， 令，则，又，，则， 所以， 因此，两式相减得，， 故，即，又， 所以，又， 所以是以为公差，为首项的等差数列，所以． （2）因为函数图象的对称轴为， 所以由知： 当时，的解集为空集，则，故； 当时，，则，故； 当时，， 又，即， 因为，所以， 所以，所以， 即从第项开始为公差等于的等差数列， 故时，， 又时，满足，所以. 19．(1)证明见解析 (2)是等差数列，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由性质①②的定义，代入数列通项证明； （2）假设是单调递增数列，利用性质②证明，，成等差数列，然后利用性质①证明，，，…即可； （3）设和的公差分别为，，表示出，当时，证明，，，…是等差数列；当，证明. 【详解】（1）因为，，， 所以，所以具有性质①． 因为，，，，， 所以具有性质②． （2）假设是单调递增数列． 首先利用性质②：取，此时， 由数列的单调性可知， 所以，故， 此时必有，，即， 即，，成等差数列，不妨设，． 然后利用性质①：取，，则， 即数列中必然存在一项的值为． 下面证明， 若，则由数列的单调性可知． 在性质②中，取，则，从而， 则． 若，，则，与假设矛盾； 若，，则，与假设矛盾； 若，，则，与数列的单调性矛盾． 故不存在满足题意的正整数k，l，可见不成立，从而． 同理可得，，…，从而为等差数列． 是单调递减数列时同理可证，故为等差数列． （3）设和的公差分别为，， 则． 所以当时，；当时，. ①当时，取正整数，则当时，，因此， 此时，，，…是等差数列． ②当，且时，有． 所以 ． 对任意的正数M，取正整数，当时，有． 所以题中的两个结论必有一个成立． 【点睛】方法点睛：解决“新定义”问题的方法：在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决! 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$